Expresionn aproximada de una funcion de distribucion
-
Upload
angel-vegas -
Category
Documents
-
view
220 -
download
7
Transcript of Expresionn aproximada de una funcion de distribucion
E X P K E S I O N N A P R O X I M A D A D E U N A F U N C I O N
D E D I S T R I B U C I O N
A n g e l V e g a s
1. D e s a r r o l l o de E d g w o o r t h
E s b i e n s a b i d o ,que si u n a f u n c i 6 n de d i s t r i b u c i 6 n t i e n e su s n
p r i m e r o s m o m e n t o s f in i tos , su f u n c i 6 n c a r a c t e r i s t i c a ado ,p t a la
f o r m a :
(,0>, [ (io),i____5_ (io)- ],
en la q u e K~, K~ y K4 s o n m o m e n t o s c u m u l a n t e s , es dec i r , K~ = m ,
K2 ~ ~ = a2 --- m ~-, Ka ~ ~3 ~ 3,ct2 m + 2 m a, K~ --~ c~ - - 4ce3 m +
+ 3ce~ + 12a~ m -~ - - 6 m ~, y, p o r lo t a n t o , si h a c e m o s m ----- 0 y v ~ 1,
es d e c i r , si c o n s i d e r a m o s la v a r i a n t e " s t a n d a r d i z a d a " , t e n d r e m o s :
(10J 2
r --~ e 2 [ 1 -1- Ka (i0)~ ,,_ + ... + o(o-)
E n v i r t u d de q u e
s i e n d o f
+ o o (~0)2
@o~ d F( '0 ~ ( - - i O)" e ' 'o (x)
- - O O
y:" ~,(,,) d 1 2 d x l"o ~ ) = d x ~ V - ~
l a f u n c i 6 n de d i s t r i b u c i 6 n c o r r e s p o n d i e n t e t e n d r h la f o r m a :
K~ F~o,,(u)§ K, FT(x)+ F ( x ) = Fo(x ) + '1 3' '1 4' "'"
41
2
�9 1
= , Je ' ,, Y ~'Jc V ~
--O<9
1 H~tx) + ,.. + t - - l ) " -~
x2
2 :x~ Ha(x) - -
~ n 15 Ho_l(x) j + o(x'9
en io que los H~(x) son los po i inomios de ~ e r m i t e :
i r i r
(-- ' l )e [p
A----~ t 12p (_1F-1 'p
1 12p r=- Up
1 2p x r = 2 p - - 1
La [1] se deduc.e, ev iden temente , de la re lae i6n que liga las der iva- das sucesivas .de la func i6n de dens idad de la d is t r ibuci6n n o r m a l y los po l inomios de H e r m i t e
~2 ~2
d r 1 - ~ 1 - - '2 e - - 1 e (--1) r He(x)
dxr V 27: V 2 ~
De la [2] se infiere el desa r ro l lo co r r e spond ien t e a la func i6n de dens idad
x2
1 -
+ ~
H~(x) + + ... + A, A,
1 fA- H,(z)
A. (--1)~ HJx)] + O(x") [2] J
A esta expres i6n se le sue.le conoce r po r desar ro l lo de Edgwoor th .
II. T r a n s f o r m a c i 6 n d e E s s c h e r
En al.gunos casos es po.sible ob t ene r una buena ap rox imac i6n con un escaso nf imero de t4rminos del desarrollo. [2] m e d i a n t e una t r ans fo rmac i6n adecuada . Tal es el caso de la t r ans fo rmac i6n de Esscher, de' f ecunda aplicaci6.n en la reso luc i6n de. los p rob l emas
42
que se der ivan de la teoria del Riesgo Colect ivo en la Ciencia Ac- tuarial .
Sea la funci6n de d is t r ibuci6n F ( x ) ~ su carac ter is t ica corres- pond ien te q~(O).
A pa r t i r de estas funcio.nes definiremos,: f" F(x)' --~ 1 e ~ d F ( x )
r ) - - 0 0
Suponemos que :
[3]
r ~ v h" d F ( x )
en el in tervalo ---~hl < h < h~, en el q u e serh v&lida la relaci6.n ~3].
La F ( x ) definida en [3] cumple todas las condic iones de fun- ci6n de distr ibuci6n, como es f~cil ver.
