IntroduccinAtendiendolasnecesidadeseducativasactuales,desdeelpuntode vistadelacalidadeducativaenelnivelmediosuperior,seiniciel proceso de la Reforma Integral de Educacin Media Superior (RIEMS), en el que se defne un Marco Curricular Comn basado en un enfoque educativo orientado al desarrollo de competencias.La asignatura de Matemticas I promueve el uso de representaciones yprocedimientosalgebraicospararesolversituacionesdelentorno queimpliquenelmanejodemagnitudesvariablesyconstantes.Se organiza en los siguientes diez bloques de conocimiento.En el primer bloque se desarrollan conceptos aritmticos bsicos como sonlosnmerospositivos,suclasifcacinysusoperaciones;enel segundo bloque se introducen los nmeros negativos y los irracionales, extendiendo el conjunto de nmeros al sistema de nmeros reales. Se analizan,adems,laspropiedadesdelasoperacionesconnmeros reales, resaltando la jerarqua de las mismas, los conceptos de variacin directa,inversayconjunta. Tambinseintroduceelusodellenguaje algebraico;eneltercerbloqueseanalizanlosconceptosdesucesin yserie,ascomosusprincipaleselementos;enelcuartobloquese estudian las operaciones con polinomios; en el quinto bloque se analizan lasreglasdelosproductosnotables,lafactorizacinylasfracciones algebraicas;enelsextobloqueseestudiaelconceptodeecuacin linealconunaincgnita,suspropiedades,elmtododesoluciny suaplicacinenlaresolucindeproblemas;enelsptimobloquese analizanlossistemasdeecuacioneslinealescondosincgnitasylos diferentesmtodosdesolucinysuinterpretacingrfca,ascomo la resolucin de sistemas de dos ecuaciones derivados de situaciones reales; en el octavo bloque, se analizan los sistemas de tres ecuaciones con tres incgnitas y sus mtodos de solucin. Finalmente, en los bloques noveno y dcimo se analiza el concepto de ecuacincuadrticaconunaincgnita,susmtodosdesolucin,su interpretacin geomtrica y sus aplicaciones.Para incorporar el enfoque por competencias se ha requerido la revisin yactualizacindelplanyprogramasdeestudiodelbachillerato general y, por ende, el libro que tienes ahora en tus manos se presenta con base en el programa vigente. IntroduccinEn este libro se propicia el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lgico y crtico mediante actividades, ejemplos, ejercicios y problemas quebuscanconsolidarydiversifcarlosaprendizajesydesempeos adquiridos, ampliando y profundizando los conocimientos, habilidades, actitudes y valores relacionados con el campo de las matemticas. Para desarrollar tales propsitos, en cada uno de los bloques se incluyen los siguientes elementos:Unaevaluacindiagnsticaconlaqueelprofesorobtendr datosdelosalumnossobresuconocimientodelostemas delbloque,locuallepermitirofrecerlelaayudayelapoyo necesarios.Inclusivelefacilitartenerunarepresentacindel grado de desempeo que logr cada evaluacin parcial.Unaactividadintroductoriaqueseproponeparaatraerla atencin del estudiante y al mismo tiempo para iniciar el tema, recuperando,enlamedidadeloposible,susexperienciasy conocimientos previos sobre el tema.Unaautoevaluacinparaqueelalumnovaloresuactuacin. Estetipodeevaluacinespersonalylepermitirrazonarla dedicacin y empeo que debe realizar o mantener a lo largo delaasignatura.Desdeluegoqueesperamosresultados altamente positivos. Una evaluacin formativa que es al mismo tiempo una evaluacin mutua en la que tras la prctica de algunas actividades, alumnos ymaestrospuedenevaluarciertosaspectosqueresulten necesariosdestacar.Elpropsitoprincipalnoescalifcar,es entendersilasactividadesplanteadasfuerondebidamente razonadas,ahradicasuaspectoformativo.Sepresentauna escala de rango, que enfatiza aquellos aspectos que requieren de mayor atencin y estudio. Sibientodaslasasignaturascontribuirnaldesarrollodelas competenciasgenricasydisciplinares,cadaasignaturatieneuna participacinespecfcaenelfortalecimientodelasmismas.Enel casodeMatemticasIselograrquelosestudiantesdebachillerato seanlosprotagonistasdesuvidaydesuprocesodeaprendizaje, desempendose con idoneidad y compromiso tico.BLOQUE 1Saberes Conocimientos HabilidadesActitudes y valores SUGERENCIA DE EVIDENCIAS DE APRENDIZAJEUNIDAD DE COMPETENCIAIdentifca formas distintas de representacin de nmeros positivos.Identifca nmeros decimales en distintas formas (enteros, fracciones, porcentajes).Jerarquiza operaciones numricas al ejecutarlas.Identifca y reconoce nmeros reales y variables algebraicas.Identifca formas distintas de representacin de nmeros reales.Calcula el valor numrico de una expresin algebraica.Resuelve problemas aritmeticos y algebraicos BLOQUE 1Saberes Conocimientos HabilidadesActitudes y valores SUGERENCIA DE EVIDENCIAS DE APRENDIZAJEUNIDAD DE COMPETENCIAConstruye e interpreta modelos aritmticos, algebraicos y grfcos aplicando las propiedades de los nmeros positivos y expresiones aritmticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales, para la representacin y resolucin de situaciones y/o problemas aritmticos y algebraicos, concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.Identifca las caractersticas presentes en tablas, grfcas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmtico y/o algebraico.or escrito la defnicin de flosofa, ciencias sociales y cinecias experimentales con ejemplos de su campo de accin en el contexto en que vive.Opera diferentes representaciones de nmeros reales positivos.Usa la calculadora como herramienta de apoyo en su trabajo.Utiliza expresiones numricas y algebraicas para representar relaciones y regularidades entre magnitudes constantes y variables.Asigna signifcados a las expresiones planteadas en funcin de las situaciones aritmticas o algebraicas que representan.Resuelve problemas aritmticos y algebraicos de su entorno.Realiza operaciones aritmticas, siguiendo una jerarqua en el orden de ejecucin.Utiliza nmeros decimales en forma de enteros, fracciones y porcentajes.Emplea expresiones numricas para representar relaciones.Utiliza la calculadora como herramienta de exploracin de resultados.Emplea expresiones algebraicas, usando literales, para representar relaciones entre las magnitudes.Establece signifcados y propiedades de las diferentes representaciones de los nmeros y variables algebraicas.Construye hiptesis, disea y aplica modelos aritmticos sencillos.Utiliza los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenmenos relacionados con los nmeros y las variables.Describe expresiones verbales mediante formas algebraicas, y viceversa.Aprecia la utilidad de los nmeros positivos y las literales para modelar y/o solucionar problemas.Muestra disposicin para utilizar el clculo numrico al resolver problemas cotidianos.Aporta puntos de vista personales con apertura y considera los de otras personas al refexionar sus procesos de aprendizaje.28B1B1Alolargodetuformacin,tantoenlasactividadesescolarescomoenlas