EXA 2_UNI

CENTRO DE ESTUDIO PITGORAS EXAMEN DE ADMISIN 2009-IUNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA

- 2 -

MATEMTICA01. Sea la igualdad:

|x - a + b| = |x + a - b| ....... (*)entonces la proposicin verdadera es:A) (*) si y solo si: x = 0 w a2 = b2B) (*) si y solo si: x = a = bC) (*) si y solo si: x = 0 v a = bD) (*) si y solo si: x = 0 w a = bE) (*) si y slo si: x = a = -b

02. Si: , x2+y2 = 5, x < 0 < yx2

y 2%

y 2

x 2'

136

y |y| < |x|, calcular el valor de:S = 2y % 3x

A) -2 B) -1 C) 0D) 1 E) 2

03. En la figura se muestra la grfica delpolinomio cbico P(x):

Sabiendo que P(a) = 20, calcule:P(&3a)

A) 4 B) 5 C) 8D) 10 E) 12

04. El grfico de la funcin F se muestra acontinuacin:

determine, aproximadamente, elgrfico de la inversa de la funcin:

G(x) = |F(x - 2) + 1|; -1 # x # 1

05. Si a, b y c son constantes positivas y

= 0, determine el valor de/000000000000

/000000000000

1 1 1 1x a 0 0x 0 b 0x 0 0 c

x.

A) abca%b%c

B) abcab%ac%bc

C) bca

%ac

b%

abc

D) a%b%cabc

E) abc

%bac

%c

ab


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06. El sistema de inecuaciones:x - 3y # 6

2x + y $ 4 x + y # 6 x $ 0 y $ 0determina en el plano una regin R.Podemos afirmar que:A) R es una regin triangular.B) R es una regin cuyo borde es un

cuadrado.C) R es una regin cuyo borde es un

cuadriltero.D) R es vaca.E) R es un cuadrante.

07. Si el conjunto solucin de lainecuacin:(2x - x)(3x - Log3x)(x2 - 9)(3x - 9) > 0es de la forma S = c ,halle a + b + cA) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 5

08. Sea u el nmero de decenas desillas y v el nmero de decenas demesas que fabrica una empresa alda. Si la utilidad diaria est dadapor 200u + 300v y se tienen lassiguientes restricciones:

u + v # 42u + 3v # 1040u + 20v # 120encuentre el nmero de decenas demesas y sillas, respectivamente, afabricar diariamente de modo que laempresa obtenga la mayor utilidad.A) 3 y 1 B) 1 y 3 C) 2 y 2D) 2 y 3 E) 3 y 2

09. Dada la sucesin 2, 6, 12, 20, 30, 42,....... determine la suma de los 100primeros trminos de la sucesinanterior.A) 10 100 B) 294 880 C) 323 400D) 333 300 E) 343 400

10. Si los nmeros 49, 4 489, 444 889, ....,obtenidos colocando el nmero 48 enmedio del anterior, son los cuadradosde nmeros enteros, halle la suma delos dgitos del sexto nmero entero.A) 36 B) 37 C) 38D) 39 E) 40

11. Determine el conjunto solucin delsistema:

x2 - 4x + y2 = 64x3 - 6x2 + 12x + y = 8

A) {(0, 8), (2, 1)}B) {(0, 8), (4, -8)}C) {(0, 8), (0, -8)}D) {(4, -8), (2, 8)}E) {(1, 2), (4, -8)}

12. Sea P(x) el polinomio de grado n,donde n es el menor posible y cuyagrfica se representa a continuacin.


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Encuentre el residuo al efectuar ladivisin de P(x) con Q(x) = x - 3A) -6 B) -4 C) -1D) 1 E) 4

13. Un fabricante vende un artculo almayorista ganando p%, ste vende alminorista ganando q% y el minorista alpblico obteniendo una ganancia det%. Si el precio del artculo al pblicoes 1,716 veces el valor que cuestafabricarlo, halle la suma de las cifrasde (p + q + t)A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10

14. Tres nmeros enteros m, n, p tienenuna media aritmtica de 10 y unamedia geomtrica de . Halle3 960aproximadamente la media armnicade estos nmeros, si n.p = 120.A) 8,72 B) 9,32 C) 9,73D) 9,93 E) 9,98

