EXAMEN FINAL DEL CURSO DE DINÁMICA 1.- Se ha colocado una maleta A de 30 lb contra uno de los extremos de un maletero B de 80 lb y se evita que deslice hacia abajo por medio de otra maleta. Cuando se descarga el maletero

y se quita el último baúl pesado, la maleta tiene libertad para deslizar hacia abajo, lo que

ocasiona que el maletero de 80 lb se mueva hacia la izquierda con una velocidad vB de 2.5

pies/s de magnitud. Ignorando la fricción, determine:

a).- La velocidad vA/B de la maleta relativa al maletero cuando ésta rueda sobre el piso del

maletero.

b).- La velocidad del maletero después de que la maleta golpea el extremo derecho de éste sin

que rebote.

c).- La energía que pierde en el impacto de la maleta sobre el piso del maletero.

Solución

Como no hay fuerza resultante en el sistema en la dirección horizontal, la cantidad de

movimiento lineal se conserva en esta dirección.

1).- Por conservación de la cantidad de moviendo lineal cuando la maleta rueda sobre el piso

del maletero.

0 ( )B B A A B B A B AB

m V m V m V m V v= + = + −

( ) A BB B A A A A B

B BA

m mV m m m v v V

m

++ = → =

30 80*2.5 9.167

30A

B

v+

= = pie/s y 2.5 9.167 6.667AV = − = pie/s

2).- Por conservación de la cantidad de movimiento lineal un instante después del choque

plástico:

( )2 2 20 B B A B A B Bm V m V m m V= + = +

2 0BV =

3).- Cálculo de la pérdida de energía:

a).- Cálculo de la energía en el instante inicial:

1

16 430* 30

12S PgE U mgh

− = = = =

lb – pie

b).- Cálculo de la energía un instante después del impacto:

2 2 2 2

2 2

1 1 1 80 1 30* *2.5 * *6.667

2 2 2 32.2 2 32.2S KS B B A AE E m V m V= = + = +

2 28.47SE = lb - pie

c).- Cálculo de la pérdida de energía en el impacto:

1 2 30 28.47 1.53S SE E E∆ = − = − = lb - pie

2.- Un aro delgado y uniforme rueda sin deslizar por un

plano inclinado de 30°, el aro tiene una masa por unidad

de longitud de 7.5 kg/m y un radio de R = 1.2 m, Usando

la teoría de la cinética de los sistema de partículas,

encontrar la aceleración angular del aro.

Solución 1).- D.C.L.

2).- Tomando momentos con respecto al punto A:

Sabiendo, que: A G AG GM H m aρ= + ×∑�

…………………………………..(1)

a).- Cálculo de GH�

para el sistema de partículas aro ( )( )G G rH H=

i).- Cálculo de la cantidad de movimiento angular para la partícula iésima, con

respecto al centro de masa:

2

mdm dL

Rρ ρ

π= → =

dL R dθ=

( )cosG i R sen i jρ θ θ= +

( )cos cosG i G ik k R sen i j R i Rsen jρ ω ρ ω θ θ ω θ ω θ= − × = − × + = −�

30°f

Nmg

G

A

X

Y

dLθ

dθR

X

Y

G

( cos ) (cos )G i G i i G i iH m R sen i j m R i sen jρ ρ θ θ ω θ θ= × = + × −�

( )2 2 2 2cosG i i iH m R sen k m R kω θ θ ω= − + = −

ii).- Cálculo de la cantidad de movimiento angular para el sistema aro:

2 22 2 3

0 01

2n

G G i

i

H H R dm R R d Rπ π

ω ω ρ θ ω ρ π=

= = − = − = −∑ ∫ ∫

3 2 2* *22

G G

mH R mR H mR k

Rω π ω ω

π= − = − → = − …………………….(2)

iii).- Derivando (2) respecto al tiempo:

2

GH mR kα= −�

b).- Cálculo de AG Gmaρ × :

( ) 2

AG Gma R j m R i mR kρ α α× = × = −

3).- Cálculo de la aceleración angular:

En (1): 2 2( 30 * ) ( )mgsen R k mR mR kα α− ° = − −

30 9.81*0.5

2.0442 2*1.2

g sen

Rα

°= = = rad/s

2

3.- Una barra doblada descansa sobre una

superficie horizontal lisa. La barra tiene una

masa de 20 kg ¿Cuál será la aceleración del

punto A cuando se aplique una fuerza P = 100

N?

