F4.1 PAU CampoEléctrico Soluc

7/23/2019 F4.1 PAU CampoEléctrico Soluc

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Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid 2000-2016. Soluciones Campo elécricoenri!ue"#i!uipedia.es $e%isado &0 sepiem're 201(

Como los ejercicios se ponen en orden cronológico inverso, añadir nuevos ejercicios al principio

implica recolocar todas las páginas posteriores con todos los diagramas; para evitarlo se intentan

dejar fijas las hojas finales y a veces se insertan espacios en blanco deliberadamente.

2016-ModeloA. Pregunta 3.- a) El campo eléctrico es conservativo: el campo creado por la carga q asigna a cada punto del

espacio un valor de potencial, por lo que la diferencia de potencial entre dos puntos solamentedepende de dichos puntos.

V P2−V P1

= Kq

R2

−( Kq

R1

)= Kq( 1

R2

− 1

R1

)=9 ·109

·3 ·10−6

·(1

2−1)=−1,35 ·10

4V

Validación física: la carga q es positiva, luego el potencial que genera es positivo y su módulo esmás pequeo cuanto más le!os estemos de la carga, luego al estar "# más ale!ado que "$ tiene un

potencial menor, y la diferencia de potencial es negativa. %) El campo eléctrico es conservativo: el tra%a!o reali&ado por el campo para llevar una carga de un punto a otro solamente depende de la diferencia de potencial entre am%os puntos, no de latrayectoria recorrida entre am%os.

W 1→2=−q1(V P2

−V P1

)=−10−6

·(−1,35 ·104)=1,35 ·10

−2J

El signo positivo, seg'n convenio, indica que se reali&a a favor del campo: el tra%a!o lo reali&a elcampo. (na carga positiva se mueve hacia potenciales menores.2015-SeptiembreB. Pregunta 3.-omo se piden solamente valores escalares *energía potencial y potencial), el diagrama no estotalmente imprescindi%le, ya que no hay que representar vectores, solamente tener claras las

posiciones relativas y distancias.a) "ara cada una de las tres cargas, su energía potencial se o%tiene por superposición como suma deenergía potencial asociada al campo creado por cada una de las otras dos cargas. omo lasdistancias entre cargas son iguales, será el do%le de energía potencial asociada a una 'nica carga.

E p carga3= E p carga1+ E p carga2= K qqd

+ Kqqd

=2 K q2

d =2 ·109· (10

−6

)2

0,1=0,18 J

%) "ara el punto medio de cada lado, el potencial se o%tiene por superposición como la suma de potencial asociado al campo creado por cada una de las + cargas. os de ellas están a una distanciade - cm, y la otra a una distancia igual a la altura del triángulo equilátero, que es $/sen*01)

V puntomedio entre2 cargas=2 V cargasese lado+vcargaopuesta=2 K q

d /2+

Kq

d·sen(60 º )

V puntomedio entre2 cargas=2 · 109

·10

−6

0,05+10

9·

10−6

0,1·sen (60 º )=4,64 · 10

5V

res cargas iguales, cada una de $2, están situadas en los vértices de un

triángulo equilátero de $ cm de lado. alcule:a) 3a energía potencial electrostática de cualquiera de las cargas. %) El potencial eléctrico en el punto medio de cualquier lado.ato: onstante de la 3ey de oulom%, 4 5 6/$6 7 m# 8#.2015-Junio-CoincidenteB. Pregunta 3.- (Gauss en lámina infinita cargada !"#$%&eptiembre%', !"#"%)unio%*ase +specfica%-%Cuestión!%

b, !""%/odelo%-%0roblema#1

a) (tili&amos directamente la e9presión del campo generado por una lámina infinita cargada, que se puede deducir utli&ando la ley de auss. El campo es perpendicular al plano, y como la densidadsuperficial de carga es positiva, el campo va dirigido hacia fuera del plano, siendo su módulo

| + |= σ#ε independiente de la distancia a la que nos encontremos del plano.

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mailto:[email protected]






| + |= σ#ε

=$−0

# 2;,;- 2$−$#=-,0- 2$< 3 /C

%) El campo eléctrico es conservativo: el tra%a!o reali&ado por el campo para llevar una carga de un punto a otro solamente depende de la diferencia de potencial entre am%os puntos, no de latrayectoria recorrida entre am%os.omo el campo eléctrico es uniforme

+ =− grad 4 ⇒| + |=Δ4 Δ 5

⇒ Δ4 =| + |Δ 5

=ustituyendoW 1→2=−q(V 2−V 1)=5· 10

−6·(5,65 ·10

4·0,10)=2,83 · 10

−2J

El signo positivo, seg'n convenio, indica que se reali&a a favor del campo: el tra%a!o lo reali&a elcampo. (na carga positiva se mueve hacia potenciales menores, y se movería ale!ándose del planocargado positivamente.2015-JunioB. Pregunta 3.- Cierta similitud a otros problemas con triángulos e6uiláteros !"#"%)unio%Coincidentes%'!, !"""%

&eptiembre%'!.a) >eali&amos un diagrama seg'n el enunciado,llamando q$ a la carrga en el vértice inferior i&quierdo *punto ?) y q# a la carga en el vérticeinferior derecho *punto @)."ara calcular el campo lo podemos resolver de dosmaneras equivalentes:?. (tili&ando la definición vectorial de campo

eléctrico + = 7 8

r # ur y que ur =

r

∣r ∣3a distancia de las dos cargas al tercer vértice es la

misma, # cm 5 ,# m al ser un triángulo equilátero.omo los ángulos del triángulo equilátero son de01, para su altura, que es la coordenada y del tercer vértice *punto ), podemos plantear seg'n eldiagrama

tg 0. 9 =

:C

'- /#

:C = '- tg 0. 9

# =

.,.#2√ +#

=.,.$ 2√ +m

El vector que va de ? a es ,$ i +,$√ + j

El vector que va de @ a es y −.,.$ i +.,.$

√ + j

+ (C )= 7 6$

.,.##

(.,.$ i +.,.$√ + j).,.#

+ 7 6#

.,.##

(−.,.$ i +.,.$√ + j).,.#

Como6$=6#=#2$.−6

+ (C )=6 2$.6 # 2$.

−6

.,.#+ .,.$ ( i +√ + j− i +√ + j)=$; 2

.,.$

.,.#+

(#√ + j)

+ ( 0 )=A,; 2$.< j 3 / C

@. "or trigonometría, calculando módulos y descomponiendo componentes 9 e y de cada vector enfunción del ángulo B. En este caso B 5 01| + 6$ 5|=| + 6 # 5|;| + 6$ y|=| + 6 # y| "or la simetría, por lo que solamente hay componente y, su valor

será dos veces la componente y asociada a una 'nica carga, ya que am%as son iguales.

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| + (C )|=#| + 6$ y (C )|=#2 7 6$

.,.## sen (0. 9 )=# 26 2$.

62 #⋅$.−6

.,.## ⋅.,;00=A,;2$.

< 3 /C

Comando signos del diagrama y sumando vectorialmente, llegamos al mismo resultado.

El cálculo de potencial es más sencillo ya que es un escalar y no implica vectoresD utili&ando el principio de superposición el potencial total en es la suma de los potenciales creados por las

cargas en ? y @. omo am%as cargas son iguales y están a la misma distancia de , ,# m.4 (C )=# 7

6$

r $=# 26 2$6

2#2$−6

,# =$,; 2$+

4

%) ?l colocar una carga en el punto , que llamamos q+58#/$86 , la fuer&a se o%tendrá utili&ando elcampo total o%tenido en el apartado a, y como la carga es negativa y las otras dos positivas, será unafuer&a dirigida hacia el centro de coordenadas.

* (C )=6 + =−#2$−62A,;2$<

j=−$,-02$−< 3

2015-ModeloA. Pregunta 3.- >eali&amos un diagrama para visuali&ar me!or la configuración de cargas:

a) (tili&amos el principio de superposición para calcular la e9presión del potencial total creado por las tres cargas V total=V 1+V 2+V 3

V 1= K

q1

r AP

=9 ·109

·3 ·10

−6

5=5400V D r AP=√ (3−0)2+(4−0)2=5m

V 2= K

q2

rBP

=9 ·109· 1·10

−6

4=2250V D rBP =√ (3−3)2+(4−0)2=4m

V 3= K q3

rCP

=9 · 109

·q3

3 =3 · 10

9·q 3 D rCP=√ (3−0)2+(4−4)2=3m

V total=V 1+V 2+V 3⇒10650=5400+2250+3 ·109

· q3⇒q3=10650−5400−2250

3 · 109

=1 ·10−6=1μC

%) (tili&amos el principio de superposición para calcular la fuer&a total. 3lamamos q< a a la carga enel punto ". 3o podemos resolver de dos maneras equivalentes

?. (tili&ando la definición vectorial de la fuer&a eléctrica * = 7 6$6#

r #

ur y que ur = r

∣r ∣alculamos el vector ur que va de ? a ", conociendo la distancia ?" ya calculada antes

ur =+ i+ < j

- =

+- i+

<- j

* $= 7 6$ 6<

r '0

# ur =6⋅$6⋅+⋅$−0

2(−A 2$−0)

-# (+- i +

<- j)

* $=−<,-+0 2$−+ i −0,<;2$−+ j 3

El vector u r que va de @ a " es j , y la distancia @" son < m

* #= 7 6# 6<

r -0

# ur =62$.6 2 $ 2$.−6

2(−A 2$.−6

)<

# j⇒ * #=−+,6+A-2$.−+ j 3

El vector u r que va de a " es i , y la distancia " son + m

* += 7 6+6<

r C0

# ur =6 2$62$ 2$−6

2(−A 2$−6)

+# i ⇒ * #=−A 2$−+

i 3

=umando am%as tenemos * total =−$,$-+0 2$.

−# i −6,6;--⋅$.−+ j 3

@. "or trigonometría, calculando módulos y descomponiendo componentes 9 e y de cada vector enfunción del ángulo B. En este caso B 5 -+,$+1 5 arctg *<+), cos*B)5+-5,0D sen*B)5<-5,;

| * $|= 7

6$6<

r '0

# ur =6⋅$.6⋅+⋅$.−0

2(−A 2$.−0)

-# =A,-0 2$.

−+

3

| F 1 |=| F 1|·cos (α)=7,56 ·10−3

·0,6=4,536 ·10−3

!

