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Estructuras AlgebraicasModulos Proyectivos, Inyectivos y Homs

Marıa Gabriela Correa

Marzo, 2008

1 Introduccion

El concepto de modulo proyectivo sobre un anillo R es una generalizacion mas flexible dela idea de modulo libre (que son modulos con base). Varias de las caracterizaciones demodulos libres pueden llevarse a modulos proyectivos. Los modulos actuan como objetosen una categorıa, con un homomorfismo de R-modulos actuando como morfismo. Ası,un modulo proyectivo es tan solo un objeto proyectivo dentro de esta categorıa. Lainyectividad es la nocion dual de proyectividad.

La primera parte de este trabajo incluira conceptos previos, para luego introducir lanocion de modulos proyectivos, inyectivos y Hom.

Modulos sobre un anillo son una generalizacion de grupos abelianos (los cuales sonmodulos sobre el anillo Z). Por este motivo algunos conceptos y resultados de teorıa degrupos pueden ser traıdos a modulos. Es el caso de los siguientes teoremas, se enunciaranpara grupos y a continuacion para modulos.

Definicion 1.1. Sea F un objeto en una categorıa concreta C, X un conjunto no vacıo,y ι : X → F un mapa (de conjuntos) F es libre sobre el conjunto X con tal que paracualquier objeto A ∈ C y un mapa (de conjuntos) f : X → A, existe un unico morfismode C, f : F → A, tal que f ι = f (como un mapa de conjuntos X → A)

Definicion 1.2. Un grupo abeliano F se dice grupo abeliano libre (sobre un conjunto X)si satisface alguna de las condiciones equivalentes:

1. F tiene una base no vacıa.

2. F es la suma directa (interna) de una familia de infinitos subgrupos cıclicos.

3. F es (isomorfo a) una suma directa de copias del grupo aditivo Z de enteros.

4. Existe un conjunto no vacıo X y una funcion ι : X → F con la siguiente propiedad:Dado un grupo abeliano G y una funcion f : X → G, existe un unico morfismo degrupos f : F → G tal que f ι = f . En otras palabras, F es un objeto libre en lacategorıa de los grupos abelianos.

1

1 INTRODUCCION 2

Teorema 1.3. Todo grupo abeliano G es la imagen homomorfica de un grupo libre abelianode rango |X|, donde X es el conjunto generadores de G.

Teorema 1.4. Si f : G→ H es un morfismo de grupos, entonces f induce un isomorfismoG/ ker f ∼= Imf

Teorema 1.5. Si f : G→ H es un morfismo de grupos, N C G,M C H, y f(N) < M ,entonces f induce un morfismo f : G/N → H/M , dado por a+N 7→ f(a) +M .f es un isomorfismo si y solo si Imf ∨M = H y f−1(M) ⊂ N . En particular si f es unepimorfismo tal que f(N) = M y el ker f ⊂ N , entonces f es un isomorfismo.

Notacion:N C G quiere decir que N es un subgrupo normal de G

Definicion 1.6. Sea {Ni|i ∈ I} una familia de subgrupos normales de un grupo G talque G =<

⋃i∈I Ni > y para cada k ∈ I,Nk∩ <

⋃i 6=kNi >=< e >. Entonces G se dice

producto directo interno debil de la familia {Ni|i ∈ I} (o suma directa interna si G esabeliano (aditivo)).

Notacion:Escribimos G = Πwi∈INi para indicar que el grupo G es producto directo

interno debil de la familia de estos subgrupos {Ni|i ∈ I}.

Teorema 1.7. Sea {fi : Gi → Hi tal que i ∈ I} una familia de morfismos grupos ysea f =

∏fi un mapa de

∏i∈I Gi →

∏i∈I Hi dado por {ai} 7→ {fi(ai)}. Entonces f

es un morfismo de grupos tal que f(∏w

i∈I Gi) ⊂∏w

i∈I Hi, ker f =∏

i∈I ker fi y Im f =∏i∈I Im fi.

f es monomorfismo (epimorfismo) si y solo si cada fi lo es.

Teorema 1.8. Si R es una anillo y f : A→ B es un morfismo de R-modulos y C es unsubmodulo del ker f , entonces existe un unico morfismo de R-modulos f : A/C → B talque:

• f(a+ C) = f(a), ∀a ∈ A

• Im f = Im f

• ker f = ker f/C

f es un isomorfismo de R-modulos si y solo si f es un epimorfismo de R-modulos yC = ker f . En particular, A/ ker f ∼= Imf

Corolario 1.9. Si R es un anillo y A′ es un submodulo del R-modulo A y B′ un submodulodel R-modulo B y f : A→ B es un morfismo de R-modulos, tal que f(A′) ⊂ B′, entoncesf induce un morfismo de R-modulos

f : A/A′ → B/B′ dado por a+ A′ 7→ f(a) +B′

f es un isomorfismo de R-modulos si y solo si Imf + B′ = B y f−1(B′) ⊂ A′. Enparticular si f es un epimorfismo tal que f(A′) = B′ y ker f ⊂ A′ entonces f es unisomorfismo de R-modulos.

1 INTRODUCCION 3

Teorema 1.10. Sea R un anillo, {Ai|i ∈ I} una familia de R-modulos, C un R-moduloy {ψi : C → Ai|i ∈ I} una familia de morfismos de R-modulos, entonces existe ununico morfismo ψ : C →

∏i∈I Ai tal que πiψ = ψi,∀i ∈ I y

∏i∈I Ai queda unicamente

determinada, salvo isomorfismo, por esta propiedad. En otras palabras,∏

i∈I Ai es unproducto en la categorıa de los R-modulos.

Teorema 1.11. Sea R un anillo, {Ai|i ∈ I} una familia de R-modulos, B un R-modulo y{ψi : Ai → B} una familia de morfismos de R-modulos, entonces existe un unico morfismoψ :

∑i∈I Ai → B tal que ψιi = ψi,∀i ∈ I y

∑i∈I Ai queda unicamente determinada,

salvo isomorfismo, por esta propiedad. En otras palabras,∑

i∈I Ai es un coproducto en lacategorıa de los R-modulos.

Definicion 1.12. Un par de morfismos de modulos Af−→ B

g−→ C se dice exacta en B

si Im f = ker g. Una sucesion finita de morfismos de modulos A0f1−→ A1

f2−→ A2f3−→

...fn−1−→ An−1

fn−→ An es exacta si Im fi = ker fi+1 para i = 1, 2, ..., n − 1. Una sucecion

infinita de morfismos de modulos ...fi−1−→ Ai−1

fi−→ Aifi+1−→ Ai+1

fi+2−→ ... es exacta si Im

fi = ker fi+1 para i ∈ Z Una sucesion exacta de la forma 0 → Af−→ B

g−→ C → 0 sellama corta, observemos que f es monomorfismo y g es epimorfismo.

