Estruturas algebricas Cultura Acad�mica

8/17/2019 Estruturas algebricas Cultura Acad�mica

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ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

Mauri Cunha do Nascimento

Hércules de Araujo Feitosa


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Universidade Estadual Paulista

Reitor Julio Cezar Durigan

Pró-Reitor de Graduação Laurence Duarte Colvara

Pró-Reitor de Pós-Graduação Eduardo Kokubun

Pró-Reitora de Pesquisa Maria José Soares Mendes Giannini

Pró-Reitora de Extensão Universitária Mariângela Spotti Lopes Fujita

Pró-Reitor de Administração Carlos Antonio Gamero

Secretária Geral Maria Dalva Silva Pagotto

Chefe de Gabinete Roberval Daiton Vieira


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São Paulo

2013

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Mauri Cunha do Nascimento

Hércules de Araujo Feitosa



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© Pró-Reitoria de Graduação, Universidade Estadual Paulista, .

Ficha catalográfica elaborada pela Coordenadoria Geral de Bibliotecas da Unesp

N244eNascimento, Mauri Cunha doEstruturas Algébricas / Mauri Cunha do Nascimento [e] Hércules de Araujo

Feitosa. – São Paulo : Cultura Acadêmica : Universidade Estadual Paulista,Pró-Reitoria de Graduação, 2013.

172 p. Bibliograa ISBN 978-85-7983-418-9

1. Álgebra. I. Título. II. Feitosa, Hércules de Araujo. III. UniversidadeEstadual Paulista. Pró-Reitoria de Graduação.

CDD 512

Pró-reitor Laurence Duarte Colvara

Secretária Joana Gabriela Vasconcelos Deconto

Assessoria José Brás Barreto de OliveiraMaria de Lourdes Spazziani

Valéria Nobre Leal de Souza Oliva

Técnica Bambina Maria MiglioriCamila Gomes da Silva

Cecília Specian Eduardo Luis Campos Lima Gisleide Alves Anhesim Portes Ivonette de Mattos Maria Emília Araújo Gonçalves Maria Selma Souza Santos Renata Sampaio Alves de Souza Sergio Henrique Carregari

Projeto gráfico Andrea Yanaguita

Diagramação Mauri da Cunha Nascimento Hércules de Araujo Feitosa

Finalização Estela Mletchol

equipe


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PROGRAMA DE APOIO

À PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO

Considerando a importância da produção de material didático-pedagógico

dedicado ao ensino de graduação e de pós-graduação, a Reitoria da UNESP, por

meio da Pró-Reitoria de Graduação (PROGRAD) e em parceria com a Funda-

ção Editora UNESP (FEU), mantém o Programa de Apoio à Produção de

Material Didático de Docentes da UNESP, que contempla textos de apoio às

aulas, material audiovisual, homepages, softwares, material artístico e outras

mídias, sob o selo CULTURA ACADÊMICA da Editora da UNESP, disponibi-lizando aos alunos material didático de qualidade com baixo custo e editado

sob demanda.

Assim, é com satisfação que colocamos à disposição da comunidade aca-

dêmica mais esta obra, “Estruturas Algébricas”, de autoria dos Professores:

Dr. Mauri Cunha do Nascimento e Dr. Hércules de Araujo Feitosa, da Facul-

dade de Ciências do Câmpus de Bauru, esperando que ela traga contribuição

não apenas para estudantes da UNESP, mas para todos aqueles interessados noassunto abordado.


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INTRODUÇÃO 11

1 PRELIMINARES 15

1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Operações com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Relação de equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6 Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7 Propriedades das operações . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8 Os inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 GRUPOS 35

2.1 Definições e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2 Propriedades dos grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3 Produto de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4 Grupos de permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5 Grupos de simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.6 Grupos cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.7 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.8 Classes laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.9 Subgrupos normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.10 Grupo quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.11 Homomorfismo de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.12 Grupos solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Sumário


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3 ANÉIS 73

3.1 Definições e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.2 Os anéis Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3 Propriedades dos anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.4 Subanéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.5 Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.6 Homomorfismo de anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.7 Anel quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.8 O teorema do isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.9 Característica de um anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.10 O corpo de frações de um domínio de integridade . . . . . 1003.11 Sobre um corpo ordenado e completo . . . . . . . . . . . 102

4 POLINÔMIOS 111

4.1 Anel de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2 Ideais principais e máximo divisor comum . . . . . . . . . 117

4.3 Polinômios irredutíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.4 Fatoração em polinômios irredutíveis . . . . . . . . . . . 1234.5 Polinômios sobre os inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5 CORPOS 131

5.1 Extensões algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.2 Imersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.3 Extensões de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.4 Elementos da Teoria de Galois . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.5 Construções com régua e compasso . . . . . . . . . . . . . 155

5.6 Resolução de equações com radicais . . . . . . . . . . . . 162

5.7 Polinômios Solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

BIBLIOGRAFIA 169

ÍNDICE REMISSIVO 171

8 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS |


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NOTAÇÕES

A[x] - anel de polinômios com coeficientes em A - pag.111

[L : K ] - grau da extensão de L sobre K - pag.134∂p(x) - grau do polinômio p(x) - pag.113

[a1, a2, . . . , an] espaço vetorial gerado por {a1, a2, . . . , an}K (a1, a2, . . . , an) - o menor corpo que contém K e {a1, a2, . . . , an}Im(h) - a imagem da função h

N (h) - o núcleo do homomorfismo h

Gal(f (x), K ) - o corpo de decomposição de f (x) sobre K - pag.144

K G

- o corpo fixo de K por G - pag.145G(L, K ) - o grupo dos K -automorfismos de L - pag.146

H < G - H subgrupo de G

H G - H subgrupo normal de G

LH - o corpo fixo de L por H - pag.151

I(K, L) - conjunto dos corpos intermediários entre K e L - pag.151

S n - grupo de permutações - pag.56

G(f (x), K ) - o grupo de Galois de f(x) - pag.148N, Z, Q, R, C - conjuntos numéricos - pag.15.

X ∗ - X − {0}∅ - conjunto vazio

A ⊆ B - A subconjunto de BA ⊂ B - A é subconjunto próprio de BA − B - conjunto dos elementos de A que não estão em BP(E ) - o conjunto das partes de E iA - a função identidade de A em A

a | b - a divide bmdc(a, b) - o máximo divisor comum de a e b

mmc(a, b) - o mínimo múltiplo comum de a e b

M m×n(R) - conjunto das matrizes m × nM n(R) - conjunto das matrizes quadradas de ordem n

I n - matriz identidade n × n⟨a⟩ - grupo cíclico gerado por a⟨S ⟩ - subgrupo gerado por S


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⟨a1, a2, . . . , an⟩ - subgrupo gerado por {a1, a2, . . . , an}|G| - ordem do grupo G|a| - ordem do elemento a

(G : H ) - índice do subgrupo H em G



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Introdução

Uma parte significativa do trabalho matemático consiste em com-preender e desenvolver estruturas matemáticas. De um modo geral,

uma estrutura matemática é determinada por um conjunto universo de

objetos matemáticos, por operações que envolvem estes objetos e tam-

bém por relações entre esses elementos do universo.

Um exemplo bastante simples e que está na experiência mate-

mática de todo estudante é a estrutura matemática determinada por

(N, 0, 1, +, ·, s, ≤), em que N é o conjunto dos números naturais, 0 e 1são dois números naturais particulares, s é a operação (função) suces-

sor, que a cada número natural n atribui o seu sucessor n + 1, + é a

operação de adição de números naturais, · é a operação de multiplica-ção de números naturais e ≤ é a relação usual de ordem de númerosnaturais.

Para certas estruturas, tratamos e quantificamos sobre operações e

relações com conjuntos de conjuntos do universo. São estruturas desegunda ordem, importantes e corriqueiras no contexto matemático.

Por exemplos, estruturas topológicas são deste tipo.

Podemos destacar alguns aspectos de uma estrutura e nos debruçar-

mos apenas sobre este quesito. Por exemplo, podemos estudar apenas

(N, ≤), isto é, o conjunto dos números naturais com sua usual relaçãode ordem, mas sem operações. Uma estrutura matemática sem opera-

ções é chamada estrutura relacional. Por outro lado, podemos esqueceras relações da estrutura matemática e nos concentrarmos nas suas ope-

rações, de modo a caracterizar quais propriedades as operações daquela


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Capítulo 1

Preliminares

Neste capítulo inicial, faremos uma rápida apresentação sobre

alguns conceitos matemáticos necessários para o desenvolvimento dos

tópicos que surgirão no texto. Todos estes temas são usualmente vis-

tos em momentos anteriores ao estudo das estruturas algébricas como

desenvolvidos nos capítulos seguintes.

1.1 Conjuntos

O conceito de conjunto é fundamental para os desenvolvimentos

deste texto e também da Matemática de um modo geral. Faremos uma

abordagem rápida em que apresentaremos aspectos da álgebra dos

conjuntos. Detalhes sobre tratamento mais cuidadoso e axiomático

dos conjuntos podem ser encontrados em [5].

As notações abaixo são as usuais para os conjuntos numéricos:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} o conjunto dos números naturais;Z = {... − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,...} o conjunto dos números inteiros;Q = {a

b : a, b ∈ Z e b̸ = 0} o conjunto dos números racionais;

R o conjunto dos números reais, que consiste dos números racionais

e dos irracionais;C = {a+bi : a, b ∈ R e i2 = −1} o conjunto dos números complexos.


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Denotamos, em geral, os conjuntos por letras maiúsculas e seus

elementos por letras minúsculas. O símbolo : entre chaves deve ser

lido como “tal que”.

Se A é um conjunto de números, denotamos por A∗ o conjunto A

sem o zero. Assim, N∗ = {1, 2, 3,...}.

Representamos um conjunto dispondo seus elementos entre cha-

ves, como nos seguintes casos, A = {a,b,c}, B = {0, 2, 4, ..., 2n,...} eP = {x ∈ B : x > 5}.

Escrevemos a ∈ A para indicar que o elemento a pertence aoconjunto A e escrevemos a /∈ A para denotar que o elemento a nãopertence ao conjunto A. Para o conjunto A = {−1, 0, 1}, temos−1 ∈ A, 2 /∈ A, 0 ∈ A, ....

O conjunto vazio é o único conjunto que não contém elementos.

Denotamos o conjunto vazio por { } ou, da maneira mais usual, por ∅.

Um conjunto é unitário quando possui apenas um elemento. Por

exemplo, A = {a} e B = {x ∈ Z : x2 = 0} são conjuntos unitários.