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| F 1 "|=| F 1|·sen (α)=7,56 ·10−3

·0,8=6,048 ·10−3

!

| * #|=| * # y|= 7 6# 6<

r -0

# ur =

6⋅$.6⋅$⋅$.−02 (−A 2$.

−0)

<#

=+,6+A-2$.−+

3

| * +|=| * + 5|= 7 6+6<

r C0

# ur =

6⋅$.6⋅$⋅$.−02(−A 2$.

−0)

+#

=A 2$.−+

3

Comando signos del diagrama y sumando vectorialmente, llegamos al mismo resultado * total =−$,$-+0 2$.

−# i −6,6;--⋅$.−+ j 3

*Cam%ién podríamos ha%er calculado primero el campo total en el punto ", y luego la fuer&acom%inando el valor de campo y el de la carga en el punto ")201!-SeptiembreB. Pregunta 3.- a) 3lamamos q$ a la carga en "$, q# a la carga en "#, q+ a la carga en "+ y q<

a la carga en "<. >eali&amos un diagrama. "or el principio desuperposición, el campo eléctrico total será la suma de los camposgenerados por las cuatro cargas. "or la simetría de la configuración, vemos

que el campo asociado a q$ se anula con el campo asociado a q+. "ara queel campo eléctrico sea nulo en *,), el campo asociado a q< de%e anularsecon el campo asociado a q#. omo la distancia de los puntos "# y "< a *,)es la misma, la carga q< tiene que tener el mismo valor que q#5 # 2."or el principio de superposición, el potencial eléctrico total será la sumade los potenciales generados por las cuatro cargas. omo las cuatro carga son iguales y lasdistancias al punto tam%ién

V total(0,0)=4 ·V 1(0,0)=4 · K ·q1

R1

=4 · 9· 109

·2· 10

−6

√ (10−3)2+(10

−3)2=5,09 · 10

7V

%) "or el principio de superposición, el potencial eléctrico total será la

suma de los potenciales generados por las cuatro cargas. "ara que el potencial se anule, dado que las cargas q$, q# y q+ son positivas ygenerarán un potencial positivo, la carga q< de%e ser negativa.

V 4(0,0)=−3 · V

1(0,0)⇒ K·

q4

R4

=−3 · K ·q1

R1

⇒ q4=−3 ·q

1=−6μ C

"or el principio de superposición, el campo eléctrico total será la sumade los campos generados por las cuatro cargas. >eali&amos un nuevodiagrama. Cal y como se ha ra&onado en el apartado a, de nuevo loscampos generados por q$ y q+ se anulan entre sí. =in em%argo, como q< ahora es negativa, el campogenerado por q< y q# tienen ahora el mismo sentido."or la geometría de la configuración, las componentes 9 e y del campo son iguales: calculamos el

módulo inicialmente

| E2|= K ·|q2| R

2

2=9·10

9·

2·10−6

(10−3)2+(10−3)2=9 ·10

9V / m

| E4|= K ·|q4| R4

2=9 ·10

9·

6 ·10−6

(10−3)2+(10

−3)2=2,7 · 10

10V /m

omo tienen misma dirección y sentido| E total|=| E2|+| E4|=9 · 10

9+2,7 · 1010=3,6 ·10

10V /m

(sando la geometría de la configuración, e9presamos el campo vectorialmente: Etotal (0,0)=3,6·10

10·cos(45º ) i +3,6·10

10·sen(45 º ) j V / m=2,5 ·10

10 i +2,5·1010 j V /m

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201!-Junio-CoincidenteB. Pregunta 3.- 3lamamos q$ a la carga en *,+), q# a la carga en *,8+), " al punto *$,), F al punto *,) y > al

punto *8$,), y los representamos en un diagrama *distancias en cm)a) El potencial en " es la suma de potenciales asociados a q$ y q#, utili&ando el principio desuperposición, y como am%as cargas son iguales y las distancias al punto " tam%ién coinciden, el

potencial total en " será el do%le del potencial creado por una de las cargas.V ( P)=V

1( P)+V 2( P)=2V

1( P)=2 K q

rq1− P

5 ·103=2·9 ·10

9·

q

√ 0,012+0,032

⇒ q=5 ·10

3·√ 0,001

9 ·109

≈8,78 ·10−9

C

"ara el punto F de manera similar

V (#)=V 1(#)+V 2(#)=2 V 1(#)=2 K q

rq1−#

V (#)=2 · 9· 109

·8,78 · 10

−9

0,03 =5,27 ·10

3V =5,27 $V

%) (tili&ando el principio de superposición + total = + $+ + #3o podemos resolver de dos maneras equivalentes?. (tili&ando la definición vectorial de la campo eléctrico

+ = 7 6

r # ur y que ur =

r

|r |alculamos el vector ur que va de q$ a >, calculando la distancia

utili&ando "itágoras es ur =−,$ i −,+ j

√ ,$#+,+# =−,+$0 i−,6<6 j m

+ $= 7 6$

d # ur

+ $=6 2$.6

2 ;,A;2$.

−6

.,.$#+.,.+#

(−.,+$0 i −.,6<6 j )

+ $=−#,-. 2$.< i −A,-.2$.

< j 3 /C

e manera análoga con q# llegamos a

ur =−,$ i +,+ j

√ ,$#+,+# =−,+$0 i+,6<6 j m

+ #= 7 6#

d # ur

+ #=62$6

2;,A; 2$−6

,$#+,+#(−,+$0 i +,6<6 j)

+ #=−#,- 2$ <i +A,- 2 $<

j 3 /C

=umando am%as tenemos + total (8)=−- 2$ <

i 3 /C

@. "or trigonometría, calculando módulos y descomponiendo componentes 9 e y de cada vector enfunción del ángulo B. En este caso B 5 arctg*+$) 5 A$,-01, pero con la simetría vemos que| + $ y|=| + # y| y que las componentes verticales se cancelan, y que en el e!e 9 am%as componentes

son iguales

| + $ 5|=| + # 5|= 7 6$

d # cos(α)=6 2$6

2;,A;2$−6

,$#+,+# cos(A$,-0 9 )=#,-2$< 3 /C

Comando signos del diagrama y sumando vectorialmente, llegamos al mismo resultado + total (8)=−- 2$.

<i 3 /C

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201!-JunioB. Pregunta 3.-

a) El electrón tiene carga negativa, y como F =q E la fuer&a será opuesta al sentido del campo,de modo que seg'n los sentidos del diagrama será frenado con una fuer&a constante, se detendrá, yluego será acelerado en el sentido opuesto al que llegó, regresando a la posición 95 con el mismomódulo de velocidad.

3a velocidad final del electrón será en la misma dirección pero sentido opuesto, por lo que si v0=−100 i m /s será v % =100 i m /s

7o se pide, pero podemos calcular en qué punto se detendría, utili&ando conservación de energía. Elcampo siempre va dirigido hacia potenciales menores, por lo que el potencial en punto final dondese detiene será menor *tomamos V5) que en el punto inicial de la región, 95, donde será V58Ed

positivo, considerando d distancia recorrida positiva, y la e9presión es una visión simple de E58gradV para el caso de que el módulo del campo eléctrico sea constante como indica el enunciado.

Δ Em=0⇒Δ Ec−Δ E p=0⇒−1

2m v

2−q ΔV =0

−1

2

m v2=−q E d⇒d=

mv2

2qE

=9,1· 10

−31· 100

2

2 ·(−1,6 ·10

−19

)(−8· 10

−9

)

=3,55 m

%) F =q E=−1,6 ·10−19

·(−8 ·10−9

i )=1,28 ·10−27

i !

a= F

m=

1,28 ·10−27

i

9,1·10−31

=1407 i m / s2

omo tenemos la aceleración, podemos validar el cálculo de distancia recorrida hasta detenerse, yaque al ser G>(? se cumple v#8v

#5#as. Velocidad, aceleración y s5989 tienen signo seg'n elsistema de referencia elegido.8=i consideramos el tramo en el que es frenado *velocidad inicial negativa, velocidad final nula,aceleración positiva, y despla&amiento negativo)

v2−v

0

2=2as ⇒ s=−v0

2

2a

=−(−100)2

2·1407

=−3,55m omo s5989 y 95 m *empie&a a detenerse al

entrar en la región con campo en 9H), tenemos que 958+,-- m al detenerse.8=i consideramos el tramo en el que es acelerado *velocidad inicial nula, velocidad final positiva,aceleración positiva, y despla&amiento negativo)

v2−v0

2=2 as⇒ v

2

2a=

1002

2 ·1407=3,55 m omo s5989 y 958+,-- m, 95 m cuando vuelve a adquirir

de nuevo la velocidadD como no hay fuer&as no conservativas regresa con la misma energía cinéticaal mismo punto.201!-ModeloA. Pregunta 3.- a) omo enunciado indica una carga puntual q, comparamos la e9presión con la de la ley de

oulom% + = 7 6

r # ur =

6

r # ur ⇒ 76=6⇒ 6= 6

7 = 6

6 2$.6=$.

−6C =$ nC

%) ; '→ -=∫ '

-

* d r =6 < ∫r '

r - + d r =6 < ∫-

$. 6

r # dr =6 < [

−6

r ]

-

$.

=6 < (−6

$.+6

-)=

6q <

$.

Cam%ién podíamos ha%er planteado I58qJKV y calcular potenciales.Lgualando 86/$8056qJ$ M qJ58$8- 5 8$ 2

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2013-SeptiembreA. Pregunta 5.- (Gauss en lámina infinita

cargada !"#"%)unio%*ase +specfica%-%

Cuestión!%b, !""%/odelo%-%0roblema#1

a) >eali&ando un diagrama en el fi!amos la láminaen el plano NO y asumimos carga positiva,

podemos compro%ar como, al ser la lámina plana einfinita, la contri%ución del campo en un puntoconcreto de la carga e9istente en cualquier diferencial de superficie, siempre genera un campocuya componente paralela al plano NO siempre

puede ser cancelada por la componente paralela al plano NO del campo generado por la cargae9istente en otro diferencial de superficie situadode manera simétrica respecto a la proyección del punto so%re el plano de carga. "or lo tanto

podemos concluir que el campo será perpendicular al plano, en la dirección del e!e &, y podemoselegir como superficie gaussiana una superficie cerrada que tenga dos caras planas a una distancia d

del plano, conectadas por una superficie perpendicular al plano. E!emplos podrían ser un prisma oun cilindro: la forma de las secciones planas de la superficie es indiferente. ?plicando auss a estasuperficie

Φc=∮& + ⋅d & =(∫Cara&uperior

+ d & +∫Cara=nferior + d & +∫Caras>aterales

+ d & )=Σ8ε.

omo en las caras laterales el campo y el vector superficie son perpendiculares, su productovectorial es cero, tomando una superficie de las caras superiores e inferiores muy pequea por loque vector campo será uniforme en toda ella, y teniendo en cuenta que por simetría serán iguales enmódulo, podemos escri%ir

Φc=#∣ + ∣∫Cara&uperior d& =#∣ + ∣& =

Σ8ε

"ara calcular la carga encerrada, como σ=8

& ⇒8=σ &

=ustituyendo #| + |& =σ & ε.

