CURSO: Física I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA MINERA Y METALURGICA

TEMA: GRAVITACION UNIVERSAL

UNIDAD: VII

DOCENTE: ING. EFRAIN CASTILLO ALEJOS

23 DE MARZO DEL 2013

OBJETIVOS

- Que el estudiante comprenda el fenómeno de las colisiones y el tipo de colisiones.

- Que entendamos que es el coeficiente de restitución.

- Entender algunas aplicaciones cuando la masa varia

- Aprender a calcular el momento de inercia y que significa.

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Introducción

• La mejor respuesta de la física a esta sencilla pregunta...

...es el resultado de 2400 años de reflexión y búsqueda!

• Pero, ¿conocemos todos esa respuesta?...

...generalmente nuesta solución a la pregunta es el resultado de

Ilustración (educación) + sentido común!

“Buenos días. Bienvenidos alfascinante mundo de la física”

“Buenos días. Bienvenidos alfascinante mundo de la física”

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Un grave “deseo”

• ¿por qué caen los cuerpos?• Intuición más simple: Algo los “atrae”

hacia abajo!... ¿pero qué es ese “algo”?

• Aristoteles c. 330 a.c.– Cuerpos “desean” estar en el piso!– Universo: 4 elementos– Elementos ocupan lugar natural en el

Universo– Cuerpo hecho de elementos tiende a su

lugar natural– Cuerpos “graves” hechos de Tierra

tienden a moverse hacia abajo!

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Una atracción universal

• ¿y la caída de los cuerpos?...

– Cuerpo inicialmente en reposo...

... Caída debe ser producida por una “fuerza”: gravedad!

– Características de esa fuerza:

• Para producir el mismo movimiento en cuerpos de distinta masa...

(fuerza de gravedad) ~ (masa)

• No es una fuerza de contacto!...

...la Tierra ejerce esta fuerza sin tocar las cosas!

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Una atracción universal

• ¿Por qué todas las cosas que rodean la Tierra caen sobre ella y la Luna no?

Newton habría descubierto la ley de gravitación Universal si William

Tell no hubiera intervenido

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Una atracción universal

• La Luna SI cae sobre la Tierra como los demás cuerpos...

• La Luna es atraída por la fuerza de gravedad de nuestro planeta...

• Los planetas son atraídos por la gravedad que produce el Sol...

• Todos los cuerpos en el Universo tienden a atrerse mutuamente...

... Los Cielos y la Tierra se rigen con las mismas leyes!

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LA VELOCIDAD DE LA LUZ

La velocidad de la luz es de 300.000 (km/s). A esta velocidad:

Se da la vuelta entera a la tierra en 0,02 (s).

Se viaja a la luna en 1,3(s).

Se llega al Sol en 8,3 (min).

Se llega a la estrella más cercana en 4,2 (años).

Un año luz se denomina la distancia que recorre la luz en un año, es decir, 1 año luz = 9,46 millones de millones de kilómetros (9,46· 1012 km).

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LA VÍA LÁCTEA

Es nuestra galaxia. Los romanos la llamaron "Camino de Leche".Es grande, espiral y puede tener unos 100.000 millones de estrellas, entre ellas, el Sol.

10

LA VÍA LÁCTEA

• Tipo de Galaxia: espiral.• Cantidad de brazos: 2 centrales

con ramificaciones• Luminosidad: 14.000 millones

de luminosidades solares.• Masa total: 1 millón de millones

de masas solares• Diámetro: 100.000 años luz.• Espesor del disco: 2.000 años

luz.• Espesor del bulto central: 6.000

años luz. Las estrellas del núcleo están más

agrupadas que las de los brazos. A su alrededor hay una nube de hidrógeno, algunas estrellas y cúmulos estelares.

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EL SISTEMA SOLAR

• Está ubicado en uno de los brazos de la espiral de la vía láctea, a unos 30.000 años luz del centro y unos 20.000 del extremo.Cada 225 millones de años el Sistema Solar completa un giro alrededor del centro de la galaxia. Se mueve a unos 270 (km) por segundo.

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MODELOS DEL SISTEMA SOLAR

• GEOCÉNTRICO: La Tierra está inmóvil en el centro del universo y todos los astros giran en torno a ella.

• HELIOCÉNTRICO: Todos los planetas giran en torno al Sol.

