Universidad “Fermín Toro”Vice-Rectorado Académico

Escuela de Ingeniería Mecánica Cabudare

Nombre

Omar Mendoza

C.I: 20.670.309

Saia Seccion E

1.Dadoslos conjuntos :X={2 ,3 ,0 ,−1 ,−9 ,−6 ,−2,7 ,1 ,5 ,8 ,9 },Y={3 ,−2 ,−6 ,5 ,1 ,0 ,2 ,5 ,−4 ,−34 ,6 ,7 ,9 }y larelaciónR1={(x , y )/(x , y)XxY ,2 y=−3x−6 }

Solución

X={−9 ,−6 ,−2 ,−1,0,1,2,3,5,7,8,9}

Y={−6 ,−4 ,−3 ,−2,0,1,2,3,4,5,6,7,9 }

Para x=−9

2 y=−3 (−9 )−6=¿27−6=¿21

2 y=21

Y=212

Para x=−6

2 y=−3 (−6 )−6=¿18−6=¿12

2 y=12

Y= 122

=6

¿>(−6,6)∈R1

Para x=−2

2 y=−3 (−2 )−6=¿6−6=¿0

2 y=0

Y=02=0=¿(−2,0)∈ R1

Para x=−1

2 y=−3 (−1 )−6=¿3−6=¿−3

2 y=3

Y=−32

Para x=0

2 y=−3 (0 )−6=¿0−6=¿−6

2 y=−6

Y=−62

=−3

¿>(0 ,−3)∈R1

Para x=1

2 y=−3 (1 )−6=¿−3−6=¿−9

2 y=−9

Y=−92

Para x=2

2 y=−3 (2 )−6=¿−6−6=¿−12

2 y=−12=¿Y=−122

=−6

¿>(2 ,−6)∈R1

Para x=5

2 y=−3 (5 )−6=¿−15−6=¿21

2 y=−21

Y=−212

Para x=7

2 y=−3 (7 )−6=¿−21−6=¿−27

2 y=−27

Y=−272

Para x=8

2 y=−3 (8 )−6=¿−24−6=¿−30

2 y=−30

Y=−302

=−15

Asi que viene dada por

R1¿{(−6,6) ,(−2,0) ,(0 ,−3) ,(2−6)}

b) representación matricial

R1 -6 -4 -3 -2 0 1 2 3 4 5 6 7 9-9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0-2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 05 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 08 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 09 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Sabemos que R1 ¿{(−6,6) ,(−2,0) ,(0 ,−3) ,(2−6)}

6

5

4

3

2

1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

R1X Y

-9 -6-6 -4 c) dom(r1)={-6,-2, 0, 2}-2 -3 rang(r1)={-6,-3, 0, 6}-1 -20 01 12 23 34 45 57 68 79 9

Para 𝑼 = ℤ , 𝑿 = {𝟐, 𝟑, 𝟒, −𝟐, −𝟓, −𝟑, 𝟎, −𝟒, −𝟖 𝟓, 𝟔, 𝟕},𝒀 = {𝟏𝟎, −𝟐𝟐, −𝟓𝟎, −𝟑𝟎, −𝟏𝟐, −𝟓, 𝟏𝟓, 𝟐𝟎, 𝟒 𝟏𝟏, 𝟏𝟐, 𝟏𝟑, 𝟏𝟒},Escribir los elementos de la relación 𝑹2 ⊂ 𝑿 × 𝒀, donde𝒙𝑹2𝒚 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝒙 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆 (𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆) 𝒂 𝒚.a) Hallar Representación matricial, cartesiana y sagital de𝑹2

b) Dominio y rango de 𝑹2

para u= Z

x={−8 ,−5 ,−4 ,−3 ,−2,0,2,3,4,5,6,7 }

y={−50 ,−30 ,−22 ,−12 ,−5,4,10,11,12,13,14,15,20}

R2¿{(x , y )∈ XxY / xR2 y x divideexactamente a y } Los elementos de R2 son

R2={(-5,50),(-5,30),(-5,-5),(-5,10),(-5,15),(-5,20),(-4,-12),(-4,4),(-4,12),(-4,20), (-3,-30),(-3,-12),(-3,12),(-3,15),(-2,50),(-2,-30),(-2,-22), (-2,12),(2,4),(2,10),(2,12),(2,14),(2,20),(4,-22),(4,-12),(4,4),(4,12),(4,20),(5,-50), (5,-30),(5,-5),(5,10),(5,15),(5,20),(6,-30),(6,-12),(6,12),(7,14)

