Evolucion lineal de los campostensoriales en el universo

temprano desde un vacıo en 5D

Autor: Silvina Paola Gomez MartınezDirector: Dr. Mauricio Bellini

Departamento de Fısica,

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales,

Universidad Nacional de Mar del Plata,

Dean Funes 3350, (7600) Mar del Plata,

Buenos Aires, Argentina.

Abril de 2008

A mi familia...

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Acerca del amor y la pasion

”Juzga tu exito por el grado en que disfrutes de paz, salud y amor”.Gracias a todas las personas que me hicieron, con sus sentimientos, mere-cedora de todo lo que disfruto...Gracias a mi familia que me permitio llegartan lejos. Muchas gracias mama por todo tu amor, por todo tu apoyo, portoda la comprension, por el esfuerzo, que siendo que siendo tan grande,me hiciste ver que siempre se puede dar un poco mas. Siempre fuiste yseguiras siendo mi ejemplo. Gracias papa por haber creıdo en mı. Graciasa mis hermanos, Lucas y Luisina por haberme llenado de alegrıa la vida,por todos los juegos compartidos que terminaron en risas. Muchas graciasa mis ”Viejos tıos”, por todo el esfuerzo.Gracias a mis ”amigas de la vida”, Mary, Flor, Sil, porque aunque llevemoscaminos distintos, todavıa siento que las tengo a mi lado. Gracias Emi,que todavıa nos quedan cosas por compartir...Gracias a Pupi, por todo sucarino y ternura.Gracias a todos los que hicieron que la carrera sea una aventura, a todosmis companeros que estuvieron ayudandome a entender, que me tuvieronpaciencia.Muchas gracias Mauricio, porque realmente me sentı muy acompanada, portodas las palabras de aliento, por toda la dedicacion, porque la pasion quedemostras por tu trabajo me guio el camino que quiero seguir.Gracias a todas las personas del departamento de Fısica, que ano a anome brindaron su apoyo.Todos ustedes me demostraron lo importante que es el amor por las per-sonas y la pasion por el trabajo...por que el amor y la pasion son magnitudesinfinitas, pero se demuestran dıa a dıa.

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Introduccion

Inflacion es un termino general utilizado para describir el universo primor-dial. Durante este perıodo, extremadamente corto, el universo sufrio unaexpansion acelerada, cuasi-exponencial. La teorıa inflacionaria como laconocemos hoy, fue propuesta a principios de la decada de los 80 por AlanGuth [1], mientras exploraba las Teorıas de la Gran Unificacion de la fısicade partıculas. Estas teorıas tienen como marco necesario al universo joven,debido a que son necesarias energıas y temperaturas extremadamente altaspara que las fuerzas no se desacoplen. Segun Guth, algunas regiones deluniverso pudieron superenfriarse entrando en un estado de falso vacıo, enel que la gravedad pierde su naturaleza atractiva para convertirse en unafuerza repulsiva. Como resultado, estas regiones pudieron haber sufridouna breve pero abrupta expansion, conocida como inflacion. Sin embargoel modelo de Guth, predecıa un universo post inflacionario demasiado in-homogeneo, por lo que se abandono ese modelo.

Posteriormente, en 1982 Linde [2] por un lado, y Albrech y Steinhardt[3] por otro propusieron un modelo conocido como nueva inflacion. Sinembargo este predecıa variaciones de temperatura en la radiacion de fondode microondas mucho mayores de las que se observaban. Poco tiempo mastarde, el mismo Linde propuso un modelo conocido como inflacion caotica.Este modelo predice los primeros instantes de la evolucion del universo,en donde este se expande cuasi exponencialmente en un estado con unadensidad de energıa dominada por el potencial de algun campo escalar.Esta rapida expansion provoco la planaridad, homogeneidad e isotropıadel universo. Luego, la densidad de energıa potencial del campo escalar setransformo en energıa termica y apartir de allı, el universo puede describirsepor el modelo cosmolgico estandar.

La enorme aceptacion de los modelos inflacionarios, han hecho queactualmente sea practicamente imposible prescindir de esta hipotesis en

3

cualquier estudio cosmlogico moderno.La idea de que el universo puede ser de multiples dimensiones ha gen-

erado un gran interes. Las teorıas de dimensiones extras han pasado a serparte activa de la fısica de partıculas, relatividad general y cosmologıa. Enalgunas de estas teorıas las dimensiones extras son extendidas y llamadasteorıas de Kaluza-Klein no compactas. De estas existen dos versiones, unaes la teorıa de Espacio-Tiempo-Materia (STM) o Materia Inducida (TMI)y la otra se refiere a los modelos de Brane-World (BW), en donde nue-stro universo es una hipersuperficie de cuatro dimensiones dentro de unespacio-tiempo de cinco dimensiones.

En relatividad general las ecuaciones de Einstein no solo describen lainteraccion gravitacional a traves de la curvatura del espacio-tiempo gen-erada por la masa y la energıa, sino que tambien predice la existencia deperturbaciones de la curvatura propagandose con velocidad c en el espacio-tiempo plano y vacıo. Estas perturbaciones tensoriales conducen a lasondas gravitacionales.

Las ondas gravitacionales representan un punto muy importante, yaque prometen jugar un papel central en la astrofısica, la cosmologıa y lafısica teorica.

La observacion directa de las ondas gravitacionales abrira completa-mente un nuevo campo; la astronomıa de las ondas gravitacionales. Es deesperar que ocacione una revolucion en nuestro conocimiento del universopara permitir la observacion de fenomenos que hasta ahora no han sidovistos.

El objetivo de esta tesis consiste en estudiar la evolucion en el uni-verso temprano de los campos tensoriales que serıan resposables de pro-ducir dichas ondas. Lo haremos utilizando algunas ideas de la Teorıa deMateria Inducida, desde un vacıo pentadimensional construıdo sobre unametrica pentadimensional plana (en el sentido de Riemann).

La presente tesis consta de cuatro capıtulos. El primero trata el ModeloCosmologico Estandar y el formalismo de la teorıa inflacionaria, donde sedescriben las ecuaciones fundamentales que seran utizadas para el desar-rollo del cuarto capıtulo. El segundo capıtulo nos introduce a las teorıasperturabativas, donde haremos una clasificacion de ellas de acuerdo a laforma en que los campos son construıdos bajo transformaciones de coorde-nadas. Esta clasificacion sera util para comprender el tercer capıtulo, enel cual hacemos una descripcion de la teorıa de las ondas gravitacionales ylos experimentos propuestos para su deteccion. Luego introducimos el for-

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malismo de ondas gravitacionales en 4D. Finalmente, en el cuarto capıtulo,trabajamos en una teorıa de vacıo en 5D, donde obtendremos la dinamicade las fluctuaciones tensoriales, para luego hacer una foliacion sobre laquinta coordenada y obtener la dinamica efectiva en 4D. Todo esto en elmarco de la teorıa inflacionaria con un parametro cosmologico decreciente.Finalmente, se discuten las conclusiones del trabajo realizado.

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Contents

1 Modelo Cosmologico Estandar y Formalismo de Inflacion 81.1 El Modelo Cosmologico Estandar . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Problemas del Modelo Cosmologico Estandar . . . . . . . . . 12

1.2.1 Problema de la planaridad del universo . . . . . . . . 121.2.2 El problema del horizonte . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3 El problema de los monopolos magneticos . . . . . . 141.2.4 Origen de las fluctuaciones de densidad de energıa . . 16

1.3 Formalismo de Inflacion: Aproximacion semiclasica . . . . . 181.3.1 Dinamica del campo clasico φc . . . . . . . . . . . . . 191.3.2 Aproximacion en rodadura lenta del campo clasico . 211.3.3 Dinamica de las fluctuaciones . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 El campo de grano grueso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Clasificacion de las perturbaciones 292.1 Perturbaciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2 Perturbaciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3 Perturbaciones tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Ondas gravitacionales en 4D 333.1 Teorıa y experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Detectores de ondas gravitacionales . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Elementos de ondas gravitacionales . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Ondas gravitacionales durante inflacion desde una teorıade vacıo en 5D 394.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Modos del tensor en 5D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3 Dinamica efectiva en 4D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

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4.4 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4.1 Caso Λ = 3H2

0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4.2 Caso Λ = 3p2/t2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.5 Aproximacion estocastica:Campo de grano grueso en 4D . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.6 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

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Chapter 1

Modelo Cosmologico Estandary Formalismo de Inflacion

El Modelo Cosmologico Estandar, es el que se ha favorecido con las re-cientes generaciones de datos observacionales, sin embargo no esta libre deproblemas. Hasta finales de la decada de los ’70, el Modelo CosmologicoEstandar no podıa explicar la homogeneidad e isotropıa a gran escala de-tectada en la radiacion cosmica de fondo, y mucho menos las pequenasdesviaciones de estas a escalas angulares menores a 1 de arco. Los prob-lemas de este modelo tuvieron una solucion con la aparicion de la teorıaInflacionaria. La teorıa Inflacionaria surgio como intento de resolver losproblemas del Modelo Cosmologico Estandar, tales como la creacion demonopolos magneticos. Posteriormente resulto que inflacion resolvıa enig-mas adicionales del Modelo Cosmologico, como la generacion de perturba-ciones cosmologicas y el problema de planaridad.En la siguiente seccion estudiaremos conceptos fundamentales de dichomodelo.

1.1 El Modelo Cosmologico Estandar

El Modelo Cosmologico Estandar postula que a escalas suficientementegrandes, el universo es espacialmente isotropico y homogeneo. Esta su-posicion en cosmologıa es llamada ”Principio Cosmologico”. Este principioes muy restrictivo y las unicas metricas compatibles con el son las del tipo

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Friedmann-Robertson-Walker (FRW)

ds2 = dt2 − a2(t)

[dr

1− kr2+ r2(dθ2 + sin2(θ)dφ2)

]. (1.1)

Las distancias fısicas estaran dadas por el factor de escala del universo a(t),y la constante k caracteriza la curvatura espacial. El universo es cerrado sik > 0, abierto si k < 0 y plano si k = 0. Por convencion reescaleamos r ya(t), de modo que el parametro k asuma los valores −1, 0, 1, en universostopologicamente cerrados, planos o abiertos respectivamente.Las ecuaciones de Einstein

G00 = 8πGT 00 0 tiempo (1.2)

Gii = 8πGT ii i = 1, 2, 3 (1.3)

se completan proponiendo la forma de un fluıdo ideal para el tensor deenergıa impulso

T µν = pgµν + (p + ρ)uµuν , (1.4)

donde uµ = (1, 0, 0, 0) es un tetravector unitario en la direccion temporal,p ≡ p(ρ) es la presion y ρ ≡ ρ(t) es la densidad de energıa. Ası lasecuaciones de Einstein (1.2) y (1.3) se reducen a

a

a= −4π

3G(ρ + 3p) (1.5)

(a

a

)2

=8π

3Gρ− k

a2, (1.6)

donde a > 0 indica universo acelerado mientras que a < 0 universo desacel-erado y el punto implica derivada con respecto al tiempo. Combinando lasecuaciones (1.5) y (1.6) obtenemos una relacion para la conservacion de laenergıa

d

dt

(a3ρ

)= −p

d

dt

(a3

), (1.7)

que garantiza una expansion adiabatica. En cosmologıa, un valor impor-tante es el factor de escala a, de este se puede definir la cantidad H ≡ a/aque se conoce como parametro de Huebble, cuyo valor actual se denota

H0 = h0(100 km/sMpc) = h0(9.78 anos)−1, (1.8)

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donde el valor de h0 se estima entre 0.4 y 1 [4, 5], 1pc = 3.262 ly y 1M ≡ 106.Si el universo es plano, k = 0, entonces de la ecuacion (1.6) se tiene

H2 =8πG

3ρc, (1.9)

y de aquı puede calcularse la densidad de energıa crıtica ρc = 1.87 10−29 h20 gr.cm−3.

