PRESENTACIONEl presente trabajo se centra en el estudio del momento de la cantidad del movimiento, sistema de partículas, conservación del momento de la cantidad del movimiento. En este sentido, es relevante destacar dos cuestiones. Por un lado, la importancia de la investigación relacionada con dichos temas en estudio acorde con nuestra carrera. Para el desarrollo de nuestro informe tomaremos en cuenta la aplicación de la Segunda ley de Newton, esta ley explica qué ocurre si sobre un cuerpo en movimiento (cuya masa no tiene por qué ser constante) actúa una fuerza neta: la fuerza modificará el estado de movimiento, cambiando la velocidad en módulo o dirección. En concreto, los cambios experimentados en el momento lineal de un cuerpo son proporcionales a la fuerza motriz y se desarrollan en la dirección de esta; esto es, las fuerzas son causas que producen aceleraciones en los cuerpos. Consecuentemente, hay relación entre la causa y el efecto, esto es, la fuerza y la aceleración están relacionadas. Dicho sintéticamente, la fuerza se define simplemente en función del momento en que se aplica a un objeto, con lo que dos fuerzas serán iguales si causan la misma tasa de cambio en el momento del objeto. También haremos uso de la Tercera Ley de Newton  Expone que por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo (empuje), este realiza una fuerza de igual intensidad, pero de sentido contrario sobre el cuerpo que la produjo. Dicho de otra forma, las fuerzas, situadas sobre la misma recta, siempre se presentan en pares de igual magnitud y de dirección, pero con sentido opuesto.

Este principio presupone que la interacción entre dos partículas se propaga instantáneamente en el espacio (lo cual requeriría velocidad infinita), y en su formulación original no es válido para fuerzas electromagnéticas puesto que estas no se propagan por el espacio de modo instantáneo sino que lo hacen a velocidad finita "c".

Es importante observar que este principio de acción y reacción relaciona dos fuerzas que no están aplicadas al mismo cuerpo, produciendo en ellos aceleraciones diferentes, según sean sus masas. Por lo demás, cada una de esas fuerzas obedece por separado a la segunda ley. Junto con las anteriores leyes, ésta permite enunciar los principios de conservación del momento lineal y del momento angular.

INTRODUCCIÓNHasta ahora hemos estado estudiando el movimiento de los objetos cualquiera que sea sin considerar su estructura. Ahora demostraremos que lo estuvimos haciendo bien considerando al objeto sin tomar en cuenta las fuerzas que actúan sobre sus partes. Introduciremos el concepto de centro de masa de un sistema de partículas, también se introducirá el concepto de cantidad de movimiento y se demostrará que este se conserva cuando el sistema se encuentra aislado de los alrededores.

OBJETIVO

El objetivo de este informe es enfocarnos a describir de manera clara, didáctica los siguientes temas: momento de la cantidad del movimiento, sistema de partículas conservación del momento de la cantidad del movimiento.

MARCO TEORICO

SISTEMA DE PARTICULAS

La figura muestra un sistema de partículas compuesto de tres masas. En el sistema existen dos tipos de fuerzas:

a) Las fuerzas externas como la atracción gravitacional de la tierra por ejemplo.

b) Las fuerzas internas que las partículas ejercen unas sobre otras (estas fuerzas pueden ser gravitacionales,e1éctricas, etc.)

En la figura hemos cambiado el contorno del sistema, excluyendo la masa m3. Como Una Consecuencia de esto las fuerzas internas Sobre m1 y m2 debido a m3 ya no son internas, se han sumado a las fuerzas externas previas, produciendo una nueva fuerza resultante. La selección del contorno de un sistema es similar a seleccionar un sistema de coordenadas.

SEGUNDA LEY DE NEWTON APLICADA A UN SISTEMA DE PARTICULAS

La figura siguiente muestra un sistema de n partículas de masas m1, m2, …..mn, con posiciones especificadas

por :

→ → → r1, r 2………………………………… r n ,, respectivamente.

