ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS gian
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UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI
METODOS NUMERICOS
APLICAICON DEL METODO DE GAUSS JORDAN EN LA INGENIERIA CIVIL
ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS,
MÉTODOS APROXIMADOS DE ANÁLISIS.
1 GENERALIDADES.
Cuando una estructura tiene más reacciones externa o fuerzas internas que las
que pueden determinarse con las ecuaciones de la estática, la estructura es
estáticamente indeterminada o hiperestática o continua producirá fuerzas
cortantes, momentos flexionantes y deflexiones en las otras partes de la
estructura. En otras palabras, cargas aplicadas a una columna afectan a las
vigas, a las losas, a otras columnas y viceversa.
Hasta ahora este texto se ha dedicado por completo a las estructuras
determinadas y el lector podría considerar, equivocadamente que tales
estructuras son las más comunes en la práctica. La verdad es que es difícil
encontrar una viga real simplemente apoyada; las conexiones atornilladas o
soldadas entre vigas y columnas no son en realidad condiciones verdaderas de
apoyo simple con momento nulo.
2 ESTRUCTURAS CONTINUAS
En la medida en que se incrementan los claros de las estructuras simples, sus
momentos flexionantes aumentan rápidamente. Si el peso de una estructura
por unidad de longitud permanece constante, independientemente del claro, el
momento por carga muerta variará en proporción con el cuadrado de la
longitud del mismo ( ). Sin embargo, esta proporción no es correcta,
debido a que el peso de las estructuras debe aumentar a medida que los claros
son más grandes, con el fin de que sean lo suficientemente fuertes y resistan el
incremento de los momentos flexionantes; por tanto, el momento por carga
muerta crece más rápidamente que el cuadrado del claro.
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APLICAICON DEL METODO DE GAUSS JORDAN EN LA INGENIERIA CIVIL
3. VENTAJAS DE LAS ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS.
Al comparar las estructuras hiperestáticas con las isostáticas, la primera
consideración deberá corresponder al costo. Sin embargo, es imposible
justificar económicamente la selección de uno u otro tipo de estructura sin
ciertas reservas. Cada forma estructural presenta una situación diferente y, por
tanto, deberán tenerse en cuenta todos los factores, ya sean de índole
económica o de otro tipo. En general, las estructuras estáticamente tienen
ciertas ventajas que se describen a continuación.
Ahorro de materiales.
Los menores momentos flexionantes desarrollados en las estructuras
estáticamente indeterminadas permiten la utilización de elementos de menor
escuadría, con un ahorro de material posiblemente del orden de 10 a 20 % del
acero utilizado en puentes ferroviarios, permite sólo ahorros o economías de un
10 por ciento.
Un elemento estructural de dimensiones dadas podrá soportar más carga si es
parte de una estructura continua, que si estuviese simplemente apoyado. La
continuidad permite el uso de elementos de menores dimensiones para las
mismas cargas y claros, o bien, un mayor espaciamiento de los apoyos para
elementos de iguales dimensiones. La posibilidad de utilizar menos columnas
en edificios, o un menor número de pilares en el caso de puentes, puede
ocasionar una reducción global de los costos.
Mayores factores de seguridad.
Las estructuras estáticamente indeterminadas tienen con frecuencia mayores
factores de seguridad que las estáticamente determinadas. El estudiante
aprenderá en los cursos sobre estructuras de acero y de concreto reforzado
que cuando parte esas estructuras resultan sobrefatigadas, éstas tienen la
capacidad de redistribuir parte de esos sobreesfuerzos a zonas menos
fatigadas. Las estructuras estáticamente determinadas no tienen generalmente
esta capacidad.
Mayor rigidez y menores deflexiones.
Las estructuras estáticamente indeterminadas son más rígidas que las
estáticamente determinadas y sus deflexiones son menores. Gracias a su
continuidad son más rígidas y tienen mayor estabilidad frente a todo tipo de
cargas (horizontal, vertical, móvil, etc.).
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Estructuras más atractivas.
Es difícil imaginar a las estructuras estáticamente determinadas con la belleza
arquitectónica de muchos arcos y marcos rígidos hiperestáticos que se
construyen hoy en día.
Adaptabilidad al montaje en voladizo.
El método de montaje en voladizo de puentes es de gran valor cuando las
condiciones en el sitio de erección (tráfico naval o niveles muy profundos del
agua) obstaculizan la erección de la obra falsa. Los puentes continuos
estáticamente indeterminados y los de tipo en voladizo pueden eregirse
convenientemente con el método de montaje en voladizo.
4 DESVENTAJAS DE LAS ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS.
Un análisis comparativo de las estructuras estáticamente determinadas,
respecto de las estáticamente indeterminadas, pone de relieve que estas
últimas poseen ciertas desventajas que las hacen poco prácticas en muchas
aplicaciones. Estas desventajas se explican detalladamente en los párrafos
siguientes.
Asentamiento de los apoyos.
Las estructuras hiperestáticas no son convenientes en todos aquellos casos
donde las condiciones de cimentación sean impropias, pues los asentamientos
o ladeos que se presenten en los apoyos de la estructura por leves que
parezcan, pueden causar cambios notables en los momentos flexionantes,
fuerzas cortantes, esfuerzos totales y reacciones. En casos donde se realice la
construcción de puentes con estructura hiperestática, a pesar de condiciones
de cimentación deficientes, suele ser necesario modificar las reacciones
debidas a carga muerta. Los puntos de apoyo se levantan o se bajan
mecánicamente hasta un nivel en donde se presente la reacción calculada,
después de lo cual los apoyos de la estructura se construyen hasta dicho nivel.
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Aparición de otros esfuerzos.
El hundimiento de los apoyos no es la única condición que altera los esfuerzos
que se producen en estructuras estáticamente indeterminadas. Los cambios en
la posición relativa de los elementos estructurales causados por variación de
temperatura, fabricación deficiente o deformaciones internas por acción de la
carga, pueden causar cambios graves en las fuerzas en toda estructura.
Dificultad de análisis y diseño.
Las fuerzas en las estructuras estáticamente indeterminadas dependen no
únicamente de sus dimensiones, sino también de sus propiedades elásticas
(módulo de elasticidad, momentos de inercia, secciones transversales, etc.).
Esta situación da lugar a una seria dificultad en cuanto a su diseño: no podrán
determinarse las dimensiones si no que se conocen antes las fuerzas que
actúan en ellos. El problema se resuelve suponiendo las dimensiones de sus
elementos para dichas fuerzas y evaluando las fuerzas para las nuevas
dimensiones supuestas y así sucesivamente, hasta lograr el diseño final. El
cálculo mediante este procedimiento (método de aproximaciones sucesivas) es
más tardado que el que se requiere para diseñar una estructura isostática
similar, pero el costo adicional solo es una pequeña parte del costo total de la
estructura. Tales diseños se llevan mejor a cabo por medio de una interacción
con una computadora. Este tipo de interacción se usa ampliamente en la
actualidad en la industria automotriz y aeronáutica.
Inversión de las fuerzas.
Generalmente en las estructuras hiperestáticas se produce un mayor número
de inversiones de fuerzas que en las estructuras isostáticas. En ocasiones se
requiere de más material de refuerzo en ciertas secciones de la estructura,
para resistir los diferentes estados de esfuerzos.
5 ANALISIS APROXIMADO DE ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS.
Las estructuras estáticamente indeterminadas pueden ser analizadas ya sea
en forma “exacta” o bien de modo “aproximado”. En este capitulo se presentan
métodos aproximados que exigen el empleo de hipótesis simplificadas. Tales
procedimientos tienen muchas aplicaciones prácticas, como las siguientes:
Para hacer un análisis “exacto” de una estructura complicada estáticamente
indeterminada, es necesario que el proyectista competente “modele” la
estructura, o sea, que haga ciertas hipótesis sobre su comportamiento. Por
ejemplo, los nudos pueden suponerse simples o semirrígidos. Además pueden
suponerse ciertas características del comportamiento del material así como de
las condiciones de carga. La consecuencia de todas esas hipótesis es que
todos los análisis son aproximados (o dicho de otra manera, aplicamos un
método de análisis “exacto” a una estructura que en realidad no existe).
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Además, todos los métodos de análisis son aproximados en el sentido de que
toda estructura se construye con ciertas tolerancias, ninguna estructura es
perfecta ni su comportamiento puede determinarse con precisión.
Se espera que los métodos aproximados descritos en este capitulo
proporcionen al lector un conocimiento del conjunto o le permitan “sentir” un
gran número de tipos de estructuras indeterminadas estáticamente antes de
considerar las técnicas “exactas” de solución. No todos los tipos de estructuras
estáticamente indeterminadas se considerarán en este capitulo. Sin embargo,
se espera que con base en las ideas presentadas aquí, el estudiante sea capaz
de hacer hipótesis razonables cuando encuentre otros tipos de estructuras
indeterminadas.
Existen muchos métodos diferentes para efectuar análisis aproximados. Se
presentarán aquí algunos de los más comunes, especialmente los aplicables a
marcos y a armaduras.
6 VIGAS CONTINUAS.
Antes de comenzar un análisis “exacto” de una estructura es necesario estimar
los tamaños de sus elementos. Los tamaños preliminares de las vigas pueden
determinarse considerando sus momentos aproximados. Con frecuencia es
práctico aislar una sección de un edificio y analizar esa parte de la estructura.
Por ejemplo, uno o más claros de vigas pueden aislarse como cuerpo libre y
hacer hipótesis sobre los momentos en esos claros. Para facilitar tal análisis, se
muestran en la fig. 10.12 los diagramas de momentos flexionantes para
diferentes vigas cargadas uniformemente.
Al analizar esta figura resulta obvia que el tipo de apoyo tiene un efecto
considerable en la magnitud de los momentos. Por ejemplo, la viga simple con
cargas uniforme de la fig. 10.12 (a) tiene un momento máximo de , en
tanto que la viga doblemente empotrada con carga uniforme tendrá uno de
. Para una viga continua cargada uniformemente se podría estimar un
momento máximo con un valor intermedio entre los dos anteriores, digamos
, y utilizar este valor para el dimensionamiento preliminar de la viga.
Un método muy común para analizar en forma aproximada estructuras de
concreto reforzado continuas, estriba en emplear los coeficientes de momentos
y fuerzas cortantes del Instituto Americano del Concretoe (ACI)(1). Estos
coeficientes, que en la tabla 10.1, proporcionan los momentos y cortantes
estimados máximos para edificios de proporciones normales. Los valores
calculados de esta manera serán en general un poco mayores que los que de
lograrían con un análisis exacto. Se considera que estos coeficientes son de
máxima utilidad en marcos continuos que tengan más de tres o cuatro claros.
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Para determinar estos coeficientes, los valores de los momentos negativos se
redujeron para tomar en cuenta los anchos comunes de apoyo y también la
redistribución plástica de los momentos que ocurre antes del colapso. Por esta
última razón se incrementaron un tanto los momentos positivos. Se observará
que los coeficientes toman en cuenta el hecho de que en la construcción
monolítica los soportes no son simples y que se presentan momentos en los
apoyos extremos, sobre todo cuando tales apoyos están constituidos por vigas
o columnas.
En las expresiones para los momentos positivos, w es la carga de diseño en
tanto que es el claro libre para calcular los momentos positivos y el promedio
de claros adyacentes para calcular los momentos negativos. Estos valores de
determinaron para miembros con claros aproximadamente iguales (el mayor de
los dos claros adyacentes no excede al menor en más de 20%) y para casos
en los que la relación de la carga viva uniforme de servicio con la carga muerta
uniforme, también de servicio, no es mayor que tres. Estos coeficientes no son
aplicables a elementos de concreto pre reforzado. Si estas condiciones
limitantes no se cumplen deberá usarse un método más preciso de análisis.
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Para el diseño de una viga o de una losa continua, los coeficientes de
momentos proporcionan dos conjuntos de diagramas de momento flexionante
para cada claro de la estructura. Un diagrama resulta de colocar las cargas
vivas de manera que produzcan un momento máximo positivo en el claro, en
tanto que el otro resulta de colocar las cargas vivas de manera que produzcan
un momento máximo negativo en los apoyos. Sin embargo, no es posible
producir momentos máximos negativos en ambos extremos de un claro,
simultáneamente. Se necesita una posición de las cargas vivas para producir
un momento máximo negativo en un extremo del claro y otra posición para
producir un momento máximo negativo en el otro extremo.
Sin embargo, la suposición de que ambos ocurren al mismo tiempo se
encuentra del lado de la seguridad, porque el diagrama resultante tendrá
valores críticos mayores que los producidos al considerar por separado las
condiciones de carga.
Los coeficientes del ACI dan puntos máximos para una envolvente de
momentos para cada claro de una estructura continua. En la fig. 10.13 se
muestran envolventes típicas para una losa continua construida
monolíticamente con sus apoyos externos que son en este caso trabes de
fachada.
