Guia de matematicas

Matematicas Pre-Universitarias

Omar Yam1, Norma Palacios

Verano-2008

1Universidad de Quintana Roo, Division de Ciencias e Ingenirıa

Indice

1 ALGEBRA 3

1.1 Los Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1 Leyes de los signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Operaciones con Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Valor Absoluto de un Numero Real . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Exponentes y Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Leyes de los Exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Raız n-esima Real de un Numero Real. . . . . . . . . . . . . . 91.2.3 Propiedades de las Raıces n-esimas . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.4 Definicion de Exponentes Racionales . . . . . . . . . . . . . . 101.2.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Factorizacion y Productos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 Productos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Formulas de Factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Ecuaciones de Primero y Segundo Grado: una Variable . . . . . . . . 131.4.1 Ecuaciones de Primer Grado con una Variable . . . . . . . . . 131.4.2 Guias para Resolver Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.3 La Ecuacion Cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Sistemas de Ecuaciones de dos Variables . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.1 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 GEOMETRIA 25

2.1 Angulos y Cantidades Medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.1 Angulos Agudos, Rectos y Obtusos . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.2 Angulos Complementarios y Suplementarios . . . . . . . . . . 262.2 Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.1 Rectas Notables en el Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.2 Clasificacion de los Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.3 El Teorema de Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

iii

iv INDICE

2.4 Circunferencia y Cırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5 Volumenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5.1 Paralelepıpedo Rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5.2 Cilındro Circular Recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.3 Cono Circular Recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.4 Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 TRIGONOMETRIA 37

3.1 Funciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.1 Signos de las Funciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . 373.1.2 Funciones Trigonometricas de 0 ◦ , 90 ◦ , 180 ◦, 270 ◦y 360 ◦. . . 383.1.3 Funciones Trigonometricas de 30 ◦ , 45 ◦y 60 ◦ . . . . . . . . . . 40

3.2 Solucion de Triangulos Rectangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3 Leyes de Senos y Cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.1 Resolviendo Triangulos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Identidades y Ecuaciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.1 Funciones Pares e Impares y Periodicidad . . . . . . . . . . . 443.4.2 Formulas de Adicion de Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4.3 Ecuaciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

INDICE v

El presente material ha sido disenado para cubrir las areas basicas, de las matematicas,que se requieren para poder cursar con exito los programas academicos del area deIngenierıa que se ofrecen en la Division de Ciencias e Ingenierıas de la Universidadde Quintana Roo. El material se dividio en tres capıtulos que corresponden a lasareas de: algebra, geometrıa y trigonometrıa. A pesar de no ser un tratado profundode cada uno las areas mencionadas. Cada capıtulo contiene el material necesariopara un breve repaso de conceptos y metodos que sin duda han sido cubiertos conanterioridad. Finalmente, se pretende que el contenido sirva como material de apoyopara cursos posteriores.

Omar YamDivision de Ciencias e IgenierıaUniversidad de Quintana Roo

vi INDICE

INDICE 1

2 INDICE

CAPITULO 1

ALGEBRA

La palabra algebra proviene del libro Arabe Hisab al-Jabr w’al-Muqabala escritopor al-Khowarizmi. El tıtulo se refiere a la transposicion y combinacion de terminos,dos procesos usados en la resolucion de ecuaciones. La traduccion latina del tıtulofue acortada a Aljabr de donde se deriva la palabra algebra.

1.1 Los Numeros Reales

Generalment en los cursos de algebra de bachillerato se cominenza con el conjunto delos numeros naturales, N = {1, 2, 3, . . .}. Este conjunto esta asociado con la primeraoperacion que se cree realizo el hombre: el conteo. Con este enfoque surge de maneralogica la necesidad de representar la ausencia de elementos: surge el cero. Ası, el con-junto de los numeros naturales junto con el cero forman el conjunto de los numerosenteros no-negativos. Si a este ultimo conjunto le agregamos los enteros negativosobtenemos el conjunto de los numeros enteros Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}. Mastarde se observo el problema de poder expresar fracciones de una unidad. La

solucion para este problema fue la aparicion de los numeros racionales Q = {a

b: a y

b son enteros y b es distinto de cero}. Con la apricion de los racionales se creıa quecualquier operacion propuesta se podıa resolver. Sin embargo, el problema de hayarun numero tal que elevado al cuadrado de como resultado dos no tenıa solucion enlos racionales, es decir, la solucion de x2 = 2, es un numero irracional. La aparicionde estos numeros vino a completar un conjunto de numeros mas extenso que esconocido como el conjundo de los numeros reales el cual es denotado por R.

Propiedades de los Numeros reales. Si a y b son numeros reales, tenemos:

• Propiedad de cerradura para la suma: a + b ∈ R

Para cada par de numeros reales a, b existe un numero real u nico a + b,llamado la suma de a y b

Ejemplo: 3 + 6 es un numero real

3

4 CAPITULO 1. ALGEBRA

• Propiedad de cerradura para la multiplicacion: ab ∈ R

Para cada par de numeros reales a, b existe un numero real unico ab, llamadoel producto de a y b

Ejemplo: 4 · 7 es un numero real

• Propiedad conmutativa de la adicion: a + b = b + a

Cuando dos numeros son sumados, el orden no importa.

Ejemplo: 7 + 3 = 3 + 7

• Propiedad conmutativa de la multiplicacion: ab = ba

Cuando dos numeros son multiplicados el orden no importa.

Ejemplo: 3 · 5 = 5 · 3

• Propiedad asociativa de la suma: (a + b) + c = a + (b + c)

Cuando tres numeros son sumados, no importa cuales dos son sumados primero.

Ejemplo: (2 + 4) + 7 = 2 + (4 + 7)

• Propiedad del elemento identidad para la suma: a + 0 = a

El cero es el elemento identidad para la suma

Ejemplo: 3 + 0 = 3

• Propiedad del elemento identidad para la multiplicacion: a · 1 = a

El uno es el elemento identidad para la multiplicacion

Ejemplo: 9 · 1 = 9

• Propiedad del inverso aditivo: a + (−a) = 0

Para cada numero real a, existe un numero real (−a) llamado el inverso aditivode a

Ejemplo: 3 + (−3) = 0

• Propiedad del inverso multiplicativo: a ·(

1

a

)= 1

Para cada numero real a, distinto de cero, existe un numero real ( 1

a) llamado

el inverso multiplicativo de a

Ejemplo: 5 ·(

1

5

)= 1

1.1. LOS NUMEROS REALES 5

• Propiedad asociativa de la multiplicacion: (ab)c = a(bc)

Cuando tres numeros son multiplicados, no importa cuales dos son mutiplica-dos primero.

Ejemplo: (3 · 7) · 5 = 3 · (7 · 5)

• Propiedad distributiva: a(b + c) = ab + ac

Cuando se multiplica un numero con la suma de otros dos numeros, se tieneel mismo resultado que al multiplicar el numero con cada uno de los terminosy despues sumar los resultados.

Ejemplo: 2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5

1.1.1 Leyes de los signos

Si a y b son dos numeros reales cualesquiera, se tienen las siguientes leyes de lossignos

• (−1)a = −a

Ejemplo: (−1)5 = −5

• −(−a) = a

Ejemplo: −(−5) = 5

• (−a)b = a(−b) = −(ab)

Ejemplo: (−5)7 = 5(−7) = −(5 · 7)

• (−a)(−b) = ab

Ejemplo: (−4)(−3) = 4 · 3

• −(a + b) = −a − b

Ejemplo: −(3 + 5) = −3 − 5

• −(a − b) = b − a

Ejemplo: −(5 − 8) = 8 − 5


1.1.2 Operaciones con Fracciones

Dados a, b, c y d, numeros reales con b y d diferentes de cero se cumplen las siguientespropiedades.

• Igualdad de fracciones:a

b=

c

d, si y solo si, ad = bc

Dos fracciones son iguales si y solamente si son iguales sus productos cruzados.

Ejemplo:2

3=

6

9, entonces 2 · 9 = 3 · 6

• Multiplicacion de fracciones:a

b· c

d=

ac

bd

Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores y denominadores.