O conjunto universo V é constituído por todos os elementos que es-

tão em consideração. Por isso, muitas vezes, é chamado de universo dediscurso. Como exemplo, na Geometria Euclidiana Plana, o conjunto

universo é o plano euclidiano.

Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B quando todos os

elementos de A são também elementos de B. Nesse caso, dizemos

também que A está contido em B ou que B contém A. Denotamos a

inclusão de conjuntos por: A ⊆ B.

Para qualquer conjunto A, temos ∅ ⊆ A e A ⊆ A. Estes dois


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| PRELIMINARES 17

subconjuntos são chamados de subconjuntos triviais de A.

O conjunto A é um subconjunto próprio de B se A ⊆ B e A ̸= B.

Denotamos a inclusão própria por: A ⊂ B.

Se A = {−1, 0, 1} e B = {−3, −2, −1, 0, 1, 2}, então temos A ⊂ B.Neste caso também é correto escrever A ⊆ B.

Dois conjuntos A e B são iguais quando têm exatamente os mesmos

elementos. A igualdade de conjuntos é denotada por A = B .

Os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {x ∈ N : x ≤ 2} possuem osmesmos elementos e, deste modo, A = B .

1.2 Operações com conjuntos

As operações com conjuntos nos ensinam como operar comconjuntos e obtermos novos conjuntos a partir de conjuntos dados.

Introduzimos, a seguir, as operações de união, intersecção, comple-

mentação e diferença de conjuntos.

Sejam A e B dois conjuntos dados:

A união de A e B é o conjunto A ∪ B dos elementos que pertencem

a A ou a B.A intersecção de A e B é o conjunto A ∩ B dos elementos que per-

tencem a A e a B.

A diferença entre A e B é o conjunto A−B formado pelos elementosque pertencem a A, mas não pertencem a B.

O complementar de A relativo ao universo V éoconjunto A′ formado

pelos elementos que pertencem a V , mas não pertencem a A.

Dois conjuntos A e B são disjuntos quando A ∩ B = ∅.

Dessas operações entre conjuntos seguem as seguintes proprieda-


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des das operações com conjuntos:

Propriedades da união:

A ∪ A = A [Idempotência]

A ∪ B = B ∪ A [Comutatividade](A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) [Associatividade]A ∪∅ = A [Elemento neutro]A ∪ V = V [Elemento absorvente]A ⊆ A ∪ B [Disjunção]

Propriedades da intersecção:

A ∩ A = A [Idempotência]A ∩ B = B ∩ A [Comutatividade](A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) [Associatividade]A ∩∅ = ∅ [Elemento absorvente]A ∩ V = A [Elemento neutro]A ∩ B ⊆ A [Conjunção]

Propriedades distributivas:

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

Propriedades do complementar:

(A′)′ = A [Duplo complementar]

A ∩ A′ = ∅A ∪ A′ = V

Propriedades de absorção e diferença:

A ∩ (A ∪ B) = AA ∪ (A ∩ B) = AA − B = A ∩ B′.

Exercícios

1. Verificar a validade das propriedades das operações com conjuntos.


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1.3 Relações

No contexto matemático é usual tomarmos dois elementos e

compararmos um com outro. Observar que um é maior que o outro,

que são iguais, que guardam algum tipo de propriedade ou relação.

A abstração algébrica destas situações nos remetem ao conceito de

relações, como veremos agora.

O produto cartesiano de um conjunto A por um conjunto B, que é

denotado por A × B, é o conjunto de todos os pares ordenados (a, b)

tais que a ∈ A e b ∈ B. Deste modo, A × B = {(a, b) : a ∈ A e b ∈ B}.Também dizemos que este é um produto cartesiano binário, mo-

tivado pelo estudo do plano cartesiano, inicialmente investigado por

Rene Descartes, mas que pode ser generalizado para uma coleção de

conjuntos, do seguinte modo:

A1 × A2 × ... × An = {(a1, a2,...,an) : ai ∈ Ai}.

Uma relação binária de A em B é qualquer subconjunto de A × B.

Em geral trataremos de relações binárias e diremos apenas rela-

ção. Se R é uma relação, algumas vezes escrevemos xRy ao invés

de (x, y) ∈ R. Vejamos que isto é o que ocorre com a usual re-lação de ordem ≤ no conjunto dos números reais R. Temos queR = {(x, y) ∈ R × R : x é menor ou igual a y}, contudo, corriqueira-mente denotamos esta relação por “x ≤ y” e não por “(x, y) ∈ R”.

Uma relação em um conjunto A (ou sobre um conjunto A) é um

subconjunto R do produto cartesiano A × A.

Seja R uma relação sobre A. Dizemos que R é:

(i) reflexiva quando, para todo a ∈ A, ocorre aRa;(ii) simétrica quando, para todos a, b ∈ A, se aRb, então bRa;(iii) transitiva quando, para todos a, b, c ∈ A, se aRb e bRc, então


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aRc;

(iv) anti-simétrica quando, para todos a, b ∈ A, se aRb e bRa, entãoa = b.

(v) linear quando, para todos a, b ∈ A, ocorre aRb ou bRa.Uma relação de ordem sobre um conjunto A é uma relação reflexiva,

anti-simétrica e transitiva. Uma relação de ordem total sobre A é uma

relação de ordem linear.

Exemplo 1.1. Se E é um conjunto qualquer, o conjunto das partes de E

é o conjunto P(E ) = {

X : X

⊆ E

}. Então (P(E ),

⊆) é uma relação de

ordem, mas não é uma ordem total.

Exemplo 1.2. A relação R = {(a, b) ∈ R : a ≤ b} é uma ordem linear.

Exercícios

1. Justificar a ordem da inclusão de conjuntos acima e mostrar porque

ela não é total.

1.4 Relação de equivalência

As relações de equivalência são importantes para os desdobra-

mentos algébricos que planejamos encaminhar. De certo modo, elas

generalizam uma relação de igualdade.

Uma relação de equivalência sobre um conjunto A é uma relação re-

flexiva, simétrica e transitiva.

Exemplo 1.3. A relação de igualdade em qualquer conjunto é sempre uma

relação de equivalência.

Exemplo 1.4. A semelhança de triângulos é uma relação de equivalência.

DadaumaumarelaçãodeequivalênciaRemumconjuntoA e a ∈ A,a classe de equivalência de a segundo a relação R é o conjunto [a] = {x ∈A : xRa}.


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Quando f : A → B é uma função de A em B, então dizemos que Aé o domínio de f , B é o contradomínio de f e a imagem de f é o conjunto

Im(f ) = {b ∈ B : b = f (a), para algum a ∈ A}.

Exemplo 1.7. Para um conjunto A , iA : A → A é a função identidade emA que é definida por iA(x) = x , para todo x ∈ A.

Uma função f : A → B é sobrejetiva quando Im(f ) = B. Ela éinjetiva quando, para x, y ∈ A, se x ̸= y, então f (x) ̸= f (y) e é bijetivase é injetiva e sobrejetiva.

1.6 Operações

São as operações e as propriedades partilhadas pelas operações

que determinam as estruturas algébricas. Recordemos então alguns

aspectos das operações, que são casos particulares de funções.

Uma operação binária sobre um conjunto A é uma função

∗ : A × A → A.

Assim, uma operação binária em A associa a cada par de elementos

de A um outro elemento de A.

Exemplo 1.8. A adição é uma operação em R , pois a soma de números

reais é ainda um número real.

Exemplo 1.9. Do mesmo modo, a adição é uma operação em N , Z , Q , R

e C.

Exemplo 1.10. A multiplicação também é uma operação emN , Z , Q , R e

C.

Exemplo 1.11. A subtração não é uma operação N , pois 0 ∈ N e 1 ∈ N ,mas 0 − 1 /∈ N. Mas a subtração é uma operação nos conjuntos Z , Q , R eC.


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| PRELIMINARES 23

Exemplo 1.12. No conjunto das matrizes reais quadradas de ordem n , a

adição e o produto de matrizes são operações.

Assim como na adição + e na multiplicação

·, indicamos cada ope-

ração genérica por um símbolo específico para aquela operação.

Exemplo 1.13. Em N a operação sucessor definida por s(n) = n + 1 é

uma operação de aridade 1 ou unária.

Uma estrutura algébrica é determinada por um par (A, {♮i}i∈I ), emque A é um conjunto não vazio e {♮i} é um conjunto de operações dearidades finitas sobre A.

Exemplo 1.14. (N, s, +, ·) é uma estrutura algébrica determinada peloconjuntodosnúmerosnaturaisN , munido das operações sucessor s , adição

+ e multiplicação ·.

Veremos, posteriormente, que as propriedades partilhadas pelas

operações de cada estrutura algébrica é que caracterizarão as particu-

lares estruturas que investigaremos no texto.

1.7 Propriedades das operações

Sejam ∗ e # operações sobre um conjunto A.

Propriedade associativa: a operação ∗ é associativa se para todosx,y,z ∈ A, tem-se: x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z.

Propriedade comutativa: a operação ∗ é comutativa quando paratodos x, y ∈ A, tem-se: x ∗ y = y ∗ x.

Elemento Neutro: a operação ∗ admite um elemento neutro e ∈ Ase para todo x

∈A tem-se: x

∗e = x = e

∗x.

Elemento Inverso ou Simétrico: um elemento x de A tem um inverso

segundo a operação ∗, quando existe x′ ∈ A tal que x ∗ x′ = e = x′ ∗ x,


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em que e é o elemento neutro de A em relação à operação ∗.

Se o elemento tem um inverso (ou simétrico) ele é chamado de

inversível (ou simetrizável). Algumas vezes o elemento simétrico deum elemento segundo uma operação de adição é chamado de oposto;

e o elemento simétrico segundo uma operação de multiplicação é

chamado de inverso.

Lei do Cancelamento: a lei do cancelamento vale para a operação

∗ se para todos x, y, z ∈ A tem-se: x ∗ y = x ∗ z ⇒ y = z ey ∗ x = z ∗ x ⇒ y = z.

Propriedade Distributiva: a operação # é distributiva em relação à

operação ∗ quando, para todos x, y, z ∈ A, valem:x#(y ∗ z) = (x#y) ∗ (x#z) e (y ∗ z)#x = (y#x) ∗

(z#x).

Exemplo 1.15. As operações usuais de adição e multiplicação de números

reais são associativas e comutativas.

