Examenes Algebra 2

7/17/2019 Examenes Algebra 2

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1. a) Encontrar el valor de “a” para que el triángulo, que tiene a)0,,8( au =

y)1,0,0(=v

como lados, encierren un área de 5 unidades.

) Encontrar la distancia entre

1) !,,"(#y1)5,,"(# !1 −−−−.

2. $plicando la regla de %ramer determinar el valor de! x

del siguiente sistema

=+−=++

=−+

5!!

&&'

'5!

!1

&!1

&!1

x x

x x x

x x x

3. a) Encontrar la ecuacin del plano que pasa por (!, ", 1) y es perpendicular a la

recta*

−=−=−

=−

t z

t y

t x

+

&!

&'

b) aiendo que los planos 1'& =+− z y x y &!8+

=+− z y x son paralelos,

determinar la distancia entre ellos.

4. a) %alcular el volumen del paralelep-pedo determinado por los vectores PS PR PQ y,,

, donde # (!,1,1), / (&,1,'), (1,0,!) y (&,1,5).

b) ean

)',1,+(y)!,1,&( −−=−= wu

, determinar la proyeccin ortogonal dew

soreu

.

5. i los elementos de la segunda ila de una matri2 de (535) son 1, !, &,!−

, ' y

sus menores respectivos son 4&, !, 1, 4' y 4& . %alcular*

a)

A!

1det

)

( )t AA!det

c)

( )t A A1

det −

d)

( )1&det − A

2do Examen Parcial Álgebra Lineal MT – 211 – GRUP !"

#ombre................................................................................................#o$a...........................



1. a) allar la ecuacin del plano que pasa por el punto # (&, ',5) y es paralelo a los

dos

vectores

)1,1,&(1 −=v

y

)1,!,1(! −=v

.

) Encuentre la proyeccin ortogonal de % sore & donde*

% ( ", 1,& ), & ( 5, 0, 1 )

2. a) 6eterminar una ase y la dimensin del suespacio generado por

{ }!&

!

!

!

1 !5,!&1,'!1 x x p x x p x x pS +=−+=−−==

) 6eterminar la ecuacin del plano que pasa por los puntos $ (!,1,1), 7 (0,!,&)y

% (1,0,1).

3. ean 8 9 (a, , c) * !a : 0 ; y < 9 (a, , c) * a : 0= !a : c 0 ; dos

suespacios de

& R determinar*

a) 8na ase y la dimensin de 8.

) 8na ase y la dimensin de 8∩

<

4. ea

{ } ,0!*),,,( cad cbd cbaU ==−+=

a) 6emostrar que U es un suespacio de

' R.

) 6eterminar una ase y la dimensin de U .

5. ea

)!!(

&* x M R F →

tal que

+−

−+=

cacb

cbcacba F ),,(

determinar

a) 8na ase y la dimensin de la >magen de ?

) 8na ase y la dimensin del @Acleo de ?

2do. Examen Parcial de Álgebra Lineal MT – 211 Gr%'o !"

#ombre....................................................................................(irma......................................



1. esponda y Bustiique su respuesta*

a) El producto elemental51'!&'!51& aaaaa ⋅⋅⋅⋅

, C/ue signo tieneD

) En la matri2

−=

501

50&

1!1

A

calcular los coactores de los elementos de la

tercera ila.

c) %on los resultados del inciso anterior evaluar el determinante de A.

d) ea $ una matri2 de ('3'), si

1+)!det(1 =− A

, determinar el valor de

)&det( t AA

.

2. e dan los vrtices de un triángulo $(1,1,!), 7(5,+,!) y %(1,&,1). %alcular la

longitud de la altura, aBada desde el vrtice 7 perpendicular a AC

.

3. 6eterminar el valor de x si

!&1

+!

&01

!1'

1

−−−

=+

x

x x

x

4. ean

)',1,+(y)8,0,'( ),!,1,&( −−=−=−= wvu

.

a) 6eterminar la proyeccin ortogonal dew

soreu

.

b) 6eterminar el ángulo entre

v

y

w

.

2do Examen Parcial Álgebra Lineal MT – 211 – GRUP "

#ombre................................................................................................#o$a...........................



5. a) aiendo que los planos

1'& =+− z y x

y

&!8+ =+− z y x

son paralelos,


b) Encontrar el punto de interseccin entre las rectas

−=+=+−=−

t z

t y

t x

51

!&

5

con Rt ∈

y

=−=−=+

s z

s y

s x

&5

+"

1!1

con R s∈

.

1. $plicando la regla de %ramer determinar el valor de& x

del siguiente sistema

=+−=++=−+

5!!

&&'

'5!

!1

&!1

&!1

x x

x x x

x x x

2. i los elementos de la segunda ila de una matri2 de (535) son 1, ', &,!−

, & y

sus menores respectivos son 4&, 1, 5, 4! y 4& . %alcular*

a)

A!

&det

)

( )t AA&det

c)

( )t A A 1det −

d)

−1

&

!det A

3. a) ean los vectores en

& R

),1,1(y)',&,1( k q p −== determinar k tal que

q p y

sean ortogonales.

