Exposicion de Analisis II Pi Delta
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“Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de
la Educación”
FACULTAD:
ESCUELA:
ASIGNATURA:
DOCENTE:
TEMA:
INTEGRANTES::
INGENIERÍA
INGENIERÍA CIVIL
ANALISIS ESTRUCTURAL II
ING. VASQUEZ SANCHEZ MARCO
“ANÁLISIS DE SEGUNDO ORDEN (EFECTOS P-∆)”
CICLO: VIII
ACUÑA MILIAN MILTON
ESTRADA ZUÑIGA ERICK
MARCHENA GAMEZ JHOAN
PEREZ MARIN KELSEY
RAMOS VILLALOBOS LUIS
RESUMEN
En esta investigación se presenta una revisión de los aspectos básicos del efecto PΔ en la
respuesta sísmica elástica e inelástica de sistemas de un grado de libertad. Para el caso de
comportamiento elástico, se ilustra como las restricciones reglamentarias sobre distorsiones
de entrepiso, aunadas a la forma típica de los aspectos de desplazamiento relativo, limitan
los efectos PΔ a valores usualmente despreciables. A continuación se trata el problema de
la estabilidad post sismo de estructuras diseñadas para responder en el rango no lineal. Se
ilustra en esta parte del trabajo que la ductilidad de diseño puede estar limitada por
consideraciones de estabilidad. La parte principal del trabajo está dedicado al cálculo de
factores de la amplificación PΔ dinámicos estructuras con respuesta no lineal. El criterio
utilizado para definir las amplificaciones es esencialmente el de mantener la máxima
ductilidad desplegada independiente de la carga vertical. En base a los resultados
obtenidos se propone una expresión analítica para evaluar las amplificaciones PΔ en el
diseño sísmico.
INTRODUCCIÓN
Los métodos de análisis son, en la mayoría de los casos, elásticos de primer orden, es decir, se basan en
la suposición de que la respuesta de la estructura es elástica lineal durante todo el proceso de carga.
Se ignoran en ellos dos causas importantes de respuesta no lineal: la plastificación parcial de la
estructura, que suele preceder al colapso y la interacción de cargas y deformaciones que ocasiona
una amplificación de los efectos de las primeras.
La no lineal de la respuesta del material se incluye en el diseño con las fórmulas que se emplean para
dimensionar las columnas, que tienen su origen en investigaciones de laboratorio llevadas a cabo con
columnas reales, o están calibradas tomando como base los resultados de esas investigaciones.
La no linealidad geométrica comprende los llamados efectos Pδ y PΔ.
La norma de sismo resistencia establece unos requisitos para el control del índice de estabilidad, así
mismo especifica que cuando este último sobrepasa su límite se deben calcular los efectos de segundo
orden.
El presente estudio se justifica por la necesidad de conocer los efectos PΔ y el desplazamiento lateral
producido por una carga P vertical con la finalidad de conocer el índice de estabilidad en las
estructuras hiperestáticas bajo amenaza sísmica baja.
ANALISIS DE SEGUNDO ORDEN
La no linealidad geométrica comprende los llamados efectos Pδ y PΔ , que se ilustran en la figura 1 y 2.
Cuando los extremos de la columna están fijos linealmente (figura 1) los únicos momentos de segundo
orden se obtiene multiplicando la fuerza P por las distancias de los puntos del eje deformado a la recta
que une sus extremos (efecto Pδ); en cambio, los desplazamientos lineales relativos de los extremos de
las columnas de marcos no contraventeados originan momentos adicionales, los llamados momentos
PΔ (figura 2).
Las formulas modernas para el diseño de columnas flexocomprimidas incluyen términos que amplifican
los momentos provenientes de un análisis elástico de primer orden para tener en cuenta, de manera
aproximada, los efectos lineales de segundo orden. El efecto Pδ se incluye en las formulas con buena
precisión pero no sucede lo mismo con el PΔ, pues los factores de amplificación correspondientes son
poco precisos y no del todo racionales. Por este motivo, se recomienda que los elementos mecánicos
de diseño se obtengan con un análisis de segundo orden en el que se incluyan, como mínimo, los
incrementos de las acciones internas producidos por las cargas verticales al actuar sobre la estructura
deformada.
EFECTOS DE SEGUNDO ORDEN P-Δ
En el Reglamento Nacional de Edificaciones los efectos de Segundo Orden P-Δ, los efectos
de segundo orden deberán ser considerados cuando produzcan un incremento de más del
10% en las fuerzas internas.
