TEMAS DE ENTRENAMIENTO Segunda Evaluación

CÁLCULO DIFERENCIAL I Término – 2009

Derivadas

Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, justifique su respuesta.

1. Si � = ��√� entonces 2 ��� + �

�� = 0

2. La función de variable real � cuya regla de correspondencia es ���� = 3|�| +4|� − 1|, tiene un mínimo absoluto en � = 1.

3. Sean ���� y ���� dos funciones pares y derivables para todo � � ℝ, entonces

(���� + �����′ es una función también par y derivable para todo � � ℝ.

4. Sean �, �, ℎ funciones de variable real tales que ���� = ���� + ℎ���. Si � es

derivable en ! entonces � y ℎ son derivables en ! .

5. Suponga que � es dos veces derivable en �", #� y continua en [", #] y sea ! � �", #�.

Si �’’�!� = 0 entonces '�!, ��!�� es un punto de inflexión.

6. Las ecuaciones � = �() + � y � = � + �* tienen la misma recta tangente en el

punto �0,0�.

7. Sea ���� = sin��� �1 + cos����, ��[0, 20�. Entonces el punto 1234 , � �23

4 �5 es un

mínimo local de �.

8. La ecuación de la recta normal a � = ������ y paralela a la recta 6: 2� − 2� + 3 =0 es 68: � − � − 29:4 = 0

9. La función dada en forma paramétrica mediante las ecuaciones:

� = ;√<�=; − ln 1;=√;=<�

< 5; � = <√;=<�, satisface la ecuación �?1 + ��@� = �′

10. Demuestre que el área del triángulo formado por los ejes coordenados y una recta

tangente cualquiera a la hipérbola 2�� = " es constante.

11. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva �4 + 3��4 + � = 5 en �1,1�.

12. Si se conoce que el punto '�1,2� pertenece a la función ���� = "� + #� + ! y que

la recta de ���� = � es tangente a � en el origen, determine los valores de ", #, !.

13. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva ?5 − � +�� = 6 en el punto '�4,1�.

14. Determine las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la curva

paramétrica:

C� = 2D + 1� = 1 + DD , !E"�FG D = 1H

15. La recta normal a la curva de ecuación � + 2�� = 3� en el punto '�1,1�

intercepta la misma en otro punto I . Determine las coordenadas de I.

16. La recta tangente y la recta normal de la curva ! = �JKL��� en el punto �M , M

�,

forman un triangulo con el eje �. Hallar el área de dicho triángulo.

17. Dada la curva:

Nx�t� = cos�t� ��D� = Q9��2D�H, t�[0, 0]

a) Determine la región del plano donde se encuentra la curva

b) Determine los puntos donde la recta tangente a la curva es paralela al eje “�”

c) Determine los puntos donde la recta tangente a la curva es paralela al eje “�”

18. Sea � = ����, en donde � tiene la inversa �:;. La relación que conecta las

derivadas de � � �:; es ��:;�@��� = ;TU���

19. Sea ���� = ;�:; , utilizando la definición, calcule �@�4�.

20. Hallar el valor del área del triángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la

curva definida por la ecuación√� + ?� = 2 en el punto �1, 1� , con los ejes

coordenados.

21. Obtenga la derivada � para la función � �4 = VWX√�

YZJ ��=�

22. Obtenga y’: � = �D"��2���YZ[�X��

23. Sea ���� = ln ���, hallar la segunda derivada empleando la definición.

24. Sea � una función diferenciable para ∀� � �", #� y sea ! � �", #�, si �@�!� =0 entonces ��!� es un máximo o un mínimo valor de �.

25. Sea ���� = �]; donde 0 < ` < 1 y sea � � [", #] si � es continua en [a, b] entonces: ∃! � [", #], tal que

�@�!� = ��#� − ��"�# − "

26. Para que el punto '�!, ��!�� sea considerado punto de inflexión de la gráfica de la

función f basta que ésta sea cóncava hacia arriba a un lado de ! y cóncava hacia

abajo al otro lado de !.

Gráficas de Funciones

27. Demuestre que las gráficas de 2� + � = 6 y � = 4� se intersecan en ángulo

recto.