⇒| + |= σ#ε.

En esta e9presión es nota%le que el campo no depende de la distancia a la que estemos de la lámina:si estamos muy cerca las componentes perpendiculares de los puntos de la placa cercanos son másintensas, pero las contri%uciones de los puntos le!anos tienen menor componente perpendicular a lalámina, mientras que si estamos muy le!os, las componentes perpendiculares de los puntos de la

placa cercanos son menos intensas, pero las contri%uciones de los puntos le!anos tienen mayorcomponente perpendicular a la lámina.

%) Cal y como se ha ra&onado en el apartado a, el campo eléctrico es constante en el e9terior de la

lámina. El campo y el potencial están relacionados, + =− grad 4 , 4 '−4 -=∫ '

-

+ d r .

=i los dos puntos están separados una distancia d en dirección perpendicular al plano cargado, al ser el campo eléctrico de módulo constante y perpendicular al plano, se llega a∣4 '−4 -∣=∣ + ∣d = σ

#ε.

d . "ara e9presarlo con signo tenemos que aclarar la posición relativa de ?

y @: asumiendo que @ es más le!ano a la placa que ?, como el campo va dirigido hacia el e9terior

de la placa, tendremos 4 '−4 -= σ#ε

d

=i los dos puntos están separados una distancia d en dirección paralela al plano cargado, al ser el plano eléctrico de módulo constante y perpendicular al plano, am%os puntos estarían en unasuperficie equipotencial, perpendicular al vector campo, y la diferencia de potencial sería nula.2013-Junio-Coincidente

A. Pregunta 3.- a) (tili&ando el principio de superposición, el campo total será la suma de los campos creados porcada una de ellas. =e podría reali&ar un diagramaD sería simple ya que am%as cargas están en la

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misma línea recta, que es el e!e 9, el punto medio es *,$) cm, que llamamos ", y al ser el puntomedio la distancia de am%as cargas a " es la misma e igual a ,$ m

E1( P)= K q1

d2 ur=9· 10

9·2 ·10

−6

0,12 i=1,8 ·10

5 i ! /C

E2( P)= K q2

d2 ur=9 ·10

9·−4 · 10

−6

0,12 (− i )=3,6 · 10

5 i ! /C

Etotal( P)= E1( P)+ E2( P)=1,8 · 105 i +3,6 · 105 i=5,4 · 105 i ! /C

%) 3o podemos plantear de varias maneras:$. on la definición de tra%a!o en función de potencial

W ∞→ P=−q · Δ V =−q (V ( P)−V (∞))=−q ((V 1( P)+V

2( P)))=−q( K q

1

d1

+ K q

2

d2

)

W ∞→ P=−0,01·10−3

·(9 ·109(2 ·10

−6

0,1+

−4 ·10−6

0,1))=1,8J

El tra%a!o es positivo, luego se reali&a a favor del campolo reali&a el campo. =e puede ver que es lasuma de tra%a!o asociado a colocar esa carga respecto a cada una de las dos cargas: respecto a lacarga positiva el tra%a!o es negativo, se reali&a contra el campo porque es acercar desde el infinitouna carga positiva a otra positiva, y respecto a la carga negativa el tra%a!o es positivo, lo reali&a elcampo. omo la carga negativa es mayor en módulo, el término asociado positivo prevalece.#. on la interpretación del concepto de energía potencial, que es *ver apuntes en PiFui"edia)%Cambiado de signo, reali?ado por el campo para llevar una carga desde la referencia (@1 hasta

ese punto.

% reali?ado por campo para llevar una carga desde ese punto a la referencia @.

% aportado (reali?ado e5ternoAcontra el campo1 para llevar una carga desde @ hasta ese punto

Btraerla del infinito, + aportada para crear esa configuración de cargas

3a energía potencial de una carga de ,$ m en ese punto es

E p( P)= E p 1( P)+ E p 2( P)= K q1

q

d1

+ K q2

q

d2

= K q(q1

d1

+q2

d2

)

E p( P)=9 ·109

· 0,01 ·10−3(

2 ·10−6

0,1 +

−4 ·10−6

0,1 )=−1,8 J

W ∞→ P(reali&ado por el campo)=− E p ( P)=1,8J

2013-JunioB. Pregunta 1.- a) =i am%as cargas se repelen tienen el mismo signo. =i la suma es positiva, am%as tienen signo

positivo.

* = 7 6$6#

r # ⇒#=62$6

26$ 6#

,## ⇒ 6$ 6#=;,6 2$−$#

=ustituimos q$Qq# 50/$80

6$2(0 2$.−0−6$)=;,6 2$.

−$#⇒ 6$

#−0 2$.−0

6$+;,6 2$.−$#=.

6$=02$−0±√ (0 2$−0)#−< 2$ 2(;,6 2$−$#)

# =

0 2$−0±0,+# 2$−A

# =#,0; 2$−0

C

+,+# 2$−0C

3os dos resultados son válidos y están asociados las dos cargas q$ y q#. %) En el punto medio de la recta que une am%as cargas los vectores campo eléctrico tendrán sentidosopuestos, ya que am%as cargas tienen el mismo signo y se repelen, pero no tendrán el mismomódulo, ya que aunque la distancia de las dos cargas a ese punto sea la misma, no lo son los valoresde la carga.Comamos unas posiciones ar%itrarias en el e!e N para dar el resultado *las cargas podrían estar

invertidas respecto a esta elección pero el planteamiento sería similair): suponemos que q $5#,0;/$80

está en el origen de coordenadas, y q#5+,+#/$80 en 95,# mEl campo en el punto medio, 95,$ m

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E$54q$r #56/$6/#,0;/$80,$#5#,</$0 7 *dirigido hacia 9 positivas)E#54q#r #56/$6/+,+#/$80,$#5+/$0 7 *dirigido hacia 9 negativas)(tili&ando el principio de superposición, el campo total será

+ = + $+ + #=(#,< 2$.0−+2$.

0 ) i =−0 2$.- i 3 /C

?l estar am%as cargas a la misma distancia, el campo total tiene el sentido de la carga mayor.2013-Modelo

B. Pregunta 3.- a) "ara aplicar el teorema de auss utili&amos como superficie una esfera concéntrica con el centrode la esfera maci&a no conductora, con radio r5#> de modo que pasa por el punto en el quequeremos calcular el campo. "or la simetría del pro%lema el campo será siempre perpendicular a lasuperficie elegida, tendrá el mismo módulo en toda la superficie, y al ser positiva la carga contenidael campo estará dirigido hacia el e9terior de la esfera.

∮& + d & =

Σ8ε.

=e nos da como dato 7 =$

<πε

∣ + ∣∮& d & =<π 7 8 ⇒∣ + ∣=< π 7

8

<π r #= 7

8

r # E9presión idéntica a la de una carga puntual.

"ara r5#> + =6 2$

6

2$

−0

(#2,#)# =-,0#-2$<4 /m

El potencial tiene la misma e9presión que para una carga puntual

4 = 7 8

r =

6 2$.6

2$.−0

#2.,#=#,#-2$.

<4

%) (tili&amos el principio de conservación de la energía mecánica

$. "osición inicial. E p5 *posición muy le!ana), + c=$#

m v#=

$#

2+ 2$−$#

2($-)

#=$,- 2$

−# )

#. "osición final. E p54Fqr54F#rD Ec5 *se parará)Lgualando am%as

$,-2$−#=6 2$6 2($−0)#

r ⇒r =6 2$

6

2$

−$#

$,- 2$−# =,0m

2012-SeptiembreA. Pregunta 3.- (Cierta similitud con !""#%&eptiembre%-.0roblema !1

a) >eali&amos un diagrama con las cargas, donde se ve que am%as cargas están situadas en el e!e N.(tili&ando el principio de superposiciónel potencial creado por am%as cargas esla suma de los potenciales creado por cada una de ellas, por lo que, si tomamosun punto N genérico de coordenada 9 *por ser genérico no asumimos situado entre am%as cargas, siasumimos situado entre am%as cargas la resolución es más sencilla).

3a distancia entre 9 y q$ será R8$89R : puede que q$ esté situado a la i&quierda o a la derecha de N.3a distancia entre 9 y q# será R98+R : puede que q# esté situado a la i&quierda o a la derecha de NV5V$QV#54q$r $ Q 4q#r # 54*#/$8+R8$89R Q *8</$8+)R98+R)=i igualamos a cero: #/$8+R8$89R5</$8+R98+R#/R98+R5</R8$89R M ividimos por # M R98+R5#R8$89R"ara asignar valores de%emos contemplar las casuísticas de cada uno de los dos valores a%solutos,teniendo en cuenta sus propiedades: RaR 5a si aS , y RaR58a si aH8aso $: *98+S y 8$89S M 9S+ y 9H8$): puntos N que cumplen am%as condiciones no e9isten8aso #: *98+S y 8$89H M 9S+ y 9S8$): punto N de am%as condiciones en intervalo *8$, T)98+5#*$Q9)M 895- M 958- m. 7o e9iste solución en ese intervalo8aso +: *98+H y 8$89H M 9H+ y 9S8$): punto N de am%as condiciones en intervalo *8$,+), entre

am%as cargas89Q+5#*$Q9)M 8+958$ M 95$+ m.

