estruc_dinam

Departamento de Ingeniera Civil Facultad Regional Paran Universidad Tecnolgica Nacional

ANALISIS DE ESTRUCTURAS BAJO ACCIONES DINMICAS

Arturo M. Cassano

Editorial de la Universidad Tecnolgica Nacional - edUTecNehttp://www.edutecne.utn.edu.ar

[email protected]

2009

Introduccin - Bibliografa

1

INTRODUCCIN Esta publicacin pretende brindar en una forma rpida y sencilla los conceptos bsicos de la dinmica de estructuras aplicada a las construcciones civiles, enfocada desde un punto de vista numrico. Su organizacin en captulos se basa en la secuencia de unidades tem-ticas del programa de la asignatura homnima que se dicta en la carrera de Ingeniera Civil de la Facultad Regional Paran de la Universidad Tecnolgica Nacional. Todos los temas se desarrollan como sntesis de libros y publicaciones de otros autores (ver Bibliografa) solo que organizados segn la conveniencia que mejor se ajusta al curso impartido. El Captulo 1 hace una muy breve resea a conceptos sobre sismologa y su relacin con la ingeniera estructural, caracterizacin, registros, etc. El Captulo 2 brinda una aproximacin a los conceptos bsicos de la dinmica estructural, la importancia de la masa, la relacin entre velocidad de carga y de reaccin de una estruc-tura. Avanza sobre los modelos estructurales dinmicos, grados de libertad y la discretiza-cin espacial y temporal. El Captulo 3 est dedicado a la caracterizacin y clculo de osciladores de un grado de libertad dinmico. Son tratadas las vibraciones libres y forzadas, stas ltimas con cargas armnicas y arbitrarias. Se presenta la resolucin numrica mediante integracin directa. El Captulo 4 est dedicado a las estructuras con mltiples grados de libertad dinmicos. Se estudian las vibraciones libres y el clculo de modos y frecuencias propias, tambin se presenta la resolucin de los sistemas dinmicos mediante diversos mtodos como son: descomposicin y superposicin modal, integracin directa y respuesta mxima mediante espectros de respuesta. En el Captulo 5 se realiza una aproximacin al tratamiento dinmico de los efectos del viento sobre las construcciones teniendo como base el reglamento CIRSOC 102. Por ltimo en el Captulo 6 son tratados los efectos ssmicos y el anlisis estructural, desde el punto de la dinmica estructural, enfatizando en la definicin de la accin ssmica y la comparacin de las frmulas vistas en captulos anteriores con los reglamentos vigentes.

Un agradecimiento especial a Marlene Jaurena, que con paciencia y dedi-cacin realiz la transcripcin de los manuscritos de este trabajo.


2

TABLA DE CONTENIDOS

Captulo 1 - NOCIONES BASICAS DE SISMOLOGIA 1-1 Causas que generan los terremotos o sismos 1-1 Los sismos desde el punto de vista de la ingeniera y su caracterizacin 1-2 Esteva y Rosenblueth: 1-2 Donovan: 1-3 Esteva y Villaverde: 1-3 Esteva: 1-3 Registro de ondas ssmicas. Parmetros utilizados y mapas de riesgo ssmico 1-3

Captulo 2 - CONCEPTOS BASICOS DE DINAMICA ESTRUCTURAL 2-1 Definicin de la accin dinmica 2-1 Acciones y fuerzas dinmicas 2-2 Importancia de la masa en el problema dinmico 2-3 Velocidad de reaccin de una estructura 2-5 Modelos dinmicos caractersticos 2-6 Mtodos de modelizacin dinmica 2-8 Discretizacin espacial de las estructuras 2-9 Mtodo de las masas concentradas 2-10 Ecuaciones de movimiento 2-13 Principio de Hamilton 2-13 Principio de los trabajos virtuales 2-13 Principio de DAlembert 2-13 Formulacin de la ecuacin de movimiento para un sistema de 1 GLD 2-13 Formulacin de las ecuaciones de movimiento para modelos con mltiples GLD 2-15

Captulo 3 - RESPUESTA DE UN OSCILADOR SIMPLE 3-1 Ecuacin de movimiento y equilibrio dinmico 3-1 Frmula de Geiger 3-2 Caractersticas dinmicas con amortiguamiento 3-3 Excitacin peridica 3-7 Excitacin armnica 3-8 Excitacin arbitraria. Integral de Duhamel 3-10 Respuesta a un impulso elemental 3-10 Factor de amplificacin dinmica 3-12 Espectros ssmicos de respuesta 3-12 Integracin numrica de la ecuacin de movimiento 3-16 Mtodo de Newmark (1 GLD) 3-16 Desarrollo y forma operativa 3-18


3

Captulo 4 - RESPUESTA DINMICA DE UNA ESTRUCTURA CON MLTI-PLES GRADOS DE LIBERTAD 4-1

Ecuaciones de movimiento y equilibrio dinmico 4-1 Vibraciones libres 4-1 Caractersticas dinmicas 4-1 Normalizacin de los modos 4-3 Obtencin de los grados de libertad dinmicos 4-4 Condensacin esttica de la matriz de rigidez 4-4 Matriz de amortiguamiento 4-6 Matrices de amortiguamiento ortogonales 4-8 Determinacin prctica de modos y frecuencias 4-9 Mtodo de Stodola-Vianello 4-9 Resolucin de las ecuaciones de movimiento en estructuras con mltiples GLD 4-12 Descomposicin y superposicin modal 4-12 Integracin directa de las ecuaciones de movimiento 4-14 Respuesta mxima utilizando espectros de respuesta 4-15

Captulo 5 - ANLISIS DE CONSTRUCCIONES CON EFECTOS DINMI-COS DE VIENTO 5-1

Acciones paralelas a la direccin del viento 5-1 Acciones perpendiculares a la direccin del viento 5-3 Criterios de confort en edificios que oscilan 5-5

Captulo 6 - ANLISIS DE CONSTRUCCIONES CON EFECTOS SISMICOS 6-1 Definicin numrica de la accin ssmica 6-1 Definicin mediante espectros de respuesta 6-2 Definicin mediante acelerogramas 6-4 Mtodos de anlisis segn INPRES CIRSOC 103 6-6 Procedimientos con fuerzas estticas equivalentes 6-6 Mtodos dinmicos 6-6 Mtodos dinmicos INPRES CIRSOC 103 6-6


4

BIBLIOGRAFA: [1] Estructuras Sometidas a Acciones Ssmicas. Clculo por Ordenador A.H.

Barbat, J.M. Canet 2da. Edicin, CIMNE, Barcelona, 1994.

[2] Diseo Sismorresistente de Edificios L.M. Bozzo, A. H. Barbat, Editorial Revert, Barcelona, 2000.

[3] Dinmica Estructural J. Massa, C. Prato, Publicacin del Departamento de Estructuras de la Facultad de Cs. Exactas Fsicas y Naturales de la Universidad Nacional de Crdoba, 1986.

[4] Finite Element Procedures K. J. Bathe, Prentice-Hall, 1996.

[5] Finite Element Modeling in Engineering Practice C. Spyrakos, Algor Publishing Division, Pitsburg, 1996.

[6] Linear and Nonlinear Finite Element Analysis in Engineering Practice C. Spyrakos, J. Raftoyiannis, Algor Publishing Division, Pitsburg, 1997.

[7] Diseo Ssmico de Edificios E. Bazn, R. Meli, LIMUSA, 2001.

Captulo 1 Nociones Bsicas de Sismologa

1-1

CAPTULO 1 - NOCIONES BASICAS DE SISMOLOGIA

Causas que generan los terremotos o sismos Los terremotos pueden definirse como movimientos de la corteza terrestre, con amplitudes y frecuencias dependientes del tiempo. Las causas que los generan son variadas: Terremotos de colapso: son los originados en cavidades subterrneas por el colapso de las mismas, son de baja intensidad. Terremotos de origen volcnico: la explosin de gases durante las erupciones volcnicas puede producir terremotos que, en general, tienen una intensidad pequea y afectan a su-perficies limitadas. Terremotos tectnicos: estn causados por la rotura brusca de las capas rocosas a lo largo de superficies de fractura (fallas), son los ms fuertes y ms frecuentes. Terremotos causados por explosiones: las explosiones producidas por el hombre son capa-ces de generar vibraciones del terreno, con una intensidad tal que pueda causar movimien-tos en las estructuras. En general, el movimiento de la corteza se produce por un choque o movimiento brusco ocurrido a una cierta profundidad bajo la superficie terrestre en un punto terico denomi-nado foco o hipocentro, a su proyeccin sobre la superficie terrestre se le denomina epi-centro.

estructura

sismgrafo

epicentro

foco

Fig. 1.1 Definiciones geomtricas de un sismo


1-2

Los sismos desde el punto de vista de la ingeniera y su caracteri-zacin Los terremotos ms importantes son los tectnicos, pues son los que traen consecuencias ms desastrosas en las estructuras que afectan, debido a esto, son los que se tienen en cuenta para la elaboracin de normas para la contraccin de estructuras sismoresistentes.

La intensidad ssmica es una medida de los efectos de los terremotos en el entorno y en particular sobre las estructuras. Existen diferentes escalas de intensidades que describen, para cada valor que esta tome, los efectos que produce el terremoto. Una de las ms difundidas es la escala de Mercalli Modificada. Algunos de los efectos sobre las estructuras en orden creciente de intensidad son:

1. fisuracin de las estructuras de madera 2. agrietamiento de las estructuras dbiles de mampostera 3. agrietamiento de las estructuras ordinarias de mampostera 4. colapso parcial de estructuras ordinarias de mampostera; dao en estructuras bien

ejecutadas de mampostera no diseadas para resistir fuerzas ssmicas 5. colapso de estructuras ordinarias de mampostera; las estructuras con diseo anti-

ssmico son seriamente daadas; daos en cimientos; grietas en el terreno la mayora de las estructuras son destruidas junto con sus cimientos, daos importantes en presas y diques, grandes deslizamientos del terreno destruccin casi total, grandes masas de rocas desplazadas, etc. Un sismo se caracteriza por su intensidad (parmetro subjetivo) y por su magnitud (pa-rmetro objetivo). La escala objetiva ms popular es la de Ritcher, en la que la magnitud M mide la energa del terremoto en el foco y es el logaritmo decimal de la amplitud del movimiento ssmico, medido en micrones a 100[km] del epicentro, por un sismgrafo Wood-Anderson estn-dar. La magnitud M est relacionada con la energa del terremoto, en ergios, por la expre-sin:

ME 5,18,11log +=

Se han establecido varias relaciones empricas entre la intensidad IMM y la magnitud M, enumeramos algunas a continuacin:

Esteva y Rosenblueth: RMI MM log46,245,116,8 +=

R: distancia focal en [km] Tambin se ha relacionado la magnitud M con los valores mximos de las caractersticas cinemticas del movimiento, estas relaciones se han establecido estadsticamente.