De [3] se desprende :
e ~ d F ( x ) d F ( x ) = ' T i ~ i h ) ' [4]
La func i6n earacter is t ica eo r re~pond ien te a F--~ ser~:
q>(O) = e '~ d F ( x ) - ~ ~-(-~-~i~ d F ( x ) = q~(-- ih) ' [5] CO
Si des ignamos por m y ~2 la media , la va r i anza co r r e spond ien t e a F ( x ) , la va r i an te t ipificada.
tendrh la dis t r ibuci6n
y g c k m
v0@ = + Y y ) De [4] deducirnos:
q ~ - - i h ) e -~ ( " + <~ ~') d Fo(x ) ---~ d F ( x )
43
F ( x ) cp (~ i h ) e - h ' | e - o ~ , d Fo'(Y = ) [ 6 ] d
- - 0 0
_ _
1 - - F(x) = ~ ( - - i h ) e - ~ " | e - r hv d Fo'(y) A ,~ . ,eo
Por ot ra par te , la funci6n cumula t iva de F(x) serh, segfin ['5], la s iguiente:
~(0) ~ lg r ~ lg c?(O ~ ih) - - lg q ( - - i h ) ~ ~(0 - - ih) ~ ~ ( ~ i h ) y, por lo tanto,
a ~(0) D ~(0 - - in) 1 D ~ ( 0 - ih) 'DO' ' ~ DO i D h
de donde se deduce
O-- luego
a r 3 h
Supongamos un valor cua lqu ie ra de: la var iab le x y que la ecuaci6n
X D h
da una soluci6n h0 c o m p r e n d i d a en el in tervalo de convergencia h~ < ho < h~, entonces la [6] t omarh la f o r m a :
F(x) = ~ ( - - i h ) e -%" o ~ d Fo(y)
1 - - F (x ) = ~ ( ~ i h o ) e -%" e-~ v d F , (y ) ~ 0
Una u o t ra f o r m a son equivalentes , pero suele usarse la pr i /nera cuando x < m y la segunda x /> m.
Las aprox imac iones que p u e d e n obtenerse ap l icando el d, esarro-
llo de Edg'woorth a Fo(x), dan las l l a m a d a s f6 rmulas de EsscJaer.
44
A si, pues, supongamos que el d e s a r r o l l o eonste de los s iguientes
t~rminos :
1 - Aa d Fax) = V - ~ - e ~ ] I J&
L.
+ < - 1 , o =
en lo que [o(X) en la dens idad no rma l .
A ~ - - H ~ + ~ H , + . . . +
(3) A. l")
P a r a la func i6n de d i s t r ibuc i6n t e n d r e m o s :
F ( x ) = ~ ( ~ i h ) e - h a e - ~ fo(g) + [,(~)(!t) + . . . +
- - o o
+ ~ to('(v) dv
La obtene i6n de los va lores de F ( x ) exige el efileulo de la ex-
p res i6n : o o o
e -~'om/o(')(g) d!t --~ e - h [o<'-~>'(lt e -7 ' 1o ('---~> -~-
~ - - o o ~ - - o o to, - - r
= (--I)'-~ H'-i(~ + ho o (--I) '-" H,_, (~ +
V 2~ V2~ + (ho o--) ~ (--1)~-~ H'-3(~ + ... +
V ~
_I ~ + ... + (h. o)r-~ e-~o ~' [o(U) dv =
r
_ 1 ~ (ho ~)~-~ (--.1),-~ H,._~("~ V ~2 ~=~
+(ho ~-)r--~ + R(~ ho) ya que
- - / e ,J,e e d ! l - ~ - V 2"~ j-oo g 2~ -oo
dx
45
e fL J t
En defi,niti,ca, r e c o r d a n d o
d x ~--- R(a ho)
H~,(0) ~-~ (~1 ) " ~ - - ~ . 2p ~
H.~,+~(O) ~--- 0
t end remos p a r a expres idn aproxi 'mada de F(X)
F(x) ~ - T ( - - i h ) e-ao " R(ho--~ 1 +
r = 3
h
-b 1 ' /,V A'[r (h~ 1 2 [rA~
(-~)~ u~(o! y, A, v ~ ~Z
r = m + l
( (--1)~ A~ p
0
, (h. ~y-~ + ... +
, , , (ho ~ - ~ ... --}- B
s i n ~-=2p
s i n ~ 2p- t - 1
en la que
B ___
(h. ~)~ +
III. Otras expresiones ap rox imadas
La f d r m u a de invers idn:
F(x) = ~ 1 2 2~
~o
~(0) e -'e~ iO
dO
46
p u e d e a d o p t a r la f o r m a :
F(x) = p(h) - - lira / 2-~i(0 + ih) A ~ O ~
_ , 4
en la que
dO
I i h < 0 p(h) = 1 h --~ 0 h > 0
En efecto, basra con in t eg ra r la f u n c i 6 n ~(z) e - ~ "
~(z) - - 2 ~ i z
a lo largo del con to rno cer rado , de f in ido p o r los segmentos
P~la~, P3P,, P+P~, PsP+, P+P~
y la semic i r cunfe renc ia P2P3 (fig. 1)
-A
P+ h P~
Pt i
4 P6
§ B
/
P2~
§
]'P3 , P+ I I .I
1
4 -h Ps
47
J ~(z) dz -q- J ~(z) dz + l q~(z) dz -t- ~PaP4 P1P~ P~Ps
+ ~q~(z) dz + f ~(z) dz -t- f q~(z) =0 P~P6 psp6 pep1
Los limites a que t ienden estas in tegrales son los s iguientes :
1 11 ---~ O)dO " 12 = 2
fo ~(0) dO " I , ~ 0
~_~( 15 ~ - - 0 d- ih)dO " 16 - -~ 0
de donde se deduce
F(x) ---~ 1 1 ~(0 -q-- ih) e_,(0§ dO
(V2~) ~ i(O + ih)
En el caso en que h fuese negat ivo, es decir, que se t ra tase del eontorno P~, P2, P3, P,, P'6, P'5, P1, el resu l tado seria
~+oo 1 | ~ ( 0 ~ ih) e_~(o_~h)~ dO F(x)
2~. J-oo i(O -~ ih)
ya que el l imite pa ra B --~ 0 de la in tegra l ex tend ida a la semicir- cunfe renc ia p u n t e a d a que une P2 Y P3 es 1/2.