R2

X Y

-8 50 Dom(R2) {-5,-4,-3,-2,3,4,5,6,7}

-5 30 rang(R2){-50,-30,-22,-12,-5,4,10,12,13,14,15,20}

-4 -22-3 -12-2 -5 0 4 3 10 4 11 5 12 6 13 7 14

15 20

3. Sean 𝑿 = {𝟎, 𝟏, −𝟔, −𝟒, 𝟏𝟎, −𝟕, 𝟓, 𝟒, −𝟏, 𝟐} , 𝒀 ={−𝟑, −𝟔, 𝟎, 𝟏, −𝟓, −𝟐, −𝟏, 𝟑, 𝟐, 𝟒, 𝟓} y 𝒁 =

M2 -50 -30 -22 -12 -5 4 10 11 12 13 14 15 20-8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-5 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1-4 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1-3 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0-2 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 04 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 15 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 16 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

{−𝟒, 𝟎, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏, 𝟐, 𝟏, 𝟓, 𝟔, −𝟓, −𝟐, −𝟔, −𝟑, 𝟑, 𝟕} y sean R y S las relaciones𝑹 ⊂ 𝑿𝐱𝐘: 𝐱𝐑𝐲 ⇔ (−𝟑𝐱 + 𝟓𝐲)𝐞𝐬 𝐩𝐚𝐫𝑺 ⊂ 𝒀𝐱𝐙: 𝐲𝐒𝐳 ⇔ (𝟓𝐲 − 𝐳)𝐞𝐬 𝐩𝐚𝐫a) Hallar los elementos de R, Sb) 𝑺 ∘ 𝑹 y 𝑹−𝟏 ∘ 𝑺−𝟏Solución:X={−7 ,−6 ,−4 ,−1,0,1,2,4,5,10 }Y={−6 ,−5 ,−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3,4,5}Z={−6 ,−5 ,−4 ,−3 ,−2,0,1,2,3,4,5,6,7,10,11 }

a) Se busca los elementos de R

Pa ra x=−7=¿−3 (−7 )+5 y=¿21+5 y

Y=−6=¿21+5 (−6)=¿21−30=−9Y=−5=¿21+5 (−5 )=¿21−25=−4=¿(−7 ,−5)∈RY=−3=¿21+5(−3)=¿21−15=6=>(−7 ,−3)∈RY=−2=¿21+5(−2)=¿21−10=11Y=−1=¿21+5(−1)=¿21−5=16=>(−7 ,−1)∈RY=0=¿21+5(0)=¿21+0=21Y=1=¿21+5 (1 )=¿21+5=26=¿ (−7,1)∈ RY=2=¿21+5 (2 )=¿21+10=31Y=3=¿21+5 (3 )=¿21+15=36=¿(−7,3) ∈RY=4=¿21+5 (4 )=¿21+20=41Y=5=¿21+5 (5 )=¿21+25=46=¿ (−7,5)∈RPara x=−6=¿−3 (−6 )+5 y=¿18+5 y Como 18 es un número par para que 18+5y sea necesariamente 5y tiene que ser par

¿> y=−6 , y=−2 , y=0 , y=2, y=4 Caso 1

Asi(−6 ,−6) ,(−6 ,−2) ,(−6 ,0) ,(−6 ,2)(−6 ,4)∈R

Para x=−4=¿−3 (−4 )+5 y=¿12+5 yComo 12 es un número par para que 12+5y sea necesariamente 5y tiene que ser par

¿> y=−6 , y=−2 , y=0 , y=2, y=4

Asi(−4 ,−6) ,(−4 ,−2) ,(−4 ,0), (−4 ,2)(−4 ,4)∈R

Para x=−1=¿−3 (−1 )+5 y=¿3+5 yComo 3 es un número impar para que 3+5y sea necesariamente 5y tiene que ser par

¿> y=−5 , y=−3 , y=−1 , y=1 , y=3 , y=5 Caso 2

Asi(−1 ,−5) ,(−1 ,−3) ,(−1 ,−1) ,(−1 ,1)(−1 ,3) ,(−1 ,5)∈R

Para x=0=¿−3 (0 )+5 y=¿0+5 yComo 0 es un número par para que 12+5y sea necesariamente 5y tiene que ser par y los valores de y serían los del caso 1

