Estruct6
-
Upload
arides-de-los-santos -
Category
Documents
-
view
213 -
download
0
description
Transcript of Estruct6
-
1ETSII-UPM
Clculo matricial de estructuras reticulares planas con Matlab
Matemticas de la Especialidad (Mecnica - Mquinas)Madrid, 23 de octubre de 2000
Prof: Javier Garca de Jaln
ETSII-UPM
Estructuras reticulares planasq Hiptesis de partida:
La estructura est contendida en el plano vertical x-y, y la gravedad acta en la direccin negativa del eje y.
Todas las cargas exteriores y el peso propio actan en el plano de la estructura. Las deformaciones de la estructura son pequeas frente a las dimensiones. Se
puede por ello suponer que la posicin de equilibrio de la estructura deformada coincide con la posicin inicial. El equilibrio de fuerzas habra que plantearlo en la posicin final o deformada, que no es conocida, por lo que el problema se complicara muchsimo (se hace no lineal).
q Por tanto se supone que el problema es lineal y se aplica el Principio de Superposicin: Si se duplican las fuerzas, las deformaciones se duplican tambin. Las deformaciones que resultan de aplicar dos o ms sistemas de fuerzas
simultneamente son la suma de las deformaciones que resultan de aplicar cada sistema de fuerzas por separado.
Un problema lineal de estas caractersticas conduce a un sistema de ecuaciones lineales del tipo: [ ]{ } { }fxK =
ETSII-UPM
Datos necesarios para el clculoq Se presentarn por medio de un ejemplo sencillo:
=
072048
1548024
152400
COOR
=
65
64
54
53
52
42
32
31
21
BARS
1
2 4
3 5 6
1
2
3
4
5
6
78
9
24 24 24
15
{ }forces= 0 0 0 -10 0 0 0 0 0
{ }fixed= 1 2 12
{ }xcon= 0 0 0,E A
ETSII-UPM
Fichero de Datos para Matlab% fichero datos1.mCOOR=[0 0
2 32 04 34 06 36 08 0];
EA= 10E+07; %(kg/cm*cm)*cm*cm
BARS = [1 2 EA1 3 EA2 3 EA2 4 EA2 5 EA3 5 EA4 5 EA4 6 EA5 6 EA5 7 EA6 7 EA6 8 EA7 8 EA];
forces=[0 0 0 0 0 -30 0 0 ...0 0 0 0 0 -30 0 0]';
% grados de libertad fijosfixed=[1, 2, 16]';
% valores de los desplazamientos% conocidosxcon=[0, 0, 0]';
% factor de escala para dibujar la% deformadafac=300000;
% llamada al programa de clculoestruct
Coordenadas de los 8 nudos
Nudos y producto EA
para cada barra
Fuerzas que actan en los 8 nudos
Grados de libertad con
desplazamiento conocido
ETSII-UPM
Matriz de rigidez de la estructura
1
2
4
3 5 6
d8=1
k38
k48
k78
k88
k10,8
k12,8
k11,8
11 12 13 1 1
21 22 23 24 25 2 2
31 32 33 35 3 3
42 44 45 46 4 4
52 53 54 55 56 5 5
64 65 66 6 6
0 0 0
0
0 0
0 0
0
0 0 0
k k k x f
k k k k k x f
k k k k x f
k k k k x f
k k k k k x f
k k k x f
=
q Significado de la columna ide la matriz de rigidez [K]: fuerzas que mantienen un desplazamiento unidad segn el gdl i y cerosegn todos los dems gdl.
q Estas fuerzas pueden calcularse sumando las contribuciones de cada elemento:
[ ]{ } [ ]{ } { }i ii= =K x k x f
ETSII-UPM
Matriz de rigidez de un elemento [KE]
q Tiene la expresin general y significado fsico siguientes:
q Esta expresin general es difcil de calcular directamente para una barra en una posicin cualquiera.
dix
djxdiy
djy
i
j
x
y
=
jy
jx
iy
ix
jy
jx
iy
ix
ij f
f
f
f
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
dd
dd
44434241
34333231
24232221
14131211
-
2ETSII-UPM
Matriz de rigidez de un elemento [KL]q Si la barra est sobre el eje x, su matriz de rigidez es fcil de calcular
q Esta matriz puede transformarse ahora a unas coordenadas diferentes
x
y
dix=1
diy=1
djy=1
djx=1
LEA
-
LEA
LEA
-
LEA
1 0 1 0
0 0 0 0
1 0 1 0
0 0 0 0
ij
ijij
EA
L
- = -
K
ETSII-UPM
Cambio de coordenadas
q Relacin entre las coordenadas locales y generales:
q La ecuacin de equilibrio en coordenadas locales:
a
x
y
x
y
i
j
a x
y
x
y
x
xy
y
-
=
y
x
cossen
sencos
y
x
aaaa [ ]x c s x x
y s c y y
= - R
=
j
i
j
i
jjji
ijii
f
f
kk
kk
ETSII-UPM
Matriz de rigidez en coordenadas globales
=
j
i
j
i
jjji
ijii
f
f
R
R
R
R
kk
kk
0
0
0
0
=
=
j
i
j
i
j
i
jjji
ijii
f
f
f
f
R
R
R
R
R
R
kk
kk
R
R0
0
0
00
0
0
0T
T
T
T
=
R
R
kk
kk
R
Rkk
kk
jjji
ijii
jjji
ijii
0
0
0
0T
T
q Introduciendo el cambio de coordenadas para desplazamientos y fuerzas:
q Premultiplicando por la matriz de cambio de coordenadas traspuesta:
se obtiene finalmente, para la matriz de rigidez de la barra:
ETSII-UPM
Ensamblaje de la Matriz de Rigidezq Las matrices de rigidez de cada elemento se suman teniendo en
cuenta los grados de libertad que afectan a dicho elemento:
1
2 4
3 5 6
1
2
3
4
5
6
78
9
1 2 3 4
12
34
56
78
910
1112
5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 4
12
34
34
910
3 4 9 10
[ ]{ } [ ]{ } { }ii
= = k x K x f
ETSII-UPM
Resolucin del sistema de ecuaciones finalq En los gdl en los que se conocen las fuerzas (fc) se desconocen los
desplazamientos (xc) y viceversa:
q Desarrollando este sistema matricial de ecuaciones:
q De donde se puede obtener:
=
d
c
d
c
dddc
cdcc
f
f
x
x
kk
kk
( ) ( )1 \-= - -c cc c cd d cc c cd dx k f k x k f k x
ddddcdc fxkxk =+cdcdccc fxkxk =+
= +d dc c dd df k x k x
ETSII-UPM
Esfuerzos en las barrasq Para cada barra se pueden calcular las fuerzas en los nudos que
producen los desplazamientos ya calculados:
q A partir de estas fuerzas puede calcularse el esfuerzo axial proyectando sobre la barra:
fix
fjx
fiy fjy
i
j
x
y
a
{ } { }e e e = K x f
aa sencos iyix fff +=