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En algunas ocasiones el proyectista aislará una parte de sus estructuras que
no solo incluya las vigas sino también las columnas de los pisos superiores e
inferiores, como se muestra en la fig. 10.14. Este procedimiento, llamado
método del marco equivalente, es sólo aplicable a cargas de gravedad. Los
tamaños de los elementos se estiman y se hace un análisis usando un método
apropiado “exacto” tal como el de distribución de momentos de Cross que se
describe en los capítulos 14 y 15.
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN:
Para aplicar este método a cualquier tipo de estructura tenemos que hallar
esas ecuaciones de relación fuerza-desplazamiento en función de cualquier
tipo de desplazamiento que sufra un elemento dado, ya sea giro, alargamiento
o desplazamiento relativo en los apoyos de tal manera que encontremos una
relación general F=k* Δ donde k es la rigidez del elemento para cualquier
desplazamiento.
Adicionalmente se ha planteado que el método parte de escribir las ecuaciones
de equilibrio en los nudos en la dirección de los grados de libertad libres. Estas
ecuaciones implican que las fuerzas estén aplicadas en los nudos y no en las
luces. Sería casi imposible decir que todas las estructuras que analicemos
tendrán sus cargas aplicadas en los nudos, entonces la forma en que se
analizan estas estructuras es considerar los elementos que la componen
totalmente empotrados y encontrar los momentos de extremo producido por las
cargas actuantes en la luz. Una vez planteados estos momentos se sueltan los
grados de libertad que son libres y se determina la modificación de estos
momentos de extremo por el hecho de producirse los movimientos de estos
grados de libertad. El trabajo a realizar es por superposición, donde el
momento total en un extremo es la suma de los efectos de rotación y de los
momentos de empotramiento debidos a las cargas.
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APORTE DEL METODO DE GAUSS JORDAN
Cuando una estructura tiene dos dos o mas tramos se dice que es
indeterminada ya que posee multiples variables a calcular, aplicando principios
e la estatica y asiendo uso del método de GAUSS JORDAN, se pueden
resolver con mucha facilidad y asu vez con mucha presicion estas ecuaciones
que aparecen al momento de calcular una estructura.
EJEMPLO DEMOSTRATIVO DEL METODO DE GAUSS JORDAN
APLICADO ALA INGENIERIA CIVIL EN LA SOLUCION DE CALCULO DE
ESFUERZOS EN UNA VIGA INDETERMINADA
(análisis estructural)
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EJEMPLO DEMOSTRATIVO DEL METODO DE GAUSS JORDAN
APLICADO ALA INGENIERIA CIVIL
(MATLAB)
METODO GAUSS JORDAN:
function x=gaussj(A,b) A=[A b]; n=size(A,1); for i=1:n A(i,:)=A(i,:)/A(i,i); for j=1:n if i~=j A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i); end end end x=A(:,n+1); end
INTRODUCIENDO DATOS :
>> gaussj([2/5 1/5 0; 1/5 9/10 1/4; 0 1/4 1/2],[-7.2; -21.87; 40])
ans =
1.0e+002 *
RESULTADOS (comprobados)
0.103481481481481
-0.566962962962963
1.083481481481482
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CONCLUSIONES
Cuando se tiene vigas de mas de dos tramos como en el caso de puentes para
poder analizarlas estas estructuras existen diferentes métodos , con la ayuda
del método de gauss jordan permite a los ingenieros desarrollar multiples
sistemas de ecuaciones de manera presisa, además estos métodos en los
últimos años han permitido evolucionar el análisis de estructuras con ayuda de
un ordenador, permitiendo realizar análisis a estructuras en tres dimensiones,
el caso mas conocido es el programa SAP 2000 y ETABS los cuales fueron
desarrollados íntegramente de forma matricial.
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BIBLIOGRAFIA
- ANALSIS ESTRUCTURAL, hibbeler
- RESISTENCIA DE MATERIALES Ed. MIR
- ANALISIS ESTRUCTURAL Jeffrey P. Laible
- ANALISIS ESTRUCTURAL Harry H. West
- Métodos numéricos aplicados a la ingeniería civil , CHOPRA
- Métodos numéricos con matlab , NAKAMURA
- www.metodosnumericosaplicadosalaingenieriacivil.com
- www.aplicacionesdeingenienriaenmatlab.com
- http://estructuras.eia.edu.co/estructurasII/metodo%20de%20la%20rigide
z/pendiente%20deflexion/método_pendiente_deflexión.htm