Ahora definimos un valor adimensional Ω mediante el cociente ρ/ρ0, cuyovalor actual se denota por Ω0 y se encuentra en el rango [4, 5]

0.1 ≤ Ω0 ≤ 2. (1.10)

En lo que sigue, veremos algunas ideas principales de la historia termicadel universo.En los primeros instantes, el universo estara dominado por partıculas rela-tivistas. A esta etapa se la conoce como era dominada por radiacion y porlo tanto la densidad de energıa dependera de la temperatura

ρ =π2

30NefT

4, (1.11)

donde Nef es el numero efectivo de grados de libertad de las partıculasrelativistas, que esta relacionado con el numero de grados de libertad delas partıculas bosonicas Nb =

∑b gb y fermionicas Nf =

∑f gf

Nef = Nb +7

8nf . (1.12)

La densidad de entropıa s para una region comovil del universo con volumen43πa3 es

s =2π2

45NefT

3. (1.13)

Si suponemos una expansion adiabatica del universo, entonces la energıadebe conservarse. Por lo tanto, para un universo muy grande de especiesrelativistas, se tiene

a ∝ T−1. (1.14)

Haciendo uso de la ecuacion (1.11) se encuentra que

ρ ∝ a−4, (1.15)

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que es valida para etapa donde el universo es dominado por radiacion. Laecuacion (1.15) puede reemplazarse en la (1.6), de este modo, si el terminode curvatura−k/a2 es despreciable frente a los demas, se obtiene la solucion

a ∝ t1/2. (1.16)

Consecuentemente, el parametro de Hubble H(t) = a/a esta dado por

H(t) =1

2t, (1.17)

en general H(t) = p/t, y ası notamos que para el universo dominado porradiacion p = 1/2, ademas de la ecuacion de Einstein (1.6) se encuentrapara (para k = 0)

T 2 =

(45

π3Nef

)1/2Mp

4t, (1.18)

donde Mp = G−1/2 = 1.2× 1019 GeV, se conoce como la masa de Planck.La densidad de enegıa debida a la radicion va como ρr ∼ a−4, y la densidadde energıa por materia lo hace como ρm ∼ a−3. A medida que el universocrece , el factor de escala a(t) aumenta hasta que ρr es despreciable frentea ρm. A partir de este momento la densidad de energıa total ρ es

ρ ∝ a−3. (1.19)

Insertando la ecuacion (1.19) en la ecuacion (1.6) para un universo planoobtenemos

a = a0

(t

t0

)2/3

. (1.20)

Si la relacion entre ρr y ρm se invirtio, veamos en que momento se dio laigualdad

ρm = ρ0

[a0

a(t)

]3

' ρ

[Tγ(t)

Tγ0

]3

' ρr =π2

30NefT

4γ (t), (1.21)

siendo ρ0 la densidad de enegıa actual, t0 el tiempo actual, Tγ0 = 2.7 T0K elvalor actual de la temperatura debido al desacoplamiento radiacion-materiay Tγ ' h2

0T−30 eV (aproximadamente 6000 K el momento en que ρr = ρm).

Y haciendo uso de la ecuacion (1.18), esta temperatura corresponde a t =1.25× 103T 6

0 h−40 anos ' 40000 anos. Desde entonces, el universo ha estado

dominado por materia.

11

1.2 Problemas del Modelo Cosmologico Estandar

El Modelo Cosmologico Estandar fue aceptado por gran parte de la co-munidad cientıfica porque predice con exito la expansion de Hubble, laradiacion cosmica de fondo y la abundancia relativa de los gases livianos,pero se encuentran problemas a escalas temporales t < 10−35. En lo quesigue, haremos una descripcion de dichos problemas.

1.2.1 Problema de la planaridad del universo

Este problema fue detectado en 1979 a partir de un trabajo de Dicke yPeebles [6]. Se sabe que Ω ∼= 1 es el valor actual, pero si vamos mas atrasen el tiempo, vemos que el universo fue mas plano aun.Trataremos el problema de planaridad de un modo cualitativo, considerandoel comportamiento de (Ω−1)

Ω, de la ecuacion de Einstein (1.6) es facil ver

que k = 0 (curvatura nula) corresponde a Ω = 1, usando la ecuacion (1.9)obtenemos

2k

a2= H2[Ω− 1], (1.22)

dividimos ambos terminos por el factor H2Ω

(Ω− 1)

Ω=

3k

4πGρa2, (1.23)

eliminamos el factor de escala utilizando la ecuacion a2 =(

Ss

)2/3

(Ω− 1)

Ω=

3k

4πGρ

( s

S

)2/3

. (1.24)

Esta ultima ecuacion es muy util debido a que s y ρ se pueden expresar enterminos de la temperatura (1.13), (1.19) y la entropıa total S se mantieneconstante a medida que el universo evoluciona, dado que se supone unaexpansion adiabatica. Para calcular el valor de S, tendremos en cuenta laecuaciones (1.6) y (1.9), entonces el factor de escala resulta

a2 =k

H2(Ω− 1), (1.25)

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y por lo tanto la entropıa total es

S =

[k

H2(Ω− 1)

]3/2

s. (1.26)

Si tomamos |Ω − 1| < 1, H−1 = 1010anos = 1060tp = 1060

Mp= 1041GeV −1,

entonces H−3 = 10123GeV −3, y resulta

S > 1087, (1.27)

el cual es un valor muy grande. Esto es una consecuencia de la extremaplanaridad del universo. En el contexto del modelo cosmologico estandar,S es un parametro que viene dado por las condiciones iniciales , y es deesperar que sea del orden de la unidad.

Se puede calcular el orden de Ω, usando la ecuacion (1.24), en el instanteen que tuvo lugar la transicion de fases en las Teorıas de Gran Unificacion(TGU), o sea cuando la temperatura era aproximadamente T ≈ 1014 GeV ,y se encuentra

|Ω− 1| ≤ 10−49. (1.28)

Finalmente, en la escala de Planck, se tiene

|Ω− 1| ≤ 10−59. (1.29)

El problema de la planaridad, radica en entender como Ω tuvo un valor tancercano a la unidad cuando el universo era tan joven. Dado que el ModeloCosmologico Estandar no puede explicarlo, nos vemos en la necesidad queel problema se resuelva mediante una nueva teorıa.

1.2.2 El problema del horizonte

Otro problema es el del horizonte, y fue puesto en evidencia por Rindleren 1956 [7]. De acuerdo con las observaciones experimentales para ra-diacion cosmica de fondo, el universo es muy homogeneo a gran escala.La temperatura efectiva de la radiacion cosmica de fondo es isotropica enuna parte en 1000, aunque gran parte de esa anisotropıa se explica por elmovimiento de la tierra a traves de la radiacion de fondo. Si se despreciala contribucion debida al movimiento de la tierra, entonces la anisotropıaresidual es menor que una parte en 100000. Esta extrema uniformidad es

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muy difıcil de entenderse en el contexto del Modelo Cosmologico Estandar.Si se consideran dos antenas de microondas dirigidas en direcciones op-uestas, cada una recibira radiacion emitida en el momento tr en que elhidrogeno re recombino. Esto sucedio alrededor de 105 anos despues delBig Bang. En este momento la temperatura era de unos 4000 K. En elmomento de la emision esas dos fuentes estaban separadas una de la otravarias veces la distancia del horizonte causal. Dicho horizonte esta dadopor la distancia que un pulso de luz habrıa atravesado desde la singulari-dad inicial. Si se supone Ω ≈ 1, y se calcula la distancia del horizonte enel perıodo dominado por materia, la distancia entre fuentes de radiacioncosmica sera

rcoord =

∫ t0

tr

dt′

bt′2/3= 3b−1(t

1/30 − t1/3

r ), (1.30)

donde hemos considerado a(t) = bt1/3 con b constante. El valor de lacoordenada debida a la distancia de horizontes para tr sera

lH,coord =

∫ tr

0

dt′

bt′2/3= 3b−1t1/3

r . (1.31)

El cociente entre estas cantidades es

N =2rcoord

lH,coord

= 2

[(t0tr

)1/2

− 1

]= 2

[(Tr

T0

)1/2

− 1

]≈ 75. (1.32)

El problema radica en entender como dos regiones apartadas por distanciastan grandes pueden estar a la misma temperatura. El problema es todavıamas profundo si se considera que las fuentes estaban casualmente desconec-tadas en el momento de la emision. En la teorıa cosmologica estandar lahomogeneidad de la temeratura se considera como una condicion inicial sinque exista una justificacion proveniente del modelo mismo.

1.2.3 El problema de los monopolos magneticos

En el contexto de las partıculas fısicas de las TGU, el Modelo CosmologicoEstandar predice a una gran produccion de monopolos magneticos. Talesmonopolos son los nudos topologicos estables del campo de Higgs. Supong-amos que el campo de Higgs esta caracterizado por una longitud de cor-relacion ξ. Si consideramos una region cubica del espacio con lados ξ, el

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campo de Higgs sobre una cara del cubo sera independiente del campo deHiggs sobre la cara opuesta. Podemos estimar que cada cubo con volumenξ3 se corresponde a un nudo topologico del valor de espectacion del campode Higgs, de modo que la densidad de monopolos queda aproximadamentedada por [8, 9]

nM ≈ ξ−3. (1.33)

Como este argumento es poco riguroso, cabe esperar un error de uno odos ordenes de magnitud en el resultado de la expresion (1.33) Aun asıdicho argumento posibilita establecer el problema de manera facilmenteentendible.

Sea Tc ≈ 1014 GeV la temperatura de transicion de fase en las TGUpara la fase SU(3)×SU(2)×U(1). De la ecuacion (1.18) puede obtenerseel tiempo que tarde en producirse la transicion de fase para Nef ≈ 102,obteniendose tc ≈ 10−35 segundos. Puede mostrarse [1] que el campo deHiggs tuvo tiempo para recobrar su equilibrio termico antes que la tran-sicion de fase tuviera lugar. Por ese motivo, para T > Tc, la longitud decorrelacion debe estar dada solamente por la longitud de escala relevante,dada por la inversa de la temperatura T−1. Argumentos de causalidad re-stringen la longitud de correlacion del campo de Higgs a ser menor que ladistancia del horizonte

lH = a(t)

∫ t

0

dt′

a(t′), (1.34)

que es la distancia total que un pulso luminoso recorre desde la singular-idad inicial. En el Modelo Cosmologico Estandar, el factor de escala esproporcional a t1/2 en la era dominada por materia, por lo que lH = 2t.Como la transicon de fase ocurre muy rapidamente, la ecuacion (1.33) nosda la densidad aproximada de monopolos magneticos

nM ≈ ξ−3 ≥ 1

8t3c. (1.35)

En 1979 Preskill [10] mostro que a densidades cercanas a (8t3c)−1 la aniquilacion

de monopolos-antimonopolos queda sin efecto. Debido a que la masa de losmonopolos es de mM ≈ 1016 GeV , estos se comportan como partıculas norelativistas con una densidad que disminuye como a−3 con la expansion deluniverso. La densidad de energıa debida a los pares monopolo-antimonopoloes

ρM = nMmM ∝ a−3. (1.36)

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Tambien es util evaluar el cociente ρM/s. Como el numerador y eldenominador disminuyen como a−3(t) cuando el universo se expande, elcociente ρM/s permanece constante. Su valor puede encontrarse a partirde las ecuaciones (1.13), (1.18) y (1.33) obteniendose la desigualdad

ρM/s ≥ c(Nef )1/2mMT 3

c

M3p

, (1.37)

donde c = 4π2(π/45)1/2 = 10.4. El valor actual para la densidad de en-tropıa, s0, puede ser calculado usando la ecuacion (1.13), suponiendo a estadominada por la contribucion de fotones y neutrinos

s0 =2π2

45

(2T 3

γ +7

4NνT

3ν

), (1.38)

donde Nν es el numero de espacies de neutrinos y Tν la temperatura de losneutrinos. Tomando Nν = 3, se encuentra

s0 = 2.8× 103cm−3, (1.39)

yρM ≤ 5× 10−18 gr.cm−3. (1.40)

Ahora se puede comparar ρM con la densidad crıtica ρc dada por ρc =1.87× 10−29 h2

0gr.cm−3 y tomando h0 ≈ 1, se encuentra

ΩM ≡ ρM/ρc ≥ 3× 1011, (1.41)

que es incompatible con los lımites observacionales para Ω0.