¿> y=−6 , y=−2 , y=0 , y=2, y=4

Asi(0 ,−6) ,(0 ,−2) ,(0 ,0) ,(0 ,2)(0 ,4)∈R

Para x=1 , x=5 se puededecir analogamente obtenidolos valores de y segun los caso 2 que son los impares2 que son los impares

Asi (1 ,−5 ) , (1 ,−3 ) , (1 ,−1 ) , (1 ,1 ) (1 ,3 ) , (1,5 ) ,(5 ,−5) ,(5 ,−3), (5 ,−1),(5 ,1)(5 ,3) ,(5 ,5)∈ R

para x=2 , x=4 , x=10 se puededecir analogamenteobtenido los valores de y segun los caso1 que son los pares

Asi (2 ,−6 ) , (2 ,−2 ) , (2 ,0 ) , (2 ,2 ) (2,4 ) , (4 ,−6 ) , (4 ,−2 ) , (4 ,0 ) , (4 ,2 ) (4 ,4 ) , (10 ,−6) ,(10 ,−2) ,(10 ,0), (10 ,2)(10 ,4)∈R∈R

Luego R viene dada por

R={(−7 ,−5),(−7 ,−3),(−7 ,−1),(−7,1),(−7,3),(−7,5),(−6 ,−6 ) , (−6 ,−2 ), (−6 ,0 ) ,(−6 ,2)(−6 ,4),(−4 ,−6 ) , (−4 ,−2 ) , (−4 ,0 ) , (−4 ,2 ) (−4 ,4 ) ,(−1 ,−5) ,(−1 ,−3) ,(−1 ,−1) ,(−1 ,1)(−1 ,3),¿),(0 ,−6 ) , (0 ,−2 ) , (0 ,0 ) , (0 ,2 ) (0 ,4 ) , (1 ,−5 ) , (1 ,−3 ) , (1 ,−1 ) , (1,1 ) (1,3 ) , (1 ,5 ) ,(5 ,−5),(5 ,−3) ,(5 ,−1) ,(5 ,1)(5 ,3),(5 ,5),(2 ,−6 ) , (2 ,−2 ) , (2 ,0 ) , (2 ,2 ) (2,4 ) , (4 ,−6 ) , (4 ,−2 ) , (4 ,0 ) , (4 ,2 ) ( 4 ,4 ) , (10 ,−6) ,(10 ,−2) ,(10 ,0), (10 ,2)¿)}

Elemento de S

Para y=−6=¿5(−6)=−30−Z

Como 30 es par entonces Z tiene que ser par

Así queZ=−6 , Z=−4 , Z=−2 , Z=0 , Z=2 , Z=6 , Z=10

{(−6 ,−6) ,(−6 ,−4) ,(−6 ,−2),(−6,0),(−6,2) ,(−6,6) ,(−6,10)}∈S

Análogamente para Y=−2 ,Y=0 ,Y=4

{ (−2,−6 ) , (−2 ,−4 ) , (−2 ,−2 ) , (−2 ,0 ) , (−2 ,2 ) , (−2,6 ) , (−2,10 ) , (0 ,−6 ) , (0 ,−4 ) , (0 ,−2 ) , (0,0 ) , (0,2 ) , (0,6 ) , (0,10 ) ,(4 ,−6) ,(4 ,−4) ,(4 ,−2) ,(4,0) ,(4,2) ,(4,6),(4,10)}∈S

Para y=−5=¿5(−5)=−25−Z

Como -25 es par entonces Z tiene que ser impar

Z=−5 , Z=−3 , Z=1 , Z=3 , Z=5 , Z=7 , Z=11

{(−5 ,−5 ) , (−5 ,−3 ) , (−5,1 ) , (−5,3 ) , (−5,5 ) , (−5,7 ) , (−5,11) }

Entonces análogamente para y=−1, y=1 , y=3 , y=5

Quedara

Así {(−1 ,−5 ) , (−1 ,−3 ) , (−1 ,1 ), (−1 ,3 ) , (−1 ,5 ) , (−1,7 ) , (−1 ,11 ),(1 ,−5 ) , (1 ,−3 ) , (1,1 ) , (1,3 ) , (1,5 ) , (1,7 ) , (1,11 ),