15. Las normas acadmicas de unainstitucin educativa establecen lascalificaciones siguientes:

Aprobado: Nota $ 14;Desaprobado: 9 # Nota < 14 y Reprobado: Nota < 9

En el curso de Qumica, lascalificaciones finales fueron: 40% deaprobados, con nota promedio: 16puntos; nota promedio de losdesaprobados: 11 puntos; y notapromedio de los reprobados: 6 puntos.Si la nota promedio obtenida en elcurso fue de 11 puntos, entonces elporcentaje de alumnos reprobados es:A) 10% B) 20% C) 30%D) 40% E) 50%

16. De un grupo de 12 profesores; 5 sonde la UNI, uno de los cuales es mujer;4 son de la UNA, uno de los cuales esmujer, y 3 son de la UNMSM, todosvarones. Cul es la probabilidad deseleccionar ternas constituidas por unprofesor de cada universidad y que nopueda haber una mujer de la UNA?A) 0,06 B) 0,15 C) 0,18D) 0,20 E) 0,24

17. Sea el nmero N = 777 .... 7(8) de 100cifras. Calcule la suma (expresada enbase diez) de las cifras del nmero N2,que est expresada en base 8.A) 640 B) 700 C) 740D) 780 E) 800

18. Clasifique como verdadero (V) o falso(F) cada una de las siguientesafirmaciones:1. a, b nmeros enteros, es una

bnmero racional.

2. a, b nmeros enteros, esa%b1%a 2

un nmero racional.3. Si k 0 Z y k2 es par, entonces k

es par.A) FVV B) FFV C) VFVD) VFF E) FFF

19. Sea N = un nmero de tres cifrasabc

tal que = , = y = .abc 7o

cba 11o

cab 9o

Calcule la siguiente suma 3c+2a+b.A) 24 B) 26 C) 28D) 30 E) 32


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20. Si la fraccin es equivalente aabccba

5/17, determine b, sabiendo que(a)(b)(c) 0.A) 1 B) 2 C) 4D) 6 E) 8

21. En un tringulo ABC se cumpleAB = 2 m y AC = 32 m. Calcule elpermetro del tringulo en metros,sabiendo que es un nmero entero yel ngulo en A es obtuso.A) 65 B) 66 C) 67D) 68 E) 69

22. En la figura se tiene una pirmideinscrita en un cilindro circular oblicuo.La base de la pirmide es un tringuloequiltero. El volumen de la pirmide

es cm3. Calcule el volumen del27 3

cilindro (en cm3)

A) B) C) 27

54

108

D) 54 E) 108

23. En un polgono convexo equinguloABCDEF se tiene AB=7, CD=6 yDE=8. Calcule BF.A) B) 7 C) 57

23 3

D) 7 E) 72 3

24. El ngulo de desarrollo de un conocircular recto mide 120. Si la alturadel cono mide 4 cm, entonces el radio(en cm) del cono es:A) B) C) 2

22 3

D) 2 E) 22 3

25. En un nuevo sistema de medicinangular, un ngulo de gradossexagesimales mide -3. Si un ngulode radianes mide 120 en el nuevosistema, halle -3.A) 3 B) 6 C) 9D) 12 E) 15

26. En la figura y el rea de laab'

32

regin sombreada es 5 veces el readel sector circular OPQ. Determine la

relacin. RSR

RBA

A) B) C) 23

1627

32

D) E) 4516

103


- 6 -

27. Un punto M=(x; y) dista de un puntoC=(2; 5), unidades. La pendiente10de la recta que pasa por M y A=(7; 5)es 1/2. Determine el punto M demayor abscisa.A) (-1; 4) B) (-1; 6) C) (1; 8)D) (3; 2) E) (5; 4)

28. En el crculo trigonomtrico de la

figura, se tiene . Entonces elCM

'DM

rea de la regin triangular ABM es:

A) 2Tg B) Tg38

12

38

C) 2Tg D) Tg34

12

34

E) 2Tg 47

29. Simplificando la siguiente expresin:K=Sen23ACsc2A+Cos23ASec3A+2Cos4A

se obtiene:A) 6Cos22AB) 6Cos2AC) 8Sen2AD) 12SenAE) 12Cos22A

30. Sea F(x) = , x kSenx%TgxCosx%Ctgx

2Entonces podemos afirmar que:A) F(x) toma valores positivos y

negativos.B) F(x) toma un nmero finito de

valores negativos.C) F(x) toma solamente valores

negativos.D) F(x) toma solamente valores

positivos.E) F(x) es constante.

