EXPOSICIÓN DE MATEMÁTICASIntegrantes :

Adriana CastroBetsy Jiménez

I.E.D Madre Laura

11²

2014

Sea (h , k) un punto distinto del origen del plano cartesiano.

Para deducir la ecuación de una parábola con vértice en (h, k,), se consideran dos casos: la parábola con eje de simetría paralelo al eje x y la parábola con eje de simetría paralelo al eje y

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN (H,K)

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN (H,K) Y EJE DE SÍMETRIA PARALELO

AL EJE X

Sea P la distancia del vértice al foco de una parábola con vértice en (h,k) y eje paralelo al eje x. Entonces, las coordenadas del foco son: F (h + p , k) .

Además, la directriz esta dada por x= h – p y la ecuación del eje de simetría es y = k .

Como se muestra en la figura anterior

Ahora, si P (x , y) es un punto a la parábola, entonces su proyección sobre la directriz, es de la forma M ( h – p , y) . Luego,

d ( M,P) = √ [ x – (h – p) ]² + (y – y)² = √ (x – h + p)² = x – h + p

Y ,por definición de la parábola, se tiene que:

d(P,F) = d(M,P)

Esta formula se utiliza para la parábola que va hacia los lados: ( y – k )² = 4p ( x – h) Para hallar el foco:F = (h + p , k)Para hallar la directriz:X = h – p

Si p>0 La parábola se abre hacia la derecha

Si p>0 = La parábola se abre hacia la izquierda

FORMULA PARA EL EJE X EN EL VÉRTICE (H,K)

EJEMPLO

• Encontrar la ecuación canónica de la parábola que cumple las condiciones dadas

• Vértice en (-3,4) y foco en (-5,4)• Vértice en (2,-3) y pasa por el punto (5

soluciónV = (-3,4) y F= (-5,4)

Hallamos P P= (5,) -5 – (-3)= -2

Reemplazamos en la formula el valor para encontrar la ecuación de la parábola.

(y-k)² = 4P (x-h)

(y-4) ² = 4(-2) (x(-3))

(y-4) ² = -8 (x+3)

Y así obtenemos la ecuación canónica cuyo eje de simetría es paralelo al eje x

GRÁFICA

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN (H,K) Y EJE DE SIMETRIA PARÁLELO

AL EJE Y

Sea p la distancia del vértice del foco de una parábola con vértice en (h,k) y eje de simetría paralelo al eje y, entonces, el foco es el punto F (h, k + p).

Como la distancia del vértice al foco es igual a la distancia del vértice a la directriz, entonces, la ecuación de la directriz es y = k – p . Además, la ecuación del eje de simetría es x = h .

Como lo muestra la figura anterior

La ecuación canónica de la parábola con eje focal paralelo al eje y vértice en (h , k) es:

(x – h)² = 4p (y – k)

Donde p es la distancia del vértice del foco y LR =4p

La ecuación (x – h)² = 4p(y – k) representa una parábola que :

Se abre hacia arriba si p > 0

Se abre hacia abajo si p < 0

Esta formula se utiliza para la parábola que va hacia arriba y hacia abajo (x – h)² = 4p (y – k)² Para hallar el foco:(h , k + p)Para hallar la directriz:Y = k - p

Formula para el eje y en el vértice (H, K)

EJEMPLO

• Dada la ecuación de la parábola (x + 1) ² = 16 (y – 3) . Encuentra sus elementos dados Foco,Vertie,Directriz,Eje de simetría, Lado Recto, Ecuación general y grafica

EJEMPLO

COMPROMISOCOMPROMISO

• Determinar la ecuación de la parábola y graficarla

Foco (-1,3) Vértice (-1,-4)