Estructura de Los Materiales-Parte 3

1

POSICIONES, DIRECCIONES Y PLANOS

CRISTALOGRÁFICOS

2

La posición de un átomo se describe haciendo referencia a los ejes de

la celda unitaria y a las dimensiones de la celda.

Se muestran coordenadas de átomos en la celda enunciando las tres

distancias, separadas por comas.

1,1,1

0,1,1

0,1,1

x

y

z

POSICIONES CRISTALOGRÁFICAS

3

Ciertas direcciones son de particular importancia y son aquellas que

pasan por el centro de los átomos (direcciones cristalográficas).

Para denotar una dirección cristalográfica se emplean los índices de

Miller:

1. Usar un sistema coordenado de mano derecha

2. Determinar las coordenadas de dos puntos que estén en la

dirección

3. Restar las coordenadas de inicio al de la cola.

4. Eliminar las fracciones, hasta obtener enteros mínimos

5. Encerrar entre corchetes [ ].

6. Si se produce un signo negativo, representarlo con una raya sobre

el número

DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS

4

Obtener los indices de Miller de las siguientes direcciones:

z

x

y

011

1,1,0

0,1,0

1,0,1

011 0,0,1


5

z

x

y

100

1,1,0

0,1,0

1,0,1

Direcciones

paralelas

100 100

0,0,1


6


Generalmente no interesa el módulo del vector, sino sólo la dirección. La

notación de Miller retiene únicamente este aspecto. Los índices de

Miller se reducen a los enteros más pequeños posibles: h, k y l.

7

z

x

y

1,1,0

0,1,0

1,0,1

100 100

0,0,1


Direcciones

equivalentes <1,0,0>

8 x

y

z 101

1,1,0

0,1,0

1,0,1

110 101

0,1,1

1,1,1

Direcciones

equivalentes < 1 0 1 >

Diagonales de las caras de la celda


9

DIRECCIONES EQUIVALENTES

Una familia de direcciones es un grupo de direcciones

equivalentes, y se representa entre paréntesis inclinados < >.

10


< 1 1 1 >

11

[110] indicará un conjunto de direcciones paralelas.

Si se desea nombrar a todas las diagonales de las caras del cubo se

hará empleando la siguiente forma: <110>

<110> indicará una familia de direcciones e incluye a las paralelas, y

representará a todas las diagonales de las caras de la celda (del cubo)

como son:

[110]; [101]; [011]; etc.

Esta familia de direcciones, también se pudo haber denotado como:

<101>, <011>, etc.


12


13


14


[h k i l] h + k = -i

15


[h k i l] h + k = -i

16


[h k i l] h + k = -i

17


18

ANISOTROPÍA-ISOTROPÍA

Material Anisótropo ⇒ Propiedades dependen de la dirección

cristalográfica en la que se miden

Material Isótropo ⇒ Propiedades idénticas en todas las

direcciones

Material

Dirección

cristalográfica

[100]

Dirección

cristalográfica

[111]

Fe-α (BCC) 19.1 40.4

Cu (FCC) 9.7 27.8

Al (FCC) 9.2 11.0

Módulo Elástico E (GPa) en monocristales

19

z

x

y

Plano: A

Plano: B

Plano A // al plano B

Ejes x y z

Interceptos 1

El plano A (y B) es el:

(100)

PLANOS CRISTALOGRÁFICOS

Inversos 1/1 1/ 1/

Índices Miller 1 0 0

20

De la misma forma existen planos de relativa importancia en la celda

unitaria y que pasan por el centro de los átomos (planos

cristalográficos).

Para determinar los índices de Miller del plano A:

a) Seleccionar el plano B que no pase por el origen, que sea

paralelo al plano A.

b) Las intersecciones con los ejes son:

x = 1 y = z =

c) Los inversos:

x = 1 y = 1/ = 0 z = 1/ = 0

d) El plano A (y B) es el: (100)


21

FAMILIA DE PLANOS CRISTALOGRÁFICOS

22

FAMILIA DE PLANOS CRISTALOGRÁFICOS

23

Las cifras negativas se representan con una raya sobre el número.

(001) indicará un conjunto de planos paralelos.

{001} indicará una familia de planos que tienen algo en común, en este

caso las seis caras de la celda (del cubo).

{001} representará a los planos: (001), (010), (100).

De lo anterior se puede decir que:

{001} = {010} = {100}


24

Dibuje el plano (1 1 1)

z

x

y

(1 1 1)


25

Dibuje el plano (1 1 2)

z

x

y

2

1,0,0

(1 1 2)


26

Ahora dibuje el plano (1 0 2)

z

x

y

2

1,1,0

(1 0 2)


27

¿ El plano (020) es un plano cristalográfico en el sistema CS ?

y

z

x

0,2

1,0

(020)


28

El plano (020) no es un plano cristalográfico, pues no pasa por el

centro de los átomos en el sistema cúbico simple.

Si lo es en los sistemas BCC y FCC.


29

NOTA

En los sistemas cúbicos, un plano y una dirección que tengan los

mismos índices de Miller son perpendiculares:

( i j k ) [ i j k ]


30


(1 1 1) (1 1 1)

31


32


33


Determine los índices de Miller del

plano mostrado

(1011)

34

Es el número de átomos que cruzan una dirección en particular por unidad

de longitud. Para calcular el número de átomos la dirección debe pasar por

el centro del átomo, de lo contrario no se toma en cuenta para los cálculos.