Exemplo 1.16. A subtração sobre Z não é associativa nem comutativa,

pois: (9 − 3) − 5 = 1̸ = 7 = 9 − (5 − 3) e 4 − 2 = 2̸ = −2 = 2 − 4.Exemplo 1.17. A adição e a multiplicação de matrizes reais n × nsão associativas. A adição é comutativa, mas a multiplicação não. Por

exemplo, no caso de matrizes 2

×2:(

1 1

0 0

)( 1 0

1 0

)=

( 2 0

0 0

)e

( 1 0

1 0

)( 1 1

0 0

)=

( 1 1

1 1

).

Exemplo 1.18. Os números 0 e 1 são respectivamente os elementos neu-

tros para a adição e multiplicação em N , Z , Q , R e C.

Exemplo 1.19. A adição de matrizes em M m×n(R) tem como elemento

neutro a matriz nula m × n.Exemplo 1.20. A subtração não tem elemento neutro em Z , pois: 2 − a =2 ⇒ a = 0 e a − 2 = 2 ⇒ a = 4.


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| PRELIMINARES 25

Exemplo 1.21. Todo número inteiro tem seu oposto em Z , pois: n +

(−n) = 0 = −n + n.

Exemplo 1.22. O número 2 não é um elemento inversível para a multipli-

cação em Z , pois não existe n ∈ Z tal que 2n = 1.

Exemplo 1.23. Para a multiplicação em R , não vale a lei do cancela-

mento, pois 0.3 = 0.4 , contudo 3̸ = 4.

Observar que em R, a multiplicação é distributiva em relação à adi-

ção e em M n(R), a multiplicação é distributiva em relação à adição.

Exercícios

1. Verificar que:

(a) A composição de funções de R em R é associativa.

(b) A potenciação em N não é associativa, nem comutativa.

(c) A divisão em R∗ não é associativa, nem comutativa.

2. Mostrar que se uma operação ∗ admite elemento neutro, então ele éúnico.

3. Indicar os elementos neutros para a adição e para a multiplicação de

matrizes reais de ordem 2 isto é, matrizes de ordem 2 × 2.4. Seja ∗ uma operação associativa e com elemento neutro. Mostrar quese x tem um simétrico segundo ∗, então ele é único.5. Seja ∗ uma operação com elemento neutro. Mostrar que:(a) se x é simetrizável, então o seu simétrico x′ também é simetrizávele (x′)′ = x;

(b) se ∗ é associativa e x, y ∈ A são simetrizáveis, então (x ∗ y) é sime-trizável e (x ∗ y)′ = y ′ ∗ x′.6. Seja ∗ uma operação com elemento neutro num conjunto A. Mostrarque A tem pelo menos um elemento simetrizável.

7. Mostrar que para a adição em Z vale a lei do cancelamento.

8. Seja ∗ uma operação associativa e com elemento neutro. Mostrar quese x é simetrizável, então podemos cancelar x, isto é, podemos mostrar

que a ∗ x = b ∗ x ⇒ a = b.


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1.8 Os inteiros

Não pretendemos aqui fazer um desenvolvimento da Teoria dos

Números como seria desejável em um curso de graduação. Nossoobjetivo é apenas apresentar alguns conceitos e resultados necessários

para tópicos que virão mais adiante. Esses resultados e conceitos

podem ser encontrados em textos de Teoria dos Números, como por

exemplo em [16].

Consideraremos o conjunto dos números inteiros Z, com as suas

operações usuais de adição + e multiplicação · que satisfazem aspropriedades:

Adição: Para todos a, b, c ∈ Z valem:A1 Associatividade: a + (b + c) = (a + b) + c;

A2 Comutatividade: a + b = b + a;

A3 Elemento neutro: para todo a existe o 0 tal que a +0 = 0+ a = a;

A4 Elemento oposto: para todo a existe −a ∈ Z tal que(−a) + a = a + (−a) = 0;

Multiplicação: Para todos a, b, c ∈ Z valem:M 1 Associatividade: a · (b · c) = (a · b) · c;M 2 Comutatividade: a · b = b · a;M 3 Elemento neutro: para todo a existe o 1 tal que a · 1 = 1 · a = a;M 4 Multiplicação por zero: 0 · a = 0;M 5 Produto nulo: a · b = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0;M 6 Regra do sinal: (−a) · b = a · (−b) = −(a · b) e (−a) · (−b) = a · b;

Distributividade e desigualdades: Para todos a, b, c ∈ Z valem:D0 Distributividade: a · (b + c) = a · b + a · c;D1 a < b

⇔a + c < b + c;

D2 a < b e c > 0 ⇒ a · c < b · c;D3 a < b e c b · c.


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| PRELIMINARES 27

Como usualmente, denotaremos a multiplicação de a por b por a · bou apenas por ab.

Princípio da boa ordenação: Todo conjunto não vazio de nú-meros naturais possui um menor elemento. Isto é, se S ⊆ N e S ̸= ∅,então existe s ∈ S tal que s ≤ n, para todo n ∈ S .

Primeiro princípio de indução: Sejam m ∈ N e P (n) uma sen-tença para n ∈ N, que satisfaz:

(i) P (m) é verdadeira e

(ii) se n ≥ m e P (n) é verdadeira, então P (n + 1) é verdadeira.Então P (n) é verdadeira para todo n ∈ N com n ≥ m.

Segundo princípio de indução: Sejam m ∈ N e P (n) uma sen-tença para n ∈ N, que satisfaz:

(i) P (m) é verdadeira e

(ii) para cada n ∈ N, com n > m, se P (r) é verdadeira para todor ∈ N quando m ≤ r < n, então P (n) é verdadeira.

Então P (n) é verdadeira para todo n ∈ N, com n ≥ m.

O princípio da boa ordenação e os dois princípios de indução

são equivalentes, isto é, a partir de um deles podemos demons-

trar os outros dois. A equivalência pode ser verificada da seguinte

forma: (boa ordenação ⇒ 2o Princípio de Indução ⇒ 1o Princípio deIndução ⇒ boa ordenação) e pode ser encontrada, por exemplo em [16].

Propriedade arquimediana de Z: Se a e b são inteiros e a ̸ = 0,então:

(i) existe d ∈ Z tal que da > b;(ii) existe e

∈Z tal que ea < b.

Divisibilidade: Para a e b inteiros, dizemos que a divide b, ou

que a é um divisor de b, se b é um múltiplo inteiro de a.


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Notação: a | b ⇔ b = qa, para algum q ∈ Z.

Propriedades da divisibilidade: Para quaisquer a,b,c inteiros,

valem:(i) a | a, 1 | a e a | 0;(ii) a | b ⇒ a | bc;(iii) a | b ⇒ a | bn, para todo n ∈ N∗;(iv) a | b e a | c ⇒ a | (b + c);(v) a | b e a | (b + c) ⇒ a | c;(vi) a | b e a | c ⇒ a | (rb + sc), para quaisquer r e s inteiros;

(vii) a | b e b > 0 ⇒ a ≤ b;(viii) ab = 1 ⇒ a = b = 1 ou a = b = −1;(ix) a | b e b | a ⇒ a = b ou a = −b.

Se a1, a2,...,an são inteiros tais que a | ai, para todo i, então,aplicando indução e o ítem (iv) das propriedades acima, prova-se que

p

|(a1 + a2 + . . . + an).

O algoritmo da divisão: Dados n e d inteiros com d > 0, então

existem únicos inteiros q e r tais que n = qd + r e 0 ≤ r < d.

O máximo divisor comum: Dados a e b inteiros não ambos nu-

los, o máximo divisor comum de a e b é um inteiro positivo d que

satisfaz:

(i) d | a e d | b;(ii) se c é um inteiro tal que c | a e c | b, então c | d.

Notação: d = mdc(a, b).

O conceito de máximo divisor comum pode ser estendido para um

conjunto finito de inteiros, tal que nem todos sejam nulos:

O inteiro positivo d é o máximo divisor comum de a1, a2,...,an se:(i) d | ai, para todo i;(ii) se c é um inteiro e c | ai para todo i, então c | d.


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| PRELIMINARES 29

Notação: d = mdc(a1, a2,...,an).

Os inteiros a1, a2,...,an são relativamente primos ou primos entresi quando:

mdc(a1, a2,...,an) = 1.

Propriedades do máximo divisor comum: Para a, b ∈ Z, temos:(i) se d = mdc(a, b), então d é o menor inteiro positivo da forma

ra + sb, para r e s inteiros;(ii) para r, s ∈ Z, se ra + sb = 1, então mdc(a, b) = 1;(iii) se d = mdc(a1, a2,...,an), então mdc(

a1d

, a2

d ,...,

and

) = 1.

Números primos: Um inteiro p > 1 é primo se seus únicos divi-

sores positivos são p e 1.

O Teorema Fundamental da Aritmética: Cada número inteiro

n > 1 decompõe-se de modo único como um produto de primos, no

seguinte sentido:

n = pr11 pr22 .....p

rtt ,

em que p1 < p2 < ... < pt são primos e t, r1, r2, ..., rt são inteiros

positivos.

Propriedades dos números primos: Se p é um número primo,

então:

(i) se p divide um produto de inteiros, então divide pelo menos um

deles;

(ii) se n é um inteiro positivo menor que p, então p n;

(iii) se p n, então mdc(n, p) = 1;(iv) se a e b são inteiros e p | ab, mas p2 ab, então p divide somente

um dos dois números.


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As congruências de módulo n

As congruências módulo n, além de exemplos de relações de

equivalência, têm muitas aplicações algébricas e são importantes

instrumentos para exemplos e contra-exemplos de propriedadesalgébricas.

Sejam a, b, n ∈ Z e n > 1. A relação “a é congruente a b módulo n”,que é denotada por a ≡ b(mod n) é definida por:

a ≡ b(mod n) ⇔ n | a − b ⇔ a − b = q.n, para algumq ∈ Z.

Exemplo 1.24. Temos 5 ≡ 2(mod 3) , 7 ≡ −1(mod 4) , −1 ≡ 13(mod 7) e31 ≡ 31(mod 77).

A congruência módulo n é uma relação de equivalência, pois:

Reflexividade: para todo a ∈ Z, temos que a − a = 0 = 0.n, isto é,a ≡ a(mod n) e, portanto, a relação é reflexiva;Simetria: para todos a, b ∈ Z, se a ≡ b(mod n), então a − b = c.n e,

portanto, b − a = −(a − b) = −c.n. Logo, b ≡ a(mod n) e a relação ésimétrica;

Transitividade: para todos a,b,c ∈ Z, se a ≡ b(mod n) eb ≡ c(mod n), então a − b = d.n e b − c = e.n. Logo,a − c = a − b + b − c = d.n + e.n = (d + e).n. Portanto, a ≡ c(mod n) ea relação é transitiva.

