EXAMEN PRACTICO DE EDO

• Resolver: 4x3 − exy (y + xy′) = 0SOLUCION:

Llevando a su forma

4x3 − exy(y + x

dy

dx

)= 0

4x3dx− yexydx− xexydy = 0(4x3 − yexy

)dx− xexydy = 0 ...EDO

Sean: M (x, y) = 4x3 − yexy ∧ N (x, y) = −xexy

Luego:∂M

∂y= −xyexy − exy ∧ ∂N

∂x= −xyexy − exy

Ahora vemos que la EDO es exacta

Entonces: ∃z = F (x, y)/ ∂z∂x

= M ∧ ∂z∂y

= N , es decir:

∂z

∂x= 4x3 − yexy; luego integrando con respecto a “x”, tenemos:

z = x4 − exy + ϕy ...(α)Ahora derivamos (α) con respecto a “y”. Ası:∂z

∂y= −xexy + ϕ′y; pero ∂z

∂y= N , entonces tenemos que:

−xexy = −xexy + ϕ′y; luego: ϕ′y = 0, integrando tenemos: ϕy = K1 ...(β)Luego reemplazando (β) en (α), tenemos:z = x4 − exy +K1; pero se sabe que: z = C

Finalmente: x4 − exy = K S.G.

• Resolver:

[ln(x− y) +

x+ y

x− y

]dx+

[ln(x− y)− x+ y

x− y

]dy = 0

SOLUCION:

Sean: M (x, y) = ln(x− y) +x+ y

x− y∧ N (x, y) = ln(x− y)− x+ y

x− yLuego:

∂M

∂y=−1

x− y+

(x− y) + (x+ y)

(x− y)2=

x+ y

(x− y)2

∂N

∂x=

1

x− y− (x− y)− (x+ y)

(x− y)2=

x+ y

(x− y)2

Como la∂M

∂y=∂N

∂x, entonces la EDO es exacta.

Entonces: ∃z = F (x, y)/ ∂z∂x

= M ∧ ∂z∂y

= N , es decir:

∂z

∂x= ln(x− y) +

x+ y

x− y; luego integrando con respecto a “x”, tenemos:∫

dz =∫

ln(x− y)dx+∫

x+yx−ydx ⇒

∫dz =

∫ln(x− y)dx+

∫ (1 + 2y

x−y

)dx

1

Entonces:∫dz =

∫ln(x− y)dx+

∫dx+

∫ (2yx−y

)dx

para esto hacemos cambio de variable:Sea: u = x− y ⇒ du = dx, luego reemplazamos en lo anterior:∫dz =

∫ln(u)du+

∫du+ 2y

∫ (duu

)dx; ası tenemos:

z = u ln(u)− u+ u+ 2y ln(u) + ϕ; pero u = x− y, reemplazando tenemos:z = (x− y) ln(x− y) + 2y ln(x− y) + ϕ(y) ...(α)Ahora derivamos (α) con respecto a “y”. Ası:∂z

∂y= −1− ln(x− y) +

−2y

x− y+ 2 ln(x− y) + ϕ′y, pero ∂z

∂y= N

Entonces:

ln(x− y)− x+ y

x− y= 2 ln(x− y)− ln(x− y)− 1− −2y

x− y+ ϕ′y

2 ln(x− y)− x+ y

x− y= 2 ln(x− y)− x+ y

x− y+ ϕ′y

ϕ′y = 0

Integrando: ϕy = K1 ...(β)Ahora, reeemplazamos (β) en (α), ası tenemos:z = (x− y) ln(x− y) + 2y ln(x− y) +K1; pero z = C. Ası que:(x+ y) ln(x− y) +K1 = CFinalmente:

(x+ y) ln(x− y) = K S.G.

Yuri Quihui Curo

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