Exposicion calculo1 2
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Facultad : Ingeniería
Escuela : - Informática y De Sistemas- Agronomía
Asignatura : Calculo I
Tema : Derivadas Implícitas
Integrantes : Jhans Tomy Pascual Rosales
Kevin Bremer Regalado Cabanillas
Es posible derivar una función dada implícitamente sin necesidad de expresarlo explícitamente. El método consiste en derivar los dos miembros de la relación. El procedimiento se conoce como derivación implícita.
Definición: se denomina función implícita cuando se da una relación entre X y Y por medio de una ecuación no resuelta para Y, entonces yse llama función implícita de X.
042x
dx
dy
define a Y como una función implícita de X. Es claro que
por medio de esta ecuación X se define igualmente como función
implícita de Y.
Uno de los procedimientos para calcular la derivada implícita es derivar
la ecuación término a término, considerando Y como función de X, y de
la ecuación resultante despejar , o lo que es lo mismo despejarY’.
Hallar dy/dx o y’en la función .
Solución
Calculando la derivada:
Derivando:
102 736 xyyxax
102 736
dx
dxy
dx
dyx
dx
dax
dx
d
07)1(626 67235
dx
dyxyyyx
dx
dyxax
Factorizando:
72563 6672 yyxaxdx
dyxy
dx
dyx
Pasando términos semejantes:
yxyaxdx
dyyx 27563 6672
63
257
72
66
yx
yxaxy
dx
dy
Es importante hacer notar que, en general, el resultado
contendrá tanto a x como a y.
922 yxCuya gráfica es:
¿Es una función lagráfica de la derecha?
La respuesta es ¡NO!
f(x)
x
f(x)
922 yx
Para ello vamos a aislar:
y obtenemos
y
922 yx22 9 xy
2y
22 9 xy
Recuerda que todavía no esta aislada la variable
Finalmente las funciones obtenidas son:
29 xy
La función depende de x por lo tanto decimos y=y(x)
Mientras deriva, tenga presente que:
24 xy
24)( xxyy
)4()( 2xdx
dy
dx
d
)4(42
1)( 2
2x
dx
d
xy
dx
d
)2(42
1)(
2x
xy
dx
d
24)(
x
xy
dx
d
y
xy
dx
d)(
Aplicamos la notación de derivadaen ambos lados del signo igual
Ahora derivamos esta función
Derivamos usando la regla de la cadena
Derivamos la segunda expresión
Cancelamos y ordenamos
Sustituimos en el radical la variable y
Es la solución “Derivada Tradicional”
24 xy
y
xy
dx
d
x
xy
dx
d
xx
ydx
d
xdx
d
xy
dx
d
xdx
dy
dx
d
xy
)(
4)(
)2(42
1)(
)4(42
1)(
)4()(
4
2
2
2
2
2
2
922 yx
Aprendamos a derivarimplícitamente
Esto significa que no esnecesario aislar y
922 yx
)9()( 22
dx
dyx
dx
d
0)(22 ydx
dyx
xydx
dy 2)(2
y
xy
dx
d
2
2)(
y
xy
dx
d)(
Debemos aislar: )(ydx
d
Aplicamos la notación de derivada
en ambos lados del signo igual
Derivamos usamos propiedades…
Teniendo siempre presente que: y=y(x)
Uso la propiedad de la adición para 2x
Ahora comparemos ambas derivadas
Uso la propiedad de la multiplicación para 2y
Cancelando los números 2 obtenemos:
Es la solución “Derivada Implícita”