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8aso <: *98+H y 8$89S M 9H+ y 9H8$): punto N de am%as condiciones en intervalo *8T, +)89Q+5#*8$89)M 958- m3as soluciones son puntos de e!e 9 *línea que une las cargas) con coordenadas 958- m y 95$+ m."odemos compro%ar que el potencial eléctrico es nulo:V*958-)54*#/$8+R8$Q-R Q *8</$8+)R8-8+R)54*#/$8+< Q *8</$8+);)5 VV*95$+)54*#/$8+R8$8$+R Q *8</$8+)R$+8+R)54*#/$8+*<+) Q *8</$8+)*;+))5V

3ota salen dos puntos y apartado b indica Bese punto singular. +nunciado apartado a dice puntode la lnea 6ue las une, no e5plcitamente entre ellas.

%) =eg'n el apartado a) el potencial creado por am%as cargas es nulo. (tili&amos solamente el punto95$+ m. Fue el potencial sea nulo no implica que el campo total sea nulo *tal y como estáredactado el enunciado, asumimos que se pide solamente el campo total).(tili&ando el principio de superposición, el campo será la suma de am%os campos. =in utili&arvectores ya que están las fuer&as en el e!e N, sí tenemos en cuenta el signo para indicar el sentido.E5E$QE#

E$ será positivo ya que q$ es positiva y el punto está a su derecha.E# será positivo ya que q# es negativa y el punto está a su i&quierda.E54Rq$Rr $#Q4Rq#Rr ##56/$6/*#/$8+*<+)# Q *</$8+*;+)#)5$,-/$A Vm

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2012-JunioA. Pregunta 3.-a) =iendo la velocidad hacia 9 positivas, la fuer&a es de frenado estará dirigida hacia 9 negativas.omo * =6 + , dado que la carga del electrón es negativa, el campo eléctrico está dirigido hacia9 positivas, en el mismo sentido que la velocidad."odemos plantear la conservación de la energía mecánica: inicialmente antes de entrar solo tiene

energía cinética y al frenarse completamente solamente tiene energía potencial del campo eléctrico.omo es un campo eléctrico uniforme y E58grad*V), en el e!e 9 podemos plantear E58KVK9"or definición el potencial es la energía potencial eléctrica por unidad de carga, por lo que$

#mv

#=6 Δ 4 =−6 + Δ 5 ⇒ + = m v

#

−#6 Δ 5=

6,$$ 2$.−+$

2(#2$.0)#

−# 2(−$,0 2$.−$6) 2.,6

=$#,0-4 / m

Vectorialmente + =$#,0- i 4 / m

%) "or el teorema de las fuer&as vivas ya que sólo act'a la fuer&a del campo eléctrico I5KEc, y almismo tiempo por definición de Energía potencial I58KEpD en este caso KEc58KEp ya queKEcQKEp5 al conservarse la energía mecánica.I58KEp58qKV58q/*8EK9)58*8$,0/$8$6)/*8$#,0-/,6)58$,;#/$8$; UEl tra%a!o es negativo, y podemos reali&ar algunas validaciones cualitativas:83a variación de Ec es negativa: Ec final5, Ec inicial S , luego la variación es negativa.8El tra%a!o es negativo ya que la variación de Ep es positiva *es mayor en punto final), y para cargasnegativas, se tiende a potenciales mayores ya que implican menores energías potenciales, el campoestá dirigido siempre hacia potenciales menores.8=i planteásemos tra%a!o como integral del producto escalar de fuer&a del campo y despla&amiento,tienen sentidos opuestos y aparecería un signo menos en su producto escalar. El tra%a!o se reali&acontra el campoW, en sentido opuesto al que el campo llevaría la partícula, y por eso estáaumentando la Ep de la partícula, que luego se podrá recuperar: regresará por donde ha venido yvolverá a salir de la &ona en la que penetró con la misma Ec *el campo ha conservado la energía),

pero sentido opuesto.

2012-ModeloA. Pregunta 5.-a) (tili&ando el principio de superposición

* total = * $+ * #3o podemos resolver de dos maneras equivalentes?. (tili&ando la definición vectorial de la fuer&a

eléctrica * = 7 6$6#

r # ur y que ur =

r

|r |El vector unitario que va de q$ a q# es el vector ! y ladistancia entre ellas es 3

* $= 7 6$ 6+

># j=

6⋅$6⋅-⋅$−6⋅(−-⋅$−6)

$,## j

* $=−$,-0⋅$−A j 3

alculamos el vector ur que va de q# a q+, calculando

la distancia entre ellas utili&ando "itágoras es ur =− > i+ > j

√ >#+ ># =

−$

√ # i +

$

√ # j

* #= 7 6# 6+

# ># ur =

6⋅$6⋅-⋅$−6⋅(−-⋅$−6)

#⋅$,## (−$√ # i +

$√ # j)=+-,-#⋅$−;

i−-,-#⋅$−; j 3

=umando am%as tenemos * total =+-,-#⋅$−;

i−#,$$⋅$−A j 3

@. "or trigonometría, calculando módulos y descomponiendo componentes 9 e y de cada vector en

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función del ángulo B. En este caso B 5 <-1 5 arctg *$), cos*B)5sen*B)5 √ ##

= $

√ #, no es necesario

descomponer * $ , y | * # 5|=| * # y| ya que el ángulo es de <-1.

| * # 5|=| * # y|= 7 6# 6+

# ># cos <-9 =

6⋅$.6⋅-⋅$.−6⋅(−-⋅$.−6)

#⋅$,## (

$

√ #)=-,-#⋅$.−;

Comando signos del diagrama y sumando vectorialmente, llegamos al mismo resultado * total =+-,-#⋅$.−; i −#,$$⋅$.−A j 3

%) 3lamamos punto ? al punto del apartado ?, y volvemos a utili&ar principio de superposición paralas energías potenciales.

'→ 0 =−Δ + p=−( + p( 0 )− + p( '))

r 6$ 0 =√ $,##+$,##=$,#√ # m=$,Am ; r 6# 0 =$,#m

+ p( 0 )= + p( 0 ,6$)+ + p( 0 ,6#)= 7 6$ 6+

r 6$ 0

+ 7 6# 6+

r 6 # 0

+ p ( 0 )=6⋅$6⋅-⋅$−6⋅(−-⋅$−6)⋅($

$,A+

$$,#

)=−+,#⋅$−A )

r 6$ '=$,# m; r 6# '=√ $,##+$,##=$,#√ # m=$,A m

+ p ( ')= + p( ' ,6$)+ + p( ' ,6#)= 7 6$ 6+

r 6$ '

+ 7 6# 6+

r 6# '

+ p( ')=6⋅$6⋅-⋅$−6⋅(−-⋅$−6)⋅($

$,#+

$$,A

)=−+,#⋅$−A )

'→ 0 = )

El tra%a!o es nulo ya que en am%os puntos tiene la misma energía potencial, y son fuer&asconservativas. ualitativamente podemos pensar que durante parte del trayecto será el campo quienrealice el tra%a!o, y durante otra parte ha%rá que reali&ar tra%a!o de manera e9terna al campo, siendoel resultado neto nulo.2011-Septiembre-CoincidenteA. Cueti"n 2.- a) 7o se puede afirmar, ya se pueden poner al menos un e!emplo de situación en la que puedenhacer que el flu!o sea nulo sin ser el campo eléctrico nulo.3a definición de flu!o a través de una superficie cerrada es ∮&

+ d & , y precisamente por la leyde auss está relacionado con las cargas e9istentes en el interior. =i el flu!o en la superficie cerradaes nulo, la carga neta e9istente en el interior es nula, y puede ocurrir de dos maneras:E!emplo $: 3a carga neta es nula porque no hay cargas en el interior, pero el campo eléctrico esuniforme: entre las placas de un condensador. =i la superficie cerrada es un cu%o y el campoeléctrico uniforme es paralelo a cuatro de sus caras, la integral se puede descomponer en la suma de

0 integrales, una por cada cara del cu%o, y cuatro de esas integrales serían nulas ya que el camposería paralelo a la superficie. "ara las otras dos caras, las integrales tendrían el mismo valornumérico pero distinto signo, por lo que el flu!o total sería nulo. Enla&a con la definición cualitativade que el flu!o a través de una superficie es una medida del n'mero neto de líneas de campo que laatraviesan, y como en este caso entran tantas como salen, su flu!o es nuloE!emplo #: 3a carga neta es nula porque hay cargas en su interior, pero el valor de las cargas

positivas es igual al valor de las negativas. El caso más sencillo serían dos cargas, una positiva yotra negativa, am%as del mismo módulo *sería similar al apartado %, si el valor numéricocoincidiese). En ese caso, se puede visuali&ar, a través de las líneas de campo, que el camporesultante no es nulo en toda la superficie de la esfera.

%) (tili&ando la ley de auss, la esfera encierra a su interior las dos cargas *realmente están en el

%orde de la esfera, pero las suponemos puntuales y que las contiene la esfera)

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∮& + d & =Φ=

Σ 8ε.

omo se nos da como dato 7 =$

<πε*unidades 4 y $X coinciden)

Φ=< π⋅6⋅$6(#⋅$−0−;⋅$−0)=−0,A6 2$-[ 3 m#C

−$][4 m ] *Y!o: I% es para magnético)B. Cueti"n 3.-a) i%u!amos el diagrama de fuer&as.(tili&amos el principio de superposición para calcular la fuer&a

resultante * resultante= * 6$+ * 6#

"odemos resolver de dos maneras equivalentes:?. (tili&ando la definición vectorial de fuer&a eléctrico

* = 7 66 <

r # ur y que u r =

r

∣r ∣El vector que va de q$ a q+ es ,#- i y el vector unitario i

* 6$= 7

6$ 6+

r 6$ 6+

# ur =

6⋅$.6⋅-$.−6⋅(−-$.−6)

.,#-#

i =−+,0⋅$.−0 i 3

El vector que va de q# a q+ es,#-

# i−,#- √ +

# j y el vector unitario

$# i−√ +

# j

* 6#= 7

6# 6+

r 6# 6 +

# ur =

6⋅$.6⋅-$.−6⋅(−-$.−6)

.,#-#

⋅$

#⋅( i −√ + j)=−$,;⋅$.−0 i ++,$#⋅$.−0 j 3

=umando vectorialmente: * resultante=−-,<⋅$.−0 i ++,$#⋅$.−0 j 3


función del ángulo B501 en este caso, con cos*B)5 Z y , sen*B) 5 √ +#

, no es necesario Pq$.