Ejemplo:2

3· 5

7=

2 · 53 · 7 =

10

21

• Division de fracciones:a

b÷ c

d=

a

b· d

c

Para dividir fracciones, se invierte el divisor y se procede como en la multipli-cacion. Nota: En este caso, puesto que el divisor debe ser distinto de cero, serequiere que tanto c como d sean distintos de cero.

Ejemplo:2

3÷ 5

7=

2

3· 7

5=

14

15

• Suma de fracciones con el mismo denominador:a

c+

b

c=

a + b

c

Para sumar fracciones con el mismo denominador se suman los numeradoresy se mantine el mismo denominador.

Ejemplo:2

5+

7

5=

2 + 7

5=

9

5

• Suma de fracciones con diferentes denominadores:a

b+

c

d=

ad + bc

bd

Para sumar fracciones con diferentes denominadores, el numerador es la sumade los productos cruzados y el denominador es la multiplicacion de los denom-inadores.

Ejemplo:2

5+

3

7=

2 · 7 + 3 · 535

=29

35

• Cancelacion de numeros con factores comunes en el numerador y el denomi-

nador:ac

bc=

a

b

Es posible cancelar factores comunes en el numerador y el denominador y elresultado no se altera.

Ejemplo:2 · 53 · 5 =

2

3

1.1. LOS NUMEROS REALES 7

1.1.3 Valor Absoluto de un Numero Real

• Si a es un numero real, entonces el valor absoluto de a es

|a| =

{a si a ≥ 0

−a si a < 0

Ejemplos:

i) | 3 |= 3

ii) | −11 |= 11

Nota: El valor absoluto siempre es positivo

1.1.4 Problemas

Realizar las siguientes operaciones

1.3

5+

2

3

2.17

19− 20

3.a

2b+ b

4.−2

3+ 1

5.2

3a· 2

3a

6.7

8· 5

6

7.a

b÷ b

8.−9

5÷ −10

27

9. Verificar las siguientes expresiones

a)−13

17=

−143

187

b)−3a

b=

6ab

2b2

10. Simplifique las siguientes expresiones


a)1 + x

y

x + y

b)1 − x

y

x + y

b)x + y

1 + xy

11. Resolver para n las ecuaciones siguientes

a) |n| = 9

b) |n + 1| = 9

c)∣∣2n − 3

5

∣∣ = 2

3

12. Hallar los valores mas simples de las siguientes expresiones si a = −2, b = 1,c = 2 y d = 1

2

a) (a − b) (c − a2)

b) 2ab (a − 4d)

1.2 Exponentes y Radicales

Si a es cualquier numero real y n es un entero positivo, entonces la n-esima po-

tencia de a esan =a · a · · · · · a

︸︷︷︸

n factores

El numero a es llamado la base y n es llamado el exponente.Si a 6= 0 es cualquier numero real y n es un entero positivo, entonces

a0 = 1

a−n =1

an

1.2.1 Leyes de los Exponentes

• Multiplicion de potencias con la misma base: aman = am+n

Para multiplicar dos potencias con la misma base, se conserva la base y sesuman los exponentes.

Ejemplo: a2a5 = a2+5 = a7

• Division de potencias con la misma base:am

an= am−n

Para dividir dos potencias con la misma base, se conserva la base y se restanlos exponentes.

1.2. EXPONENTES Y RADICALES 9

Ejemplo:a7

a2= a7−2 = a5

• Potencia de una potencia: (am)n = amn

Para elevar una potencia a una nueva potencia, se conserva la base y se mul-tiplican los exponentes.

Ejemplo: (a7)2

= a7·2 = a14

• Potencia de un producto: (ab)n = anbn

Para elevar un producto a una potencia, cada factor debe ser elevado a lapotencia.

Ejemplo: (ab)8 = a8 · b8

• Potencia de una fraccion:(a

b

)n

=an

bn

Para elevar una fraccion a una potencia se elevan ambos, el numerador y eldenominador, a la potencia.

Ejemplo:(a

b

)7

=a7

b7

1.2.2 Raız n-esima Real de un Numero Real.

Si n es cualquier entero positivo, entonces cualquier numero real tal que cuando seeleva a la n-esima potencia, da el numero real a, es una raız n-esima de a.

Si n es cualquier entero positivo, entonces la n-esima raı z principal de a esdefinida como:

n

√a = b significa bn = a.

Si n es par, se debe tener a ≥ 0 y b ≥ 0.

1.2.3 Propiedades de las Raıces n-esimas

• n

√ab = n

√a

n

√b

Ejemplo: 3√−8 · 27 = 3

√−8 3

√27 = (−2) (3) = −6.

Ejemplo:√

250 =√

25 · 10 =√

25√

10 = 5√

10

• n

√a

b=

n

√a

n

√b

Ejemplo: 4

√

16

81=

4√

164√

81=

2

3

Ejemplo:

√

100

25=

√100√25

=10

5= 2


• m

√n

√a = mn

√a

Ejemplo:√

3√

729 = 6√

729 = 3

• n

√an = a si n es impar.

Ejemplo: 3

√

(−5)3 = −5

Ejemplo:5√

25 = 2

• n

√an = |a| si n es par.

Ejemplo: 4

√

(−3)4 = |−3| = 3

1.2.4 Definicion de Exponentes Racionales

Para cualquier exponente racionalm

n, donde m y n son enteros y n > 0, se define

am

n =(

n

√a)m

o, equivalentemente,

am

n = n

√am

Si n es par, entonces se debe tener a ≥ 0.

1.2.5 Problemas

Efectuar las operaciones indicadas

1. a4 · a2 · a3

2. (a + b)3 (a + b)4

3. a (a + 3)3a3 (a + 3)6

4.(3x2)

3

(2x4)2

e)10m6n

15m3n

5.(m + n)15

(m + n)3

6.4m5

5n4÷ 8m5

15n3

1.3. FACTORIZACION Y PRODUCTOS NOTABLES 11

7.√

25

49

8.√

4m2

9. 3√−8m3

10.

(16

a2b4

)1/2

11.

(−27

a6b6

)−1/3

1.3 Factorizacion y Productos Notables

Una variable es una letra que puede representar culquier numero de un conjuntode numeros dado. Una constante representa un nu mero fijo. El dominio de unavariable es el conjunto de valores que la variable puede tomar. Por ejemplo en laexpresion

√x el dominio de x es el conjunto de todos los numeros reales mayores

o igual a cero, en simbolos {x | x ≥ 0}. Las expresiones algebraicas se obtienen

de variables y constantes relacionadas usando sumas, restas, multiplicaciones, di-visiones, exponenciaci on y radicacion. Las expresiones algebraicas, mas simples,obtenidas usando solo sumas, restas y multiplicaciones son llamadas polinomios. Laforma general de un polinomio de grado n en la variable x es

anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0

donde a0, a1, . . . , an son constantes y an 6= 0. El grado del polinomio es la maximapotencia de la variable. Cualquier polinomio es la suma de terminos de la formaaxk, llamados monomios, donde a es una constante y k es un entero no-negativo.Un binomio es la suma de dos monomios, un trinomio es la suma de tres monomios,y ası sucesivamente. Con esto, 7x6 + 4x es un binomio de grado 6, mientras que173x5 es un monomio de grado 5.

1.3.1 Productos Notables

• (A − B) (A + B) = A2 − B2

• (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

• (A − B)2 = A2 − 2AB + B2

• (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

• (A − B)3 = A3 − 3A2B + 3AB2 − B3


1.3.2 Formulas de Factorizacion

• Diferencia de cuadrados: A2 − B2 = (A − B) (A + B)

• Cuadrado perfecto: A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

• Cuadrado perfecto: A2 − 2AB + B2 = (A − B)2

• Diferencia de cubos : A3 − B3 = (A − B) (A2 + AB + B2)

• Suma de cubos : A3 + B3 = (A + B) (A2 − AB + B2)

1.3.3 Problemas

Efectuar las siguientes operaciones

1.(

2

x+ 3

y

)(2

x− 3

y

)

2. (2x + 3y2)2

3. (x + 2 − y)3

4. Factorizar las siguientes expresiones

a) 8a3 + 1

b) x2 − x + 1

4

c) 8 − (m − n)3

5. Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadraticas

a) 2x2 + 5x + 2 = 0

b) x2 − 12 = x

6. Hallar dos numeros cuya suma sea 8 y cuyo producto sea −33.

7. Una pista de patinaje mide 100 m de largo por 70 m de ancho. El propietariodesea aumentar el area a 1300 m2 agregando franjas de igual ancho a un lado ya un extremo y mantener su forma rectangular. Hallar el ancho de las franjasque deben anadirse.