Para estimar la importancia de los efectos de segundo orden, podrá usarse para cada nivel el
siguiente cociente como índice de estabilidad:
Ni x Δi
Q = ------------------------
Vi x hei x R
Los efectos de segundo orden deberán ser tomados en cuenta cuando Q > 0.1
EFECTOS GEOMETRICOS DE SEGUNDO ORDEN
En la figura 3 se ilustran los dos efectos geométricos de segundo orden.
Aparecen aquí los momentos debidos a los dos efectos geométricos de segundo orden: P(Δ/h) y que
sería el momento total de segundo orden si la columna permaneciese recta al desplazarse
lateralmente su extremo superior, y Pδ ocasionado por la deformación del eje entre los extremos.
El momento en la base de la columna es Hh + PΔ; el efecto Pδ no interviene en él. Si se conociesen el
desplazamiento Δ del extremo superior de la columna y la configuración deformada del eje cuando
se llega al equilibrio, los momentos de segundo orden y por consiguiente, los momentos finales, se
determinarían sin dificultad.
Cuando la columna se deforma, la línea de acción de la carga vertical P deja de coincidir con el
eje y produce momentos adicionales que, a su vez originan aumentos de los desplazamientos
laterales y nuevos incrementos en los momentos; el proceso continua hasta que la columna
desarrolla las acciones internas necesarias para equilibrar los efectos de las cargas, en una
configuración deformada o si su resistencia y rigidez son insuficientes, hasta que falla por
inestabilidad. El momento total en una sección transversal situada a una distancia y del extremo
superior( figura 3e)
Análisis elástico de segundo orden
En el análisis elástico de segundo orden el
equilibrio se formula sobre la estructura
deformada. Este tipo de análisis tiene en
cuenta los momentos producidos por los
esfuerzos de los extremos de la barras
combinados con los desplazamientos que se
han producido en dichas barras. Si estos
desplazamientos son los de los extremos de
la barras, se les denomina efecto P-Δ, si los
desplazamientos son los que se producen en
el interior de la barra, suponiendo que sus
extremos no han sufrido movimientos, se les
denomina P-δ (figura 4). Fig. 4: Efecto PΔ y Pδ
Como el principio de superposición (El Principio de superposición constituye la base de gran parte del
análisis estructural es el desplazamiento o esfuerzo total en un punto de una estructura sometida a
varias cargas se puede determinar sumando los desplazamientos o esfuerzos que ocasiona cada una
de las cargas que actúa por separado. Para que esto sea válido es necesario que exista una relación
lineal entre las cargas, esfuerzos y desplazamientos.
Requisitos para que el principio de superposición sea aplicable:
1. El material estructural debe comportarse de manera elástico-lineal, a fin de que sea válida la ley de
Hooke y la carga sea proporcional al desplazamiento.
2. La geometría de la estructura no debe sufrir cambios importantes cuando se apliquen las cargas. Si
los desplazamientos son grandes, entonces cambian considerablemente la posición y orientación de
las cargas. Un ejemplo es el caso de una columna sometida a una carga de pandeo. (Hibbeler, 1997)),
no es siempre válido, se debe acudir a un reparto de cargas especificado, que se incrementa por
pasos mediante un multiplicador de carga (figura 5). Se escogen incrementos tan pequeños que
permitan suponer un comportamiento lineal durante este aumento de la carga.
La configuración deformada que se obtiene al acabar cada aumento especificado de la
carga, es la geometría de referencia para el siguiente paso. Así pues, la teoría elástica de
segundo orden consiste en resolver una sucesión de análisis de primer orden de una
estructura cuya geometría cambia en cada paso con respecto a los anteriores. Estos cálculos
pronto se hacen inmanejables a mano y se necesitan programas informáticos.
Figura 5: Diagrama de carga- deformación
Análisis inelástico de segundo orden
Un cálculo de segundo orden inelástico es el único método que se presenta como riguroso
en el análisis estructural. Pero no existe en la actualidad ningún programa disponible para
oficinas de cálculo que pueda realizar este tipo de análisis.
Figura Nº6: Tipos de análisis
En el diseño basado sobre un análisis elástico, es necesario emplear métodos aproximados
para considerar los efectos de estabilidad sobre los elementos y el sistema
interdependiente. El método tradicional de diseño para marcos de acero, usa los factores
de longitud efectiva dentro de las ecuaciones de interacción viga-columna, para
considerar el comportamiento del sistema.
Este método es ampliamente usado para el diseño de columnas de acero en los códigos.
Pero está basado en un modelo de columna aislada y no predice el comportamiento real
de estabilidad del marco como un todo, es decir, el pandeo de las columnas y la
deformación lateral del marco.