La segunda ley de Newton para la partícula mi es:

→ → → →F i = mai = F iexter + F i int

Donde:

→Fi int = suma de las fuerzas internas sobre mi

→Fi ext =suma de las fuerzas externas sobre mi

La suma de las fuerzas internas sobre la masa mi es:

→ → → → n →

F1int = F12 +F13 +……………………… F12 = Σ Fij (j≠ i )

En general para la partícula i es:

n →

Fi int = Σ Fij (j≠ i )La fuerza total para el sistema es: i=n → i=n → i=n n n →

Σ Fi =Σ mai = ΣFiext +ΣΣ Fiji =1 i =1 i =1 i =1 (j≠ i )

Por la tercera ley de Newton cada una de las fuerzas → → F ij tiene un F ji igual, pero de sentido contrario

→ → F ij = − F ji

De modo que n n →

Σ Σ = F ij= 0 i =0 (j≠ i )=1

Consecuentemente solo queda n → n → n → n →

Σm ai =ΣFiext o d2

dt 2 Σmi r i +ΣFiex

i =1 i =1 i =1 i =1

CENTRO DE MASAFrecuentemente es muy práctico reemplazar un sistema de muchas partículas con una partícula simple equivalente de masa igual. La pregunta es donde colocar esta partícula simple con respecto al origen de x e y. Definamos el vector posición del centro de masa porla ecuación:

→ n →

rCM = Σ mi ri i =1

n

Σmi i =1

Llamando a n

Σmi =M (masa total de las n partículas). i =1

→ n →

rCM = Σmi ri i =1

M →Como r CM = xCM i + y CM j + z CM k n

Tenemos que: x CM =1M Σ= mi xi

i=1

n n

y CM =1M

Σ= mi yi, z CM 1M

Σ= mi z i i=1 i=1

Si hacemos que el número de elementos n, se aproximen al infinito, la sumatoria se reemplaza por una integral y m por el elemento diferencial dm.

Luego. n

x CM = lim 1M ΣxiΔmi=

1M ∫xdm

Δmi→0 i=1

De igual forma se obtiene:

n

y CM = lim 1M ΣyiΔmi=

1M ∫ydm

Δmi→0 i=1

n

z CM = lim 1M Σ ziΔmi=

1M ∫zdm

Δmi→0 i=1

→ →

rCM = 1M

∫rdm

MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA.

n → n →

Si en la ecuación: d2

dt 2 Σ mi r i= Σ Fiext

i=0 i=1

n → →

Sustituimos Σ mi r i = MrCM

i=1

Obtendremos la ecuación del movimiento del centro de masa

→ n → → n →

d2

dt 2 MrCM Σ Fiext ⇒M aCM ΣFiext

i=1 i=1

→El punto indicado por rCM, vector posición del centro de masa, se mueve se mueve como si en el estuviera concentrada toda la masa y las fuerzas externas del sistema.

Ejemplo 1. Centro de masa de tres masas puntuales.

El centro de masa esta dado por:

n

x CM = 1M

Σmixi i=1

m(1)+2m (1 )+3m (2 )m+2m+3m

¿ 9 m6 m = 3

2

n

y CM = 1M

Σmi yi

i=1

m(1)+2m (1 )+3m (2 )m+2m+3 m

13 m6m =

136

rCM = 32 i +

136 j

Ejemplo 2. Centro de masa de un triángulo.

→ →

xCM = 1M

∫xdm

Para evaluar

dm =masatotalá rea total

x area de la lámina

Luego:xCM = 1M ∫xdm =

1M ∫x(

2 Mab )ydx

=2

ab ∫0

a

xydx

Para poder integrar tenemos que expresar la variable y en función de x.Por semejanza de triángulos:

yb

= a−x

a ⇒ y=

ba

(a-x)

Sustituyendo:

xCM ¿ 2

ab∫0

a

xba(a−x)dx= 2

a2∫0

a

x (a−x)dx

= 2

a2 ∫

0

a

(ax−x2)dx 2

a2 [a x2

2+

x3

3 ]0

a

= 2

a2 ( a3

2+ a3

3 )= a3

Realizando cálculos similares encontramos:

yCM

= b3

Finalmente:

rCM= 32 i +

136 j

IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTOSupongamos el caso de dos partículas esféricas P1 y P2 de masas m1 y m2 con trayectorias contenidas en la misma recta, se aproximan una a otra con velocidades→ → V1 , y v2 respectivamente.