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LOS PLANETAS SISTEMA SOLAR

Existen ocho planetas en el sistema solar

Aquí se presentan numerados según su cercanía al Sol

1. Mercurio 2. Venus 3. Tierra

4. Marte 5. Júpiter 6. Saturno

7. Urano 8. Neptuno

El modelo del sistema solar es heliocéntrico, es decir, todos los planetas giran en torno al Sol.

El sistema solar está formado por una estrella central, el sol, los cuerpos que la acompañan y el espacio que queda entre ellos.

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LEYES DE KEPLER

• 1ª LEY: Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas, con el Sol en uno de sus focos.

15

LEYES DE KEPLER

• 2ª LEY: El vector posición de cualquier planeta respecto del Sol, barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales.

16

LEYES DE KEPLER

• 3ª LEY: El cuadrado del período (T) de revolución de cada planeta es proporcional al cubo de la distancia media (R) del planeta al Sol. Siendo k una constante, la misma para todos los planetas.

R3

T2

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LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

• La ley de gravitación universal establece que todos los cuerpos interactúan entre sí.

2kg

2Nm11106,67G

221

r

MMGF

18

Leyes de Kepler

Primera: Primera: Los planetas se mueven en Los planetas se mueven en órbitas elípticas, con el Sol en uno de los órbitas elípticas, con el Sol en uno de los focos.focos.

Segunda: Segunda: Una línea entre un planeta y el Una línea entre un planeta y el Sol barre áreas iguales de una elipse en Sol barre áreas iguales de una elipse en tiempos iguales.tiempos iguales.

Notas: no hay nada en el otro foco o en el centro. La Segunda Ley quiere decir que los planetas giran alrededor del Sol mas rápido cuando están mas cerca de él. Estas leyes valen para cualquier cosa que esté orbitando alrededor de cualquier cosa debido a la gravedad.

19

Segunda Ley de Kepler Animada

20

Leyes de KeplerTercera:Tercera: El periodo orbital de un planeta es proporcional a su semieje mayor El periodo orbital de un planeta es proporcional a su semieje mayor de acuerdo con la relación de acuerdo con la relación PP22 ~ a~ a33..

La forma mas general de esta ley (esencial para determinar todas las La forma mas general de esta ley (esencial para determinar todas las masas en astronomía) es masas en astronomía) es

centralM

aP

32

Para los planetas del sistema solar (con el Sol como la masa central), si las unidades del semieje mayor (a) están dadas en UA y el periodo (P) en años, la constante de proporcionalidad es 1.

Por ejemplo, si Jupiter está a 5 UA, ¿cuál es su periodo orbital?

2.11125;125532 PP

Kepler no entendió las bases físicas de estas leyes (el sospechaba que surgian debidoa a que el Sol atraía a los planetas posiblemente a través de un magnetismo.

21

Leyes de Kepler

22

Leyes de Kepler

23

Isaac Newton 1642 - 1727

Trinity College, Cambridge

Newton: uno de los mas grandes científicos. Newton: uno de los mas grandes científicos. Profesor, Teólogo, Alquimista, Warde of the Profesor, Teólogo, Alquimista, Warde of the Mint, Presidente de la Royal Society, miembro Mint, Presidente de la Royal Society, miembro del Parlamento. del Parlamento. Coinventor del cálculo. Descubridor Coinventor del cálculo. Descubridor de la ley de la Gravitación Universal y de las tres de la ley de la Gravitación Universal y de las tres leyes de Newton del movimiento. Formuló la teoría leyes de Newton del movimiento. Formuló la teoría Corpuscular de la luz y la ley de enfriamiento. Corpuscular de la luz y la ley de enfriamiento. Perosnalmente algo obnoxious, pobres relaciones Perosnalmente algo obnoxious, pobres relaciones con la mujeres, lost of odd stuff with the great stuff. con la mujeres, lost of odd stuff with the great stuff. Hizo la mayor parte de su trabajo antes de los 25 Hizo la mayor parte de su trabajo antes de los 25 años.años.

24

Las Tres Leyes de NewtonLey de la Inercia (Primera Ley): Ley de la Inercia (Primera Ley): en ausencia de fuerzas (fuerza neta = 0) los en ausencia de fuerzas (fuerza neta = 0) los objetos se moverán a velocidad constante.objetos se moverán a velocidad constante.