Se mencionan algunas dificultades asociadas con el uso del método de longitud efectiva:
1. No puede considerar con exactitud la interacción entre el sistema estructural y sus
elementos. Como resultado este método no predice con exactitud los esfuerzos a los
cuáles van a estar sometidos los miembros de una estructura.
2. En un análisis elástico de primer orden, con los factores de amplificación B1 y B2, (B1 es un
factor de amplificación para considerar efectos de segundo orden causados por
desplazamientos entre puntos de intermedios (P-δ) y B2 es un factor de amplificación para
considerar efectos de segundo orden causados por desplazamientos en los extremos del
elemento, cuando no está arriostrado (P-Δ)) se consideran solo los efectos de segundo orden
pero no la redistribución de estos esfuerzos en la estructura. Este método proporciona una
estimación conservadora de la capacidad última de carga que puede soportar una
estructura.
3. El método requiere de un proceso que consume mucho tiempo, pues luego de realizar un
análisis de primer orden de la estructura, se debe chequear la capacidad de cada uno de sus
elementos (vigas y columnas), involucrando el cálculo de los factores de longitud efectiva K.
Por otro lado un análisis más exacto (incluyendo propiedades inelásticas del material) de
segundo orden debe incluir los factores que se enumeran a continuación:
1. Las propiedades de los elementos en las diversas etapas del proceso de carga, que deben
definirse por medio de relaciones fuerza axial-momento-curvatura (M-P-φ) realistas.
2. Los cambios que el comportamiento inelástico y las articulaciones plásticas introducen en las
rigideces de los elementos.
3. Los cambios en las rigideces y desplazamientos de las columnas, ocasionadas por las fuerzas
axiales que actúan sobre ellas.
4. Los momentos, fuerzas axiales y cortantes, resultantes de la interacción de la cargas verticales
con los desplazamientos laterales de los entrepisos (efecto P-Δ) y con los desplazamientos del
eje de las columnas con respecto a la recta que une sus extremos (efecto P-δ).
Efectos P-Δ en la respuesta Inelástica: Criterio de Cuantificación
Con este tema se persigue:
Idealmente, la metodología para tomar en cuenta los efectos P-Δ debería, cuando se utilice en
conjunción con especificaciones reglamentos, conducir a diseños estructurales cuyas
confiabilidades (probabilidad de cumplir su función adecuadamente) sean independientes de las
cargas gravitacionales actuantes.
En el caso elástico la intención general del párrafo anterior puede suponerse satisfecha
especificando factores de amplificación definidos como el cociente entre las máximas respuestas
obtenidas, primero incluyendo y luego despreciando los efectos de la gravedad sobre las
deformaciones.
Ya que el objetivo básico de un diseño sísmico inelástico es la selección del nivel de fluencia para
una ductilidad dada, es posible definir los factores de amplificación P-Δ en base al incremento
necesario en dicho nivel para mantener la ductilidad desplegada independiente de los efectos
de la carga vertical.
EFECTOS DE SEGUNDO ORDEN EN LOS PÓRTICOS
Comportamiento de la estructura
Las comprobaciones de la resistencia de cualquier estructura únicamente son válidas si el análisis
global ofrece una representación adecuada del comportamiento de la estructura real. Válidas si el
análisis global ofrece una representación adecuada del comportamiento de la estructura real.
Cuando una estructura se somete a carga se deforma, y su forma en esas condiciones es distinta de
la forma inicial. La deformación hace que las cargas axiles aplicadas en los elementos actúen
siguiendo unas líneas distintas a las supuestas en el análisis, tal como se muestra en los diagramas de
la Figura 2.1 y Figura 2.2. Si únicamente se producen pequeñas deformaciones, las consecuencias
serán muy limitadas, y un análisis de primer orden (ignorando el efecto de la forma deformada)
resultará suficientemente preciso. Sin embargo, si las deformaciones son de tal magnitud que los
efectos de las cargas axiles sobre la estructura deformada son lo suficientemente importantes como
para provocar momentos adicionales y una deformación aún mayor, se considera que la estructura
es sensible a los efectos de segundo orden.
Dichos efectos (también denominados efectos P-delta) pueden llegar a reducir la resistencia de la estructura.
Los efectos de segundo orden son efectos geométricos que no deberían confundirse con el comportamiento no lineal
de los materiales.
Tal como se muestra en la Figura 2.1, existen dos categorías de efectos de segundo orden:
Efectos de las deformaciones a lo largo de los elementos, habitualmente denominados efectos P-δ.
Efectos del desplazamiento de las intersecciones de los elementos, habitualmente denominados efectos P-Δ
En la práctica, los efectos P-δ y P-Δ tienen como consecuencia la reducción de la rigidez de las
estructuras y sus elementos hasta un valor inferior al obtenido mediante un análisis de primer orden. Los
pórticos en edificios de una sola planta son sensibles a los efectos de los esfuerzos de compresión axil
sobre los dinteles y pilares.
Dichos esfuerzos axiles habitualmente tienen un valor de aproximadamente el 10 % de las cargas
críticas de pandeo elástico de los dinteles y pilares, un nivel en torno al cual se produce una reducción
importante de la rigidez efectiva.
Efectos de segundo orden
Los efectos de segundo orden no sólo aumentan los valores de las deformaciones, sino también los de
los momentos y los esfuerzos con respecto a los valores obtenidos mediante un análisis de primer orden.
El término “análisis de segundo orden” engloba los métodos de análisis en los que la solución tiene
explícitamente en cuenta los efectos del aumento de la deformación debido al incremento de la
carga, de forma que los resultados obtenidos incluyen los efectos P-Δ y P-δ. La variación con respecto a
los resultados obtenidos mediante el análisis de primer orden dependerá de la magnitud de los efectos
P-Δ y P-δ
Los efectos de la deformación de la geometría se evalúan en la norma EN 1993-1-1 por medio
del factor αcr, que se calcula utilizando la siguiente expresión:
Fcr
αcr = ----------
Fed
Dónde:
Fcr: es el vector de carga crítica elástica que genera inestabilidad global, tomando como
referencia la rigidez elástica inicial
FEd: es el vector de cargas de cálculo de la estructura
Los efectos de segundo orden pueden ignorarse en un análisis de primer orden si la estructura
posee una rigidez suficientemente elevada. Tal como se indica en el apartado los efectos de
segundo orden pueden ignorarse en los siguientes casos:
- Para el análisis elástico, cuando a αcr ≥10
- Para el análisis plástico, cuando a αcr ≥15
Cuando los efectos de segundo orden son significativos existen dos opciones:
- Un análisis riguroso de 2º orden (en la práctica, eso implica utilizar un software de
análisis de segundo orden adecuado);
- Un análisis aproximado de 2º orden (es decir, efectuar cálculos a mano aplicando
un análisis de primer orden que tenga en consideración los efectos de segundo
orden de manera apropiada).
En este segundo método (también denominado “análisis de primer orden
modificado”), las acciones aplicadas se amplifican para permitir considerar los
efectos de segundo orden utilizando cálculos de primer orden.
Método de la Matriz Geométrica para incorporar efectos de segundo orden
Este método consiste en la utilización de funciones aproximantes de tipo polinómico,
cúbicas y lineales para los desplazamientos transversales de flexión y longitudinales
debidos a los esfuerzos axiales, respectivamente, que interpolan en cada nodo de la
discretización ciertas variables del problema consideradas como incógnitas.
De esta forma se llega a la matriz de rigidez Kt, que refleja las relaciones no lineales entre
fuerzas y desplazamientos del elemento, a través de la matriz de rigidez del elemento no
lineal, que depende no solamente de la geometría, sino también de las fuerzas internas
del elemento existente. La matriz de rigidez total del elemento permite plantear la
ecuación de equilibrio de éste.
Figura 7. Convención
de signos
Si se utilizan las Funciones de Estabilidad (ver anexo A), la matriz de rigidez en dos
dimensiones para un elemento viga-columna queda de la siguiente manera:
Dónde:
sii y sij son los coeficientes de rigidez del miembro obtenidos a partir de las Funciones de
Estabilidad elástica de una viga-columna. Estos coeficientes se pueden expresar de
distintas formas según sea la fuerza de compresión o tracción
CONCLUSIONES:
Tomando como base la investigación de los estudios que se presentan en este trabajo,
en el que se incluyen varios ejemplos numéricos, se lleva a las conclusiones siguientes:
El efecto P Δ en estructuras de edificios puede determinarse por medio de métodos
iterativos aplicados manualmente. Se han presentado formulas muy sencillos para
ello.
El efecto Pδ se puede incluir sin dificultad en los análisis de segundo orden.
En la mayoría de los casos de interés practico, al menos cuando se refieren a marcos
regulares que se deforman predominantemente por cortante, es necesario hacer el
análisis de segundo orden de la estructura completa, puesto que el estudio de
entrepisos aislados proporciona la misma información con un trabajo numérico
mucho menor.
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