TP

L , xh

VH

F, X TF, hF

Vo, vapor de aguaSatTc, Hc

9. EVAPORADORES9.1 Generalidades:

La evaporación consiste en la separación de un disolvente volátil de un soluto no volátil por vaporización del disolvente, el agua es el disolvente que con más frecuencia se separa. La calefacción se efectúa por medio del vapor condensante.

La resolución de los problemas de evaporación se lleva a cabo por aplicación de los conceptos generales referentes a la transmisión del calor desde el vapor condensante hasta la disolución a concentrar. Esta cantidad de calor viene dada por la expresión

U = Coeficiente integral de transmisión del calorA = Superficie de evaporación

= Diferencia de temperatura

9.2 Sistema de Efecto Simple

El cálculo lo efectuamos como si el sistema operara en estado estacionario, entonces no hay acumulación, aplicando primeramente un balance de materia y un balance de entalpia a todo el sistema. Se considera el ingreso igual a la salida.

IX.1

Líquido saturado

h0

Donde:

X = Fracción en masa del soluto en el alimento.x = Fracción en masa del soluto en el licor concentrado.F = Flujo de alimento, lb/h.L = Flujo de liquido concentrado lb/h.V = Flujo de vapor, lb/h.hF = entalpía del alimento, Btu/lb.h = entalpía del licor concentrado a la temperatura de ebullición del evaporador, Btu/lb.H = entalpía del vapor a la temperatura de ebullición del evaporador, Btu/lb.Q = velocidad del calor transferido a través de los tubos (desde el vapor de agua hacia el licor concentrado), Btu/lb.

9.2.1 Balance de materia y energía

Balance de materia del soluto

Balance de materia del solvente

Balance global de materia

Balance de entalpia alrededor del proceso

SiendoQ el calor suministrado por el vapor.

Del balance global de masa

Reemplazando en la ecuación (9.4)

Sumando y restando y reagrupando términos se tiene:

Velocidad de transferencia de calor

IX.2

VoP0, T0, H0

P1T1

L1T1, h1

V1=F-L1P1,T1,H1

FTF, hF Espacio con vapor

Camisa de calentamiento

P0, T0

Efecto 1

Liq. satP0T0, h0

P2T2

L2T2, h2

V2 = L1-L2P2,T2,H2

Espacio con vapor

Camisa de calentamiento

P1, T1

Efecto 2

LiqsatP1T1, h1

P3T3

L3T3, h3

V3=L2-L3P3,T3,H3

Espacio con vapor

Camisa de calentamiento

P2, T2

Efecto 3

LiqsatP2T2, h2

El calor transferido se puede expresar como:

Elemento Calefactor

Para el intercambiador

donde:

= Coeficiente global de transferencia de calor, BTU/hft2

= Temperatura de saturación del vapor de agua que entra al primer efecto.

= Temperatura de ebullición del licor concentrado a la P del espacio con vapor en el primer efecto.

= Área superficial de los tubos disponibles para la trasferencia de calor, si U se refiere a la superficie interna, el área A es el área superficial interna ft2

9.3 Sistema de Triple Efecto

9.3.1 Balance de materia y energía

Se aplicaran los balances antes realizados para cada efecto:

9.3.1.1 Primer efecto

Balance global de materia

IX.3

LicoV

CondensadoF – L ,

L1-L2

Balance de entalpia

Definiendo el calor latente de vapor del solvente de licor a Tjy Pj:

Entonces del primer efecto:

Reemplazando:

Definiendo la función f1

Velocidad de transferencia de calor

Por otro lado se sabe Q1 es:

Igualando:

Definiendo la función f2

8.3.1.2 Segundo efecto

Balance global de materia

Velocidad de transferencia de calor

IX.4

Q2 , siendo un calor latente, se define como:

reemplazando de la ecuación (9.5):

Por otro lado Q2 es:

