Exposicion de Mate III
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7/25/2019 Exposicion de Mate III
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Primero revisamos si la ED es de variables separables:
Separando las variables:
Integrando tenemos:
La expresin representa
una
familia de soluciones: una solucin para cada valor de
la constante
C. Si gracamos las funciones para diferentes valores
de C tenemos:
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Ecuaciones Diferenciales ordinarias de variable
separable
Ecuaciones de ariables Separables Iniciaremos
nuestras t!cnicas de solucin a ED con las ecuaciones
m"s sencillas de resolver. Este tipo de ecuaciones sonresueltas directamente mediante una o dos
integraciones.
Defnicin: #na ecuacin diferencial ordinaria de
primer orden de la forma:
Se dice de ariables Separables si es posible factori$ar
% &x' () en la forma:
Procedimiento de solucin:
Paso I:
%actori$ar el segundo miembro %actori$ar F (x, y) =
(x) g (y)'Si tal factori$acin no es posible' se conclu(e *ue la ED
no es devariables separables ( el procedimiento no contin+a.
Paso II:
Separar las variables ,acer "lgebra para poner
variables diferentes en lados diferentes:
Paso III:
Integrar Integrando
la expresin anterior con respecto a x obtenemos:
o simplemente:
Paso IV:
Despe-ar ( pcional Debido a *ue ( representa la
funcin incgnita a determinar' lo ideal es determinarla
por completo' es decir tener como solucin unaexpresin de la forma:
y = Expresin en x
En caso *ue este despe-e sea posible' se dice *ue la
solucin est" dada en forma expl/cita' en caso
contrario &cuando no fue posible despe-ar () se dice
*ue la solucin est" dada en forma impl/cita.
Ejercicio 1:
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0esuelve la ED:
Ejercicio 3:
En un cultivo de bacterias el n+mero inicial estimado
es de 122. 3l cabo de 42 minutos es de 522. Indicar
cual ser" el n+mero estimado al cabo de 12 minutos.
0ecuerde *ue el modelo utili$ado en estos problemas
es:
Separando variables e integrando
Despe-ando P:
Puesto *ue para t 6 2 el n+mero inicial es de P 6 122:
7 para t 6 42' el n+mero es de 522:
Por tanto' para t 6 12 tendremos:
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Probe!as con con"iciones iniciaes
#n problema con valores &condiciones) iniciales
consiste de una ecuacin diferenciales ( de un puntodel plano x 8 (:
El problema consiste en encontrar una funcin ( 6 (
& x ) solucin a la ecuacin diferencial ( *ue adem"s
cumpla ( & xo) 6 (o&es decir' *ue al evaluar dic9afuncin en x 6 xoel valor resultante sea (o).
Ejercicio #
$o%cin
Por el e-emplo anterior la solucin general es:
Con el punto & xo6 4' (o6 4) debe cumplir:
Por tanto' C 6 5 1 ( la solucin buscada es:
;03%IC3