28. Graficar indicando dominio, simetría, asíntotas, puntos críticos, monotonía,

extremos, concavidad, puntos de inflexión: ���� = VX��=;

29. Elabore la gráfica de la función:

���� = �� + 1� � , '�0,1�

30. Determine " y # de modo que ���� = "√� + d√�, tenga a '�4,13�, como un punto

de inflexión.

31. Para que el punto '�!, ��!�� sea considerado punto de inflexión de la gráfica de la

función f basta que ésta sea cóncava hacia arriba a un lado de ! y cóncava hacia

abajo al otro lado de !.

Teorema del Valor Medio

32. Determine si la función ���� = � /4 cumple con el teorema de valor medio en el

intervalo �−2,2�.

33. Demuestre, utilizando el teorema del valor medio que lim�→∝�√� + 2 − √�� = 0

34. Califique la siguiente proposición como verdadera o falsa, justificando su

respuesta:

“Para la función ���� = ����� en [1, 9] no se cumple la conclusión del Teorema de

Valor medio para derivadas de Lagrange”.

Razón de Cambio

35. Una escalera de 13 i. está apoyada contra una casa cuando su base empieza a

resbalarse. En el momento en que la base está a 12 i. de la casa, la base se está

moviendo a una razón de 5 i/Q. ¿A qué tasa está cambiando el área del triangulo

formado por la escalera, la pared y el suelo en ese momento?.

36. Hay un poste de luz de 15 j. de longitud y una pared de 5 j. de altura que se

encuentra a 25 j. de distancia del poste. Una persona ubicada entre el poste y la

pared, ubicado a una distancia de 10 j. con respecto al poste, suelta un globo con

helio, el mismo que empieza a subir a una velocidad constante de 10 j/Q. Conforme el globo sube, el faro proyecta la sombra del mismo sobre la pared.

¿A qué tasa se mueve la sombra proyectada sobre el suelo justamente en el

instante en que la sombra proyectada sobre el suelo justamente en el instante en

que la sombra del globo deja de proyectarse sobre la pared.

37. En un tanque en forma de cono circular recto invertido se vierte agua a razón de 720 !j4/jl�. El tanque tiene una altura de 200 !j. y la longitud del radio es de 60 !j. Determine, la rapidez con la que sube el nivel de agua, cuando el tanque

está a 1/8 de su capacidad.

38. Si la ordenada de los puntos que pertenecen a la circunferencia � + � = 25

decrece con una velocidad de 1.5 !j./Q9�., determine la velocidad de variación de

sus abscisas respectivas cuando la ordenada mide 4 !j. Interprete sus respuestas.

Máximos y Mínimos

39. Dos ciudades m y n obtendrán su abastecimiento de agua de la misma estación de

bombeo, la cual se ubicará en la orilla de un río recto a 15 oj. de la ciudad m y a 10 oj. de la ciudad n. Los puntos del río más cercanos a m y n están separados 20 oj.; y m y n se encuentran en el mismo lado del río. Calcule dónde deben

ubicarse la estación de bombeo de modo que se emplee la menor cantidad de

tubería.

40. Se quiere construir una pista rectangular coronado con un semicírculo con 200 j. de perímetro (Observe la figura). Hallar las dimensiones de la pista para que su

área sea máxima.

41. Una ventana está formada por un rectángulo con un semicírculo sobrepuesto.

Encontrar la forma de tal manera que por la ventana ingrese la mayor cantidad

de luz para un perímetro dado.

42. Encuentre las dimensiones de un cilindro circular recto de volumen máximo que se

puede inscribir en una esfera de radio R. ¿Cuál es el volumen máximo?.

r

43. Encuentre las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en

la elipse con ecuación ��;p + �

q = 1, si se conoce y que los lados del mismo son

paralelos a los ejes de coordenadas.

Fórmulas de Maclaurin y Taylor

44. Determine los términos hasta �2 del polinomio de Maclaurin para

ℎ��� = Q9���?1 + ��

45. Usando el polinomio de Maclaurin y con orden n=4, demuestre que: ���� = tan:;�0.12� = 0.1194