Balance de entalpia

reemplazando la ecuación (9.8) en (9.11):

reemplazando Q2 de la ecuación (9.9)

definiendo la función f3

igualando las ecuaciones (9.9) y (9.10):

definiendo la función f4

IX.5

9.3.1.3Tercer efecto

Balance global de materia

Velocidad de transferencia de calor

Q3 , siendo un calor latente, se define como:

reemplazando de la ecuación (9.8):

Por otro lado Q3 es:

Balance de entalpia

reemplazando , de la ecuación (9.13):

reemplazando de la ecuación (9.16)

Definiendo la función f5

Igualando las ecuaciones (9.16) y (9.17):

IX.6

Definiendo la función f6

Se pueden generalizar las dos funciones encontradas en base al balance de entalpia y la velocidad de transferencia de calor, para un proceso con n-efectos, es decir:

9.3.1.4 Efecto “n”

Balance de Entalpia

Velocidad de transferencia de calor

9.4 Método de Newton-Raphson para resolver problemas de diseño de evaporadores.

Las ecuaciones no lineales para el diseño de un sistema de evaporación de tiple efecto pueden ser resueltas utilizando el método de Newton Raphson Multivariable.

Se tiene un sistema Multivariable, es decir un sistema de ecuaciones no lineales:

Usando la serie de expansión de Taylor para cada :

Despreciando los términos de orden superior, y escribiendo de forma matricial:

IX.7

Puesto que deseamos para talque , luego a partir de (9.18):

Pero ∆ x es simplemente el cambio en el vector x a partir de la iteración anterior:

Además:

Remplazando (9.20) en (9.19) y despejando el Nuevo valor :

Y el vector es igual a:

Aplicando el Método de Newton Raphson a las funciones f1, f2, f3, f4, f5, f6, se tiene:

donde:

IX.8

En donde los subíndices k y k+1, indican las iteraciones k y k+1

9.4.1 Condiciones de convergencia

Si las funciones y sus derivadas parciales, que aparecen en el Jacobiano Jk, son continuas y el determinante de Jk, no es igual a cero, entonces el método de Newton-Raphson converge hacia una solución siempre y cuando el grupo de valores, asumido de las variables sea suficientemente consistente con la solución.

Si los cambios en los calores específicos, con la temperatura son despreciables, entonces los términos de

calor sensibles, , pueden ser remplazados por:

En consecuencia las funciones con esta simplificación se transforman, a continuación se procederá a la formación del vector Jacobiano:

Función f 1

Función f 2

IX.9

Función f 3

Función f 4

Función f 5

Función f 6

IX.10

Entonces se forma el vector Jacobiano:

9.5 Ejemplo 6.1: Evaporador de Triple Efecto

Se desea diseñar un sistema de evaporación de efecto triple para concentrar el soluto de una solución del 10 % (alimento) a una solución del 50 % en peso. El flujo de alimento es de 50 000 lb/h y entra al primer efecto como líquido a 100 ºF. Debe usarse alimentación en paralelo. Para cumplir con los requisitos de calentamiento del primer efecto se utiliza vapor saturado del solvente a 250 °F. El tercer efecto debe ser operado a una presión absoluta correspondiente al punto de ebullición para el solvente puro a 125°F. Desprecie la elevación del punto de ebullición, al igual que las variaciones de los calores específicos y el calor latente de vaporización con temperatura y composición. Determine el área A para cada efecto (deben utilizarse aéreas iguales), las temperaturas T1 y T2 los flujos L1, L2 y L3, las composiciones x1 y x2

y el flujo Vo.

Datos:

Cp = 1,0 Btu / lb °F para el alimento y todas las otras corrientes líquidas

λ0=λ1=λ2 = 1000 Btu/ lb

U1 =500

U2 =300

U3 =200

La solución de este problema puede iniciarse aplicando los balances de masa y energía para cada efecto, desarrollados en la teoría antes mencionada, las cuales son:

IX.11

9.5.1. Simplificación de las funciones fi

Para reducir la magnitud de los términos que aparecen en las ecuaciones funcionales y las matrices, se utiliza el procedimiento de cambios de variable o cambio de escala. Para fines de cálculos es preferible manejar términos con magnitudes cerca de la unidad.

