EXAMEN SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS IIJUNIO 2013
-
Upload
mariasardina -
Category
Documents
-
view
15 -
download
0
Transcript of EXAMEN SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS IIJUNIO 2013
-
EXAMEN SELECTIVIDAD MATEMTICAS II JUNIO 2013
OPCIN A
Ejercicio 1. Calificacin mxima: 3 puntos.
Dados el punto P(-1, 0, 2) y las rectas:
= 1
= 1
= 1 + = = 3
se pide:
a) (1 punto) Determinar la posicin relativa de r y s.
b) (1 punto) Determinar la ecuacin de la recta que pasa por P y corta a r y s.
c) (1 punto) Determinar la ecuacin de la recta perpendicular comn a r y s.
SOLUCIN
a) Pasamos a paramtrica la recta r y tenemos = 1 +
= 1 + =
por lo tanto vector
director es =(1,1,1) y el punto por el que pasa es punto A=(1,-1,0).
La recta s ya est en paramtrica = 1 +
= = 3
por lo tanto su vector director es
=(1,1,0) y pasa por el punto B=(1,0,3) como los vectores directores no son
proporcionales, las rectas no son paralelas, consideremos el vector =(0,1,3) y
estudiemos el rango de la matriz formada por los vectores , , , veamos el valor del determinante:
1 1 11 1 00 1 3
=(3+1)-(3)=10 es decir el rango es 3 y por lo tanto las rectas se cruzan
b) Recta que pasa por P(-1,0,2) y corta a r y s, la definiremos como interseccin de
dos planos:
1 definido por los vectores =(1,1,1) ; =(2,-1,-2) y pasa por P=(-1,0,2)
+ 1 1 2
1 1 2 1 2
=-x+4y-3z+5=0
1-x+4y-3z+5=0
2 definido por los vectores =(1,1,0) ; =(2,0,1) y pasa por P=(-1,0,2)
+ 1 1 2
1 0 2 0 1
=x-y-2z+5=0
Tendremos la recta corta r y s y pasa por P si la llamamos r:
r x + 4y 3z + 5 = 0
x y 2z + 5 = 0
-
c) Procedemos igual que el apartado anterior pero teniendo en cuenta que ahora debe ser perpendicular a ambas debemos calcular el vector
= x =(1,1,1)x(1,1,0)= 1 1 11 1 0
=(-1,1,0)
1 definido por los vectores =(1,1,1) ; =(-1,1,0) por A=(1,-1,0) 2 definido por los vectores =(1,1,0) ; =(-1,1,0) por B=(1,0,3)
1 1 1 1 + 1 1 1
1 0 =-x+y-2z=0
2 1 1 1
1 1 3 0 0
=2z-6=0
Por lo tanto la perpendicular comn tienen de ecuacin (y la nombramos como
r)
r x + y 2z = 0
2z 6 = 0
Ejercicio 2 : Calificacin mxima: 3 puntos.
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
+ 7 + 5 = 0 + + = 3
+ = 2
se pide:
a) (2 puntos) Discutirlo segn los valores de a.
SOLUCIN
Debemos estudiar el determinante de la matriz del sistema:
7 51 10 1 1
=a2-a-2=0
Si resuelve la ecuacin y se obtiene a=2,-1
Discusin:
Si a2,-1 Rg(A)=Rg(Ampliada)=3 por los tanto el sistema es S.C.D. solucin nica.
Si a=2; 2 71 2
0 por lo tanto Rg(A)=2; 2 7 01 2 30 1 2
=0 es decir Rg(Ampli)=2;
por lo tanto S.C.I. infinitas soluciones.
Si a=-1 1 71 1
0 por lo tanto Rg(A)=2; 1 7 01 1 30 1 2
=15 es decir
Rg(Ampli)=3;por los tanto S.I. el sistema no tiene solucin
b) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso a=4.
4 + 7 + 5 = 0 + 4 + = 3
+ = 2
-
Se puede resolver por Cramer o Gauss y el resultado es:
x=2; y=1 ; z= -3
c) (0,5 puntos) Resolverlo para a=2.
2 + 7 + 5 = 0 + 2 + = 3
+ = 2
Tomamos las dos primeras ecuaciones y como parmetro z
2 + 7 + 5 = 0 + 2 + = 3
Resolvemos por Gauss o Cramer:
x=+7; y= --2 ; z= - Ejercicio 3 : Calificacin mxima: 2 puntos.
Dada la funcin:
se pide:
a) (2 puntos) Hallar las asntotas de su grfica.
b) (0,5 puntos) Hallar la ecuacin de la recta tangente a la grfica de f(x) en el punto
de abscisa x=2.
SOLUCIN
Dominio=R-{3}
Luego haciendo lmites tenemos Asntota vertical es x=3
Puesto que el grado del nmeros es mayor que el del de
nominador no tiene asntota horizontal porque el lmite en el infinito es infinito.
Tiene oblicua haciendo los lmites y la frmula:
Asntota Oblicua
Y=mx+n
Asntota Oblicua: y=x+6
-
-
b) Recta tangente en x=2
y-f(2)= f(2) (x-2)
Recta tangente y= 28x -48
Ejercicio 4 : Calificacin mxima: 2 puntos.
Calcular las siguiente integrales:
a) 3
2+9=
1
2
2
2+9 3.
1
3
1
3
3
2+1
dx=1
2ln 2 + 9
3 +
+ =
ln +
+
b) 32+4
32
1 = 3. 3
2
1
1
2
1 +
2
1 =
3
2 . 2 1
2
12 +
2
2
1
2
= 3
2.
1
4 1 2 + 2
1
2 =
= +3
8+
3
2+ 2
1
2 2 =
21
8 (2)
+
=
()