FUNCIONES PERIÓDICAS..........................................................................................................3

SERIE DE FOURIER...................................................................................................................4

HISTORIA.................................................................................................................................5APLICACIONES...........................................................................................................................................7

PROPIEDADES DEL SENO Y DEL COSENO. FUNCIONES ORTOGONALES..............................8

Función seno...........................................................................................................................8Propiedades de la función seno................................................................................................................8

Función coseno........................................................................................................................9Propiedades de la función coseno............................................................................................................9

Producto Interno...................................................................................................................10Funciones ortogonoles.......................................................................................................................10

Conjuntos Ortogonales.......................................................................................................11Norma de una función............................................................................................................................12Conjunto ortonormal..............................................................................................................................13

Ejemplo #1..........................................................................................................................13

Ejemplo#2...........................................................................................................................14

Ejemplo 3.............................................................................................................................15

Ejemplo 4.............................................................................................................................15

Ejemplo 5.............................................................................................................................15

Evaluacion de los coeficientes de Fourier.......................................................................16

Definición:.............................................................................................................................16

DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN DE LAS SERIES DE FOURIER................................................21

Aproximaciones mediante una serie finita de fourier.............................................................21

BIBLIOGRAFIA................................................................................................................24

S

FUNCIONES PERIÓDICAS

S

SERIE DE FOURIER

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicó sus resultados iníciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.

Las series de Fourier tienen la forma:

Donde   y   se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la

función 

S

Si   es una función (o señal) periódica y su período es  , la serie de Fourier

asociada a   es:

Donde ,   y   son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:

Los coeficientes ahora serían:

Otra forma de definir la serie de Fourier es:

Donde   y 

Siendo:

A esta forma de la serie de Fourier se le conoce como la serie trigonométrica de Fourier.

S

HISTORIA

Las series de Fourier reciben su nombre en honor a Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), que hizo importantes contribuciones al estudio de las series trigonométricas, que previamente habían sido consideradas por Leonhard Euler, Jean le Rond d'Alembert y Daniel Bernoulli. Fourier introdujo las series con el propósito de resolver la ecuación [de conducción] del calor en una lámina de metal publicando sus resultados en 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides ('Memoria sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos'), y publicando su Théorie analytique de la chaleur ('Teoría analítica del calor') en 1822. Ideas previas en descomponer una función periódica en la suma de simples funciones de oscilación datan desde el siglo III a.C., cuando astrónomos antiguos propusieron un modelo empírico de movimiento planetario con base en epiciclo.

La ecuación del calor es una ecuación en derivadas parciales. Previamente al trabajo de Fourier, no se conocía solución alguna para la ecuación de calor en forma general, aunque se conocían soluciones particulares si la fuente de calor se comportaba de manera sencilla, en particular, si la fuente era una onda de seno o coseno. Estas soluciones simples a veces son llamadas valores propios. La idea de Fourier era modelar una fuente de calor compleja con una superposición (o combinación lineal) de simples ondas sinusoidales y para escribir la solución como una superposición de los correspondientes valores propios. A la superposición o combinación lineal se le llama Serie de Fourier.

Las ondas armónicas continuas no existen realmente, ya que todos los movimientos ondulatorios están limitados tanto espacial como temporalmente. Utilizando el análisis de Fourier y la transformada de Fourier se pueden describir formas de ondas más complejas como las que producen los instrumentos musicales.

El análisis de Fourier surgió a partir del intento de éste matemático francés por hallar la solución a un problema práctico, la conducción del calor en un anillo de hierro. Demostró que se puede obtener una función discontinua a partir de la suma de funciones continuas. Esta tesis fue defendida por Fourier ante la Academia Francesa, lo que motivó severas objeciones de los matemáticos más importantes de su época como Lagrange, Laplace, etc.

Aunque el motivo original era resolver la ecuación de calor, tiempo después fue obvio que se podía usar la misma técnica a un gran conjunto de problemas físicos y matemáticos, especialmente aquellos que involucraban ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, para los cuales sus soluciones únicas eran sinusoidales. Las series de Fourier tienen muchas aplicaciones en la ingeniería

S

eléctrica, análisis de vibraciones, acústica, óptica, procesamiento de señales, retoque fotográfico, mecánica cuántica, econometría, la teoría de estructuras con cascarón delgado, etc.

Veamos un ejemplo:

En este caso, los coeficientes de Fourier nos dan esto:

Si la serie de Fourier converge hacia: ƒ(x) de cada punto x donde ƒ es diferenciable:

S

APLICACIONES

Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de sinusoides generados por osciladores eléctrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.

Análisis en el comportamiento armónico de una señal. Reforzamiento de señales. Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la

señal de entrada no es sinusoidal o cosinusoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o solución en régimen permanente sinusoidal en el dominio de la frecuencia.

La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de placas, etc.

PROPIEDADES DEL SENO Y DEL COSENO. FUNCIONES ORTOGONALES

Función senof(x) = sen x

Propiedades de la función seno

Dominio :  Recorrido : [-1, 1]

Período :  Continuidad : Continua en 

Creciente en :  

Decreciente en :  

Máximos :  

Mínimos :  

S

Impar :  sen(-x) = -sen x

Cortes con el eje OX:  Función coseno

f(x) = cosen x

Propiedades de la función coseno

Dominio :  Recorrido : [-1, 1]

Período :  Continuidad : Continua en 

Creciente en :  

Decreciente en :  

Máximos :  

Mínimos :  Par :  cos(-x) = cos x

Cortes con el eje OX:      Producto Interno

El producto interno de dos funciones   y   en un intervalos   es el

número

Supongamos que (u ,v) son vectores en el espacio tridimencional. El producto

interno (u ,v) de los vectores, tambien se escribe u.v, posee las siguientes

propiedades:

1.- (u, v) = (v, u)

S

2.- (ku, v) = k(u, v) , donde k es un escalar.3.- (u, u) = 0, si u=0, y (u, u)>0 si u≠ 04.- (u+v,w)=(u,w)+(v,w)

Funciones ortogonoles

A diferencia del análisis vectorial, en donde la palabra ortogonal es sinónimo de

"perpendicular", en el presente contexto el término ortogonal no tiene significado

geométrico.

En "análisis funcional" se dice que dos funciones f y g de un cierto espacio son

"ortogonales" si su producto escalar es nulo. Dos funciones   y   

son ortogonales es un intervalo [a, b] si

Conjuntos Ortogonales

Un conjunto de funciones de valor real   es ortogonal en

un intervalo [a, b] si 

EJEMPLO 1 Funciones ortogonales Las funciones ƒ1 (x) = x2 y ƒ2 (x) = x3 son

ortogonales en el intervalo [ 1, 1] porque

Un conjunto de funciones {f 1(x), f 2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones en el

intervalo [a,b] si cualesquiera dos funciones son ortogonales entre si.

S

(n ¹ m).

Se considerará solo conjuntos ortogonales en los que ninguna de las funciones son

idénticamente iguales a cero en [a,b].

Los coeficientes de una serie respecto a un conjunto ortogonal tiene una forma útil,

que se deducirá ahora. Suponga que {f 1(x), f 2(x),…} es un conjunto ortogonal de

funciones en el intervalo [a,b] y que se considerará solo conjuntos ortogonales en los

que ninguna de las funciones son idénticamente iguales a cero en [a,b]. Los

coeficientes de una serie respecto a un conjunto ortogonal tiene una forma útil, que se

deducirá ahora. Suponga que {f 1(x), f 2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones

en el intervalo [a,b] y que . Se quiere obtener una fórmula para los coeficientes Cn en

términos de f(x) y de las funciones ortogonales f n(x). Se selecciona un miembro del

conjunto ortogonal, digamos, f n(x), y tome el producto interno con f(x). es decir, se

multiplican ambos lados de por f n(x), y se integra sobre el intervalo para obtener

suponga que la integración y la suma se puede intercambiar para dar . Pero f , forma

un conjunto ortogonal, de manera que (f n, f m) = 0 si n ¹ m. Entonces se convierte en

Teorema fundamental de una función por una serie de funciones ortogonales.

Suponga que f(x) es diferenciable por partes en el intervalo [a,b] y que donde {f n(x)}

es un conjunto ortogonal de funciones en [a,b]. Entonces Una prueba rigurosa del

teorema incluye consideraciones técnicas que están más allá del nivel de esta

investigación. Estas consideraciones se refieren a la convergencia de y a la

demostración de que la suma y la integral se pueden intercambiar. Además cuando se

escribe , de hecho, no se requiere que la serie converja a f(x) para toda x. Las

condiciones suficientes para garantizar el intercambio de Fourier del seno y del

coseno, también se analizan en qué sentido es igual a f(x). Sólo se necesita la

continuidad por las partes de f y las f n para este teorema.

Ejemplo 2: Sea T un subconjunto de Rʒ

T={(1,0,0);(0,2,0);(0,0,-1)}.

Primero T es un sub espacio vectorial de R Sus elementos o vectores son distintos Alʒ

realizar su respectivo producto punto entre ellos nos da 0 esto se puede evidenciar

claramente porque son vectores perpendiculares. Por lo tanto T es un conjunto

ortogonal.

S

Todo conjunto ortogonal es linealmente independiente porque si:

 { u1, u2, u3, …, un} ortogonal

 { 1u1, 2u2, … nun} ortogonalα α α

Siendo un escalarα

Al mutiplicar por cualquier escalar el conjunto sigue siendo ortogonal

Norma de una función

Dada la función   su norma se define

El número

se llama norma cuadrada de 

Conjunto ortonormal

Si   es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [a, b] y tiene la

propiedad que   para  , se dice que   es un conjunto

ortonormal en el intervalo.

Ejemplo #1

Demuestre que el Conjunto   es ortogonal en el intervalo de

[- , ].π π

1.- Tenemos que hacer   pero eso nos llevaría

demasiado tiempo y nunca lo terminaríamos ya que se va hasta ∞, nos damos cuenta

que podemos escribir   donde 

Entonces podemos decir   

S

eso el lo mismo que   

 Sabemos que el   no importando el valor que pueda tener n

 podemos concluir con 

2.- Tenemos que hacer cuando   donde n≠m vale menciona que no

nos interesa cuando n=m porque eso sería la norma

 por una identidad trigonométrica

podemos escribirlo como

Como ya sabemos el   entonces en todo los senos se hacen cero por lo cual

tenemos   entonces podemos concluir con 

ya que probamos para todos podemos decir que el conjunto {1,cosx,cos2x,cos3x,...} es

Ortogonal.

Ejemplo#2

Encontrar las normas de las funciones del conjunto   con

intervalo [- , ], en este caso nos interesa cuando n=n en los cuales tenemos (1,1) y π π(cosnx,cosnx)

S

sabemos que el   entonces nos queda   

por lo tanto podemos concluir 

Ejemplo 3

Demuestre que las funciones son ortogonales:

 y   en el intervalo   

 

 

Por lo tanto sabemos que las funciones son ortogonales.

Ejemplo 4

Demuestre que las funciones son ortogonales:

 y   en el intervalo   

 

S

 Valuado en   

Por lo tanto sabemos que las funciones son ortogonales.

Ejemplo 5

Demuestre que las funciones son ortogonales:

 y   en el intervalo   

 

 

Dado que la respuesta es 0 sabemos que son ortogonales

Evaluación de los coeficientes de Fourier

Definición:Sea una función que va de reales en reales una función de periodo 2π , integrable en el intervalo de {0,2π }

Los coeficientes de Fourier son los siguientes:

Estos gráficos sugieren que la serie de Fourier de la función f converge a f en cada

punto de continuidadf ( x )=a0+∑n=1

∞

(ak cos nπxL +bk sinnπxL )

S

Para, calcular a0, multipliquemos los dos términos de la serie (3) por dx, e integremos de (- ), todas las integrales del segundo miembro de dicha serie, se anulan, excepto la que multiplica a0.

Para calcular multipliquemos los dos términos de la serie, por cosnx e integremos de todas las integrales del segundo miembro se anulan excepto el factor que multiplica

ya que sabemos que si m y n son enteros positivos diferentes se verifica

y si m y n son dos enteros positivos iguales o distintos se verifica

Dando a n valores (0, 1, 2,3...) en (8), se obtienen todos los coeficientes de los cosenos. Análogamente, se obtiene bn, multiplicando los dos términos de (3) por sennx, e integrando se verifica

Ya que sabemos que si m y n son dos enteros positivos diferentes se verifica

S

Ejemplos propuestos #1

Desarollar la serie de Fourier la funcionperiodica de 2π . Estudiar su convergencia.de la serie en R

S

Ejemplos propuestos #2

sea f(x) =x(sinx), si –π<x<π , entonces :

determine los coeficientes de Fourier de esta funcion y si es posible la serie de Fourier

S

DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN DE LAS SERIES DE FOURIER

Aproximaciones mediante una serie finita de fourierSea:

La suma de los dos primeros

La suma de los primeros (2k + 1) términos de una serie de fourier que representa la f(t) en el intervalo -t/2 < t < t/2.

Si f(t) se aproxima por sk (t), es decir;

Y ek (t) es la diferencia o error entre f(t) y su aproximación, entonces el error cuadrado medio fk está definida por

Problema propuesto 1

Demostrar que si se aproxima una función f(t) por una serie finita de fourier sk (t) , entonces esta aproximación tiene la propiedad de ser el mínimo error cuadrático medio.

Solución: si se sustituye (1.54) en (1.57), se tiene

Considerar ek como una función de ao , an , y bn . Entonces para que el error cuadrático medio eksea un mínimo, sus derivadas parciales con respecto a ao , an , y bn deben ser iguales a cero, es decir,

S

Intercambio de orden de la diferencia y de la integración:

Si se usan las propiedades de ortogonalidad del seno y del coseno, las integrales (1,59), (1.60), y (1.61) se reduce a

Problema propuesto 2.-

Demostrar que el error cuadrático medio eken una aproximación a f(t) por sk (t) , definida por (1.57) se reduce a

Solución: por (1.57) se tiene:

S

Ahora bien;

Teniendo en cuenta (1.27) y (1.28), se obtiene

Utilizando las relaciones de ortogonalidad (1.19)

Sustituyendo (1.67) y (1.68) en (1.66), se obtiene

S

Problema prpuesto 3.-

Solución: por (1.57), se tiene

Y también por (1.65) se deduce que

S

BIBLIOGRAFIA

http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier

http://www.sc.ehu.es/sbweb/energias-renovables/MATLAB/simbolico/fourier/fourier.html

WikiMatematica.org

S