extraescolares,hastenidolanecesidaddetrabajarcondiversostiposde nmerosqueaparecenendiversoscontextos:alpagarelboletodeautobs, al comprar el pantaln o los zapatos tenis que tanto te gustan o al esforzarte porobtenerbuenascalifcaciones,entremuchosotros.Enestebloque analizaremoslosnmerospositivosysusrepresentaciones,yrecordaremos las operaciones bsicas que se realizan con ellos.Resuelve los siguientes problemas; explica cmo los resuelves.1.Juan tiene 35 tazos, Ramiro 82 y Carlos 125, cuntos tazos tienen entre los tres?, cuntos tazos ms tiene Carlos que Juan?2.Miguel va a pintar una pared que mide 5.6 m de largo por 2.4 m de alto. Si con un litro de pintura cubre 2.5 m2 de pared, cuntos botes de pintura tiene que comprar como mnimo?3.En un grupo de 600 alumnos, 450 usan lentes. Qu porcentaje de alumnos no usa lentes?4.Un nuevo centro comercial se va a construir en un terreno como el mostrado en la siguiente fgura.a)Cul es la superfcie del terreno?b)Si el metro de malla ciclnica cuesta $250, cunto costar cercarlo?INTRODUCCINEvaluacin diagnsticaB129B1Resuelve problemas aritmticos y algebraicos1. Lee con cuidado la siguiente situacin, quiz te sea familiar.Viernes por la tardeUf, qu semana!, el maestro de Matemticas nos dej 50 ejercicios de tarea para el lunes y dijo que haba que entregar por lo menos 4/5 de ellos para que contara la tarea expresRoberto.AmdijoLaura,lamaestrade Tallernosencargunresumen sobre el terremoto de 7.5 grados que ocurri en Mexicali. Pues a m me encargaron una investigacin sobre el nmero replic Fernando.Pues djense de lamentaciones y apurmonos para llegar al centro comercial y aprovechar las rebajas del 30% y 50% en toda la ropa, que vi un pantaln que est sperfnaliz Marta.Responde brevemente las siguientes preguntas.a)Qu tipo de nmero es 50? _____________________________________________b)Qu tipo de nmero es 4/5? _____________________________________________c)Qu tipo de nmero es 7.5? _____________________________________________d)Qu tipo de nmero es ? ______________________________________________e)De qu otra forma se puede representar 4/5? _______________________________f) De qu otra forma se puede representar 7.7? _______________________________g)De qu otra forma se puede representar 30%? ______________________________Actividad introductoriaFORMAS DISTINTAS DE NMEROS POSITIVOS30B1B12.Lasiguientefgurarepresentaunrecibotelefnico.Obsrvalodetenidamentee identifca los rubros o campos donde hay nmeros y responde lo que se te pide.a) En qu rubros aparecen nmeros naturales?b) En qu rubros aparecen nmeros decimales?c) En qu rubros aparecen nmeros negativos?d) En qu rubros aparecen porcentajes?e) Cunto pagar el Sr. Alberto en su prximo recibo telefnico si hablara 256 minutos a Estados Unidos y 30 minutos a su hermano que vive en Espaa?Enlasactividadesanterioresidentifcastediferentestiposdenmeros;por ejemplo,elnmerodefacturadelrecibotelefnico,elnmerodeminutos incluidos o el nmero de ejercicios que le encargaron a Roberto son nmeros naturales;elcostoporminutoadicionalolaintensidaddeltemblorson nmeros decimales; los 4/5 del nmero de ejercicios de Roberto es un nmero B131B1Resuelve problemas aritmticos y algebraicosLos nmeros naturales tienen las siguientes propiedades:El 1 es el primer nmero natural.Todo nmero natural (n)tieneunsucesor (n + 1).Todo nmero natural (n), excepto el 1, tiene un antecesor (n 1).El conjunto de nmeros naturales es infinito. Cmo se puede mostrar que el conjunto de nmeros naturales es infnito? El nmero 1, por qu no es primo?racional;elpagooelcrditoporredondeoesunnmeronegativo;esun nmero irracional; los descuentos o los impuestos se expresan en porcentajes, y todas estas representaciones son nmeros reales.Acontinuacinanalizaremoslaspropiedadesaritmticasdelosnmeros positivos- Hay que el recordar que:Laaritmticaeslaramadelasmatemticasqueestudialas estructurasnumricaselementalesysuspropiedades,ascomo las propiedades de las operaciones que se realizan entre ellos.Lasoperacionesaritmticasfundamentalesson:suma(+),resta(-), multiplicacinoproducto(,,()()),divisin(/,,),potenciacin(an), radicacin () y logaritmacin.El primer conjunto de nmeros que vamos a analizar es el de losnaturales. Estos nmeros son los ms antiguos que el ser humano utiliza, pues aparecieron en la prehistoria ante la necesidad de contabilizar o enumerar sus pertenencias. Enlaactualidadtienenlamismafuncin;losutilizamos,porejemplo,para contar la edad, las materias en la escuela, los hijos por familia o los habitantes en una ciudad.Unadelascaractersticasmsimportantesesquetodonmeronatural distinto de 1 puede clasificarse como nmero primo o nmero compuesto.Unnmeroprimo(p)esaquelquesloadmiteexactamentedosdivisores distintos,launidad(1)ylmismo(p);porejemplo:2,3,5,7,31,51,83,son nmerosprimos.Mientrasqueunnmerocompuestoesaquelquepuede representarsecomoelproductodedosomsprimos,comolapotenciade unnmeroprimoocomoelproductodepotenciasdedosomsnmeros primos; por ejemplo:210 = 2357(producto de nmeros primos distintos)32 = (2)5(potencia de un nmero primo)144 = (2)4(3)2 (producto de potencias de nmeros primos)Lo anterior es lo que establece el:TeoremaFundamentaldelaAritmtica:Todoenteronoprimo distinto de 1 se puede representar de forma nica como producto de factores primos, salvo por el orden de los factores. 32B1B1FactorizacinFactorizarunnmeroesexpresarlocomoelproductodetodossusfactores primos en relacin con el Teorema Fundamental de la Aritmtica.Antesderealizarlafactorizacindeunnmeroesconvenienteidentificar culesnmerosprimoslodividepuesestosimplificatrabajo;paraello,es necesario recordar algunos de los criterios de divisibilidad ms frecuentes.Divisiblepor:Criterio Ejemplo2 Unnmeroesdivisiblepor2 sieldgitodelasunidadeses mltiplo de 2, es decir, si es 0 o un nmero par.436, 784, 530, 348, 132El dgito de la unidades es 0. mltiplo de 2.3 Unnmeroesdivisiblepor3 cuandolasumadelosvalores numricosdelosdgitosquelo forman es mltiplo de 3.471,4 + 7 + 1 = 1212 es mltiplo de 35 Unnmeroesdivisiblepor5si eldgitodelasunidadeses0o 5.425, 780, 345, 10007 Unnmeroesdivisiblepor7si ladiferenciaentreelnmero sin el dgito de las unidades y el doble del dgito de las unidades es 0 o mltiplo de 7.147, 14 (2)(7) = 14 14 = 0651,65 (2)(1) = 65 2 = 63La diferencia es 0 o mltiplo de 711 Un nmero es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de los dgitos que ocupan los lugares pares y la suma de los dgitos que ocupan los impares, es 0 o mltiplo de 11.lugares impares 2 3 12 + 1 - 3 = 0lugares pareslugares impares6 1 8 2(6 +8)-(1+2) =14-3 = 11 lugares paresParafactorizarunnmerocomoproductodeprimosserealizaelsiguiente procedimiento:se coloca el nmero sobre una raya horizontal y se traza una raya vertical a la derecha del mismo. Tabla 1. Criterios de DivisibilidadB133B1Resuelve problemas aritmticos y algebraicos210Utilizando la tabla de los criterios de divisibilidad observamos que es divisible por2(terminaen0),por3(lasumadesusdgitosesmltiplode3),por5 (termina en 0) y por 7 (21 2 x 0 = 21,mltiplo de 7).Se coloca a la derecha de la raya vertical el primer primo que divida al nmero (en este ejemplo el 2) y se realiza la divisin. El resultado (105) se coloca a la izquierda de la raya vertical abajo del nmero.210 2105Se contina la divisin entre los siguientes nmeros primos hasta que el ltimo resultado sea 1. 