31. Dado el sistema:

x%y ' 43

Secx%Secy ' 1el valor de Cos(x - y) es:A) B) C) & 1

4&

13

&12

D) 1/4 E) 1/2

32. En las circunferencias tangentes de lafigura, son datos r0 (radio) y .Determine el radio R.

A) B) 1&CosCos

r0Cos

1&Cosr0

C) D) 1&Cos1%Cos

r01%Cos

Cosr0

E) 1%Cos1&Cos

r0


- 7 -

33. En la figura mostrada ABCD es uncuadrado de lado 2R, adems esBCdimetro de la semicircunferencia decentro O y radio de longitud R. Si T esun punto de tangencia, entoncesmTOA es:

A) 7,5 B) 8 C) 10D) 10,5 E) 12,5

34. ABC es un tringulo rectngulo.Exteriormente a los catetos seconstruyen los tringulos equilterosABD y BEC, P, Q y R son puntosm e d i o s d e y BE, BC DCrespectivamente. Si el rea de laregin triangular ABC es 32 cm2,entonces el rea de la regintriangular PQR (en cm2) es:A) 4 B) 6 C) 8D) 12 E) 16

35. Indique la secuencia correcta despusde determinar si la proposicin esverdadera (V) o falsa (F).I. Si dos planos son perpendiculares

a dos rectas diferentes que seintersectan, entonces dichosplanos tambin se intersectan.

II. El lugar geomtrico quedeterminan los pies de lossegmentos oblicuos de longitudesiguales trazadas desde un punto

exterior a un plano es unacircunferencia.

III. Toda recta es perpendicular a unplano, si es ortogonal a dos rectasdiferentes no paralelas contenidasen dicho plano.

A) VVF B) VFV C) FFVD) VVV E) FFF

36. En la figura mostrada, ABCD esun trapecio rectngulo tal queCD = BC = 2AB = 2a. Si esPQperpendicular al plano del trapecio talque PQ = a y los volmenes de laspirmides Q-ABP y Q-CDP soniguales, calcule el volumen de lapirmide Q-BCP.

A) B) C) 12

a 3 38

a 3 45

a 3

D) E) 78

a 3 59

a 3

37. La altura de un prisma recto mide 1 u,su base es una regin limitada por unrombo cuyo lado mide 2 u y su nguloagudo mide 30. Por un lado de labase se traza un plano que intersecaal prisma y est inclinado un ngulode 60 con respecto de la base, luegoel rea de la seccin (en u2) queresulta en el prisma es:


- 8 -

A) 2 B) C) 3 53

43

D) E) 33

23

38. Se tiene un polgono convexo de 8l a d o s c i r c u n s c r i t o a u n acircunferencia. Si las longitudes desus lados estn en progresingeomtrica de razn r, determiner2+3r.A) 1 B) 4 C) 10D) 18 E) 28

39. Se da un tringulo ABC cuyos lados y miden 8 m y 6 m,AB BC

respectivamente. Sobre se toma elABpunto D.Si mBAC = mBCD, entonces ADes:

A) 3,5 B) 4 C) 4,5D) 5 E) 5,5

40. En figura, y son dimetros,AB AC

es tangente al arco ,CT AB

AB = BC = 2r y ET = 4. Calcule r.

A) 2 B) 2 C) 3 2 3D) E) 36 3


- 9 -

RESOLUCIN01. Aplicando el teorema:

|x| = |y| x = y w x = -y |x - a + b| = |x + a - b|

x - a + b = x + a - b w x - a + b = -x - a + b b = a w 2x = 0

x = 0

Rpta. D

02. i) x 2y 2

%y 2

x 2'

136

ii) x2 + y2 = 5

De (i): 6x4 - 13x2y2 + 6y4 = 0

3x2 -2y22x2 -3y2

3x2 = 2y2 .... () w 2x2 = 3y2 .... ()

() en (ii):

+ y2 = 5 y = w y = -3y2

22 2

x = w x = -3 3

Como: x < 0 < y v |y| < |x|

x = - ; y = 3 2

S = y+ x = ( )+ (- )2 3 2 2 3 3S = -1

Rpta. B

03. Sea el polinomio:P(x) = a0(x + 2a)(x)(x - 2a)P(a) = a0(3a)(a)(-a)

20 = a0 (-3a3) Y a0 = - 203a 3

Y P(x) = - (x + 2a)(x)(x - 2a)203a 3

Luego: P(-3a) = - (-a)(-3a)(-5a)20

3a 3

Y P(&3a) ' 100 Y P(&3a) ' 10

Rpta. D

04.

Como: -1 # x # 1 |F(x - 2)+1| es:


- 10 -

Rpta. C

05. + - + - v fila 1

/000000000000

/000000000000

1 1 1 1x a 0 0x 0 b 0x 0 0 c

' 0

por menores complementarios en lafila (1):

1/0000000

/0000000

a 0 00 b 00 0 c

&1 /0000000

/0000000

x 0 0x b 0x 0 c

%1 /0000000

/0000000

x a 0x 0 0x 0 c

& 1/0000000

/0000000

x a 0x 0 bx 0 0

'0

abc - bcx - acx - abx = 0 abc = (ab + bc + ac)x

x = abc

ab%bc%ac

Rpta. B

06. x - 3y # 6 ........ (I)2x + y $ 4 ......... (II)x + y # 6 ........... (III)

x $ 0y $ 0

Graficando:

R es un regin cuyo borde es uncuadriltero.

Rpta. C

07. (2x-x)(3x-Log3x) (x2-9)(3x-9) > 0

Restriccin: x > 0 ........ (u)Factorizando y analizando:

| (x - 3) (3x - 9 ) > 0I. x-3 > 0 v 3x > 32

x>3 v x > 2 | x >3 1 u | x > 3 .. C.SIII. x-3 < 0 v 3x < 32

x


- 11 -

08. U(u; v) = 200u + 300vu + v # 4 (I)2u + 3v # 10 (II)40u + 20v # 120 (III)

Graficando:

U(0; 10/3) = 1 000U(2; 2) = 1 000U(3; 0) = 600

Como se obtiene el ptimo en dosvrtices consecutivos, la utilidad esmxima para todos los puntos quepertenecen al segmento que une los

vrtices y (2; 2) de los cuales0; 103

elegimos (2; 2)Rpta. C

09.S = 2 + 6 + 12 + 20 + ..... (100 sumandos)

S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...... + 100.101S = 100.101.102

3'343 400

Rpta. E

10. El sexto trmino:

N = 444444888889 = 444444888888 + 1

N = 444444 . 106 + 888888 + 1

N = (106-1) .106 + (106-1) +49

89

99

N = 4.1012%4.106%1

9'

(2.106%1)29

| N ' 2.106%13

'666667

Suma de cifras = 37

Rpta. B

11. Del sistema:

Resolviendo:

(x-2)2 = 4 | x-2 = 2 w x-2 = -2 x = 4 w x = 0

Si: x=4 | y=-8 | (4; 8) es solucinSi: x=0 | y= 8 | (0; 8) es solucin C.S. = {(0; 8) ; (4; -8)

Rpta. B


- 12 -

12. Del grfico:

P(x) = a(x - 1)2 (x - 2) (Grado mnimo)(0; 2) 0 P Y a = -1Y P(x) = -(x - 1)2 (x - 2)

Se pide el residuo de: P(x)x&3

Por Teorema del resto:R(x) = P(3) = -(3 - 1)2(3 - 2) = -4

Rpta. B

13. (100+p)%(100+q)%(100+t)% = 1,716(100+p)(100+q)(100+t) = 1 716 000

1ra posibilidad:(100+p)(100+q)(100+t) = 110.120.130

p = 10q = 20t = 30p+q+r = 60 ! 3cifras = 6

Rpta. A

2da posibilidad:(100+p)(100+q)(100+t) = 104.125.132p = 4q = 25t = 32p+q+r = 61 ! 3cifras = 7

Rpta. B

Nota: Considerando p; q y r enteroshay dos soluciones.Si p; q y r no son enteros, habraninfinitas soluciones.

14. M.A(m, n, p) = 10 Y m+n+p = 30M.G(m, n, p) = Y mnp = 9603 960Pero: np = 120 Y m = 8Luego: n+p = 22 v np = 120Slo: n = 10 v p = 12M.H(m, n, p) = 381012

80%96%120' 9,73

Rpta. C

15. Consideremos el total: 100Del enunciado:

Nota promedio CantidadAprobados 16 40 Desaprobados 11 60-mReprobados 6 m

Dato: Nota promedio del curso = 11

1640%11(60&m)%6m100

' 11

Resolviendo: m = 40 Reprob el 40%

Rpta. D

16. 12 profesores

UNI UNA UNMSM

4H y 1M 3H y 1M 3H

Casos posibles:Se selecciona una terna(3 profesores):

= 220 formas.C 123


- 13 -

Casos favorables:Se selecciona uno de cadauniversidad y no hay una mujer de laUNA:

5@3@3 = 45 formasPiden:

P= = 0,20Nmero de casos favorablesNmero de casos posibles

'45

22045

Rpta. D

17. N = 8100 - 1N2 = 8200 - 2.8100 + 1Luego:

'cifras = 99.7 + 6 + 1 = 700

Rpta. B

18. 1. Falso: es racional si y solo si a y b sona

benteros y b es diferente de cero.

2. Verdadero: a, b 0 Z, a + b 0 Z a 0 Z, a2 $0 v a2 0 Z Y a2 + 1 0 Z

es racionala%ba 2%1

3. Verdadero:

k = 2o

Rpta. A

19. Por criterios de divisibilidad:

abc ' 7

Luego: abc'MCM(7; 11; 9)

= 693.Kabc ' 693

1

| abc ' 693 3c + 2a + b = 30

Rpta. D

20.

Siendo , entonces c = 5, luego:abc'5

= 12Kcba&abc

= 5.33 = 165abc b = 6

Rpta. D


- 14 -

21.

Dato: >90 y el permetro es unnmero entero.Se pide el permetro del tringulo,siendo entero, se concluye que atambin es entero.Como >90, entonces BC es el mayorlado del tringulo, luego:

a>32 ......(1)Por desigualdad triangular en elABC:

32-2


- 15 -

Sabemos que: r = g . 360

r = g . | g = 3r120360

Luego por Pitgoras:g2 = r2 + 42

(3r)2 = r2 + 16 r = 2

Rpta. B

25. Sea la unidad angular del nuevosistema (a)

Y < > ( - 3)aLuego:

rad 120aEntonces:

180'&3120

Resolviendo: = 9Luego lo pedido es:

- 3 = 6

Rpta. B

26.

Dato:16(A + B + C) = 5(9B)

A + B + C = 45B16

Calculando x v y:x =

10Br

y = 6(A%B%C)r

Luego:

x

y'

10Br

6(A%B%C)r

x

y'

5B3(A%B%C) '

5B

3. 45B16

Luego lo pedido:

x

y'

1627

Rpta. B

27. Del grfico:

I. = y&5x&7

12


- 16 -

II. (x-2)2 + (y-5)2 = 102

Resolviendo se hallan los puntos:| M0 (5; 4)| M00 (1; 2)Del dato M de mayor abscisa, entonces:

M(5; 4)

Rpta. E

28. Del grfico:

De la figura el rea:

S = + 12

22

S = ( +1)12

2

S = 12

Csc4%Ctg

4

S = Ctg12

8

S = Tg12

38

Rpta. B

29.

K = Sen23ACsc

2A+Cos

23ASec

2A+2Cos4A

Resolviendo:

K = +2Cos4ASen3ASenA

2%

Cos3ACosA

2

K = (2Cos2A+1)2+(2Cos2A-1)2+2Cos4A

Por Legendre

K = 8Cos22A+2+2Cos4A

K = 8Cos22A+2+4Cos22A-2 K = 12Cos22A

Rpta. E

30. F(x) = ; xSenx%TgxCosx%Ctgx

k2

Resolviendo:

F(x) = Senx%Senx

Cosx

Cosx%CosxSenx

F(x) = Senx 1%Cosx

Cosx

Cosx 1%SenxSenx

F(x) = Tg2x 1%Cosx1%Senx

F(x) = (+)

F(x) toma slo valores positivos.