Lema 1.13. Sea R un anillo y

0→ Af−→ B

g−→ C → 0↓α ↓β ↓γ

0→ A′f ′−→ B′

π2−→ C ′ → 0

un diagrama conmutativo de R-modulos tal que cada fila es una sucesion exacta corta.Entonces

1. Si α, γ son monomorfismos ⇒ β es un monomorfismo

2. Si α, γ son epimorfismos ⇒ β es un epimorfismo

3. Si α, γ son isomorfismos ⇒ β es un isomorfismo

Teorema 1.14. Sea R un anillo y 0→ A1f−→ B

g−→ A2 → 0 una sucesion exacta cortade morfismos de R-modulos. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1. ∃ un morfismo de R-modulos h : A2 → B con gh = 1A2;

2. ∃ un morfismo de R-modulos k : B → A1 con kg = 1A1;

3. La sucesion exacta corta es isomorfa (con los mapas identidad sobre A1 y A2) a lasucesion exactas corta de la suma directa 0 → A1

ι1−→ A1 ⊕ A2π2−→ A2 → 0; en

particular B ∼= A1 ⊕ A2

1 INTRODUCCION 4

Definicion 1.15. Una sucesion exacta corta 0 → A1f−→ B

g−→ A2 → 0 de morfismosde R-modulos se dice split o exacta split si satisface las condiciones del Teorema 1.14

Demostracion: (Teorema 1.14) 1)⇒ 3): Los morfismos de R-modulos f y h inducenun unico morfsmo ϕ : A1 ⊕ A2 → B dado por (a1, a2) 7→ f(a1) + h(a2) (Teorema 1.11).Veamos que el siguinte diagrama es conmutativo.

0→ A1ι1−→ A1 ⊕ A2

π2−→ A2 → 0↓1A1

↓ϕ ↓1A2

0→ A1f−→ B

g−→ A2 → 0

(1)

ϕι1(a1) = ϕ(a1 + 0A2)

= f(a1) + h(0)

= f(a1) + 0

= f(a1)

por lo tanto, ϕι1 = f = f1A1

gϕ(a1 + a2) = g(f(a1) + h(a2)

= gf(a1) + gh(a2)

= gf(a1) + a2

=(∗) a2

= π2(a1 + a2)

(∗) : gf = 0 pues la sucesion es exacta.Por lo tanto el diagrama es conmutativo y ϕ es un isomorfismo (Lema 1.13)

2)⇒ 3): Usando el teorema 1.10, los morfismos de R-modulos g : B → A2 y k : B →A1 inducen un morfismo ψ : B → A1 ⊕ A2 dado por ψ(b) = k(b) + g(b) para todo b ∈ B.Veamos que el diagrama conmuta.

0→ A1f−→ B

g−→ A2 → 0↓1A1

↓ψ ↓1A2

0→ A1ι1−→ A1 ⊕ A2

π2−→ A2 → 0

ψf(a1) = k(f(a1) + gf(a1)

= a1 + 0A2

= ι(a1)

1 INTRODUCCION 5

Por lo tanto, ψf = ι = 1A1ι1

π2ψ(b) = π2(k(b) + g(b))

= g(b)

Por lo tanto, π2ψ = g = 1A2gEl diagrama conmuta y ψ es un isomorfismo por el Lema 1.13.

3)⇒ 1) y 2) El diagrama

0→ A1 �ι1π1A1 ⊕ A2 �π2

ι2A2 → 0

↓1A1↓ψ ↓1A2

0→ A1f−→ B

g−→ A2 → 0

tiene las filas exactas y es conmutativo(∗∗).Definimos h : A2 → B por h = ϕι2 y k : B → A1 por k = π1ϕ

−1

Veamos que kf = 1A1 y que hg = 1A2 .

kf(a1) = π1ϕ−1(f(a1))

=(∗∗) π1ϕ−1(ϕι1(a1))

= π1ι1(a1)

= 1A1(a1)

gh(a2) = gϕι2(a2))

=(∗∗) 1A2π2ι2(a2))

= 1A2(a2)

Por lo tanto son ciertos 1) y 2)

Definicion 1.16. Un R-modulo unitario F sobre un anillo R con unidad, se dice libre sobreun conjunto X si satisface las condiciones equivalentes:

1. F tiene una base no vacıa

2. F es la suma directa interna de una familia de R-modulos cıclicos, cada uno de loscuales es isomorfo como R-modulo a izquierda a R.

3. F es un R-modulo isomorfo a una suma directa de copias del R-modulo a izquierdaR

4. Existe un conjunto no vacıo X y una funcion ι : X → F con la siguiente propiedad:Dado cualquier R-modulo unitario A y una funcion f : X −→ A, existe un unicomorfismo de R-modulos f : F → A tal que f ι = f . En otras palabras, F es unobjeto libre en la categorıa de R-modulos unitarios.

1 INTRODUCCION 6

Definicion 1.17. Sea R cualquier anillo (posiblemente sin unidad) y X un conjunto novacıo. Un R-modulo F se llamara modulo libre sobre X si F es un objeto libre sobre X(definicion 1.1) en la categorıa de todos los R-modulos a izquierda.

Propiedad 1.18. Todo modulo unitario A sobre un anillo R (con unidad) es la imagenhomomorfica de un R-modulo libre F . Si A esta finitamente generado, entonces F puedeser elegido finitamente generado.

Propiedad 1.19. Si R tiene unidad y A es un R-modulo, entonces:

1. Existen submodulos B y C de A tal que B es unitario, RC = 0 y A = B ⊕ C.

2. Sea A1 otro R-modulo, con A1 = B1⊕C1 (B1 unitario y RC1 = 0). Si f : A −→ A1

es un morfismo, entonces f(B) ⊂ B1 y f(C) ⊂ C1

3. Si el mapa f de la parte 2) es un epimorfismo (respectivamente isomorfismo), en-tonces f |B : B → B1 y f |C : C → C1 tambien lo son.