1.2.4 Origen de las fluctuaciones de densidad de en-ergıa

Aunque el universo se ve homogeneo a escalas mayores que unos 108 anosluz, a escalas menores se ven estructuras de materia a las que conocemoscomo galaxias, cumulos, etc. El Modelo Comologico Estadar no proveeun mecanismo natural que produzca las fluctuaciones iniciales de materiaque dan origen a estas estructuras. La situacion se vuelve dramatica enla medida que uno quire describir el universo alrededor de los t ≈ 10−35

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segundos, ya que allı las perturbaciones de densidad de materia son grav-itacionalmente inestables. En los primeros instantes, las fluctuaciones demateria deben haber sido muy pequenas de acuerdo a una distribucion demateria muy uniforme. A los t ≈ 10−35 segundos deberıamos esperar quelas perturbaciones fueran muy pequenas. Supondremos que el universoesta domnado por radiacon y es globalmente isotropico y hommogeneo,de esta forma puede ser descripto por una metrica de FRW, y como lasfluctuaciones locales de la densidad se suponen pequenas, entonces bastaconsiderar una expansion a primer orden para las fluctuaciones δρ(~r, t),respecto a su valor espacialmente homogeneo ρ0(t)

ρ(~r, t) = ρ0(t) + δρ(~r, t). (1.42)

Lo que sigue es escribir las ecuaciones de relatividad general que describenla evolucion de δρ, y el cambio que inducen en la metrica . Luego hacemosuna transformada de Fourier de las ecuaciones linealizadas para obtener unsistema de ecuaciones resoluble. Ası se encuentra que el comportamientode la transformada δρ(~r, t)/ρ0(t), depende de las magnitudes relativas dela longitud de onda fısica l = ka y de la longitud de Hubble H−1 = 2t.En los primeros instantes del universo, es mayor la longitud de Hubbley luego la situacion se invierte. Consideremos ahora el crecimiento delas perturbaciones en la escala correspondiente a galaxias tıpicas. Paraque puedan formarse las galaxias, es necesario que las perturbaciones a esaescala hayan entrado en el regimen no lineal muchos millones de anos atras,cuando la longitud de onda fısica se equiparo a la longitud de Hubble, estoimplica que el valor de δρ/ρ debe haber sido del orden de 10−4, de aquı sepuede estimar el instante en el que esto se produjo. Luego

δρ

ρ(escala galactica) ≈ 5× 10−49, (1.43)

para t = 10−35 segundos. Para tener una idea de la magnitud de esteresultado podemos compararlo con las fluctuaciones de Poisson 1/N1/2,que son caracteristicas de cualquier gas de partıculas asociado con unagalaxia tıpica (N ' 1079 es el numero de partıculas de una galaxia tıpica)

δρ

ρ=

1

N1/2≈ 3× 10−40. (1.44)

Estas fluctuaciones son nueve ordenes de magnitud mas grandes que aque-llas permitidas por el Modelo Cosmologico Estandar. En tiempo de Planck

17

(tp ' 10−43) este resultado es

δρ

δ(galaxias) ≈ 5× 10−57, (1.45)

esto significa que las fluctuaciones requeridas segun el Modelo CosmologicoEstandar son 17 ordenes de magnitud menores que las fluctuaciones dePoisson. Por ello, el Modelo Cosmologico Estandar aplicado a tiempos an-teriores a los 10−35 segundos, predice fluctuaciones de densidad mucho maspequenas que 1/N1/2, lo cual se da en sistemas cuanticos muy ordenados,como es el caso de radiacion termica cuantica de bosones o fermiones, o elcaso de gases clasicos en equilibrio termico.

El problema de fluctuaciones de densidad puede verse como una versionlocal del problema de planaridad.

1.3 Formalismo de Inflacion: Aproximacion

semiclasica

Consideremos la accion

I = −∫

d4x√−g

[R

16πG+

1

2gµνϕ,µϕ,ν + V (ϕ)

], (1.46)

donde ϕ es un campo escalar mınimamente acoplado a la gravedad, lla-mado campo inflaton, R es la curvatura escalar del espacio-tiempo ds2 =−dt2 + a2dr2 = gµνdxµdxν , en una metrica de FRW con k = 0, V (ϕ) esun potencial asociado al operador de campo ϕ(~x, t) y las comas denotanderivadas parciales ordinarias. De esta forma la densidad lagrangiana estadada por

L(ϕ, ϕ,ν) = −√−g

[ R16πG

+1

2gµνϕ,µϕ,ν + V (ϕ)

], (1.47)

y mediante la ecuacion de Lagrange,

∂L∂ϕ

− ∂

∂xµ

(∂L∂ϕ,µ

)= 0, (1.48)

18

se halla la ecuacion de movimiento para el campo inflaton

ϕ + 3a

aϕ− 1

a2∇2ϕ + V ′(ϕ) = 0, (1.49)

donde los puntos denotan derivadas respecto del tiempo, la prima in-dica derivada respecto del campo ϕ y ademas a/a = Hc, donde H esel parametro de Hubble.La densidad Hamiltoniana es

H = Π0ϕ,0 − L, (1.50)

donde

Πµ =∂L∂ϕ,µ

. (1.51)

Se puede hallar una expresion para la densidad de energıa ρ en funcion deloperador cuantico ϕ

H = a3

[ϕ2

2+

1

2a2(∇ϕ)2 + V (ϕ)

]= a3ρ. (1.52)

Y ası, teniendo la expresion para ρ y la ecuacion (1.9), hallamos la ecuacionde Friedmann, que no es mas que la ecuacion de Einstein en la metrica deFRW, (

a

a

)2

=8πG

3

⟨ϕ2

2+

1

2a2(∇ϕ)2 + V (ϕ)

⟩. (1.53)

El problema para resolver esto, reside en que ϕ es un campo cuantico.Dada la dificultad trataremos de construir una teorıa semiclasica, haciendola expansion

ϕ(t, ~x) = φc(t) + φ(~x, t), (1.54)

donde φc(t) es un campo clasico, y φ(~x, t) es una correccion cuantica. Dichaexpansion es valida siempre que las fluctuaciones cuanticas sean pequenas.

Ahora vamos a reemplazar esta expansion en la ecuacion de movimiento(1.49), y obtendremos un par de ecuaciones para las componentes φc y φ.

1.3.1 Dinamica del campo clasico φc

Una vez reemplazada la expansion semiclasica en la ecuacion de movimiento(1.49), definimos nuestro cero de energıa tal que

φc + 3Hφc + V ′(φc) = 0, (1.55)

19

esta expresion aun no puede resolverse, debido a que H es un operadorcuantico. Veamos una forma de trabajar H de modo que pueda con-siderarse clasico. Para ello utilizamos la ecuacion (1.53), la expansionsemiclasica (1.54), y el desarrollo del potencial V ′(ϕ) alrededor de φc. Asıse obtiene

H2 =

(a

a

)2

=8πG

3

[φc

2

2+ V (φc)

]+

8πG

3

⟨φc

2

2+

1

2a2(∇φ)2 +

∑n=1

V n(φc)

n!φn

⟩,

(1.56)donde se ha considerado que < φ >=< φ >= 0. El primer termino espuramente clasico y φc representa el campo que infla el universo. Por estoes llamado Inflaton; el segundo termino representa las rugosidades, que agran escala son despreciables. Hasta ahora logramos obtener H2, lo quesigue es expandir en serie y consideramos H2 = H2

c (t) + 〈fluct pequenas〉.Luego del desarrollo, tenemos

H2 ' H2c + 2Hc(H −Hc), (1.57)

igualando (1.56) con (1.57), obtenemos

H ' Hc

[1 +

4πG

3H2c

⟨φc

2

2+

1

2a2(∇φ)2 +

∑n=1

V n(φc)

n!φn

⟩]. (1.58)

Como el segundo termino se desprecia a gran escala, resulta

a

a= H ' Hc. (1.59)

Con este resultado, la ecuacion de movimiento (1.55) para el campo clasicoya puede resolverse, y ademas, del primer termino de la ecuacion (1.56)tenemos la ecuacion de Einstein

H2c (t) =

8πG

3

[φc

2

2+ V (φc)

]. (1.60)

Ahora trabajaremos la ecuacion (1.60) a modo de ver como se vincula elpotencial V con Hc. Derivando respecto del tiempo (1.60), tenemos

2HcHc =8πG

3

[φc φc + V

], (1.61)

20

y de (1.55), φc = −3Hc φc − V ′(φc). Entonces reemplazando en (1.61) yaplicando la derivada

d

dt=

dφc

dt

d

dφc

= φcd

dφc

, (1.62)

se tiene

φc =−H ′

c

4πG≡ −M2

p

4πH ′

c, (1.63)

donde ahora la prima indica derivada respecto de φc, G = 1/M2p y Mp

es la masa de Planck. Reemplazando en la ecuacion (1.60) y despejandoadecuadamente, obtenemos una ecuacion que vincula el potencial con Hc,

V (φc) =3M2

p

8π

[H2

c −M2

p

12π(H ′

c)2

]. (1.64)

1.3.2 Aproximacion en rodadura lenta del campo clasico

En la literatura encontramos dos versiones diferentes de la aproximacionen rodadura lenta. La primera plantea restricciones sobre la forma del po-tencial, y requiere la evolucion del campo escalar, para extenderse en formaasintotica. Esta aproximacion es la mas adecuada cuando estudiamos in-flacion y la llamaremos ”Aproximacion de rodadura lenta del potencial(PSRA)”.La otra forma de aproximacion plantea condiciones sobre la evolucion delparametro de Hubble durante inflacion, y llamaremos a esta, ”Aproxi-macion de rodadura lenta de Hubble (HSRA)” [13].Situandonos en la primera aproximacion, la condicion de rodadura lenta esque φc sea despreciable frente a los otros dos terminos de la ecuacion (1.55).Esto significa que el tiempo caracterıstico de variacion de φc es mayor queel tiempo caracterıstico de la expansion del universo (τd À τH = H−1).Luego, la ecuacion de movimiento resulta

φc ' −V ′(φc)

3Hc

, (1.65)

y la ecuacion (1.64) queda

H2c '

8π2

3M2p

V (φc). (1.66)

21

• La version mas simple es la de un campo escalar masivo no inter-actuante con el potencial efectivo Vc = 1

2m2φ2

c , donde m es la masadel campo escalar φc (m ¿ Mp). Si inicialmente el campo escalarφc es suficientemente grande (φc À Mp), entonces se puede mostrarque las funciones φc(t) y a(t) rapidamente se aproximan al regimenasintotico:

φc(t) = (φc)0 − mMp

2(3π1/2)t, (1.67)

a(t) = a0e2π[(φc)20−φ2

c(t)]/M2p . (1.68)

De acuerdo con estas ecuaciones, durante el tiempo φc/(mMp), elcambio del campo φc es pequeno. El potencial efectivo varıa muysuavemente y el universo se expande cuasi exponencialmente

a(t + ∆t) ≈ a(t)eHc∆t, (1.69)

La expansion inflacionaria del universo finaliza cerca del mınimo depotencial, esto es, cuando φc ≈ (φc)e. Luego el campo empieza aoscilar alrededor de su mınimo e ingresa en lo que se llama era de re-calentamiento. De acuerdo con esta teorıa[11], hay tres etapas difer-entes. Durante la primera el campo escalar clasico comienza a os-cilar, y decae en bosones masivos debido al fenomeno de resonanciaparametrica. Este estado se denomina precalentamiento. El segundoperıodo consiste en el decaimiento de las partıculas previamente pro-ducidas y finalmente estas se termalizan con una temperatura Tr.En el ejemplo considerado se tiene (φc)e ≈ 0.2. Cuando φc ≤ (φc)e elcampo escalar oscila rapidamente, y si interactua con otro campo de

materia, su energıa potencial V (φc) ≈ m2(φc)2e2

≈ m2M2p

2se transforma

en energıa termica. La temperatura asociada Tr puede ser del ordende (mMp)

1/2 o menor. Ademas, Tr no depende del valor inicial del

campo, (φc)0, pero si del factor de escala a(t). Este crece e2π(φc)20/M2p ,

veces durante la inflacion y el argumento Ne =2π(φc)20

M2p

se lo conoce

como numero de desdoblamientos exponenciales.

• El resultado anteriormente obtenido se puede generalizar para mod-elos con potenciales efectivos V (φc) mas complicados.

