EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOS.

1. Expresiones algebraicas

MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 4. EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOS Cristina García

Expresión algebraica es toda combinación de números y letras ligadas por los signos de las operaciones aritméticas: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

4abcd ; 4x3 · y2− tz ; 3xz2y 2; 4xy− t2 ;ab

x2−y3

• Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas.• Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números dados y hacer las operaciones indicadas en la expresión.

a

b

• Si a y b son las medidas de los lados de un rectángulo, 2a + 2b es la expresión algebraica que nos da el perímetro del rectángulo.• Su valor numérico para a = 3 y b = 2 nos da el perímetro de un rectángulo de esas dimensiones:

2 . 3 + 2 . 2 = 10

2. Valor numérico de una expresión


• Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras son la multiplicación y potenciación de exponente natural.• El grado de un monomio respecto a una letra es su exponente.• El grado de un monomio es la suma de sus exponentes.

8x2y5

Grado respecto de la letra x

Grado respecto de la letra y

El grado de este monomio es 2 + 5 = 7

3. Monomios enteros


• Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de monomios• El grado de un polinomio es el grado mayor de sus monomios.• Cada monomio del polinomio se llama también término del polinomio.• Según su números de términos se clasifican en binomios, trinomios,....

P = 8x5 – 6x4 – 3xy + xt – 2

Término Grado del polinomio

Término de grado 2 Término independienteo término de grado 0

4.1 Polinomios enteros


c=73

b = –5a = 3

Dos polinomios son iguales cuando los términos que los forman son iguales

¿Qué valores han de tomar a, b y c para que sean iguales los polinomios

3x2−5x73

ax 2bxc ?

4.2 Igualdad de polinomios


• Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.• La suma o diferencia de varios monomios semejentes es otro monomio semejante.

12x2y – 3x2y + 6x2y = (12 – 3 + 6)x2y = 15x2y

5x2 + 7xz = 5x2 + 7xz

12x2y – 3x2y + 6x2y + 5x2 + 7xz = 15x2y + 5x2 + 7xz

Interpretación de la suma de monomios

5.1 Suma y diferencia de monomios


2+1=3

x+2y

Semejantes

No semejantes

2x 1x 3xx

2

x

1

+ = x

1x

1

x + 2y

2

y = x2y

La suma o diferencia de dos polinomios es otro polinomio formado:– por la suma o diferencia de los términos semejantes de ambos, y– por los términos no semejantes de ambos.

P(x) = x5 + 2x4 – 3x2 + x – 4

Q(x) = 3x4 – 2 x3 + 3x2 + 2x

P(x) + Q(x) =

P(x) = x5 + 2x4 – 3x2 + x – 4

Q(x) = 3x4 – 2 x3 + 3x2 + 2x

P(x) – Q(x) =

x5 + 5x4 – 2x3 + 3x – 4

x5 – x4 + 2x3 – 6x2 – x – 4

5.2 Suma y diferencia de polinomios


El producto de monomios es otro monomio que tiene:– como coeficiente, el producto de los coeficientes.– como parte literal, las letras que aparecen en los monomios con exponente igual a la suma de los exponentes con que figura en los factores.

x3 . x5 = x3 +5 = x8

5x2 . 7x4 = 5 . x2 . 7 . x4 = 35 x6

–2xy2 . 5x2y3 . 3xt = (–2 . 5 . 3) (x . x2 . x) (y2 . y3) t = –30x4y5t

El producto de un polinomio por un monomio es otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando el monomio por cada término del polinomio

2xy2 . (3x – 2y + 4) = (2xy2 . 3x) + (2xy2 . (– 2y) + (2xy2 . 4) = 6x2 y2 – 4xy3 + 8xy2

6.1 Producto de polinomio por monomio


El producto de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando cada término del primero por cada término del segundo y sumando luego los términos semejantes

–7x3 + 3x2 – 0x + 2

2x2 + 3x – 1

7x3 – 3x2 + 0x – 2

– 21x4 + 9x3 – 0x2 + 6x

–14x5 + 6x4 + 0x3 + 4x2

–14x5 –15x4 +16x3 + x2 + 6x – 2

6.2 Producto de polinomios


6.3 Interpretación geométrica de productos


La suma por diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo

a + b

a – b

– ab – b2

a2 + ab

a2 – b2

• (3x + y)(3x – y) = (3x)2 – (y)2 = 9x2 – y2

• (–5x + 2y)(–5x – 2y) = (–5x)2 – (2y)2 = 25x2 – 4y2

• (–5x2 + 2y3)(–5x – 2y) = (–5x2)2 – (2y3)2 = 25x4 – 4y6

7.1 Igualdades notables. Suma por diferencia


El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo

a + b a + b

ab + b2 a2 + ab

a2 +2ab + b2

(2x + y)2 = (2x)2 + 2 . 2x . y + (y)2 = 4x2 +4xy + y2

(5x – 3t)2 = (5x + (– 3t))2 = (5x)2 + 2 . 5x . (–3t) + (–3t)2 = 25x2 – 30xt + 9t2

(– 3x + 2z)2 = (– 3x)2 + 2 . (–3x) . 2z + (2z)2 = 9x2 – 12xz + 4z2

a – b a – b

– ab + b2 a2 – ab

a2 – 2ab + b2

7.2 Igualdades notables. Cuadrado de un binomio


7.3 Interpretación geométrica del cuadrado de un binomio


El cubo de un binomio es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo más el triple del primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo.

a2 + 2ab + b2

a + b

a2b + 2ab2 + b3

a3 + a2b + ab2

a3 + 3a2b +3ab2 +b3

(2x + y)3 = (2x)3 + 2 . (2x)2 . y + 2 . 2x . y2 + (y)3 = 8x3 +12x2y + 6xy2 + y3

(x – 3h2)3 = (x + (– 3h2))3 = x3 + 3 . x2 . (–3h2) + 3 . x . (–3h2)2 + (–3h2)3 =

= x3 – 9x2 h2 + 27xh4 –27h6

7.4 Igualdades notables. Cubo de un binomio


EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOS.

Education

Transcript of EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOS.