exercicios_capitulo1
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7/24/2019 exercicios_capitulo1
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Capítulo 1 - Coordenadas e cálculo vectorial
1 - Determine as coordenadas cartesianas do ponto de coordenadas cilíndricas:(ρ,φ,z ) = (2, π/3, 1).
2 - Determine as coordenadas cartesianas do ponto de coordenadas esféricas:(r,θ,φ) = (2, π/3, π/2).
3 - Determine as coordenadas cilíndricas do ponto de coordenadas cartesianas:(x,y,z ) = (
√ 2,−√ 2, 2).
4 - Determine as coordenadas esféricas do ponto de coordenadas cartesianas:(x,y,z ) = (
√ 2, 0,−√ 2).
5 - Escreva as componentes cartesianas dos vectores unitários associados às coorde-nadas cilíndricas.
6 - Escreva as componentes cartesianas dos vectores unitários associados às coorde-nadas esféricas.
7 - Escreva o vector posição na base das coordenadas cilíndricas e esféricas.
8 - Escreva o vector v = xz i + yz j + xy k na base das coordenadas cilíndricas eesféricas.
9 - Escreva o vector v = z i + 2x j + y k na base das coordenadas cilíndricas eesféricas.
10 - Determine o ângulo entre duas diagonais de duas faces adjacentes dum cubo.
11 - Determine o ângulo entre as diagonais de dois vértices opostos dum cubo.
12 - Um vectorA, cujo módulo é 10, faz ângulos iguais com os eixos das coordenadascartesianas. Determine Ax, Ay, Az e esse ângulo.
13 - Os vértices de um triânguloA,B eC são dados pelos pontos (−
1, 0, 2), (0, 1, 0)
e (1,−1, 0), respectivamente. Determine o pontoD tal que a figuraABCD sejaum paralelogramo.
14 - Determine o coseno do ângulo entre os vectoresA = 3i+ 4 j+k e B = i- j+k.
15 - Dois vectores A e B são dados por A = 2 i + 4 j + 6k e B = 3i − 3 j − 5 k.Determine os produtos escalar e vectorial A ·B e A×B.
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16 - Dados três vectoresP = 3 i+ 2 j−k, Q = −6 i−4 j+ 2k, R = i−2 j−k, achedois vectores que são perpendiculares e dois que são paralelos ou antiparalelos.
17 - Encontre um vector A que é perpendicular aos vectores U = 2 i + j − k eV = i
− j + k e a sua norma.
18 - Os vértices de um paralelogramo ABCD são (1, 0, 0), (2, -1, 0), (0, -1, 1), e (-1, 0, 1).Calcule as àreas do triângulo ABC e do triângulo BCD. Estas áreas são iguais?
19 - Um vértice de um paralelipípedo está na origem. Os outros 3 vértices estão em(3, 0, 0), (0, 0, 2), e (0, 3, 1). Todos os comprimentos estão em centímetros. Cal-cule o volume do paralelipípedo usando o produto escalar triplo.
20 - Dados 3 vectores A,B e C,
A = i + j,
B = j + k,
C = i− k.
(a) Determine o produto escalar triplo,A·(B×C). Reparando queA = B+ C,apresente uma interpretação geométrica para o resultado do produto escalartriplo.
(b) Determine A× (B×C).
21 - Três vectores A, B e C são dados por A = 3 i− 2 j+ 2k, B = 6 i+ 4 j− 2k eC =
−3 i−
2 j−
4k . Determine os valores de (A×B)
×C e A
×(B
×C).
O que pode concluir?
Soluções
1 - (x,y,z ) = (1,√
3, 1).
2 - (x,y,z ) = (0,
√ 3, 1).
3 - (ρ,φ,z ) = (2,−π/4, 2).
4 - (r,θ,φ) = (2,−π/4, 0).
5 - i = cosφ eρ − sinφ eφ, j = sin φ eρ + cos φ eφ, k = ez.
6 - i = sin θ cos φ er + cos θ cos φ eθ − sinφ eφ, j = sin θ sin φ er + cos θ sin φ eθ + cos φ eφ,k = cos θ er − sin θ eθ.
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7 - cilíndricas: r = ρ eρ + z ez ,esféricas: r = r er.
8 - cilíndricas: v = ρz eρ + ρ2 sin φ cosφ ez,esféricas: v = r2 cos θ sin2 θ(1+sin φ cosφ) er+r2 sin θ[1−sin2 θ(1+sin φ cosφ)] eθ.
9 - cilíndricas: v = (z + 2ρ sinφ)cos φ eρ + (2ρcos2
φ− z sin φ) eφ + ρ sin φ ez,esféricas: v = r sin θ[cos θ(sin φ + cos φ) + sin θ sin(2φ)] er + r[cos2 θ(sin φ +cos φ) + sin(2θ) sin(2φ)/2− sinφ] eθ + r[2 sin θ cos2 φ− cos θ sinφ] eφ.
10 - cos ϕ = 1/2 ⇒ ϕ = 60◦.
11 - cos ϕ = 1/3.
12 - Ax = Ay = Az = 10/√
3, cos ϕ = 1/√
3.
13 - (2, 0,−2).
14 - cos ϕ = 0 ⇒ ϕ = 90◦.
15 - A ·B = −36, A×B = −2i + 28 j− 18 k.16 - antiparalelos: Q = −2P, perpendiculares: P ·R = Q ·R = 0.
17 - A = −3 ( j + k), A = 3√
2.
18 - Área = 1
2 − i+ j− 2k =
√ 6/2.
19 - 18 cm3.
20 - (a) A · (B× C) = 0, porque A está no mesmo plano de B e C, mas B × C éperpendicular a esse plano, (b) A× (B×C) = −i + j + 2 k.
21 - (A×B) ×C = 36 i + 24 j − 30k, A× (B×C) = −24 i − 56 j + 62 k. Oproduto externo não é associativo.
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