Demostracion: 1. Definimos B = {1Ra tal que a ∈ A}, B ⊂ AVeamos que B es un grupo aditivo de A abeliano.Sean a, b ∈ B entonces existen a′, b′ ∈ A tal que a = 1Ra

′ y b = 1Rb′ luego

a− b = 1Ra′ − 1Rb

′

= 1R(a′ − b′) ∈ B

¿ Tiene neutro aditivo? Sea b ∈ B, existe a ∈ A tal que b = 1Ra y 0B = 1R0A = 0A ⇒0B + b = 1R0A + 1Ra = 1R(0A + a) = 1Ra = b para todo b ∈ B. Por lo tanto 0B es elneutro aditivo de B y este es un subgrupo aditivo conmutativo de A (la conmutatividades heredada).Definimos C = {a ∈ A : 1Ra = 0}Sean a, b ∈ C entonces 1R(a − b) = 1Ra − 1Rb = 0 − 0 = 0. Veamos que 0A es el neutrode C

1R(0A + 0A) = 1R(0A)

1R(0A) + 1R(0A) = 1R(0A)

1R(0A) = 0A

Por lo tanto C es un subgrupo abeliano aditivo de AComo B y C son subgrupos de A y A es un R-modulo tenemos que son submodulos de AVeamos que RC = 0Sea r ∈ R y c ∈ C ⇒ rc = (1R)c = r(1Rc) = r.0 = 0 Por lo tanto RC = 0¿A = B ⊕ C?Dado a ∈ A, veamos que a− 1Ra ∈ C

1R(a− 1Ra) = 1Ra− 1R(1Ra)

= 1Ra− 1Ra

= 0

2 MODULOS PROYECTIVOS E INYECTIVOS 7

Entonces, a− 1Ra ∈ C y tenemos que a = b+ c donde b = 1Ra y c = a− 1Ra.Por lo tanto A = B ⊕ C

2. Sea f : B ⊕ C → B1 ⊕ C1 un morfismo.Si b ∈ B ⇒ f(b) ∈ B1

1Rf(b) = f(1Rb) = f(b) ∈ B

Si c ∈ C ⇒ f(c) ∈ C1

1Rf(c) = f(1Rc) = f(0) = 0 ⇒ f(c) ∈ C1

Por lo tanto f(B) ⊂ B1 y f(C) ⊂ C1

3. Por 2. es trivial

2 Modulos Proyectivos e Inyectivos

Definicion 2.1. Un modulo P sobre un anillo R se dice proyectivo si dado cualquierdiagrama de morfismos de R-modulos

P↓f

Ag−→ B → 0

con la fila inferior exacta (g epimorfismo), existe un morfismo de R-modulos h : P → Atal que el diagrama

Ph↙ ↓f

Ag−→ B → 0

es conmutativo (gh = f)

Ejercicio 2.2. Si R tiene unidad y P es unitario, entonces P es proyectivo si y solo sipara todo par de modulos unitarios A, B y el diagrama de morfismos de R-modulos

P↓f

Ag−→ B → 0

(2)

con g epimorfismo, es conmutativo (esto es, existe un morfismo h : P → A tal que gh = f)


Demostracion: ⇒) Veamos, como P es proyectivo el diagrama (2) conmuta para todoA y B, en particular, para A y B unitarios.⇐) Dados A y B R-modulos, por la propiedad 1.19 de la introduccion, existen submodulosA0, A1 ⊂ A y B0, B1 ⊂ B tal que A = A1 ⊕ A0, B = B1 ⊕ B0 con A1 y B1 unitarios yRA0 = RB0 = 0Por hipotesis,

P↓f

A1g−→ B1 → 0

conmuta, existe h tal que gh = f

Si consideramos A1 ⊕ A0

πA1−→ A1 y B1

ιB1↪→ B1 ⊕B0 y el diagrama

P↓ιB1

f

A1 ⊕ A0

ιB1gπA1−→ B1 ⊕B0 → 0

Veamos que es conmutativo. Defino h := ιA1h y llamemos g = ιB1gπA1

gh = ιB1gπA1ιA1h

= ιB1g1A1h

= ιB1gh

= ιB1f

Por lo que P es proyectivo.

Teorema 2.3. Todo modulo libre F sobre un anillo R con unidad es proyectivo.

Observacion 2.4. Recordemos que si R es un anillo sin unidad y F es un modulo librees la categorıa de todos los R-modulos a izquierda (como en la definicion 1.17). Losresultados que se enuncian tambien son validos y la demostracion es similar.

Demostracion: Para ver que F es proyectivo, por el ejercicio 2.2, podemos considerarA y B R-modulos unitarios en el diagrama

F↓f

Ag−→ B → 0

con g epimorfismo. (3)

Como F es libre, existe un conjunto X y una funcion ι : X → F que cumple que paracualquier R-modulo unitario A y una funcion k : X → A existe una unico morfismo de


R-modulos k : F → A tal que kι = k (F es un objeto libre en la categorıa de R-modulosunitarios).Para cada x ∈ X, f(ι(x)) ∈ B, Como g es epimorfismo

∃ax ∈ A tal que g(ax) = f(ι(x)) (4)

Si k esta dada por x 7→ ax, k cumple que kι(x) = ax para todo x ∈ X.

g(ax) = g(kι(x)) (5)

= fι(x) (6)

(5) y (6) ⇒ gk = f . Ası, el diagrama (3) conmuta y F es proyectivo.

Corolario 2.5. Todo modulo A sobre un anillo R es la imagen homomorfica de un R-modulo proyectivo.

Demostracion: Por la propiedad 1.18, A es la imagen homomorfica de un R-modulolibre F . Por el teorema 2.3. F es proyectivo. Luego es cierto el corolario.

Teorema 2.6. Sea R un anillo. Las siguientes condiciones sobre un R-modulo P sonequivalentes:

1. P es proyectivo.

2. Toda sucesion exacta corta 0→ Af−→ B

g−→ P → 0 es split (De aca, B ∼= A⊕P ).

3. Existe un modulo libre F y un R-modulo K tal que F ∼= K ⊕ P .

Demostracion: 1 ⇒ 2: Consideramos el diagrama con la fila inferior exacta

P↓1P

Bg−→ P → 0

Como P es proyectivo ∃ h : P → B tal que gh = 1P . Por lo tanto, la sucesion exactacorta

0→ Af−→ B � g

hP → 0 es split y B ∼= A⊕ P (definicion 1.14 item 3)

2⇒ 3: Por la propiedad 1.18, existe un R-modulo libre F y un epimorfismo g : F → P .Si K = ker g, luego 0→ K ↪→ F

g−→ P → 0 es exacta. Por hipotesis la sucesion es splity F ∼= K ⊕ P .


3 ⇒ 1: Sean ϕ : F → K ⊕ P isomorfismo y πP : K ⊕ P → P la proyeccion canonica.Definimos π : F → P por π = πPϕ. De igual manera, definimos ι : P → F por ι = ϕ−1ιP ,donde ιP : P → K ⊕ P es la inyeccion canonica.Dado el diagrama de morfismos de R-modulos

P↓f

Ag−→ B → 0

(7)

con la fila inferior exacta. Consideremos el diagrama

Fπ↓↑ιP

↓f

Ag−→ B → 0

donde F es libre y por lo tanto proyectivo (Teorema 2.3) ⇒ ∃h1 : F → A morfismo deR-modulos tal que gh1 = fπ. Sea h = h1ι : P → A, entonces gh = f ya que:

gh = gh1ι

= fπι

= f1P

= f

∴ el diagrama (7) conmuta y P es proyectivo.