Determinaremos, agora, o conjunto quociente de Z pela congruên-cia módulo n:

Pelo algoritmo da divisão, para cada m ∈ Z existem e são únicos o quo-ciente e o resto q, r ∈ Z, com 0 ≤ r < n, tais que m = qn + r. Assim,m − r = qn, ou seja, m ≡ r(mod n). Desse modo, para cada m ∈ Z,existe um único r ∈ {0, 1,...,n − 1} tal que m ≡ r(mod n), ou seja, em vista do Teorema 1.1, as classes de equivalência de m e de r coincidem.

Também, se 0 ≤ r < s < n, então 0 < s − r ≤ s < n, ou seja, r es não são congruentes módulo n. Denotamos a classe de equivalência

de m ∈ Z por m e temos m ∈ {0, 1,...,n − 1}, conforme observamos


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acima. Se 0 ≤ r ̸= s < n, então r ̸= s e o conjunto quociente de Z pelacongruência é um conjunto com n elementos:

Zn ={

0, 1,...,n−

1}

.

Operações aritméticas em ZnAs operações de adição e multiplicação em Zn são definidas do

modo seguinte.

Para a, b ∈ Zn, definimos:

a + b = a + b e a.b = a.b

Precisamos verificar que as operações acima estão bem definidas,

isto é, se a = b e c = d, então a + c = b + d e a.c = b.d, ou seja,

mostrar que a + b = c + d e a.c = b.d. Como duas classes x e y são

iguais se, e somente se, x ≡ y(mod n), então basta mostrarmos quea + c

≡ b + d(mod n) e a.c

≡ b.d(mod n). Isto será feito na próxima

proposição.

Proposição 1.2. Sejam a, b, c, d, n ∈ Z , com n > 1. Daí:(i) Se a ≡ b(mod n) , então a + c ≡ b + c(mod n) ;(ii) Se a ≡ b(mod n) e c ≡ d(mod n) , então a + c ≡ b + d(mod n) ;(iii) Se a ≡ b(mod n) , então a.c ≡ b.c(mod n) ;(iv) Se a

≡b(mod n) e c

≡d(mod n) , então a.c

≡b.d(mod n) ;

Demonstração: (i) Se a ≡ b(mod n) , então n|(a−b) ⇔ n|(a + c−c−b) ⇔n|(a + c) − (b + c). Portanto, a + c ≡ b + c(mod n) ;

(ii) Se a ≡ b(mod n) e c ≡ d(mod n) , por (i), temos que a + c ≡b + c(mod n) e b + c ≡ b + d(mod n). Pela transitividade da relação ≡ ,a + c ≡ b + d(mod n).

Como a = r, e r é o resto da divisão de a por n, podemos então defi-

nir as operações de adição e multiplicação emZn = {0, 1,...,n − 1} por:

a + b = c e a.b = d,


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em que c e d são, respectivamente, os restos das divisões de a + b e a.b

por n.

Exemplo 1.25. Em Z15 temos 10 + 10 = 5 ; 3 + 7 = 10 ; 6 + 12 = 3 ;

5·5 = 10 ; 10·6 = 0.Vejamos algumas propriedades das operações de Zn.

Proposição 1.3. Se a, b, c ∈ Zn , então:(i) Fechamento: a + b ∈ Zn e a·b ∈ Zn(ii) Comutatividade: a + b = b + a e a·b = b ·a(iii) Associatividade: a + (b + c) = (a + b) + c e a

·(b

·c) = (a

·b)

·c

(iv) Distributividade: a ·(b + c) = a ·b + a·c e (a + b)·c = a ·c + b·c(iv) Neutro da adição: a + 0 = 0 + a = a

(v) Neutro da multiplicação: 1 ·a = a ·1 = a(vi) Multiplicação por zero: 0 ·a = a ·0 = 0(vii) Oposto: a + n − a = n − a + a = 0 , se 0 < a < n e 0 + 0 = 0

Demonstração: (i) Segue das definições das operações.

(ii) Também seguem das definições das operações, pois a + b = b + a e

a.b = b.a.

(iii) a + (b + c) = a + d = e e (a + b) + c = f + c = g , em que d, e, f , e

g são respectivamente os restos das divisões de b + c , a + d , a + b e f + c

por n. Assim, existem números naturais q 1, q 2, q 3 e q 4 tais que:

(1) b + c = q 1n + d (2) a + d = q 2n + e (3) a + b = q 3n + f (4)

f + c = q 4n + g

De (1) e (2) temos a+(b+c) = a+(q 1n+d) = q 1n+(a+d) = q 1n+(q 2n+e).

Logo, a + b + c = (q 1 + q 2)n + e , ou seja, e é o resto da divisão de a + b + c

por n.

De (3) e (4) temos (a+b)+c = (q 3n+f )+c = q 3n+(f +c) = q 3n+(q 4n+g).

Logo, a + b + c = (q 3 + q 4)n + g , ou seja, g é o resto da divisão de a + b + c

por n.

Da unicidade do resto da divisão, temos que e = g. Assim, a + (b + c)= e =

g = (a + b) + c. De modo análogo, mostramos a·(b·c) = (a·b)·c.Podemos fazer tabelas para a adição e para a multiplicação em Zn.

Por exemplo, para Z4 temos:


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+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

· 0 1 2 30 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

Olhando para a tabela da adição vemos que os opostos de 1, 2 e 3

são, respectivamente, 3 , 2 e 1. Na tabela da multiplicação vemos que

os inversos de 1 e 3 são, respectivamente, 1 e 3, e que 0 e 2 não têm

inversos.

Exercícios

1. Completar a demonstração da Proposição 1.2.

2. Provar as demais propriedades das operações em Zn da Proposi-

ção 1.3.


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Capítulo 2

Grupos

A estrutura algébrica de grupos é uma das primeiras numa hi-

erarquia de estruturas algébricas que serão vistas nesse texto. Numa

tal estrutura muito simples, podemos resolver, pela primeira vez nesta

hierarquia, uma equação de primeiro grau.

O conceito de grupo surgiu dos estudos de Évariste Galois com

equações de polinômios, em 1832. Embora Galois tenha utilizadoa ideia de grupo em todo o seu trabalho com equações, ele não deu

explicitamente uma definição de grupo. A definição ocorreu, pela

primeira vez, na publicação do trabalho de Galois, feita por Liouville

em 1846. Um ano antes, porém, Cauchy apresentou o conceito, ao

qual denominou de “sistema conjugado de substituições”. Durante

algum tempo, esses dois termos “grupo” e “sistema conjugado de subs-

tituições” foram utilizados. Contudo, em 1863, Jordan escreveu umcomentário sobre o trabalho de Galois, em que usou o termo “grupo”, e

a partir de então esta expressão passou a ser a mais utilizada, embora

o termo “sistema conjugado de substituições” também tenha sido

utilizado por alguns autores até por volta de 1880. Tanto Galois como

Cauchy definiam grupos somente em termos da propriedade de fecha-

mento, sem que aparecesse a associatividade e os elementos neutro

e inverso. Ambos trabalhavam com permutações e, neste contexto,as propriedades definidoras dos grupos surgiam automaticamente.

Aos poucos, a partir de trabalhos de outros matemáticos como Cayley,


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Kronecker, Burnside e Heinrich Weber, a definição de grupos, como a

conhecemos, ficou estabelecida.

Passemos então a mais algumas motivações e posterior definição doconceito de grupos.

Do estudo de operações com números inteiros, Z, podemos ressal-

tar as seguintes propriedades da adição.

Para quaisquer a, b, c em Z valem:

(+0) a + b ∈ Z (Fechamento);(+1) a + (b + c) = (a + b) + c (Associatividade);(+2) 0 ∈ Z e a + 0 = a = 0 + a (Elemento neutro da adição);(+3) −a ∈ Z e a + (−a) = 0 = −a + a (Elemento inverso da adição).

Se no lugar de Z tomarmos Q, R, C, ou M m×n(R) (o conjunto das

matrizes reais de ordem m × n), as propriedades acima permanecem válidas. Inúmeros outros conjuntos com operações de adição ou ou-

tras operações satisfazem estas quatro propriedades, que são impor-tantes no estudo de algumas teorias matemáticas, químicas e físicas.

Isso, de certa forma, justifica um estudo genérico de conjuntos com

uma operação que satisfaçam estas propriedades, muito embora a ori-

gem da Teoria dos Grupos esteja nos trabalhos de Galois, a respeito de

resolubilidade de equações polinomiais em termos de permutações de

suas raízes. Com esta abordagem que abstrai algumas propriedades de

uma estrutura algébrica, podemos identificar inúmeras propriedadesque são válidas em todas elas e, assim, não precisamos fazer exata-

mente o mesmo estudo em cada estrutura investigada, mas podemos

tratá-las todas como um pacote.

2.1 Definições e exemplos

Apresentamos agora a definição de grupo dada pelos axiomas que

definem um grupo genérico. A seguir apresentamos muitos exemplos


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| GRUPOS 37

de grupos, que são modelos para a caracterização formal dada na defi-

nição.

Definição 2.1. Um grupo é uma estrutura algébrica (G, ∗, e) , em que G é um conjunto não vazio, ∗ é uma operação binária em G e e é um elementode G tal que:

(G1) para todos a, b, c ∈ G: a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c (Propriedadeassociativa)

(G2) o elemento e ∈ G é tal que para todo a ∈ G: a ∗ e = e ∗ a = a(Elemento neutro)

(G3) para todo a ∈ G , existe b ∈ G tal que: a ∗ b = e = b ∗ a (Elementoinverso).

Como vimos, como ∗ é uma operação em G, então é uma função∗ : G ×G → G, em que ∗(a, b) = a ∗b. Assim, se a, b ∈ G, então a∗b ∈ Ge, naturalmente, vale a condição do fechamento.

Desde que introduzimos um conceito, então vejamos muitos exem-

plos de grupos.

Exemplo 2.1. (Z, +, 0) , (Q, +, 0) , (R, +, 0) , (C, +, 0). Estes são grupos aditivos sobre os respectivos conjuntos numéricos.

Exemplo 2.2. (Zn, +, 0).

Ver as congruências módulo n , nas noções preliminares.

Exemplo 2.3. (R∗, · , 1) , (Q∗, · , 1) , (C∗, · , 1). Estes são grupos multiplicativos sobre os respectivos conjuntos numé-

ricos. Temos, em cada caso, de excluir o 0 , pois este elemento, em cada

conjunto, não tem o inverso para a multiplicação.