1.4. ECUACIONES DE PRIMERO Y SEGUNDO GRADO: UNA VARIABLE 13

1.4 Ecuaciones de Primero y Segundo Grado: una

Variable

1.4.1 Ecuaciones de Primer Grado con una Variable

Una ecuacion de primer grado, de una variable es una ecuacion en la cual cadatermino es una constante o una constante distinta de cero multiplicando a la variable.Estas son ecuaciones de primer grado con una variable:

4x − 5 = 3

2x =1

2x − 5

Estas ecuaciones se resuelven utilizando las propiedades de las igualdades para trans-formarlas en ecuaciones equivalentes de la forma

x =?

Es decir, se realizan pasos en los cuales se suma el mismo numero en ambos ladoso se multiplica ambos lados con el mismo numero hasta que la variable quede solaen un lado de la ecuacion.

Ejemplo 1 Resolver la ecuacion:

7x − 4 = 3x + 8

Sumando 4 a cada lado:

(7x − 4) + 4 = (3x + 8) + 4

Simplificando:7x = 3x + 12

Restando 3x a cada lado:

7x − 3x = 3x + 12 − 3x

Simplificando:4x = 12

Multiplicando cada lado con 1

4:

1

4· 4x =

1

4· 12

Simplificando:x = 3


Ejemplo 2 Resolver la ecuacion:

x

6+

2

3=

3

4x

El mınimo comun multiplo (MCM) de 6, 3, y 4 es 12. Reescribiendo las fraccionescon el comun denominador:

2x

12+

8

12=

9

12x

Multiplicando cada lado con 12:

12

(2x

12+

8

12

)

= 12

(9

12x

)

Simplificando:2x + 8 = 9x

Restando 2x a cada lado:

(2x + 8) − 2x = 9x − 2x

Simplificando:8 = 7x

Multiplicando cada lado con 1

7:

8

7= x

1.4.2 Guias para Resolver Problemas

1. Identificar la variable. Identificar, en el problema, la cantidad que se estapidiendo encontrar. Esta cantidad puede ser determinada leyendo cuidadosa-mente la pregunta, que generalmente se hace al final del problema. Nombraresta cantidad con una varible, x, por ejemplo. Escribir con precision lo querepresenta esta variable.

2. Exprese todas las cantidades desconocidas en terminos de la vari-

able. Lea cada oracion en el problema de nuevo y exprese todas las cantidadesmencionadas en terminos de la variable definida en el paso 1. Algunas vecesrealizar un bosquejo del problema es de ayuda en este paso.

3. Relacione las cantidades. Encuentre las palabras claves en el problema querelacionan dos o mas xpresiones listadas en el paso dos. Estas palabras clavesson usualmente: “es”, “igual a”, “es lo mimo que”, “es el doble de”, entreotras.

4. Escriba una ecuacion. Escriba una ecuacion que exprese los hechos crucialesencontrados en el paso tres, en forma algebraica.


5. Resuelva el problema y verifique su respuesta. Resuelva la ecuacion yverifique que su respuesta satisface el problema original planteado.

Ejemplo 3 Interes en una inversion. Marıa heredo $100, 000 y lo inverto en doscertificados de dep osito. Un certificado pago el 6% y el otro pago el 41

2% de interes

anual simple. Si Marıa obtiene un interes total de $5025, por ano, cuanto dinerofue invertido en cada tasa de interes?

1. Puesto que se pide encontrar cuanto fue invertido en cada tasa de interes,podemos representar con x la cantidad invertida con el 6% de interes, es decir,

x = cantidad invertida con el 6% de interes

2. Ahora representamos la cantidad invertida con el 41

2% en t erminos de x, es

decir:

cantidad invertida con el 41

2% de interes = 100, 000− x

Para x pesos invertidos al 6%, el interes anual pagado es 6% de x:

interes anual pagado por el certificado al 6% = 0.06x

Similarmente, el interes pagado al otro certificado es:

interes anual pagado por el certificado al 41

2% = 0.045 (100, 000− x)

Por lo tanto, el interes total anual que recibio Marıa por los dos certificadoses:

interes anual total = 0.06x + 0.045 (100, 000− x)

3. Buscando el hecho que relaciona cantidades, vemos en el problema la oracion“ Marıa obtiene un interes total de $5025, por ano. . . ”, ası que podemos decir:

interes anual total ganado por Marıa = $5025

4. Traduciendo estas dos ultimas expresiones, para el interes anual total, en unasola ecuacion:

5025 = 0.06x + 0.045 (100000 − x)

5. Finalmente, resolviendo la ecuacion:

5025 = 0.06x + 4500 − 0.045x

5025 − 4500 = 0.015x + 4500 − 4500

525 = 0.015x525

0.015=

0.015x

0.015rad35000 = x

Por lo tanto Marıa invirtio $35, 000 al 6% y los restantes, $65, 000, fueroninvertidos al 41

2%.


1.4.3 La Ecuacion Cuadratica

Una ecuacion de segundo grado o cuadratica es una ecuacion de la forma

ax2 + bx + c = 0

donde a, b y c son numeros reales y a 6= 0. Para las ecuaciones cuadraticas es posibleencontrar una formula general usando la t ecnica de completar cuadrados. Estosignifica sumar una constante a una expresion para obtener un cuadrado perfectoy despues usar la t ecnica de tomar raıces cuadradas en cada lado de la ecuacioncomo se muestra a continuacion.

Para hacer x2 + bx un cuadrado perfecto, sumar(

b2

)2:

x2 + bx +

(b

2

)2

=

(

x +b

2

)2

A continuacion usaremos la tecnica de completar cuadrados para resolver laecuacion general de segundo grado.

ax2 + bx + c = 0

Primero, dividimos cada lado con a

x2 +b

ax +

c

a= 0

A continuacion restamos el termino ca

a cada lado de manera que el termino constanteaparecera solo en el lado derecho:

x2 +b

ax = − c

a

Ahora acompletamos el cuadrado; el coeficiente de x esb

a, as ı que debemos sumar

(ba

2

)2

o

(b

2a

)2

a cada lado:

x2 +b

ax +

(b

2a

)2

= − c

a+

(b

2a

)2


Entonces se simplifica para obtener la expresion final:

(

x +b

2a

)2

=−c

a+

b2

4a2

(

x +b

2a

)2

=−4ac + b2

4a2

∣∣∣∣x +

b

2a

∣∣∣∣

=

√b2 − 4ac

2a

x +b

2a=

√b2 − 4ac

2ao x +

b

2a= −

√b2 − 4ac

2a

x = − b

2a+

√b2 − 4ac

2ao x = − b

2a−

√b2 − 4ac

2a

x =−b ±

√b2 − 4ac

2aformula cuadratica

Debido a la naturaleza de la formula general, es posible determinar cuando, laecuacion ax2 + bx + c = 0 tiene o no soluciones y cuando tiene una unica solucion,examinando la cantidad D = b2 − 4ac. Esta cantidad es llamada el discriminantede la ecuacion cuadra tica y tiene las siguientes propiedades:

• Si D > 0, entonces la ecuacion tiene dos raıces reales y distintas.

Ejemplo 4 Resolver la siguiente ecuacion usando la formula cuadratica

x2 + x − 1 = 0

En este caso, a = 1, b = 1 y c = −1, por lo que:

x =−1 +

√

12 − 4 (1) (−1)

2 (1)o x =

−1 −√

12 − 4 (1) (−1)

2 (1)

x =−1 +

√5

2o x =

−1 −√

5

2

• Si D = 0, entonces la ecuacion tiene exactamente una solucion real.


x2 + 2x + 1 = 0

En este caso, a = 1, b = 2 y c = 1, por lo que:

x =−2 +

√

22 − 4 (1) (1)

2 (1)o x =

−2 −√

22rad − 4 (1) (1)

2 (1)

x =−2 + 0

2o x =

−2 − 0

2x = −1 o x = −1


• Si D < 0, entonces la ecuacion no tiene soucion real. Sus ra ıces son complejas.


x2 + x + 1 = 0

En este caso, a = 1, b = 1 y c = 1, por lo que:

x =−1 +

√

12 − 4 (1) (1)

2 (1)o x =

−1 −√

12 − 4 (1) (1)

2 (1)

x =−1 +

√−3

2o x =

−1 −√−3

2

Pero, como no existe un real cuyo cuadrado es −3, esta ecuacion no tiene solucionreal.rad

Ejemplo 7 Lanzamiento de un proyerctil: Un objeto es disparado hacia arriba con

una velocidad inicial de v0

ft

salcanzando una altura de hft despues de ts, donde h y

t estan relaciondos por la formula

h = −16t2 + v0t

si v0 = 800ft

scuando caera de regreso el proyectil al suelo?