Ejemplo 2.7. Si R = Z6, entonces Z3 y Z2 son Z6-modulos y ∃ un isomorfismo deZ6-modulos: Z6

∼= Z2 ⊕ Z3. Luego Z2 y Z3 son proyectivos pero no Z6-modulos libres.

Demostracion: Como Z2 yZ3 son grupos abelianos aditivos, veamos que son Z6-modulos.Definimos ψi : Z6×Zi → Zi (con i = 2, 3) dada por (r 6, a i) 7→ ra i que esta bien definida

pues r = 6n + t y a = im + k donde n,m ∈ Z, t = 0, 1, ..., 5 y k =

{0, 1 si i = 2

0, 1, 2 si i = 3.

Luego si i = 2

ra = (6n+ t)(2m+ k)

= 2m(6n+ t) + k(6n+ t) si t = m1 + k1 donde m1 ∈ Z y k1 = 0, 1

= 2m(6n+ t) + k(2.3.n+ (2.m1 + k1)),

= 2[m(6n+ t) + (3n+m1)k] + k1k, con k1k = 1, 0

= 2l + k2, con l = m(6n+ t) + (3n+m1)k ∈ Z y k2 = k1k


Ademas,i) r(a+ b) = ra+ rb.ii) (r + s)a = ra+ sa.iii) (rs)a = r(sa).iv) 1Z6a = a, ∀a ∈ Z2

pues es cierto en ZAhora, consideremos el diagrama

Z2

↓f

Ag−→ B → 0

(8)

con la fila inferior exacta, siendo A y B Z6-modulos.Definimos f(0) = 0 y f(1) = b 6= 0, para algun b ∈ B. Luego como g es epimorfismo∃a ∈ A no nulo tal que g(a) = b y g(0) = 0. Ası, ∃ h : Z2 → A tal que h(0) = 0 y h(1) = ay tenemos g(h(0)) = g(0) = 0 = f(0) y g(h(1)) = g(a) = b = f(1) luego el diagrama (8)conmuta y Z2 es proyectivo.Z2 no es Z6 modulo libre pues si tuviera una base deberıa ser B := {1} que no es lineal-mente independiente ya que por ejemplo 2.1 = 0(mod 2).De forma analoga se ve para Z3.

Proposicion 2.8. Sea R un anillo. Una suma directa de R-modulos∑

i∈I Pi es proyectivosi y solo si cada Pi es proyectivo.

Demostracion: ⇒) Supongamos que∑

i∈I Pi es proyectivo, luego ∃F R-modulo librey K R-modulo tal que F ∼= K ⊕

∑i∈I Pi (teorema 2.6). Ademas,∑

i∈I

Pi =∑i 6=j

Pi ⊕ Pj ⇒ F = K ⊕∑i 6=j

Pi ⊕ Pj = L⊕ Pj

con L = K ⊕∑

i 6=j Pi R-modulo, luego Pj es proyectivo ∀j ∈ I (teorema 2.6)

⇐) ∀j ∈ I, Pj es proyectivo luego ∃ hj : Pj → A tal que el diagrama con g epimorfismo

Pj↓fj

Ag−→ B → 0

es conmutativo.Por el teorema 1.11, ∃! f :

∑i∈I Pi → B dada por f =

∑i∈I fi y fιj = fj, luego se tiene


Pjιj↓↑πj∑i∈I Pi

↓f

Ag−→ B → 0

donde ιj y πj son la inyeccion y la proyeccion canonicas respectivamente.Como Pj es proyectivo ghj = fιj = fj. Por el teorema 1.11, ∃! h :

∑i∈I Pi → A tal que

h =∑

i∈I hi y hιj = hj,∀j ∈ I. Veamos que gh = f . Sea p ∈∑Pi

gh(p) = g(∑i∈I0

hi(p)), con I0 ⊂ I finito

=∑i∈I0

ghi(p)

=∑i∈I0

fi(p)

= f(p)

Por lo tanto ∑i∈I Pi↓f

Ag−→ B → 0

conmuta y∑

i∈I Pi es proyectiva.

Definicion 2.9. Un modulo J sobre un anillo R se dice inyectivo si dado cualquierdiagrama de morfismos de R-modulos

0 → Ag−→ B

f↓J (9)

con la fila superior exacta (esto es g es un monomorfismo), existe un morfismo de R-modulos h : B → J tal que el diagrama (9) sea conmutativo (hg = f).

Observacion 2.10. Asi como en la observacion 2.2, podemos ver que un modulo unitarioJ sobre R, anillo unitario, es inyectivo si y solo si existen un par de R-modulos unitarios


A,B tal que el diagrama conmuta (g monomorfismo)

0 → Ag−→ B

f↓J

Muchos de los conceptos pueden ser dualizados (no todos) como la proposicion que sigue,que es el dual de la proposicion 2.8.

Proposicion 2.11. Un producto directo de R-modulos∏

i∈I Ji es inyectivo si y solo si Jies inyectivo ∀i ∈ I

Demostracion: ⇒) Como∏

i∈I Ji es inyectivo consideremos el diagrama conmutativo,con g monomorfismo y A y B R-morfismos.

0 −→ Ag−→ B

f↓ ↙h∏i∈I Ji

Como,∏

i∈I Ji es un producto directo luego∏i∈I Ji

h←− B

πi↓ ↙li

Ji

conmuta (li = πih). Por lo que el diagrama composicion

0 −→ Ag−→ B

πif↓ ↙l

Ji

tambien. Ya que πif = πihg = lg, y por lo tanto Ji es inyectivo ∀i ∈ I⇐) Ji,∀i ∈ I es inyectivo, el diagrama con g monomorfismo y A y B R-modulos.

0 −→ Ag−→ B

f↓ ↙ϕi

Ji

(10)


conmuta (ϕig = f),∀i ∈ I,Ademas, como

∏i∈I Ji es el producto de por Ji tenemos que

Bϕi−→ Ji Ji

ψi−→ B

ϕ↓ ↗ πi ιi↓ ↗ ψ∏i∈I Ji

∏i∈I Ji

(11)

conmutan pues ψιi = ψi y πiϕ = ϕi. Veamos que el diagrama composicion tambien

0 −→ Ag−→ B

f↓ ϕi↙↗ψi ϕ↓↑ψ

Ji �ιiπi

∏i∈I Ji

(12)

como ιiπi = 1∏i∈I Ji

⇒ ιiϕi =11 ιiπiϕ = ϕ. (13)

Se tiene ιif =10 ιiϕig =13 ϕg ⇒ el diagrama (12) conmuta y∏

i∈I Ji es inyectivo.