Cuando P1 y P2 entran en contacto, P1 ejerce sobre P2 la fuerza F12 y P2 ejerce sobre P1 la fuerza F21. De acuerdo con la tercera ley de Newton

→ →F12= − F21 .

→ →Después que P1 y P2 se separan, las velocidades respectivas son v'1 y v'2 diferentes de v1 Y

v2

Ahora nos preguntamos. ¿Qué pasa durante el choque?

El tiempo de contacto total Δt es muy pequeño, quizás solo de aproximadamente 0,001 segundos. La fuerza de contacto inicialmente es cero, aumenta hasta un valor muy grande y. finalmente disminuye hasta cero, cuando dejan de estar en contacto. La figura siguiente muestra una variación típica de la fuerza en el tiempo de contacto.

Sea t f t i − = Δt el tiempo que dura el choque,aplicando la segunda ley de Newton a las partículasP1 y P2.

→ → →

F12 = m 1 a1 = m1 dv1dt

y

→ → →

F21 = m 2 a2 = m1 dv 2dt

y

→ → → →O F12 dt= m 1 dv1 y F21 dt =m2dv2

Integrando las dos relaciones durante el choque,

→ →

∫ti

tf

F 12 dt =m1 ∫v1

v& 1

dv1 y

→ →

∫ti

tf

F 21dt =m2 ∫v2

v& 2

dv2 y

Finalmente

→ → →

∫ti

tf

F 12 dt =m1 [ v& 1−v1 ]y

→ → →

∫ti

tf

F 21dt =m2 [ v& 2−v2 ]y

Trabajando con el primer miembro

∫ti

tf

F dt corresponde al área bajo la curva mostrada en la figura anterior, a ésta cantidad la

llamaremos

IMPULSO [ J ]

→ →

( J ) = ∫ti

tf

F (t)dt

Sus dimensiones son: [F] [T] = [M][L][T]-1En el sistema internacional sus unidades son:

En el sistema internacional sus unidades son:

Newton.segundo (N.s)

Trabajando con el segundo miembro

→ → → → m1 [ v& 1−v1 ]y m2 [ v& 2−v2 ] → → Llamaremos a la cantidad mv = p

CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL oMomentum lineal de la partícula (lo designaremos en la práctica simplemente como cantidad de movimiento), cuyas dimensiones son:[M] [[L]] = [M] [L] [T]-1En el sistema internacional sus unidades son:

kg.m.s-1

La partícula P1 ha sufrido en el intervalo t f -tf = Δ t , un cambio de la cantidad de movimiento

→ → → → →

∫ti

tf

F 12 dt = m1 [ v& 1−v1 ]=pf - pi

→y esta cantidad es también igual al impulso J recibido en ese instante por la partícula

→ → → J = pf - pi

Luego: “El cambio de la cantidad de movimiento es igual al impulso”.

Ejemplo 3. Una pelota de 100 gramos está en reposo sobre el piso, cuando recibe un puntapié que la lanza con una velocidad de 30 m/s.

a) ¿Qué impulso se dio a la pelota?

b) Si el tiempo que el pie está en contacto con la pelota es 10−3segundos. ¿Cuál es la magnitud aproximada de la fuerza impulsiva?

Solución.

a) El impulso es igual al cambio de la cantidad de movimiento:

→ → → → → J = pf - pi = m vf - m vi

En este caso

m = 0,1 kg , v i=0 , v f =30 im / s

→

J = (0,1)(30i ) - 0 = 3iKgm

S

b) Se puede obtener un estimado de la fuerza que actúa sobre la pelota, dividiendo e1 impulso Jpor el tiempo ∆ t=t f −t ien que actúa la fuerza :

F= j∆ t

Como J=3 ikgm

s y ∆ t=0,001 s

F= 3 i0,001

=3000 i N

CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La cantidad de movimiento de una partícula de mas m y velocidad v es: → → p = mv

La cantidad de movimiento de n partículas es la suma de las cantidades de movimiento individuales.