Que el proyectil este en el suelo significa h = 0, por lo que se debe resolver laecuacion

0 = −16t2 + 800t

En este caso a = −16, b = 800 y c = 0, por lo que:

t =−800 +

√

8002 − 4 (−16) (0)

2 (−16)o t =

−800 −√

8002 − 4 (−16) (0)

2 (−16)

t =−800 + 800

−32o t =

−800 − 800

−32t = 0 o t = 50

Por lo tanto la altura es 0 en t = 0, cuando es disparado inicialmente y en t = 50;cuando cae de nuevo al suelo despues de 50 segundos.

1.5. SISTEMAS DE ECUACIONES DE DOS VARIABLES 19

1.5 Sistemas de Ecuaciones de dos Variables

Una ecuacion lineal en x y y es una ecuacion de la forma:

Ax + By + C = 0, donde A, B, y C son constantes y

A y B no son 0 simultaneamente

La grafica de cualquier ecuacion lineal es una lınea. Reciprocamente, toda lıneaes la grafica de una ecuacion lineal.

Ejemplo 8 Bosquejar la grafica de la ecuacion

4x − 3y = 5 (1.1)

rad Puesto que es una ecuacion lineal, su grafica es una lınea recta por lo que sepuede dibujar conociendo cualesquiera dos puntos pertenecientes a la recta. Porejemplo si x = 0,

4 (0) − 3y = 5

−3y = 5

y = −5

3

Si x = 2

4 (2) − 3y = 5

8 − 3y = 5

−3y = −3

y = 1

Ası que los puntos(0,−5

3

)y (2, 1) pertenecen a la recta. Graficandolos y dibu-

jando una lınea que pase por ellos obtenemos el bosquejo de la ecuacion(1.1) el cualse presenta en la Figura (1.1). rad

Un conjunto de ecuaciones con variables comunes es llamado un sistema de ecua-ciones. La eleccion de valores para las variables los cuales hacen que todas las ecua-ciones en el sistema se satisfagan es llamada una solucion simultanea o simplementesolucion del sistema. En particular, considere el sistema de dos ecuaciones lineales

ax + by = c

dx + ey = f

donde a, b, c, d, e y f son constantes y x, y son las variables comunes del sistema.Una solucion de este sistema es un par ordenado de numeros (x0, y0) que satisfacensimultaneamente ambas ecuaciones, cuando x0 sustituye a x y y0 a y; por lo tanto

ax0 + by0 = c


Figura 1.1: Grafica dela ecuacion 4x − 3y = 5.

yax0 + ey0 = f

son ambas satisfechas. Esto significa que el punto coordenado (x0, y0) cae en ambaslıneas las cuales son las gra ficas de las ecuaciones. Puesto que dos lıneas solo puedenintersectarse en un punto (si acaso), no puede haber otra solucion, a menos que setrate de la misma lınea. Es decir, un sistema de dos ecuaciones lineales tiene:

una solucion si las dos lıneas se intersectan

infinitas soluciones si se trata de la misma lınea

ninguna solucion si las lıneas son paralelas

Existen dos metodos basicos para la solucion del sistema de ecuaciones linealescon dos variables: sustitucion y eliminacion. Para usar el metodo de sustitucionpara resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas, primero se debe usaruna ecuacion para expresar una de las variables en terminos de la otra. Despues,sustituir esta expresion en la otra ecuacion, la cual se convertira en una ecuacion deuna sola variable. Se resuelve esta ecuacion para obtener un valor para esta variabley usando la expresi on para la otra variable obtenemos su valrador.

Ejemplo 9 Resolver el sistema

2x + 13y = 17

x − 6y = −4

usando el metodo de sustitucion.Usando la segunda ecuacion expresamos la variable x en terminos de y (esta

eleccion es debida a que es la mas simple para despejar una de las variable, x eneste caso)

x = 6y − 4


Despues esta expresion para x, se sustituye en la primera ecuacion

2 (6y − 4) + 13y = 17

y resolvemos para y

12y − 8 + 13y = 17

25y − 8 = 17

25y = 25

y = 1

Finalmente, puesto que tenemos la expresion para x = 6y − 4 y ya tenemos el valor1 para y, sustituimos para obtener el valor de x

x = 6 (1) − 4

x = 2

Ası (2, 1) es una solucion para el sistema. De hecho, se puede verificar que satisfaceambas ecuaciones y que por lo tanto es el punto de interseccion de las dos lıneas.

Para usar el metodo de eliminacion para resolver un sistema de dos ecuacionescon dos variables, se deben trabajar, algebraicamente, las dos ecuaciones paraobtener una forma tal que se pueda eliminar una de las variables sumando ambasecuaciones. De esta manera, se obtiene una ecuacion de una variable. Resolviendopara la variable resultante y sustituyendo el valor encontrado en cualquiera de lasecuaciones originales obtenemos el valor de la otra variable.rad

Ejemplo 10 Resolver el sistema

6x − 5y = 14

3x + 7y = 2

usando el metodo de eliminacion.La variable x puede ser eliminada de este par de ecuaciones si multiplicamos

ambos lados de la segunda ecuacion con −2

6x − 5y = 14

−6x − 14y = −4

y sumamos ambas ecuaciones para obtener la ecuacion

0x − 19y = 10

Resolviendo para y:

−19y = 10

y = −10

19


Ahora sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales, la primerapor ejemplo,

6x − 5

(

−10

19

)

= 14

6x +50

19= 14

6x =14 · 19 − 50

19

6x =216

19

x =36

19

Algunas veces es de utilidad usar la otra ecuacion para checar la respuesta

3x + 7y = 2 ?

3

(36

19

)

+ 7

(

−10

19

)

= 2 ?

108 − 70

19= 2 ?

38

19= 2 X

Mientras que el metodo de sustitucion es mas obvio y parece ser m as facil,resulta que, en sistemas de mas ecuaciones y mas variables el metodo de eliminaciones una tecnica mucho mejor.

1.5.1 Problemas

1. Resolver para x: ax = bx + c, donde a 6= b.

2. Un terreno rectangular tiene un perımetro de 500 m. Su longitud es 30 mmayor que el doble de su ancho. Encontrar sus dimensiones.

3. Un chofer conduce diariamente a una velocidad promedio de 60 km /h encarretera y 24 km/h en ciudad o caminos vecinales. Si el tiempo invertido paraun recorrido de 330 km fue de 7 h. Cuanto tiempo condujo sobre carretera ycuanto sobre otros caminos?

4. Un numero es 8 veces mayor que otro. La suma de ambos numeros es 20.Cuales son los numeros?

5. Un radiador de automovil de 8 l, contiene 6 litros de agua y dos de anti-congelante. Cuantos litros de esta mezcla hay que drenar y remplazar conanticongelante para lograr una mezcla que tenga la mitad de anticongelante?


6. Resolver el siguiente sistema para x y y

a) 2x − 5y = 103x + 2y = −4

b) x = y

x + y = 1

c) 1

x+ 1

y= 5

2

x− 3

y= −5

CAPITULO 2

GEOMETRIA

2.1 Angulos y Cantidades Medibles

Una semi-recta o rayo desde un punto O, es el conjunto de puntos consistente deO y de todos los puntos en un lado de O de una lınea que pasa por P .

Figura 2.1: Rayo con origen en 0 y que pasa por el punto P .

Un angulo es generado al rotar un rayo o semi-recta alrededor de su punto inicialllamado vertice del angulo. La posicion original del rayo es llamado lado inicial, yla posicion final es llamado lado terminal. Si O es el vertice y P y Q son puntosdistintos de O en los lados del angulo, el angulo es llamado angulo QOP y se escribecomo ∠QOP (Figura 2.2).