Rpta. D


- 17 -

31. Dado el sistema:

x%y' 43

............. (1)Secx%Secy'1 ..... (2)

De (2):Cosx + Cosy = CosxCosy

4Cos x%y2

Cos x%y2

'Cos(x%y)%Cos(x&y)

Reemplazando: 4Cos 2

3Cos x%y

2'Cos 4

3%Cos(x&y)

&2Cos x&y2

'&12%2Cos 2 x&y

2&1

Resolviendo:Cos x&y

2'&

12

Cos(x-y) = 2Cos2 - 1x&y2

Cos(x - y) = - 12

Rpta. C

32.

Del grfico:

R = RCos + roCosR(1 - Cos) = roCos

Resolviendo:

R ' Cos1&Cos

ro

Rpta. B

33.

Los tringulos ABO y OCD sonaproximados de 53/2; es bisectrizODdel CDT, adems mAOD = 53.

DTO: x + 53 + = 90532

x = 10,5

Rpta. D

34. Piden: SPQRSea: AB = 2c v BC = 2aSABC = = 32

(2c)(2a)2

ac = 16 ....... (I)


- 18 -

Ahora por el teorema de la basemedia:- PQ = a y mBQP = 60- RQ = c y mRQB = 30

Finalmente:SPQR = ................ (II)a.c2

Reemplazando (I) en (II):

SPQR = 8

Rpta. C

35. I. Verdadero

Los planos P y Q se intersecan; yaque si fueran paralelos las rectas L1 yL2 coincidiran.

II. Verdadero

Sean A, B y C tres puntos del lugargeomtrico, luego por la congruenciade los tringulos VOA, VOB y VOCestos puntos equidistan de O.

El lugar geomtrico es unacircunferencia.

III. Verdadero

Por definicin de recta perpendicular aun plano:

si: L z (a v b)(a v b) d Pa 1 b ' 6M >

Y L z P

Rpta. D


- 19 -

36. Se pide el volumen de la pirmideQ - BCP.

Dato: Los volmenes de las pirmidesQ - ABP y Q - CDP son iguales.

Observe que las pirmides Q-ABP yQ-CDP tienen la misma altura, luegoal tener el mximo volumen entonceslas reas de sus bases son iguales, esdecir:

SABP = SDPC

En la base:

S = a.m2

'2a.n

2 Y m = 2n

Luego por propiedad:PH = a.n % 2a.m

m%n

PH = 5a3

Finalmente:VQ - BCP = SBCP . QP

13

VQ - BCP = 13

12

.2a. 5a3

a

VQ - BCP = 5a 3

9

Rpta. E

37.

Sea el prisma recto cuya base es unrombo de lado 2. Sea Sx el rea de laseccin determinada en el prisma porun plano que forma con la base unngulo diedro de 60, en el PQR(notable de 30 y 60): PR = .2

3

Luego Sx = EH PR = 2 .23

Sx = 43

Rpta. C


- 20 -

38.

Nos piden: x = r2 + 3rPor el teorema de Pitot:a + ar2 + ar4 + ar6 = ar + ar3 + ar5 + ar7

1 + r2 + r4 + r6 = r(1 + r2 + r4 + r6) r = 1

Nos piden: x = r2 + 3rx = 12 + 3(1) x = 4

Rpta. B

39.

Por dato: AB = 8; BC = 6 y mA = mBCDLuego por teorema:

62 = 8(8 - x) x = 3,5

Rpta. A

40.

Al trazar : zBT BT AE

| AT=TE = 4ngulo inscrito y ngulo semi-inscrito

mTAB = mBTC =

Como // : mTCE=BT EC

Por propiedad:(EC)2 = 8 . 4 EC = 4 2

En AEC: (4r)2 = (8)2 + (4 )22

r = 6

Rpta. D

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