→ n n

Ptotal = Σ pi = Σ mi v i

i=1 i=1 Usando la expresión de centro de masa n

Σ mi v i = M vC M i

i=1 n

De aquí Ptotal=¿ Σ mi v i = M vC M i

i=1

La cantidad de movimiento total de un sistema es igual a la cantidad de movimiento de la masa total concentrada en el centro de masa del sistema.

Derivando nuevamente la expresión anterior

ddt

Ptotal =M ddt

v i CM=M a iCM=F iext

Esta cantidad es muy importante, ya que si no hay fuerza externa,

Fiext=0⇒ ddt

Ptotal=0

⇒ Ptotal=CONSTANTE

Esto es la conservación de la cantidad de movimiento. Si no hay fuerzas externas sobre un sistema. La cantidad de movimiento total del sistema es constante.

Ejemplo 4. Tres partículas de masas 2 kg, 1 kg y 3 kg respectivamente con vectores posición.

r1= [5 t i−5t 2 j+(3 t−2 ) k ] cm,

r2= [ (2t−3 ) i−(12−5 t2 ) j+( 4+6 t−3 t 3 ) k ] cm

Y r3= [ (12t−1 ) i−(t 2+2 ) j−t 3 k ] cm

Donde t es el tiempo en segundos.

Encontrar:

a) La velocidad del centro de masa en t =1 s y t = 2 s.b) La cantidad de movimiento lineal total del sistema en t = 1 s y t = 2 s.c) Analizar si el sistema de tres partículas es sistema aislado

Solución.a) La posición del centro de masa esta dada por la expresión:

rCM=m1 r1+ m2r 2+m3 r3

m1+m2+m3

Reemplazando valores, obtenemos:

rCM=⌊ (3 t−1 ) i+(−t 2+3 ) j+(−t 3+2t ) k ⌋ cm

La velocidad del centro de masa es:

vCM =ddt

rCM = ⌊3 i−2t j+(−3 t 2+2 ) k ⌋ cms

Para t= 1s

v1 M= (3 i−2 j+− k ) cms

Para t = 2s

v2M = (3 i−4 j+−8 k ) cms

b) La cantidad de movimiento del sistema es:

p=+m1 v1+m2 v2+m3 v3=M vCM

p=6 [3 i−2t j+(−3 t 2+2 ) k ] kg cms

Para t= 1s

p1=6 [3 i−2 j−k ] kgcms

Para t= 2s

p2=6 [3 i−4 j−8 k ] kgcms

c) Como , p1≠ p2 , p no es constante, luego el sistema no es aislado.

Ejemplo 5. Un pescador de masa 70 kg está en un bote estacionario de masa 200 kg, cuando su ayudante que no sabe nadar y está en el agua cogido del extremo opuesto, se suelta. El pescador corre 2,5m hasta alcanzar este extremo. ¿A que distancia del ayudante ahogándose se encontrará el pescador cuando alcance el extremo del bote?

Solución.Consideremos aislado el sistema bote, pescador, ayudante, por lo tanto su cantidad de movimiento es constante.

p=M v cmCONSTANTE

Como en inicio el sistema esta en reposo:

p=0⇒ vcm=0

Como

vcm=d rcm

dt=0

r cm = CONSTANTE, la posición del centro de masa permanece constante

En éste problema que es en una sola dimensión:xcm= CONSTANTE

Tomemos como punto de referencia la posición del ayudante en el extremo del bote, al soltarse seguirá en la misma posición.

Analicemos la posición inicial.

El centro de masa del sistema pescador-bote está en:

xcm=mb xb+m p (2.5 )

mb+m p

Analicemos la posición final.