Solución

1).- D.C.L.

2).- Relaciones cinéticas:

X

YP

G

A

0.3

0.5

2 0.34d =

100 20 5X G G GF m X X X= → = → =∑ �� �� �� m/s2

2 21 20 20 1 20100*0.6 2 * *0.6*0.6 *0.6*0.34 * *1*1

12 2.2 2.2 12 2.2G GM I α α

= → = + +

∑

12.516α = rad/s2

3).- Cálculo de la aceleración de A:

( )5 12.516 0.5 0.6A G GAa a r i k i jα= + × = − × − −

2.51 6.26Aa i j= − + m/s2

4.- Un cilindro A puede girar libremente alrededor de su

eje fijo. Dos pequeños cilindros idénticos B tienen sus ejes de rotación situados sobre el cilindro A, éstos ruedan sin

deslizar a lo largo de las paredes indicadas. Utilizando el

método alternativo del principio de trabajo y energía para

desplazamientos infinitesimales reales (MAPTEDIR)

encontrar la aceleración angular del cilindro A, si se le aplica un par T = 5 N-m. El sistema está en un plano

vertical. Utilizar los datos siguientes: mA = 1.8 kg, mB =

1.4 kg, rA = 1.3 m y rB = 40 mm.

Solución 1).- Cálculos elementales:

A BdX dX=

0.050.05 0.04

0.04A B B Ad d d dθ θ θ θ= → =

1.25B Ad dθ θ=

1.25B Aα α=

0.04 0.05G B B Aa α α= =

2).- Por el MAPTEDIR:

NC KdW dE dU= + (para el problema)

Donde:

5NC A AdW Td dθ θ= =

Adθ Bdθ

AdX

O

1 1

n n

K i G i G i G i i i

i i

dE m a d r I dα θ= =

= ⋅ +∑ ∑

2 21 12*1.4*0.05 *0.05 2* *1.4*0.04 *1.25 *1.25 *1.8*1.3

2 2K A A A A A AdE d d dα θ α θ α θ= + +

1.5315K A AdE dα θ=

0dU = (mientras un cilindro baja el otro sube)

Luego:

5 1.5315 3.265A A A Ad dθ α θ α= → = rad/s2 ↻

5.- Con la hipótesis de ausencia de deslizamiento entre

el bloque y el carrito, hallar la masa m del bloque a

colocar encima del carrito de 6 kg para que el periodo

del sistema sea de 0.75 seg ¿Cuál es el coeficiente de

rozamiento estático mínimo µS para el cual el bloque no

resbala sobre el carrito cuando éste se aparta 50 mm de

su posición de equilibrio y luego se suelta?

Solución 1).- Cálculo de la masa m del bloque.

La ecuación diferencial del movimiento es:

( )( )

6 0 06

Km X K X X X

m+ + = → + =

+�� ��

Luego:

600 2 6

26 6 600

n

n

K mT

m m

πω π

ω

+= = → = =

+ +

6 6

0.75 2 0.014248 2.55600 600

m mmπ

+ += → = → = kg

2).- Cálculo del coeficiente de rozamiento mínimo.

a).- D.C.L. del bloque pequeño:

mg

f

N

maxa

b).- Sabemos que, 2

max na c ω= :

max

6000.05* 3.509

6 2.55a = =

+ m/s

2

0 2.55*9.81 25.015VF N mg= → = = =∑ Newton

max 2.55*3.509 8.94795HF ma f= → = =∑

*25.015 8.94795 0.358S Sµ µ= → =