) %alcular la proyeccin ortogonal de AB sore PQ saiendo que)!,0,&()=&,!,+()=1,',!()=!.&,1( −−−−− B AQ P

2do Examen Parcial Álgebra Lineal MT – 211 – GRUP *"

#ombre................................................................................................#o$a...........................



4. a) %alcular el área del triángulo de vrtices

)1,!,&()=',!,&()=',&,'( −=−== C B A

.

) ean

)1,&,!(y)0,!,0()=!,1,1( −−=−=−= wvu

.6eterminar*

)"( wvu +• y

vvu )( •

5. a) Encontrar la ecuacin del plano que pasa por el punto (&, +, ") y es paralelo al

plano

0&!'" =+−+ z y x

.

) Encontrar el punto de interseccin entre la recta

−=−=−=−−

t z

t y

t x

!1

&&

5!

y el plano0&'&! =−+− z y x

.

1. a) allar la ecuacin del plano que pasa por el punto # (&, ',5) y es paralelo a los

dos

vectores

)1,1,&(1 −=v

y

)1,!,1(! −=v

.

c) Encuentre la proyeccin ortogonal de % sore & donde*

% ( ", 1,& ), & ( 5, 0, 1 )

2. a) 6eterminar una ase y la dimensin del suespacio generado por

U*GRM 2do Examen de *+%dan$ia de M*T – 1,3 Gr%'o *"

#ombre..................................................................................................................................



{ }!&

!

!

!

1 !5,!&1,'!1 x x p x x p x x pS +=−+=−−==

) 6eterminar la ecuacin del plano que pasa por los puntos $ (!,1,1), 7 (0,!,&)

y

% (1,0,1). 3. ean 8 9 (a, , c) * !a : 0 ; y < 9 (a, , c) * a : 0= !a : c 0 ; dos

suespacios de

& R determinar*

c) 8na ase y la dimensin de 8.

d) 8na ase y la dimensin de 8∩

<

4. ea

{ } ,0!*),,,( cad cbd cbaU ==−+=

a) 6emostrar que U es un suespacio de

' R.

) 6eterminar una ase y la dimensin de U .

5. ea

)!!(

&* x M R F →

tal que

+−

−+=

cacb

cbcacba F ),,(

determinar

a) 8na ase y la dimensin de la >magen de ?

c) 8na ase y la dimensin del @Acleo de ?

-. a) Encontrar el valor de “a” para que el triángulo, que tiene a

)0,,8( au = y

)1,0,0(=vcomo lados, encierren un área de 5 unidades.

) Encontrar la distancia entre

1) !,,"(#y1)5,,"(# !1 −−−−.

. a) aiendo que los planos

1'& =+− z y x

y

&!8+ =+− z y x

son paralelos,


b) Encontrar el punto de interseccin entre las rectas

−=+=+−=−

t z

t y

t x

51

!&

5

con Rt ∈

y

=−=−=+

s z

s y

s x

&5

+"

1!1

con

R s∈

.

U*GRM 2er Examen de *+%dan$ia de M*T – 1,3 Gr%'o *"

#ombre................................................................................................................................................



1. a) ean los vectores en

& R

),1,1(y)',&,1( k q p −== determinar k tal que

q p y

sean ortogonales.

) %alcular la proyeccin ortogonal de AB sore PQ saiendo que)!,0,&()=&,!,+()=1,',!()=!.&,1( −−−−− B AQ P

2. ean

)',1,+(y)8,0,'( ),!,1,&( −−=−=−= wvu

.

a) 6eterminar la proyeccin ortogonal dew

soreu

.

b) 6eterminar el ángulo entrev

yw

.

3. a) Encontrar la ecuacin del plano que pasa por (!, ", 1) y es perpendicular a la

recta*

−=−=−

=−

t z

t y

t x

+

&!

&'

b) ean

)1,&,!(y)0,!,0()=!,1,1( −−=−=−= wvu

.6eterminar*

)"( wvu +•

y

vvu )( •

4. a) %alcular el volumen del paralelep-pedo determinado por los vectores PS PR PQ y,,

, donde # (!,1,1), / (&,1,'), (1,0,!) y (&,1,5).

b) ean

)',1,+(y)!,1,&( −−=−= wu

, determinar la proyeccin ortogonal dew

soreu

.

5. a) Encontrar la ecuacin del plano que pasa por el punto (&, +, ") y es paralelo al

plano

0&!'" =+−+ z y x

.

) Encontrar el punto de interseccin entre la recta

−=−=−=−

t z

t y

t x

!1

&&

5!

y el plano0&'&! =−+− z y x

.

-. ean

{ } { }0Fy0!&F !

!

!

! ==∈++==+−∈++= ba P cxbxaW cba P cxbxaU

suespacios de

! P

. 6eterminar una ase y la dimensin de*

W

y de

W U ∩

.



. i la transormacin lineal!

&* P RT → está deinida sore la ase usual de

& R de

tal manera que*

!&&1)0,0,1( x xT +−=

,

!5)0,1,0( x xT −=

y

!!!1)1,0,0( x xT ++=

,

se pide*

a) 8na ase y la dimensin de la imagen de la transormacin.

) 8na ase y la dimensin del nAcleo de la transormacin

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