El centro de masa esta en:

xcm=mb(xb+x )+mp x

mb+m p

Como la posición del centro de masa del sistema es invariante, se tiene:

mb xb+mp(2,5)mb+mp

=mb(xb+ x)+mp x

mb+mp

⇒(m¿¿b+mp) x=m p(2,5)¿

Reemplazando valores:

x=70 (2.5)

(200+70)=0,65 m

La posición del pescador estará a 0,65 metros del ayudante.

Ejemplo 6. Un muchacho de masa m1 y una muchacha de masa m2 , ambos con patines, se encuentran en reposo uno en frente del otro, El muchacho empuja a la muchacha, mandándola hacia el este con una velocidad v . Describa el movimiento del muchacho.

Solución.Siendo un sistema cerrado la cantidad de movimiento se conserva,

pantes= pdespues=0

Si v1 y v2 son las velocidades del muchacho y la muchacha después del empujón, respectivamente:

m1 v1+m2 v2=0

Considerando el movimiento en el eje x, y la dirección al este como sentido positivo

v2+ v=v i

De aquí

m1 v1+m2 v i=0⇒ v1=−m2

m1

v i

EI muchacho sale con una velocidad de módulo

v1=m2

m1

v dirigida hacia el oeste.

Ejercicios:1.Una bola de boliche de 7 kg se mueve en línea recta a 3 m/s. ¿Qué tan rápido debe moverse una bola de ping-pong de 2.45 gr. en una línea recta de manera que las dos bolas tengan el mismo momento?

mBB = masa del boliche = 7 kg. VBB = Velocidad del boliche = 3 m/seg.mp = masa de la bola de ping pong = 2,45 gr. = 0,00245 kg. VP = Velocidad de la bola de ping pong Cantidad de movimiento de la bola de boliche = Cantidad de movimiento de la bola de ping pong

mBB x VB = B mp x VP

VP=mB x VBmP

= 7 x 30.00245

= 210.00245

=8571.42 m /s

VP = velocidad de la bola de ping pong = 8571.42 m/s

2. Se lanza una bola de 0,1 Kg. en línea recta hacia arriba en el aire con rapidez inicial de 15 m/seg. Encuentren el momento de la bola.

a) En su máxima altura. b) A la mitad de su camino hacia el punto máximo.

a)En su máxima altura.

Cuando la bola alcanza su máxima altura, la velocidad es cero, por lo tanto la cantidad de movimiento también es cero.

b)A la mitad de su camino hacia el punto máximo.

V1 = Velocidad inicial de la bola = 15 m/seg. V2 = Velocidad final a la máxima altura = 0

V3 = Velocidad cuando la bola este en el punto medio. Hallamos la máxima altura (V2)2 = (V1)2 – 2 g h (El signo es negativo por que la bola va perdiendo velocidad hasta que sea

0 = (V1)2 – 2 g h (V1)2 = 2 g h

h = (V 12)2G

=(15 )2

2(9.8)= 225

19.6=11.47 m

Hallamos la altura en el punto medio:h2=11.47

2=5.73 m

Con la altura media, se puede hallar la velocidad en ese punto.

V3 = Velocidad cuando la bola este en el punto medio.

(V3)2 = (V1)2 – 2 g h (El signo es negativo por que la bola va perdiendo velocidad hasta que sea cero).

(V3)2 = (15)2 – 2 * 9,8 * 5,73 (V3)2 = 225 – 112,5 (V3)2 = 112,5 m/seg.v3= √112.5V3 = 10,6 m/seg.

3. Se deja caer una pelota de masa m de una altura h sobre el nivel del suelo y rebota hasta una altura h1a) ¿Cuál es la velocidad iv inmediatamente antes de chocar con el suelo?b) ¿Cuál es la velocidad fv inmediatamente después de chocar con el suelo? →c) ¿Cuál es el impulso J que se le da a la pelota enel impacto con el suelo?Solución. →Como V0=0,X = 0,Y =h0

→V1= √2g h0 jc) El impulso de la pelota es:

→ → → J = m 1 vf - m 1 vi =m √2g (√h1−√h 0 )j

4.Una pelota de 0,15 kg. De masa se deja caer del reposo, desde una altura de 1,25 metros. Rebota del piso para alcanzar una altura de 0,96 metros. Que impulso dio el piso a la pelota.

m = 0,15 kg. Via = Velocidad inicial antes = o VFa = Velocidad final antes h1 = altura que se deja caer la pelota. Vid = Velocidad inicial después VFd = Velocidad final después = 0 h2 = altura que rebota la pelota. Se halla la velocidad con la cual la pelota choca en el suelo. (VFa)2 = (Via)2 + 2 . g . h1 (VFa)2 = 0 + 2 . g . h1

VFa= √2× 9.8 ×1.25=√24.5=4.9497m

segVFa = - 4,9497 m/seg Se asume (-) cuando el cuerpo se desplaza hacia abajo. Se halla la velocidad con la cual la pelota rebota en el suelo. (VFd)2 = (Vid)2 + 2 g h2 0 = (Vid)2 * 2 g h2Vid= √2× 9.8 ×0.96=√18.816=4.3377 m /seg

Se asume (+) cuando el cuerpo se desplaza hacia abajo. Δ P = PF - Pi = m VF - mVi Δ P = (0,15 * 4,3377) - (0,15 * (- 4,9497)) Δ P = (0,6506) - (- 0,7424) Δ P = 0,6506 + 0,7424 Δ P = 1,393 kg * m/seg.

5. Se deja caer una pelota de masa m de una altura h sobre el nivel del suelo y rebota hasta una altura h1

a) ¿Cuál es la velocidad v iinmediatamente antes de chocar con el suelo?b) ¿Cuál es la velocidad v f inmediatamente después de chocar con el suelo? c) ¿Cuál es el impulso J que se le da a la pelota en el impacto con el suelo?

Solución. a) Como v0=0 , x=0 , y=h0

v i=√2 gh0 j

b) Como después de chocar y=¿h1 , la velocidad v f después de chocar es:

v f=√2 gh1 j

c) El impulso de la pelota es:

→ → → J = m vf - m vi = m √2g (√h1−√h0¿ j

6. Dos personas de masa m cada una, se encuentran paradas en los extremos opuestos de un bote de longitud d y masa 3m que se encuentra en reposo sobre un líquido sin fricción, tal como se muestra en la figura. Las personas caminan una hacia la otra con rapidez constante y se encuentran a d/4 del extremo izquierdo del bote.

a) Si la persona de la izquierda se mueve con velocidad v0 respecto al bote, ¿cuál es la velocidad que tiene la otra persona, respecto al bote?b) ¿Cuál es la velocidad del bote, respecto a tierra, durante el movimiento de ambas personas?c) ¿Cuánto avanzo el bote hasta el momento del encuentro?

Solución

a)El tiempo empleado para encontrarse es el mismo para las dos personas

d4v0

=

3 d4v1

⇒ v1=3 v0 hacia la izquierda

b) Por conservación de la cantidad de movimiento

pantes= pdespues

pantes=0pdespues=m ( v0+vb ) i+m (−3 v0+vb ) i+3 m vb i=0

⇒vb=25

v 0 i

c) El tiempo de caminata de las personas es t=d

4 v0 luego el bote se habrá movido.

x=vbt=( 25

v0)( d4 v0

)= d10

CONCLUSIONES

Gracias a este informe llegamos a la conclusión de que los temas estudiados como son: momento de la cantidad del movimiento, sistema de partículas conservación del momento de la cantidad del movimiento; son aplicativos y fundamentales a nuestra carrera.

Gracias al estudio de la 2ª y 3ª leyes de Newton nos facilitó el entendimiento de los temas expuestos con anterioridad.

LINKOGRAFIA

http://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton

http://es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimiento

http://www.elprisma.com/apuntes/curso.asp?id=13268

http://www.fisica-relatividad.com.ar/sistemas-inerciales/cantidad-de-movimiento

http://www.frbb.utn.edu.ar/carreras/materias/mecanicadelsolido/apuntes/3.5.3Cant_Mov_Momento....htm