22

Para que se cumplan las condiciones de rodadura lenta, deben satisfacerselas siguientes condiciones

Θ =2

K2

(H ′

c

Hc

)2

¿ 1, (1.70)

Σ =2

K2

H ′′c

Hc

¿ 1, (1.71)

donde K =√

8πMp

[12]. La inflacion termina cuando el factor de escala deja

de acelerarse (a ∼ 0). Ademas, Θ(φc) = 1, cuando el campo asume el valorφc = (φc)e.Finalmente, bajo la condicion de rodadura lenta, ν y Ne pueden aproxi-marse a las expresiones:

ν ∼ −8π2φc

M2p

V (φc)

V ′(φc), (1.72)

Ne ∼ −8π2

M2p

∫ φc

φ0

dφ′cV (φ′c)V ′(φ′c)

. (1.73)

1.3.3 Dinamica de las fluctuaciones

En la seccion anterior se trabajo con las expresiones clasicas que describenla dinamica del campo inflaton y las ecuaciones de Einstein respecto dela metrica de fondo. Ahora trabajaremos con la ecuacion para el campocuantico φ, la cual describe la dinamica de las fluctuaciones cuanticas delcampo inflaton, esta es

φ + 3Hcφ− 1

a2(t)∇2φ + V ′′(φc)φ = 0. (1.74)

Para simplificar el estudio de la componente cuantica, hacemos el cambio,

φ = a−3/2χ, (1.75)

y redefinimos el campo por χ. Ası la ecuacion para las fluctuacionescuanticas χ(t, ~r), nos queda

χ− 1

a2∇2χ−

[9

4H2

c +3

2Hc − V ′′(φc)

]χ = 0. (1.76)

23

Lo que sigue es hacer una expansion en serie de Fourier para el campo χ

χ(t, ~r) =1

(2π)3/2

∫d3k

[ake

i~k~rξk(t) + a†ke−i~k~rξ∗k(t)

], (1.77)

donde ak y a†k, son respectivamente los operadores de aniquilacion y creacion.Estos operadores describen el algebra[

a~k, a†~k′

]= δ(3)(~k − ~k′), (1.78)

[ak, ak′ ] =[a†k, a

†k′

]= 0. (1.79)

Introduciendo la ecuacion (1.77) en la ecuacion de movimiento para χ,tenemos

¨ξk(t) +1

a2

[k2 − a2

(9

4H2

c +3

2Hc − V ′′(φc)

)]ξk(t) = 0, (1.80)

donde llamaremos µ2(t) =(

94H2

c + 32Hc − V ′′(φc)

)y k2

0(t) = a2(

94H2

c + 32Hc−

V ′′(φc)). Este es el numero de onda que delimita el sector infrarojo in-estable del sector asociado a longitudes de onda corta. Ası, la ecuacion(1.80) se puede expresar

¨ξk(t) + a−2[k2 − k2

0(t)]ξk(t) = 0. (1.81)

Ahora denotaremos ω2k(t) = a−2 [k2 − k2

0(t)], entonces para cada valor dek tendremos una frecuencia diferente que ademas depende del tiempo.Cuando ω2

k > 0, tendremos soluciones estables y si ω2k < 0, las soluciones

seran inestables. Estas soluciones son propias de las ”grandes” escalas, osea longitudes de onda mayores que el horizonte causal. Como k0 aumentacon el tiempo , algunos modos que en un principio estaban en el sector deonda corta pasaran al sector de onda larga. Este punto es muy importantepara luego definir el campo de grano grueso.Ahora, para que la teorıa sea consistente, estudiaremos la naturaleza cuanticadel campo χ. Esto es que χ y χ cumplan con las relaciones canonicas deconmutacion

[χ(~r, t), χ(~r, t)] = iδ3(~r − ~r′). (1.82)

Lo que resta es ver que condiciones impone este conmutador sobre losmodos ξk(t). La condicion que surge de (1.82) es

ξkξk∗ − ξ∗k ξk = i, (1.83)

que sera la condicion de normalizacion de los modos ξk.

24

1.4 El campo de grano grueso

En los ultimos anos, se ha propuesto estudiar las fluctuaciones cuanticas,definiendo un campo de grano grueso sobre un volumen mayor que el delhorizonte. El tamano del horizonte (lh) se define como

lh =a

k0

. (1.84)

Siguiendo con esta propuesta definimos un campo de grano grueso χL dondese pesen solo aquellos modos con longitudes de onda larga, para luego es-tudiar bajo que condiciones dichos modos pueden ser considerados comoclasicos.Estudiar la evolucion de este campo, nos dara informacion importante ac-erca de la dinamica de las fluctuaciones del campo de materia durante elperıodo inflacionario en la escala que luego dio lugar el universo al quetenemos acceso causal en la actualidad.Definimos el campo de grano grueso como

χL =1

(2π)3/2

∫d3k θ1(εk0 − k)

[ake

i~k~rξk(t) + a†ke−i~k~rξ∗k(t)

], (1.85)

donde θ1(εk0 − k) preserva los modos tales que εk0 − k > 0 , ε ' 10−3 yademas θ debe ser una funcion integrable en el espacio k.Para el campo χ tenemos la ecuacion de movimiento

χ− 1

a2∇2χ− k2

0

a2χ = 0. (1.86)

Lo que sigue es descomponer χ en

χ = χL + χS (1.87)

donde el campo χS se define como

χL =1

(2π)3/2

∫d3k θ2(k − εk0)

[ake

i~k~rξk(t) + a†ke−i~k~rξ∗k(t)

], (1.88)

25

luego de calcular las derivadas y reemplazar en la ecuacion de movimiento(1.86) tenemos

χL − 1

(2π)3/2

∫d3kθ1

[ake

i~k~rξk + a†ke−i~k~rξk

∗]=

− 1

(2π)3/2

∫d3kθ2

[ake

i~k~rξk + a†ke−i~k~rξ∗k

]

− 2

(2π)3/2

∫d3kθ2

[ake

i~k~rξk + a†ke−i~k~rξk

∗], (1.89)

y teniendo en cuenta que ξk = −ω2kξk estamos en condiciones de hacer una

primera aproximacion, para el sector de onda larga

ω2k =

k2

a2− k2

0

a2

∣∣∣∣IR

' k20

a2, (1.90)

ξk∼= k2

0

a2ξk. (1.91)

Finalmente, recordando que la derivada de la funcion escalon θ, es la deltade Dirac, tenemos

ξL − k20

a2ξL = εk0η + εk0λ + 2εk0κ, (1.92)

donde η, λ y κ estan dados por

η =1

(2π)3/2

∫d3k δ(εk0 − k)

[ake

i~k~rξk + a†ke−i~k~rξ∗k

], (1.93)

λ =1

(2π)3/2

∫d3kδ(εk0 − k)

[ake

i~k~rξk + a†ke−i~k~rξ∗k

], (1.94)

κ =1

(2π)3/2

∫d3k δ(εk0 − k)

[ake

i~k~rξk + a†ke−i~k~rξ∗k

], (1.95)

y representan los ruidos.La ecuacion (1.92) es llamada Ecuacion Estocastica Cuantica, y describe laevolucion de las fluctuaciones cuanticas redefinidas en el sector infrarrojo(k2 ¿ k2

0). Ademas los ruidos son blancos y gaussianos. Que sean blancosimplica que

〈η〉 = 〈λ〉 = 〈κ〉 = 0, (1.96)

26

y que sean gaussianos ”sin memoria”, implica que sean ”delta correlaciona-dos”,

〈η(t)η(t′)〉 =1

2π2

εk20

k0

|ξk|2∣∣∣∣k=εk0

δ(t− t′), (1.97)

〈κ(t)κ(t′)〉 =1

2π2

εk20

k0

∣∣∣ξk

∣∣∣2∣∣∣∣k=εk0

δ(t− t′). (1.98)

El que hace cuantica esta ecuacion estocastica es el ruido κ. Notemos queeste no conmuta con η y λ, como tampoco con χL

[χL(~r, t), κ(~r, t′)] =ε2k2

0

2π2θ(t− t′)

[ξk(t)ξ

∗k(t

′)− ξ∗k(t)ξ∗k(t

′)]∣∣∣

k=εk0

,(1.99)

[η(~r, t), κ(~r, t′)] =1

2π2

εk20

k0

[ξk(t)ξ

∗k(t

′)− ξ∗k(t)ξk(t′)]∣∣∣

k=εk0

δ(t− t′).(1.100)

Observando los terminos de ruido en la ecuacion estocastica (1.92), se veque para que la componente estocastica asociada a κ sea despreciable frentea η, se debe cumplir la condicion

k20

⟨κ2

⟩ ¿ k20

⟨η2

⟩. (1.101)

Ası, se puede construir la siguiente ecuacion estocastica de segundo ordenpara el campo de grano grueso,

χL − k20

a2χL ' ε

d

dt

(k0η

). (1.102)

A partir de esta ecuacion podemos construir un sistema de dos ecuacionesestocasticas de primer orden, y ası poder escribir una ecuacion de Fokker-Planck que nos brinde informacion acerca de la dinamica de las fluctua-ciones. El correspondiente sistema es

χL = u + εk0η, (1.103)

u = χL − εd

dt(k0η) =

k20

a2χL, (1.104)

donde se a introducido un campo auxiliar u = χL − εk0η. Este sistemaformado por dos ecuaciones acopladas con un ruido η blanco y Gaussiano,es conocido como ecuacion bidimensional de Langevin.

27

Ahora se puede escribir una ecuacion que describa la dinamica de unadistribucion de probabilidad. Esta es una ecuacion de Fokker-Planck dadapor la expresion

∂

∂tP(~x, t|~x0, t0) =

(−Di

∂

∂xi

+ Dij∂2

∂xi∂xj

)P(~x, t|~x0, t0), (1.105)

donde el termino Di = Fi, es el termino de arrastre y Dij es el termino dedifusion. La ecuacion de Fokker-Planck para nuestro caso particular es

∂P∂t

= −u∂P∂χL

−(

k0

a

)2

χL∂P∂u

+ DχLχL

∂2P∂χ2

L

, (1.106)

donde

DχLχL=

ε3k20k0

4π2|ξεk0|2 , (1.107)

es el coeficiente de difusion debido al ruido η.

28

Chapter 2

Clasificacion de lasperturbaciones

El primer paso en el analisis de las perturbaciones de las metrica es clasi-ficarlas de acuerdo a sus propiedades de transformacion frente a rota-ciones espaciales. La metrica de FRW describe un universo espacialmenteisotropico y homogeneo. Para un modelo de universo mas realista debe-mos incluir las perturbaciones. Ası el elemento de lınea completo, serarepresentado por

dS2 =(0) gµνdxµdxν + δgµνdxµdxν , (2.1)

donde δgµν describe la perturbacion respecto de la metrica de fondo deno-tada por (0)gµν . La metrica completa se escribira entonces como la metricade fondo mas un termino de perturbaciones

gµν =(0) gµν + δgµν , (2.2)

tal que debido a la simetrıa del tensor metrico ambas divergencias coincideny son nulas

gµν;µ = gµν

;ν = 0. (2.3)

Las perturbaciones de la metrica pueden ser categorizadas en tres diferntestipos, perturbaciones escalares, vectoriales y tensoriales. Esta clasificacionse refiere a la forma en que los campos desde δµν son construıdos bajotransformaciones de las coordenadas del espacio sobre la hipersuperficie atiempo constante.

29

Las perturbaciones escalares pueden producir inhomogeneidades talesque tienen un efecto importante en la dinamica de la materia. Las pertur-baciones vectoriales decaen cinematicamente en un universo en expansiony las perturbaciones tensoriales conducen a las ondas gravitacionales.

Para la siguiente clasificacion resulta util introducir el concepto detiempo conforme τ [14], el cual se define como

dτ =dt

a. (2.4)

Utilizando el tiempo conforme, la metrica de FRW se puede escribir como

ds2 = a2(τ)

[dτ 2 − 1

1− kr2dr2

], (2.5)

donde dr2 = dx2 + dy2 + dz2. Ademas, dx2 = dy2 = dz2, debido a laisotropıa del universo y k es la curvatura espacial (k = 0,±1) para uni-verso plano, cerrado o abierto respectivamente. La razon por la cual τ sedenomina tiempo conforme surge de la ecuacion (2.5), en donde se notaque el elemento de lınea de la metrica de FRW es conforme con el ele-mento de lınea de Minkowski que describe una hipersuperficie estatica en4 dimensiones. Cualquier funcion f(t) satisface

˙f(t) =f ′(τ)

a(τ), (2.6)

¨f(t) =f ′′(τ)

a2(τ)−H f ′(τ)

a2(τ), (2.7)

en donde el primado indica derivada respecto del tiempo conforme τ y Hes el parametro de Hubble definido respecto de τ

H =a′(τ)

a(τ). (2.8)

2.1 Perturbaciones escalares

Existen dos formas para que las cantidades escalares puedan introducirseen δgij. Una es multiplicando el tensor δij con un escalar y la otra estomando la derivada covariante de una funcion escalar, siendo la derivada

30

covariante con respecto a la metrica de fondo δij de la hipersuperficie.En un universo plano (R = 0), estas derivadas covariantes se transformanen derivadas ordinarias, denotadas por una coma con su correspondienteındice.

Para completar la especificacion de la metrica son necesarias dos fun-ciones mas. La primera da δg00, mientras que la derivada covariante de laotra da δg10. La forma mas general de la perturbacion escalar de la metricase contruye utizando cuatro cantidades escalares: ϕ, ψ, E, B las cuales sonfunciones espacio temporales.Entonces la perturbacion escalar queda

δg(s)µν = a2(τ)

2ϕ −B;i

−B;i 2ψδij −DijE

, (2.9)

donde τ es el tiempo conforme y nuevamente al tratarse de funcionesescalares, las derivadas covariantes son equivalentes a las derivadas ordi-narias. Ademas, DijE = E,ij. El elemento de lınea queda de la forma

dS2 = a2(1 + 2ϕ)dτ 2 − 2B,idxidτ − [(1− 2ϕ)δij +DijE] dxidxj. (2.10)

2.2 Perturbaciones vectoriales

Las perturabaciones vectoriales son construıdas usando dos vectores Si yFi que satisfacen la contraccion

Si;i = F i

;i = 0. (2.11)

Las contracciones anteriores son neceasrias y pueden ser vistas de la sigu-iente forma, si la divergencia de cada vector no es nula, podemos separaren un termino sin divergencia y otro con el gradiente de un escalar. Estaconsideracion conduce a la siguiente perturbacion vectorial de la metrica

δg(v)µν = a2(τ)

0 −Si

−Si Fi;j + Fj;i

. (2.12)

Como habıamos mensionado anteriormente, estas decaen cinematicamenteen un universo en expansion.