Definição 2.2. Um grupo (G, ∗, e) é finito quando G possui uma quanti-dade finita de elementos.

Exemplo 2.4. ({1, −1}, · , 1) , ({1, −1, i, −i}, · , 1) são exemplos de grupos finitos.

Exemplo 2.5. Para m e n inteiros positivos, o conjunto das matrizes reais

m × n é denotado por M m×n(R). A terna (M m×n(R), +, O) é o grupo adi-tivo de matrizes, em que O é a matriz m × n nula. Denotamos por M n(R)o conjunto das matrizes reais de ordem n , isto é, o conjunto M n×n(R).


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A seguir mostramos um exemplo não usual, de um tipo que algumas

vezes é chamado de patológico.

Exemplo 2.6. Para a, b∈R

− {−1}

definimos a∗

b = a + b + ab. Vamos

verificar que ∗ é uma operação em R− {−1}. É claro que se a = c e b = dentão a ∗ b = c ∗ d. Para a, b ∈ R − {−1} , a + 1 ̸= 0 e b + 1 ̸= 0. Logo,(a +1)(b + 1)̸ = 0 , ou seja, ab + a +b + 1̸ = 0. Portanto, a∗b = a + b + ab̸ =−1 , isto é, a ∗ b ∈ R− {−1}. Portanto, ∗ é uma operação em R− {−1}

Se a,b,c ∈ R− {−1} , então a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (b + c + bc) = a + (b + c +bc)+a(b+c+bc) = a +b+c+ab+ac+bc+abc. Por outro lado (a∗b)∗c =

(a+b+ab)∗c = (a+b+ab)+c+(a+b+ab)c = a +b+c+ab+ac+bc+abc. Logo vale a associatividade. Para todo a ∈ R−{−1} oneutropara ∗ , caso exista, tem que ser tal que

a∗e = a. Daí, a +e+ae = a ⇒ e(1+ a) = 0 ⇒ e = 01 + a

= 0 , se a̸ = −1 ,o que vale neste caso. Assim, 0 ∈ R− {−1} é tal que a ∗ 0 = 0 ∗ a = a.

Dado a ∈ R − {−1} , se o inverso de a é a′ , temos: a′ ∗ a = 0 ⇒a′ + a + a′a = 0 ⇒ a′(1 + a) = −a ⇒ a′ = −a

1 + a , pois a

̸= −1. Verifica-se

que a ∗ a′ = a′ ∗ a = 0. Assim, (R− {−1}, ∗, 0) é um grupo.

Vejamos também alguns contra-exemplos:

Exemplo 2.7. (N, +, 0) não é um grupo, pois 2 ∈ N , mas não existe n ∈ Ntal que 2 + n = 0.

Exemplo 2.8. (Z, −, 0) não é um grupo, pois não satisfaz nenhuma dascondições G1 , G2 e G3 da definição de grupos.

Exemplo 2.9. (R, · , 1) não é um grupo, pois 0 ∈ R , mas não existe r ∈ Rtal que 0 · r = 1. Logo, (R, · , 1) não satisfaz a condição G3. De formasemelhante, (Q, ·, 1) e (C, ·, 1) não são grupos.

Exemplo 2.10. ({−1, 0, 1}, +) não é um grupo, apesar de estarem satisfeitas as condições G1 , G2 e G3 , pois “+” não é uma operação em {−1, 0, 1}devido a que 1 ∈ {−1, 0, 1} , mas 1 + 1 = 2 /∈ {−1, 0, 1}.


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| GRUPOS 39

Na hierarquia de estruturas que estamos investigando, partiremos

do conceito de grupo a ao agregarmos novos axiomas algébricos que

deverão ser respeitados em novas situações, faremos as estruturas cada

vez mais específicas. Contudo, podemos dar alguns passos atrás e defi-nirmos estruturas ainda mais gerais que grupos. Estas têm menos im-

portância e servem principalmente para caracterização de exemplos.

Definição 2.3. Um monóide é uma estrutura matemática (G, ∗) , em queG é um conjunto não vazio e ∗ é uma operação associativa em G , isto é,vale (G1).

Um semigrupo é uma estrutura matemática (G,∗

, e) , em que (G,∗

) é

um monóide e e é um elemento neutro para ∗ em G , isto é, vale (G2).

Exemplo 2.11. (N, +, 0) não é um grupo, mas é exemplo de semigrupo.

Observamos, nos exemplos acima de grupos, que todos eles satis-

fazem a propriedade comutativa, isto é, para todos a, b ∈ G, temos quea ∗ b = b ∗ a. Contudo, isto não vale sempre.

Definição 2.4. Um grupo (G, ∗, e) que satisfaz a propriedade comutativa:(G4) para todos a, b ∈ G: a ∗ b = b ∗ a ,

é chamado grupo abeliano ou grupo comutativo.

Veremos, a seguir, que existem grupos que não são abelianos.

Exemplo 2.12. Seja GL2(R) , o conjunto das matrizes reais inversíveis de

ordem 2 , isto é, A ∈ GL2(R) se, e somente se, det(A) ̸= 0. Das proprie-dades de multiplicação de matrizes, vemos que (GL2(R), · , I 2) é um grupomultiplicativo. Mas este não é um grupo abeliano, pois:(

1 1

0 1

)( 1 0

1 1

)=

( 2 1

1 1

)e

( 1 0

1 1

)( 1 1

0 1

)=

( 1 1

1 2

).

Exemplo 2.13. Generalizando, os grupos (GLn(R), · , I n) , em queGLn(R) é o conjunto das matrizes inversíveis de ordem n , com n

≥ 2 ,

·é a operação de multiplicação de matrizes e I n é a matriz identidade deordem n são grupos não abelianos.


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Tomemos, por exemplo, as matrizes A = (aij) e B = (bij) , com aii =

bii = 1; a12 = b21 = 1 ; e todos os outros elementos das matrizes A e B

iguais a zero. Então: A · B ̸= B · A.

Exemplo 2.14. Se (G, ∗, e) é um grupo não abeliano, podemos ter a ∗ c = c ∗ b , com a̸ = b. Por exemplo, no grupo GL2(R) para:A =

( 1 1

0 1

) , B =

( 0 1

1 1

) e C =

( 0 −11 2

) , então

A · B = B · C =(

1 2

1 1

). Também, (A · B)−1 =

( −1 2

1 −1

) ,

enquanto que A−1

· B−1

= ( 1 −10 1 )( −1 11 0 ) = ( −2 11 0 ).Exercícios

1. Verificar se (M 2(R)∗, · , I 2) é um grupo multiplicativo, em que M 2(R)∗é o conjunto das matrizes reais de ordem 2 sem a matriz nula, · éamul-tiplicação de matrizes e I 2 é a matriz identidade de ordem 2.

2. Verificar que (R − {1}, ∗, 0), ∗ definida por a ∗ b = a + b − ab é umgrupo.

3. Dar dois exemplos de monóides que não são semigrupos.

4. Dar dois exemplos de semigrupos que não são grupos.

5. Seja (G, ∗, e) um semigrupo. Mostrar que (G, ∗, e) é um grupo se, esomente se, para todos a, b ∈ G, as equações a ∗ x = b e y ∗ a = b têmsolução em G.

6. Mostrar que Z[√ 2] = {a + b√ 2 : a, b ∈ Z} determina um grupo abeli-ano com a operação de adição.

7. Verificar se R∗ é um grupo com a operação a ⊙ b = a · b2

.

8. Verificar se R é um grupo com a operação ⊕ nos casos abaixo:(a) a ⊕ b = a2 + b2;(b) a ⊕ b = a + b − 3.

9. Verificar se G =

{z

∈C :

|z

|= 1

}determina um grupo abeliano com

a operação de multiplicação de números complexos.10. Verificar se G = {x ∈ R : |x| ≥ 1} determina um grupo abelianocom a operação de multiplicação de números reais.


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| GRUPOS 41

2.2 Propriedades dos grupos

A operação de grupos ∗ é uma operação genérica, que ora pode seruma soma +, ora pode ser uma multiplicação

·ou qualquer outra ope-

ração. É usual nos textos sobre grupos usarmos como símbolo da ope-

ração de grupos apenas o ponto ·, ou mesmo, representar a · b por ab,apenas por questão de simplicidade.

Assim, adotaremos esta convenção para alguns grupos genéricos.

A operação será indicada por ·, e o elemento neutro por e e um inversode um elemento a por a′. Diante da propriedade associativa e notação

usual da multiplicação, podemos, em alguns casos, eliminar os parên-teses e pontos e escrevermos apenas: abc = a(bc) = (ab)c.

Seja (G, ·, e) um grupo. Então:

(P 1) Existe um único elemento de G que satisfaz a propriedade

(G2), isto é, o elemento neutro é único.

Suponhamos que e e u satisfazem G2. Então e = eu = u. Logoexiste um único elemento neutro para G e e denota este único elemento

neutro.

(P 2) Para todos a, b, c ∈ G, se ac = bc ou ca = cb, então a = b.Se ac = bc, então acc′ = bcc′ e, daí, ae = be. Logo, a = b. O caso

ca = cb é análogo.

(P 3) Para cada a ∈ G, existe um único inverso para a.Segue de (P 2). Assim, a′ denota o único inverso para a.

(P 4) Para todos a, b ∈ G, se ab = e ou ba = e, então b = a′.Seja ab = e. Como aa′ = e = ab, então aa′ = ab. Logo, por (P 2),

a′ = b. O caso ba = e é análogo.

(P 5) Para todo a ∈ G, (a′)′ = a.Como a′.(a′)′ = e = a′.a, então, por (P 2), (a′)′ = a.


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(P 6) para todos a, b ∈ G, (ab)′ = b′a′.Como (ab)(b′a′) = a(bb′)a′ = aea′ = aa′ = e. Então, por (P 4), b′a′ =

(ab)′

.

Exercícios

1. Mostrar que (a1a2 ... an)′ = a′na′n−1 ... a

′1, para todo n ∈ N∗.

2.3 Produto de grupos

Uma propriedade universal das estruturas algébricas é o produto de

estruturas. Em geral, dadas duas estruturas algébricas de um mesmo

tipo, tomamos como o domínio de uma nova estrutura o produto carte-

siano dos domínios das estruturas dadas e de maneira, mais ou menos

natural, obtemos uma estrutura do mesmo tipo sobre este novo domí-

nio. Estas novas estruturas são denominadas estruturas produto. Vere-

mos como isto se aplica ao caso dos grupos.