Los angulos pueden ser medidos en grados ( ◦) o radianes (rad). Un angulo de ungrado, denotado por 1 ◦, es igual a 1

360de toda una revolucion completa, en sentido

contrario al de las manecillas del reloj. Esta division tuvo como origen el hecho deque el ano tiene aproximadamente 360 dıas. Con esta definicion se obtiene el gradosexagesimal. A su vez, el grado se divide en 60 minutos de arco donde un minuto

25

26 CAPITULO 2. GEOMETRIA

Figura 2.2: Angulo QOP .

de arco, denotado por 1 ′ , se divide en 60 segundos de arco. El segundo de arco esdenotado por, 1 ′′ .

Cuando se usan radianes, como medida angular, solo se debe indicar la cantidad.La relacion entre grados y radianes la obtenemos de la siguiente forma. Puesto queuna vuelta completa tiene 360 ◦y equivalentemente es igual a 2π, tenemos 360 ◦=2π. Con esto tenemos

1 ◦ =π

180rad ≈ 0.01745 rad (2.1)

1 rad =180 ◦

π≈ 57.2958 (2.2)

2.1.1 Angulos Agudos, Rectos y Obtusos

Un angulo es un:

a) angulo recto si su medida es igual a 90 ◦(π2rad),

b) angulo agudo si su medida es mayor que 0 ◦y menor que 90 ◦(π2

rad),

c) angulo obtuso si su medida es mayor que 90 ◦(π2rad) y menor que 180 ◦(π rad).

Ejemplos de estos angulos se muestran en la Figura (2.3) de abajo.

2.1.2 Angulos Complementarios y Suplementarios

Dos angulos de medidas positivas son complementarios si la suma de sus medidases 90 ◦(π

2rad). Dos angulos de medidas positivas son suplementarios si la suma de

sus medidas es 180 ◦(πrad). Ejemplos de estos angulos se muestran en la Figura (2.4).

2.2. TRIANGULOS 27

Figura 2.3: Angulos obtuso (izquierda), agudo(en medio) y recto(derecha).

Figura 2.4: Angulos suplementarios (izquierda) y complementarios(derecha).

2.2 Triangulos

Un triangulo es una figura geometrica cerrada con tres lados, de los cuales cadalado es un segmento de lınea recta. Para los triangulos tenemos que la suma de susangulos interiores es igual a dos rectos.

2.2.1 Rectas Notables en el Triangulo

• La mediana es el segmento trazado desde un vertice hasta el punto medio dellado opuesto. Con esto en un triangulo hay tres medianas, una correspondientea cada lado.

• La altura es la perpendicular trazada desde un vertice al lado opuesto o asu prolongacion. Consecuentemente, hay tres alturas, una correspondiente acada lado.

• La bisectriz es la recta que bisecta a un angulo interior, es decir, lo divide endos angulos iguales. Hay tres bisectrices, una para cada angulo.

• La mediatriz es la recta perpendicular de cada lado. Hay tres mediatrices,una para cada lado.

2.2.2 Clasificacion de los Triangulos

A su vez los triangulos se clasifican de acuerdo a sus angulos en:

a) triangulo agudo si todos sus angulos son menos que 90 ◦,


b) triangulo obtuso si uno de sus angulos es mayor que 90 ◦, y

c) triangulo rectangulo si uno de sus angulos es igual a 90 ◦ . El lado opuestoal angulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

De acuaerdo a las medidas de sus lados los triangulos se clasifican en:

a) triangulo equilatero si triangulo es equilatero si todos sus lados son de iguallongitud. Con esto, un triangulo es equilatero si y solo si sus tres angulos soniguales, en cuyo caso todos los angulos son de 60 ◦

b) triangulo isoseles si dos de sus lados son de igual longitud. Los angulos

base son aquellos opuestos a los lados iguales.

c) triangulo escaleno si sus tres lados son de diferentes longituds entre si.

Para los triangulos rectangulos se tiene el siguiente teorema el cual es amplia-mente usado.

2.2.3 El Teorema de Pitagoras

Theorem 11 (Teorema de Pitagoras) El area del cuadrado superior de la hipotenusade un triangulo rectangulo es igual a la suma de las areas de los cuadrados de suscatetos.

Este teorema se establece mediante la ecuacion

c2 = a2 + b2

donde c es la longitud de la hipotenusa del triangulo rectangulo y a y b son laslongitudes de los catetos como se muestra en la Figura (2.5).

Figura 2.5: Triangulo rectangulo con hipotenusa c y catetos a y b.

Si denotamos por a, b y c los lados de un triangulo y por h la altura entoncestenemos que el area del triangulo sera un medio de la base por la altura, es decir,

2.2. TRIANGULOS 29

A =1

2bh (2.3)

el perimetro del triangulo sera la suma de sus lados, es decir,

P = a + b + c (2.4)

Ejemplo 12 El perımetro de un triangulo con lados a = 2, b = 4, y c = 3 esP = 2 + 4 + 3 = 9.

Ejemplo 13 El area de un triangulo con base b = 4 y altura h = 2 es A = 1

2×4×2 =

4

Para encontrar el area de un triangulo con solo las longitudes de sus tres lados,debemos aplicar el teorema de Pitagoras para encontrar la altura. Por ejemplo, paraencontrar la altura de un triangulo con lados a = 2, b = 4, y c = 3, observemos enla Figura (2.6)

Figura 2.6: Triangulo en general. h denota la altura y divide al lado b en dossegmentos de tamano x y b − x.

que la lınea que representa la altura divide al triangulo en dos triangulos rectangulos.Llamemos x a la base del triangulo de la derecha. Ası el triangulo de la derechatiene catetos de longitudes x y h y la hipotenusa es a = 2. Con esto la base deltriangulo de la izquierda es b − x (= 4 − x ). Ası el triangulo de la izquierda tienecatetos de longitudes 4 − x y h y la hipotenusa es c = 3. Ahora usando el teoremade Pitagoras para ambos triangulos tenemos

x2 + h2 = 22

(4 − x)2 + h2 = 32

Este sistema de ecuaciones tiene como solucion x = 11

8, h = 3

8

√15 ası que el area es

A =1

2bh =

1

24

(3

8

√15

)

=3

4

√15 ≈ 2. 905


2.3 Paralelogramos

Un paralelogramo es una figura cerrada de cuatro lados, en los cuales cada ladoes un segmento de lınea recta con los lados opuestos paralelos. Sean a y b laslongitudes de los lados de un paralelogramo y sea h la altura (la distancia entre doslados paralelos) como se muestra en la Figura (2.7), entonces

Figura 2.7: Paralelogramo de lados a y b. h denota la distancia entre dos ladosparalelos.

• El perımetro de un paralelogramo es la suma de las longitudes de sus lados.

P = 2a + 2b

• El area de un paralelogramo es el producto de la base con la altura.

A = bh

Ejemplo 14 El perımetro de un paralelogramo con dos lados de longitud 2 y doslados de longitud 5 es

P = 2 + 2 + 5 + 5 = 14

Un rectangulo es una figura geometrica cerrada de cuatro lados, cada lado esun segmento de lınea recta y todos los angulos interiores son rectos. Un cuadrado

es un rectangulo en el cual todos sus lados son iguales. Sean l = longitud, w =ancho y d = diagonal, como se muestra en la Figura (2.8), entonces.

• El perımetro del rectangulo es la suma de las longitudes de sus lados.

P = 2l + 2w

• El area de un rectangulo es el producto de la base con la altura.

A = lw

2.4. CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO 31

Figura 2.8: Rectangulo de lados l y w (izquierda) y cuadrado de lado w. En amboscasos d representa la diagonal.

• La diagonal de un rectangulos tiene como longitud la raız cuadrada de la sumade los cuadrados de la longitud y el ancho del rectangulo.

d =√

l2 + w2

Ejemplo 15 La diagonal de un rectangulo de longitud 2 y ancho 5 es

d =√

22 + 52 =√

29

2.4 Circunferencia y Cırculo

Circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistande otro punto llamado centro. La distancia fija entre el centro y un punto de lacircunferencia es el radio (Figura 2.9). El diametro de la circunferencia es igual ados veces el radio.