Densidad de la dirección: [010]

DL = (número de átomos) / (longitud)

= (1/2 * 2) átomos / a0

= 1 átomo / a0

ao

DENSIDAD LINEAL: FCC

[ 010 ]

Y

X

Z

35

z

x

y

[010]

[110]

Densidad de la dirección: [110]

DL = (número de átomos) / (longitud)

= 2 átomos / 2 a0

= 2 átomos/a0 =1,41 átomos/a0

DENSIDAD LINEAL: FCC

a2

36

DENSIDAD LINEAL: BCC y FCC

BCC FCC

37

Es el número de átomos que se encuentran contenidos en un plano por

unidad de área.

Para el calculo se toman en cuenta aquellos átomos que son cortados

por sus centros.

Calcular la densidad de los planos (100) y (111) para el sistema FCC.

¿Cuál de ellos es el más compacto?

DENSIDAD PLANAR

38

Densidad del plano: (100)

DP = (número de átomos) / (área)

= (1/4 * 4 + 1) átomos / aO2

= 2 átomos / aO2

Plano

(100)

aO

aO

DENSIDAD PLANAR: FCC (100)

39

x

z

y

½ átomo está

en el plano

(180°)

1/6 de átomo está

en el plano

(60°)

DP(111) =

2

o2

o

2

o

a

átomos31,2

a2

3

átomos2

a24

3

átomos36

13

2

1

DENSIDAD PLANAR: FCC (111)

40

DEFORMACIÓN PLÁSTICA

La deformación plástica tiene lugar cuando planos de átomos se

deslizan entre ellos, desde una posición de equilibrio a nuevas

posiciones de equilibrio.

La deformación plástica es la deformación permanente y no se

recupera una vez retirado el esfuerzo que la produjo, al contrario que

las deformaciones elásticas.

ƒEl deslizamiento ocurre a lo largo de planos cristalográficos

específicos (fracción atómica planar mas elevada) y a lo largo de

direcciones preferentes (fracción atómica lineal mas elevada)

41

PLANO MAS COMPACTO EN BCC

Determine el plano más compacto en la red BCC

x

z

y

42

DENSIDAD PLANAR: BCC y FCC

BCC FCC

* Planos más compactos o de mayor densidad.

43

BCC

Planos compactos {011}

Direcciones compactas <111>

FCC

Planos compactos {111}

Direcciones compactas <110>

DIRECCIONES Y PLANOS COMPACTOS

44

Seis (6) planos compactos de la familia {110} que no son paralelos.

Cada plano compacto contiene 2 direcciones compactas pertenecientes

a la familia <111>.

DIRECCIONES Y PLANOS COMPACTOS: BCC

45

DIRECCIONES Y PLANOS COMPACTOS: BCC

46

Cuatro (4) planos compactos {111} no paralelos.

Cada plano compacto contiene 3 direcciones compactas <110>.

DIRECCIONES Y PLANOS COMPACTOS: FCC

47

DIRECCIONES Y PLANOS COMPACTOS: FCC

48

Red

cristalina BCC (CCCu) FCC (CCCa)

Planos

compactos {110}

6 en total

(no paralelos) {111}

4 en total

(no paralelos)

Direcciones

compactas <111>

2 por cada plano

compacto <110>

3 por cada

plano

compacto

DIRECCIONES Y PLANOS MAS COMPACTOS

49


Un plano compacto.

El plano compacto contiene tres direcciones compactas.

50


[ h k l ]: indica un conjunto de direcciones paralelas

< h k l >: una familia de direcciones que tienen algo en común

(direcciones equivalentes)

( h k l ): un conjunto de planos paralelos

{ h k l }: una familia de planos que tienen algo en común (planos

equivalentes)

51

Determine los índices de Miller de las direcciones A, B, C y D mostrados

en la celda cúbica de la Figura 1.

x

y

z

½, 1, 0

1, 0, ½

½, 1, 1 A

B

C

D

Figura 1

PROBLEMA

52

Determine los índices de Miller de los planos mostrados en la celda cúbica

de la Figura 2.

1, ½, 0 x

y

z

0, 1, ½

0, ½, 0

½, 0, 1

Figura 2

PROBLEMA

53

Determinar la distancia que existe entre los planos más compactos en la

estructura BCC.

x

y

z

(1 1 0)

(1 1 0)

PROBLEMA

54

Determinar la distancia que existe entre los planos más compactos en la

estructura BCC.

x

y

z

o)110()110( a2

2DciatanDis x

y z D

(110)

PROBLEMA

a

55

Para calcular la distancia entre dos planos paralelos ( i j k ) se puede

emplear la siguiente fórmula desarrollada sólo para estructuras

cristalinas cúbicas cuyo parámetro de red es “a”:

222

o)kji(

kji

aD

oo

222

o)110( a

2

2

2

a

011

aD

Donde:

ao = es el parámetro de red

i, j, k = son los índices de Miller del plano

PROBLEMA

56

DIFRACCIÓN DE RAYOS X

La difracción de rayos X se emplea para identificar la estructura

cristalina de los materiales.

Los átomos y los iones tienen un tamaño del orden de 0,1 nm.

La zona del espectro electromagnético con una longitud de onda en

ese rango es la radiación X.

57


(Ecuación de Bragg)

58


Para que tenga lugar la difracción, los haces de rayos X dispersados

por planos adyacentes del cristal deben estar en fase.

Donde:

= longitud de onda

d = es el espaciamiento entre planos atómicos adyacentes

= es el ángulo de Bragg.

2 = es el ángulo de difracción. Se mide experimentalmente.

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