Observacion 2.12. Como concepto de modulo libre no puede ser dualizado, no hayteoremas analogos al 2.3 y 2.6(3) para modulos inyectivos. Sin embargo el corolario 2.5puede ser dualizado (se vera mas adelante, proposicion 2.19). Una vez hecho esto, el dualdel teorema 2.6(1),(2) es facilmente probado (proposicion 2.20)Comenzaremos por caracterizar R-modulos inyectivos en terminos de ideales a izquierda(submodulos) del anillo R.

Lema 2.13. Sea R un anillo con unidad. Un R-modulo unitario J es inyectivo si y solosi para todo ideal a izquierda L de R, cualquier morfismo de R-modulos L −→ J puedeser extendido a un morfismo de R-modulos R −→ J

Demostracion:⇒) Decir que f : L → J puede ser extendido a R significa que existeun morfismo h : R→ J tal que el diagrama

0 −→ L⊂−→ R

f↓ ↙h

J

es conmutativo. Es claro que si J es inyectivo siempre existe tal h.⇐) Supongamos que J tiene dicha propiedad de extension y supongamos que damos undiagrama de morfismos de R-modulos

0 −→ Ag−→ B

f↓J


con la fila de arriba exacta. Para mostrar que J es inyectivo debemos encontrar un mor-fismo h : B → J con hg = f .Sea S el conjunto de todos los morfismos de R-modulos h : C → J , donde Im g ⊂ C ⊂ B.

• S es no vacıo pues fg−1 : Im g → J es un elemento de S (g es monomorfismoentonces ∃g−1 : Im g → A).

• S esta parcialmente ordenado por extension:

h1 ≤ h2 si y solo si Dom h1 ⊂ Dom h2 y h2|Dom h1 = h1

luego por el Lema de Zorn tiene maximo y J es inyectivo.

Veamos que satisface las hipotesis del Lema de Zorn:La cadena h1 ≤ h2 ≤ ... ≤ hn ≤ ... en S esta acotada superiormente pues Dom h1 ⊆Dom h2 ⊆ ... ⊆ Dom hn ⊆ ... ⊆ B esta acotada. Luego por el Lema de Zorn existe unelemento maximal en S. Sea h : H → J con Im g ⊆ H ⊆ B el maximal de S.Para completar la demostracion debemos mostrar que H = B.

Si H 6= B y b ∈ B −H, entonces L = {r ∈ R|rb ∈ H} es un ideal a izquierda de R

El mapa G : L→ J dado por r 7→ h(rb) es un morfismo de R-modulos bien definido.

G(a+mc) = h((a+mc)b)

= h(ab+mcb)

= h(ab) +mh(cb)

= G(a) +mG(c)

Por hipotesis existe un morfismo de R-modulos k : R → J tal que k(r) = h(rb),∀r ∈ L.Sea c = k(1R) y definimos el mapa h : H + Rb→ J por a + rb 7→ h(a) + rc. h esta biendefinida.Si para a1 6= a2 y r1 6= r2 tenemos que a1 + r1b = a2 + r2b ∈ H + Rb, entonces a1 − a2 =(r2 − r1)b ∈ H ∩Rb y r2 − r1 ∈ L

h(a1)− h(a1) = h(a1 − a2)

= h((r2 − r1)b)

= k(r2 − r1)

= (r2 − r1)k(1R)

= (r2 − r1)c

Asi, h(a1) + r1c = h(a2) + r2c y por lo tanto,

h(a1 + r1b) = h(a1) + r1c

= h(a2) + r2c

= h(a2 + r2b)


y h esta bien definida.Verifiquemos que h : H +Rb→ J es un morfismo de R-modulo.Dados a1 + r1b, a2 + r2b ∈ H +Rb y n ∈ R

h((a1 + r1b) + n(a2 + r2b)) = h(a1 + na2 + (r1 + nr2)b)

= h(a1 + na2) + (r1 + nr2)c

= h(a1) + nh(a2) + r1c+ nr2c

= h(a1 + r1b) + nh(a2 + r2b)

Lo que nos dice que es un elemento de S. Esto contradice que h sea maximo de S por loque b no esta en H y tenemos que H $ H +Rb. Por lo tanto H = B y J es inyectivo.

Definicion 2.14. Un grupo abeliano D se dice divisible si dado cualquier y ∈ D y0 6= n ∈ Z, existe un x ∈ D tal que nx = y.

Lema 2.15. Un grupo abeliano D es divisible si y solo si D es un Z-modulo (unitario)inyectivo.

Demostracion: ⇐) Si D es inyectivo, sean y ∈ D y 0 6= n ∈ Z, f :< n >→ D es elunico morfismo que verifica f(n) = y (< n > es un Z-modulo libre). Como D es inyectivo,existe un morfismo h : Z→ D tal que el diagrama

0 −→ < n >1Z|<n>−→ Z

f↓ ↙h

D

es conmutativo. Sea x ∈ D, definimos h(1) = x entonces

nx = h(n)

= h1Z|<n>(n)

= f(n) = y

Por lo tanto, D es divisible⇒) Todo ideal a izquierda de Z es un grupo cıclico < n >, n ∈ Z. Si D es divisible y

f :< n >→ D es un morfismo, entonces ∃ x ∈ D tal que nx = f(n). Definimos h : Z→ Dpor h(1) = x. Veamos que h es un morfismo que extiende a f (Lema 2.13).

h|<n>(kn) = kn.h|<n>(1), con kn ∈< n >, ∀k ∈ Z= kn.x

= k.f(n)

∴ D es inyectivo


Lema 2.16. Todo grupo abeliano A puede ser embebido en un grupo abeliano divisible.

Demostracion: Como todo grupo abeliano A es la imagen homomorfica de un grupoabeliano libre F con rango |X|, donde X es el conjunto de generadores de A (teorema1.3), existe f : F → A epimorfismo. Si K = ker f , luego F/K ∼= A (Teorema 1.4) y comoF es libre F ∼=

⊕x∈X Z (teorema 1.2) y Z ⊂ Q . Luego

F ∼=⊕x∈X

Z ⊂⊕x∈X

Q = D

pues todo grupo puede ser embebido en una suma directa (teorema 1.7). Pero D esdivisible pues Q lo es, luego Q es inyectivo por lo que D tambien lo es y se tiene laafirmacion anterior (Proposicion 2.11, Lema 2.15). Si el monomorfismo f : F → D esun embebimiento, entonces f induce un isomorfismo F/K ∼= f(F )/f(K) (Corolario 1.5de la introduccion). Ası, la composicion A ∼= F/K ∼= f(F )/f(K) ⊂ D/f(K) es unmonomorfismo. Pero D/f(K) es divisible ya que es la imagen homomorfica de un grupodivisible. (∃ h : A→ D/f(K) tal que h(A) = D/f(K))

Observacion 2.17. Si R es un anillo con unidad y J es un grupo abeliano, entoncesHomZ(R, J), el conjunto de todos los morfismos de Z-modulos R → J es un grupoabeliano. Verifiquemos que HomZ(R, J) es un Z-modulo unitario a izquierda, con laaccion de R definida por (rf)(x) = f(rx), con r, x ∈ R; f ∈ HomZ(R, J).