Definição 2.5. Se (G, ∗, eG) e (H, #, eH ) são grupos, então (G ×H, · , (eG, eH )) é o grupo produto de (G, ∗, eG) e (H, #, eH ) , em que a ope-ração “ ·” é definida por (g, h) · (g′, h′) = (g ∗ g′, h#h′) , para g, g′ ∈ G eh, h′ ∈ H .

É fácil verificar que (G

×H,

·, (eG, eH )) é um grupo com elemento

neutro (eG, eH ), de maneira que eG e eH são, respectivamente, os ele-mentos neutros de G e H . Também (g, h)′ = (g′, h′). Verifica-se facil-

mente que quando (G, ∗, eG) e (H, #, eH ) são grupos abelianos, então(G × H, · , (eG, eH )) também é um grupo abeliano.

Procedendo de maneira análoga, podemos estender a construção

acimaparaoprodutodeumconjuntofinitodegrupos: G1×G2×...×Gn.

Exemplo 2.15. Temos que (Z×GL2(R), . , (1, I 2)) éumgrupocomaope-ração (a, A) · (b, B) = (a + b,AB) , em que na primeira coordenada temosadição de inteiros e na segunda o produto de matrizes.


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Exemplo 2.16. Temos que (Z2 ×Z2, · , (1, 1)) é um grupo abeliano com 4elementos: {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}.

Exercícios1. Mostrar a validade das afirmações acima sobre o grupo (G ×H, · , (eG, eH )).

2.4 Grupos de permutações

Os exemplos de grupos são inúmeros. Tomando as funções reais

bijetivas, com a operação de composição de funções, temos um grupo

em que o elemento neutro é a função identidade. Como todo elemento

de um grupo precisa ter um inverso no grupo, é necessário a exigência

de funções bijetivas, pois apenas estas admitem a função inversa. O

grupo das permutações é uma particularização deste exemplo.

Definição 2.6. Sejam S um conjunto não vazio e P (S ) =

{f : S

→ S :

f é bijetiva}. Então, (P (S ), ◦, iS ) é um grupo em que a operação ◦ é a com-posição de funções e o elemento neutro é a função identidade iS . O grupo

(P (S ), ◦, iS ) é chamado grupo das permutações de S .

Certamente, a composição de funções é associativa, a função iden-

tidade iS é bijetiva e é o elemento neutro da composição de funções, e

toda função bijetiva é inversível.

Denotamos o grupo das permutações de {1, 2,...,n} por S n.Como a cada função bijetiva de S n corresponde a uma permutação

f (1)f (2)...f (n) de 1, 2,...,n e o número total dessas permutações é n!,

então S n possui n! elementos.

Para n ≥ 3, S n é um grupo não abeliano, pois tomando f, g ∈ S n demodo que f (1) = 2, f (2) = 1, f (3) = 3, g(1) = 2, g(2) = 3 e g(3) = 1

temos (fog)(1) = 1 e (gof )(1) = 3. Logo, f og ̸= gof e, desse modo, S 3é um exemplo de grupo não abeliano com 6 elementos.


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Notação: Se f ∈ S n, então denotamos f por:(1, f (1), f (f (1)),...)(i, f (i), f (f (i)),...),...,

como nos exemplos abaixo.

Exemplo 2.17. Para f , g, h ∈ S 4 tais que f (1) = 3, f (2) = 4, f (3) =2, f (4) = 1 , g(1) = 3, g(2) = 2, g(3) = 1, g(4) = 4 , h(1) = 3, h(2) =

4, h(3) = 1, h(4) = 2 denotamos f por (1, 3, 2, 4) , g por (1, 3) e h por

(1, 3)(2, 4). A justificativa de podermos usar essa notação se encontra no

livro “Tópicos de Álgebra” (Herstein, 1970). Podemos fazer as composições

f og = (1, 3, 2, 4)(1, 3) = (1, 2, 4) , pois 1→

3

→2 , 2

→2

→4 , 4

→4

→1

e 3 → 1 → 3 ; gof = (1, 3)(1, 3, 2, 4) = (2, 4, 3) , pois 1 → 3 → 1 , 2 → 4 →4 , 4 → 1 → 3 e 3 → 2 → 2. Da mesma forma, podemos encontrar f oh =(1, 3, 2, 4)(1, 3)(2, 4) = (1, 2) , f of = (1, 3, 2, 4)(1, 3, 2, 4) = (1, 2)(3, 4).

Exemplo 2.18. Podemos tomar os elementos de S 3 como:

e (função identidade)

a = (1, 2, 3)a2 = (1, 2, 3)(1, 2, 3) = (1, 3, 2)

a3 = a2 · a = (1, 3, 2)(1, 2, 3) = e = (1, 2, 3)(1, 3, 2) = a · a2 ⇒ a′ = a2b = (1, 2)

b2 = e ⇒ b′ = bab = (1, 2, 3)(1, 2) = (1, 3)

ba = (1, 2)(1, 2, 3) = (2, 3).

Como S 3 possui 3! = 6 elementos, podemos concluir que

S 3 = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2), (1, 3), (2, 3)} = {e,a,a2,b,ab,ba}.

Exercícios

1. Encontrar o inverso para cada elemento de S 3.

2. Quais são os elementos de S 4?3. Encontrar elementos a e b de S 4 tais que ab̸ = ba.

4. Encontrar a, b ∈ S 3 tais que (ab)2̸ = a2b2.


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2.5 Grupos de simetria

A partir de rotações e reflexões em um polígono regular é possível

definir uma estrutura de grupo, como veremos a seguir.

Tomaremos um quadrado no plano de vértices A, B, C e D, com la-

dos na horizontal e na vertical, e o denotaremos por ABCD, quando o

vértice superior esquerdo for A, e os vértices B, C , D estiverem, res-

pectivamente, tomados no sentido horário, a partir de A.

Uma rotação de 90o, no sentido horário, que leva cada vértice do

quadrado no vértice seguinte.Uma reflexão em torno da diagonal tomada do vértice esquerdo su-

perior ao vértice direito inferior, deixa estes vértices fixos e troca os

outros dois.

Denotamos por σ uma rotação, e por τ uma reflexão. Assim:

σ(ABCD) = DABC

σ2(ABCD) = CDAB

σ3(ABCD) = BCDA

σ4(ABCD) = ABCD

τ (ABCD) = ADCB


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τ 2(ABCD) = ABCD

στ (ABCD) = σ(ADCB) = BADC

σ2τ (ABCD) = σ2(ADCB) = CBAD

σ3

τ (ABCD) = σ3

(ADCB) = DCBA

Denotamos por e o não movimento e(ABCD) = ABCD e, então,

temos:

D = {e,σ,σ2, σ3, τ , σ τ , σ2τ, σ3τ }

que é um grupo. Podemos observar isso, na tabela abaixo:

· e σ σ2 σ3 τ στ σ2τ σ3τ e e σ σ2 σ3 τ στ σ2τ σ3τ

σ σ σ2 σ3 e στ σ2τ σ3τ τ

σ2 σ2 σ3 e σ σ2τ σ3τ τ στ

σ3 σ3 e σ σ2 σ3τ τ στ σ2τ

τ τ σ3τ σ2τ στ e σ3 σ2 σ

στ στ τ σ3

τ σ2

τ σ e σ3

σ2

σ2τ σ2τ στ τ σ3τ σ2 σ e σ3

σ3τ σ3τ σ2τ στ τ σ3 σ2 σ e

Diante disso, podemos tomar

D = {σ jτ i : 0 ≤ i ≤ 1, 0 ≤ j ≤ 3, τ 2 = σ4 = e, στ = τ σ3, τ ̸= e, σ j̸=e para j = 1, 2, 3}

O exemplo acima pode ser estendido assim:

Definição 2.7. Consideremos um polígono regular de n lados e um eixo

de reflexão que passa por um vértice e pelo centro do polígono. O grupo

determinado por composições de rotações e reflexões sobre o polígono são

denominados grupos de simetrias ou grupos diedrais e tais grupos podem

ser descritos por:

Dn = {σ jτ i : 0 ≤ i ≤ 1, 0 ≤ j < n, τ 2 = σn = e, στ = τ σn−1, τ ̸=

e, σj ̸= e, para 1 ≤ j < n}.Devemos observar que quando o polígono tem n lados, o grupo tem

2n elementos.


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Cada elemento de Dn pode ser vistos como uma permutação de n

elementos, ou seja, como um elemento do grupo de permutações S n,

ao denominarmos os vértices do polígono de n lados pelos números

1, 2,..., n. Assim, podemos considerar o grupo Dn como subgrupo deS n.

2.6 Grupos cíclicos

Como é usual em ciência, a expressão cíclico indica que após um

certo período, tudo se repete.

Definição 2.8. Sejam (G, ·, e) um grupo multiplicativo, a ∈ G e n ∈ N. A potência de a é definida recursivamente por: a0 = e , an+1 = an · a e osseus inversos são a′ = a−1 e (an)′ = (a−1)n.

Com isso, definimos a potência de an, para todo n ∈ Z e muitas dasregras usuais sobre potências podem ser verificadas, isto é, para todos

inteiros m e n tem-se:(i) am · an = am+n(ii) (an)−1 = a−n

(iii) (a−n)−1 = an

(iv) (am)n = amn.

Na notação aditiva, a · b significa a + b, a′ significa −a, e an significa,para n > 0, na = a + a + ... + a, a soma com n parcelas de a; para n


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Na notação aditiva teríamos que ⟨a⟩ = {na : n ∈ Z}.

Exemplo 2.19. Seja G = Z. Então:

⟨1⟩

={

n.1 : n∈Z}

={

n : n∈Z}

= Z.

⟨−1⟩ = {n.(−1) : n ∈ Z} = {−n : n ∈ Z} = Z .⟨t⟩ = {n.t : n ∈ Z} é o conjunto dos inteiros múltiplos de t.

Diante disso, Z é um grupo cíclico e podemos tomar como gerador 1 ou

−1.

Exemplo 2.20. Para n > 0 inteiro, Zn é um grupo cíclico gerado por 1.

Exemplo 2.21. O grupo Z6 pode ser gerado por 1 e 5.

Exemplo 2.22. O grupo S 3 não é cíclico pois (1, 2)2 = (1, 3)2 = (2, 3)2 =

e e (1, 2, 3)3 = (1, 3, 2)3 = e. Logo, nenhum elemento gera S 3.

Exemplo 2.23. O grupo R∗ não é cíclico. Para verificar isso, suponha que

sim, isto é, que existe a ∈ R∗ tal que R∗ =

⟨a

⟩. Considere então 2 = an e

3 = am e, a partir disso, chegue em um absurdo.