La selección de los factores para reducir los términos es arbitraria, pero tiene más significado si en los términos reducidos los valores asociados con los parámetros del problema son seleccionados tales como flujos de alimento, temperatura del vapor de agua y el calor latente de vaporización del vapor de agua. El siguiente procedimiento de cambio de variable fue usado:

1. Cada ecuación funcional fue dividida por el producto Fλ0y la nueva expresión funcional obtenida se denominó g:

2. Todos los flujos se expresaron como una fracción del flujo de alimento F, es decir:

3. Todas las temperaturas se expresaron como una fracción de la temperatura del vapor de agua así:

, el cual define la temperatura fraccional uj.4. El área de cada efecto fue expresada como fracción de un término proporcional al flujo de

alimento, de la siguiente manera:Aj= aj (F/50), el cual define la fracción de área aj.

Tomando en cuenta las anteriores consideraciones:

Las nuevas funciones gi son:

Función g1

IX.12

Función g2

Función g3

Función g4

Función g5

Función g6

IX.13

Con esto las matrices quedan de la siguiente manera:

Obtención de la nueva matriz jacobina:

Entonces:

Para g1

Para g2

IX.14

Para g3

Para g4

Para g5

Para g6

IX.15

8.5.2 Valores Iniciales:

Para la solución de este problema tomamos como base los siguientes supuestos:

1. (To – T1) = 42ºF , (T1 – T2) = 42ºF y (T2 – T3) = 41º F.2. Solvente evaporado en el primer efecto= V1 = 14 000 lb/ h.

Solvente evaporado en el segundo efecto = V2=14 000 lb/ h.Solvente evaporado en el tercer efecto = V3=12 000 lb/ h.(Nota: Estas suposiciones son consistentes con el hecho de que la cantidad total de solvente evaporado se toma a partir del enunciado del problema y del balance de material por componente), de donde:

3. A = 1 000 pies2 para cada efecto.4. Vo = 15 000 lb/ h, (supuesto)

Recordando:

Aplicando estos supuestos se tiene:

Si:

IX.16

Del Balance global de materia en el primer efecto:

Si:

Si:

Del Balance global de materia en el segundo efecto:

El vector inicial es:

8.5.3 Preparación del vector columna f0

IX.17

Remplazando datos y valores encontrados en las funciones gi:

IX.18

8.5.4. Vector Jacobiano para la primera iteración: J0

Para formar el vector jacobiano se procede a remplazar datos y valores encontrados en las funciones b:

IX.19

9.5.5 Vector solución para la primera iteración: x1

De donde se obtiene:

Y puesto que entonces:

IX.20

Luego se realiza la siguiente iteración. Para facilitar todo este procedimiento se utilizara un programa que nos permita calcular la solución a través de un método iterativo.

8.5.6. Solución del Ejemplo 01 por Matlab

IX.21

IX.22

IX.23

IX.24

IX.25

Ejecución del Programa en Matlab.-

8.5.7. La Solución del Ejemplo 8.1

NomenclaturaF = Flujo de alimentación, (masa/ tiempo)L = Flujo de líquido concentrado, (masa/ tiempo)V = Flujo de vapor, (masa/ tiempo)X = Fracción en masa de soluto en la alimentaciónx = Fracción en masa de soluto en el líquido concentradoH F=¿ Entalpia de la alimentación, (energía / masa)he=¿ Entalpia del liquido concentrado a la temperatura de ebullición del evaporador (energía / masa) H = Entalpia del vapor a la temperatura de ebullición del evaporador,(energía / masa)Q = Velocidad del calor transferido a través de los tubos (desde el vapor de agua hacia el líquido concentrado), (energía / masa)V0 = Flujo de vapor de agua alimentado a T0 y P0 , (masa/ tiempo) U = Coeficiente global de transferencia de calor, (energía/ área tiempo)T0 = Temperatura de saturación del vapor de agua que entra al primer efectoT = Temperatura de ebullición del líquido concentrado a la presión del espacio con vapor

IX.26