Ley de Fuerza (Segunda Ley): Ley de Fuerza (Segunda Ley): una fuerza producirá que un objeto cambie una fuerza producirá que un objeto cambie su velocidad (aceleración) directamente proporcional a la fuerza aplicada e su velocidad (aceleración) directamente proporcional a la fuerza aplicada e inversamente proporcional a la masa del objeto. Esta ley puede se puede inversamente proporcional a la masa del objeto. Esta ley puede se puede expresar como expresar como F = m*aF = m*a o bien, o bien, a a = F/m= F/m..

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Las Tres Leyes de Newton

Una fuerza mas grande produce una mayor aceleración

Una masa mas grande tendrá una aceleración menor y viceversa

26

Las Tres Leyes de NewtonLey de la Reacción (Tercera Ley): Ley de la Reacción (Tercera Ley): a cualquier acción hay una reacción igual a cualquier acción hay una reacción igual y en dirección opuesta, es decir, las fuerzas ocurren en pares iguales y y en dirección opuesta, es decir, las fuerzas ocurren en pares iguales y opuestos.opuestos.

27

Ley de Gravitación Universal

Newton, para completar su estudio del movimiento de los planetas, sus leyes de movimiento con una descripción específica de la fuerza de gravedad

Conociendo el comportamiento básico de los planetas a partir de las leyes de Kepler, Newton pudo determinar una ley de fuerzas apropiada, la Ley de la Gravitación Universal:

F es la fuerza gravitacionalM y m son las masas de los dos objetosR es la separación entre los dos objetosG es la constante de gravitación universal

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Ley de la Gravitación

La gravedad es una fuerza atractiva, y de acuerdo con la Tercera Ley de Newton, las dos masas (cuerpos) sienten fuerzas iguales y opuestas.

La gravedad es relativamente débil debido al valor tan pequeño de la constante de la gravitación G, en unidades métricas,

G = 6.7 x 10G = 6.7 x 10-11-11 Nm Nm22/kg/kg22

Por lo tanto, se requieren masas grandes para poder sentir una fuerza apreciable, p.ej. La masa de la Tierra es 6.0x1024 kg.

A pesar de la masa grande de la Tierra, la fuerza gravitacional que sientes en la superficie de la Tierra, tú peso, es solamente unos cuentos cientos de Newtons.

29

Gravitación

30

Explicación de las Leyes de Kepler

Newton pudo explicar matemáticamente (usando su calculo) que las órbitas de los planetas son elipses y obedecen las leyes de Kepler. El afirmo que estos mismo aplica a todos los cuerpos celestes. En particular, pudo mostrar que el periodo y tamaño de una orbita están dados por:

32

2

)(

4a

MMGP

PlanetaSol

Donde P es el periodo, a es el semieje mayor y G es la constante gravitacional.

Esta ley, la Tercera Ley de Kepler, se puede usar para encontrar la masa de cualquier cuerpo en el cual se pueda medir la distancia y el periodo del cuerpo orbitando (iniciando con el sistema Tierra-Luna).

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Cálculo de la Masa de la TierraSabemos que el Sol está cerca de 400 veces mas lejos que la luna, y a la luna le toma un mes orbitar la Tierra. Entonces, su semieje mayor es cerca de 1/400 UA y su periodo es cerca de 1/12 años.

662

3

2

3

1025.21064

144

121400

1 x

xP

aM

Ya que hemos usado UA y años, la masa está dada en masas solares. Así que la Tierra es cerca de un millón de veces menos masiva que el Sol. Para poder saber cuantos kilogramos tiene, debemos usar la forma de la Ley de Kepler dada por Newton y poniendo todas unidades físicas [como P(sec), a (metros), G (unidades mks).

32

Movimiento OrbitalLa fuerza de gravedad siempre hace que las cosas caigan. La pregunta es si la trayectoria de la caída intersecta cualquier superficie. La forma de la órbita depende de la velocidad que el cuerpo tenga en un punto dado.

Velocidades bajas recorrerán distancias menores, mientras que velocidades grandes recorrerán distancias mayores. En estos casos se puede decir que las trayectorias son cerradas. Sí la velocidad es bastante grande (mayor o igual a la velocidad de escape), la orbita será una hipérbola en lugar de una elipse y el cuerpo no regresará.