210 2 210 2 210 2105 3 105 3 105 335 35 5 35 57 7 7 1 Siunfactorprimodividemsdeunavezaunnmero,sepasaalsiguiente nmero primo hasta que ya no se pueda dividir por el anterior.360 2180 2 90 3 45 3 15 3 5 51Acontinuacinanalizaremosalgunosejemplosdelaaplicacindela factorizacinde nmeros.34B1B1Ejemplos1.Roco corre los lunes, mircoles y viernes. La semana pasada corri el mircoles un kilmetromsqueellunesyelviernesunomsqueelmircoles. Sisesabeque el producto de los kilmetros que corri Roco es 990, cuntos kilmetros corri Roco?Solucin:Necesitamostresnmerosconsecutivoscuyoproductosea990;al factorizarlo tenemos:990 2 Si observamos la factorizacin vemos que los dos factores tres nos originan el factor 9, el factor 2 y el factor 5 origina el factor 10 y tenemos el factor 11; por lo que los nmeros buscados son 9, 10 y 11.Por lo tanto, la semana pasada Roco corri 30 km.495 3165 355 511 1112.RobertolellevaunaoasunoviaLeticia.Sielproductodesusedadeses600, cuntos aos tiene cada quien?600 2 Solucin: Se requieren dos nmeros consecutivos cuyo producto sea 600; y al factorizarlo tenemos:Observandolafactorizacinvemosque(23)(3)=24y52=25; esto es, los nmeros buscados.Porlotanto,lasedadesdeRobertoyLeticiason25y24, respectivamente.300 2150 275 325 55 51La factorizacin como producto de nmeros primos es bsica para el clculo delMnimoComnMltiployelMximoComnDivisor,queasuvezse utilizan en las operaciones con fracciones comunes y fracciones algebraicas o en la simplificacin de fracciones y la factorizacin de expresiones algebraicas. Adems,seutilizaenlasimplificacindeoperacionesconradicales,como veremos posteriomente.B135B1Resuelve problemas aritmticos y algebraicosActividad Factoriza los siguientes nmeros:1. 7206. 15122. 840 7. 74253. 256 8. 37804. 496 9. 90725. 484 10. 4290Unadelasaplicacionesdelafactorizacionennmerosprimosesparael clculo del Mnimo Comn Mltiplo y del Mximo Comn Divisor. Dadosdosomsnmerosnaturales,sedefinesuMnimoComnMltiplo (MCM) como el menor de los mltiplos comunes a ellos, y el Mximo Comn Divisor (MCD) como el mayor de los divisores comunes.Para calcular el MCM de dos o ms nmeros, factorizamos simultneamente dichosnmeroscomoproductodeprimos.Sienelproceso,algunodelos nmeros no es divisible por el nmero primo que s divide a los otros nmeros, ste se baja y se divide hasta que el siguiente nmero primo lo divida. Se ilustra mejor con los siguientes ejemplos:Ejemplos 1. Calcular el MCM de 720 y 484.Solucin: Aplicando los criterios de divisibilidad observamos que 720 es divisible por 2, 3 y 5, mientras que 484 lo es por 2, 3 y 11.MNIMO COMN MLTIPLO Y MXIMO COMN DIVISOR36B1B1Al realizar la factorizacin simultnea tenemos:720 484 2 Como 121 no es divisible por 2 ni por 3 ni por 5 se baja hasta que fue dividido por 11.El proceso termina cuando el ltimo resultado es 1.Elprocesoterminacuandoelltimoresultadoen ambas factorizaciones es 1.ElMCMeselproductodetodoslosfactoresprimos queaparecenenladescomposicin;esdecir,elMCM de 720 y 484 es(2)4(3)2(5)(11)2 = (16)(9)(5)(121) = 87,120360 242 2180 121 290 121 245 121 315 121 35 121 5 1 121 11 1 11 11 1 12. Hallar el MCD de 660 y 480.Solucin: Aplicando los criterios de divisibilidad tenemos que 660 es divisible por 2, 3, 5 y 11, mientras que 480 lo es por 2, 3 y 5. Entonces los factores comunes son 2, 3 y 5.660 480 2 El proceso para calcular el MCD consiste en empezar a dividir cada nmero por el factor primo ms pequeo tantasvecescomoseaposible,ycontinuarconel siguiente hasta agotar los divisores comunes. El MCD eselproductodelosfactoresqueaparecenenla factorizacin, en este caso (22)(3)(5) = 60330 240 2165 120 355 40 511 8EnelprocesodecalcularelMCDesimportanteobservarelltimoresultadoque apareceenlafactorizacindeambosnmeros,elcualllamaremosfactorrestante, pues al multiplicar el MCD por el factor restante obtenemos el nmero original, es decir,60(11) = 660y60(8) = 480Esteresultadoesimportantecuandosetienenquesimplificarfraccionessimpleso algebraicas.3. Hallar el MCM y el MCD de 80, 120 y 160.B137B1Resuelve problemas aritmticos y algebraicos80 120 160 2 * Se divide cada uno de los nmeros entre el nmero primo ms pequeo que divida a alguno de ellos y se contina hasta que ninguno se pueda dividir.Si algn nmero no se puede dividir se baja.Si todos son divisibles se marca el factor primo.40 60 80 2 *20 30 40 2 *10 15 20 2 5 15 20 25 15 10 25 15 580 120 160 2 * Secontinaconelsiguienteprimohastaquela ltima fila de resultados sea 1.ElMCMeselproductodetodoslosnmeros primos que aparezcan en la factorizacin, mientras queelMCDeselproductodelosfactoresprimos marcados.As pues, el MCD es 26 x3 x 5 = 960, y el MCD es 23 x 5 = 4040 60 80 2 *20 30 40 2 *10 15 20 2 5 15 20 25 15 10 25 15 5 355 5 5*1114. Hallar el MCD y el MCM de 252, 360 y 882.252 360 882 2 * El MCD es (2)(3)2 = 2(9) = 18El MCD es (2)3(3)2(5)(7)2= (8)(9)(5)(49)= 17,640126 180 441 2 6390 441 2 6345 441 3 *2115 147 3 *75 49 571 49 711 7 7111Veamos problemas que se resuelven con el clculo del MCM o el MCD.5. La maestra de Matemticas tiene 3 alarmas; la primera suena cada 60 minutos para indicarle la hora de entrar o salir de clase; la segunda suena cada 150 minutos para recordarle hablar a su casa y saber acerca de la situacin de su madre enferma; y la 38B1B1tercera cada 360 minutos para recordarle tomar su medicina. Cada cunto tiempo suenan las tres alarmas simultneamente? Si sonaron a las 9:50 a.m., a qu hora volvern a sonar juntas otra vez?60 150 360 2El MCM es (2)3(3)2(5)2 = (8)(9)(25)= 1800Las alarmas sonarn simultneamente cada 1800 minutos, es decir, cada 30 horas.Las alarmas volvern a sonar simultneamente a las 15:50 del da siguiente.30 75 180 215 75 90 215 75 45 35 25 15 35 25 5 51 51 5111 6. Un carpintero va a elaborar mesabancos de paleta cuadrada para una escuela. Para ello dispone de varias lminas de madera triplay de 768 cm de largo por 288 cm de ancho. Cul es la longitud de los cuadrados que puede recortar de cada lmina de tal manera que no desperdicie madera?, cuntas paletas puede recortar?768 288 2 El MCM de 768 y 288 es (2)5(3) = (32)(3) = 96Entonces el lado del cuadrado que debe recortar es de 96 cmAl dividir 768/96 = 8 y 288/96 = 3 tenemos que puede recortar (8)(3) = 24 paletas.384 144 2 192 72 2 96 36 2 48 18 2 24 9 2 12 9 2 6 9 2 3 9 3 1 3 31 1B139B1Resuelve problemas aritmticos y algebraicosActividad I. Calcula el MCD y el MCM de:1. 