Figura 2.9: Circunferencia de radio r

Un cırculo es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de losinteriores a la misma. La circunferencia de un cırculo es π veces el diametro y elarea del cırculo es π veces el cuadrado del radio.


Ejemplo 16 Hallar el diametro, circunferencia y area de un cırculo con radio 5.

Solucion 17 Sean: r = radio, C = circumferencia, D = diametro y A = area

D = 2 × 5 = 10

C = 10π ≈ 31. 416

A = π × 52 = 25π ≈ 78. 54

Un angulo central de un cırculo es un angulo cuyo vertice esta en el centrodel cırculo. Sean θ un angulo central medido en radianes y s la longitud de arcosubtendida por θ . Si r es el radio de la circunferencia, entonces s = rθ y el area

del sector A (sector) acotado por el arco s y los lados del angulo θ es A (sector) =1

2rs = 1

2r2θ.

2.5 Volumenes

2.5.1 Paralelepıpedo Rectangular

Un paralelepıpedo rectangular (o caja) es una figura geometrica cerrada con seislados, en los cuales cada lado es un segmento plano rectangular, los lados opuestosson paralelos y todos los angulos interiores son rectos. Un cubo es un paralelepıpedorectangular en el cual todos sus lados son iguales. En la Figura (2.10) presentamosun ejemplo de un paralelepıpedo. Si a, b y c son tres aristas que convergen en unmismo vertice, h representa la altura, θ es el angulo entre las dos aristas de la base(c y b) y α es el angulo entre la tercera arista (a) y la altura entonces

Figura 2.10: Paralelepıpedo rectangular o caja.

• El area superficial S, de la base es

S = bc sin θ

2.5. VOLUMENES 33

Figura 2.11: Cilındro circular recto de altura h y radio de la base r.

• El volumen es el producto del area de la base con su altura

V = hbc sin θ

Ejemplo 18 Si una caja tiene tiene longitud a = 10, ancho b = 6 y altura h = 5entonces su area superficial y volumen son

S = 2 × (10 × 6) + 2 × (10 × 5) + 2 × (5 × 6) = 280

V = 10 × 6 × 5 = 300

2.5.2 Cilındro Circular Recto

Un superficie de revolucion es la superficie generada por una figura plana quegira alrededor de una recta llamada eje. La porcion del espacio limitada por unasuperficie de revolucion genera un cuerpo de revolucion o solido de revolucion.

Un cilındro circular recto es un solido de revolucion generado por la revolucioncompleta de un rectangulo alrededor de uno de sus lados. Como resultado, se tienendos superficies circulares llamadas bases del cilındro. La distancia entre las basesse llama altura. Si denotamos la altura con h y el radio de una base con r, comose muestra en la Figura (2.11), entonces

• El area superficial de un cillındro es el area de la superficie cilındrica que lolimita mas dos veces el area de la base.

S = (2πr)h + 2πr2 = 2rπ (h + r)

• El volumen de un cilındro es el producto del area de la base con la altura.

V = πr2h

Ejemplo 19 Si un cillındro tiene altura h = 10 y radio r = 5, entonces su areasuperficial y su volumen son

S = 2 × 5 × π (10 + 5) = 150π ≈ 471. 24

V = π (5)2 × 10 = 250π ≈ 785. 4


2.5.3 Cono Circular Recto

Un cono circular recto o cono de revolucion es un solido de revolucion gener-ado por la revolucion completa de un triangulo rectangulo alrededor de uno de suscatetos. Como resultado, la hipotenusa genera la superficie lateral del cono, elcateto usado como eje de revolucion es la altura del cono y el otro cateto generala base del cono y es a su vez el radio de la base. Si denotamos con r el radio dela base y con h la altura, entonces

• El area supercial de un cono recto circular es el area de la base mas unmedio del producto del perımetro de la base con la hipotenusa del triangulorectangulo.

S = πr2 + 1

22πr

√r2 + h2 = πr2 + πr

√r2 + h2

• El volumen de un cono es un tercio del area de la base con la altura.

V = 1

3πr2h.

Ejemplo 20 Si un cono circular recto tiene como radio de la base r = 5 y alturah = 10 entonces el area superficial y el volumen son

S = π (5)2 + π (5)√

52 + 102 = 25π(

1 +√

5)

≈ 254. 16

V =1

3π × 52 × 10 =

250

3π ≈ 261. 8

2.5.4 Esfera

Una esfera es un solido de revolucion generado por la rotacion de una circunferenciaalrededor de uno de sus diametros. Si r denota el radio de la esfera entonces

• El area superficial de de una esfera es cuatro veces π por el cuadrado del radio.

S = 4πr2

• El volumen de una esfera es cuatro tercios de π por el cubo del radio.

V = 4

3πr3

Ejemplo 21 Considere una esfera de radio r = 4000. Entonces el area superficialy el volumen son

S = 4π (4000)2 = 64 000 000π ≈ 2. 010 6× 108

V =4

3π (4000)3 =

256 000 000 000

3π ≈ 2. 680 8 × 1011

2.6. PROBLEMAS 35

2.6 Problemas

1. Expresar los siguientes angulos en grados

a) 1.57 rad

b) 2.0 rad

2. Expresar los siguientes angulos en radianes

a) 45 ◦

b) 135 ◦

3. Hallar los complementos de los siguientes angulos

a) 36 ◦52 ′

b) 48 ◦30 ′15 ′′

4. Hallar los suplementos de los siguientes angulos

a) 92 ◦15 ′

b) 123 ◦9 ′16 ′′

5. Puede ser obtuso un angulo de la base de un triangulo isoseles?

6. Dos angulos de un triangulo miden 40 ◦ y 30 ◦ , respectivamente. Cuanto mideel tercer angulo?

7. Los angulos de la base de un triangulo isoseles miden 40 ◦. Cuanto mide elangulo opuesto a la base?

8. Hallar el angulo que es igual a su suplemento.

9. Hallar el angulo que es igual a la mitad de su complemento.

10. Cual es la amplitud, en grados, del angulo que subtiende una longitud de arcode 5.23 cmsi pertenece a una circunferencia de 20 cmde radio?

11. Hallar la longitud de arco subtendido por un angulo de 5 ◦2 ′8 ′′ si pertenece auna circunferencia de 2 mde radio.

12. Hallar el lado de un cuadrado cuya area vale 28.09 m2.

13. La diagonal de un rectangulo mide 10 m y su altura 6 m. Hallar su area.

14. Hallar la diagonal de un cubo cuya arista mide 3 cm.

15. La diagonal de un cubo mide 2√

3 cm. Hallar la arista.


16. Hallar el area lateral de un cilındro circular recto, si el radio de la base mide4 cm y la altura mide 10 cm.

17. Hallar el area total de un cilındro circular recto si el radio de la base mide 20cm y la altura mide 30 cm.

18. El area total de un cilındro circular recto es 410 cm2 y su altura es el dobledel radio de la base. Hallar la altura y el radio de la base.

19. Hallar el area lateral de un cono sabiendo que el radio de la base mide 6 cmy la altura mide 8 cm.

20. Hallar el area total de un cono sabiendo que el radio de la base mide 3 cm yla altura mide 4 cm.

21. Hallar la altura de un cono sabiendo que el area lateral mide 16√

5π cm2 y elradio de la base mide 4 cm.

22. Dos esferas de metal de radios 2a y 3a se funden juntas para hacer una esferamayor. Calcular el radio de la nueva esfera.

23. Se tiene una esfera situada dentro de un cilındro de manera que al cilındrotiene como altura y diametro, el diametro de la esfera. Determinar la relacionentre el area de la esfera y el area lateral del cilındro.

CAPITULO 3

TRIGONOMETRIA

3.1 Funciones Trigonometricas

3.1.1 Signos de las Funciones Trigonometricas

Sea θ un angulo cuyo lado inicial cae en la parte positiva del eje x, y cuyo verticecoincide con el origen (0, 0) y sea (x, y) cualquier punto en el lado terminal delangulo. Sea r la distancia positiva desde el origen hasta el puunto (x, y), como seobserva en la Figura (3.1.1).

Figura 3.1: Triangulo rectangulo con hipotenusa r =√

x2 + y2 y catetos x, y.

