FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LOS LIBERTADORES Control Digital

PARCIAL FINAL CONTROL DIGITALFelipe Celis peña

1. Asuma una función de transferencia y evalúe su estabilidad mediante:

a. Criterio de ROUTH-HURWITZ.b. Lugar de las raícesc. Diagrama de BODE (hallar margen de ganancia y de fase)d. Criterio de NYQUIST

   

Solución primer punto

g(t) = 2e−2 t-2e−3 t

Transformada de Laplace

G(s)= 2

(s+2)(s+3) =

2

s2+5 s+6

a) Aplicamos el teorema de ROUTH-HURWITZ

La ecuación característica del sistema es: s2+5 s+6

S^2 1 6

S 5 0

S^0 5 0

La función es estable ya que no ocurre ningún cambio de signo en la primera columna

b) Lugar de las raíces

Haciendo el despeje hallamos los polos del sistema que son:

S=-3

S=-2

El lugar de las raíces se halla con el lazo cerrado, siendo así la función en lazo cerrado es la siguiente:

2k

s2+5 s+6+2k

S^2 1 6

S 5 2k

S^030−2k

50

El valor de k para que el sistema sea estable es 75<k

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Respuesta al escalón de la función de transferencia

Lugar de las raíces en matlab

El sistema es estable y tiene un margen de ganancia es infinito, es estable ya que todas sus raíces están al lado izquierdo del eje imaginario.

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c) Análisis en bode

Analizando la gráfica anterior podemos ver que la función es estable ya que el margen de ganancia y de fase es infinito

A partir del análisis de las gráficas de la figura anterior se observa que el desfase máximo posible es de -180º

d) Análisis en nyquist

Como se puede ver en el diagrama de Nyquist el sistema es estable ya que la función no encierra el punto -1, 0.

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Solucion segundo punto

2. Discretizar la función de transferencia (del punto anterior) y hallar el error para diferentes tiempos de muestreo (3 mínimo, hacer una tabla), mediante el método de:

a.      Retenedor de orden cero (ZOH)b.      Retenedor de orden uno (FOH)c.      Discretización por impulso invariante (IMP)d.      Aproximación bilineal (TUSTIN)

s= z−1zT

Nuestra función de transferencia queda de la siguiente manera:

H(z=)2

( z−1zT )

2

+5( z−1zT )+6

Tabla de resultados con un tiempo de muestreo de 0.1s

ZOH FOH IMP TUSTIN

0.008481 z+0.007179

z2−1.56 z+0.60650.002947 z2+0.01042 z+0.002295

z2−1.56 z+0.6065

0.01558 z

z2−1.56 z+0.60650.003953 z2+0.007905 z+0.003953

z2−1.557 z+0.6047

Tabla de resultados con un tiempo de muestreo de 0.2s

ZOH FOH Imp Tustin

0.02889 z+0.02069

z2−1.219 z+0.36790.01045 z2+0.03279 z+0.006341

z2−1.219 z+0.3679

0.0486 z+5.396e-180.0486 z+5.396e-18

0.01282 z2+0.02564 z+0.01282z2−1.205 z+0.359

Tabla de resultados con un tiempo de muestreo de 0.3s

ZOH

0.05557 z+0.03368

z2−0.9554 z+0.2231

FOH

0.02093 z2+0.05843 z+0.00989z2−0.9554 z+0.2231

IMP

0.08535 z

z2−0.9554 z+0.2231

TUSTIN

0.02387 z2+0.04775 z+0.02387z2−0.9178 z+0.2042

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Solución Tercer Punto

3. Evaluar la estabilidad del sistema discreto (obtenido en el punto anterior)  mediante.

a) lugar de las raíces discreto.

Solución Cuarto Punto

4. Con el  sistema discreto obtenido en el punto 3, realice una realimentación unitaria y determine los valores de K (controlador proporcional) que hacen que el sistema sea estable.

¿¿

k0.008481 z+0.007179

z2−1.56 z+0.6065+k (0.008481 z+0.007179)

z2-z(1.56+k0.008481)+0.613679Z^0 z^1 z^20.6065+0.07179k (1.56+k0.008481) 1

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LOS LIBERTADORES Control Digital1 (1.56+k0.008481) 0.6065+0.07179k(1(0.6065+0.07179k)^2) (1.56+k0.008481)- (1.56+k0.008481)* 0.6065+0.07179k