∣ * 6#∣= 7

∣6# 6+∣r 6# 6+

# =6⋅$6⋅∣- $−6⋅(−-$−6)∣

,#-# =+,0⋅$−0 3

∣ * 6#9∣=∣ * 6 #

∣cos01=$,;⋅$0 3 ;∣ * 6#y

∣=∣ * 6#∣ sen01=+,$#⋅$0

3 ;

Comando signos del diagrama y sumando vectorialmente, llegamos al mismo resultado %) 3lamamos ? al punto que se encuentra a q+ inicialmente, representado en el diagrama

; '→∞=−Δ + p=−6 Δ 4 =−6 (4 ∞−4 ' )=6+4 'total

?plicando superposición, y teniendo en cuenta que las cargas q$ y q# son idénticas y su distancia al punto ? es la misma

4 ' total =4 ' 6#+4 ' 6!= 7 6$

r 6$6+

+ 7 6#

r 6 #6+

=#⋅6⋅$.6 -⋅$.−6

.,#-=+0.4

=ustituyendo para o%tener el tra%a!o en la e9presión anterior '→∞=−-⋅$.−6⋅+0.=−$,;⋅$.−0

)

El tra%a!o es negativo, luego de%e ser reali&ado e9ternamente al campo, no lo reali&a el campo.ualitativamente podemos ver que estamos ale!ando una carga negativa de dos cargas positivas.2011-SeptiembreB. Problema 2.- a) (tili&ando el principio de superposición, como se puede ver en el diagrama

+ D = + 6#+ + 6!= 7 6$

r $# i + 7

6#

r ## j

+ D =6⋅$6⋅A,$$⋅$−6

<# i +

6⋅$6⋅+,⋅$−6

+# j=< i ++ j 3 /C

%)

4 D =4 6#+4 6!= 7 6$

r $

+ 7 6#

r #

4 D =6⋅$6⋅A,$$⋅$−6

< +

6⋅$6⋅+,⋅$−6

+ =$0+6=#- 4

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c) 3a distancia entre el origen y el punto *<,+) es de √ <#++#=-m

4 D =4 6#+ 4 6!+4 6$= 7 6$

r $+ 7

6#

r #+ 7

6+

r +=.

.=#-+6⋅$.6⋅6+

- ⇒ 6+=

−#-⋅-

6⋅$.6 =−$+,6⋅$.−6

C

d) ualitativamente se ve que tiene que ser una carga negativa paracompensar el campo generado por las otras dos cargas calculado enapartado a. =e puede hacer por trigonometría o utili&ando la definición

vectorial de campo eléctrico + = 7 8

r # ur y que u r =

r

∣r ∣El vector que va de q< a *<,+) es < i ++ j y la distancia entre ellas es √ <#++

#=-m

+ 6E= 7 6<

r 6E

# ur =6⋅$.6⋅6<

#-

( < i ++ j)-

"ara que el campo sea nulo, la suma vectorial del campo generado por las dos primeras cargas q$ yq# calculado en apartado a y el de esta nueva carga q< de%e ser nulo, por lo que

+ 6E=− + D ; 6⋅$.

6

⋅6<

#-(< i ++ j)

-=−< i −+ j ⇒ 6+=−$#-

6⋅$.6=−$+,6⋅$.−6

C

El resultado de apartado c y d coinciden, aunque el hecho de que el potencial eléctrico *magnitudescalar) en un punto sea nulo no implica necesariamente que el campo *magnitud vectorial) seatam%ién nulo.2011-Junio-CoincidenteA. Prob#ema 1.-a) 3lamamos q$ a la carga en *#,), q# a la carga en *8#,), q+ a la carga en *,8$), y " al punto *,$).(tili&ando el principio de superposición + total = + $+ + #+ + +"or simetría podemos ver que la componente 9 del campo generado por q$ y por q# se cancela, y que

su componente y tendrá el mismo módulo para am%as."odemos resolver de dos maneras equivalentes:

?. (tili&ando la definición vectorial de campo eléctrico + = 7 8

r # ur y que ur =

r

∣r ∣El vector que va de q$ a " es −# i + j y ladistancia entre ellas es √ ##+ $

#=√ -m

+ $= 7 6$

r 6$ 0

# ur =6⋅$6⋅$−6

-(−# i + j)

√ -

+ $=−$,0 i+ ,; j 3 /C

El vector que va de q# a " es + # i + j y la

distancia entre ellas es √ ##+ $#=√ -m

+ #= 7 6#

r 6# 0

# ur =6⋅$.6⋅$.−6

-

( # i + j)

√ -

+ #=$,0 i + .,; j 3 /C

El vector que va de q+ a " es # j y la distancia entre ellas es # m *vector unitario es vector !)

+ += 7 6+

r 6+ 0

# ur =

6⋅$.6⋅(−#⋅$.−6)

##

j=−<,- j 3 /C

+ total ( 0 )=(#⋅.,;−<,-) j=−#,0 j 3 /C


función del ángulo B. En este caso B 5 arctg *Z) 5 #0,01, cos*B)5 $

√ -, sen*B) 5 #

√ -, no es

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necesario descomponer + + , no calculamos la componentes 9 que se cancelan, y por simetría∣ + $y∣=∣ + #y∣

∣ + $y∣=∣ + #y∣= 7 6#

- sen#0,0 9 =

6⋅$.6⋅$.−6

-⋅ #

√ -=.,; 3 /C

Comando signos del diagrama y sumando vectorialmente, llegamos al mismo resultado

"ara el potencial eléctrico aplicamos tam%ién superposición.

4 $= 7 6$

r 6$ 0

=6⋅$.6⋅$.−6

√ -=<4 "or simetría V# 5 V$

4 += 7 6+

r 6+ 0

=6⋅$6⋅(−#⋅$−6)

# =−6 4

4 total ( 0 )=#⋅<−6=−$4

%) alculamos el potencial eléctrico en el origen, de manera similar a apartado a, pero sin detallartanto los pasos

4 total (origen)=#⋅6⋅$6⋅$−6

#

+6⋅$6⋅(−#⋅$−6)

$

=#⋅<,-−$;=−64

(na carga positiva es movida por el campo hacia potenciales menores: como está en reposo sólo semoverá si hay un po&o de potencial: si entre am%os puntos hu%iera un potencial constante o una

%arrera de potencial, no se movería clásicamente.El potencial de las cargas q$ y q# pasa de < V en " a <,- V en el origen: crece ya que la distancia alas cargas disminuye y tiene signo positivo.El potencial de la carga q+ pasa de 86 V en " a 8$; V en el origen: decrece ya que la distancia a lascargas disminuye pero tiene signo negativo.alculamos el potencial en un punto intermedio "J *, ,-)

4 total ( 0 < )=#⋅6⋅$.6⋅$.−6

√ ##+ .,-

#+ 6⋅$.6⋅(−#⋅$.−6)

$,-=#⋅<,+A−$#=−+,04

El potencial en un punto intermedio es mayor *n'mero negativo de menor valor a%soluto), luegohay una %arrera de potencial y la carga no llega al origen de coordenadas. =i hu%iera ha%ido un po&ode potencial en lugar de una %arrera, al ser fuer&as conservativas se conservaría la energía, y como

partía del reposo, hu%iera llegado al origen con energía cinética nula.2011-JunioB. Problema 2.-a) 7o se dice e9plícitamente pero consideramos que el conductor está en equili%rio, por lo que lacarga eléctrica se distri%uye en su superficie. "ara calcular el campo eléctrico utili&amos el teoremade auss, tomando como superficie una esfera centrada en el centro del conductor esférico y deradio igual a la distancia a los puntos de los que queremos conocer el valor del campo.

(tili&ando la simetría esférica y la fórmula de superficie de la esfera gaussiana podemos plantear elteorema de auss en este caso

Φc=∮& + ⋅d & =

Σ8ε.

⇒∣ + ∣∮& d & =∣ + ∣⋅<π r

#=Σ8ε.

"ara puntos interiores a la esfera, al estar la carga distri%uida en su superficie de la esfera, la cargainterior a la superficie gaussiana es nula y tam%ién lo será el campo."ara puntos e9teriores a la esfera, la carga interior a la superficie gaussiana será q y tendremos que

∣ + ∣= 6

<π ε. r #= 7

6

r # , que es equivalente a si toda la carga q fuese puntual situada en el origen de

coordenadas en el que está centrado la esfera."or lo tanto + (r =- cm)=. 3 /C

+ (r =$-cm)= 7 6

r # ur =

6⋅$.6⋅-⋅$.−6

.,$-#

ur =#... ur 3 / C

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El campo es un vector, por lo que indicamos, además de módulo, dirección y sentido: será radial yhacia el e9terior.

%) El punto indicado es la superficie de la esfera 4 = 76

r =

6⋅$.6⋅-⋅$.−6

.,$=<-.4

7ota: En ese punto hay una discontinuidad para el campo, que es cero en el interior y tiene valor enel e9terior, pero campo nulo no quiere decir potencial nulo. e hecho como el campo es nulo en el

interior de la esfera, en toda ella el potencial es constante e igual al potencial en la superficie.c) El punto indicado es en el e9terior de la esfera 4 =

76

r =

6⋅$6⋅-⋅$−6

,$- =+4

d) 3lamamos ? al punto que se encuentra a $ cm de la esfera; ∞→ '=−Δ + p=−6 Δ 4 =−6 (4 '−4 ∞)=−6 4 ' =−#⋅$.−6⋅<-.=−6⋅$.−A

)

El tra%a!o es negativo, luego de%e ser reali&ado e9ternamente al campo, no lo reali&a el campo.ualitativamente podemos ver que la esfera está cargada positivamente y queremos acercar unacarga positiva.2011-ModeloA. Problema 2.- =olución $[ idéntica a #$8Godelo8?8"ro%lema #.2010-Septiembre-$ae %pec&'icaA. Cueti"n 2.-a) 3lamamos F$ a la carga situada en *,;), F# a la situada en *0,) y Y al origen de coordenadas.>eali&amos un diagrama, donde cualitativamente podemos ra&onar que como am%as cargas son

positivas, el campo tendrá am%as componentes negativas. omo am%as cargas tienen el mismovalor, será algo mayor la componente asociada a la carga más cercana, E#., que está en e!e 9.(tili&ando el principio de superposición + (:)= + $+ + #>esolvemos utili&ando la definición vectorial de campo

eléctrico + = 7 8

r # ur y que u r =

r

∣r ∣.