• seno θ =sen θ =y

r

• coseno θ = cos θ =x

r

• tangente θ = tan θ =sen θ

cos θ=

y

x, si x 6= 0

• cotangente θ = cot θ =cos θ

sen θ=

x

y, si y 6= 0

37

38 CAPITULO 3. TRIGONOMETRIA

• secante θ = sθ =1

cos θ=

r

x, si x 6= 0

• cosecante θ = csc θ =1

sen θ=

r

y, si y 6= 0

Signos de las Funciones TrigonometricasQuadrante sen cos tan cot s csc

I + + + + + +II + – – – – +III – – + + – –IV – + – – + –

3.1.2 Funciones Trigonometricas de 0 ◦ , 90 ◦ , 180 ◦ , 270 ◦ y

360 ◦ .

Para θ = 0 ◦, tenemos y = 0 por lo que r = x, ası las funciones trigonometricas de0 ◦ son

• sen0 ◦ =0

r= 0

• cos 0 ◦ =r

r= 1

• tan 0 ◦ =sen 0 ◦

cos 0 ◦= 0

• cot 0 ◦ =cos 0 ◦

sen0 ◦= ∞

• sec 0 ◦ =1

cos 0 ◦= 1

• csc 0 ◦ =1

sen0 ◦= ∞

Para θ = 90 ◦, tenemos x = 0 por lo que r = y, ası las funciones trigonometricasde 90 ◦ son

• sen90 ◦ =r

r= 1

• cos 90 ◦ =0

r= 0

• tan 90 ◦ =sen 90 ◦

cos 90 ◦= ∞

3.1. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 39

• cot 90 ◦ =cos 90 ◦

sen90 ◦= 0

• sec 90 ◦ =1

cos 90 ◦= ∞

• csc 90 ◦ =1

sen90 ◦= 1

Para θ = 180 ◦, tenemos y = 0 y x es negativo por lo que r = −x, ası lasfunciones trigonometricas de 180 ◦ son

• sen180 ◦ =0

r= 0

• cos 180 ◦ =−r

r= −1

• tan 180 ◦ =sen180 ◦

cos 180 ◦= 0

• cot 180 ◦ =cos 180 ◦

sen180 ◦= ∞

• sec 180 ◦ =1

cos 180 ◦= −1

• csc 180 ◦ =1

sen180 ◦= ∞

Para θ = 270 ◦, tenemos x = 0 y y es negativo por lo que r = −y, ası lasfunciones trigonometricas de 270 ◦ son

• sen270 ◦ =−r

r= −1

• cos 270 ◦ =0

r= 0

• tan 270 ◦ =sen 270 ◦

cos 270 ◦= ∞

• cot 270 ◦ =cos 270 ◦

sen270 ◦= 0

• sec 270 ◦ =1

cos 270 ◦= ∞

• csc 270 ◦ =1

sen180 ◦= −1

Para θ = 360 ◦, las funciones trigonometricas coinciden con las de 0 ◦


3.1.3 Funciones Trigonometricas de 30 ◦ , 45 ◦y 60 ◦

Considere un triangulo equilatero con lados de longitud 2. Cada uno de sus angulosmide 60 ◦(π

3rad). La mediana de un vertice bisecta el angulo de ese vertice, es decir

es simultaneamente la bisectriz. Con esto tenemos dos triangulos rectangulos concatetos 1 y

√3 y con hipotenusa 2. El angulo opuesto al cateto de longitud 1 mide

60 ◦y el opesto al cateto de longitud√

3 mide 30 ◦. Ası las funciones trigonometricasdel el angulo θ = 30 ◦son, por definicion

• sen 30 ◦ = 1

2

• cos 30 ◦ =√

3

2

• tan 30 ◦ = 1√3

• cot 30 ◦ =√

3

• sec 30 ◦ = 2√3

• csc 30 ◦ = 2

Ahora para θ = 60 ◦ tenemos

• sen 60 ◦ =√

3

2

• cos 60 ◦ = 1

2

• tan 60 ◦ =√

3

• cot 60 ◦ = 1√3

• sec 60 ◦ = 2

• csc 60 ◦ = 2√3

Para θ = 45 ◦ consideremos un triangulo rectangulo isoseles de lados (catetos)1. Con esto la hipotenusa mide

√2 y los angulos de la base miden 45 ◦, por lo que

tenemos

• sen 45 ◦ = 1√2

• cos 45 ◦ = 1√2

• tan 45 ◦ = 1

• cot 45 ◦ = 1

• sec 45 ◦ =√

2

3.2. SOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS 41

• csc 45 ◦ =√

2

En la tabla siguiente presentamos las funciones trigonometricas de estos angulosespeciales.

Grados 0 ◦ 30 ◦ 45 ◦ 60 ◦ 90 ◦ 180 ◦ 270 ◦ 360 ◦

Radianes 0π

6

π

4

π

3

π

2π

3π

22π

sen 01

2

√2

2

√3

21 0 −1 0

cos 1

√3

2

√2

2

1

20 −1 0 1

tan 01√3

1√

3 ∞ 0 ∞ 0

cot ∞√

3 1

√3

30 ∞ 0 ∞

sec 12√3

√2 2 ∞ −1 ∞ 1

csc ∞ 2√

22√

3

31 ∞ −1 ∞

3.2 Solucion de Triangulos Rectangulos

Usaremos la notacion que sigue: a los vertices de un triangulo rectangulo se ledenotara con las letras mayusculas A, B y C, los angulos en A, B y C, por α, β yγ y los lados opuestos a los vertices A, B y C, por a, b y c respectivamente. Enun triangulo rectangulo si se conocen uno de sus angulos agudos y un lado o dos desus lados, se pueden encontrar las partes restantes, es decir, el otro angulo agudoy el o los lados restantes. Al proceso de encontrar las partes restantes se le llamaresolver el triangulo.

Ejemplo 22 En un triangulo rectangulo se tiene α = 34 ◦ y b = 10.5. Resolver eltriangulo.

Tenemos α + β = 90 ◦ por lo que β = 90 ◦ − α = 90 ◦ − 34 ◦ = 56 ◦. Ahoratan 34 ◦ = a

b, de donde a = b tan 34 ◦ = (10.5) tan 34 ◦ = 7.0823. Por ultimo el lado

c lo podemos calcular por medio del teorema de Pitagoras o por medio de funcionestrigonometricas. c =

√10.52 + 7.08232 = 12.6653.

Ejemplo 23 Resolver el triangulo rectangulo con lados a = 15 y b = 7. Por elteorema de Pitagoras tenemos c =

√152 + 72 = 16.5529. tanα = a

bde donde

α = arctan(ab) = tan−1(a

b) = tan−1(15

7) = 64 ◦58 ′59 ′′. Con esto podemos calcular

β = 90 ◦ − 64 ◦58 ′59 ′′ = 25 ◦1 ′11 ′′.


3.3 Leyes de Senos y Cosenos

Las leyes de los senos y los cosenos son suficientes para resolver cualquier triangulo.Son las relaciones mas importantes, desde un punto de vista teorico, para un trianguloen general.

Un triangulo rectangulo es resuelto usando el hecho de que los cocientes de suslados pueden ser expresados como funciones trigonome tricas de sus angulos. Enun triangulo arbitrario las relaciones no son tan simples. Las herramientas quepermiten resolver estos triangulos generales son la ley de los senos y la ley de loscosenos.

Theorem 24 (Ley de los senos) Si A, B, y C son las longitudes de los lados de untriangulo y α, β, y γ son los angulos opuestos, respectivamente, entonces

A

sen α=

B

sen β=

C

sen γ(3.1)

La ley de los senos nos permite resolver triangulos con solo conocer un lado ydos angulos, o si tenemos dos lados y un angulo opuesto a uno de esos lados.

Ejemplo 25 Para resolver un triangulo con un lado c = 2 y dos angulos α = π9,

β = 2π9,

1. El angulo γ = π − α − β = γ = 2

3π.