31

2.3 Perturbaciones tensoriales

Las perturbaciones tensoriales se contruyen usando un tensor simetrico hij

que satisface las contracciones

hii = 0 hij

;j = 0. (2.13)

Estas contracciones son importantes ya que hij no contiene componentesque transformen como escalares o vectores. Ası, la metrica para la pertur-bacion tensorial es

δg(t)µν = a2(τ)

0 0

0 hij

. (2.14)

En una aproximacion lineal las pertubaciones escalares, vectoriales ytensoriales evolucionan independientemente y ası pueden considerarse enforma independiente.

Las perturbaciones tensoriales de la metrica, a primer orden, son lasondas gravitacionales y estas no se acoplan a la densidad de energıa nihomogeneidades de presion y por lo tanto no contribuyen a la inestabilidadgravitacional.

Sin embargo, las ondas gravitacionales son de interes en sı mismas comouna especificacion de la signatura de la metrica en las teorıas de gravedad.

La teorıa clasica de la evolucion de las ondas gravitacionales en unespacio-tiempo de fondo en expansion fue analizada en algunos artıculosbasicos sobre perturbaciones cosmologicas (citar [3,5] de Mukhanov)..Ası,los gravitones pueden producidos en un universo en expansion.

32

Chapter 3

Ondas gravitacionales en 4D

La relatividad general y la electrodinamica manifiestan profundas simili-tudes y diferencias fundamentales. En forma muy similar a la teorıa elec-tromagnetica, en relatividad general las ecuaciones de Einstein no solodescriben la interaccion gravitacional a traves de la curvatura del espacio-tiempo generada por la masa y la energıa, sino que tambien predice laexistencia de perturbaciones de la curvatura propagandose con velocidad cen el espacio-tiempo plano y vacıo: Las Ondas Gravitacionales.

3.1 Teorıa y experimentos

La teorıa linealizada de las ondas gravitacionales tiene sus limitaciones,por que la aproximacion lineal no es valida para fuentes donde los camposson intensos. En 1941 Landau and Lifshitz describieron la emision de on-das gravitacionales por un sistema auto-gravitante de cuerpos moviendoselentamente. Sin embargo, en los anos siguientes hubieron serios debatesacerca de la realidad de las ondas gravitacionales hasta que en 1957, Her-mann Bondi mostro por medio de un experimento ideal que las ondasgravitacionales en verdad transportan energıa.

En 1960 Joseph Weber comenzo un trabajo experimental para detec-tar las ondas gravitacionales. Entonces, los trabajos teoricos de Wheeler,Bondi, Landau and Lifshitz, y el trabajo experimental de Weber, entreotros, abrıa una nueva era de busqueda en este campo.

Hoy las ondas gravitacionales, tanto en la teorıa como en los experi-

33

mentos, es uno de los temas de mayor importancia, en relatividad generaly gravitacion.

En la misma forma que las ondas electromagneticas, tanto el espec-tro visible, como las ondas de radio, el espectro infrarrojo y ultravioleta,los rayos-X y los rayos gamma, abrieron una nueva ventana y provocaroncambios radicales en el universo conocido, se espera que las ondas grav-itacionales provoquen una revolucion en nuestro conocimiento del universodebido a la observacion de nuevos fenomenos tales como la formacion ycolision de agujeros negros, el decaimiento de estrellas en agujeros negrossupermasivos, las primeras ondas gravitacionales emitidas justo despues deBig Bang, etc. Sin embargo, hoy, la sola evidencia para su actual existenciaes indirecta y proviene de la observacion de la perdida de energıa de unsistema pulsar binario, descubierto en 1974 por Hulse and Taylor.

Junto con el enorme esfuerzo por detectar las ondas gravitacionales,desde detectores de interferometros laser en la tierra GEO-600, LIGO,VIRGO, e interferometros laser en el espacio, LISA (Laser Interferome-ter Space Antenna), existen grandes chances para la deteccion de estasondas en el futuro. Esto esta fuertemente ligado al trabajo teorico y com-putacional para entender y predecir la emision, desde sistemas astrofısicosen condiciones de campos fuertes.

3.2 Detectores de ondas gravitacionales

La radiacion gravitacional es una prediccion central de la relatividad gen-eral y su deteccion es la prueba de la integridad de la estructura teorica deltrabajo de Einstein. Sin embargo, su importancia como una herramientapara la astronomıa observacional es probable que sea aun mayor. Ten-emos una excelente evidencia observacional desde el sistema pulsar binarioHulse-Taylor, que las predicciones de relatividad general acerca de la ra-diacion gravitacional, son cuantitativamente correctas. Sin embargo existeinformacion incompleta desde la astronomıa actual acerca de fuentes prom-etedoras de radiacion detectable.

Las ondas gravitacionales transportan informacion que no transportala radiacion electromagnetica. Estas son generadas por cuerpos masivos enmovimiento que codifican la distribucion de masas y velocidades. Existecoherencia y su baja frecuencia refleja la escala temporal dinamica de sus

34

fuentes.Para apreciar las ondas electromagneticas podemos hacer interferen-

cia sobre esta estructura solo a traves de un cuidadoso modelado de sufuente. En contraste, las ondas gravitacionales transportan informacionque conecta equitativamente la estructura de la fuente y el movimiento.

La historia de la deteccion de las ondas gravitacionales comienza en1960 con J.Weber en la Universidad de Maryland. El construyo el primerdetector barra: este era un cilindro de aluminio (∼ 2 × 103Kg) operandoa temperatura ambiente (300K) con una frecuencia de resonancia cercanaa los 1600Hz. Este primer prototipo tuvo una sensibilidad del orden de10−13 o 10−14.

A pesar de esta pobre sensibilidad, en los anos siguientes Weber anunciola deteccion de una serie de eventos coincidentes entre barras similares su-ficientemente alejadas como para esperar que el ruido provenga del instru-mental. Estas noticias estimularon a un gran numero de grupos a construiry desarrollar detectores barras, a fin de comprobar los resultados de Weber.Desafortunadamente para Weber, ninguno de estos otros detectores pudohallar algo. Sin embargo este fallo le confirmo a Weber el verdadero sentidode la relatividad general, ya que los calculos teoricos nunca predijeron quesenales razonables fueran suficientemente fuertes como para ser detectadaspor las barras de Weber.

Desde 1980 a 1994, se han desarrollaron detectores de dos clases difer-entes:

• Detectores barra cilındricos: Los mejores de estos detectores estanpor debajo de 10−19 de sensibilidad. Solo algunos detectores con-tinuan operando hoy, y llevan a cabo un numero de busquedas coin-cidentes, que conducen a altos lımites, pero no a detecciones.

• Interferometros: La sensibilidad tıpica de estos prototipos fue de10−18.

Luego se construyeron detectores interferometricos a gran escala,

• LIGO: Caltech y MIT (NSF) LIGO;

• VIRGO: Francia (CNRS) e Italia (INFN)

• GEO600: Alemania (Max Planck) y UK (PPARC).

35

El mas espectacular, se basa en un detector espacial, LISA, el cual fueadoptado por ESA (European Space Agency) como piedra fundamentalpara la mision en el siglo XXI. El proyecto esta obteniendo un considerableprogreso desde el momento en que la NASA colabora con ESA.

3.3 Elementos de ondas gravitacionales

Una de las dificultades que surgen al estudiar ondas gravitacionales a par-tir de las ecuaciones de Einstein, reside en que estas son no lineales ypor lo tanto no se puede usar el principio de superposicion como se hacecomunmente con las ondas. En segundo lugar a diferencia del vector dePoynting para las ondas electromagneticas, no tenemos una herramientapara transferir la energıa gravitacional. La tercer dificultad surge de lacovariancia general de las ecuaciones de Einstein, la perturbacion puedeparecer periodica, pero ¿Estamos seguros que no surge de una eleccion es-pecial de las coordenadas?En los utimos anos se han realizado considerables progresos para tratar deentender y resolver estos problemas, pero esta busqueda ademas mostroque la naturaleza de las ondas gravitacionales es mucho mas complicadaque la de las ondas electromagneticas.Sin embargo es posible desarrollar una teorıa de ondas gravitacionales lacual se ve como un tensor analogo al de ondas vectoriales en la teorıaelectomagnetica. Este formalismo solo se puede aplicar a campos gravita-cionalmente debiles dado que las ecuaciones de movimiento surgen de unaaproximacion lineal de las ecuaciones de Einstein.Consideremos una aproximacion en el espacio-tiempo plano, donde el ten-sor metrico se puede escribir como

gij = ηij + hij, (3.1)

ηij es el tensor metrico en el espacio-tiempo de Minkowski y hij es unaperturbacion, donde asumimos |hij| ¿ 1.En el lımite de campo debil

Rhjlk =1

2(gjl,hk + ghk,jl − gjk,hl − ghl,jk)

− gts ([hl, s][jk, t]− [hk, s][jl, t]) , (3.2)

36

dado que

[ij, k] = grk

rij

, (3.3)

donde

rij

son los sımbolos de Cristoffel de segunda especie, y entonces

Rhjlk =1

2(gjl,hk + ghk,jl − gjk,hl − ghl,jk)

− gts

(grs

rhl

gmt

mjk

− gns

nhk

gmt

mjl

).(3.4)

Como

gtsgrs

rhl

gmt

mjk

= δt

r

rhl

gmt

mjk

= gmt

thl

mjk

,

(3.5)

y ademas cada

thl

∼ h, entonces el segundo termino de la ecuacion

(3.4) puede despreciarse ya que resultan ser terminos de orden dos. Asıtenemos

Riklm ' −1

2(hkm,il + hil,km − hkl,im − him,kl) . (3.6)

Ademas, requerimos que sean independientes (o invariantes) ante transfor-maciones de coordenadas. Para ello definimos ciertas condiciones auxil-iares,

ψkl = hk

l −1

2δkl h, (3.7)

y la eleccion de las coordenadas es tal que se cumplan las siguientes 4ecuaciones

ψkl,k = 0, (3.8)

donde ψl;kk = 0 es un potencial gravitacional que satisface las ecuaciones de

Gauge.Si elegimos las nuevas coordenadas

x′i = xi + ξi, ¤ξi = 0, (3.9)

obtenemos que la ecuacion (3.8) se cumple, pero para las coordenadasprimadas.

37

Sabemos que

Rik = gnmRmikn

' −1

2(hm

i,mk + hnk,in − h,ik −¤hik) , (3.10)

y por otro lado, de (3.8), tenemos

ψkl,k = hk

l,k − 1

2δk

lh,l = 0, (3.11)

entonces

hmi,mk =

1

2δm

ih,mk =1

2h,ik,

hnk,in =

1

2δn

kh,ni =1

2h,ki. (3.12)

Reemplazando estos resultados en (3.10), obtenemos

Rik ' 1

2¤hik, ⇒ R =

1

2¤h. (3.13)

Como Gik ≡ Rik − 12ηikR, entonces resulta

Gik ' 1

2¤ψik, (3.14)

donde el operador ¤ es el d’Alambertiano en la metrica Minkowski y asılas ecuaciones de Einstein quedan

¤ψik = −16πGTik, (3.15)

cuya solucion formal para una distribucion de materia-energıa en un volu-men V es

ψik(~r, t) = −4G

∫

V

Tik(~R, t− |~r − ~R|)|~r − ~R|

d3 ~R. (3.16)

38

Chapter 4

Ondas gravitacionales duranteinflacion desde una teorıa devacıo en 5D

4.1

Las ondas gravitacionales han sido objeto de atencion desde hace largotiempo [17]. Bajo el Modelo Cosmologico Estandar y la Teorıa de Inflacion,es muy natural predecir la existencia de ondas gravitacionales de fondo [18].Entre las primeras perturbaciones generadas durante inflacion, las masrelevantes fueron las componentes escalares y tensoriales. Las primerasfueron las semillas de las estructuras a gran escala, las cuales han formadogradualmente la estructura en gran escala en el universo, y son puestas aprueba en las observaciones actuales de las microondas cosmicas de fondo(CMB). Las perturbaciones tensoriales han escapado del horizonte duranteinflacion, y se conservan como vestigios de las ondas gravitacionales defondo, las cuales traen informacion del universo muy temprano. En estesentido, las perturbaciones tensoriales son muy significativas para el estudiodel universo temprano. Su amplitud esta relacionada a la escala de energıade inflacion y son potencialmente detectables a traves de osbservacionesde polarizacion de ”B-modo” en las microondas cosmicas de fondo, si laescala de energıa de inflacion es del orden de ∼ 3×1015 GeV [19, 20, 21, 22]. Tales detecciones seran importantes para testear inflacion. La deteccion

39

directa de las ondas gravitacionales (GW) es uno de los objetivos cientıficosmas importantes ya que mejorarıa nuestro entendimiento de las leyes quegobiernan el universo temprano. Tambien proveerıan de nuevos significadosa lo observado. Los detectores mas sensibles, que ya estan operando, enconstruccion o siendo planeados, estan basados en interferometros opticos[23]. En particular, las ondas gravitacionales seran medidas en el futuro porel satelite Planck, el cual esta disenado para producir mapas de polarizaciony temperatura de alta resolucion de CMB. El mecanismo elemental degeneracion de las ondas gravitacionales primitivas ha sido discutido en [25].Hay dos formalismos principales en 4D desarrollados en la literatura; el deBardeen [26] y el formalismo covariante [27].