Ev iden temen te el va lor de h debe estar incluido en el in terva lo ~ h l < h < h~, pa ra e,1 que se: cumplen ']as condieiones de eonver- geneia de los eor respondien tes intervalos .
48
Siendo ~(0) --~ log q~(O) t endremos :
F ( z ) . ~ p ( h ) - - I O 3
~(ih) e ~ e*(O+~)-,(~)-~9~ 2"n i 0 - h
~tJ - - O 0
dO
De te rmina remos h0 con la condici6n
~ ' q h o ) = ~z
E1 exponente del in tegrado adoptar& la fo rma
0 ~ ~(iho q- O) - - ~(iho) - - ~b'(iho)O = t~"(h') 2
En la que
Si hacemos
iho < h' < iho -q- 0
~ = - - -~"(~ho)
t endremos
~(iho + 0 ) - - ~ ( i h 0 ) - - q~'qho)O "-" 2
Con una aprox imac i6n que depender~ de la fo,rma de ~(0), ten-
d remos :
(i0)'
~(iho) e~o. ; ; ; e 2~ F(x) "~ p(ho) '2~ i0 - - ho dO
(~0)~
------O(ho) + ~(iho) e"o" 1 ~ e "
"~ c~h-----~ 1 iO - - 0 0
p(ho) + 2 ~ oh--'--~ e ' 1 +
dO
i0' ~ho +
49
(i0) * (io) ' § + ... + § O ( 0 9 / d O
(Zho) ~ (~ho)* 3
E1 iu t eg rando es la func i6n carac te r i s t i ca de una d is t r ibuc i6n cuya dens idad es de la f o r m a :
2 x
f(x) 1 [ H,(x) - - e ~ 1 -+
~2r: ~ho
H,{x) H,,(x) OCx~ ) ] + (oho)~ + ... + ( ~ 1 ) " (ohoP' +
En los que los H~(x) son los po l inomios de t t e rmi te .
P o t o t ra par te , de la f d r m u l a de invers i6n
1 e -~a" q~(O) dO f (x ) = I I ~ 0 0
se d e d u c e
�9 CO)dO = 2 ~ l ( o )
P o r tanto, t e n d r e m o s f i na lmen te :
co(ih~ [1 + H,(O)
F(x) ~ ~(ho) + OhoV~2~T (~ho) ~
H.(O) "1 + + ... + o (x , , ) I
J
+
ya que como sffbernos:
H~p+l(0) ~ 0
, . 2 p ,
H~_,<O) ---- { - - ~ ) , T
Esta f 6 rmu la cons t i tuye una nueva f o r m a a p r o x i m a d a de la funci6n de dis tr ibuci6n.
50
IV. B i b l i o g r a f i a
H. CRAMER: Collective Risk Theory.
H. BOHMAN: Skandinavisk Aktuarietidskrift, 1963,
C. PHILIPSON: Skandinavisk Aktuarietidskrift, 1963.
V. S u m m a r y
In this paper, they are discussed the var ious mathemat ica l developments of a d i s t r ibu t ion funct ion, such as the Edgewor th series, Esscher t ransfor- mation, and others in ~vhich Hermite po lynomia l s are used.
VI. R e s u m e n
En esta memor ia se es tudian los diversos desarrol los matem~ticos de una func i6n de d i s t r ibuc i6n , tales como el desarrol lo de Edge-~eorth, la t r ans formac iSn de Esscher y otros seine]antes en los que i n t e rv i enen poli- nomios de Hermite.