2. Resolvera

sen α=

c

sen γpara a para obtener a = 4

3

√3sen 1

9π ≈ . 0.949

3. Resolverb

sen β=

c

sen γpara b para obtener b = 4

3

√3sen 2

9π ≈ 1. 484 5

Theorem 26 (Ley de los cosenos) Si A, B, y C son las longitudes de los lados deun triangulo y θ es el angulo entre A y B, entonce

C2 = A2 + B2 − 2AB cos θ (3.2)

3.3.1 Resolviendo Triangulos Generales

Usando ambas leyes, de los senos y los coseneos, es posible resolver un trianguloconociendo dos lados y el angulo entre ellos, conociendo los tres lados.

Ejemplo 27 Para resolver un triangulo con dos lados a = 2.34, b = 3.57 y el anguloentre ellos γ = 29

216π,

1. Resolver c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ para c para obtener c = 1.7255.

3.4. IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMETRICAS 43

2. Resolvera

sen α=

c

sen γy

b

sen β=

c

sen γpara α y β para obtener α = .58859

y β = 1.0104.

Ejemplo 28 Para resolver el triangulo con sus tres lados dados por, a = 2.53,b = 4.15, y c = 6.19,

1. Resolver c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ para γ para obtener γ = 2.3458.

2. Resolvera

sen α=

c

sen γpara α para obtener α = .29632

3. Resolverb

sen β=

c

sen γpara β para obtener β = .49948.

3.4 Identidades y Ecuaciones Trigonometricas

Un identidad trigonometrica es una ecuacion que es cierta para todos los valoresde la variable para los cuales ambos lados de la ecuacion esta definida. Para verificaruna identidad trigonome trica se expresan todos los terminos de la igualdad enfuncion del seno y coseno y se efectuan las operciones indicadas, consiguiendose asıla identidad de ambos miembros.

Indentidades Pitagoricas

• sen2ϕ + cos2 ϕ = 1

• 1 + tan2 ϕ = s2ϕ

• 1 + cot2 ϕ = csc2 ϕ

Ejemplo 29 Demostrar que

csc ϕ · sϕ = cot ϕ + tanϕ

Comenzando con

csc ϕ · sϕ =1

senϕ

1

cos ϕ

=1

senϕ cosϕ

=sen2ϕ + cos2 ϕ

senϕ cos ϕ

=sen2ϕ

senϕ cosϕ+

cos2 ϕ

senϕ cos ϕ

=senϕ

cos ϕ+

cos ϕ

senϕ= tanϕ + cot ϕ


3.4.1 Funciones Pares e Impares y Periodicidad

Si una funcion f satisface f(−x) = f(x) para todo numero x en su dominio, entoncesf es llamada una funcion par. Si una funcion f satisface f(−x) = −f(x) paratodo numero x en su dominio, entonces f es llamada una funcion impar. Muchasde las funciones no pertenecen a alguna de estas categorias, pero las seis funcionestrigonometricas basicas pertenecen a una categoria o a la otra.

Funciones impares:

• sen (−ϕ) = −sen ϕ

• tan (−ϕ) = − tanϕ

• cot (−ϕ) = − cot ϕ

• csc (−ϕ) = − csc ϕ

Funciones pares:

• cos (−ϕ) = cos ϕ

• s (−ϕ) = sϕ

Las seis funciones trigonometricas basicas son periodicas con periodos 2π o π.

• Periodo = 2π

– sin ϕ = sin (ϕ + 2πn), sin (ϕ ± π) = − sin ϕ

– cos ϕ = cos (ϕ + 2πn), cos (ϕ ± π) = − cos ϕ

– sϕ = s (ϕ + 2πn), s (ϕ ± π) = − sϕ

– csc ϕ = csc (ϕ + 2πn), csc (ϕ ± π) = − csc ϕ

• Periodo= π

– tan ϕ = tan (ϕ + πn)

– cot ϕ = cot (ϕ + πn)

3.4. IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMETRICAS 45

3.4.2 Formulas de Adicion de Angulos

Si se conocen los valores del seno y coseno de dos angulos ϕ y θ entonces podemoscalcular el valor de las otras funciones para ϕ ± θ usando las siguientes formulas

• sen (ϕ ± θ) =sen ϕ cos θ ± cos ϕsen θ

• cos (ϕ ± θ) = cos ϕ cos θ∓ senϕsen θ

• tan (ϕ ± θ) =tanϕ ± tan θ

1 ∓ tanϕ tan θ

• sen(

ϕ +π

2

)

= cos ϕ

• cos(

ϕ +π

2

)

= − sin ϕ

• sen(π

2− ϕ

)

= cos ϕ

• cos(π

2− ϕ

)

=senϕ

3.4.3 Ecuaciones Trigonometricas

Una ecuacion trigonometrica es aquella donde la incognita aparece como angulode funciones trigonometricas. Aunque no exite un metodo general para resolver unaecuacion trigonometrica, generalmente se procede transformando toda la ecuacionde manera que quede expresada como una sola funcion trigonometrica y entoncesse resuelve como una ecuacion algebraica cualquiera.

Ejemplo 30 Resolver la ecuacion

3 + 3 cosϕ = 2sen2ϕ

Expresando el seno en funcion del coseno

3 + 3 cosϕ = 2sen2ϕ

= 2(1 − cos2 ϕ

)

= 2 − 2 cos2 ϕ

escribiendo todos los terminos en un solo lado de la igualdad

3 + 3 cosϕ − 2 + 2 cos2 ϕ = 0

2 cos2 ϕ + 3 cos ϕ + 1 = 0


la cual es una ecuacion de segundo grado, considerando a cos ϕ como incognita.Usando la formula cuadratica tenemos

cos ϕ =−3 ±

√1

4=

−3 ± 1

4

de donde las dos raıces son

cos ϕ =−3 + 1

4=

−1

2

cos ϕ =−3 − 1

4= −1

por lo tanto las dos soluciones son

ϕ = 120 ◦ ± n · 360 ◦

ϕ = 180 ◦ ± n · 360 ◦

3.5 Problemas

1. Calcular los valores de las siguientes expresiones

a) 5sen245 ◦ + 8 cos 30 ◦

b) 3sen30 ◦ + 6 cos2 45 ◦

c) 6 tan 30 ◦ + 2 csc 45 ◦

d) cos 60 ◦+cos 30 ◦

csc2 30 ◦+sen245 ◦

e) sen 30 ◦+csc 30 ◦

sen230 ◦+cos2 60 ◦

2. En los siguientes problemas dada una funcion trigonometrica de un angulo,calcular las restantes

a) senϕ = 1

2

b) cos ϕ = 1

5

c) tan ϕ = 3

4

d) cot ϕ = 2

3

3. Resolver los siguientes triangulos dados sus tres lados

a) a = 41, b = 19.5 y c = 32.48

b) a = 5.312, b = 10.931 y c = 13

4. Resolver los siguientes triangulos dados dos lados y el angulo comprendidoentre ellos

3.5. PROBLEMAS 47

a) a = 32.45, b = 27.21 y γ = 66 ◦56 ′

b) b = 50, c = 66.6 y α = 83 ◦26 ◦

c) a = 318, c = 54.75 y β = 41 ◦27 ′

5. Resolver los siguientes triangulos dados dos angulos y un lado

a) a = 41, β = 27 ◦50 ′

b) b = 50, α = 57 ◦7 ′ y γ = 78 ◦28 ′

c) b = 61.5, α = 29 ◦14 ′ y β = 45 ◦18 ′

6. Probar las siguientes identidades

a) senϕ+cos ϕsenϕ

= 1 − 1

tan ϕ

b) sϕtan ϕ+cot ϕ

=senϕ

c) sϕ (1 − sen2ϕ) = cos ϕ

d) tan ϕ · cos ϕ · csc ϕ = 1

e) tan ϕ+cot ϕtan ϕ−cot ϕ

= s2ϕtan2 ϕ−1

7. Calcular, usando las funciones trigonometricas de los angulos notables 30 ◦45 ◦

y 60 ◦, las funciones trigonometricas de los angulos siguientes

a) ϕ = 105 ◦

b) ϕ = 75 ◦

c) ϕ = 15 ◦

8. Resolver las siguientes ecuaciones trigonometricas, dando las soluciones enangulos menores de 360 ◦.

a) senϕ + 1 = cosϕ

b) cos ϕ + 2senϕ = 2

c) 2 cos ϕ · tanϕ − 1 = 0

d) cos ϕ + 2sen2ϕ = 1

e)√

3senϕ = 3 cos ϕ

f) senϕ = cos ϕ

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