1-3

Donovan:

( ) 25,15,0

251080

+=

Re

aM

m

am: aceleracin mxima del terreno en [cm/s2] R: distancia focal en [km]

Esteva y Villaverde:

( )28,0

407,5+

=

Re

ga Mm

( ) 7,12532+

=

Re

vM

m

am: aceleracin mxima en [cm/s2] vm: velocidad mxima en [cm/s]

R: distancia focal en [km]

Esteva:

( ) 28,0 251230 += Rea Mm ( ) 7,159,017,015 += MMm eRev

am: aceleracin mxima en [cm/s2] vm: velocidad mxima en [cm/s]

R: distancia focal en [km]

Registro de ondas ssmicas. Parmetros utilizados y mapas de riesgo ssmico Los terremotos son fenmenos debidos a la brusca liberacin de la energa de deformacin acumulada durante largos periodos de tiempo en la zona superficial de la tierra. Los sis-mos producen ondas de varios tipos, que se propagan desde su foco en todas las direccio-nes a travs de la tierra. Estas ondas son registradas mediante aparatos denominados sis-mgrafos, diseados para medir la aceleracin, la velocidad o el desplazamiento del mo-vimiento ssmico. Estos parmetros son relativos, ya que los valores obtenidos estn afec-tados por las caractersticas del instrumento registrador y por las condiciones de ruido am-biental en el lugar de registro. Los mapas de riesgo ssmico representan una sntesis de todos los datos sismolgicos y geolgicos de un pas. Estos mapas se utilizan para determinar el nivel de proteccin que se debe alcanzar en las estructuras en cada zona de riesgo. Diversos aspectos brindan la subdivisin en zonas, pero los fundamentales son:


1-4

Estudios geolgicos y geotcnicos: proporcionan datos de composicin y caractersticas dinmicas de las rocas y capas de suelo que componen la corteza terrestre. Estudios sismolgicos: sintetizan los parmetros que caracterizan la sismicidad de la zona: 1. ubicacin de fallas 2. registro de los terremotos que ocurren en la zona 3. mapas de epicentros 4. datos histricos 5. periodos de retorno (intervalo medio de tiempo en que se espera ocurran dos sismos de

igual o mayor intensidad) 6. datos del mecanismo focal 7. correlacin de la sismicidad de la zona analizada con la de la macrozona en la que se

encuentra

Estudios de Ingeniera y Sismologa: 1. anlisis del efecto que han producido sobre las estructuras y las personas los terremotos

ocurridos en el pasado 2. prediccin estadstica de las caractersticas ms probables de la accin ssmica que

se produzca en la zona Es importante destacar que la geologa local de la zona puede modificar la propagacin de las ondas ssmicas. Las ondas se reflejan y se refractan cuando en su recorrido aparece una discontinuidad, por ejemplo una variacin de las caractersticas mecnicas del terreno, ello produce cambios en la velocidad. En general, el clculo y la cuantificacin de las acciones ssmicas en la estructuras se rea-liza en funcin de protocolos, secuencias y definiciones de acciones dadas por normas y reglamentos. En los captulos siguientes se ofrecen algunas aplicaciones de este tipo.

Captulo 2 Conceptos Bsicos de Dinmica Estructural

2-1

CAPTULO 2 - CONCEPTOS BASICOS DE DINAMICA ES-TRUCTURAL

En un sentido amplio, un sistema dinmico es aquel cuyas variables experimentan varia-ciones en el tiempo y, si se conocen las influencias externas que actan sobre el sistema, podr predecirse el comportamiento de este.

influencias externassobre el sistema

SISTEMADINAMICO

conocidas estas accionesexternas, permiten"predecir" el comportamientode las variables temporales

variables con variacionestemporales

En nuestro curso, los sistemas a estudiar sern sistemas estructurales, las variaciones en el tiempo sern vibraciones producidas por cargas dinmicas.

permiten evaluar elcomportamiento dela estructura frentea acciones dinmicas

cargas dinmicas

SISTEMASESTRUCTURALES

resolucin de lasecuaciones diferenciales

ecuaciones diferencialesque gobiernan elcomportamiento de lasvibraciones

vibraciones

Definicin de la accin dinmica Una accin tiene carcter dinmico cuando su variacin con el tiempo es rpida y da ori-gen a fuerzas de inercia comparables en magnitud con las fuerzas estticas. Algunas fuen-tes importantes de vibraciones estructurales son:


2-2

- sismos - viento - olas y corrientes de agua - explosiones e impactos - cargas mviles (vehculos, personas, etc.)

La definicin de estas cargas externas puede distinguirse entre: determinista y no determi-nista, sta ltima denominada tambin estocstica o aleatoria. determinista: cuando su variacin temporal es perfectamente conocida no determinista: cuando alguno o todos sus parmetros son definidos estadsticamente En nuestro curso trabajaremos con cargas definidas en forma DETERMINISTA.

Respuesta dinmica cualquier magnitud que pueda caracterizar el efecto de una carga dinmica sobre la estructura

Una carga definida determinsticamente da origen a una respuesta, tambin determinista.

Fig. 2.1- Definicin de la respuesta dinmica: para un punto considerado se calculan: deformaciones, aceleraciones, tensiones, etc.

Acciones y fuerzas dinmicas Las acciones dinmicas definidas utilizando representaciones deterministas, son funciones del tiempo cuyo valor en cada instante ES CONOCIDO. Este tipo de representacin es apropiado para evaluar el comportamiento de una estructura A POSTERIORI del acontecimiento que dio lugar a dicha accin. Por ejemplo, evaluar el comportamiento de un edificio nuevo ante el terremoto ocurrido en Mxico en 1986 (del que se poseen registros). El diseo de una estructura NO PUEDE encararse en base a ac-ciones deterministas, pues nada nos asegura que la accin estudiada volver a repetirse.


2-3

F(t)

M(t1)

M(t2)

M(t3)

t3

t1t2

F(t2)F(t1)F(t3)

t1 t2 t3 t

FACCION

RESPUESTA

este esquema temporalde carga debe serperfectamente conocido

Fig. 2.2 - Accin y respuesta determinista

No considerada como"carga" sino como unapropiedad intrnseca dela estructura

da origen a fuerzasde "inercia" comparablescon las estticas

ACCIONDINAMICA

rigidez Kmasa M

ESTRUCTURA

a(t)

depende deK , M

la comparacin sebasa en: - velocidad de la accin - periodo propio de la estructura

Fig. 2.3 - Accin dinmica y propiedades de la estructura

Importancia de la masa en el problema dinmico Aunque la carga vare con el tiempo, la respuesta de una estructura vara radicalmente se-gn la masa que vibra con ella. Ante una misma funcin de carga, una estructura SIN MASA y una CON MASA responden de la siguiente manera:


2-4

b) Estructura CON MASA CON INERCIA

a) Estructura SIN MASA SIN INERCIA

Se desarrolla energacintica, que modificala respuesta y deja vibracionesremanentes

rigidez: Kmasa: m

F(t) m/2x(t)

m/2

x

F

rigidez: Kmasa: m = 0

K x(t) = F(t)

La respuesta seguirexactamente la forma

de la carga

F(t)

x

x(t)

A A' F

vibracionesremanentes

t2 > t1 !!t1 t2

xmx

t1

F0

x0

t

t

x0 = F0/K

t1

t1

F0

t

t

( ) ( ) ( )tFtxktxm =+&&

Fig. 2.4 - Importancia de la masa en la respuesta


2-5

Velocidad de reaccin de una estructura Ante una accin exterior, distintas estructuras reaccionarn de formas diferentes. Esta res-puesta est ntimamente relacionada con las formas o modos de vibrar y sus correspon-dientes frecuencias o periodos propios. En el caso de un oscilador de 1 grado de libertad, este periodo propio se obtiene fcilmente. No as para estructuras de mltiples GLD. Como veremos en los captulos siguientes, los periodos y formas de vibrar dependen de las caractersticas geomtricas y de materiales (rigidez) y de la inercia que la estructura opone al movimiento (masa).

En general si tD >> T no es necesario un anlisis dinmico si tD T PROBLEMA DINAMICO

T

m

k

F(t)

tD

F

vibracioneslibres

m

k x0

xx0

el periodo propio permaneceprcticamente constante

tDt

F

t

F0

ESTRUCTURA CONAMORTIGUAMIENTO

ESTRUCTURA SINAMORTIGUAMIENTO

con AMORTIGUAMIENTOla amplitud decrece en cada ciclo

t

Fig. 2.5 - Velocidad de reaccin T vs. tD


2-6

k

m x0

2T1

a masa constantek1 > k2

a rigidez constantem2 > m1

T21

t

x0

etc ,km

km variables

;k ; m

22

21

1

1 TT

Fig. 2.6 - Velocidad de reaccin; varios Ti

Modelos dinmicos caractersticos Desde el punto de vista del clculo numrico, obtener la respuesta dinmica de una estruc-tura, es el resultado de "filtrar" la seal de excitacin a travs de la misma estructura y ob-tener las variaciones de las magnitudes de anlisis (desplazamientos, velocidades, acelera-ciones, momentos, tensiones, etc.) respecto del tiempo. La obtencin de la respuesta requiere, previamente, la definicin del movimiento del te-rreno (en caso ssmico) tanto como de las caractersticas estructurales del mismo y de la estructura propiamente dicha. El anlisis es practicado, no a la propia estructura sino a un modelo mecnico de la misma. La definicin del modelo depende del tipo de estructura analizado y pretende brindar una serie de relaciones entre acciones y respuesta que descri-ban un modelo matemtico del problema. Este modelo matemtico puede ser resuelto mediante diversas tcnicas. En nuestro caso haremos hincapi en los mtodos numricos de anlisis. Segn la certeza con que fueron formulados los modelos y procedimientos o algoritmos de clculo durante el anlisis, ser la precisin de la respuesta obtenida.


2-7

a3a1

a1

ondaoriginal

t

onda ssmicaoriginal

ondareflejada

ondarefractada a2 discontinuidad

en el suelo

respuesta

axed

t

respuesta en un puntoen particular

ayed

axed

Fig. 2.7 - Filtrado de una seal ssmica

Se brindan, a continuacin, algunas definiciones tpicas del anlisis estructural dinmico de una estructura:

Grados de libertad (GL) Se definen como grados de libertad (GL) a los puntos de la estructura en los cuales se identifica algn desplazamiento y permiten brindar una deformada de la estructura.

Grados de libertad dinmicos (GLD) Son los grados de libertad que tienen asociada masa y para los cuales puede conocerse las vibraciones o movimientos a lo largo del tiempo.


2-8

menos exacta

RESPUESTA (desplaz. en el piso 1)

k2

k1

MODELODINAMICO

x1

tmas exacta

EXCITACIONSISMICA

ESTRUCTURAREAL

x1 m1

x2 m2

PROCEDIMIENTOSNUMERICOS

MODELOMATEMATICO

[ ] [ ] [ ]aMxKxM =+&&

Fig. 2.8- Modelizacin de una estructura

Mtodos de modelizacin dinmica Pueden distinguirse modelos dinmicos exactos y modelos dinmicos discretos. En general, para la primera clase, solo pueden resolverse casos muy sencillos y con poca aplicacin practica, por lo que a lo largo del curso profundizaremos en modelos discretos. Para estos mtodos modelos discretos, se debe tener en cuenta que la subdivisin en domi-nios finitos es tanto espacial (discretizacin estructural) como temporal (solucin para ins-tantes de tiempo determinados).


2-9

n FINITO DE INSTANTES DE TIEMPO donde se calcula la respuesta (para cada GLD)

n FINITO DE PUNTOS ESPACIALES (GLD)

respuesta dinmicaen CADA PUNTO n infinito de DE LA ESTRUCTURA puntos espaciales

en CADA INSTANTE n imfinito de DE TIEMPO puntos temporales

Modelodinmico

DISCRETO

Modelodinmico

EXACTO

DISCRETIZACIONTEMPORAL

DISCRETIZACIONESPACIAL

Fig. 2.9 - Modelos dinmicos

Discretizacin espacial de las estructuras Fundamentalmente, la diferencia con lo visto en otros cursos de anlisis estructural (estti-co) radica en que en dinmica estructural, cuando hablamos de discretizar espacialmente, nos referimos a los GLD. Un modelo dinmico exacto (con infinitos GLD) acarreara ms inconvenientes en la reso-lucin matemtica que beneficios en su precisin. Adems, en estructuras de edificios y en la mayora de las estructuras civiles, las masas se encuentran ms o menos concentradas en lugares conocidos. Es por esto que nuestro principal mtodo de modelizacin dinmica ser el de las MASAS CONCENTRADAS. No obstante, existen otros, como ser: - mtodo de los DESPLAZAMIENTOS GENERALIZADOS - mtodo de los ELEMENTOS FINITOS


2-10

Mtodo de las masas concentradas

n total de componentesde desplazamiento segnlos cuales vibran las masasconcentradas

tensiones y deformacionesespecficas pueden conocersemediante los procedimientosdel anlisis esttico

se calcula la "deformada"del modelo en cada instantese distinguen:

- MODELOS DE 1 GLD- MODELOS DEMULTIPLES GLD

n de GLDdel modelo

Modelos con 1 GLD:

k

m

cc

m

k

x

k

m

a(t)

(c)(b)(a)

Fig. 2.10 - Modelos con un solo grado de libertad. (a) modelo conservativo; (b) modelo con amortiguamiento; (c) modelo ssmico.

x

k

m

a(t)

(c)(b)(a)

Fig. 2.11 - Estructuras modelizadas como un sistema de un solo grado de libertad. (a) prtico; (b) el mismo prtico con la masa concentrada al nivel de la viga; (c) modelo di-

nmico.


2-11

Modelos con mltiples GLD:

xr

c1

mn

kn

krmr

k2m2

k1m1

c1

cr

cncn

cr

c1m1

k1

xr

m2k2

mr

kr

knmnmn

kn

krmr

k2m2

c1

xr

k1m1

a(t)

(c)(b)(a)

Fig. 2.12 -Modelos con varios grados de libertad. (a) modelo conservativo; (b) modelo con amortiguamiento; (c) modelo ssmico.

Fig. 2.13 - Estructura con dos grados de libertad: Prtico de dos pisos y su modelo din-mico.

a(t)

Fig. 2.14 - Estructura con masa distribuida (antena) y su modelo dinmico discreto con n grados de libertad.


2-12

Fig. 2.15 - Modelo dinmico de un prtico de cortante y prtico espacial modelizado co-mo un sistema completo (10 grados de libertad) y simplificado ( dos grados de libertad).

Fig. 2.16 - Modelo dinmico con grados de libertas de rotacin.


2-13

Ecuaciones de movimiento Las ecuaciones de movimiento son las expresiones matemticas que gobiernan la respues-ta dinmica de las estructuras. Pueden obtenerse a partir de cualquiera de los principios de la mecnica clsica:

Principio de Hamilton ( ) 0;2

1

2

1

=+= Ht

t

d

t

t

cpH ddtEdtEE pipi (2.1)

La primera expresin se denomina funcional de Hamilton; donde Ep es la energa poten-cial, Ec es la energa cintica y Ed la correspondiente a fuerzas no conservativas. La segun-da expresin permite establecer el equilibrio a travs de una variacin funcional nula.

Principio de los trabajos virtuales Se trabaja en forma similar a lo visto en anlisis esttico pero incluyendo las fuerzas de inercia y disipativas.

ei ww = (2.2) Principio de DAlembert Proporciona el mtodo ms directo para obtener las ecuaciones de movimiento de un sis-tema dinmico. Puede formularse como sigue: un sistema dinmico esta en equilibrio cuando todas las fuerzas que actan en el mismo, incluidas las de inercia y disipativas, cumplen las ecua-ciones de equilibrio esttico en cada instante de tiempo.

Formulacin de la ecuacin de movimiento para un sistema de 1 GLD Tomando el sistema de la figura 2-10, podemos distinguir dos casos:

Fig. 2.17- (a) fuerza aplicada; (b) modelo ssmico Para el modelo (a), aplicando el principio de DAlembert, tendramos:


2-14

F(t) Fi(t) Fa(t) Fe(t)

F(t) = Fi(t) + Fa(t) + Fe(t) equilibrio

( )tx&&( )tx&

x(t)inercia amort. elstica

Fig. 2.18 - Equilibrio de fuerzas para 1 GLD Al aplicar una fuerza exterior F(t), se genera aceleracin, velocidad y desplazamiento para un cierto instante t; a causa de esto se producen fuerzas: i- de inercia

( ) ( )txmtFi &&= (2.3)

ii- de amortiguamiento

( ) ( )txctFa &= (2.4)

iii- elsticas ( ) ( )txktF

e= (2.5)

equilibrio en el instante t

( ) ( ) ( ) ( ) 0= tFtFtFtFeai (2.6)

( ) ( ) ( ) ( )tFtFtFtFeai =++ (2.7)

Fxkxcxm =++ &&& (2.8)

Se omite (por simplicidad de notacin) la dependencia del tiempo, pero de aqu en adelan-te sta se encontrar implcita en toda variable temporal.

( ) ( ) ( )( ) ( ) .;;

;;:ejetcFtFata

xtxxtxxtx

&&&&&&


2-15

La ecuacin (2.8) es la de movimiento correspondiente a 1 GLD con carga exterior y amortiguamiento. Para el modelo (b) de la figura 2-17, el planteo es similar, solo que no tiene fuerza exterior aplicada y la fuerza de inercia se ve afectada por la aceleracin total de la masa:

[ ]xamFi &&+= (2.9)

entonces, la ecuacin de movimiento queda:

[ ] 0=+ xkxcxam &&& (2.10)

amxkxcxm =++ &&& (2.11)

La (2.11) es la ecuacin de movimiento para 1 GLD con aceleracin de apoyo (ssmico) y amortiguamiento. Un caso general sera la inclusin de aceleracin de apoyo y fuerza exte-rior:

amFxkxcxm =++ &&& (2.12)

Formulacin de las ecuaciones de movimiento para modelos con mltiples GLD El modelo con varios grados de libertad ms sencillo es el de edificios de cortante (fig. 2-12). Est basado en que las plantas son infinitamente rgidas y en que los nicos movi-mientos posibles de stas son los desplazamientos horizontales. Aplicando el principio de DAlembert en cada GLD (uno por piso) se obtiene:

0=erarirr FFFF (2.13)

para el piso (r). Planteando el equilibrio para todos los GLD, nos queda un sistema de ecuaciones (vecto-rial)

0=eai

T FFFF (2.14)


2-16

#Nota: en adelante, los vectores y matrices sern representados(en general) con mins-culas y maysculas en negrita, respectivamente.

[ ]n

T fff ,..., 21=F vector de fuerzas externas { }ai JxMF += && vector de fuerzas de inercia

xCF &=a

vector de fuerzas disipativas

xKF =e

vector de fuerzas elsticas

entonces, el sistema (2.14) puede escribirse:

{ }aJMFxKxCxM =++ &&& (2.15) M matriz de masas C matriz de amortiguamiento K matriz de rigidez JT = [1,1,1] vector con todos sus elementos igual a uno

Si bien la (2.15) fue deducida para un modelo de edificio cortante, es una expresin AB-SOLUTAMENTE GENERAL, inclusive para modelos de elementos finitos, y solo varan las formas de M, C y K. Para un modelo ssmico, la (2.15) se reduce a:

{ }aJMxKxCxM =++ &&& (2.16)

Y en caso general de prticos 3D, o modelos de elementos finitos, suele sustituirse x por D para indicar que cada GLD puede sufrir desplazamientos en 3 direcciones y respectivos giros.

{ }aJMFDKDCDM =++ &&&

(2.17)

Nota: en este ltimo caso, J llevar unos en las componentes a las cuales se quiera aplicar el acelerograma a, por ejemplo componente x: J = [1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,..,1,0,0,0,0,0,..,1,0,0,0,0,0] etc.

Captulo 3 Respuesta de un Oscilador Simple

3-1

CAPTULO 3 - RESPUESTA DE UN OSCILADOR SIMPLE

Ecuacin de movimiento y equilibrio dinmico Las caractersticas dinmicas de un oscilador de 1 GLD pueden estudiarse mediante un modelo no amortiguado con vibraciones libres, cuya ecuacin de movimiento es

0=+ xkxm && (3.1)

Fig. 3.1 - Modelo de 1 GLD, no amortiguado.

La vibracin, del modelo de la fig. 3.1, es inducida por algunas condiciones iniciales, sean desplazamiento, velocidad o aceleracin en el instante t = 0. Luego, durante las vibraciones no recibe ningn tipo de perturbacin. Dividiendo (3.1) por m y usando la notacin:

m

k=

2 ; m

k= (3.2)

se obtiene: 02 =+ xx && (3.3) es la pulsacin o frecuencia circular o simplemente frecuencia del modelo estudia-do. Viene expresada en radianes por segundo (1/s). La frecuencia cclica viene dada por

pi

2=f (3.4)

y se expresa en ciclos por segundo o hertz.


3-2

Finalmente, otra caracterstica es el perodo natural

fT1

= (3.5)

pi2=T (3.6)

La solucin general de la (3.1) o (3.3) puede escribirse:

( )+= tAx sen (3.7)

donde A es la amplitud del movimiento y el ngulo de fase. Los valores de A y se cal-culan a partir de las condiciones iniciales del problema, por ejemplo para

( ) 00 xx = ; ( ) 00 xx && = resulta:

202

0

+=

xxA &

0

0

x

xtan

&

=

Frmula de Geiger Sustituyendo

gG

m = G: peso de m g: aceleracin de la gra-

vedad

kGg

gGk 1

==

SGXkG

= : desplazamiento esttico producido

por el peso G en la direccin del grado de libertad entonces:

SGXg 1= (3.9)


3-3

SGXgT = pi2 (3.10)

Utilizando unidades de S.I. la (3.10) queda:

SGXT 00,2= (3.11)

con XSG expresado en metros para un peso G en Newton.

Caractersticas dinmicas con amortiguamiento El amortiguamiento puede definirse estudiando las vibraciones libres del modelo de la fi-gura 3-2:

Fig. 3.2 - Modelo de 1 GLD con amortiguamiento (vibraciones libres)

Si se toma la ecuacin (2.12) sin cargas ni aceleraciones de apoyo (vibraciones libres) y se divide por m se obtiene:

02 2 =++ xxx &&& (3.12)

m

c=2 (3.13)

la solucin de (3.12) est dada en la forma:

rtex = (3.14)

que proporciona la ecuacin caracterstica:


3-4

02 22 =++ rr (3.15)

Ya que (3.12) es una ecuacin diferencial de segundo orden, lineal, homognea a coefi-cientes constantes. Las soluciones de (3.15) son

0222,1 == r (3.16)

Segn sea el radicando 2 - 2 se encuentran tres tipos de amortiguamiento:

2-2 > 0 SUPERCRITICO: la estructura NO VIBRA 2-2 = 0 CRTICO: caso lmite = mrc 2= 2-2 < 0 SUBCRITICO: la estructura VIBRA con amplitud decreciente

Este es el caso ms frecuente en ingeniera civil, por lo que enfatizaremos su estudio. Para este caso (subcrtico), la cantidad (2 - 2) es negativa, lo que hace que (3.16) tenga races complejas:

01 22,1 == ir (3.17) con 1=i

Llamando frecuencia de vibracin amortiguada a:

21 =v

(3.18) se obtiene:

vir =2,1 (3.19)

vir =2,1 (3.20)

En las ecuaciones anteriores aparece la magnitud

m

m

c

c

r

22

== (3.21)


3-5

conocida como fraccin de amortiguamiento crtico (en estructuras corrientes 0.02


3-6

Los reglamentos brindan los coeficientes de amortiguamiento para cada tipo de estructura, pero puede obtenerse en forma experimental y con un mtodo relativamente simple:

Determinacin prctica de Para amortiguamientos bajos (del orden del 10% de crtico) la relacin entre dos picos su-cesivos puede aproximarse:

( )( )

( )( )+

+=

+ +

+1

11nv

tnv

t

mx

mx

tseneAtseneA

nx

nx

n

n

(3.24)

pero vnn

Ttt +=+1 ; con vvT pi2=

v

nntt

pi21 +=+ , entonces

( )( )

( )

++

+=

+

+

v

vnv

t

nvt

mx

mx

tsene

tsene

nx

nx

vn

n

pi

pi

212

(3.25)

( )( )

( )( )++

+=

+

pi

pi

21 2

nvt

nvt

mx

mx

tsenee

tsene

nx

nx

vn

n

( )( ) venx

nx

mx

mxpi 2

11

=

+ (3.26)

tomando logaritmo natural:

( )( ) [ ]venx nxmxmx

pi 2ln1

ln =

+ (3.27)

# notar que para amortiguamientos del orden de


3-7

211,0 ==v

=vv

995,0

Entonces

( )( ) pi21ln

mx

mx=

+nx

nx (3.28)

Para el caso de lecturas separadas por N ciclos:

( ) ( )[ ]N

Nnxnxpi

2

lnmxmx +

= (3.29)

Excitacin peridica En la figura 3-4 pueden observarse diversas funciones de carga. De stas, nos interesan por ahora, las peridicas y ms particularmente las excitaciones armnicas ya que mediante series de Fourier cualquier excitacin peridica puede llevarse a una suma de armnicas simples.

Fig. 3.4 - Tipos de cargas dinmicas. (a) armnica; (b) peridicas; (c) cuasi peridicas; (d), (e) fuerzas impulsivas; (f) carga dinmica general; (g) aceleracin ssmica del terre-

no.


3-8

Excitacin armnica Si la carga es de tipo:

( )tPP = sen0 Entonces, la ecuacin de movimiento ser:

( )tsenPxkxcxm =++ 0&&& (3.30)

: frecuencia de la excitacin

la (3.30) puede escribirse tambin:

( )tsenm

Pxxx =++ 022 &&& (3.31)

La solucin general de esta ecuacin viene dada por

phg xxx += (3.32)

trtrh ececx

2121 += (3.22)

Es la solucin de la ecuacin diferencial homognea.

tittith

vv eeceecx += 21 (3.33)

Utilizando matemtica para nmeros complejos, esta ltima ecuacin puede escribirse:

( )tctsencex vvth cos'' 21 += (3.34)

xp en la (3.32) es la solucin particular y lleva la forma

tBtAx p += cossen (3.35)


3-9

Derivando y reemplazando en (3.30) se obtienen las constantes A y B:

Denotando

= (3.36)

( ) ( )2222

0

211

+

=

kP

A (3.37)

( ) ( )2220

212

+

=

kPB (3.38)

Condiciones iniciales Para el caso en que ( ) 00 xx = ; ( ) 00 xx && = Pueden calcularse las partes correspondientes a la solucin particular (para t = 0)

( ) ( ) ( )2220

0 212

+

=

kP

x p (3.39)

( )( )

( ) ( )2222

00

211

+

=

kP

x p& (3.40)

Basados en stas y en (3.32) y (3.34) podemos plantear las siguientes ecuaciones:

( ) 020 '0 pg xcxx +== (3.41) ( ) 01000 '0 pvpg xcxxxx &&& +++== (3.42)

y despejarse c1 y c2:

[ ]00001 1' ppv

xxxxc

+= && (3.43)

002 ' pxxc = (3.44)


3-10

Forma de operar: 1- Se calculan 0px y 0px& con las 3.39 y 3.40

2- Se computan c1 y c2 con las 3.43 y 3.44 3- Se reemplaza todo en 3.32 y se tiene la respuesta en desplazamientos 4- Para obtener velocidades y aceleraciones se deriva la 3.32

Nota: la parte de la solucin correspondiente a la ecuacin homognea incluye el coefi-ciente e-t que es una funcin decreciente con el tiempo, por lo que se la denomina transi-toria y desaparece antes o despus segn sea el valor de . La estructura sigue vibrando con una frecuencia prcticamente igual a la de la excitacin . Esta parte de la solucin se denomina respuesta en rgimen.

Excitacin arbitraria. Integral de Duhamel Respuesta a un impulso elemental Dada una carga impulsiva como la de la fig. 3-4(d), para condiciones iniciales nulas, pue-de calcularse la velocidad y posicin al finalizar el impulso y a partir de ese instante se trata de un problema de vibraciones libres.

P()

F(t)d

i

ft

ck

P P() m

d

tg=fx&

if

t

x

Fig. 3.5 - Respuesta a un impulso dxxx if &&&& += ; ( ) mPx =&&

entonces: ( )

d

m

Px f =& (a)


3-11

por otra parte

( )221

dxdxxx if &&& ++= (b)

( )221

dxx f &&= (b)

Si d es muy pequeo, entonces (b) es despreciable frente a (a), es decir, luego de actuar un impulso la masa queda con velocidad pero prcticamente no se desplaza. La velocidad dada por (a) es la condicin inicial para las vibraciones libres siguientes.

Reemplazando sta en la (3.23), para un tiempo infinitesimal, se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )( )

=

tdm

Petdx v

v

t sen (3.45)

Si el sistema es lineal, pueden superponerse las respuestas de una sucesin de impulsos infinitesimales hasta el tiempo genrico t. La solucin dada por esta superposicin es conocida como Integral de Duhamel

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

dtsenePm

txt

vt

v

=

0

1 (3.46)

En el caso de excitacin ssmica, se transforma en:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

dtseneatxt

vt

v

=

0

1 (3.47)

Para el caso en que el problema tenga condiciones iniciales 00 x& y 00 x , la solucin se obtiene con el mismo procedimiento dado para las cargas armnicas, solo que la solucin particular vendr dada por (3.46) o (3.47).

Soluciones a la integral de Duhamel: (a) Para ciertas funciones de P() se encuentran tabuladas las primitivas de (3.46) y (3.47),

as como el mximo factor dinmico (FAD) y el instante de mxima respuesta.


3-12

(b) Para funciones aproximadas por trozos rectos, tambin se pueden encontrar solucio-nes exactas a dicha integral (punto 5.3.4 / pg. 154 / ref. [1])

(c) En el caso mas general se puede integrar numricamente utilizando alguno de los mtodos conocidos (Trapecios, Simpson, etc.)

Factor de amplificacin dinmica Es el coeficiente entre el mximo desplazamiento dinmico y el que producira la carga en forma esttica: ( )

estx

txFAD mx= (3.48)

Espectros ssmicos de respuesta Puede definirse el espectro d respuesta (para un acelerograma dado) como los mximos valores de la respuesta de un sistema, expresado en funcin del periodo propio. Esto es muy til para el diseo de estructuras donde solo los mximos son necesarios.

Para un sistema de 1 GLD: ( )tamxkxcxm =++ &&& (2.11)

La solucin a esta ecuacin viene dada por la ec. (3.47) y el mximo valor absoluto ser Sd. Reemplazando ( )

mxtxS d =

Puede obtenerse, para 1 GLD, la expresin exacta del espectro de desplazamientos. Deri-vando una y dos veces se obtienen las expresiones para velocidad y aceleracin:

( )mx

rv txS &= ; ( ) mxra txS &&=

(Ver ref. [1], cap. 5)


3-13

Fig. 3.6 - Espectro ssmico de respuesta para desplazamientos. Sd

No obstante pueden hacerse ciertas hiptesis que simplifican las expresiones obtenidas. Estas nuevas ecuaciones definen los Seudo espectros de respuesta.

Hiptesis simplificativas: i- en estructuras civiles, 0,002 < < 0,2, por lo que puede reemplazarse v por

ii- la funcin coseno que aparece en el espectro de velocidades (al derivar 3.47) puede reemplazarse, sin que ello implique grandes variaciones en los valores mximos, por una tipo seno

entonces:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]mx

tt

d dtseneas =

0

1, (3.49)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]mx

tt

v dtseneas = 0

, (3.50)


3-14

( ) ( ) ( ) ( )[ ]mx

tt

a dtseneas = 0

, (3.51)

definen los seudo espectros para desplazamientos, velocidades y aceleraciones. Es importante notar que:

dv Ss = (3.52) da Ss

2= (3.53)

Por lo que un espectro completo puede representarse en un grfico tipo logartmico como el de la figura 3-7.

Fig. 3.7 - Comparacin entre los espectros suavizados de Newmark y Hall, los espectros de diseo del UBC y los espectros elsticos para los registros de EL Centro y de la presa

de Pacoima.

La normativa argentina INPRES-CIRSOC 103 establece la accin ssmica como una fun-cin del seudo espectro de respuesta de aceleraciones Sa. Es por eso que solo aparecen gr-ficos del tipo de la fig. 3-9, que varan segn el tipo de suelo y la zona ssmica considera-da.


3-15

Fig. 3.8 - Espectro de diseo suavizado de Seed e Idriss (1982).

Fig. 3.9 - Seudo espectro y espectro de aceleraciones; (a) corresponde al acelerograma (1). (b) corresponde al acelerograma (2).


3-16

Integracin numrica de la ecuacin de movimiento Se trata de resolver en forma discreta la ecuacin de movimiento para 1 GLD dada por (2.8) y (2.11) utilizando ecuaciones en diferencias que permitan obtener x , x& y x&& en un instante t+t en funcin, nicamente, de los valores en el instante t. Existen varios mtodos para plantear las ecuaciones en diferencias antes mencionadas, pe-ro solo nos dedicaremos en profundidad al de Newmark, dado que es uno de los ms di-fundidos en software de anlisis dinmico mediante FEM.

Mtodo de Newmark (1 GLD) Fxkxcxm =++ &&& (3.54)

Fig. - 3.10

con ( ) ( )[ ]tamtfF +=

x&&

tix&&

ti ti+1 t

1+ix&&

ii ttt = +1

haciendo el cambio de variable

itt = ; t

puede suponerse que el valor de la aceleracin de respuesta en un instante se expresa como:

( ) ( )( )iii xxfxx &&&&&&&& += +1 (3.55)

f() =0 para = 0

1 para = t

integrando (3.55) se obtiene la expresin de la velocidad

( ) ( ) ( )++= +

0

1 dfxxxxx iiii &&&&&&&& (3.56)


3-17

( ) ( )=

0

dfg (3.57)

( )

=

0

dft (3.58)

La expresin (3.56) queda:

( ) ( ) ( ) gxxxxx iiii &&&&&&&& ++= +1 (3.59)

que para =t resulta

( ) txxtxxx iiiii ++= ++ &&&&&&&& 11 (3.60) ( )[ ] txxxx iiii ++= ++ 11 1 &&&&&& (3.61)

Para calcular los desplazamientos, se integra (3.59) y se obtiene

( ) ( ) ( )+++= +

0

1

2

2dgxxxxxx iiiii &&&&&&& (3.62)

particularizando para =t y llamando

( )=

0

2 dgt (3.63)

se obtiene la relacin final en diferencias, propuesta por Newmark

211 2

1txxxxx iiiii

+

++= ++ &&&&& (3.64)

Las ecuaciones (3.61) y (3.64) juntamente con la ecuacin de movimiento (3.54) permiten obtener aceleraciones, velocidades y desplazamientos en un instante t+t con solo conocer estas magnitudes en el instante t.


3-18

Los parmetros y surgen de un anlisis de estabilidad numrica que escapa a este curso (ver. ref. [1], [2] y [4]) pero pueden tomarse:

25,05,0

=

=

Desarrollo y forma operativa La ecuacin de movimiento (3.54) valuada en t=ti+1 toma la forma:

1111 ++++ =++ iiii Fxkxcxm &&& (3.65)

Reemplazando en sta los valores en diferencias dados por (3.61) y (3.64), agrupando los valores que permanecen constantes en cantidades denominadas por a0,, a7; se obtiene el algoritmo de integracin paso a paso.

A) clculos iniciales 1- determinar las propiedades de la estructura: m, c, k 2- inicializar 0x , 0x& y 0x&& utilizando, de ser necesario, la ecuacin (3.54) 3- seleccionar el paso de tiempo y los parmetros y

t ; ; t T/10 ; =0,5 ; =0,25 4- calcular las constantes:

20

1t

a

=

;

ta

=

1 ; t

a

= 1

2

121

3 = a ; 14 =

a ;

= 2

25 t

a

( )= 16 ta ; ta = 7 5- formar la rigidez efectiva

camakk 10 ++=

B) para cada paso de integracin 1- formar el trmino de carga efectiva en t+t

( ) ( )iiiiiiii xaxaxacxaxaxamFr &&&&&& 54132011 ++++++= ++ 2- resolver el desplazamiento en t+t


3-19

111

++ = rxk i

3- calcular aceleraciones y velocidades en t+t ( ) iiiii xaxaxxax &&&&& 32101 = ++

1761 ++ += iiii xaxaxx &&&&&&

Captulo 4 Respuesta Dinmica de una Estructura con Mltiples Grados de Libertad

4-1

CAPTULO 4 - RESPUESTA DINMICA DE UNA ESTRUCTURA CON MLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD

Ecuaciones de movimiento y equilibrio dinmico Como se vio en el Captulo 2 un modelo estructural dinmico esta dado por - discretizacin espacial (por ej. masas concentradas) - discretizacin temporal (por ej. Newmark)

En el Captulo 3 se estudio el modelo discreto ms sencillo (1 GLD) mientras que en la UT2 se plantearon (sin resolver) las ecuaciones de equilibrio dinmico para sistemas de mltiples GLD, utilizando el principio de DAlembert.

En general, el sistema de ecuaciones diferenciales es del tipo

( )tFDKDCDM =++ &&& (4.1)

En particular, para el caso ssmico:

{ }aJMDKDCDM =++ &&& (4.2)

Recordar que J es un vector con 1 en la posicin del GLD en el que acta la aceleracin de apoyo a(t).

Vibraciones libres Caractersticas dinmicas El sistema que gobierna las vibraciones libres en un sistema de mltiples GLD es

0=++ DKDCDM &&& (4.3)

Como ya se vio, el cambio de frecuencia propia debido a considerar o no el amortigua-miento, no es relevante para estructuras civiles corrientes, por lo que seguiremos el anli-sis con el sistema simplificado:


4-2

0=+ DKDM && (4.4)

Una solucin a este sistema puede ser de la forma

( )+= tsen AD (4.5) A: vector que contiene las amplitudes de las vibraciones : ngulo de fase

( ) ( )+= tsent AD 2&& (4.6)

reemplazada en (4.4) queda:

( ) ( ) 02 =+++ tsentsen AKAM { } ( ) 02 =+ tsen AMK (4.7)

para que haya vibraciones, 0, por lo que

( ) 0sen +t

y puede eliminarse de (4.7), quedando finalmente

{ } 02 = AMK (4.8)

Nos interesan las soluciones de A distintas de la trivial. La ecuacin (su resolucin) 4.8 representa un problema de autovectores y autovalores, en donde:

02 = MK (4.9)

Este determinante puede desarrollarse en la forma polinmica: 0... 21

422

221

2=++++

nn

nnn (4.10) obtenindose la ecuacin caracterstica.


4-3

Cuando K y M son definidas positivas (caso usual en estructuras civiles), de la ecuacin caracterstica se obtienen n soluciones positivas i2 y en consecuencia n valores i, siendo n el nmero de GLD de la estructura. Los valores i se denominan frecuencias propias o pulsaciones de la estructura y los n periodos propios se calculan

1,...ni2 ==i

iT pi

(4.11)

Siendo T1 el perodo correspondiente 1, que es la frecuencia de menor valor, ste se de-nomina periodo fundamental del sistema. Reemplazando cada i en la (4.8) se obtiene el correspondiente Ai que se denomina vector de forma modal o simplemente modo. Este vector modo contiene la forma que tomara la estructura en cada vibracin. Para ca-da frecuencia vibratoria, la forma modal ser diferente. Es importante notar que (4.8) se cumple para cualquier mltiplo de Ai, por lo tanto inferimos que no interesa la magnitud de las componentes de Ai sino la relacin existente entre ellas. Por esto es conveniente normalizar los distintos Ai.

Normalizacin de los modos 1. Por la mxima componente

dado

=

in

imx

i

i

a

a

a

M

M

1

A puede dividirse cada elemento por el aimx

imx

ii

a

A= (4.12)

=

in

i

i

M

M

1

1

modo i normalizado

2. Segn la matriz de masas ( ) 21* = iii MA (4.13)


4-4

Con [ ] iTiiM AMA=* (4.14)

Esta normalizacin permite asegurar la condicin

[ ] 1=iTi M (4.15)

Expresin que ser de suma importancia ms adelante.

Obtencin de los grados de libertad dinmicos No siempre todos los grados de libertad estticos que definen el comportamiento de la es-tructura tienen asociada masa, es decir que no son necesarios en el anlisis dinmico. Por ejemplo los prticos de las figuras 2-15 (f) y (h) que son analizados con modelos di-nmicos de menor orden que los respectivos estticos (GLE). Lo mismo se ve en la figura 2-16. La forma ms simple de reducir en nmero de grados de libertad sin perder precisin es mediante la:

Condensacin esttica de la matriz de rigidez Dada una estructura y su modelo esttico puede subdividirse la matriz de rigidez (as como el vector desplazamientos) de manera de separar las ecuaciones que tienen asociada masa (GLD) y las que no la tienen (GLE).

modelo dinmico2 x 2

m2

modelo esttico4 x 4

k1

k2

kvk1

d1

kvk2

m1

d2

d3 d4m

m

d2

d4

Fig. 4.1 - Condensacin esttica

Para el ejemplo de la figura 4-1, tenemos que, observando el vector desplazamientos est-ticos Ds podemos determinar que parte queremos eliminar y cuales grados de libertad de-seamos conservar como GLD.


4-5

=

e

s DD

D

D: vector con los GLD De: grados de libertad a eliminar

sssFDK = (4.1)

El sistema de ecuaciones esttico puede escribirse

=

eeFF

DD

KKKK

2221

1211 (4.16)

Como Fe representa las fuerzas en los grados de libertad a eliminar

0=e

F (4.17)

La segunda ecuacin (vectorial) de (4.16) puede, entonces, expresarse como

02221 =+ eDKDK (4.18)

de donde DKKD 21

122

=e

(4.19)

Desarrollando ahora la primera ecuacin de (4.16) tendremos

{ } FDKKKDK = 211221211 (4.20)

reordenando { } FDKKKK = 211221211- (4.21)

FDK = (4.22) donde K es la matriz de rigidez condensada y vale


4-6

211

221211 KKKKK

= - (4.23)

Finalmente el sistema dinmico de la fig. 4-1 estar representado matemticamente por

02222

=+

DMDK &&

=

4

2

dd

D (4.24)

Otra forma de obtener la matriz de rigidez del modelo dinmico es invirtiendo la matriz de flexibilidad de los GLE que tienen asociada masa. Este mtodo, si bien menos formal, puede ser de ms sencilla aplicacin para procedi-mientos manuales. Para nuestro ejemplo:

1

2212

2111

=

=

FK

F

m1

m2

1

1

Fig. 4-2 - Obtencin de K mediante F-1

Matriz de amortiguamiento Dado el sistema


4-7

( )tFDKDCDM =++ &&& (4.1)

solo nos resta conocer (para encarar la resolucin) la matriz C, puesto que en el apartado anterior se mostraron dos maneras de obtener K y sabemos (porque usamos un modelo discreto de masas concentradas) que:

=

n

i

m

m

m

L

O

MM

O

L

0

01

M (4.25)

Conviene definir matrices de amortiguamiento ortogonales, pero para esto debemos, pri-mero incursionar un poco en las condiciones de ortogonalidad de los modos propios.

Condiciones de ortogonalidad Las frecuencias y modos propios pueden ordenarse en matrices denominadas espectrales y modales, que son, respectivamente:

=

N

0

01O ; [ ]

n K21 ,= (4.26)

Puede demostrarse (ver ref. [1], [2], [3], [4]) que

0=jT

i i j (4.27)

Esta condicin para los modos puede extenderse a

0=jT

i M i j (4.28)


4-8

0=jT

i K i j (4.29)

Si los vectores i fueron normalizados segn (4.13) las condiciones de ortogonalidad y normalizacin pueden expresarse como una nica condicin de ortonormalidad

IM =T (4.30) *

T KK = (4.31)

donde I es la matriz identidad y K* es una matriz diagonal

=

*

*

*

*

1

n

i

k

k

k

O

O

K ; iT

iik K* = (4.32)

Matrices de amortiguamiento ortogonales Una de las hiptesis para lograr una representacin numrica del amortiguamiento de una estructura est dada por suponer que existe un mecanismo de disipacin uniforme de ener-ga. En tal caso puede desarrollarse una matriz de amortiguamiento que cumpla las condi-ciones de ortogonalidad respecto a la matriz modal. El amortiguamiento proporcional permite definir una matriz que sea proporcional a la de las masas, a la de rigidez o a ambas.

KMC 21 += (4.33)

La condicin de ortogonalidad:

0=jT

i C i j (4.34)

iiiT

i 2= C (4.35)


4-9

Los coeficientes 1 y 2 se calculan a partir de las ecuaciones anteriores (4.35) y (4.33)

[ ] iiiTi 221 =+ KM (4.36)

iiiT

iiT

i 221 =+ KM (4.37)

iii 2221 =+ (4.38)

Recordar que si la normalizacin de los autovectores i fue hecha segn (4.13) y (4.14) el producto

2ii

Ti = K (4.39)

Esto se debe a que la (4.8) puede expresarse para A = i y premultiplicarse por iT

[ ] 02 =iiTi - MK (4.40) 0

1

2=

43421 iT

iiiT

i MK (4.41)

Determinacin prctica de modos y frecuencias Este es, por s mismo, uno de los problemas ms complejos de la dinmica estructural. Generalmente no es necesaria la resolucin de todas las frecuencias y sus modos, sino que solo interesan las primeras q que representan las posibilidades ciertas de vibrar pues ne-cesitan menos energa de excitacin. Cuando el problema es de pocos GLD es posible resolver el determinante de (4.9) o (4.10) obtenindose las n i y luego los n i, donde n es el nmero de GLD. Para proble-mas con muchos GLD se utilizan tcnicas numricas (aproximadas) para obtener los pri-meros q pares de (i; i). En la mayora de los casos prcticos de ingeniera q


4-10

02 = AMAK (4.42) AMAK 2= (4.43)

Suponiendo un vector inicial A0 conocido (cercano a A)

01 AMAK 2= (4.44)

0-11 AMKA (4.45)

que lleva a la frmula de recurrencia

i-11i AMKA + (4.46)

Nota: una descripcin detallada de este mtodo puede encontrarse en [4], parte 11.2 Vector Iteration Methods, as como prueba de la convergencia del mtodo.

Procedimiento de clculo 1- Se propone un vector A0 inicial. Conviene que los valores correspondan a una defor-

mada suave, no obstante esto solo acelera la convergencia. 2- Se calcula

0-11 AMKA = (4.47) 3- Se normaliza A1 { } 211111 = AMAAA T

i=1 (4.48)

4- Se mejora la solucin

i-11i AMKA =+ (4.49) 5- Se normaliza la nueva solucin { } 211,111 ++++ = iTiii AMAAA (4.50) 6- Se calcula la frecuencia correspondiente 2

1

11

111

=

++

+++

iTi

iTii

AMAAKA

(4.51)


4-11

7- Se controla la convergencia

4 paso al vuelvese1

1

+

+NO

i

ii

TOL

(4.52)

SI

11

+=

iA ; 11 += i (4.53) Se obtuvo el primer autovalor y su correspondiente autovector.

Siempre: i ; 1iA ; 1 i

Obtencin de modos y frecuencias superiores El procedimiento es el mismo que para el modo 1, solamente debemos garantizar que el vector de arranque sea ortogonal a 1 Se supone que un vector inicial

=

=

n

jjjq

1

02 A (4.54)

que para hacerlo ortogonal a i le restamos la componente q1 1

1102

02 q* = AA (4.55)

Para determinar q1, premultiplicamos la (4.54) por [1T M] y aplicando las propiedades de ortogonalidad nos queda [ ] [ ]

=

=

n

jjj

T1

T1 q

1

02 MAM (4.56)

11

021

1

MAM

T

T

q = (4.57)

y en general

iT

i

iT

iiq

M

AM 0 1+= (4.58)

y para los vectores de arranque (ortogonales a los previamente calculados)

=

=

1

1

00i

jjjii q* AA (4.59)


4-12

Procedimiento: 1. Se estima Ai0k 2. Se calcula qi con (4.58) 3. Se calcula Ai*0k con (4.59) 4. Se sigue con el mtodo de Stodola propiamente dicho

Resolucin de las ecuaciones de movimiento en estructuras con mltiples GLD Descomposicin y superposicin modal Si bien desarrollaremos el mtodo para el caso ssmico, todo lo expuesto es valido para el caso general. La ecuacin que gobierna el comportamiento de una estructura de mltiples GLD es la

{ }aJMDKDCDM =++ &&& (4.2)

Las vibraciones libres no amortiguadas se estudian mediante

0DKDM =+&& (4.4)

al cual, segn lo expuesto en puntos anteriores, le corresponden n pares de frecuencias y modos que son solucin del sistema de ecuaciones algebraicas

[ ] 02 = MK (4.8)

Recordemos que los autovectores i son ortogonales respecto a las matrices de masa y ri-gidez. Es por esto que pueden formar una base completa para el espacio de los desplaza-mientos estructurales, es decir, es posible escribir ( )

=

=

n

iii ty

1D (4.60)


4-13

Donde yi(t) es un escalar funcin del tiempo a determinar, llamado respuesta generaliza-da. Sustituyendo (4.60) en (4.2) obtenemos

( ) ( ) ( ) atytyty ni

ii

n

iii

n

iii JMKCM =++

=== 111 &&& (4.61)

Premultiplicando (4.61) por un iT cualquiera, se cumple que:

*1

jTj

n

ii

Tj M==

=

jMM (4.62)

*1

jTj

n

ii

Tj K==

=

jKK (4.63)

Y si, como es habitual, se est frente a matrices de amortiguamiento proporcionales y or-togonales (ver punto 4.4)

*1

jTj

n

ii

Tj C==

=

jCC (4.64)

Entonces la (4.61) premultiplicada por un jT cualquiera queda como una ecuacin de 1 GLD

( ) ( ) ( ) ( )tatyKtyCtyM Tjjjjjjj JM=++ *** &&& (4.65)

Recordando que:

jjjjT

j C 2* == C (4.35)

2* jjj

Tj K == K (4.39)

Y dividiendo ambos miembros por jT

jjM M=*


4-14

( ) ( ) ( ) ( )j

Tj

Tj

jjjjjjta

tytyty

MJM

=++ 22 &&& (4.66)

Al valor

jT

j

Tj

jQ

MJM

= (4.67)

se lo denomina coeficiente de participacin modal.

Finalmente, el sistema (4.2), al ser proyectado segn la base formada por la matriz mo-dal = [1, n], queda en n ecuaciones diferenciales de 1 GLD, del tipo:

( ) ( ) ( ) ( )taQtytyty iiiiiii =++ 22 &&& (4.68)

Esta ecuacin puede resolverse con cualquiera de los mtodos vistos en la UT3. Una vez obtenidos los n yi(t), puede obtenerse la solucin estructural mediante (4.60). En general, los modos bajos son los que contienen menos energa elstica de deformacin y por ende los que ms contribuyen a la respuesta estructural. Usualmente ( ) ( )

=

=

q

iii tyt

1D ; q < n (4.69)

Procedimiento de clculo 1- Se determinan los q primeros modos y frecuencias 2- Se resuelven las q ecuaciones (4.68) i=1,q 3- Se obtiene la historia en el tiempo segn (4.69) y sus derivadas 4- Se obtienen las fuerzas elsticas, de inercia y de amortiguamiento para cada instante

Integracin directa de las ecuaciones de movimiento Como su nombre lo indica, este mtodo no requiere ninguna transformacin previa de las ecuaciones de movimiento. Consiste, bsicamente en obtener la solucin en una cierta can-tidad (discreta) de pasos de tiempo. Es por esto que tambin es llamada integracin paso a paso.


4-15

Como ya adelantamos, existen numerosas variantes y algoritmos para la integracin num-rica de las ecuaciones de movimiento, pero nuestros desarrollos estarn dados en el mto-do de Newmark. En esencia es igual al planteo dado en el Captulo 3, solo que en vez de tratarse de una ecuacin de 1 GLD se trata de un sistema de n GLD. Procedimiento de clculo A) Iniciales 1. Ensamblar las matrices M, C y K 2. Inicializar 0D , 0D& y 0D&&

3. Seleccionar el paso de tiempo y los parmetros y t Tmn/10 ; =0,5 ; =0,25

4. Calcular las constantes a0,a7 5. Formar la matriz de rigidez efectiva: CMKK 10 aa ++= (4.70)

B) Para cada paso de tiempo 1. Formar el trmino de carga efectiva en t+t (*1) ( )

( )iiiiiiii

aaa

aaa

DDDCDDDMFr&&&

&&&

541

32011

+++

+++= ++ (4.71)

2. Resolver el desplazamiento en t+t

11

++ = ii rDK (4.72) *1: el trmino ( ){ }taii JMFF +=+1 se refiere a fuerzas generalizadas 3. Calcular aceleraciones y velocidades en t+t ( ) iiiii aaa DDDDD &&&&& 32101 = ++ (4.73)

1761 ++ += iiii aa DDDD &&&&&& (4.74) # Notar que para cada paso de tiempo se debe resolver el sistema (4.72) lo que puede hacer excesivo el costo de clculo y almacenamiento.

Respuesta mxima utilizando espectros de respuesta Las ecuaciones desacopladas (4.68) pueden resolverse utilizando los espectros de respues-ta: la mxima aceleracin ser


4-16

( ) ( )iaimxi SQty =&& (4.75)

entonces, el mximo desplazamiento es

( ) ( )iai

ii S

Qty 2mx

= (4.76)

Podemos, entonces calcular los mximos desplazamientos (en todos los GLD) para el mo-do j:

( ) ( ) jaj

jjmxjj

jmx S

Qty 2 ==D (4.77)

( )2j

jaj

jmx

S

AD = (4.78)

Donde Aj es el vector de coeficientes de participacin modal correspondientes al modo de vibracin j. Puesto que el mximo en cada grado de libertad no se produce en el mismo instante, la respuesta total mxima no es la suma de los mximos de cada modo!!

=

q

i

imxmx

1DD (4.79)

Una forma muy utilizada (y precisa) de evaluar la respuesta mxima (desplazamientos, velocidades, aceleraciones y esfuerzos) como combinacin de los mximos modales es:

( )=

=

q

j

jmxmx

1

2RR (4.80)

denominada SRSS

Captulo 5 Anlisis de Construcciones con Efecto Dinmico de Viento

5-1

CAPTULO 5 - ANLISIS DE CONSTRUCCIONES CON EFECTOS DINMICOS DE VIENTO

flujoL(z)

T(z)

T(z): fuerza aerodinmica de empuje, paralela a la direccin del flujo L(z): fuerza aerodinmica de deriva, perpendicular a la direc-cin del flujo

Generalmente son dominantes las fuerzas de empuje, pero para ciertas estructuras: - bajo amortiguamiento - acusada flexibilidad (poca rigidez) - construcciones livianas (poca masa) las acciones perpendiculares de deriva pueden tener efectos significativos que deben ser contemplados en el anlisis. CIRSOC 102-1 procedimientos simplificados

Validez: a) construcciones prismticas o cuasiprismticas b) primer modo dominante y de forma aproximadamente lineal c) periodo fundamental T1 > 1 seg d) amortiguamiento < 0,01

Acciones paralelas a la direccin del viento (procedimiento basado en el factor de rfaga)

( )zxmax

( )zX max( )zx

( ) ( ) ( )zxzxzX maxmax += ( )zx : desplazamiento medio

( )zxmax : desplazamiento fluctuante debido a la turbulencia variable con el tiempo


5-2

Se define como factor de rfaga

( ) ( )( )zxzx

zG max+= 1

entonces

( ) ( ) ( )zxzGzX max =

Hiptesis bsicas para poder reemplazar la accin dinmica del viento turbulento por un procedimiento esttico equivalente.

a) Comportamiento elstico lineal de la estructura. b) El modo fundamental de vibracin es una funcin lineal de la altura. c) La contribucin de los modos superiores al primero en respuesta se considera

despreciable, por lo que G(z) = G = cte. d) La velocidad media del viento es promediada sobre intervalos de una hora. e) La variacin de la velocidad media del viento vara segn

( )0706,0

1,0

,0

,0

,00

10ln

ln

=

z

z

z

z

z

VzV i

i

i

V0: velocidad bsica de diseo (m/seg) z0,i: parmetro que depende de la rugosidad i z0,1: z0,i para rugosidad I (referencia)

Procedimiento de clculo I) Presiones

La presin dinmica que incluye el efecto de la turbulencia del viento se determina mediante

02' qccGq zz =

G: factor de rfaga cz: variacin por rugosidad y altura (art. 5.2.4.2, CIRSOC 102) c2: factor por cambio de tiempo en velocidad media

(Tabla 3/pg. 20, CIRSOC 102-1) q0: presin dinmica bsica (art. 5.2.3 , CIRSOC 102)


5-3

+

+=J

rBKG 234,11 se calcula mediante tablas y bacos que utilizan una serie de parmetros auxiliares

En cada nivel se comparar: NO se adopta qz para los esfuerzos qz > qz SI se adopta qz para los esfuerzos

CIRSOC 102 0qccq dzz =

II) Aceleraciones

( ) ( )zKzXX

max..

..

= (paralela al viento)

K fig. 13, CIRSOC 102-1 ( )z

X..

valor medio cuadrtico de las aceleraciones (pg. 21)

III) Verificaciones (paralelas al viento)

maxmaxXX

..

;

H

z

z

qo

q'

a- Dimensionado estructural b- Verificacin de confort con grficos y

tablas en funcin de maxmax XX..

, y T

c- Verificacin de deformaciones admisibles

350500HXH

max


5-4

La velocidad crtica del viento que produce el fenmeno de resonancia es

TSdVcr

=

d: ancho de la superficie maestra (puede ser variable)

S: n de Strouhal

0,30 a 0,25 prismas0,20 cilindros

T: perodo propio

TT

cr

cr

V////V

Si Vcr > 25 m/seg, entonces puede prescindirse del clculo de la resonancia.

De lo contrario:

Fuerzas de deriva: (a la velocidad crtica)

( ) dhzqzL cr =

08,0

: fraccin del amortiguamiento

= 2

2000613,0m

kNVq crcr

= crcr VV

Fuerzas de empuje: (a la velocidad crtica)

se admite distribucin uniforme ( ) dqGCTzT crEz == 8,0

CE: coeficiente global de empuje CIRSOC 102 G: factor de rfaga correspondiente a Vcr qcr con Vcr//

Las fuerzas L(z) y Tz obtenidas para la velocidad crtica (correspondientes al perodo per-pendicular y paralelo respectivamente) se suman de la siguiente manera:

( ) ( ) 22 zTzLzF += y se debe comparar con las correspondientes obtenidas con qz o qz dadas para la velocidad de diseo.


5-5

Criterios de confort en edificios que oscilan El confort de los ocupantes de los edificios de gran altura que soportan la accin del viento es un tema de primordial importancia en el diseo. La respuesta humana al movimiento oscilatorio de las construcciones abarca una extensa gama de reacciones, con efectos psicolgicos y fisiolgicos tales como mareos, ansiedad, molestias visuales o temor, llegando hasta nusea aguda. Por el contrario, otras persones sienten placer por el movimiento y la experiencia poco usual de estar en una construccin que oscila. Adicionalmente, las oscilaciones excesivas producen fisuracin de la tabiquera, rotura de vidrios de ventanas y cada de revestimien-tos, lo cual incide negativamente en el valor de una propiedad y su rentabilidad. Sin embargo, un edificio resultara demasiado costoso si se construye o equipa de modo que pueda soportar sin movimientos perceptibles una tormenta con vientos huracanados o un fuerte sismo. En consecuencia, los movimientos son casi inevitables y el problema del diseo consiste en mantenerlos dentro de los lmites aceptables para no perturbar el confort y el bienestar de los usuarios. Por otra parte, el costo del edificio no debe superar los valores normales de una aceptable economa. Los factores que pueden producir vibraciones en un edificio son numerosos, tales como maquinaria en funcionamiento defectuoso, paso de vehculos pesados por el lugar, impac-tos en rampas, vientos fuertes, sismos, etc. los cuales pueden variar durante la vida de ser-vicio de la estructura.

En general la aceleracin es el parmetro predominante para determinar aproximadamente la naturaleza de la respuesta humana a las vibraciones. Las curvas de la fig. 5.3.1 grafican los lmites de confort obtenidos del anlisis de un gran nmero de edificios altos, indican-do las mximas aceleraciones aceptables para diferentes frecuencias, dependiendo del uso o destino del edificio. Los datos se obtuvieron para las aceleraciones pico de las ms fuertes tormentas ocurridas durante un periodo de retorno de mas de 5 aos.


5-6

0.40

MU

Y

MO

LEST

O5%

de

g

1 2 3

0.10

0.20

0.30

INTO

LER

AB

LE15

% de

g

PERC

EPTIB

LE

0.5%

de g

NO SEPERCIBE

64 5 7 8T(seg)

109

MOL

ESTO

1.5%

de

g

( )mf

fig. 5.3.1 GRAFICA DE CONFORT

AMPLITUD DE OSCILACION EN FUNCION DEL PERIODO PARA DISTINTOS VALORES DE LA ACELERACION EN PORCENTAJE DE g


5-7

La tabla 5.3.1 a continuacin da idea de la magnitud de las percepciones que se obtuvieron en experimentos realizados para diferentes niveles de aceleraciones (segn Khan Parmelec y segn Chang).

TABLA 5.3.1 PERCEPCION HUMANA ACELERACION (m/seg2)

(segn Khan y Parmelec) No perceptible 0,004 g Levemente perceptible 0,004 g < 0,0075 g Perceptible 0,0075 g < 0,02 g Molesta 0,02 g <

(segn Chang) No perceptible 0,005 g Perceptible 0,005 g < 0,015 g Desagradable 0,015 g < 0,05 g Muy desagradable 0,05 g < 0,15 g Intolerable 0,15 g <


5-8

La sensacin subjetiva y el comportamiento humano afectado por las diferentes acelera-ciones se indica en la tabla 5.3.2 (segn Yamada y Goto).

TABLA 5.3.2 NIVEL DE PERCEPCION HUMANA

RANGO ACELERACION (m/seg2)

EFECTO

1 0,05 La gente no percibe el movimiento. 2 0,05 0,10 Las personas sensibles perciben el movimiento.

Los objetos colgantes pueden moverse algo. 3 0,10 0,25 La mayora de las personas perciben el movimien-

to. La oscilacin puede afectar el trabajo de ofici-na. La exposicin de larga duracin puede producir malestar.

4 0,25 0,40 El trabajo de oficina se vuelve difcil o casi impo-sible. Aun se puede caminar.

5 0,40 0,50 Se percibe fuertemente el movimiento. Hay difi-cultad para caminar normalmente. Las personas de pie pueden perder el equilibrio.

6 0,50 0,70 No se tolera el movimiento y no se puede caminar. 7 - 8 > 0,85 Los objetos caen y pueden lastimar a las personas.


5-9

0.15

2.5

ACE

LER

ACI

ON

m/se

g

510

0.01

0.11

1 PERIODO (seg)

1.5

4.4

1

10

0.1 %g

1.1 %g

1.5 %g

15 %g

44 %g

100 %g

fig. 5.3.2 GRAFICA DE CONFORT

INTERACCION DE LAS VARIABLES: PERIODO (T), AMPLITUD (f) Y ACELERACION (x)


5-10

GRADUACIN DEL EFECTO SOBRE LAS PERSONAS

ACEPTABILIDAD EN

EDIFICIOS

ESTADO PREVISIBLE

DE LA ESTRUCTURA

A INTOLERABLE

NO COLAPSO

B MUY POCO TOLERABLE

NO DAOS LOCALES

C DEMASIADO PERCEPTIBLE

SITUACION LIMITE

FORMACION DE

GRIETAS D MUY PERCEPTIBLE

EN TAREAS INDUSTRIALES

PESADAS

FORMACION DE

FISURAS E PERCEPTIBLE

EN PERIODOS BREVES EN VIVIENDAS

SIN INFLUENCIA EN ESTRUCTURAS

CORRIENTES F ESCASAMENTE PERCEPTIBLE

PERIODOS LARGOS

EN VIVIENDAS

SIN INFLUENCIAS

G NO PERCEPTIBLE

PERIODOS LARGOS

EN VIVIENDAS

SIN INFLUENCIAS

CUADRO ADJUNTO A GRAFICA DE LA fig. 5.3.2

Captulo 6 Anlisis de Construcciones con Efectos Ssmicos

6-1

CAPTULO 6 - ANLISIS DE CONSTRUCCIONES CON EFECTOS SISMICOS

Definicin numrica de la accin ssmica La definicin correcta de la accin ssmica es un problema al que se le debe dar la mayor importancia en un anlisis estructural ssmico. La solucin a este problema parte, generalmente, de los datos experimentales proporcio-nados por la sismologa.

Parmetros de terremotos pasados en una regin

Prediccin de las caractersticas ssmicas de los terremotos que afectarn dicha regin

Tradicionalmente, la fuerza destructiva de un terremoto ha sido expresada en funcin de la aceleracin mxima del terreno, pero se han observado daos moderados a aceleraciones muy altas. Por lo tanto, se deben tener en cuenta otras caractersticas: - intensidad, duracin - contenidos de frecuencias - secuencia de choques, etc. Por ejemplo, se han utilizado, adems de los valores mximos de la aceleracin, velocidad y desplazamiento del terreno, el espectro de amplitudes de Fourier, el espectro de seudove-locidades, intensidad espectral (Housner), el valor medio cuadrtico de las aceleraciones en la fase fuerte de un acelerograma, etc. Adems, la accin definida estar totalmente relacionada al tipo de anlisis estructural que se va a realizar:

Anlisis lineal desacoplamiento

modal

espectros de respuesta

Anlisis no lineal integracin

directa acelerogramas


6-2

# Tambin existen definiciones de acciones ssmicas a partir de la teora de procesos esto-csticos, en donde la respuesta estructural en s se obtiene probabilsticamente. No profundizaremos sobre estos temas, pues escapan a nuestro curso. (ver ref. [1 y 2])

Definicin mediante espectros de respuesta Es la forma ms usual de definir una accin ssmica, dado que se obtienen descripciones de las caractersticas ms importantes de la respuesta estructural sin la necesidad de dispo-ner de una historia en el tiempo de la excitacin y la respuesta. Otra ventaja es que un espectro puede modificarse en base a las caractersticas del lugar de emplazamiento de la estructura, sin necesidad de conocer los detalles de la excitacin.

Espectro de respuesta

representaciones grficas de valores aproximados de la respuesta mxima de un sistema de 1 GLD lineal y elstico:

( )taxxx =++ 2... 2 (2.11) ( ) ( ) ( ) ( )

max

tt

d dteaaS = sen1,,

0

(3.49)

( ) ( ) ,,,, aSaS dv = (3.52) ( ) ( ) ,,,, 2 aSaS da = (3.53) Puede realizarse un anlisis de las variaciones de los valores de las curvas Sd, Sv, Sa, en funcin de las caractersticas de la estructura.

Recordar que m

k=

Para frecuencias propias altas (en comparacin con la del movimiento del terreno), la (2.11) quedara (despreciando los dos primeros trminos):

( )

terreno)del mximan aceleraci la (copiaa S ; si

rgidasmuy sestructura

maxa

2

tax


6-3

suavizado y promediado de valores

Para frecuencias bajas, por el contrario, la (2.11) queda:

( )

terreno)del mximos entosdesplazami los (copiad S 0; si

flexiblesmuy sestructura

maxd

..

tax

Para frecuencias intermedias, se produce una amplificacin del movimiento del terreno en su paso a travs del filtro estructural. ( ) ( ) ( ) ;,;,;,

max

dd

max

v

v

max

a

a dS

Tv

ST

a

ST === (6.1)

Las condiciones locales del terreno, tales como grosor y propiedades de los estratos que se encuentran entre la roca firme y la estructura modifican los espectros de respuesta.

Conjunto de espectros de

respuesta registrados para

una regin

Espectros de

Diseo

INPRES CIRSOC 103 Parte 1 / Cap. 7

sa

1T 2T

gSa

b

Para = 0,05 (lnea llena) ( )

1TT

abaS ssa += T T1


6-4

bS a = T1 < T T2

32

2

=

TTbS a T2 < T

suelossmica zona

4 tabla,, 21 fTyTbas

Para casos con 0,005 < 0,05 (lnea a trazos) ( )

1TT

abfaS sAsa += T T1

bfS Aa = T1 < T T2

( )

+=

32

2211TTb

TTfS Aa T2 < T

fA: factor de amplificacin por amortiguamiento

%)en (expresado5=Af

Definicin mediante acelerogramas a) Acelerogramas reales

Basar un clculo ssmico en uno o varios registros disponibles en una zona implica un alto riesgo de definicin incorrecta de la accin.

b) Acelerogramas sintticos Tiene grandes ventajas respecto al anterior: - posibilidad de generar seales de corta duracin que tengan el mismo efecto en

las estructuras que el del terremoto real que se quiere simular economa computacional

- al estar generados en funcin de un espectro de diseo, se tiene en cuenta (aprox.) las condiciones locales del suelo

La generacin de acelerogramas sintticos requiere procedimientos matemticos basados en procesos estocsticos y expansiones en series sinusoidales.


6-5

Existen muchos procedimientos y algoritmos que permiten generar acelerogramas sintti-cos a partir de un espectro dado.

INPRES CIRSOC 103 (Parte 1 Cap. 14.3.1) Los acelerogramas deben satisfacer: a)

( )maxta

( ) dSmax ata aS: ordenada al origen del espectro correspon-diente d: factor de riesgo, art. 5.2

b) El espectro elstico (para = 0,05) deber cumplir:

CaS 0T

CArea

CALCULADO

0,05

DISEO

DaS 0T

DArea

0,05

Dd

C AreaArea

dDa

Ca SS 7,0

para todos los puntos

Cantidad de acelerogramas a emplear: Grupo A y B n 3 acelerogramas Grupo A0 n 4 acelerogramas

Para diseo y verificaciones se promediarn las envolventes de solicitaciones y deforma-ciones obtenidas para cada acelerograma, pero en dicho promedio no se incluirn valores inferiores al 85% del mximo encontrado.


6-6

Mtodos de anlisis segn INPRES CIRSOC 103

Procedimientos con fuerzas estticas equivalentes a) Mtodo esttico (art. 14.1) b) Procedimiento aproximado (cap. 16)

Mtodos dinmicos a) Anlisis modal espectral b) Superposicin modal paso a paso c) Integracin directa paso a paso

6... Mtodos dinmicos INPRES CIRSOC 103 a) Anlisis modal espectral

excitacin ssmica traslacional materiales lineales y elsticos (segn art. 12.1 / pg. 47) ( ) gSS daia =

aS : del espectro correspondiente

d: factor de riesgo g: aceleracin de la gravedad

se podr considerar capacidad de disipacin de energa por deformaciones anelsticas de la estructura

( )R

Sg

S daia =

- las deformaciones calculadas con este criterio debern ser amplificadas multiplicndolas por la ductilidad global

- para el caso anterior, es imprescindible que la estructura se comporte en forma uniforme, de manera de garantizar la ausencia de concentracin de rtulas plsticas

Se debe verificar que el corte (con anlisis modal espectral) en cada direccin no resulte inferior al 75% del corte obtenido con el mtodo esttico; de no verificarse se incrementa-ran los efectos del anlisis modal de la siguiente manera:


6-7

espectralmodal

espectralmodal0

est0

espectralmodal

75,0* R

VV

R

=

Modos a considerar: q 3, pero adems se debern incluir todos los modos cuya contribu-cin al total sea mayor que 5% de la contribucin del modo fundamental.

Modelo de edificio de cortante

rh

nxnk

rmrx

rk1-rx

2m

1m 1x

1k ( )ta

rw

{ }

=

=

=

=n

irir

n

rrir

iTi

Ti

im

m

Q1

2

11

MM

(6.1)

con

=

=

ni

ri

i

i

r

r

m

m

M

M

O

O

K 1

;

0

0

M

# observar que si en (6.1) se susti-tuye la masa mr por el peso wr el valor de Qi no cambia

si 1= iTi M

==

==

n

irir

n

iriri wmQ

11

Peso efectivo modal

=

=

=n

rrir

n

rrir

iw

w

1

2

2

1

W si

321

estructurala de totalpeso

119,0

==

n

ir

q

ii wW (6.4)

q apto

Desplazamientos modales mximos

( ) ( ) ( )2i

iaiimaxiimaxi

SQty

==x (6.5)


6-8

Desplazamientos modales relativos entre pisos

( ) ( )irirri xx 1= (6.6)

Fuerzas ssmicas equivalentes (modales)

modo :inivel r:

..

r

max

riS

ri mxF =

=

(6.7)

pero ( )maxiri

max

ri txx....

=

(6.8)

Como

( ) ( )iaimaxi SQtx =..

( )iairimax

ri SQx =

..

(6.9)

( )riairi

Sri mSQF =

( )r

iaii wg

SQ = (6.10)

fuerza ssmica equivalente en el nivel r para oscilaciones en el modo i

en funcin del peso wr y la fraccin de g

Vectorialmente:

( )iai

Ti

Ti

i

Sni

Sri

Si

Si S

F

F

F

=

=

MJMMF

M

M

1

Qi

(6.11)

( )iaiiSi SQ = MF

(6.11)


6-9

Cortante modal

En nivel

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