(3 ,−5 ) , (3 ,−3 ) , (3,1 ) , (3,3 ) , (3,5 ) , (3,7 ) , (3,11),(5 ,−5 ) , (5 ,−3 ) , (5,1 ) , (5,3 ) , (5,5 ) , (5,7 ) , (5,11) }∈S

Luego S Viene dada por

S={(−6 ,−6 ) , (−6 ,−4 ) , (−6 ,−2 ) , (−6,0 ) , (−6,2 ) , (−6,6 ) , (−6,10 ) (−2 ,−6 ) , (−2 ,−4 ) , (−2 ,−2 ) , (−2 ,0 ) ,(−2 ,2 ) , (−2,6 ) , (−2,10 ) , (0 ,−6 ) , (0 ,−4 ) , (0 ,−2 ) , (0,0 ) , (0,2 ) , (0,6 ) , (0,10 ) ,(4 ,−6) ,(4 ,−4) ,(4 ,−2), (4,0) ,(4,2) ,(4,6) ,(4,10),(−5 ,−5 ) , (−5 ,−3 ) , (−5,1 ) , (−5,3 ) , (−5,5 ) , (−5,7 ) , (−5,11),(−1 ,−5 ) , (−1 ,−3 ) , (−1,1 ) , (−1,3 ) , (−1,5 ) , (−1,7 ) , (−1,11 ),(1 ,−5 ) , (1 ,−3 ) , (1,1 ) , (1,3 ) , (1,5 ) , (1,7 ) , (1,11 ),(3 ,−5 ) , (3 ,−3 ) , (3,1 ) , (3,3 ) , (3,5 ) , (3,7 ) , (3,11),(5 ,−5 ) , (5 ,−3 ) , (5,1 ) , (5,3 ) , (5,5 ) , (5,7 ) , (5,11)}

b¿ SoR {={(−7 ,−5) ,(−7 ,−3),(−7 ,−1) ,(−7,1),(−7,3) , (−7,7 ) , (−7,11) , (−6 ,−6 ) , (−6 ,−4 ) , (−6 ,−2 ) , (−6,0 ) , (−6,2 ) , (−6 ,6 ) , (−6,10 ) , (−4 ,−6 ) ,(−4 ,−4 ) , (−4 ,−2 ) , (−4,0 ) , (−4,0 ) , (−4,2 ) , (−4,6 ) , (−4,10 ) , (1,5 ) , (1,7 ) , (1,11) , (2 ,−6 ) , (2,−4 ) , (2 ,−2 ) , (2,6 ) , (2,10 ) , (4 ,−6 ) , (4 ,−2 ) ,(4,6),(4,10), (5−5) ,(5−3) ,(5,1) ,(5,3),(5,7),(5,11) ,(10−6) ,(10 ,−4) ,(10 ,−2) ,(10,0) ,(10,2) ,(10,6) ,(10,10)}

(SoR )−1

Por teorema se obtiene que R−1o S−1=(SoR )−1 quedando de la siguiente manera

(SoR )−1 {(−5 ,−7) ,(−3 ,−7),(−7 ,−1) ,(1 ,−7) ,(3 ,−7) ,(5 ,−7)(−6 ,−6),(−2 ,−6) ,(0 ,−6),(2,−6) ,(4 ,−6) ,(−6 ,−4 ),(−2 ,−4 ),(0 ,−4 ) , (2 ,−4 ) , (4 ,−4 ) , (−5 ,−1 ) (−3 ,−1 ) , (1 ,−1 ) , (1,−1 ) , (3 ,−1 ) , (5 ,−1 ) , (−6,0 ) , (−2,0 ) , (0,0 ) , (2,0 ) , (4,0 ) , (−5,1 ) , (−3,1 ) , (−1,1 ) ,(1,1 ) , (3,1 ) , (5,1 ) , (−6,2 ) , (−2,2 ) , (0,2 ) , (2,2 ) , (4,2 ) (−6,4 ) , (−2,4 ) , (0,4 ) , (2,4 ) , (4,4 ) , (−5,5 ) , (−3,5 ) , (−1,5 ) , (1,5 ) , (3,5 ) , (5,5 ) , (−6,10 )(−2,10) ,(0,10) ,(2,10) ,(6,10),(10,10)