90 y 724. 180 y 692. 18 y 24 5. 50 y 603. 216 y 212 6. 50, 60 y 40II.Resuelve los siguientes problemas:1.Sequierereemplazarelpisodeunacocinade1620cmdelargopor980cmde anchoconazulejoscuadradoslomsgrandesposiblesyenteros.Culserla longitud del lado de cada azulejo?2.Unfaroseenciendecada12segundos,otrocada18segundosyuntercerocada minuto. A las 6:30 de una tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volvern a coincidir en los cinco minutos siguientes.3.Unviajerovaalaciudadde Veracruzcada18dasyotrocada24das.Hoyhan coincidido los dos ah. Dentro de cuntos das volvern a estar los dos a la vez en esa ciudad?4.Una sirena toca cada 450 segundos, otra cada 250 segundos y una tercera cada 600 segundos. Sialas4a.m.hancoincididotocandolastres,aquhoravolverna tocar otra vez juntas?5.Untrozodecartulinamide1mpor45cmyquierodibujarenellaunacuadrcula delmayortamaoposiblecadacuadrado.Culserelladodelmayorcuadrado posible?6.Vanessa est construyendo una maqueta y dispone de 3 listones de 180, 250 y 300 cm de largo, respectivamente. Para hacer la base de una casa desea cortar los tres listones en trozos de igual tamao, sin que sobre nada.a)Culdebeserlalongituddecadatrocitoparaqueelnmerodecortesseael menor posible? b) Cuntos trozos de ese tamao saldrn de cada listn?7.Cuntopesa,comomnimo,unpaquetequepuedeserpesadoexactamente utilizando slo pesas de uno de estos tres tipos: 20 cg, 125 cg y 1 cg?8.Tres coches salen al mismo tiempo de una poblacin para hacer el servicio de tres lneas distintas. El primero tarda 7 horas en volver al punto de partida y se detiene en ste 1 hora; el segundo tarda 10 horas y se detiene 2; el tercero tarda 12 horas40B1B1ysedetiene3.Cadacuntotiemposaldrnalavezlostrescochesdedicha poblacin?9.Elviratienedostablonesdemaderaydecideconstruirunaestanterapara colocar sus casetes de msica. Uno de los tablones mide 48 cm y el otro 24 cm. Quiere cortarlos en trozos que midan lo mismo y sean lo ms largos posible; no debe sobrar nada.a) Cunto medir cada parte? b) Cuntos trozos obtiene de cada tabln?10.Luis quiere cercar una parcela rectangular de 52 m de largo por 40 m de ancho, y cuyas estacas se encuentran a igual distancia una de otra.a) Cul ser la mayor distancia, en metros, entre las estacas? b) Cuntas tendr que poner?11.En una ciudad hay tres lneas de autobuses: A1, A2 y A3, que tienen una parada comn en la plaza. El autobs A1 pasa por la plaza cada 6 minutos, el A2 cada 3 y el A3 cada 8. Si salen a las 7:00 de la maana, a qu hora volvern a coincidir?12.Enelcolegiohaydosactividadescomplementarias:ungrupodeteatroquese rene cada 4 das para ensayar, y un equipo que elabora una revista y se rene cada 5 das. a) Cada cuntos das coinciden los dos grupos? b) Si el da 30 de octubre coincidieron, cundo lo volvern a hacer?13.Unobrerode GASS.A.debeabrirunazanjadelongitudinferiora50m,para hacer una instalacin del gas. Si abre cada da 4 m, le queda 1 m para el ltimo. Si cada da hace 7 m le quedan 3 m, y si abre 5 m cada da, hace todos los das el mismo trabajo. a) Cul es la longitud de la zanja? b) Cuntos das tarda en hacer el trabajo si abre 5 m todos los das?14.Marta tiene una caja de bombones y le dice a su to que se la regala si averigua cuntoshay.Paraayudarleledice:lacajatienemenosde60bombones;silos cuento de 9 en 9 no sobra ninguno, y al contarlos de 11 en 11 sobra 1. Cuntos bombones hay en la caja?15.Juan tiene una coleccin de cromos que puede agrupar de 5 en 5, de 4 en 4 o de 3 en 3, sin que le sobre ni le falte ninguno. Cul es el menor nmero de cromos que puede tener? 16.Uncoche,unamotoyunabicicletadanvueltasenuncircuitoautomovilstico; todos parten de la meta al mismo tiempo. El coche tarda en recorrer el circuito 5 minutos, la moto 2 y la bici 20. a) Cunto tiempo debe transcurrir para que vuelvan a coincidir en la meta los tres vehculos?b) Y para que lo hagan la moto y la bici?B141B1Resuelve problemas aritmticos y algebraicos17.ParahacerunasprcticasenellaboratoriodeFsicahayquedistribuiralos alumnos en grupos. La profesora se da cuenta de que si los coloca de 2 en 2, de 3 en 3 o de 4 en 4, sobra 1 alumno en todos los casos. Entonces hace grupos de 5 en 5 y observa que no sobra ninguno. Cuntos alumnos hay en clase?18.Tres hermanos tienen unos trozos de cuerda que miden 74 cm, 32 cm y 53 cm, respectivamente. Quieren cortarlos en el menor nmero de trozos posibles, de modo que a cada uno le sobren 4 cm. a) Qu dimensin tiene cada trozo? b) Cuntos trozos de cuerda obtiene cada uno?19.EnunrboldeNavidadhaybombillasrojas,azulesyblancas.Lasrojasse encienden cada 15 segundos, las azules cada 18 y las blancas cada 110 segundos.a) Cada cuntos segundos coinciden los colores de las tres bombillas encendidas?b) Durante una hora, cuntas veces se encienden a la vez?20. Para ir al cine, dos nios no se ponen de acuerdo. Uno va cada 5 das y el otro cada 6. Si coincidieron el da 24 de diciembre: a) cundo volvern a coincidir? b) cuntas veces habr ido cada uno sin coincidir?21.Un alumno quiere cambiar con un amigo cuadernos de $16 pesos por marcadores de $120 pesos. a) Cul es el menor nmero de cada clase que pueden cambiar sin que ninguno de los dos pierda? b) Cul es el valor de lo que cada uno aporta?22. Una pequea fbrica de bombillas necesita colocar 250 bombillas blancas y 75 de bajo consumo de energa en cajas, de forma que no sobre ninguna y sin mezclar ambos tipos en una misma caja.a) Cuntas unidades irn en cada caja? b) Cuntas cajas de cada tipo de bombilla harn falta?23.Tres hijos residentes en diferentes puntos del pastienen por costumbre reunirse consuspadres,elmayorcada15das,elmedianocada10yelmenorcada12 das. Si en Navidad se renen todos:a) Cuntos das pasarn antes de reunirse otra vez? b) Qu da volver a coincidir toda la familia?24.Un individuo se dedica a hacer una marca en un libro cada 125 pginas mientras que otro lo hace cada 80. a) Si el libro tiene 2500 pginas, en qu pgina coincidirn las 2 marcas? b) Y si el libro tiene 1500 pginas?25.Cul es el menor nmero que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48, en cada caso, da como resto 9?42B1B1Otrotipodenmerosqueidentificasteenlasactividadesanterioressonlas fraccionessimples,comoel4/5delosejerciciosdetareaqueledejarona Roberto.Las fracciones representan nmeros racionales.Un nmero racional es un nmero de la forma ab, conb 0,endondeasellamanumeradorybdenominador.Eldenominador indicaencuntaspartessevaadividirunaunidadenterayel numerador cuntas partes se tomarn de ellas.As, 4/5 indica que un entero va a dividirse en cinco partes iguales, de las cuales se tomarn cuatro.Fraccionar se puede referir a dividir una unidad o una cantidad; por ejemplo, 4/5 de 50 significa que 50 se va a dividir en 5 partes iguales (10 unidades cada parte) de las cuales se toman 4 de ellas, es decir 4(10) = 40, por lo que de los 50 ejercicios que le dejaron a Roberto, tiene que entregar 40 como mnimo.Las fracciones se clasifican de acuerdo con la siguiente tabla.Fraccin Forma EjemplosPropiaabb a b , , < 014611792753, , , , etcImpropiaabb a b , , > 05385641274513, , , , , etcAparente, bac b 0 ! = c entero6328811829 = = = , , Decimalabb potencia de , 1051012510091000, ,NMEROS RACIONALESB143B1Resuelve problemas aritmticos y algebraicosSimplificacin de fraccionesLasfraccionespropias,impropiasodecimalessonsimplessisunumerador ysudenominadornotienenfactoresiguales,esdecir,sisumximocomn divisores1.Parasimplificarunafraccinseexpresanambos,numeradory denominador, en el producto de su MCD y el factor restante, y se cancela dicho MCDenambos(operacinequivalenteadividirnumeradorydenominador entre su MCD).Ejemplos 1. Simplificar 2460Solucin:AlcalcularelMCDde24y60obtenemos12yalexpresarloscomo producto de ste y el otro factor, tenemos:246012 212 525= =( )( )( )( ) 2. Simplificar 256178

Solucin: 2561788 328 32322111121= = =( )( )( )( ) Lasfraccionesimpropiaspuedenexpresarsedemaneramixtacomolasuma deunnmeroenteroyunafraccinpropiaaldividirelnumeradorentreel denominador,dondeelcocienteeselnmeroenteroyelresiduoelnumerador delafraccinpropia;porejemplo,1fraccin 3511puederepresentarsecomo:

11353112=pues al dividir tenemos:311 352Donde el cociente (3) es el nmero entero y el residuo (2) es el numerador de la fraccin propia.Porotraparte,podemosexpresarunafraccinmixtacomounafraccincomnal 44B1B1Actividad multiplicar el nmero entero por el denominador de la fraccin propia y sumando el numerador.3253 5 2515 25175=+=+= Realiza lo que se te pide.I. Simplifica las siguientes fracciones.1. 36155. 561442. 18246. 251253. 45607. 12844. 7826 8. 2472II. Expresa en forma mixta las siguientes fracciones impropias.1. 37155. 1561442. 58246. 7251253. 85607.93844. 77268. 12475III. Convierte a fraccin simple las siguientes fracciones mixtas.1. 318 2. 5 617B145B1Resuelve problemas aritmticos y algebraicos3.8 7156.413164. 7597. 115195.11238. 61017Representacin decimal de las fraccionesLas fracciones comunes tienen una representacin decimal, la cual se obtiene al dividir el numerador entre el denominador, es decir: abb a el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor.Por ejemplo, la representacin decimal de 2/5 es0.40.45 2.0 0La representacin decimal de5/16 es 0.31250.312516 5.00002040800Comopuedesobservar,larepresentacindecimaldeunnmeroracional puede ser finita o infinita.Lapartedecimalinfinitaesperidica,esdecir,ciertosdecimalesserepiten infinitamente.El periodo se escribe con una raya sobre ella:La representacin decimal de 2/3 es 0.646B1B1 0.663 2.0020 2Ascomoesposibleconvertirunafraccincomnenunnmerodecimal, tambinesposibleconvertirunnmerodecimalenunafraccincomn, segn la estructura del nmero decimal.Si tenemos un nmero decimal finito, por ejemplo 3.75 (tres enteros, setenta y cinco centsimos) se escribe de la siguiente forma.Enelnumeradorcolocamosdichonmerosinelpuntodecimal;enel denominador el nmero que da nombre a la parte decimal (en este caso 100), es decir, un 1 seguido de tantos 0 como dgitos decimales tenga la parte decimal, y se simplifica la fraccin resultante: 375100Al simplificar tenemos:Si hay un decimal peridico puro, por ejemplo 1.6, se procede de la siguiente forma:En el numerador se escribe la diferencia entre el nmero escrito sin el punto y la parte entera; en el denominador tantos 9 como dgitos tenga el periodo, y se simplifica:916 19153(3)3(5)35 -= = = Si tenemos nmero decimal de periodo mixto, por ejemplo 6.416 , procedemos de la siguiente manera:Enelnumeradorescribimosladiferenciaentreelnmeroescritosinel puntodecimalmenoselnmerosinlaparteperidica;eneldenominador colocamos tantos 9 como tiene el periodo seguido de tantos 0 como cifras no peridicas tenga, y se simplifica, si es posible:6416 641900577590075 7775 127712-= = =( )( )Actividad B147B1Resuelve problemas aritmticos y algebraicosActividad I. Convierte a nmero decimal las siguientes fracciones simples:1. 36155. 561442.2.1.1256. 251253. 45607. 12844. 78268. 2472II. Convierte a fraccin simple los siguientes nmeros decimales.1.0.255.0.632. 1.1256.1.5714283.1.357.1 5 .4. 1.727 8.1 453 .Orden de los nmeros racionalesComparando fracciones resuelve los siguientes ejercicios:1.Durante una fiesta, Laura reparti pizza a sus invitados. A Luis le dio 1/8, a Mariana 1/6, a Pablo 2/9 y a scar 3/16. Quin comi ms pizza?2.Enlaconstruccin,lasvarillasseclasificansegnsuespesor.Quvarillaesms gruesa,una de 3/8o una de1/2?3. Gilberto, Martn y Jess compraron un lote de discos compactos. Gilberto puso 1/3 del costo, Martn 3/8 y Jess el resto.Actividad 48B1B1a) Quin puso ms? b) Si el lote cost $720, cunto puso Martn?Existendiversasformasderesolverlosproblemasanteriores;sinembargo, la forma ms simple y directa es comparar dos fracciones directamente de la siguiente manera:Semultiplicademaneracruzadalosnumeradoresylosdenominadoresyel orden que guarden los productos, es el orden que guarda las fracciones.Puesto que 1/8 es menor que 1/6, concluimos que Mariana comi ms que Luis. Al comparar las otras fracciones tenemos:Despusderealizarlascomparaciones,concluimosque2/9eslafraccin mayor, por lo quePablo es quien comi ms pizza.Verificalosotrosejerciciosdelaactividadutilizandoestemtodode comparacin.Algunas sugerencias para comparar dos fracciones son las siguientes:a)Dedosfraccionesconigualnumerador,esmayorlademenor denominador: 3538>

Actividad B149B1Resuelve problemas aritmticos y algebraicosb)Dedosfraccionesconelmismodenominador,esmayorlademayor numerador:716416>Sialcomparardosfraccioneslosproductossoniguales,entoncesambas fraccionesrepresentanalmismonmeroracionalydecimosquedichas fracciones son equivalentes:

364834=pues 364 = 483 = 144I. Ordena en forma descendente las siguientes fracciones: 1.3/8, 4/9, 9/16, 11/25 2.5/8, 11/24, 7/8, 8/9II. Ordena en forma ascendente las siguientes fracciones: 1.6/7, 4/3, 8/9, 5/8, 9/162.6/7, 8/16, 9/15, 4/7PorcentajesUncasoparticulardelasfraccionesdecimalesescuandoeldenominador es100,puesnospermitencalcularelporcentajedeunacantidad;esdecir, cuando una cantidad se divide en 100 partes y se toma de ellas lo que indica el numerador:451000 45 45 = = . % 81000 08 8 = = . %Entonces, calcular el tanto por ciento de una cantidad consiste en multiplicar el porcentaje en su forma decimal por la cantidad de la cual se quiere calcular dicho porcentaje. As, el 80% de 50 es:0.8(50) = 40Actividad El valor de un hombre es como una fraccin cuyo numerador corresponde a lo que l es, en tanto que el denominador es lo que cree ser. Cunto ms grande es el denominador, ms pequea es la fraccin.Len Tolstoi (1828 - 1910) Novelista ruso50B1B1Porcentajes1.Observacuidadosamentelasimgeneseidentificalosdiferentescontextosen donde se utiliza el concepto