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Velocidad de Orbital y de Escape

R

GMVcir La velocidad de escape

depende de la masa y del tamaño del cuerpo. Para la Tierra es cerca de 11 km/s. Cuando la velocidad de escape es la velocidad de la luz, el cuerpo central será un agujero negro.

Es importante notar que ninguna de estas velocidades depende de la masa del cuerpo que está orbitando o escapando.

Luego la fuerza aplicada a la faja transportadora es:

Observamos que la fuerza es debidamente al cambio de masa y no al cambio de velocidad.

Movimiento del Cohete

Esto se mueve debido a una fuerza derivada de la expulsión de los gases que se producen en la cámara de combustión dentro del cohete mismo. La masa del combustible no es constante sino que disminuye.

Sea v= velocidad del cohete respecto a la tierra

v´=velocidad de salida de los gases

ve= velocidad de escape de los gases con

respecto al cohete

1) Halle la fuerza de atracción entre la tierra y la luna

NFKgNmGL

KgmKgm

quesabemosL

mmGF

m

LT

LT

20

2118

2224

2

10*985.1/10*67.610*84.3

10*34.710*98.5

:

:ngravitació de fuerza la deecuación la De

2) Dos esferas de hierro de masas de 2Kg y 3kg con radios de 2m y 3m respectivamente, están en contacto, hallar la fuerza gravitatoria entre ambas

N11-10*8.167 F :tenemos

:iagravitator fuerza la deecuación laen doReemplazan

7m :es esferas las de centros los entre distancia La

3) De la figura halle la dirección y magnitud de la fuerza resultante en la esfera B.

izquierda la hacia es sentidosu y 10*3.854 es resultante fuerza la Luego

10*48.13

)1)(2()10*67.6(

:yC B entre resultante fuerza la ahora hallemos

10*02.401

)2)(3()10*67.6(

:By A entre fuerza la 1ro Hallemos

10-

112

11

112

11

NF

NF

BC

AB

4) De la figura, halle el vector de la fuerza resultante en la esfera A, donde “O” es el origen de coordenadas y el vector OO’, esta sobre el eje “x” positivo.

N

FF

NuFFNF

NuFFNF

Sol

ACAB

ACACACAC

ABABABAB

13R

R

13132

11

23

211313

211

10)31482,315.2(F

F

: vectorialsuma la a recurrimos resultante fuerza lahallar Para

)0,1(10*833.0ˆ10*833.0)40(

)1)(2()10*67.6(

),(10*964.2ˆ10*964.2)30(

)2)(2()10*67.6(

:

5) De la figura, halle la masa de A, si el sistema esta en equilibrio.

Kgm

Nm

NFgFgFc

NFc

Sol

A

A

11

211

2

10*746.6

5

))(2()10*67.6(6.3

:equilibrioen está sistema el Como

6.35

)3)(2(

:centrifuga fuerza la Hallemos

:

6) Un hombre pesa 70Kgf suponiendo que el radio de la tierra se duplicara, ¿Cuánto pesaría el hombre si la masa d la tierra permanece constante?

NP

P

R

mmG

R

mmG

Tp

Tp

5.174

4

4P

P

expansión la

de despues peso el Py expansión, la de antes persona la de peso el P Sea

12

2

2

2

1

21

7) Se dispara una bala de cañón desde la superficie de la tierra. A que distancia del centro de la tierra la bola se detiene. Sean: v = velocidad inicial

R=radio terrestre; mb = masa de la bola; M = masa de la tierra

2

2

2

2

2

2

2

1

:que tenemos(1)En

)1(

:ón tenemosconservaci deley Por va.conservati es iagravitator fuerza la que Sabemos

RvGM

GRMD

v

R

MG

D

MG

vmR

Mm

D

MmG

EEEEEEEEE

bbb

PGfKiPGiKfPGfKiPGiFi

8) Un meteorito se encuentra inicialmente en reposo a una distancia del centro de la tierra igual a 8 veces el radio terrestre (R). Halle la velocidad con la que colisiona en la superficie.

smv

vR

mGvm

R

mmG

EEEEEEEEE

Tm

mT

KfPGfPGiPGfKfPGiKifi

/10*31.3)

)4

7(

2

1

8

11

:que tenemos(1)En

)1( :energía

la deón conservaci deley por Luego, va.conservati es iagravitator fuerza la que Sabemos

27

222