Distribución Beta: El método para calcular el “valor esperado”, Te y la varianza de la duración de una actividad en el Pert, se basa en el supuesto de que la duración siga una distribución BetaLa distribución Beta se deriva de la función de densidad Beta.

Determinación de la Distribución BetaLa densidad de la probabilidad de la Distribución Beta de una variable aleatoria t comprendida entre el intervalo a y b es:

F ( t )= (t−a)α (b−t)φ

(b−a)α+φ+1β (α+1 , φ+1), a≤ t ≤ b

Donde α y φ dan la forma a la curva de densidad.

IMAGEN

Para determinar la curva de probabilidad de distribución normalizada, se hará el siguiente cambio de variable:

x= t−ab−a

Luego:

β (x )= xα (1−a)φ

β (α +1 , φ+1),0≤ x ≤1

O también:

β (x )= xα (1−a)φ

∫0

1

xα (1−a)φdx

,0≤x ≤1

La moda:

m x=α

α +φLa media:

μx=α+1

α+φ+2La varianza:

σ x2=

(α +1)(φ+1)(α+φ+3)(α+φ+2)

ESTIMACION DEL TIEMPO DE DURACION DE UNA ACTIVIDAD, E INCERTIDUMBRE DE SU CUMPLIMIENTO.

Duraciones de la actividad

En muchos casos, en los proyectos no nos pueden decir la fecha exacta de la terminación de un trabajo, pero si nos pueden decir el tiempo más probable en que el trabajo se puede terminar según experiencias anteriores y su juicio sobre la carga actual de los recursos disponibles. Sin embargo, siempre hay imprevistos que pueden adelantar o retrasar la fecha de terminación. El sistema PERT ha tenido gran éxito por su forma de calcular la duración de una actividad. Este sistema consiste en preguntar al responsable del trabajo por tres fechas de duración de la actividad:

La más probable (m): es el tiempo normal en que la actividad puede llevarse a cabo, y cuyo resultado se obtiene frecuentemente, repitiendo la actividad muchas veces bajo las mismas circunstancias. Estimación más realista del tiempo que llevará la realización de una actividad.

La optimista(a): es el tiempo mínimo que se requiere para la terminación de la actividad si todos los factores del trabajo marchan con buena suerte. La probabilidad de que se cumpla esta fecha optimista es aproximadamente el 1%. Periodo de tiempo más corto que exigirá la terminación de una actividad

La pesimista (b): es el tiempo máximo en que la actividad puede tener lugar y cuyo resultado ocurre solamente en el caso de mala suerte, por ejemplo una avería de las maquina; un corte de la corriente eléctrica; una enfermedad del personal; o retraso de la entrega de los suministros, etc. Periodo de tiempo más largo que exigirá la terminación de una actividad

Sin embargo, no se deben estimar en el tiempo pesimista incluyendo todos los contratiempos extremistas, pues en la vida normal no suelen suceder tales casos, por ejemplo, huelga general, epidemia, incendio, etc. Si se tienen en cuenta estos sucesos en los cálculos del tiempo pesimista, este será infinito.

¿Quién debe dar estas tres estimaciones de tiempos? Naturalmente el responsable directo que se encarga de la realización de la actividad. Cualquiera otra fuente de estimación no será correcta, pero solo servirá como base de comparación.

DURACION MEDIA DE UNA ACTIVIDAD (tiempo esperado o Duración Prevista) Te

Esta duración será determinada en base a las tres duraciones con la fórmula propuesta por la Distribución Beta.

T e=a+4m+b

6

Si la estimación del tiempo de duración es única (caso determinístico), quiere decir que se terminara la actividad en la fecha fijada con certeza. Eso sucede cuando se considera que la probabilidad de éxito es el 100%.

Prob100%

50%

0%

Di Duración

Actividad X

Si no tenemos esta certeza, entonces estimaremos tres fechas: optimista, la más probable y pesimista, con la cuales podemos hacer la distribución de probabilidades representada en la siguiente figura.

FIGURA 16-2

CERTEZA DEL VALOR DE Te:

El valor de Te en la Distribución Beta (se comporta como mediana), divide el área de probabilidades en dos partes de 50% aproximadamente y su ubicación respecto a la moda (m) nos induce a deducir lo siguiente:

A. Cuando la duración media (Te) calculada es mayor que la duración más probable (m), esta tiende a la duración optimista a, dando lugar a una distribución asimétrica a la izquierda; o sea que am esmenor que mb.

La duración más probable m, siempre coincide con la moda de la distribución.

B. Cuando la duración media (Te) calculada es menor que la duración más probable (m), esta tiende a la duración pesimista b, dando lugar a una distribución asimétrica a la derecha; o sea que am esmayor que mb.

C. Cuando la duración media (Te) calculada es igual a la duración más probable m, dará lugar a una distribución simétrica, es decir am y mb

CALCULO DE LA INCERTIDUMBRE DE Te

Ahora bien; el tiempo medio de calculado sirve solo para indicar la fecha de terminación de cierta actividad con la mayor aproximación de acertar. Pero, en el transcurso de realización de las obras el tiempo realmente necesitado no se puede saber hasta que termine la actividad. Por eso la duración de la actividad en este caso es una variable aleatoria siguiendo una distribución de probabilidad.