4. Sean 𝑿 = {𝟎, 𝟏, −𝟏, 𝟐} , 𝒀 = {−𝟐, −𝟑, 𝟐, 𝟒, 𝟓} y 𝒁 = {−𝟑, −𝟒, 𝟑, 𝟕} y sean R y S

las relaciones𝑹 ⊂ 𝑿𝐱𝐘: 𝐱𝐑𝐲 ⇔ (𝐱 + 𝐲)𝐞𝐬 𝐧𝐮𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐩𝐫𝐢𝐦𝐨𝑺 ⊂ 𝒀𝐱𝐙: 𝐲𝐒𝐳 ⇔ (𝐲 + 𝐳)𝐞𝐬 𝐩𝐚𝐫a) Hallar los elementos de R, S y 𝑺 ∘ 𝑹

b) Representación matricial de R y S

Solución X={−1,0,1,2}, y={−3 ,−2,2,4,5 ,}, z={−4,3,3,7 }

A ) elementos de R

Para x=−1Y=−3=¿−1−3=−4 Y=−2=¿−1−2=−3 Y Y=2=¿−1+2=1Y=4=¿−1+4=3=¿(−1,4 )∈RY=5=¿−1+5=4

Para x=0Y=−3=¿0−3=−3 Y=−2=¿0−2=−2 Y Y=2=¿0+2=2=¿(0 ,2)∈RY=4=¿0+4=4Y=5=¿0+5=5=¿(0 ,5)∈R

Para x=1

Y=−3=¿1−3=−2 Y=−2=¿1−2=−1 Y Y=2=¿1+2=3=¿(1 ,2)∈RY=4=¿1+4=5=¿(0 ,5)∈R

Y=5=¿1+5=6

Para x=2

Y=−3=¿2−3=−1 Y=−2=¿2−2=0 Y Y=2=¿2+2=4Y=4=¿2+4=6Y=5=¿2+5=7 ¿>(2,5)∈ R

Entonces RR{(-1,4),(-1,5),(0,2),(0,5),(1,2),(1,4),(2,5)}

Entonces los elementos de S Sera

Para y=−3

Z=−4=¿−3−4=−7 Z=−3=¿−3−3=−6=¿(−3 ,−3)∈S Y Z=3=¿−3+3=0=¿(−3 ,3)∈SZ=7=¿−3+7=4=¿(−3 ,−7)∈S

Para y=−2

Z=−4=¿−2−4=−6 ¿>(−2 ,−4)∈S Z=−3=¿−2−3=−5 Y Z=3=¿−2+3=1Z=7=¿−2+7=5

Para y=2

Z=−4=¿2−4=−2 ¿>(2 ,−4)∈S

Z=−3=¿2−3=−1 Y Z=3=¿2+3=5Z=7=¿2+7=9

Para y=4

Z=−4=¿4−4=0 ¿>(4 ,−4)∈S Z=−3=¿4−3=1 Y Z=3=¿4+3=7Z=7=¿4+7=11

Para y=5

Z=−4=¿5−4=9 Z=−3=¿5−3=2=¿(5 ,−3)∈S Y Z=3=¿5+3=8=¿(5 ,3)∈SZ=7=¿5+7=12=¿(5 ,7)∈S

Asi que S viene dada por

S={(-3,-3),(-3,3),(-3,7),(-2,-4),(2,-4),(4,-4),(5,-3),(5,3),(5,7)}

Entonces será queR{(-1,4),(-1,5),(0,2),(0,5),(1,2),(1,4),(2,5)}S={(-3,-3),(-3,3),(-3,7),(-2,-4),(2,-4),(4,-4),(5,-3),(5,3),(5,7)}

SoR={(-1,-4),(-1,-3),(-1,3),(-1,7),(0,-4),(0,-3),(0,3),(0,7),(1,-4),(2,-3),(2,3),(2,7)}

b) representación matricial de R

Mr=

-3 -2 2 4 5

−10 0 0 1 1001020

0 1 0 10 1 1 00 0 0 1

Representación matricial de SMs=

-4 -3 3 7-3 0 1 1 1-2 1 0 0 0

2 1 0 0 04 1 0 0 05 0 1 1 1