• (r(f + g))(x) = (f + g)(rx) = f(rx) + g(rx) = (rf)(x) + (rg)(x) = (rf + rg)(x).

• (r + s)(f)(x) = f((r + s)x) = f(rx+ sx) = f(rx) + f(sr) = (rf)(x) + (sf)(x).

• r(sf(x)) = rf(sx) = f(rsx) = ((rs)f)(x).

• 1Rf(x) = f(1rx) = f(x), ∀ f ∈ HomZ(R, J).

∴ HomZ(R, J) es un Z-modulo unitario a izquierda

Lema 2.18. Si J es un grupo abeliano divisible y R es un anillo con unidad, entoncesHomZ(R, J) es un R-modulo inyectivo.

Demostracion: Por el lema 2.13, basta con ver que para cada ideal a izquierda L de R,todo morfismo de R-modulos f : L→ HomZ(R, J) puede ser extendido a un morfismo deR-modulos h : R → HomZ(R, J). El mapa g : L → J dado por g(a) = (f(a))(1R) es unmorfismo de grupos. Como J es un Z-modulo inyectivo, el diagrama

0 → L⊂−→ R

g↓J (14)


conmuta y por el lema 2.15 J es un grupo abeliano divisible. ∃ g : R→ J tal que g|L = g.Definiendo h : R→ HomZ(R, J) por r 7→ h(r) donde h(r) : R→ J es un mapa dado por[h(r)](x) = g(xr) con x ∈ R. Veamos que h esta bien definida (h(r) es un morfismo degrupos). Sean r, x, y ∈ R

[h(r)](x+ y) = g((x+ y)r)

= g(xr + yr)

= g(xr) + g(yr)

= [h(r)](x) + [h(r)](y)

∴ h(r) : R→ J es un morfismo de grupos.

¿h : R→ HomZ(R, J) es un morfismo de R-modulos? Sea s ∈ R.

[h(r + s)](x) = g(x(r + s))

= g(xr + xs)

= g(xr) + g(xs)

= [h(r)](x) + [h(s)](x)

= [h(r) + h(s)](x)

[h(rs)](x) = g(x(rs))

= g((xr)s)

= [h(s)](xr)

= r[h(s)](x)

∴ h : R→ HomZ(R, J) es un morfismo de R-modulos.

Supongamos que r ∈ L y x ∈ R, entonces rx ∈ L y

[h(r)](x) = g(xr)

= g(xr)

= [f(xr)](1R) (15)

Ya que f es un morfismo de R-modulo y HomZ(R, J) un R-modulo,

[f(xr)](1R) = [xf(r)](1R)

= f(r)(1Rx)

= f(r)(x) (16)


Por lo tanto, h(r) = f(r) para r ∈ L y h es una extension f

Ahora estamos en condiciones de probar los duales del corolario 2.5 y del teorema 2.6.

Proposicion 2.19. Todo modulo unitario A sobre un anillo R con unidad puede serembebido en un R-modulo inyectivo.

Demostracion: Sea A un R-modulo, como A es un grupo abeliano, existe un grupoabeliano divisible J y f : A → J tal que f(A) ⊂ J (lema 2.16). Sea el mapa f :HomZ(R,A) → HomZ(R, J) dado por f(g) = fg. Veamos que es un morfismo de R-modulos. Sean g, h ∈ HomZ(R,A); x ∈ R.

f(g + kh)(x) = [f(g + kh)](x)

= f(g(x) + kh(x))

= fg(x) + kfh(x)

= [f(g) + kf(h)](x)

como todo morfismo deR-modulos es un morfismo de Z-modulos, se tiene queHomR(R,A) ⊂HomZ(R,A). Veamos, sean f ∈ HomR(R,A) y k ∈ Z, y, x ∈ R

f(x+ ky) = f(x) + f(ky)

= f(x) + f(y + y + ...+ y) (k − veces)= f(x) + f(y) + f(y) + ...+ f(y)

= f(x) + kf(x)

luego f ∈ HomZ.Finalmente, hay que verificar que el mapa P : A → HomR(R,A) dado por a 7→ fa,

donde fa(r) = ra, es monomorfismo (es mas, es un isomorfismo).

P (a) = 0⇔ fa = 0⇔ ra = 0, ∀r ∈ R⇔ a = 0

(a = 0 pues si r = 1⇒ 1a = a = 0). Componiendo estos mapas

AP−→ HomR(R,A)

⊂−→ HomZ(R,A)f−→ HomZ(R, J)

y por el lema 2.18, HomZ(R, J) es inyectivo. Se tiene que A esta embebido en un R-modulo inyectivo.

Proposicion 2.20. Sea R un anillo con unidad. Las siguientes condiciones sobre unR-modulo unitario J son equivalentes:

1. J es inyectvo.

3 HOM 20

2. Toda sucesion exacta corta 0→ Jf−→ B

g−→ C → 0 es split (asi, B ∼= J ⊕ C).

3. J es un sumando directo de cualquier modulo B del cual es un submodulo.

Demostracion: 1 ⇒ 2: Considerar

0 → Jf−→ B

1J↓J

(17)

con la fila superior exacta (f es monomorfismo). Como J es inyectivo ∃ h : B → J tal que

hg = 1J . Por lo tanto la sucesion exacta corta 0→ J �fh B

g−→ C es split y B ∼= J ⊕ C(definicion 1.14)

2 ⇒ 3: Ya que la sucesion 0 → J⊂−→ B

π−→ B/J es split (∃ ι : B/J → B tal queπι = 1B/J). Luego por la definicion 1.14 B ∼= J ⊕ B/J ,el isomorfismo esta dado por(x, y) 7→ x+ ι(y), luego B = J ⊕ ι(B/J).

3⇒ 1: Por la proposicion 2.19, J es embebido en un modulo inyectivo Q, ∃f : J → Qtal que f(J) ⊂ Q (J es submodulo de Q). Q = J ⊕K por hipotesis, como Q es inyectivopor la proposicion 2.11, J y K son inyectivos.

3 Hom

Si R = Z, se escribira Hom(A,B) en lugar de HomZ(A,B). HomR(A,B) es un grupoabeliano bajo la adicion y esta adicion es distributiva con respecto a la composicion defunciones h(f + g) = hf + hg y (f + g)k = fk + gk, donde f, g : A → B, h : B → C yk : D → A.