El vector que va de F$ a Y es −; j y la distancia entre elloses ; m.El vector que va de F# a Y es −0 i y la distancia entre elloses 0 m.

+ (:)= 7 8$

;# (− j)+ 7 8#

0# (−0 i )

+ (:)=−6⋅$6⋅#⋅$−0

0< j−

6⋅$6⋅#⋅$−0

+0 i

+ (:)=−- i−#;$,#- j 3 /C

? nivel informativo, su módulo es √ -..#+ #;$,#-#=-A+,0A 3 /C y el ángulo que forma con el

e!e 9 es arctg (−#;$,#- /-..)=−#6,+0 9

%) 0 →:=−Δ + p=−6 Δ 4 =−6(4 :−4 0 )(tili&amos el principio de superposición para los potenciales. omo es el punto medio que uneam%as cargas, podemos calcular la distancia entre am%as, que es √ ;#+ 0#=$ m, luego la mitades - m. Cam%ién podríamos calcular como √ (+−.)#+ (<−;)#=√ (+−0)#+ (<−.)#=-

4 total (:)= 7 8$

; + 7

8#

0 =

6⋅$6⋅#⋅$−0

; +

6⋅$6⋅#⋅$−0

0 =##-+ +=-#- 4

4 total ( 0 )= 7 8$

- + 7

8#

- =

6⋅$6⋅#⋅$−0

- +

6⋅$6⋅#⋅$−0

- =+0+ +0=A#4

0 →:=−6(4 :−4 0 )=−+⋅$

−0

⋅(-#-−A#)=-,;-⋅$

−+

) Cra%a!o positivo, reali&ado por el campo: estamos despla&ando una carga positiva hacia potencialesmenores, la estamos ale!ando de cargas positivas.

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2010-Junio-CoincidenteA. Problema 2.->eali&amos un diagrama en el que representamos posiciones,vectores r que van de carga a punto donde vamos a calcular elcampo, y vectores campo. Comamos el origen de coordenadas en el

punto medio entre los dos vértices que tiene cargas, y el e!e 9 en la

línea que las une. 3lamamos q$ a la carga situada en 9 negativas yq# a la carga situada en 9 positivas, y q+ a la carga a colocar en elorigen. Comamos el lado del triángulo como la unidad *usar valor aW no modifica el resultado)a) ualitativamente se puede ver como en el tercer vértice el campoeléctrico generado por las dos primeras cargas estará dirigido haciay positivas, y será necesario que la carga a colocar en el origen sea negativa."odemos resolver de dos maneras equivalentes:


r # ur y que ur =

r

∣r ∣

El vector que va de q$ al tercer vértice es .,- i +

√ +# j y la distancia entre ellos es $ m.

El vector que va de q# al tercer vértice es −,- i+ √ +# j y la distancia entre ellos es $ m.

El vector unitario que va de q+ al tercer vértice es j y la distancia entre ellos es √ +#

m.

+ D = 7 6$

$# (,- i+ √ +# j )+ 7

6#

$# (−,- i+ √ +# j )+ 7

6+

(√ +# )

# ( j)=

3as componentes 9 se cancelan ya que q$5q#. "ara las componentes y

.=6$

√ +# + 6 #

√ +# + 6+

<

+ ⇒ 6+=−6$√ ++

< =−$.−6

⋅√ + +

<=−$,+⋅$.−6

C

@. "or trigonometría, calculando módulos y descomponiendo componentes 9 e y de cada vector enfunción del ángulo B. En este caso B 5 0, cos*B)5 ,-, sen*B)5\+# , no es necesario descomponer

+ 6$ , y por simetría se ve que ∣ + 6#∣=∣ + 6!∣ y se cancelan.

∣ + 6#∣=∣ + 6!∣= 7 ∣6#∣$#

sen0.1= 7 ∣6#∣√ +#

+ D =⇒∣ + +y∣=#∣ + 6#∣⇒# 7 ∣6#∣√ +# = 7

6+

(√ +# )

# ⇒∣6+∣=∣6#∣√ ++<=$,+⋅$−6

C

Comando signos del diagrama y sumando vectorialmente, llegamos al mismo resultado %) VC55Vq$ Q Vq#QVq+ 5 4q$r $ Q 4q#r # Q 4q+r + D omo q$5q# y r $5r ##q$

$=

−6+

√ +#

⇒ 6+=−√ +6$=−$,A+⋅$.−6C

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2010-Junio-$ae (eneralB. Problema 2.-a) 3lamamos Y al origen de coordenadas.(tili&ando el principio de superposición

+ (:)= + $+ + #+ + +>eali&amos un diagrama donde representamos posiciones,

vectores r que van de carga a punto donde vamos a calcular elcampo, y vectores campo seg'n el signo de cada carga."odemos resolver de dos maneras equivalentes:?. (tili&ando la definición vectorial de campo eléctrico

+ = 7 8

r # ur y que ur =

r

∣r ∣El vector que va de q$ a Y es −+ j y la distancia entre elloses + m.El vector que va de q# a Y es −< i −+ j y la distancia entre ellos es √ <#+ +

#=- m.El vector que va de q+ a Y es −< i y la distancia entre ellos es < m.

+ (:)= 7 6$+# (− j)+ 7 6#

-# (−< i−+ j)- + 7 6+<# (− i )

+ (:)=−6⋅$6⋅+⋅$−6

6 j−

6⋅$6⋅(−-⋅$−6)$#-

( < i+ + j)−6⋅$6⋅<⋅$−6

<# i

+ (:)=−+ j++0#- i+

#A#-

j−6< i =

($<<−##-)$

i+ (#A−A-)

#- j=−,;$ i−$,6# j 3 /C

@. "or trigonometría, calculando módulos y descomponiendo componentes 9 e y de cada vector enfunción del ángulo B. En este caso B 5 arctg *+<) 5+0,61, cos*B)5 <-, sen*B)5+- , no es necesariodescomponer + $ ni + + que se calcularían de la misma manera.

∣ +

#9∣= 7

8 #

-#cos+0,6 9 =

6⋅$6⋅-⋅$−6

#- ⋅

<

-=$,<< 3 /C

∣ + #y∣= 7 8 #

-# sen+0,6 9 =6⋅$6⋅-⋅$−6

#- ⋅

+-=$,; 3 /C

Comando signos del diagrama y sumando vectorialmente, llegamos al mismo resultado

%) 4 (:)= 7 6$

++ 7

6#

-+ 7

6+

<=6⋅$.6⋅+⋅$.−6

++ 6⋅$.6⋅(−-⋅$.−6)

-+ 6⋅$.6⋅<⋅$.−6

<=6−6+ 6=64

c) * (:)=6 + (:)=$.−6⋅(−.,;$ i −$,6# j)=−.,;$⋅$.−6 i −$,6#⋅$.−6 j 3

d) 3a energía potencial del sistema formado por las tres cargas es la energía asociada a laconfiguración de dichas cargas. El orden es ar%itrario, utili&amos el su%índice:Lnicialmente tenemos q$ inmóvilW en *,+) y traemos desde el infinito q# a *<,+), por lo que la

colocamos a una distancia de < m.

+ p (#$)= 7 6$ 6#

r $,#

=6⋅$6⋅+⋅$−6⋅(−-⋅$−6)

< =−+,+;⋅$−;

) *7egativo, el tra%a!o asociado sería

positivo, reali&ado por el campo ya que trae una carga negativa hacia otra positiva)? esta energía hay que aadir la asociada a, teniendo inmóvilesW q$ y q# en las posicionesanteriores, traer desde el infinto q+ a *<,), por lo que tendrá energía potencial respecto a q$ y q#.

+ p (+$,#)= 7 6$6+

r $,+# + 7

6# 6+

r #,+# =

6⋅$6⋅+⋅$−6⋅<⋅$−6

-# +6⋅$6⋅(−-⋅$−6)⋅<⋅$−6

+# =−+,;<⋅$−; )

+ ptotal =−+,+;⋅$.−;−+,;-⋅$.−;=−A,#+⋅$.−; )

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2010-Junio-$ae %pec&'icaB. Cueti"n 2.- ('partado b Gauss en lámina infinita cargada !""%/odelo%-%0roblema#1

a) El teorema de auss indica que el flu!o del campoeléctrico a través de una superficie cerrada es igual ala suma de las cargas contenidas en esa superficiedividida por la permitividad eléctrica del medio. Esto

es cierto sea cual sea la forma de dicha superficiecerrada.Gatemáticamente en forma integral

Φc=∮& + ⋅d & =

Σ8ε.

%) >eali&ando un diagrama en el fi!amos la lámina enel plano NO y asumimos carga positiva, podemoscompro%ar como, al ser la lámina plana e infinita, lacontri%ución del campo en un punto concreto de lacarga e9istente en cualquier diferencial de superficie,siempre genera un campo cuya componente paralela al plano NO siempre puede ser cancelada por

la componente paralela al plano NO del campo generado por la carga e9istente en otro diferencialde superficie situado de manera simétrica respecto a la proyección del punto so%re el plano decarga. "or lo tanto podemos concluir que el campo será perpendicular al plano, en la dirección dele!e &, y podemos elegir como superficie gaussiana una superficie cerrada que tenga dos caras planasa una distancia d del plano, conectadas por una superficie perpendicular al plano. E!emplos podríanser un prisma o un cilindro: la forma de las secciones planas de la superficie es indiferente.?plicando auss a esta superficie



+ d & )=Σ8ε

omo en las caras laterales el campo y el vector superficie son perpendiculares, su productovectorial es cero, tomando una superficie de las caras superiores e inferiores muy pequea por lo

que vector campo será uniforme en toda ella, y teniendo en cuenta que por simetría serán iguales enmódulo, podemos escri%ir

Φc=#∣ + ∣∫Cara&uperior d& =#∣ + ∣& =

Σ 8ε.


& ⇒8=σ &

=ustituyendo #∣ + ∣& =σ & ε.

⇒∣ + ∣= σ#ε.


placa cercanos son menos intensas, pero las contri%uciones de los puntos le!anos tienen mayorcomponente perpendicular a la lámina.2010-ModeloA. Problema 2.-=olución $[ idéntica a #A8=eptiem%re8@8"ro%lema #.200)-SeptiembreCueti"n !.-

a) =eg'n el teorema de auss Φc=∮& + ⋅d & =

Σ8ε.