La idea de que nuestro universo es un espacio-tiempo de 4D embebidoen altas dimensiones ha sido un tema de gran interes en varias ramas de lafısica, en particular en cosmologıa. En los ultimos anos las teorıas en lascuales se considera solo una dimension extra se han hecho bastante pop-ulares en la comunidad cientıfica. Entre estas teorıas estan los escenariosde mundos brana [28], la teorıa de Espacio-Tiempo-Materia (STM) [29] ytodas las teorıas de Kaluza-Klein no compactas.

En este trabajo se estudia la evolucion de las ondas gravitacionales en eluniverso temprano, cuya evolucion esta gobernada por un parametro cos-mologico (que decae con el tiempo) Λ(t), desde un estado de vacıo en 5Ddefinido sobre un espacio-tiempo Riemann plano 4 + 1. El parametro cos-mologico decreciente puede ser introducido de manera geometrica a travesde un elemento de lınea de fondo [30]

dS2b = ψ2 Λ(t)

3dt2 − ψ2e2

∫ √Λ/3 dtdr2 − dψ2, (4.1)

donde dr2 = δijdxidxj, siendo xi = x, y, z las coordenadas cartesianaslocales. Ademas t y ψ son las coordenadas tiempo y espacio locales re-spectivamente. Adoptando un sistema de unidades natural (~ = c = 1), laquinta coordenada ψ tiene unidades espaciales, mientras que el parametrocosmologico Λ(t) tiene unidades de (longitud)(−2). La metrica de fondo en(4.1) es Riemann-plana, RA

BCD = 0, y describe perfectamente un vacıogeometrico en 5D.

La aproximacion usual consiste en considerar una perturbacion tensorial

40

del elemento de lınea obtenido desde (4.1)

dS2 = ψ2 Λ(t)

3dt2 − ψ2e2

∫ √Λ/3 dt(δij + Qij)dxidxj − dψ2, (4.2)

siendo Qij(t, ~r, ψ) el tensor de traza nula transversal que denota las fluctua-ciones tensoriales con respecto a la metrica de fondo (4.1), y de este modosatisface tr(Qij) = Qi

j = 0 y Qij;i = 0. Las componentes espaciales en 3D

de la metrica (4.2) pueden ser escritas como gij = −ψ2exp[2∫ √

Λ/3 dt](δij+

Qij) y por lo tanto las componentes contravariantes pueden ser aproxi-

madas linealmente por gij ' −ψ−2exp[−2

∫ √Λ/3 dt

](δij −Qij).

Bajo esta aproximacion la dinamica obedecida por las fluctuacionestensoriales Qij, se obtiene usando las ecuaciones de Einstein linealizadasen 5D en un vacıo aparente δRAB = 0. No obstante, como es bien sabidosolamente las componentes espacio-espacio contribuyen a las fluctuacionestensoriales. Entonces la expresion se reduce simplemente a

δRij = 0. (4.3)

Entonces, luego de algun algebra, obtenemos la dinamica de las fluctua-ciones tensoriales Qij, determiada por

Qij+

[3

√Λ

3− 1

2

Λ

Λ

]Qij−Λ

3e−2

∫ √Λ/3 dt∇2

rQij−Λ

3

[4ψQij,ψ + ψ2Qij,ψ,ψ

]= 0,

(4.4)donde (, ) denota derivada parcial mientras que el punto denota derivacionordinaria con respecto al tiempo cosmico t.

4.2 Modos del tensor en 5D

Consideremos ahora una aproximacion diferente, la cual, nos da la dinamica(4.4), pero desde la accion I = − ∫

d4x dψ (5)L, dada por el Lagrangianogravitacional de fondo, mas el campo tesorial libre, Qij (los ındices A y Bcorren desde 0 hasta 4 y los ındices i y j desde 1 hasta 3)

(5)L =

√∣∣∣∣(5)g(5)g0

∣∣∣∣[

(5)R16πG

+M2

p

2gABQij

;AQij;B

], (4.5)

41

siendo (; ) la derivada covariante. Ademas, (5)R = 0 es el escalar de Ricci

de fondo en 5D y (5)g = ψ(8)Λe6∫ √

Λ/3dt/3 es el determinante del tensormetrico covariante de fondo gAB. Siguiendo con el proceso usual de cuan-tizacion para Qij(t, ~r, ψ), necesitamos que se cumpla la siguiente relacionde conmutacion[Qij(t, ~r, ψ),

∂L (Qij, Qij;k)

∂Qls;t

(t, ~r′, ψ)

]= iδl

i δsj gttM2

p

√∣∣∣∣(5)g(5)g0

∣∣∣∣(

ψ0

ψ

)3

e− ∫ [

3√

Λ3− Λ

2Λ

]dt

× δ(3)(~r − ~r′). (4.6)

Por otro lado, (5)g0 ≡(5) g[ψ = ψ0, Λ0 ≡ Λ(t = t0)], siendo ψ0 y t0constantes a ser especificadas. Ahora es interesante estudiar la dinamicade Qij. Expresamos las funciones Qij como la expansion de Fourier en laforma

Qij(t, ~r, ψ) =

1

(2π)3/2

∫d3kr

∑α

(α)eij

[ei~kr·~rζ(α)

kr(t, ψ)

+ e−i~kr·~r(ζ

(α)kr

(t, ψ))∗]

, (4.7)

donde α cuenta el numero de grados de libertad de polarizacion, el asterisco(∗) denota conjugacion compleja. El tensor polarizacion (α)eij obedece

(α)eij = (α)eji,(α)eii = 0, ki (α)eij = 0, (α)eij(−~kr) = (α)e∗ij(~kr).

(4.8)Introduciendo (4.7) en (4.4) obtenemos la dinamica de los modos tensorialesen 5D ζkr(t, ψ), que esta dada por

ζkr+

[3

√Λ

3− 1

2

Λ

Λ

]ζkr +

[Λ

3k2

r e−2∫ √

Λ/3 dt − Λ

3

(4ψ

∂

∂ψ+ ψ2 ∂2

∂ψ2

)]ζkr = 0.

(4.9)Descomponemos los modos del tensor ζkr(t, ψ) en los modos de Kaluza-Klein haciendo separacion de variables

ζ(α)kr

(t, ψ) = a(α)kr

∫dmξkr(t,m)Θm(ψ), (4.10)

donde los operadores de creacion a(α) †kr

y de aniquilacion a(α)kr

, satisfacen elalgebra[

a(α)kr

, a(α′) †k′r

]= gαα′δ(3)(~kr − ~k′r),

[a

(α)kr

, a(α′)k′r

]=

[a

(α) †kr

, a(α′) †k′r

]= 0.

(4.11)

42

Reemplazando en la ecuacion (4.9) obtenemos

ξkr +

(3

√Λ

3− 1

2

Λ

Λ

)˙ξkr +

[Λ

3e−2

∫ √Λ/3 dtk2

r + m2 Λ

3

]ξkr = 0,(4.12)

ψ2d2Θm

dψ2+ 4ψ

dΘm

dψ+ m2Θm = 0,(4.13)

donde el parametro m2 es la constante que surge de hacer separacionde variables y esta relacionada con el cuadrado de la masa-KK medidapor una clase de observadores en 5D. Usando la transformacion ξkr =

e−(1/2)∫

(3√

Λ/3−(Λ/2Λ))dt χkr(t) y Θm(z) = e−3/2z Lm(z), con z = ln(ψ/ψ0),en las ecuaciones (4.12) y (4.13), respectivamente, obtenemos

χkr +

[Λ

3e−2

∫ √Λ/3 dtk2

r −1

4

√3

ΛΛ +

1

4

Λ

Λ− 5

16

Λ2

Λ2+

3

4

√Λ

3

Λ

Λ

+

(m2

3− 3

4

)Λ

]χkr = 0, (4.14)

d2Lm(z)

dz2+

[m2 − 9

4

]Lm(z) = 0. (4.15)

De esta forma, dado el parametro cosmologico Λ(t), la evolucion temporalde los modos del tensor ξkr(t) en 5D esta determinada por las soluciones de(4.14) y (4.15). Una vez que es obtenida una solucion para ξkr(t), deberıasatisfacer el algebra dada por la ecuacion (4.6). Esto se puede garantizarsi tal solucion obedece

∫d3kr

⟨0∣∣∣[ζ

(α)kr

(ζ

(α)kr

)∗− ζ

(α)kr

(ζ

(α)kr

)∗]∣∣∣ 0⟩

= i e−∫

(3√

Λ/3−(Λ/2Λ))dt.

(4.16)Por otro lado, vemos que la ecuacion (4.13) es exactamente la misma quela obtenida en [31]. Por lo tanto, acerca del comportamiento de los modoscon respecto a la quinta coordenada, podemos decir que para m > 3/2 losmodos-KK son coherentes en el sector ultra violeta (UV), descripto por

k2r >

3

2Λ

d

dt

[3

√Λ

3− Λ

2Λ

]− 3

4Λ

(3

√Λ

3− Λ

2Λ

)2

− m2

e2

∫ √Λ3

dt > 0.

(4.17)

43

Sin embargo, para m < 3/2 aquellos modos son inestables y divergen alinfinito. Los modos m > 3/2 cumplen con las condiciones (4.16) y entoncesson normalizables.

4.3 Dinamica efectiva en 4D

Para describir la dinamica en 4D podemos hacer una foliacion ψ = ψ0

sobre el elemento de lınea (4.1), tal que la metrica de fondo efectiva en 4D:dS2|eff = ds2, es

ds2 = ψ20

Λ(t)

3dt2 − ψ2

0e2

∫ √Λ3

dtdr2. (4.18)

En esta seccion estudiaremos la dinamica del tensor de fluctuaciones 4Dhij(t, ~r) ≡ Qij(t, ~r, ψ = ψ0), haciendo enfasis sobre aquellos modos conlongitudes de onda mucho mayor al horizonte observable que describe estecampo sobre escalas cosmologicas. La accion efectiva en 4D, (4)I, es (α yβ corren desde 0 hasta 3)

(4)I = −∫

d4x

√∣∣∣∣(4)g(4)g0

∣∣∣∣[

(4)R16πG

+M2

p

2gαβQij

;αQij;β

]∣∣∣∣ψ=ψ0

, (4.19)

donde (4)R = 12/ψ20 es el escalar de Ricci en 4D evaluado en la metrica

(4.18), tal que obtenemos una ecuacion de estado que describe un vacıoefectivo en 4D: p = −ρ, siendo p y ρ la presion y la densidad de energıa,respectivamente.

La ecuacion de movimiento para el tensor de fluctuaciones en 4D es

hij +

[3

√Λ

3− Λ

2Λ

]hi

j −Λ

3e−2

∫Λ3

dt∇2rh

ij −

Λ

3

[4

ψ

∂Qij

∂ψ+ ψ2

∂2Qij

∂ψ2

]∣∣∣∣ψ=ψ0

= 0.