de porcentaje. Anexo Estadstico (2000) Censo Estadstico INEGI Distribucin de la Poblacin Extranjera en Mxico OrigenPoblacinHombresMujeres Estados Unidos343,59150.5%49.5% Espaa23,95747.7%52.3% Argentina21,02453.8%46.2% Guatemala6,46550.5%49.5% Colombia6,21546.1%53.9% Canad5,76850.5%49.5% Francia5,72351.1%48.9% Alemania5,59556.2%43.8% Italia3,90464.6%35.4% Chile3,84849.0%51.0% Per3,74952.0%48.0% Honduras3,72242.0%58.0% Japn2,93652.3%47.7% Reino Unido2,68652.2%47.8% Suiza 1,47857.8%42.2% Resto de Amrica33,63948.6%51.4% Resto de Europa7,70049.4%50.6% Resto de Asia8,55357.7%42.3% frica98659.3%40.7% Oceana7,70049.4%50.6% Actividad B151B1Resuelve problemas aritmticos y algebraicosII. Utiliza la informacin de las imgenes para resolver los siguientes problemas.1.Si el dije que tiene 40% de descuento tiene un costo de $1250 cunto se pagar por l?2. De acuerdo con la informacin de la tarjeta Master Card, la tasa de inters anual por incumplimiento es de 23.99%, cul es la tasa de inters mensual?52B1B13. El Sr. Carmona quiere comprar el televisor RCA de la publicidad. a)Calcula el costo del televisor si tiene 20% de descuento.b)Cul es el costo del televisor si se compra a 12 meses?c)Cul es el inters por la compra a crdito?d)Si se paga con una tarjeta Master Cardy se atrasa en tres pagos, cunto ms pagar el Sr. Carmona con respecto al precio a crdito? e)Y con respecto al precio de lista?4. De acuerdo con el Anexo Estadstico del INEGI: a) Cuntas mujeres vivan en Estados Unidos en 2000? b) Cuntos hombres en Japn? c) Cuntas mujeres en frica? d) Qu porcentaje del total de la poblacin viva en Canad?Se tratar el tema del porcentaje con ms detalle en el siguiente bloque.Consideremosunsegmentodelarectanumricaydibujemosuntringulo rectngulo,deladounaunidadconunvrticeenelnmero0yuncateto1 sobredichosegmento. Ahora,concentroen0yradioenlahipotenusadel tringulo, trazamos un arco hasta el segmento de recta y marcamos el punto de corte; cul es la longitud desde 0 a este punto? Al aplicar el teorema de Pitgoras a este tringulo tenemos que: 1Recuerdaqueenuntringulorectnguloelladomayorrecibeelnombredehipotenusayloslados menorescatetos. NMEROS IRRACIONALESB153B1Resuelve problemas aritmticos y algebraicosActividad OP22 21 1 2 = + =donde la longitud es un nmero tal que elevado al cuadrado su resultado sea 2, es decir, OP = 2ste es un nmero irracional, no puede representarse como un nmero racional pues no existe ninguna fraccin simple cuya expresin decimal sea igual a2.Todos estos nmeros, junto con los enteros negativos que analizaremos ms adelante, forman el conjunto de los nmeros reales.Problemas aritmticos yjerarqua de operaciones.Realiza las operaciones necesarias y simplifica el resultado en cada problema1. En la clase de Matemticas, el maestro pregunt: cunto es la mitad de dos msuno. Carorespondique1.5;Rosadijoqueelresultadoes2.Quin tiene razn? Justifica tu respuesta.2. El seor Surez compr un terreno trapezoidal como el que se muestra en la figura y lo quiere cercar y empastar para trazar ah un campo de futbol. Sielmetrolinealdemallaparacercarlocuesta$60ylasemilladepasto para cubrir un metro cuadrado cuesta $1.5, cunto tendr que pagar el Sr. Surez?3. Luisa aprovecha las ofertas de fin de temporada de una boutique y compra una blusa que cuesta $250 pero que tiene 25% de descuento; un pantaln de$475con30%dedescuentoyunoszapatostenisde$1250quetienen 60% de descuento. a) Cunto pag Luisa por su compra? b)Cunto dinero ahorr?54B1B14. Realiza las operaciones necesarias y simplifica el resultado.( ) ( )( )( )( )2 56 643 43 279343- + =5.Observalasiguientegrficaquerepresentaladistanciarecorridaporun automovilistaquefuedecomprasaunpueblovecino,conrelacinal tiempo. a) Qu distancia recorri durante la primera hora?b) Y durante la segunda?c) A qu distancia de su casa estaba el lugar donde realiz sus compras?d) Cunto tiempo emple para hacerlo?e) Qu hizo el automovilista durante la ltima hora y media?f) Cul fue su rapidez durante la primera hora?, y durante la segunda?g) Con qu rapidez volvi a su casa?Lasoperacionesaritmticaslasutilizamospararesolverunciertotipode problemas relacionados con los nmeros, es decir, problemas aritmticos.Unproblemaaritmticoesunasituacinrealoimaginaria planteada en forma verbal o escrita que se resuelve mediante la realizacin de algunas de las operaciones bsicas.Enlaresolucindeproblemasaritmticosesindispensablecomprenderla JERARQUA DE OPERACIONESB155B1Resuelve problemas aritmticos y algebraicossituacin planteada y as establecer el orden en que se realicen las operaciones.Analicemos el problema 1 de la actividad anterior. Cunto es la mitad de dos ms uno?Las respuestas dadas por Caro y Rosa tienen cierta lgica.Caro la entendi as: ( ).2 121 5+=pero Rosa lo entendi as:

221 2 +=Deacuerdoconlajerarquadeoperaciones,Rosaestenlocorrectopuesla divisin tiene prioridad sobre la suma. En general, el orden de las operaciones es el siguiente:Si aparecen operaciones combinadas de suma, resta, multiplicacin, divisin, potenciacin o radicacin, el orden en que deben realizarse es: Potenciacin y radicacin, en el orden que aparezcan Multiplicacin y divisin, en el orden que aparezcan Al final, las sumas y las restasEn muchas ocasiones es necesario colocar las operaciones dentro de smbolos de agrupacin: ( ), [ ], o { }.Siaparecensmbolosdeagrupacinanidados(unodentrodeotro),primero serealizanlasoperacionesdentrodestosrespetandoelordenindicadoy empezando por el smbolo ms interno.As, el costo del cercado y del empastado del problema 2 es60 150 90 200 80 1 5200 150 75260 520 1 535( ) .( )( )( ) .(+ + + ++ = +00 75231200 1 5 13125 31200 19687 5)( ), . ( ) , .= + = + =50,887.50 0 (primerolasoperacionesdentrodelosparntesis,despuslasoperaciones dentro de los corchetes, y al final, la suma).La solucin del problema 4 es:( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )2 56 643 43 2798 56 83 48139343- + = - +(primero las potencias y las races)56B1B1Actividad = - + = - + 404812243940 4 27 (despus las multiplicaciones y las divisiones)40 4 27 63 - + =(al final, las sumas y las restas)EjemploResuelve las operaciones indicadas.8 + 2{16 4[18 3(2 + 3)]}8 + 2{16 4[18 3(2 + 3)]} = 8 + 2{16 4[18 3(5)]} = 8 + 2{16 4[18 15]} = 8 + 2{16 4[3]} = 8 + 2{16 12} = 8 + 2{4} = 8 + 8 = 161. 5 3 12 8 + - ( )=5. 25 32 2 5 25 3 + ( ){ }=2. 18 34 2 - - ( )= 6. 12 53 4 18 3 12 7 + + ( ){ }=3.6 5 20 23 4 + + ( ) =7. 9 3 18 2 10 6 520 3 12 2 10 8 + ( ){ }+ ( ){ }=4.65 2 8 3 12 5 + ( ) = 8. 626 4 15 3 12 9 340 3 16 2 15 8 ( ){ } ( ){ }B157B1Resuelve problemas aritmticos y algebraicosUnmodelomatemticoeslarepresentacindeunfenmeno osucesomedianteunesquema,unaecuacinofrmula,una expresin algebraica o un diagrama.Lafrmulaqueutilizasparacalcularelpermetrodeuncuadrado(P=4l),la superficiedeuncrculo(A=r2)ountrapecio( AB b h=+ ( )2),oelvolumen deuncilindro(V=r2h),ascomolafrmulaparacalcularlarapidez constanteopromediodeunmvil( vdt=)sonejemplosdemodelos matemticos. El esquema para resolver el problema 2 de la actividad anterior, 60 150 90 200 80 1 5200 150 752( ) .