.

Comamos como superficie una esfera centrada en el centro de la superficie esférica y de radio r S >.(tili&ando la simetría esférica que nos indica que el campo siempre será radial y del mismo móduloen todos los puntos de la esfera, y la fórmula de superficie de la esfera, podemos plantear el teoremade auss en este caso

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∣ + ∣∮& d & =∣ + ∣⋅<π r

#=8ε⇒∣ + ∣= 8

<πε r #= 7

8

r #

3a e9presión es la misma que se o%tendría para una carga puntual utili&ando la ley de oulom%.

%)∣ + (r $)∣

∣

+ (r #)∣

=

7 8

r $#

7 8

r ##

=r #

#

r $

#=(+> #>

)#

=6<=#,#-

200)-JunioA. Problema 2.-a) 3lamamos q$ a la carga en *8$,), q# a la carga en*$,) y " al punto *$,)(tili&ando el principio de superposición + ( 0 )= + $+ + #El vector que va de q$ a " es $$ i y la distancia entre ellos es $$ m.El vector que va de q# a " es 6 i y la distancia entre ellos es 6 m.

+ ( 0 )= 7 6$

$$

#i + 7

6#

6

#i =

−6⋅$.6⋅+⋅$.−0

$$

# i +

6⋅$.6⋅+⋅$.−0

6

# i

+ ( 0 )=(−##+,$<+ +++,++) i =$$.,$6 i 3 /C

%) 3lamamos "J al punto *$,). "or simetría podemos ver que lascomponentes y del campo se cancelarán. >eali&amos un diagrama*no a escala para poder distinguir me!or los componentes)."odemos resolver de dos maneras equivalentes:?. (tili&ando la definición vectorial de campo eléctrico

+ = 7 8

r # ur y que ur =

r

∣r ∣El vector que va de q$ a "J es i+ $ j y la distancia entre ellos es √ $#+ $. #=√ $.$ m.El vector que va de q# a "J es − i + $. j y la distancia entre ellos es

√ $#

+ $.

#

=√ $.$ m.

+ ( 0 < )=−6⋅$.6⋅+⋅$.−0

$.$

( i + $. j)

√ $.$+ 6⋅$.6⋅+⋅$.−0

$.$

(− i + $. j)

√ $.$ + ( 0 < )=−#0,0 i −#0. j−#0,0 i + #0. j=−-+,# i 3 /C


función del ángulo B. En este caso B 5 arctg *$$) 5;<,+1, cos*B)5$

√ $$, sen*B)5

$

√ $$, y

por simetría ∣ + $9∣=∣ + #9∣ y el campo total tendrá un módulo suma de am%os

∣ + $9( 0 < )∣= 7 6$

$$cos;<,6 9 =

6⋅$6⋅+⋅$−0

$$ ⋅

$√ $$

=#0,0 3 /C

Comando signos del diagrama y sumando vectorialmente, llegamos al mismo resultado + ( 0 < )=−#⋅#0,0 i=−-+,# i 3 /C

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200)-ModeloB. Problema 1.-a) >eali&ando un diagrama en el fi!amos lalámina en el plano O] siendo la carga positiva,

podemos compro%ar como, al ser la lámina planae infinita, la contri%ución del campo en un punto

concreto de la carga e9istente en cualquier diferencial de superficie, siempre genera uncampo cuya componente paralela al plano O]siempre puede ser cancelada por la componente

paralela al plano O] del campo generado por lacarga e9istente en otro diferencial de superficiesituado de manera simétrica respecto a la

proyección del punto so%re el plano de carga."or lo tanto podemos concluir que el campo será

perpendicular al plano, en la dirección del e!e 9, y podemos elegir como superficie gaussiana unasuperficie cerrada que tenga dos caras planas a una distancia d del plano, conectadas por una

superficie perpendicular al plano. E!emplos podrían ser un prisma o un cilindro: la forma de lassecciones planas de la superficie es indiferente. ?plicando auss a esta superficie



+ d & )=Σ8ε

omo en las caras laterales el campo y el vector superficie son perpendiculares, su productovectorial es cero, tomando una superficie de las caras superiores e inferiores muy pequea por loque vector campo será uniforme en toda ella, y teniendo en cuenta que por simetría serán iguales enmódulo, podemos escri%ir

Φc=#∣ + ∣∫Cara&uperior d& =#∣ + ∣& =

Σ 8ε.


& ⇒8=σ &

=ustituyendo #∣ +

∣& =σ

&

ε ⇒∣ +

∣=

σ

#ε


placa cercanos son menos intensas, pero las contri%uciones de los puntos le!anos tienen mayorcomponente perpendicular a la lámina.e acuerdo al diagrama, para los dos puntos indicados en el enunciado

+ ($,.,.)= σ$

# ε.

i = $.

−0

#⋅;,;-⋅$.$#i =-,0-⋅$.< i 3 /C

+ (−$,.,.)= σ

$

#ε.(− i )=−-,0-⋅$.< i 3 /C

%) 3lamamos " al punto *8#,,). (tili&ando el principio de superposición, el campo en " será lasuma de los campos de%idos a am%as distri%uciones de carga. omo la e9presión del campodeducida en apartado a no depende de la distancia en la superficie, sa%emos que el campo en " seráel mismo que en *8$,,), ya calculado. 7o sa%emos si la distri%ución es de carga positiva onegativa: ponemos sentido de campo generado como si fuera positiva, y luego revisamos

+ total ( 0 )= + plano 5=.( 0 )+ + plano 5=+( 0 )⇒ $.< i =−-,0-⋅$.< i −

σ #

#ε.

i

σ#=−($.<+ -,0-⋅$.<)⋅#⋅;,;-⋅$.−$#=−$,$;⋅$.−0C /m

#

3a segunda distri%ución superficial está cargada negativamente, ya que el campo final está dirigidoen dirección opuesta al que genera solo la primera distri%ución, luego el sentido del campo de%e serhaca adentro de la segunda lámina, y estará cargada negativamente.

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200*-SeptiembreCueti"n 3.- (&imilar a !""#%)unio%-. 0roblema !.1

a) 3a elección de los tres vértices es ar%itraria y lacolocación so%re e!es es ar%itraria, pero es necesarioelegir una para dar el resultado como vector. olocamosel cuadrado de forma que los tres vértices con cargas

queden so%re los e!es 9 e y, uno de ellos en el origen.3lamamos q$ a la carga en *$,), q# a la carga en *,), q+

a la carga en *,$) y " al punto central *,-, ,-)(tili&ando el principio de superposición

+ ( 0 )= + $+ + #+ + +>epresentado en un diagrama las cargas, los vectores r que van de la carga al punto central donde queremoscalcular el campo, y los vectores campo seg'n el signode las cargas, vemos que el campo generado por lascargas en vértices opuestos *q$ y q+), al tener mismosigno y estar a la misma distancia, se cancelan, por lo

que podríamos calcular sólo el campo asociado a q#."odemos resolver de dos maneras equivalentes:


r # ur y que ur =

r

∣r ∣

3a distancia de las tres cargas a " es la misma, √ .,-#+ .,-#=

$

√ #=.,A.A m.

El vector que va de q$ a " es −.,- i + .,- jEl vector que va de q# a " es y .,- i + .,- j

El vector que va de q+ a " es y .,- i −.,- j . =utituyendo *se puede ver como r #5,-)

+ ( 0 )= 7 6$

,-

(−,- i+,- j)

$√ #

+ 7 6#

,-

(,- i +,- j)

$√ #

+ 7 6+

,-

(,- i −,- j)

$√ #

Como 6$=6#=6+

+ ( 0 )= 7 6$ √ #(− i + j + i + j + i − j)=6⋅$6⋅$⋅$−6√ # ( i + j )

+ ( 0 )=6√ # i+6√ # j=$#A,#; i +$#A,#; j 3 /C

∣ + ( 0 )∣=√ (6√ #)#+(6 √ #)#=$; 3 /C


función del ángulo B. En este caso B 5 arctg *$) 5<-1, cos*B)5 sen*B)5,-$

√ #

=$

√ # , y

∣ + #9∣=∣ + #y∣ ya que el ángulo es de <-1.

∣ + #9( 0 < )∣= 7 6#

,-⋅

$√ #

=6⋅$6⋅$⋅$−6

,- ⋅

$√ #

=$#A,#; 3 /C

Comando signos del diagrama y sumando vectorialmente, llegamos al mismo resultado. 7ota: Ytra posi%le elección de e!es hu%iera sido plantear e!e 9 ó y directamente en la diagonal delcuadrado en la que falta la carga, para que el campo resultante no tuviera componentes.

%) (tili&ando superposición, y como las tres cargas son iguales y están a la misma distancia

4 ( 0 )=+ 7 6$

$

√ #

=+⋅6⋅$.6⋅$.⋅$.−6√ #=+;$,;<4

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B. Problema 1.-

a) =eg'n el teorema de auss Φc=∮& + ⋅d & =

Σ8ε.

.

Comamos como superficie una esfera concéntrica con la esfera hueca cargada y de radio r +5,0 mque englo%ará a toda la esfera cargada, por lo que la carga contenida serán Q $ n.(tili&ando la simetría esférica que nos indica que el campo

siempre será radial y del mismo módulo en todos los puntos de laesfera, y la fórmula de superficie de la esfera, podemos plantear elteorema de auss en este caso

∣ + ∣∮& d & =∣ + ∣⋅<π r +

#=8ε.

∣ + ∣= 8

<π ε. r +#

= $.⋅$.−6

<π;,;-⋅$.−$#⋅(.,.0)#=#,-⋅$.<

3 /C

%) Comamos como superficie una esfera concéntrica con la esferahueca cargada y de radio r <5,$ m que quedará dentro del huecode la esfera, por lo que la carga contenida será nula. "or lo tanto, la intensidad de campo eléctricoen su interior será nula, ∣ + (r =,$ m)∣= 3 /C .200*-JunioA. Problema 1.-

a) 3a distancia de F$ a ? es √ (−#−#)#+ (+−)#=- m.

