Universidad Publica de El Alto Carrera de Ingeniera Civil

Primer Semestre 2014 La Paz - Bolivia.

Docente: .

Examen FINAL de Ecuaciones Diferenciales Jueves 10 de Julio del 2014

C.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Puntaje: 25 Puntos

Paterno . . . . . . . . . . . . . . . . . Materno . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres . . . . . . . . . . . . . . . . .

(5 puntos). [Ecuacion Diferencial Exacta] Escribe cada una de las siguientes ecua-ciones en la forma P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0, comprueba su exactitud y resuelve si es exacta:

(2xyex

2y + y2exy2

+ 1)dx+

(x2ex

2y + 2xyexy2

2y)dy = 0.

SOLUCION.- Nuestra primera mision es determinar si esta ecuacion es exacta. Aqu ten-emos M(x, y) = 2xyex

2y + y2exy2

+ 1 y N(x, y) = x2ex2y + 2xyexy

2

2y luego

M

y= 2xex

2y + 2x3yex2y + 2yexy

2

+ 2xy3exy2

N

x= 2xex

2y + 2x3yex2y + 2yexy

2

+ 2xy3exy2

para todo (x, y) R2 y, en consecuencia, la ecuacion es exacta en todo dominio R2. Por lotanto, hemos de hallar f tal que

f(x, y)

x= M(x, y) = 2xyex

2y + y2exy2

+ 1f(x, y)

y= N(x, y) = x2ex

2y + 2xyexy2

2y

De la primera de estas ecuaciones se deduce

f(x, y) =

M(x, y) dx+ C(y)

=

(2xyex

2y + y2exy2

+ 1)dx+ C(y)

= ex2y + exy

2

+ x+ C(y)

Entoncesf

y= x2ex

2y + 2xyexy2

+ C (y)

Pero se ha de cumplir

f(x, y)

y= N(x, y) = x2ex

2y + 2xyexy2

2y

luegox2ex

2y + 2xyexy2

+ C (y) = x2ex2y + 2xyexy

2

2y o sea, C (y) = 2y

Por tanto,C(y) = y2 + C0

donde C0 es una constante arbitraria, de modo que

f(x, y) = ex2y + exy

2

+ x y2 + C0

Como consecuencia, una familia uniparametrica de soluciones de la ecuacion diferencial esf(x, y) = C1, es decir,

ex2y + exy

2

+ x y2 + C0 = C1

Combinando las constantes C0 y C1, podemos escribir esta solucion en la forma

ex2y + exy

2

+ x y2 = C

en donde C = C1 C0 es una constante arbitrario. El lector observara que no se pierdegeneralidad tomando C0 = 0 y escribiendo C(y) = y

2.

(5 puntos). [factor integrante] Calcula la solucion general de las siguientes ecuacionesdiferenciales buscando un factor integrante adecuado para el siguiente ejercicio

xy + y log x = y log y + y.

SOLUCION.- Resolver

(y log x y log y y) dx+ xdy = 0

(log x log y 1) dx+x

ydy = 0

En este caso M = log x log y 1 y N =x

y, entonces

M

y=

1

yy

N

x=

1

y. As

M

y6=N

x

No resulta ser una ecuacion diferencial exacta; probando a conseguir un factor integrante:

M

yN

x

N=

1

y

1

yx

y

= 2

x= (x)

(x)

luego

ln((x)) =

(x)

(x)dx =

2

xdx = 2 ln x = ln x2 de aqu (x) =

1

x2.

Multiplicando la ecuacion diferencial por1

x2obtenemos la ecuacion diferencial exacta

(1

x2log x

1

x2log y

1

x2) dx+

1

xydy = 0

Supongamos quef

x=

1

x2log x

1

x2log y

1

x2,

f(x, y) =

(1

x2log x

1

x2log y

1

x2

)dx+ C(y)

f(x, y) = 1

3x3ln x

1

15x5+

1

3x3ln y +

1

3x3+ C(y)

f

y=

1

3x3y+ C (y) =

1

xy

de aqu

C (y) =1

xy

1

3x3y=

1

y

(1

x

1

3x3

)

C(y) =

(1

x

1

3x3

)ln y y la solucion es, por tanto,

1

3x3ln x

1

15x5+

1

3x3ln y +

1

3x3+

(1

x

1

3x3

)ln y = 0.

(5 puntos). [factor integrante] Calcula la solucion general de las siguientes ecuacionesdiferenciales buscando un factor integrante adecuado para el siguiente ejercicio

xy + y log x = y log y + y.

SOLUCION.- Resolver

(y log x y log y y) dx xdy = 0

En este caso M = y log x y log y y y N = x, entonces

M

y= log x log y 1 1 y

N

x= 1. As

M

y6=N

x

No resulta ser una ecuacion diferencial exacta; probando a conseguir un factor integrante:

N

xM

y

M=1 log x+ log y + 2

y log x y log y y=

1 log x+ log y

y( log x+ log y + 1)=

1

y= (y)

(y)

luego

ln() =

dy =

1

ydy = ln y = ln y1 de aqu (y) =

1

y.

Multiplicando la ecuacion diferencial por1

yobtenemos la ecuacion diferencial exacta

(log x log y 1) dxx

ydy = 0

Usando el metodo descrito tenemos

f

x= log x log y 1,

entonces

f(x, y) =

(log x log y 1) dx+ C(y) = x log x+ x x log y x+ C(y)

f(x, y) = x log x x log y + C(y)

f

y=

x

y+ C (y) =

x

y

de aqu C (y) = 0, C(y) = C y la solucion es, por tanto,

f(x, y) = x log x x log y + C = 0.

(5 puntos). [Ecuacion de Bernoulli] Consideramos a una constante positiva y unafuncion positiva de t en [0, 1) y considere siguiente ecuacion de Bernoulli P aP = a(t)P 2.(a). Suponga que P (0) = P0 > 0, encuentre P (t) para t > 0. (b). Suponiendo que el limite

lmt

eat ta

(s)eas ds = L existe, encuentre lmt

P (t).

SOLUCION.- Esta ecuacion es del tipo Bernoulli con n = 2. Hacemos z = P1, entoncesz = P2P , multiplicando los dos miembros de la ecuacion por P2 y obtenemos lasiguiente forma equivalente

P2P + aP1 = a(t)

y la ecuacion diferencial anterior se transforma en la ecuacion diferencial lineal

z + az = a(t).

Un factor integrante para esta ecuacion es

(x) = exp

(p(x) dx

)= eat

Multiplicando la ecuacion por eat, tenemos

d

dx

[eatz

]= a(t)eat

Integrando, obtenemos

eatz(t) z(0) =

ta

(s)eas ds

es decir, z(t) = eat[z(0) +

ta

(s)eas ds

]Pero z =

1

Ppor lo que se obtiene entonces las

soluciones de la ecuacion diferencial en al forma

P (t) =eat

z(0) +

ta

(s)eas ds

lmt

P (t) = lmt

1

z(0)eat + eat ta

(s)eas ds

= lmt

1

z(0)0 + L=

1

L.

(5 puntos). [Metodo de variacion de parametros] La ecuacion diferencial para undeterminado circuito es:

Ld2q

dt2+R

dq

dt+

q

C= e(t)

donde R es la resistencia (en ohmios), L es la autoinduccion (en henrios) y C es el con-densador (en faradios). Ademas, sabemos que R,L, C > 0. (a) Escribe la solucion de laecuacion homogenea en funcion de los valores de R,L, C. Sugerencia: Observe que hay tres

casos posibles R2 4L

C> 0, R2 4

L

C= 0 y R2 4

L

C< 0 (b) Resuelve el problema para

L = 0,4, C = 0,025, R = 10 y e(t) = sin(t), y condiciones iniciales q(0) = 1, q(0) = 0.

SOLUCION.- Empecemos suponiendo que R2 4L

C> 0, en este caso

qh(t) = C1er+t + C2e

rt

Si ocurre que R2 4L

C= 0 se tiene

qh(t) = C1e

R

2Lt + C2te

R

2Lt

El ultimo caso es cuando R2 4L

C< 0, en este caso, si hacemos =

R

2L, =

4L

C R2

obtenemos

qh(t) = C1et sen(t) + C2e

t cos(t)

(5 puntos). [Ecuacion diferencial de segundo orden.] Una ecuacion de la format2x + atx + bx = 0,

donde a y b son numeros reales es una ecuacion de Euler. Demuestra que el cambio devariable independiente s = ln t transforma transforma una ecuacion de Euler en una linealde coeficientes constantes para la nueva variable dependiente y(s) = x(es). Aplica lo anteriorpara resolver la ecuacion t2x 4tx 6x = 0 para t > 0.

SOLUCION.- Supongamos que y(s) = x(es), entonces y(s) = esx(es) y ademas y(s) =esx(es) + e2sx(es). Entonces

e2sx(es) = y(s) esx(es) = y(s) y(x)

Evaluando t = es, en la ecuacion t2x + atx + bx = 0 obtenemos

e2sx(es) + aesx(es) + bx(es) = 0

de dondey(s) y(s) + ay(s) + by(s) = 0

y(s) + (a 1)y(s) + by(s) = 0

Para la ecuacion t2x4tx6x = 0, tenemos que a = 4, b = 6. Por tanto esta ecuaciondiferencial se transforma en al siguiente ecuacion diferencial lineal homogenea

y 5y 6y = 0

Para hallar ygh , resolvemos la ecuacion caracterstica m2 5m 6 = (m 3)(m 3) = 0,

cuyas soluciones son m = 3 y m = 2. As pues, x(es) = ygh(s) = C1e2s + C2e

3s. Y comot = es, s = ln t tenemos

x(t) = C1t2 + C2t

3.