Esta incertidumbre se puede conocer mediante la estadística. La medida adecuada de expresar la incertidumbre de Te es la varianza de la distribución de probabilidades.

LA VARIANZA (σ ¿¿2)¿: indica el riesgo de no acertar la duración media calculada de la actividad. Su fórmula de la Distribución Beta es la siguiente:

σ 2=( b−a6 )

2

En la fórmula arriba mencionada se ve que si la fecha optimista a y la pesimista b están muy distanciadas, existe una gran incertidumbre respeto al tiempo en que la actividad podrá ser terminada. Así que el valor de σ 2será mayor también. Cuando el valor de la varianza es mayor, mayor es el riesgo de no acertar en el valor Te.

IMAGEN

En la figura se observa que la varianza de A es mayor que la de B, lo que quiere decir que él Te dé A es menos certero que el de B.

Con algunos ejemplos despejaremos dudas respecto a la incertidumbre del empleo del valor de Te.

ACT. DURACIONES VARIANZA (σ 2¿

Incertidumbre al aceptar el valor de Te

Observacionesa m b Te

A 2 15.5 20 14 9 Más riesgo de no acertar Asimétrica a derechaB 10 12.5 24 14 5.44 Menos riesgo que A Asimétrica a izquierdaC 8 14 20 14 4 Menos riesgo que B SimétricaD 12 14 16 14 0.44 Menos riesgo que C SimétricaE 14 14 14 14 0 Determinística Estimación única

Se observa que Te. Tiene los mismos valores en las diferentes curvas, pero su grado de certeza es diferente. Veamos otros ejemplos:

ACT. DURACIONES VARIANZA (σ 2¿

Condiciones del valor Tea m b Te

F 12 12 12 12 0 Es determinísticoG 2 3 6

3.330.44 Más riesgo de NO

ACERTAR ( menos probable de acertar) H 4 6 9

6.160.69

I 6 8 12 8.33 1.00J 14 20 22

19.331.77

K 30 42 48 41 9.00

Hemos expuesto el método PERT hace uso de las tres duraciones: optimista, más probable y pesimista para determinar la “duración prevista” Te para cada actividad y a la vez poder calcular su grado de certeza al ser empleado en el proyecto.

ESTIMACION DE PROBABILIDADES EN EL CUMPLIMIENTO DE LA DURACION TOTAL DEL PROYECTO.

Ahora vamos a estudiar la duración total del proyecto, que es más interesante que las individuales, y los riesgos de no acertar esta duración total tanto en el sentido de adelantar como en el de retrasar. Recordemos que el camino crítico está formado con las actividades críticas y es el camino más largo del proyecto, dicho de otro modo, hay una probabilidad 0.5 de que el proyecto sea terminado en el plazo mínimo del suceso final. Por eso, en el sistema PERT, para calcular la duración total del proyecto se suman todas las duraciones de las actividades críticas, o sea:

T t=T E0+T E1+T E2…+T EN

Donde T E0 , T E1 ,T E2…,T EN son las duraciones de las actividades críticas y cuyas estimaciones pueden ser únicas o probabilísticas. Según el teorema central del límite, la varianza total del proyecto será también la suma de las varianzas parciales de las críticas.

σ T2=σE 0

2 +σ E12 +σ E2

2 +…+σ EN2

Donde σ E02 , σ E1

2 , σE 22 ,…,σ EN

2 son las varianzas de las actividades críticas

correspondientes a las duraciones criticas T E0 , T E1 ,T E2…,T EN . Siempre la duración del proyecto determinado en base a los Te de la Ruta Crítica, tiene una probabilidad de cumplirse de 50%.

Duración propuesta o tiempo exigible (TL)

Es el plazo de término programado o el plazo límite que se exige para terminar el proyecto o terminar con la realización de la actividad. Su valor puede ser mayor o menor que Tp o ( t0j)n, dependiendo de las imposiciones técnicas o exigencias del contrato.

Margen del tiempo (M)

Cuantificación del tiempo con el que se podrá “jugar” en la terminación del proyecto o la actividad Aij. Su valor puede ser positivo o negativo.

M=T L−T P=T L−∑ T E r . c . Referido a la duración del proyecto.

M=T L−(t 0 j )n Referido a la terminación de la actividad Aij en el suceso n.

DESVIACION NORMALIZADA O FACTOR DE PROBABILIDAD Z

Permite medir la “seguridad que tenemos de estar en la posibilidad del éxito”.

El valor de Z, puede ser positivo o negativo y estará correlacionado con el “% de probabilidad” que se encuentra en la Tabla de la función de Distribución Normal.

El valor de Z se obtendrá con las siguientes ecuaciones:

Z=T L−T P

√σ 2. r . c=

T L−T P

σ . r . creferidoa laduracion del proyecto

Donde:

σ 2. r . c = Sumatoria de las varianzas de las actividades de la Ruta Critica.

Z=T L−(t j

0)n

√σ 2n=

T L−(t j0)n

σn

Referido a laterminaciónde la actividad Aij enel suceso n .

Donde:

σ 2n=¿ Sumatoria de las varianzas de las actividades que conforman el camino más

largo para llegar al suceso n.