Exercícios

1. Justificar os exemplos 2.20 e 2.21.

2. Sejam a, b ∈ Z e a operação ⊕ definida por a ⊕ b = a + b + 1. Verificarse Z com essa operação:

(a) é um grupo ;(b) é um grupo abeliano;

(c) é um grupo cíclico.

3. Verificar se o grupo Z2 × Z2 é um grupo cíclico.4. Verificar se o grupo Z2 × Z3 é um grupo cíclico.5. Quais elementos de Z5 geram Z5?

6. Seja (G,

·, e) um grupo abeliano. Mostrar que se a, b

∈ G e m

∈ Z,

então (ab)m = ambm.7. Seja (G, ·, e) um grupo tal que a2 = e, para todo a ∈ G. Mostrar queeste grupo é abeliano.


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Em vista da proposição acima, se H < G, então G e H possuem o

mesmo elemento neutro.

Exemplo 2.29. Se G = S 3 =

{e, (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 2, 3), (1, 3, 2)

} ,

podemos verificar que:{e, (1, 2)} < S 3 e {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} < S 3.

Corolário 2.2. Sejam (G, ∗, e) um grupo e H ⊆ G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, as seguintes condições são satisfeitas:

(i) H ̸= ∅ ;(ii) para todos a, b ∈ H , a ∗ b′ ∈ H .

Exemplo 2.30. Seja 3Z = {3 · n : n ∈ Z} o conjunto dos múltiplos de 3.Temos:

(i) 3Z̸ = ∅ , pois 0 = 3 · 0 ∈ 3Z ;(ii) Se a, b ∈ 3Z , digamos, a = 3n e b = 3m , então a− b = 3(n−m) ∈

3.Z.

Assim, pelo corolário anterior, 3Z < Z.

De modo semelhante, podemos mostrar que para qualquerm ∈ Z, mZ < Z.

Se (G, ·, e) é um grupo e a ∈ G, como já vimos, ⟨a⟩ = {an : n ∈ Z} éumgrupocomamesmaoperaçãode G e, desse modo, ⟨a⟩ < G. Dizemosque ⟨a⟩ é o subgrupo cíclico de G gerado por a.

Agora, se S é um subconjunto não vazio de G, definimos:

⟨S ⟩ = {(s1)r1 .(s2)r2 . ... .(sn)rn : si ∈ S e ri ∈ Z, i = 1, . . . , n}.

Fica como exercício verificar que ⟨S ⟩ < G e ⟨S ⟩ = ∩{H : H <G e S ⊆ H }, e assim, ⟨S ⟩ é o menor subgrupo de G que contém S .

Definição 2.12. Dizemos que ⟨S ⟩ é o subgrupo de G gerado por S .

Exemplo 2.31. Para o grupo S 3 temos:⟨(1, 2)⟩ = {e, (1, 2)} e⟨(1, 2, 3)⟩ = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}.


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Exemplo 2.32. S 3 = ⟨{(1, 2), (1, 2, 3)}⟩ , pois:(1, 2) ∈ ⟨{(1, 2), (1, 2, 3)}⟩(1, 2, 3) ∈ ⟨{(1, 2), (1, 2, 3)}⟩

e = (1, 2)2

∈ ⟨{(1, 2), (1, 2, 3)}⟩(1, 3, 2) = (1, 2, 3)2 ∈ ⟨{(1, 2), (1, 2, 3)}⟩(2, 3) = (1, 2)(1, 2, 3) ∈ ⟨{(1, 2), (1, 2, 3)}⟩(1, 3) = (1, 2)(1, 3, 2) = (1, 2)(1, 2, 3)2 ∈ ⟨{(1, 2), (1, 2, 3)}⟩

Exercícios

1. Justificar o exemplo 2.28.

2. Dar uma demonstração do Corolário 2.2.3. Mostrar que ⟨S ⟩ é o menor subgrupo de G que contém S .4. Mostrar que H = {2n : n ∈ Z} é um subgrupo de R∗.5. Mostrar que H = {x ∈ R : 0 < x} é um subgrupo de R∗.6. Para G = M 2×2(R) e H =

{( a 0

b 0

): a, b ∈ R

}, mostrar que H <

G.

7. Para G = Z× Z e H = {(2a, 3b) : a, b ∈ Z}, mostrar que H < G.8. Determinar todos os subgrupos de Z2 × Z3.9. Quais dos seguintes subconjuntos são subgrupos cíclicos de Z12?

(a) {0, 2, 4, 6, 8, 10} (b) {0, 6} (c) {0, 2, 3, 5, 8}(d) {1, 3, 5, 7, 9, 11} (e) {0, 4, 8} (f) {0, 3, 6, 9}.10. Determinar os seguintes subgrupos de Z8.

(a)

⟨2⟩ (b)

⟨5⟩ (c)

⟨4⟩ (d)

⟨2, 3⟩.

11. Verificar se o conjunto I dos números ímpares é um subgrupo dogrupo (Z, ⊕), para a ⊕ b = a + b + 1.12. Para o grupo de permutações S 4:

(a) Determinar ⟨(1, 2, 3)⟩(b) Determinar ⟨(1, 2, 3, 4)⟩(c) Se H = {e, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)}, verificar se H é umsubgrupo de S 4 e se H é abeliano.

13. Mostrar que todo subgrupo de um grupo abeliano também é umgrupo abeliano.

14. Mostrar que todo subgrupo de um grupo cíclico é um grupo cíclico.


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Nos exercícios a seguir, consideraremos sempre G como um grupo.

15. Sejam a ∈ G e C (a) = {g ∈ G : ag = ga}. Mostrar que C (a) < G. Osubgrupo C (a) é chamado o centralizador de a em G.

16. Seja Z (G) = {g ∈ G : ga = ag, para todo a ∈ G}. Mostrar queZ (G) < G. O subgrupo Z(G) é chamado o centro de G .

17. Mostrar que se H e K são subgrupos de G, então H ∩ K também éum subgrupo de G.

18. Exibir exemplo de grupos de maneira que H < G e K < G, mas

H ∪ K não é um subgrupo de G.19. Se H < G e g ∈ G, mostrar que gHg′ < G, para gHg′ = {ghg ′ : h ∈H }.

2.8 Classes laterais

Nessa seção envolvemos o conceito de classes de equivalência com

o conceito de grupos.

Definição 2.13. Sejam G umgrupoe H um subgrupo de G. Para a, b ∈ G ,definimos a relação a ≡ b(mod H ) , que deve ser lida como “ a é congruentea b módulo H ”, se ab′ ∈ H .

Proposição 2.3. A relação a ≡ b(mod H ) é uma relação de equivalência. Demonstração: Propriedade reflexiva: para todo a ∈ G , aa′ = e ∈ H . Logo, a ≡ a(mod H ).

Propriedade simétrica: Sejam a, b ∈ G e a ≡ b(mod H ). Assim, ab′

∈H e como H é um grupo, então ba′ = (ab′)′ ∈ H . Logo, b ≡ a(mod H ).

Propriedade transitiva: Sejam a,b,c ∈ G , a ≡ b(mod H ) e b ≡c(mod H ). Daí ab′ ∈ H e bc′ ∈ H , e como H é um grupo, entãoac′ = ab′bc′ ∈ H . Daí, a ≡ c(mod H ).

A classe de equivalência de um elemento a de G, é denotada por:

a = {b ∈ G : b ≡ a(mod H )} = {b ∈ G : ba′ ∈ H }.

Segue então que b ∈ a se, e somente se, existe h ∈ H tal que ba′ = h


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se, e somente se, b = ha, para algum h ∈ H se, e somente se, b ∈ Ha ={ha : h ∈ H }. Assim, a = H a.

Definição 2.14. Chamamos de classe lateral à direita de H em G a cada

classe de equivalência Ha.

Denotamos o conjunto quociente de G pela relação de equivalência

dada pela congruência módulo H por:

G/H = {Ha : a ∈ G},

que é o conjunto das classes laterais à direita de H em G.

Observar que:

(CL1) a ∈ Ha, pois a = ea e e ∈ H ;(CL2) Ha = Hb ⇔ a ∈ Hb, pois duas classes de equivalência oucoincidem ou são disjuntas;

(CL3) Ha = H b ⇔ ab′ ∈ H (verificar);

(CL4) Ha = H ⇔ a ∈ H , pois H = He e por (b),Ha = H e ⇔ a ∈ He = H .

Se X é um conjunto, denotamos por |X | o número cardinal de X . Ocardinal de um conjunto indica sua quantidade de elementos. Se X é

finito, então |X | = n, para algum número natural n.

Definição 2.15. Se G é um grupo finito, a ordem de G é dada por |G

|. Se

G é um grupo qualquer e g ∈ G é tal que ⟨g⟩ é um grupo finito, chamamosde ordem de g ao número | ⟨g⟩ | , o qual será denotado simplesmente por |g|. Dizemos que um grupo G tem ordem prima se |G| é um número primo.

Lema 2.4. Sejam G umgrupofinitoe H < G. Se a ∈ G , então |Ha| = |H |. Demonstração: Consideremos a função f : H → Ha , definida por f (h) = ha. Precisamos mostrar que f é bijetiva. A função f é injetiva,

pois se f (h) = f (k) , então ha = ka e, daí, h = k. A função f tambémé sobrejetiva, pois se ha ∈ Ha , então f (h) = ha. Portanto, f é bijetiva e|H | = |Ha|.


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Definição 2.16. Se H < G e G/H é um conjunto finito, então chamamos

de índice de H em G ao número |G/H |.Notação: (G : H ) = |G/H | é o número de classes laterais à direita

de H em G.Teorema 2.5. (Teorema de Lagrange) Se G é um grupo finito e H < G ,

então |G| = |H |(G : H ). Demonstração: Como G é finito, então G/H é finito, digamos, G/H =

{Ha1, Ha2,...,Han} , com Hai ̸= Ha j quando i ̸= j. Como H ai e H a jsão classes de equivalências distintas quando i̸ = j , então Hai ∩Ha j = ∅.

Por outro lado, G = Ha1 ∪

Ha2 ∪

...

∪Han. Então, pelo lema anterior,

|G| = |Ha1| + |Ha2| + ... + |Han| = n · |H | = |H | · n = |H | · |G/H |. Dessemodo, |G| = |H |(G : H ).

Em vista do Teorema de Lagrange temos que se H é um subgrupo de

G, então a ordem de H divide a ordem de G. Portanto, {0, 3, 6, 9} não ésubgrupo de Z10.

Exemplo 2.33. Seja H = {e, (1, 2)} < S 3. Então, pelo Teorema de La- grange, (S 3 : H ) = |S 3|/|H | = 6/2 = 3. Logo, temos 3 classes lateraisdistintas:

H = {e, (1, 2)} (= H (1, 2))H (2, 3) = {(2, 3), (1, 2, 3)} (= H (1, 2, 3))H (1, 3) = {(1, 3), (1, 3, 2)} (= H (1, 3, 2))

e assim, G/H = {H, H (2, 3), H (1, 3)}.Quando G é um grupo aditivo e H é um subgrupo de G, temos que

a ≡ b(mod H ) ⇔ a − b ∈ H e as classes laterais são da forma H + a ={h + a : h ∈ H }.Exemplo 2.34. Seja H = {0, 2, 4} < Z6. Então (Z6 : H ) = |Z6|/|H | =6/3 = 2. Daí, temos 2 classes laterais:

H = {0, 2, 4} (= H + 2 = H + 4)H + 1 = {1, 3, 5} (= H + 3 = H + 5).

Corolário 2.6. Se G é um grupo finito e a ∈ G , então |a| divide |G|. Demonstração: Do Teorema de Lagrange, temos que |G| = |a|(G : ⟨a⟩). Logo, |a| divide |G|.


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Proposição 2.7. Sejam G um grupo e a ∈ G tal que ⟨a⟩ é um grupo finito. Então |a| é o menor inteiro positivo n tal que an = e. Demonstração: Se a = e , então n = 1 e ⟨a⟩ = {e}. Agora, consideremos

a ̸= e. Como ⟨a⟩ = {an

: n ∈ Z} é finito, então existem inteiros i e j(podemos supor i < j ), tais que ai = a j. Logo, a j−i = a j a−i = aia−i = ee j − i > 0.

Assim, {n ∈ N∗ : an = e} ̸= ∅ e, pelo princípio da boa ordenação,contém um menor elemento n. Mostraremos que ⟨a⟩ = {e,a,...,an−1} eque os elementos e, a, ..., an−1 são todos distintos. Daí, concluímos que

|a| = n.

Sejam i, j ∈ Z tais que 0 ≤ j ≤ i < n. Se ai

= a j

, então ai

.a− j

=a j .a− j. Logo, ai− j = a j− j = a0 = e. Como 0 ≤ i − j < n e n é o menor inteiro positivo tal que an = e , então i − j = 0 , ou seja, i = j. Diantedisso, {e,a,...,an−1} é um subconjunto de ⟨a⟩ que contém exatamente nelementos. Se b ∈ ⟨a⟩ , digamos que b = am , para algum m ∈ Z , então, peloalgoritmo da divisão, existem q, r ∈ Z , com 0 ≤ r < n , tais que m = qn+r.

Logo, b = am = aqn+r = (an)q.ar = eq.ar = e.ar = ar ∈ {e,a,...,an−1}. Assim, ⟨a⟩ = {e,a,...,an−1} e, portanto, |a| = n.Corolário 2.8. Se G é um grupo finito e a ∈ G , então a|G| = e. Demonstração: Sejam |a| = n e |G| = m. Pelo corolário anterior, n dividem , ou seja, m = nr, r ∈ N. Então am = anr = (an)r = er = e. Dessemodo, a|G| = e.

Exemplo 2.35. Como

|S 3

|= 6 , então para todo a

∈S 3 , temos que a6 = e.

Exemplo 2.36. Como |Z8| = 8 , então 8.a = 0 , para todo a ∈ Z8.

Corolário 2.9. Se G é um grupo de ordem prima, então G é cíclico e é

gerado por qualquer a̸ = e.

Demonstração: Seja p = |G| , em que p é um número primo. Tomemosa ∈ G , com a ̸= e. Então |G| = |a|(G : ⟨a⟩) , isto é, |a| divide |G| = p.Como

|a

| > 1 e os únicos divisores de p são 1 e p , então

|a

| = p =

|G

|.

Logo, ⟨a⟩ = G.

Exemplo 2.37. Em Z7 , ⟨a⟩ = Z7 , para cada a̸ = 0.


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| GRUPOS 57

(i) A ordem de cada r-ciclo é r ;

(ii) Toda permutação a ∈ S n , a̸ = e , pode ser escrita de modo único, amenos da ordem, como um produto de ciclos disjuntos;

(iii) Se a = a1a2...am , em que a1, a2, . . . , am são ri-ciclos disjuntos 2 a2 , então a ordem de a é igual a mmc(r1, r2,...,rm) ;

(iv) Se n é primo e a é uma permutação de ordem n , então a é um n-

ciclo.

(v) Se n é primo, a é um 2-ciclo e b é um n-ciclo então a e b geram S n.

Exercícios

1. Encontrar G/H para:(a) G = S 3 e H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}(b) G = Z10 e H = {0, 2, 4, 6, 8}(c) G = Z10 e H = {0, 5}(d) G = Z e H = 3Z.

2. Para H < G e a ∈ G, definimos aH = {ah : h ∈ H } e aHa′ = {aha′ :h

∈H

}. Mostrar que:

(a) aH = H a ⇔ aHa′ = H (b) aHa′ = H ⇔ aH = H a(c) aG = G.

3. Em Z12, encontrar as ordens dos seguintes elementos:

(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 (e) 6.

4. Em S 5, encontrar as ordens dos seguintes elementos:

(a) (1, 2, 4, 3) (b) (1, 3, 2) (c) (1, 2)(3, 4) (d) (1, 3) (e) (1, 3)(2, 4, 5).

2.9 Subgrupos normais

Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Ao definirmos a con-

gruência módulo H , partimos da relação de equivalência a ≡ b(mod H )se, e somente se, ab′

∈ H e definimos as classes laterais à direita H a.

De maneira análoga, partindo da relação de equivalência a ≡ b(mod H )quando a′b ∈ H , chegaremos à definição de classe lateral à esquerda deH , dada por aH = {ah : h ∈ H }, com resultados análogos. Natural-


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mente, se G é um grupo abeliano, então aH = Ha. Porém, quando G

não é abeliano podemos ter aH ̸= H a.

Exemplo 2.38. Seja H = {

e, (1, 2)

} < S 3. Temos H (2, 3) =

{(2, 3), (1, 2, 3)} e (2, 3)H = {(2, 3), (1, 3, 2)}. Logo, H (2, 3)̸ = (2, 3)H .

Exemplo 2.39. Seja H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} < S 3. Como |H | = 3 e|S 3| = 6 , temos então 2 classes laterais à direita:

He = H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} = H (1, 2, 3) = H (1, 3, 2) ;H (1, 2) = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} = H (1, 3) = H (2, 3).

De modo semelhante, temos 2 classes à esquerda:

eH = H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} = (1, 2, 3)H = (1, 3, 2)H ;(1, 2)H = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} = (1, 3)H = (2, 3)H .

Neste caso, H a = aH , para todo a ∈ S 3 , mesmo diante do fato de S 3não ser abeliano.

Definição 2.19. Sejam G um grupo e N um subgrupo de G. Dizemos que

N é um subgrupo normal de G se para todo a ∈ G,aN = N a.

Notação: indicamos que N é um subgrupo normal de G por N G.

Proposição 2.12. Se G é um grupo e N um subgrupo de G , então as se-

guintes condições são equivalentes:

(i) N G ;

(ii) para todo a ∈ G, aNa′ = N , em que aN a′ = {ana′ : n ∈ N } ;(iii) para todo a

∈G, aNa′

⊆N .

Demonstração: (i) ⇔ (ii): aN = N a ⇔ aN a′ = N aa′ = N e = N .(ii) ⇒ (iii) Imediato.(iii) ⇒ (ii) Dado a ∈ G , como a′ ∈ G , então, por hipótese, a′N a =

a′N (a′)′ ⊆ N . Assim, N = eN e = aa′N (a′)′a′ ⊆ aN a′. Como, por hipótese, aN a′ ⊆ N , temos a igualdade.

Exemplo 2.40. Se G é um grupo abeliano, então todo subgrupo H de G é

um subgrupo normal, pois aH = H a para todo a ∈ G.

Exemplo 2.41. Se G é um grupo, verifica-se facilmente que {e} G.


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| GRUPOS 59

Exemplo 2.42. Se G é um grupo, GG , pois para qualquer a ∈ G, aG =G e Ga = G.

Exemplo 2.43. Seja H =

{e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)

} < S 3. Já vimos que para

todo a ∈ S 3 , aH = H a. Logo H S 3.Exemplo 2.44. Seja H = {e, (1, 2)} < S 3. Temos H (2, 3) ={(2, 3), (1, 2, 3)} e (2, 3)H = {(2, 3), (1, 3, 2)}. Logo, H (2, 3) ̸= (2, 3)H e, portanto, H não é um subgrupo normal de S 3.

Observemos que aN = N a não significa que an = na, para cada

n ∈ N . Significa, contudo, que para cada n ∈ N , existe m ∈ N demaneira que an = ma.

Exemplo 2.45. Seja H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} < S 3. Temos queH (1, 2 ) = ( 1, 2)H = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} , (1, 2, 3)(1, 2 ) = ( 1, 3) ̸ =(2, 3) = (1, 2)(1, 2, 3) , mas (1, 2, 3)(1, 2) = (1, 3) = (1, 2)(1, 3, 2).

Exercícios

1. Sejam G um grupo, H e K subgrupos de G e HK = {hk : h ∈ H e k ∈K }. Mostrar a validade de:(a) HK é um subgrupo de G se, e somente se, HK = K H .

(b) se G é abeliano, então HK < G.

(c) se H G ou K G, então HK < G.

(d) se H G e K G, então HK G.

(e) se H G e K G, então H ∩ K G.

(f) se K G, então H ∩ K H .(g) se H G, K G e H ∩ K = {e}, então hk = kh, para quaisquerh ∈ H, k ∈ K .2. Z (G) G, em que Z (G) = {g ∈ G : ga = ag, para todo a ∈ G}.3. Se (G : H ) = 2, então H G.

2.10 Grupo quociente

Vimos, nas seções anteriores, que dados um grupo G e um subgrupo

H de G, podemos obter a estrutura quociente módulo H , denotada por


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G/H . Contudo, nem sempre G/H é um grupo. Nessa seção tratamos

dos casos em que esta estrutura quociente determina um grupo.

Definição 2.20. Sejam (G,

·, e) um grupo e N um subgrupo normal de G.

Definimos uma operação em G/N = {N a : a ∈ G} do seguinte modo:para N a, N b ∈ G/N , (N a)·(N b) = N (a·b).

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