Universidad Publica de El Alto Carrera de Ingeniera Civil
Primer Semestre 2014 La Paz - Bolivia.
Docente: .
Examen FINAL de Ecuaciones Diferenciales Jueves 10 de Julio del 2014
C.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Puntaje: 25 Puntos
Paterno . . . . . . . . . . . . . . . . . Materno . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres . . . . . . . . . . . . . . . . .
(5 puntos). [Ecuacion Diferencial Exacta] Escribe cada una de las siguientes ecua-ciones en la forma P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0, comprueba su exactitud y resuelve si es exacta:
(2xyex
2y + y2exy2
+ 1)dx+
(x2ex
2y + 2xyexy2
2y)dy = 0.
SOLUCION.- Nuestra primera mision es determinar si esta ecuacion es exacta. Aqu ten-emos M(x, y) = 2xyex
2y + y2exy2
+ 1 y N(x, y) = x2ex2y + 2xyexy
2
2y luego
M
y= 2xex
2y + 2x3yex2y + 2yexy
2
+ 2xy3exy2
N
x= 2xex
2y + 2x3yex2y + 2yexy
2
+ 2xy3exy2
para todo (x, y) R2 y, en consecuencia, la ecuacion es exacta en todo dominio R2. Por lotanto, hemos de hallar f tal que
f(x, y)
x= M(x, y) = 2xyex
2y + y2exy2
+ 1f(x, y)
y= N(x, y) = x2ex
2y + 2xyexy2
2y
De la primera de estas ecuaciones se deduce
f(x, y) =
M(x, y) dx+ C(y)
=
(2xyex
2y + y2exy2
+ 1)dx+ C(y)
= ex2y + exy
2
+ x+ C(y)
Entoncesf
y= x2ex
2y + 2xyexy2
+ C (y)
Pero se ha de cumplir
f(x, y)
y= N(x, y) = x2ex
2y + 2xyexy2
2y
luegox2ex
2y + 2xyexy2
+ C (y) = x2ex2y + 2xyexy
2
2y o sea, C (y) = 2y
Por tanto,C(y) = y2 + C0
donde C0 es una constante arbitraria, de modo que
f(x, y) = ex2y + exy
2
+ x y2 + C0
Como consecuencia, una familia uniparametrica de soluciones de la ecuacion diferencial esf(x, y) = C1, es decir,
ex2y + exy
2
+ x y2 + C0 = C1
Combinando las constantes C0 y C1, podemos escribir esta solucion en la forma
ex2y + exy
2
+ x y2 = C
en donde C = C1 C0 es una constante arbitrario. El lector observara que no se pierdegeneralidad tomando C0 = 0 y escribiendo C(y) = y
2.
(5 puntos). [factor integrante] Calcula la solucion general de las siguientes ecuacionesdiferenciales buscando un factor integrante adecuado para el siguiente ejercicio
xy + y log x = y log y + y.
SOLUCION.- Resolver
(y log x y log y y) dx+ xdy = 0
(log x log y 1) dx+x
ydy = 0
En este caso M = log x log y 1 y N =x
y, entonces
M
y=
1
yy
N
x=
1
y. As
M
y6=N
x
No resulta ser una ecuacion diferencial exacta; probando a conseguir un factor integrante:
M
yN
x
N=
1
y
1
yx
y
= 2
x= (x)
(x)
luego
ln((x)) =
(x)
(x)dx =
2
xdx = 2 ln x = ln x2 de aqu (x) =
1
x2.
Multiplicando la ecuacion diferencial por1
x2obtenemos la ecuacion diferencial exacta
(1
x2log x
1
x2log y
1
x2) dx+
1
xydy = 0
Supongamos quef
x=
1
x2log x
1
x2log y
1
x2,
f(x, y) =
(1
x2log x
1
x2log y
1
x2
)dx+ C(y)
f(x, y) = 1
3x3ln x
1
15x5+
1
3x3ln y +
1
3x3+ C(y)
f
y=
1
3x3y+ C (y) =
1
xy
de aqu
C (y) =1
xy
1
3x3y=
1
y
(1
x
1
3x3
)
C(y) =
(1
x
1
3x3
)ln y y la solucion es, por tanto,
1
3x3ln x
1
15x5+
1
3x3ln y +
1
3x3+
(1
x
1
3x3
)ln y = 0.
(5 puntos). [factor integrante] Calcula la solucion general de las siguientes ecuacionesdiferenciales buscando un factor integrante adecuado para el siguiente ejercicio
xy + y log x = y log y + y.
SOLUCION.- Resolver
(y log x y log y y) dx xdy = 0
En este caso M = y log x y log y y y N = x, entonces
M
y= log x log y 1 1 y
N
x= 1. As
M
y6=N
x
No resulta ser una ecuacion diferencial exacta; probando a conseguir un factor integrante:
N
xM
y
M=1 log x+ log y + 2
y log x y log y y=
1 log x+ log y
y( log x+ log y + 1)=
1
y= (y)
(y)
luego
ln() =
dy =
1
ydy = ln y = ln y1 de aqu (y) =
1
y.
Multiplicando la ecuacion diferencial por1
yobtenemos la ecuacion diferencial exacta
(log x log y 1) dxx
ydy = 0
Usando el metodo descrito tenemos
f
x= log x log y 1,
entonces
f(x, y) =
(log x log y 1) dx+ C(y) = x log x+ x x log y x+ C(y)
f(x, y) = x log x x log y + C(y)
f
y=
x
y+ C (y) =
x
y
de aqu C (y) = 0, C(y) = C y la solucion es, por tanto,
f(x, y) = x log x x log y + C = 0.
(5 puntos). [Ecuacion de Bernoulli] Consideramos a una constante positiva y unafuncion positiva de t en [0, 1) y considere siguiente ecuacion de Bernoulli P aP = a(t)P 2.(a). Suponga que P (0) = P0 > 0, encuentre P (t) para t > 0. (b). Suponiendo que el limite
lmt
eat ta
(s)eas ds = L existe, encuentre lmt
P (t).
SOLUCION.- Esta ecuacion es del tipo Bernoulli con n = 2. Hacemos z = P1, entoncesz = P2P , multiplicando los dos miembros de la ecuacion por P2 y obtenemos lasiguiente forma equivalente
P2P + aP1 = a(t)
y la ecuacion diferencial anterior se transforma en la ecuacion diferencial lineal
z + az = a(t).
Un factor integrante para esta ecuacion es
(x) = exp
(p(x) dx
)= eat
Multiplicando la ecuacion por eat, tenemos
d
dx
[eatz
]= a(t)eat
Integrando, obtenemos
eatz(t) z(0) =
ta
(s)eas ds
es decir, z(t) = eat[z(0) +
ta
(s)eas ds
]Pero z =
1
Ppor lo que se obtiene entonces las
soluciones de la ecuacion diferencial en al forma
P (t) =eat
z(0) +
ta
(s)eas ds
lmt
P (t) = lmt
1
z(0)eat + eat ta
(s)eas ds
= lmt
1
z(0)0 + L=
1
L.
(5 puntos). [Metodo de variacion de parametros] La ecuacion diferencial para undeterminado circuito es:
Ld2q
dt2+R
dq
dt+
q
C= e(t)
donde R es la resistencia (en ohmios), L es la autoinduccion (en henrios) y C es el con-densador (en faradios). Ademas, sabemos que R,L, C > 0. (a) Escribe la solucion de laecuacion homogenea en funcion de los valores de R,L, C. Sugerencia: Observe que hay tres
casos posibles R2 4L
C> 0, R2 4
L
C= 0 y R2 4
L
C< 0 (b) Resuelve el problema para
L = 0,4, C = 0,025, R = 10 y e(t) = sin(t), y condiciones iniciales q(0) = 1, q(0) = 0.
SOLUCION.- Empecemos suponiendo que R2 4L
C> 0, en este caso
qh(t) = C1er+t + C2e
rt
Si ocurre que R2 4L
C= 0 se tiene
qh(t) = C1e
R
2Lt + C2te
R
2Lt
El ultimo caso es cuando R2 4L
C< 0, en este caso, si hacemos =
R
2L, =
4L
C R2
obtenemos
qh(t) = C1et sen(t) + C2e
t cos(t)
(5 puntos). [Ecuacion diferencial de segundo orden.] Una ecuacion de la format2x + atx + bx = 0,
donde a y b son numeros reales es una ecuacion de Euler. Demuestra que el cambio devariable independiente s = ln t transforma transforma una ecuacion de Euler en una linealde coeficientes constantes para la nueva variable dependiente y(s) = x(es). Aplica lo anteriorpara resolver la ecuacion t2x 4tx 6x = 0 para t > 0.
SOLUCION.- Supongamos que y(s) = x(es), entonces y(s) = esx(es) y ademas y(s) =esx(es) + e2sx(es). Entonces
e2sx(es) = y(s) esx(es) = y(s) y(x)
Evaluando t = es, en la ecuacion t2x + atx + bx = 0 obtenemos
e2sx(es) + aesx(es) + bx(es) = 0
de dondey(s) y(s) + ay(s) + by(s) = 0
y(s) + (a 1)y(s) + by(s) = 0
Para la ecuacion t2x4tx6x = 0, tenemos que a = 4, b = 6. Por tanto esta ecuaciondiferencial se transforma en al siguiente ecuacion diferencial lineal homogenea
y 5y 6y = 0
Para hallar ygh , resolvemos la ecuacion caracterstica m2 5m 6 = (m 3)(m 3) = 0,
cuyas soluciones son m = 3 y m = 2. As pues, x(es) = ygh(s) = C1e2s + C2e
3s. Y comot = es, s = ln t tenemos
x(t) = C1t2 + C2t
3.
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