( )( )+ + + ++, tambin representa un modelo matemtico.Otro tipo de modelo matemtico importante es el de las grficas; por ejemplo, la grfica del problema 5 de la segunda actividad nos permite describir lo que hizounautomovilistadurante6horas.Enlaprimerahorarecorri50kmy en la segunda,150 de tal manera que el conductor se alej 200 km del punto de partida. Estuvo detenido (realiz sus compras) durante 2 12h y despus regres al punto de partida.Desde que sali hasta que se detuvo condujoconunarapidezmedia de100km/hyregresasucasa conunarapidezmediade 133 13 km/h.PROBLEMASARITMTICOSY MODELOSMATEMTICOS58B1B1El lenguaje algebraico es el lenguaje que utiliza letras, nmeros y signos para expresar situaciones del lenguaje comn en lenguaje matemtico.Enellenguajealgebraico,lasliteralesrepresentanvaloresnumricosy porlotantoseoperancomotalesytienentodaslaspropiedadesdelos nmeros. Las frmulas que se utilizan en Geometra o Fsica son ejemplos de lenguaje algebraico, una especie de traduccin de lenguaje comn a lenguaje matemtico. As pues, en la frmula del permetro de un cuadrado:P = 4Lentendemos: el permetro de un cuadrado es el cudruple de su lado; o en el caso del rea de un tringulo, Abxh=2entendemos: el rea de un tringulo es la mitad del producto de su base y su altura.El lenguaje algebraico se basa en la represetacin de expresiones comunes por medio de expresiones algebraicas.Una expresin algebraica2es la combinacin de nmeros y letras relacionadas mediante las operaciones aritmticas bsicas.Las literales que aparecen en ellas se llaman variables y representan nmeros reales en general.En el planteamiento de modelos para la resolucin de problemas algebraicos 2Msadelanteseharunanlisismsprofundodelascaractersticasgeneralesdelasexpresiones algebraicas.LENGUAJE ALGEBRAICOB159B1Resuelve problemas aritmticos y algebraicosesnecesarioconocerlaequivalenciaentreellenguajeverbalcotidianoyel lenguajealgebraico.Paraesto,consideraelsiguientelistadodepalabrascon surespectivosignificadoalgebraico,elcualesindispensableaprenderpara suposterioraplicacin,especialmenteenelplanteamientodeproblemas verbales.Operacin OperadorSuma, ms, adicin, agregar,aumentar, aadir+Menos, diferencia, disminuido, exceso, restar -Mltiplo de, del, veces, producto, por, factor , ()(), /,Dividir, cociente, razn, es a /Igual, es, da, resulta, se obtiene, equivale a =EnunciadoExpresin algebraicaUn nmero cualquiera xAntecesor de un nmero cualquiera x-1Sucesor de un nmero cualquiera x + 1Cuadrado de un nmero cualquiera x2Cubo de un nmero cualquierax3Doble de un nmero, duplo, dos veces, nmero par, mltiplo de 22xTriple de un nmero, triplo, 3 veces, mltiplo de 3 3xCudruplo de un nmero 4x Quntuplo 5xMitad de un nmero, un medio de12 2x oxTercera parte de un nmero, un tercio de13 3x oxNmero impar cualquiera 2x+1 o 2x - 1Semi-suma de dos nmerosx y +2Semi-diferencia de dos nmerosx y -260B1B1Actividad Nmeros consecutivos cualesquiera x, x+1, x+2,.....Nmeros pares consecutivos 2x, 2x+2, 2x+4,....Nmeros impares consecutivos 2x+1, 2x+3, 2x+5, Nmero cualquiera de dos dgitos10x + ySimtrico de un nmero cualquiera -xInverso multiplicativo (recproco) de un nmero diferente de cero cualquiera10xx , La suma de dos nmeros es igual al doble de su diferenciax + y = 2(x - y)Esimportanteresaltarqueenlaexpresinalgebraicax,elcoeficienteyel exponente son 1, por lo cual no se ponen; es decir: x=1x11. Completa la siguiente tabla al colocar la expresin algebraica que corresponda al enunciado.Un nmero aumentado en 5 unidadesUn nmero disminuido en 10 unidadesLa suma de dos nmeros consecutivosEl producto de 3 nmeros cualesquieraLa suma de los cuadrados de dos nmeros cualesquieraLa semidiferencia de dos nmeros cualesquiera El cuadrado del doble de un nmeroEl cociente del cuadrado de un nmeroLa mitad del triple de un nmeroEl cuadrado de la suma de dos nmeros cualesquieraLa raz cuadrada del cociente de dos nmerosEl semiproducto del triple de un nmero y su cuadradoLa semisuma de los cuadrados de tres nmeros consecutivosLa quinta parte del cuadrados de un nmeroB161B1Resuelve problemas aritmticos y algebraicos2. Expresa en lenguaje comn las siguientes expresiones algebraicas.5ax + 9(x + y)3a b +13xy14a b + ( )x yx y+2x 5Lasfrmulasmencionadasanteriormente,ademsderepresentarmodelos matemticos,formanuncasoparticulardeecuacionesdondelavariablea calcularapareceexplcitamenteenfuncindeunaexpresinalgebraicaque, a su vez, depende de las dems variables relacionadas. Es decir, en la frmula del permetro de un cuadrado:P = 4Lla frmula indica que el valor del permetro depende del valor de la longitud de su lado; o bien, la frmula de la velocidad:vdt= indicaquestadependedeladistanciarecorrida(d)ydeltiempoutilizado para ello.VALOR NUMRICO DE UNA EXPRESINALGEBRAICA62B1B1Cuandoasignamosvaloresparticularesalasvariablesdeunaexpresin algebraica, obtenemos su valor numrico:Valor numrico de una expresin algebraica es el resultado que se obtienealreemplazarosustituirenellaslasvariablespresentes por valores numricos previamente determinados.EjemploCompletalasiguientetabladeterminandoelvalornumricodelasexpresiones indicadas.Expresin Valor de las variables Sustituciones y operaciones Resultado2(a + b) a = 2, b = 6 2(2+6) = 2(8) = 16 163 2 a bc+a = 3, b = 3c = 53 3 2 359 651553( ) ( ) +=+= =35 3 2 x y za b+ --a =5, b = 2x= 2, y = -2z = - 3 5 2 3 2 2 35 210 6 63103313( ) ( ) ( ) + - - --=- += =313-+ - b b aca242a = 4, b = -12c = -16- - + - - -=+ +=+=+=( ) ( ) ( )( )( )12 12 4 4 162 412 144 256812 400812 2083282==44vtat+22v = 20, a = -4t = 520 54 521004 252100 50 502( )( )( ) ( )(+ -= + -= - =50Completa las siguientes tablas con los valores de la expresin algebraica dada.1. Vernicafuedevacacionesalranchodesuto,quienvaaparcelarpartedesu terrenoparaelcultivodediversashortalizasyquieresabercuntosmetrosde tela ciclnica debe comprar. Vernica hizo la siguiente tabla para ayudar a su to a calcular la longitud de la tela. Completa la tabla y responde lo que se te pide.Actividad B163B1Resuelve problemas aritmticos y algebraicosHortaliza a b PermetroP = 2a + 2b(m) rea A = ab (m2)Lechuga 25 30 2(25) + 2(30) = 50 + 60 = 110 (25)(30) = 750Pepino 30 40Zanahoria 25 25Cilantro 40 30Perejil 40 20Tomate 50 40Chile 55 45a) Cunta tela debe comprar?______________________________________________ b) Para cul hortaliza utilizar ms tela?_____________________________________c) Cul hortaliza ocupar mayor superficie?___________________________________2. Calcula el permetro y el rea de los trapecios cuyas medidas son las indicadas. Trapecio a b c d h Permetro a + b + c + d reaa bh+21. 