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7/21/2019 eSTOK
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Víctor Daniel Rojas Cerna Matemática III
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1.-Determine donde:
,
SOL:
Graficando:
Parametrizando las ecuaciones:
Donde
Reemplazando en la integral tenemos:
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Integrando obetenemos que:
2. determine: , donde:
, , ,
Sol.
Hallaremos la curva de interseccion
Sea:
Entonces la parametrizacion de la interseccion sera:
De donde:
Ademas de:
Luego:
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3.- Determine donde:
,
SOL:
Graficando:
De forma análoga al ejercicio anterior parametrizamos las ecuaciones:
Donde
Reemplazando en la integral tenemos:
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Reduciendo al expresión
Integrando obetenemos que:
4. encontrar el centro de gravedad del casquete semiesferico de radio R, con centro en (R,0,0)
Sol.
La ecuacion de la esfera de radio R y centro (R,0,0) es:
Entonces la ecuacion del casquete semiesferico sera:
En centroide de un solido esta dado por:
, ,
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Dado que una esfera es simetrica respecto a un eje diametral, entonces segun la ubicacion delcasquete, las coordenadas de su centroide es:
,
Haciendo una traslacion de ejes al punto (R,0,0) determinaremos la coordenada
Entonces la ecuacion del casquete en el nuevo sistema es:
...(*)
Usamos coordenadas cilindricas para calcular la integral:
Luego:
El volumen del casquete semiesferico (mitad de una esfera) es:
Reemplazamos en (*):
Por lo tanto, el centroide del casquete semiesferico es:
5.-Hallar el área de la superficie limitada por:
SOL: Graficando
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:
Sabemos que área está dada por al integral:
Entonces parametrizando la ecuación:
Se observa que por simetría del grafico:
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Integrando obtenemos que:
Del grafico
PARTE 2
2. Determine el area de la superficie del elipsoide , limitada por el
cono eliptico
SOL
El area de una superficie esta determinada por:
................(1)
Le ecuacion del elipsoide es:
Luego, la ecuacion de la mitad superior del elipsoide es:
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Entonces:
Hallando las derivadas parciales de :
Reemplazamos en (1):
Simplificando” R”
Sea:
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Donde:
.......(2)
Hallando la interseccion del cono eliptico y el elipsoide, obtenemos la elipse:
, reemplazando por (*):
Entonces la region , sobre la cual integraremos, es la encerrada por dicha elipse.
En (2):
3.-Determine el area de la superficie del cilindro limitada por el cono circular.
SOL: Graficando:
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Parametrizando las ecuaciones:
Entonces el area de la superficie está dada por:
Analizando el dominio de y pasándola a coordenadas polares.
Entonces:
Integrando obtenemos que:
4. determine el area de la superficie: |x|+ , limitada por el cilindro , R>0
Sol.
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Graficando vemos que la superficie es simetrica respecto al eje Z, luego:
..........(*)
Donde: es la porcion de la superficie que se encuentra en el primer octante.
Asi, siendo
Luego:
Hallando las derivadas parciales de :
El area de una superficie viene dada por:
Entonces:
.........(1)
Segun el grafico la region es la region encerrada por la circunferencia en el
primer cuadrante.
Usando coordenadas polares:
Reemplazamos en (1):