Teorema 3.1. Sea A,B,C,D modulos sobre un anillo R y ϕ : C → A y ψ : B → Dmorfismos de R-modulos. Entonces el mapa Θ : HomR(A,B) → HomR(C,D) dada porf 7→ ψfϕ es un morfismo de grupos abelianos.

Demostracion: Sea f, g ∈ HomR(A,B)

[Θ(f + g)](x) = ψ(f + g)ϕ(x)

= ψ(fϕ(x) + gϕ(x))

= ψfϕ(x) + ψgϕ(x)

= [Θ(f)](x) + [Θ(g)](x)

= [Θ(f) + [Θ(g)](x)

∴ Θ es un morfismo de grupos abelianos.

3 HOM 21

El mapa Θ del Teorema 3.1 usualmente se lo denota por Hom(ϕ, ψ) y se lo llamamorfismo inducido por ϕ y ψ. Observar que para morfismos ϕ1 : E → C, ϕ2 : C →A, ψ1 : B → D, ψ2 : D → F .

Hom(ϕ1, ψ2)Hom(ϕ2, ψ1) = Hom(ϕ1ϕ2, ψ2ψ1) : HomR(A,B)→ HomR(E,F ).

Veamos esto, sea f ∈ HomR(A,B)

Hom(ϕ1, ψ2)Hom(ϕ2, ψ1)(f) = Hom(ϕ1, ψ2)(ψ1fϕ2)

= ψ1ψ2fϕ2ϕ1

= Hom(ψ1ψ2, ϕ2ϕ1)

Hay dos casos especiales importantes de morfismos inducidos. Si B = D y ψ = 1B,entonces el mapa inducido por ϕy1B es Hom(ϕ, 1B) : HomR(A,B) → HomR(C,B) estadado por f 7→ fϕ y es denotado ϕ. Analogamente, si A = C y ϕ = 1A el mapa inducidopor ψy1A es Hom(1A, ψ) : HomR(A,B) → HomR(A,D) esta dado por f 7→ ψf y se lodenota ψ. Ahora examinemos el comportamiento de HomR con respecto a las sucesionesexactas.

Teorema 3.2. Sea R un anillo 0 → Aϕ−→ B

ψ−→ C es una sucesion exacta si y solo

si para todo R-modulo D, 0 → HomR(D,A)ϕ−→ HomR(D,B)

ψ−→ HomR(D,C) es unasucesion exacta de grupos abelianos.

Demostracion: ⇒) Si 0→ Aϕ−→ B

ψ−→ C es exacta debemos probar:

i) ker ϕ = 0 ( o sea ϕ es monomorfismo)

ii) Imϕ ⊂ ker ψ

iii) ker ψ ⊂ Imϕ

i) Si f ∈ ker ϕ ⇒ [ϕ(f)](x) = [ϕf ](x) = 0,∀x ∈ D. Como 0 → Aϕ−→ B es exacta ϕ es

monomorfismo ⇒ f(x) = 0,∀x ∈ D y f = 0

∴ ker ϕ = 0

ii) Por la exactitud de la sucesion se tiene que Imϕ = kerψ, luego ψϕ = 0, dado f ∈HomR(D,A), ψϕ(f) = ψϕf = ψϕf = 0(f) = 0.

∴ Imϕ ⊂ ker ψ

3 HOM 22

iii) Dado g ∈ ker ψ ⇒ ψ(g) = ψg = 0 ⇒ Img ⊂ kerψ = Imϕ como ϕ es un monomor-fismo ϕ : A → Imϕ es un isomorfismo ⇒ ∃ϕ−1 : Imϕ → A. Si h = ϕ−1g (Img ⊂Imϕ)⇒ g = ϕh = ϕ(h)

∴ ker ψ ⊂ Imϕ

⇐) Supongamos que la sucesion de Hom de mapas inducidos es exacta para todo D. Enprimer lugar, sean D = kerϕ y ι : D → A el mapa inclusion. Como ker ϕ = 0 (por laexactitud de la sucesion) y ϕ(ι) = ϕι = 0 ⇒ ι = 0 ∴ D = 0, o sea kerϕ = 0. Por lo

tanto, 0→ Aϕ−→ B es exacta.

En segundo lugar, sea D = A. Como ker ψ = Imϕ tenemos 0 = ψϕ(1A) = ψϕ1A = ψϕ⇒Imϕ ⊂ kerψY en tercer lugar, sea D = kerϕ y sea j : D → B el mapa inclusion. Ya que 0 = ψj = ψ(j)y ker ψ = Imϕ se tiene que j = ϕ(f) = ϕf para f : D → A ∴ ∀x ∈ D = kerψ, x =j(x) = ϕf(x)⇒ x ∈ Imϕ y kerψ ⊂ Imϕ

∴ kerψ = Imϕ y 0→ Aϕ−→ B

ψ−→ C es una sucesion exacta

Proposicion 3.3. Sea R un anillo Aθ−→ B

ς−→ C −→ 0 es una sucesion exacta de

R-modulos si y solo si para todo R-modulos D 0 → HomR(C,D)ς−→ HomR(B,D)

θ−→HomR(A,D) es una sucesion exacta de grupos abelianos.

Demostracion: ⇒) Si Aθ−→ B

ς−→ C −→ 0 es exacta veamos que ker θ ⊂ Im ς.Si f ∈ ker θ, entonces θ(f) = fθ = 0 ⇒ f(Imθ) = 0 = f(kerϕ). Por el teorema 1.8,f induce un morfismo f : B/ ker ς → D tal que f(b + ker ς) = f(b); y ademas ∃ unisomorfismo ϕ : B/ ker ς → C tal que ϕ(b + ker ς) = ς(b). Entonces fϕ−1 : C → D es unmorfismo de R-modulos tal que

ς(fϕ−1)(x) = = fϕ−1ς(x)

= fϕ−1ϕ(x+ ker ς)

= f(x+ ker ς)

= f(x)

⇒ f ∈ Im ς y por lo tanto ker θ ⊂ Im ς.Como Im θ = ker ς por la exactitud de la sucesion, ςθ = 0Sea f : C → D

θς(f) = θf ς

= fςθ

= f0

= 0

3 HOM 23

⇒ Im ς ⊂ ker θ ∴ Im ς = ker θFalta ver que ker ς = 0. Sea f ∈ ker ς

ς(f)(x) = fς(x) = 0, ∀x ∈ B.

Como ς es un epimorfismo f(y) = 0,∀y(= ς(x)) ∈ C ⇒ f = 0

∴ ker ς = 0 y la sucesion 0→ HomR(C,D)ς−→ HomR(B,D)

θ−→ HomR(A,D) es exacta.

⇐) Si la sucesion Hom es exacta para todo D. Sea D = C/Im ς y sea π : C → Dla proyeccion canonica. Entonces ς(π) = πς = 0 pero ker ς = 0 ⇒ π = 0 y por lo tantoC = Im ς y ς es un epimorfismo, luego B

ς−→ C → 0 es exacta.De manera analoga se ve que ker ς ⊂ Im θ, considerando D = B/Imθ y π : B → D laproyeccion canonica [θ(π)](x) = π(θ(x)) = 0, ∀x ∈ A como ker θ = Im ς ⇒ π ∈ Im ς ∴∃f : C → D tal que ς(f) = π si x ∈ ker ς, [ς(f)](x) = fς(x) = f(0) = 0 = π(x) ⇒ x ∈Im θ. ∴ ker ς ⊂ Im θ.Finalmente, si D = C, entonces 0 = θς(1C) = ςθ ⇒ Im θ ⊂ ker ς.

∴ Im θ = ker ς y Aθ−→ B

ς−→ C → 0 es exacta

Observacion 3.4. No es cierto en general que una sucesion exacta corta A −→ B −→C −→ 0 induce una sucesion exacta corta 0 −→ HomR(D,A) −→ HomR(D,B) −→HomR(D,C) −→ 0. (y analogamente en la primer variable). Sin embargo, el siguienteteorema muestra que este resultado se da en algunos casos

Proposicion 3.5. Las siguientes condiciones sobre modulos sobre un anillo R son equiv-alentes.

i) 0→ Aϕ−→ B

ψ−→ C → 0 es una sucesion exacta split de R-modulos.

ii) 0 → HomR(D,A)ϕ−→ HomR(D,B)

ψ−→ HomR(D,C) → 0 es una sucesion exactasplit de grupos abelianos para todo R-modulo D.

iii) 0 → HomR(C,D)ψ−→ HomR(B,D)

ϕ−→ HomR(A,D) → 0 es una sucesion exactasplit de grupos abelianos para todo R-modulo D.

Demostracion:i)⇒ iii)) Por el definicion 1.14, existe un morfismo α : B → A tal queαϕ = 1A veamos que el morfismo inducido α : HomR(A,D) → HomR(B,D) es tal queϕα = 1HomR(A,D). Sea f ∈ HomR(A,D),

ϕα(f) = ϕfα

= fαϕ

= f(1A)

= f

3 HOM 24

∴ ϕα = 1HomR(A,D) ⇒ ϕ es epimorfismo y junto con la proposicion 3.3, se tiene iii)iii) ⇒ i) Si D = A y f : B → A tal que 1A = ϕ(f) = fϕ (ϕ es epimorfismo) ⇒ ϕ esmonomorfismo pues fϕ(x) = 0⇔ 1A(x) = 0⇔ x = 0. Luego por la proposicion 3.3 y ladefinicion 1.14 tenemos i).

i)⇒ ii) Por la proposicion 3.2, 0→ HomR(D,A)ϕ−→ HomR(D,B)

ψ−→ HomR(D,C)→0 es exacta. Por la definicion 1.14 ∃β : C → B tal que ψβ = 1HomR(D,C) Sea f ∈HomR(D,C)

[ψβ(f)](x) = ψ(βf)(x)

= ψβf(x)

= f(x)

∴ ψβ = 1HomR(D,C)⇒ ψ es epimorfismo y obtenemos ii)

ii) ⇒ i) Por la proposicion 3.2, 0 → Aϕ−→ B

ψ−→ C → 0 es exacta. Sea D = C, comoψ es un epimorfismo ∃f : C → B tal que ψ(f) = 1C ⇒ ψf = 1C ⇒ ψ es epimorfismo yii)⇒ i)

Teorema 3.6. Las siguientes condiciones sobre un R-modulo P son equivalentes.

i) P es proyectivo

ii) Si ψ : B → C es cualquier epimorfismo de R-modulos entonces ψ : HomR(P,B) →HomR(P,C) es un epimorfismo de grupos abelianos.

iii) Si 0 → Aϕ−→ B

ψ−→ C → 0 es cualquier sucesion exacta corta de R-modulos,

entonces 0→ HomR(P,A)ϕ−→ HomR(P,B)

ψ−→ HomR(P,C)→ 0 es una sucesionexacta corta de grupos abelianos

Demostracion:i) ⇔ ii) ψ es un epimorfismo si y solo si para todo morfismo f : P →C, ∃g : P → B tal que ψ(g) = ψg = f o sea

Pg↙ ↓f

Bψ−→ C → 0

es conmutativo.

ii) ⇒ iii) Para alguna ϕ : A → B si la sucesion 0 → HomR(P,A)ϕ−→ HomR(P,B)

ψ−→HomR(P,C) es exacta entonces, por el teorema 3.2, 0 → A

ϕ−→ Bψ−→ C es exacta.

Como ψ es epimorfismo 0→ Aϕ−→ B

ψ−→ C → 0 es exacta.

3 HOM 25

iii)⇒ ii) Dado ψ : B → C epimorfismo, aplicando iii) a la sucesion exacta corta 0→kerψ

⊂−→ Bψ−→ C → 0⇒ 0→ HomR(P, kerψ)

⊂−→ HomR(P,B)ψ−→ HomR(P,C)→ 0

es una sucesion exacta corta de grupos abelianos ⇒ ψ es epimorfismo.

Proposicion 3.7. Las siguientes condiciones sobre un R-modulo J son equivalentes

i) P es inyectivo

ii) Si θ : A→ B es cualquier monomorfismo de R-modulos entonces θ : HomR(B, J)→HomR(A, J) es un epimorfismo de grupos abelianos.

iii) Si 0 → Aθ−→ B

ς−→ C → 0 es cualquier sucesion exacta corta de R-modulos,

entonces 0→ HomR(C, J)ς−→ HomR(B, J)

θ−→ HomR(A, J)→ 0 es una sucesionexacta corta de grupos abelianso

Demostracion: i) ⇔ ii) θ es epimorfismo ⇔ ∀f ∈ HomR(A, J),∃g ∈ HomR(B, J) talque θ(g) = gθ = f , o sea

0 −→ Aθ−→ B

f↓ ↙g

J

conmuta y por lo tanto J es inyectivo.

ii) ⇒ iii) Para alguna ς : B → C si la sucesion 0 → HomR(C, J)ς−→ HomR(B, J)

θ−→HomR(A, J) → 0 es exacta entonces, por el teorema 3.3, 0 → A

θ−→ Bς−→ C → 0 es

exacta. Como por hipotesis θ es monomorfismo 0→ Aθ−→ B

ς−→ C → 0 es exacta.

iii) ⇒ ii) Dado θ monomorfismo, por hipotisis 0 → HomR(C, J)ς−→ HomR(B, J)

θ−→HomR(A, J) → 0 es una sucesion exacta ⇒ θ es epimorfismo. Por lo tanto se obtiene latesis.

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