(4.20)Usando la eq. (4.13), obtenemos

hij +

[3Λ

3− Λ

2Λ

]hi

j −Λ

3e−2

∫ √Λ3

dt∇2rh

ij +

m2Λ

3hi

j = 0. (4.21)

44

Luego, hacemos la transformacion hij(t, ~r) = e

−1/2∫ [

3(Λ3 )

1/2− Λ2Λ

]dtχi

j(t, ~r), yobtenemos

χij−

Λ

3e−2

∫ √Λ3

dt∇2rχ

ij−

[1

4

√3

ΛΛ +

1

4

Λ

Λ− 5

16

Λ2

Λ2+

3

4

√Λ

3

Λ

Λ+

(m2

3− 3

4

)Λ

]χi

j = 0,

(4.22)tal que sea posible hacer una expansion en Fourier para χi

j

χij(t, ~r) =

1

(2π)3/2

∫d3kr

∑α=1,2

(α)eij

[ei~kr·~rχ(α)

kr(t, ψ0)

+ e−i~kr·~r(χ

(α)kr

(t, ψ0))∗]

, (4.23)

donde exigimos que los modos χkr satisfagan la relacion de conmutacion[χkr(t, ~r), χkr(t, ~r

′)]

= iδ(3)(~r − ~r′). (4.24)

Usando (4.23) esta expresion se lee

χkr χ∗kr− χ∗kr

χkr = i, (4.25)

la cual es la condicion para que los modos sean normalizables en el sector-UV. Introduciendo (4.23) en (4.22) obtenemos la ecuacion dinamica paralos modos-kr

χkr+

[Λ

3e−2

∫ √Λ3

dtk2r −

(1

4

√3

ΛΛ +

1

4

Λ

Λ− 5

16

Λ2

Λ2+

3

4

√Λ

3

Λ

Λ+

(m2

3− 3

4

)Λ

)]χkr = 0.

(4.26)De esta forma para un dado Λ(t) corresponde una solucion normalizada,para los modos resueltos de la eq. (4.26). Una vez obtenida la solucionnormalizada de (4.26), seremos capaces de relacionarla con el espectro enescalas mucho mayores al horizonte observable. La amplitud de las fluc-tuaciones tensoriales en la metrica en 4D < h2 >=< 0|hi

jhj

i|0 > en elsector-IR esta dado por

⟨h2

⟩∣∣IR

=4

π2e− ∫ [

3(Λ3 )

1/2− Λ2Λ

]dt

∫ εkH

0

dkr

kr

k3r

[χkr(t)χ

∗kr

(t)]IR

, (4.27)

donde ε = kIRmax/kp ¿ 1 es un parametro adimensional, siendo kIR

max =kH(ti) el numero de onda relacionado al radio de Hubble al tiempo ti. Este

45

tiempo corresponde al tiempo cuando los modos gravitacionales re ingresanal horizonte. En adicion, kp es el numero de onda de Planck. Claramente,para obtener un espectro explıcito es necesario especificar primero unaforma funcional para Λ(t). Algunos ejemplos ilustrativos seran estudiadosen la siguiente seccion.

4.4 Ejemplos

A fin de ilustrar el formalismo desarrollado en la seccion anterior, a lo largode esta seccion, estudiaremos un par de ejemplos interesantes. El primerocontempla un parametro cosmologico constante Λ = 3H2

0 , y en el segundoconsideramos Λ(t) = 3p2/t2 (con p > 0).

4.4.1 Caso Λ = 3H20

Este ejemplo simple resulta de tomar el parametro cosmologico Λ comouna constante, en particular Λ = 3H2

0 . En este caso particular la ecuacionde movimiento para los modos χkr esta dada por

χkr +

[H2

0e−2H0tk2

r −(

m2 − 9

4

)H2

0

]χkr = 0. (4.28)

La solucion general para esta ecuacion es

χkr(t) = A1H(1)ν

[kre

−H0t]+ A2H(2)

ν

[kre

−H0t], (4.29)

donde A1 y A2 son constantes de integracion. Luego de aplicar la normal-izacion de Bunch-Davies [33] la solucion normalizada sera

χkr(t) =i

2

√π

H0

H(2)ν

[kre

−H0t], (4.30)

con ν = (1/2)√

4m2 − 9. Esta solucion es estable para m2 > 9/4, en escalask2

r >(m2 − 9

4

)e2H0t > 0. Ahora, consideremos la expansiıon asintotica

para la funcion de Hankel H(2)ν [y] ' (−i/π)Γ(ν)[y/2]−ν en (4.30). La am-

plitud de las fluctuaciones tensoriales en la metrica en 4D (4.27) en escalas

46

cosmologicas (mayores al horizonte Hubble), esta dada por

⟨h2

⟩IR

=22ν

π3(3− 2ν)

Γ2(ν)

H0

e−(3−2ν)H0tε3−2νk3−2νH , (4.31)

donde kH(t) ∼ eH0t. Por consiguiente, el espectro gravitacional Pg(kr)toma la forma

Pg(kr) =22ν

π3

Γ2(ν)

H0

e−(3−2ν)H0tk3−2νr

∣∣kr=εkH

. (4.32)

Podemos ver desde (4.32) que para m ' 3/√

2 > (3/2), el espectro grav-itacional Pν(kr) es cercano al invariante de escala y consecuentemente elındice espectral del tensor en este caso se convierte en nT ≡ 3− 2ν ' 0.

4.4.2 Caso Λ = 3p2/t2

Otro caso interesante surge de considerar al parametro cosmloogico decre-ciente Λ = 3p2/t2, con la restriccion Λ < 0. En este caso, la ecuacion demovimiento para los modos χkr(t) resulta ser

χkr +

k2

rp2t2p

0 t−2(p+1) −[(

m2 − 9

4

)p2 − 9

4p +

1

4

]t−2

χkr = 0, (4.33)

donde M2(t) =[(

m2 − 94

)p2 − 9

4p + 1

4

]t−2 puede ser interpretado como un

termino al cuadrado de masa efectiva. Los valores permitidos para m seran

9

4< m2 ≤ 9

4

(9

4+ 1

)(4.34)

para los9−√117− 16m2

2(4m2 − 9)≤ p ≤ 9 +

√117− 16m2

2(4m2 − 9). (4.35)

La solucion general de (4.33) puede ser expresada en terminos de funcionesde Bessel como

χkr(t) = B1

[y(t)

2

]−µ/(2p)

t(1−µ)/2Γ

(1 +

µ

2p

)Jµ[y(t)]

+ B2

[y(t)

2

]µ/(2p)

t(1+µ)/2Γ

(1− µ

2p

)J−µ[y(t)], (4.36)

47

donde µ =√

4p2m2 − 9p(p + 1) + 2 y y(t) = kr(t0/t)p. En general, esta

expresion no es normalizable. Sin embargo, existen algunas soluciones par-ticulares de (4.35) que si lo son. Un caso particular de solucion normalizableresulta de tomar m = ±[1/(2p)]

√9p(p + 1) + 4αp− 1. En este caso, la

ecuacion dinamica para los modos gravitacionales cuanticos se reduce a

χkr +[k2

rp2t2p

0 t−2(p+1) − αpt−2]

χkr = 0, (4.37)

cuya solucion general es

χkr(t) =√

t

C1H(1)

ω

[kr

(t0t

)p]+ C2H(2)

ω

[kr

(t0t

)p], (4.38)

siendo C1 y C2 constantes de integracion, y ω = [1/(2p)]√

1 + 4αp. Lasolucion normalizada de Bunch-Davies es entonces

χkr(t) =i

2

√t

√1

πpH(2)

ω

[kr

(t0t

)p]. (4.39)

En este caso la amplitud de las fluctuaciones tensoriales en la metrica en4D sobre escalas super-Hubble (kr À kH) sera

⟨h2

⟩IR

=22ω

p π5

Γ2(ω)

3− 2ω

(t0t

)(3−2ω)p+1

ε3−2ωk3−2ωH . (4.40)

Y ası es espectro gravitacional Pg(kr) es en este caso

Pg(kr) =22ω

p π5Γ2(ω)

(t0t

)(3−2ω)p+1

k3−2ωr

∣∣∣∣∣kr=εkH

. (4.41)

Claramente, para p ' 1/3 (que corresponde a m ' 3√

3/2 > 3/2), el es-pectro es cercano al invariante de escala, esto es nT ≡ 3− 2ω ' 0.

4.5 Aproximacion estocastica:

Campo de grano grueso en 4D

Ahora vamos a definir el campo de grano grueso tensorial con la siguientefoliacion ψ = ψ0,

(L)χij(t, ~r, ψ = ψ0), los cuales pueden ser expandidos en

48

los modos cuyas longitudes de onda sean mayor que el radio de Hubble

(L)χij(t, ~r, ψ0) =

1

(2π)3/2

∫d3kr θ(εk0 − kr)

(α)∑α

eij

×[a

(α)kr

ei~kr·~rχkr(t, ψ0) + a(α) †kr

e−i~kr·~rχ∗kr(t, ψ0)

],(4.42)

donde

k0(t) =

[5

16

Λ2

Λ2− 1

4

Λ

Λ+

(3

4− m2

3

)Λ

]1/2 √3

Λe

∫ √Λ3

dt. (4.43)

El campo (L)χij(t, ~r, ψ0) estara dado por la ecuacion de movimiento

(L)χij−Λ

3k2

0e−2

∫ √Λ3

dt(L)χij = ε

[k0η

ij(t, ~r, ψ0) + k0κ

ij(t, ~r, ψ0) + 2k0γ

ij(t, ~r, ψ0)

].

(4.44)Los operadores tensoriales estocasticos ηi

j, κij y γi

j, en la metrica efectiva4D (4.18) estan respectivamente dados por

ηi j(t, ~r, ψ0) =1

(2π)3/2

∫d3krδ(εk0 − kr)

(α)∑α

eij

×[a

(α)kr

ei~kr·~rχkr(t, ψ0) + a(α) †kr

e−i~kr·~rχ∗kr(t, ψ0)

], (4.45)

κi j(t, ~r, ψ0) =1

(2π)3/2

∫d3krδ(εk0 − kr)

(α)∑α

eij

×[a

(α)kr

ei~kr·~rχkr(t, ψ0) + a(α) †kr

e−i~kr·~rχ∗kr(t, ψ0)

], (4.46)

γi j(t, ~r, ψ0) =1

(2π)3/2

∫d3krδ(εk0 − kr)

(α)∑α

eij

×[a

(α)kr

ei~kr·~rχkr(t, ψ0) + a(α) †kr

e−i~kr·~rχ∗kr(t, ψ0)

]. (4.47)

Usando propiedades diferenciales de los operadores estocasticos anteriores,la ecuacion (4.44) puede escribirse como

(L)χij − Λ

3k2

0e−2

∫ √Λ3

dt (L)χij = ε

[∂

∂t

(k0η

ij(t, ~r, ψ0)

)+ k0γ

ij(t, ~r, ψ0)

].

(4.48)

49

Esta es una ecuacion estocastica de segundo orden que puede escribirsecomo un sistema de ecuaciones de primer orden en la forma

uij =

Λ

3k2

0e−2

∫ √Λ3

dt (L)χij + εk0γ

ij, (4.49)

(L)χij = ui

j + εk0ηi

j, (4.50)

donde hemos introducido el campo auxiliar uij ≡(L) χi

j − εk0ηi

j. Ahora,para minimizar el papel del ruido estocastico γi

j, imponemos la condicionk2

0 〈γ2〉 ¿ k20 〈η2〉, donde hemos definido la cantidad 〈γ2〉 = 〈0|γi

jγij|0〉 y

similarmente para 〈η2〉. Esta condicion puede ser expresada en terminosde los modos-kr como

χkr χ∗kr

χkrχ∗kr

¿(

k0

k0

)2

, (4.51)

la cual es valida solo en escalas mucho mayores que el horizonte observable.Bajo esta consideracion el sistema (4.49)-(4.50) se transforma en

uij =

Λ

3k2

0e−2

∫ √Λ3

dt (L)χij, (4.52)

(L)χij = ui

j + εk0ηi

j. (4.53)

Este nuevo sistema puede ser visto como dos ecuaciones de Langevin conun ruido tensorial ηi

j el cual es blanco y Gaussiano. Por consiguiente,satisface

〈η〉 =⟨gj

iηi

j

⟩= 0, (4.54)

⟨η2

⟩=

⟨ηi

jηj

i

⟩=

3εk20

π2k0

χεk0χ∗εk0

δ(t− t′). (4.55)

La correspondiente ecuacion de Fokker-Planck que describe la dinamica dela probabilidad de transicion P i

j

[(L)χ0

ij, u0

ij|(L)χi

j, ui

j

]desde la con-

figuracion ((L)χ0i

j, u0i

j) hacia ((L)χij, u

ij) es entonces

∂P ij

∂t= −ui

j∂P i

j

∂(L)χij

− µ2(t)(L)χij∂P i

j

∂uij

+1

6Dηη

∂2P ij

∂ ((L)χij)

2 , (4.56)

donde µ2(t) = (Λ/3)k20 exp[−2

∫ √Λ/3dt] y la unica componente no nula

del tensor de difusion es Dηη(t) = [(εk20)/2]

∫dt 〈η2〉. Observese que hemos

50

considerado Dηη = 3Dηijηi

j, debido a que el espacio 3D r(x, y, z) es

isotropico. Este coeficiente de difusion esta relacionado con el campo (L)χdebido a la accion estocastica del ruido efectivo η (relacionado a ηi

j). Poresto, en principio es posible obtener una ecuacion de movimiento para⟨

(L)χ2⟩ ≡

⟨0|(L)χi (L)

j χij|0

⟩=

∫d(L)χdu(L)χuP [(L)χ, u], la cual toma la

formad

dt

⟨(L)χ2

⟩=

1

2Dηη(t), (4.57)

donde consideramos gjiP i

j = P , χ = gjiχ

ij y u = gj

iui

j. Por lotanto, la dinamica estocstica de (L)χ esta completamente determinada yconsecuentemente la estocastica en 4D para la correspondiente (L)h, estadada por

d

dt

⟨(L)h2

⟩= −

[3

√Λ

3− Λ

2Λ

]⟨(L)h2

⟩+

1

2e− ∫

dt[3√

Λ3− Λ

Λ

]Dηη(t). (4.58)

La solucion general de esta expresion es

⟨(L)h2

⟩=

1

2e− ∫

dt[3√

Λ3− Λ

Λ

] ∫Dηη(t)dt, (4.59)

donde Dηη = [3ε3k0k20/(2π

2)]χεk0χ∗εk0

. Por lo tanto para un dado parametrocosmologico Λ(t), las fluctuaciones cuadradas estocasticas de h en escalasmucho mayores al horizonte observable, (L)h, esta determinada por la eq.(4.59).