8 12 6 6 4 8 + 12 + 6 + 6= 32 8 12242024 10 4 40+= = = ( )2. 6 8 5 7 53. 10 7 4 6 34. 8 16 7 7 45. 11 5 6 6 46. 6 7 3 8 37. 15 10 6 7 58. 10 2 5 5 39. 20 10 8 8 510. 10 4 5 5 43.Calculaelvalordelassiguientesexpresionesalgebraicasparalosvaloresdelas variables indicados.x y z 2x+3y x yz2 2+ 25x zy+ (x+y+z)21. 4 3 8 2(4) + 3(3) = 8+9 =174232816 98258+=+=24 858 85165()+=+=(4 3 + 8)2 = (9)2 = 812. 3 4 83. 8 3 464B1B14. 3 8 45. 8 4 36. 4 8 37. 5 3 28. 3 2 59. 5 8 110. 5 0 31.Elnmero 195 se ha obtenido al multiplicar dos nmeros imparesconsecutivos. Qu par de nmeros se ha multiplicado? 2.Lasumadeloscuadradosdelos5primerosenterospositivoses55.Culesla suma de los cuadrados de los 4 primeros enteros positivos? 3.La suma de los cuadrados de los 20 primeros enteros positivos es 2,870. Cul es la suma de los cuadrados de los 19 primeros enteros positivos? 4.Cul ser el cociente de dividir el nmero que resulta del producto 27 x 31 x 35 x 39 x 43 entre el que resulta del producto 43 x 39 x 35 x 31 x 3? 5.ADaniledijeronquemultiplicaraunnmeropor5y,porerror,loquehizofue dividirlo por 5. La respuesta que dio fue 5. Qu respuesta debera haber dado si hubiera hecho lo que le dijeron? 6.Al repartir cierta cantidad de caramelos entre 18 nios, a cada uno le tocaron 12. Si hubiera habido 6 nios menos, cuntos caramelos habra recibido cada uno? 7.Cul es el mayor nmero que, siendo menor de 2468, es divisor de 2468? 8.Enuntestde50cuestiones,sepunta5puntosporcadarespuestacorrecta,2 puntos por cada respuesta en blanco y 0 puntos por cada respuesta errnea. Si Eva contest 40 cuestiones de las cuales 18 eran correctas, cul fue su puntuacin? 9.Si multiplicramos los 9 primeros nmeros naturales, cul sera la ltima cifra del resultado? 10. Si multiplicramos todos los nmeros enteros desde el 23211 al 23219, cul sera la ltima cifra del resultado? Actividad B165B1Resuelve problemas aritmticos y algebraicosAutoevaluacin1. Es un nmero primo:a) 21 b) 33 c) 43 d)65 e) 772. No es un nmero primo:a) 17 b) 23 c) 79 d)77 e) 293. Es un nmero no divisible por 3:a) 122 b)123 c) 369 d) 174 e) 2554. Es un nmero divisible por 3:a) 134 b)321 c) 458d)784 e) 1465. Representa la factorizacin de 210:a) 2357 b) 2235 c) 3257 d)3527e) 235116. El mximo comn divisor de 36, 80 y 120 es:a) 8 b) 9c)4d) 12e) 367. El mnimo comn mltiplo de 45, 120 y 150 es:a) 1800 b) 3600 c) 1500 d) 1200 e) 365808. La representacin decimal de2536es:a) 0.785 b) 1.44 c)0.694 e)1 44 . d) 1.6949. La fraccin simple equivalente a72288es:a) 1/6 b) 1/4 c) 4 d) 2 e)1/2 10. Es la fraccin mixta de 12511

a)101125b) 9925c)12711d) 4711e) 11411 11. Una fraccin mayor a 67es:a) 1/2 b) 1/4 c) 9/12 d) 12/13 e) 16/2212. El 24% de 4000 es:a) 1200 b) 960 c)720 d) 480 e) 180013. Una camisa tiene un precio de venta de $240 pero por fin de temporada tiene un 25% de descuento. El precio que se paga es:a) 300 b)c) 200 d) 180 e) 1204. 3 8 45. 8 4 36. 4 8 37. 5 3 28. 3 2 59. 5 8 110. 5 0 31.Elnmero 195 se ha obtenido al multiplicar dos nmeros imparesconsecutivos. Qu par de nmeros se ha multiplicado? 2.Lasumadeloscuadradosdelos5primerosenterospositivoses55.Culesla suma de los cuadrados de los 4 primeros enteros positivos? 3.La suma de los cuadrados de los 20 primeros enteros positivos es 2,870. Cul es la suma de los cuadrados de los 19 primeros enteros positivos? 4.Cul ser el cociente de dividir el nmero que resulta del producto 27 x 31 x 35 x 39 x 43 entre el que resulta del producto 43 x 39 x 35 x 31 x 3? 5.ADaniledijeronquemultiplicaraunnmeropor5y,porerror,loquehizofue dividirlo por 5. La respuesta que dio fue 5. Qu respuesta debera haber dado si hubiera hecho lo que le dijeron? 6.Al repartir cierta cantidad de caramelos entre 18 nios, a cada uno le tocaron 12. Si hubiera habido 6 nios menos, cuntos caramelos habra recibido cada uno? 7.Cul es el mayor nmero que, siendo menor de 2468, es divisor de 2468? 8.Enuntestde50cuestiones,sepunta5puntosporcadarespuestacorrecta,2 puntos por cada respuesta en blanco y 0 puntos por cada respuesta errnea. Si Eva contest 40 cuestiones de las cuales 18 eran correctas, cul fue su puntuacin? 9.Si multiplicramos los 9 primeros nmeros naturales, cul sera la ltima cifra del resultado? 10. Si multiplicramos todos los nmeros enteros desde el 23211 al 23219, cul sera la ltima cifra del resultado? 66B1B114. Representa a un nmero irracional:a) 13 b) 36 c)9 d)1 e) 6415. El resultado de 3 25 6443 24 243 33( )( )( )( )+ -+es a) 60 b)59c) 58 d) 57 e)5616. El resultado de es 12 24 16 38 5 + ( ){ }a) 48 b) 68 c) 212 d) 552 e) 6017. La expresin algebraica determinada por el enunciado el cociente de la suma de dos nmeros y su diferencia es:a)( )( ) a b a b + - b)a ba b-+c)a ba b+-d)aba b -e)a bab+18. El significado de la expresin 3x2 +5 es:a) El triple del cuadrado de un nmero aumentado en 5 unidadesb) El cuadrado del triple de un nmero aumentado en 5 unidadesc) El triple de la suma del cuadrado de un nmero aumentado en 5 unidades d) El triple de la suma de un nmero aumentado en cinco unidadese) Ninguna de las anteriores19. El valor numrico de la expresin b b aca+ -242cuando a = 3, b = 10 y c = 3 esa) 1 b) 2 c) 3 d) 4e) 020. El valor numrico de la expresin vtgt+22cuando v = 20, g = 10, t = 8 es:a) 160 b) 480 c) 320 d) 240 e) 640Rubn, un estudiante mexicano que vive en Singapur, se estaba preparando para viajar almundialdeSudfricaypermanecerahdurantetresmesescomoparticipanteen unintercambioestudiantil.NecesitcambiardlaresdeSingapur(SGD)arandsde Sudfrica (ZAR).a)Rubnencontrqueeltipodecambioentrelosdlaresde Singapurylosrandsde Sudfrica era: 1 SGD = 4.2 ZAR.Evaluacin formativaB167B1Resuelve problemas aritmticos y algebraicosRubncambi3,000dlaresdeSingapurarandssudafricanosaestetipode cambio. Cunto dinero en rands sudafricanos recibi? Respuesta:................................................... b)Al regresar a Singapur despus de 3 meses, Rubn tena 3,900 ZAR. Los cambi de nuevo a dlares de Singapur y se dio cuenta de que haba un nuevo tipo de cambio: 1 SGD = 4.0 ZAR. Cunto dinero en dlares de Singapur recibi Rubn? Respuesta:................................................... c)Durante estos 3 meses, el tipo de cambio pas de 4.2 a 4.0 ZAR por SGD. Result a favor de Rubn que el tipo de cambio actual fuera de 4.0 ZAR en lugar de 4.2 ZAR cuando cambi sus rands sudafricanos a dlares de Singapur? Explica tu respuesta.___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Escala de RangoNombre del alumno:Escala de valoracin:0 Nulo 1 Deficiente 2 Aceptable 3 SatisfactorioAspectos observables S No EstimacinComprendi la situacinResolvi las operaciones necesarias del problema a)Resolvi las operaciones necesarias del problema b)Resolvi las operaciones necesarias del problema c)Explic la respuesta del problema c) Presentacin de las soluciones TOTAL:CalTotal==1018 Observaciones: Nombre de quien revis: