SOLUCIONARIO:ECUACIONES CUADRATICAS

Camilo Andres Ramırez SanchezPolitecnico Grancolombianocaramirezs@poligran.edu.co

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Bogota. 2013

SOLUCIONARIO: ECUACIONES CUADRATICAS Indice

Indice

1. Ejercicio 13 2

Introduccion

Estimado estudiante.

El presente documento se ha realizado con el proposito de que sea un apoyo en el proceso de formacion del modulo.

Aquı encontraras las soluciones y los procedimientos de los ejercicios y problemas de la lectura ocho, ten en cuenta que loaquı planteado y desarrollado no es la la unica manera en que se puede abordar un problema por lo tanto puedes llegar a lamisma respuesta justificandola de manera diferente.

En el desarrollo de estos ejercicios se ha optado por ser lo mas minucioso posible, es decir, en algunos ejercicios encontraraspaso a paso el procedimiento junto con la justificacion.

Es recomendable que antes de ver las soluciones y procedimientos de algun ejercicio aquı planteado lo intentes desarrollarcon el proposito de que primero te enfrentes a este, lo pienses y resuelvas y luego verifiques la respuesta y en caso de quehayas cometido algun error puedas identificarlo y corregirlo.

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SOLUCIONARIO: ECUACIONES CUADRATICAS Ejercicio 13

1. Ejercicio 13

Resolver cada una de las siguientes ecuaciones

Todas las ecuaciones son de tipo cuadratico, por lo que se llevaran a la forma ax2 + bx+ c = 0, para solucionarlas con la formulacuadratica:

x =−b±

√b2 − 4ac

2a

1. 3x2 − 5x = x2 − 2x + 9

Desarrollo

3x2 − 5x = x2 − 2x + 93x2 − x2 + 2x− 9− 5x = 0 Suma de opuestos aditivos

2x2 − 3x− 9 = 0 Operando terminos semejantes

x =3±

√(−3)2 − 4(2)(−9)

2(2)

x =3±√

9 + 72

4

x =3±√

81

4

x =3± 9

4Formula cuadratica

x =3 + 9

4x =

3− 9

4

x =12

4x =

−6

4

x = 3 x = −3

2

Respuesta: La solucion de la ecuacion dada es x = 3 y x = −3

2

2. 2x2 − 4

3= −2

3x

Desarrollo

2x2 − 4

3= −2

3x

2x2 − 4

3+

2

3x = 0 Suma de opuestos aditivos

6x2 + 2x− 4

3= 0 Operando terminos semejantes

6x2 + 2x− 4 = 0 Multiplicacion de inverso multiplicativo2(3x2 + x− 2) = 0 Factorizando

3x2 + x− 2 = 0 Multiplicacion de inverso multiplicativo

2

SOLUCIONARIO: ECUACIONES CUADRATICAS Ejercicio 13

x =−1±

√12 − 4(3)(−2)

2(3)

x =−1±

√1 + 24

6

x =−1±

√25

6

x =−1± 5

6Formula cuadratica

x =−1 + 5

6x =

−1− 5

6

x =4

6x =

−6

6

x =2

3x = −1

Respuesta: La solucion de la ecuacion dada es x =2

3y x = −1

3. (x− 4)2 = 16

Desarrollo(x− 4)2 = 16

x2 − 8x + 16 = 16 Propiedad: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

x2 − 8x + 16− 16 = 0 Suma de opuestos aditivosx2 − 8x = 0 Operando terminos semejantes

x =−(−8)±

√(−8)2 − 4(1)(0)

2(1)

x =8±√

64

2

x =8± 8

2Formula cuadratica

x =8 + 8

2x =

8− 8

2

x =16

2x = 0

x = 8 x = 0

Respuesta: La solucion de la ecuacion dada es x = 8 y x = 0

4.

(x− 1

x + 2

)2

= 4

Desarrollo (x− 1

x + 2

)2

= 4 x 6= −2

(x− 1)2

(x + 2)2= 4 Propiedad:

(ab

)2=

a2

b2

(x− 1)2 = 4(x + 2)2 Propiedad equivalencia entre fracciones, x 6= −2

3

SOLUCIONARIO: ECUACIONES CUADRATICAS Ejercicio 13

x2 − 2x + 1 = 4(x2 + 4x + 4) Propiedad: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

x2 − 2x + 1 = 4x2 + 16x + 16 Propiedad distributivax2 − 2x + 1− 4x2 − 16x− 16 = 0 Suma de opuestos aditivos

−3x2 − 18x− 15 = 0 Operando terminos semejantes−3(x2 + 6x + 5) = 0 Factorizando

x2 + 6x + 5 = 0 Multiplicacion de inverso multiplicativo

x =−6±

√62 − 4(1)(5)

2(1)

x =−6±

√36− 20

2

x =−6±

√16

2

x =−6± 4

2Formula cuadratica

x =−6 + 4

2x =

−6− 4

2

x =−2

2x =

−10

2

x = −1 x = −5

Respuesta: Al resolver la ecuacion se tenıa que x 6= −2. La solucion de la ecuacion dada es x = −1 y x = −5

5. 2x2 + 5x− 3 = 0

Desarrollo2x2 + 5x− 3 = 0

x =−5±

√(−5)2 − 4(2)(−3)

2(2)

x =−5±

√25 + 24

4

x =−5±

√49

4

x =−5± 7

4Formula cuadratica

x =−5 + 7

4x =

−5− 7

4

x =2

4x =

−12

4

x =1

2x = −3

Respuesta: La solucion de la ecuacion dada es x =1

2y x = −3

4

SOLUCIONARIO: ECUACIONES CUADRATICAS Ejercicio 13

6. −2x2 = 6x

Desarrollo−2x2 = 6x

−2x2 − 6x = 0 Suma de opuestos aditivos−2(x2 + 3x) = 0 Factorizando

x2 + 3x = 0 Multiplicacion de inverso multiplicativo

x =−3±

√32 − 4(1)(0)

2(1)

x =−3±

√32

2

x =−3± 3

2Formula cuadratica

x =−3 + 3

2x =

−3− 3

2

x = 0 x =−6

2

x = 0 x = −3

Respuesta: La solucion de la ecuacion dada es x = 0 y x = −3

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