4.6 Ejemplo

En este ejemplo volvemos a considerar un parametro cosmologico decre-ciente Λ(t) = 3p2/t2 con p > 0, que claramente satisface Λ < 0. En estecaso la ecuacion de campo dinamica para los modos χkr se lee

χkr +

k2

rp2t2p

0 t−2(p+1) −[(

m2 − 9

4

)p2 − 9

4p +

1

4

]t−2

χkr = 0, (4.60)

donde M2(t) = [(m2 − 9/4)p2 − (9/4)p + 1/4]t−2 puede ser interpretadacomo un termino cuadrado de masa efectiva. Los valores permitidos para

51

m seran 9/4 < m2 ≤ (9/4)[1 + 9/4], para los cuales es valida la siguienterelacion

9−√117− 16m2

2(4m2 − 9)≤ p ≤ 9 +

√117− 16m2

2(4m2 − 9). (4.61)

No obstante, como se puede ver en (4.36), en general la solucion no es nor-malizable, pero existen algunas soluciones particulares que si lo son. Unaclase de estas soluciones se obtiene de considerar m = ±[1/(2p)]

√9p(p + 1) + 4αp− 1,

donde α ≥ 0 es una constante real. En este caso la expresion (4.60) se re-duce a

χkr +[k2

rp2t2p

0 t−2(p+1) − αpt−2]

χkr = 0, (4.62)

cuya solucion normalizada (usando la condicion de vacıo de Bunch-Davies[33]), esta dada por

χkr(t) =i

2

√1

πp

√tH(2)

ν

[kr

(t0t

)p](4.63)

donde H(2)ν es la segunda funcion de Hankel y ν = [1/(2p)]

√1 + 4αp. Ası

consideramos en este caso particular k0(t) =√

α/p(t/t0)p y usando la

expansion asintotica H(2)ν [x] ' (i/π)Γ(ν)[x/2]−ν , el coeficiente de difusion

Dηη queda

Dηη(t) =3ε3−2ν

π5p3/2−ν2−(3−2ν)α3/2−νΓ2(ν)

(t

t0

)3p

. (4.64)

De aquı la ecuacion (4.59) toma la forma

⟨(L)h2

⟩=

3ε3− 2ν

π5(3p + 1)p3/2−νΓ2(ν)2−4+2να3/2−νt0

[1−

(t0t

)1+3p]

, (4.65)

la cual para p > 0 y t > t0 es siempre una cantidad positiva. Notemosque cuando α = 0 automticamente

⟨(L)h2

⟩= 0. Por otro lado, para un

espectro invariante de escala (o sea ν = 3/2) tenemos

⟨(L)h2

⟩=

3Γ2(ν)

2π5(3p + 1)t0

[1−

(t0t

)1+3p]

, (4.66)

la cual es independiente del valor de α. En este caso tenemos que 9p2 −4αp− 1 = 0, entonces p = 2α

9

[1 +

√1 + 9

4α2

], para α > 0.

52

Conclusiones

Estudiamos la ondas gravitacionales en el universo temprano. Estas sepueden considerar dominadas por un parametro cosmologico decreciente,desde una metrica de fondo Riemann-plana pentadimensional, sobre la quedefinimos un vacıo en 5D. Nuestra aproximacion difiere de otras, porqueconsideramos a las ondas gravitacionales originadas por un campo fısicoQij, y no por la fluctuacion tensorial linealizada de la metrica. Sin embargoes posible tratar a Qij como a un campo tensorial con traza y divergencianula.

La dinamica efectiva en 4D de las ondas gravitacionales, hij = Qij(ψ =ψ0) puede ser inducida por medio de una foliacion sobre la quinta coorde-nada.

En esta tesis hemos desarrollado dos ejemplos:

• En el caso con un parametro cosmologico constante, Λ = Λ0, obtu-vimos que la masa-KK de los gravitones deberıa ser m ' 3/

√2 para

obtener un espectro tensorial invariante de escala de 〈h2〉SH . Estevalor de m corresponde a una masa efectiva en 4D M ' 3H0/2 =√

3Λ/2. Notemos que esta masa puede ser relacionada con la masade Einstein mE, como lo fue en [34]: M ' 3

2GmE.

• Mucho mas interesante aun es el caso en que el parametro cosmologicodecrece con el tiempo. En este caso los gravitones son normalizablessolo cuando su masa efectiva M en 4D se vuelve nula. Obtuvimosque el espectro del cuadrado de las fluctuaciones de las ondas grav-itacionales son invariantes de escala para las masas-KK con valoresm ' 3

√3/2.

En la segunda parte desarrollamos una aproximacion estocastica para

53

estudiar las ondas gravitacionales producidas durante inflacion. Consid-eramos que la expansion esta gobernada por un parametro cosmologicodecreciente. En nuestro caso particular, las fluctuaciones tensoriales dela metrica a gran escala son linealizadas, entonces estas obedecen a laecuacion de onda. Sus componentes pueden ser consideradas en el sectorinfrarojo que obedecen al conjunto de ecuaciones estocasticas, afectadaspor los ruidos tensoriales ηi

j (en nuestro caso, blancos y gaussianos).En analogıa a la isotropıa del espacio tridiemensional, es posible definir

un coeficiente de difusion Dηη para describir la evolucion de⟨(L)h2

⟩. En

particular obtenemos que para Λ(t) = 3p2/t2 (p > 1 y m = [1/(2p)]√

9p(p + 1) + 4αp− 1),

el parametro α esta restringido por la desigualdad 9p2−14p

= α > 0 para un

espectro inavariante de escala de⟨(L)h2

⟩, m2 = n2+ [9p(p+1)−2]

4p2 , considerandoal ındice espectral n y el parametro p que caracterizan el decaimiento delparametro cosmologico Λ(t).

Recientemente se han obtenido valores teoricos a partir de resultadosexperimentales correspondientes a Cosmic Microwave Background Radia-tion (Radiacion Cosmica de Fondo) y Large Scale Structure (Estructuraen gran escala)[35]. Este nuevo analisis arrojo como resultado un ındiceespectral tensorial nT ' 0.055. Dicho resultado concuerda muy bien conel obtenido a partir de la ecuacion (4.32) para un espectro gravitacionalcuasi invariante de escala, con m ' 2.1.

54

Bibliography

[1] A. H. Guth, Phys. Rev D23, 347 (1981).

[2] A. D. Linde, Phys. Lett. B116, 335 (1982).

[3] A. Albrecht, P. Steinhardt, Phys. Lett 131, 45 (1983).

[4] M. Aaronson, J. Mould, J. Huchra, W. T. Sullivan, R. A. Schommerand G. D. Bothun, J. Astrophys. 239,12,66-B1 (1980).

[5] D. Branch, Mon. Not. R. Astron. Soc. 186, 609 (1979).

[6] R. H. Dicke and P. J. E. Peebles, General Relativity: An EinsteinCentenary Survey, (ed. S. W. Hawking and W. Israel, Cambridge Uni-versity Press: Cambridge).

[7] W. Rindler, Mon. Not. Roy. Ast. Soc., 116, 663 (1956)

[8] L. Kofman, L. Linde and A. A. Starobinsky, Phys. Rev. Lett. 73, 3195(1995).

[9] J. Ellis and G. Steigman, Phys. Lett. B89, 186 (1980).

[10] J. P. Preskill, Phys. Rev. Lett 43, 1365 (1979); Ya. B. Zeldovich andM. Yu. Khlopov, Phys. Lett. B79, 239 (1978).

[11] S. Coleman and F. De Luccia, Phys. Rev. D21, 3305 (1980).

[12] E. J. Copeland, E. W. Kolb, A. R. Liddle and J. E. Lidsey, Phys. Rev.D48, 2529 (1993).

[13] E. Copeland, E. W. Kolb, A. R. Liddle and J. E. Lidsey, Phys. Rev.D49, 1840 (1993).

55

[14] A. Riotto, Inflation and the theory of cosmolgical perturbations. Lec-tures delivered at the ”ICTP summer school on Astroparticle physicsand cosmology”. E-print: hep-ph/0210162

[15] E. Lishitz, zh. Eksp. Teor. Fiz. 16 (1946) 587.

[16] S. Weinberg, Gravitation and Cosmology (Wiley, New York, 1972).

[17] R. Arnowitt and S. Deser, Phys. Rev. 113, 745 (1959); R. Arnowitt, S.Deser and c. W. Misner, Phys. Rev. 121, 1556 (1961); T. A. Barnebey,Phys. Rev. D10, 1741 (1974); D. L. Lee, Phys. Rev. D10, 2374 (1974).

[18] A. Starobinsky, JETP Lett. 30, 682 (1979); V. Rubakov, M. Sazhinand A. Veryaskin, Phys. Lett. BB115, 189 (1982); R. Fabbri and M.Pollock, Phys. Lett. B125, 445 (1983); L. Abbott and D. Harari, Nucl.Phys. B264, 487 (1986); E. Stewart and D. Lyth, Phys. Lett. B302,171 (1983).

[19] M. Kamionkowski, A. Kosowsky and A. Stebbins, Phys. Rev. D55,7368 (1997); ibid., Phys. Rev. Lett. 78, 2058 (1997).

[20] M. Kesden, A. Cooray and M. Kamionkowski, Phys. Rev. Lett. 89,011304 (2002).

[21] L. Knox and Y. Song, Phys. Rev. Lett. 89, 011303 (2002).

[22] U. Seljak and C. M. Hirata, Astrophys. J. 463, 1 (1996).

[23] For a general update see the following special issue: Class. Quant.Grav. 23 (2006).

[24] T. L. Smith, H. V. Peiris and A. Cooray, Phys. Rev. D73, 123503(2006).

[25] L. P. Grinshchuk. Sov. Phys. JETP 40, 409 (1975); B. Allen, Phys.Rev. D37, 2078 (1988).

[26] J. Bardeen, Phys. Rev. D22, 1882 (1980).

[27] G. F. R. Ellis and M. Bruni, Phys. Rev. D40, 1804 (1989).

[28] L. Randall and R. Sundrum, Phys. Rev. Lett. 83, 4690 (1999).

56

[29] P. S. Wesson, Gen. Rel. Grav. 16, 193 (1984); P. Wesson, Gen. Rel.Grav. 22, 707 (1990); P. S. Wesson, Phys. Lett. B276, 299 (1992); P.S. Wesson and J. Ponce de Leon, J. Math. Phys. 33, 3883 (1992); H.Liu and P. S. Wesson, J. Math. Phys. 33, 3888 (1992); P. Wesson, H.Liu and P. Lim, Phys. Lett. B298, 69 (1993).

[30] M. Bellini, Phys. Lett. B632 (2006) 610-616.

[31] J.E. Madriz Aguilar, Phys. Lett. B645 (2007) 6-11.

[32] J. Ponce de Leon, Gen. Rel. Grav. 20, 539 (1988).

[33] T. S. Bunch and P. C. W. Davies, Proc. Roy. Soc. A360, 117 (1978).

[34] P. S. Wesson, Mod. Phys. Lett. A19, 1995 (2004).

[35] C. Destri, H. J. de Vega, N. G. Sanchez, Phys. Rev. D77, 043509(2008).

57