TIPO A SEGUNDO EXAMEN PARCIAL 14 DE OCTUBRE DE 2011 PEDRO RAMIREZ MANNY CÁLCULO VECTORIAL GRUPO 10 SEM.2012-1 A. PATERNO A. MATERNO NOMBRE(S) INSTRUCCIONES:

1) Este examen debe ser resuelto sin calculadora. 2) La respuesta de cada pregunta se debe escribir con pluma. No se aceptan decimales en la solución. 3) La puntuación que se pondrá a la solución de cada ejercicio, se basará en la forma en que este

fundamentada dicha solución, el uso correcto de los conceptos y de la notación. 4) Todas las hojas blancas para examen se deben devolver. 5) No importa el orden en que se resuelvan los problemas, pero si en el desarrollo de una solución requiere

escribir en otra página, favor de indicarlo. 1)

Sea la curva ( ) ( )2 21 1 1:2

y zCy

⎧ − + − =⎪⎨

=⎪⎩

a) Hacer un dibujo de C, mostrando en el las superficies que la forman. b) Obtener unas ecuaciones paramétricas de C. c) Calcular la torsión.

2) Sea la curva C representada por:

( ) ˆˆ ˆ2cos 25 5 5s s sr s i sen j k⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠. Calcular, para el punto

( )2,0,0P , los vectores T , N y la curvatura.

3) Sea ( ) ( ) ( ) ( ) ˆˆ ˆ, 2 cos cos 2 2r u v senu v u i u vsenu j v k= − + + + + una ecuación vectorial de la superficie S, obtener una ecuación cartesiana del plano tangente a S en el punto ( )0, 2,1P .

4) Sea la transformación:

2 2

3

3 +3:

4 u x y

Tv xy⎧ = −⎨

= +⎩. Determinar:

a) Si el sistema de coordenadas ( ),u v es ortogonal. b) El factor de escala uh .

c) El jacobiano de la transformación ( )( )

,,

x yu v

∂∂

.

5) Sea el campo vectorial

( ) ( ) ( ) ( )2 2, , 2 cos zf z zsen e zsen e sen eρ θρ θ θ θ θ ρ θ= + + en coordenadas cilíndricas. Determinar si el campo es irrotacional.

PUN

TU

AC

IÓN

1)20

2)

20

3)20

4)

20

5)20

T

OT

AL

100

1 1 1u v w

u v w

f f ff e e eh u h v h w

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂ ( ) ( ) ( )1

v w u u w v u v wu v w

f h h f h h f h h fh h h u v w

∂ ∂ ∂⎡ ⎤∇• = + +⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

1u u v v w w

u v w

u u v v w w

h e h e h e

xfh h h u v w

h f h f h f

∂ ∂ ∂∇ =

∂ ∂ ∂

2 1 v w u w u v

u v w u v w

h h f h h f h h ffh h h u h u v h v w h w

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