3a distancia de F# a ? es √ (−#+ #)#+ (+−.)#=+ m.(tili&amos el principio de superposición:

4 ( ')=4 $( ')+4 #( ')= 7 8$

r $, '

+ 7 8#

r #, '

4 ( ')=6⋅$6⋅($#,-⋅$−6

- −

#,A⋅$−6

+ )=$<,<4

%) "odemos resolver de dos maneras equivalentes:?. (tili&ando la definición vectorial de campo eléctrico

+ = 7 8

r # ur y que ur =

r

∣r ∣

+ $( ')= 7 8$

r $, '# u r =

6⋅$6⋅$#,-⋅$−6

-#

(−< i+ + j)-

+ $( ')=−+,0 i+ #,A j 3 /C

+ #( ')= 7 8#

r #, '# ur =

6⋅$6⋅(−#,A⋅$−6)

+# j=−#,A j 3 /C

+ D ( ' )= + $( ')+ + #( ')=−+,0 i 3 /C

@. "or trigonometría, calculando módulos y descomponiendo componentes 9 e y de cada vector enfunción del ángulo B. En este caso B 5 arctg *+<) 5+0,;A1, cos*B)5 <-5,;, y sen*B)5 +-5,0, yno es necesario descomponer + # .

∣ + $9( ')∣= 7 6$

-#cosα=

6⋅$.6⋅$#,-⋅$.−6

#-⋅<

-=+,0 3 /C

∣ + $y( ')∣= 7 6$

-# senα=6⋅$6⋅$#,-⋅$−6

#- ⋅

+-=#,A 3 /C

Comando signos del diagrama y sumando vectorialmente, llegamos al mismo resultado.

c) 4 ( -)=4 $( -)+ 4 #( -)= 7 8$

r $, -

+ 7 8#

r #, -

=6⋅$6⋅($#,-⋅$−6

+ −

#,A⋅$−6

- )=+#,0<4

; ' → -=−Δ + p=−6 Δ 4 =−6(4 ( -)−4 ( '))=−(−#⋅$,0⋅$.−$6)⋅(+#,0<−$<,<)=+ -,;<⋅$.−$; )

El tra%a!o es positivo, luego es a favor del campo, ya que es una carga negativa y se despla&a hacia

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potenciales mayores.

d) a ( ' )= * ( ')

m =

6 + ( ' )m

=−#⋅$,0⋅$−$6⋅(−+,0 i )

+,$-⋅$−#0 =+,00⋅$ Ai m / s#

Cueti"n !.-a) El teorema de auss indica que el flu!o del campo eléctrico a través de una superficie cerrada esigual a la suma de las cargas contenidas en esa superficie dividida por la permitividad eléctrica del

medio. Esto es cierto sea cual sea la forma de dicha superficie cerrada.Gatemáticamente en forma integral Φc=∮&

+ ⋅d & =Σ8ε.

%) Comamos como superficie una esfera centrada en la carga. (tili&ando la simetría esférica que nosindica que el campo siempre será radial y del mismo módulo en todos los puntos de la esfera, y lafórmula de superficie de la esfera, podemos plantear el teorema de auss en este caso

∣ + ∣∮& d & =∣ + ∣⋅<π r

#=8ε⇒∣ + ∣= 8

<πε r #= 7

8

r #

3a e9presión es la ley de oulom%.200+-SeptiembreB. Problema 2.- a) 3lamamos " al punto *,$). (tili&ando el principio desuperposición + ( 0 )= + $+ + #>eali&amos un diagrama *muy similar a #A8Uunio8@8"ro%lema #) en el que podemos ver como las cargas de%en ser

positivas e iguales para que se cancelen las componentes 9 ysólo quede componente y."odemos resolver de dos maneras equivalentes:?. (tili&ando la definición vectorial de campo eléctrico

+ = 7 8

r # ur y que ur =

r

∣r ∣

El vector que va de F$ a " es (− i + j)√ #

y la distancia entre ellos es √ #m

El vector que va de F# a " es( i + j)

√ #y la distancia entre ellos es √ #m

+ ( 0 )=#⋅$.- j= 7 8$

#

(− i + j )

√ #+ 7

8 #

#

( i + j)

√ #= 7

(−8$+ 8#)

#√ #i + 7

(#8#)

#√ # j

Lgualando componentes

Componentes 5 :.=−8$+ 8# ⇒8$=8#

Componentes y : #⋅$.-= 7 8#

√ #⇒8 #=

#⋅$.-√ #6⋅$.6

=+,$<⋅$.−-C

@. "or trigonometría, calculando módulos y descomponiendo componentes 9 e y de cada vector enfunción del ángulo B. En este caso B 5 arctg *$) 5<-1, cos*B)5 sen*B)5

$

√ #. "or ser el ángulo de

<-1 tendremos que ∣ + $9∣=∣ + $y∣ y que ∣ + #9∣=∣ + #y∣(tili&ando las componentes seg'n el diagrama, llegamos a las mismas ecuaciones y solución.∣ + $9∣=∣ + #9∣⇒8$=8# D ∣ + D ∣=#∣ + $y∣

%) 3lamamos "J al punto *#,), y volvemos a utili&ar el principio de superposición para potenciales3a distancia entre F$ y "J es de $ m.3a distancia entre F# y "J es de + m.

4 total ( 0 < )=.= 7 8$

$

+ 7 8#

+

⇒8 $=−8#

+

⇒8$

8#

=−$

+

3as cargas de%en tener signo opuesto.

200+-JunioB. Problema 2.-

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a) 3lamamos F$ a la carga negativa en *$,), F# a la carga positiva en *8$,), y " al punto *,+)(tili&ando el principio de superposición + ( 0 )= + $+ + # .>eali&amos un diagrama en el que representamos los vectores campo seg'n el signo de las cargas yvemos como por simetría se cancelan componentes y y sólo tendremos componente 9 positiva."odemos resolver de dos maneras equivalentes:


r # ur

y que u r = r

∣r ∣El vector que va de F$ a " es y −i + + j y la distancia entre ellos es

√ $#+ +#=√ $. m.

El vector que va de F# a " es i+ + j y la distancia entre ellos es

√ $#+ +#=√ $ m.

+ ( 0 )= 7 8$

$(− i+ + j)

√ $ + 7

8#

$( i+ + j)

√ $

ve + ( 0 )=

6⋅$6⋅$−0

$ √ $ (# i )=

$;⋅$-

√ $ i=-,06⋅$

+

i 3 /C


función del ángulo B. En este caso B 5 arctg *+) 5A$,-01, cos*B)5$

√ $., sen*B)5

+

√ $.. "or

simetría tendremos que ∣ + $9∣=∣ + #9∣ y que ∣ + $y∣=∣ + #y∣

∣ + $9( 0 )∣= 7 8$

$cosα=

6⋅$6⋅(−$−0)$

⋅$

√ $=#,;-⋅$+

3 /C

∣ + $y( 0 )∣= 7 8$

$ senα=

6⋅$6⋅$−0

$ ⋅

+√ $

=;,-<⋅$+ 3 /C

Comando signos del diagrama y sumando vectorialmente, llegamos al mismo resultado. %) 3lamamos "J a un punto *,y) genérico del e!e y.3a distancia de cualquiera de las dos cargas a ese punto "J es √ $#+ y

# m, y como las cargastienen mismo módulo pero signo opuesto, el potencial total es nulo.

4 ( 0 < )= 7 8$

√ $+ y#+ 7

8#

√ $+ y#= 4

c) 3lamamos "JJ al punto *+,)El vector que va de F$ a " es y # i y la distancia entre ellos es # m.El vector que va de F# a "JJ es < i y la distancia entre ellos es < m.

+ ( 0 < < )= 7 8$

## i + 7

8#

<# i=6⋅$6⋅$−+(

$

$0

−$

6

) i=−<,+;⋅$ -i 3 /C

d) 4 ( 0 < < )= 7 8$

# + 7

8#

< =6⋅$6⋅$−+(

$<−

$#)=−#,#-⋅$0

4

200+-ModeloB. Problema 1.- a) omo am%as cargas son positivas, el campo en ? estará dirigido hacia 9 positivas. El vector queva de la carga al punto ? es $ i y la distancia entre ellos es $ m.

+ ( ')= 7 6

$ # i=6⋅$6⋅#⋅$−0

$# i =$; i 3 /C

%) 4 ( ')= 7 6

$.

=6⋅$.6⋅#⋅$.−0

$.

=$;..4

+ p ( ')= 7 6 6 p

$ =4 6 p=$;⋅$,0⋅$−$6=#,;;⋅$−$0

)

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c) + c=$

#m v

#=.,-⋅$,0A⋅$.−#A⋅$...#=;,+-⋅$.−## )

d) Es importante entender la situación físicacualitativamente: una carga positiva *el

protón) en movimiento se dirige hacia otracarga positiva inmóvil en el origen de coordenada, por lo que ha%rá una fuer&a repulsiva que la

frenará y la detendrá antes de llegar, y luego la volverá a acelerar en sentido opuesto al que llega%a.omo sólo act'an fuer&as conservativas, la energía mecánica se conserva, y como en ?, sea cual seasu sentido de movimiento tiene la misma cantidad de energía potencial, en el regreso tam%ién tendrála misma cantidad de energía cinética, pero teniendo la velocidad sentido opuesto.

Δ p ( ')=Δ m v ( ')=m ( v ( ') final −v ( ')inicial )=$,0A⋅$.−#A⋅($... i −(−$... i ))=+,+<⋅$.−#<Fg m / s

3ota aun6ue no se pide, es un ejercicio interesante calcular a 6u distancia 5 del origen está el

punto 0 en el 6ue se detiene será el punto en el 6ue la energa cintica es nula, toda ha pasado a

energa potencial.

+ p ( 0 )= + c( ')+ + p ( ')⇒ 7 6 6 p

5 =;,+-⋅$.−##+ #,;;⋅$.−$0

5 =6⋅$.−6⋅#⋅$.−0⋅$,0⋅$.−$6

;,+-⋅$.−##+ #,;;⋅$.−$0 =6,6666A$m

&e puede ver como prácticamente no se llega a acercar nada al origen.

2006-SeptiembreB. Problema 2.- a) 3lamamos Y al origen de coordenadas. (tili&ando el principio de superposición

+ (:)= + $+ + #+ + ++ + < . >eali&amos un diagrama, donde por simetría vemos que se cancelaráncomponentes y y sólo tendremos componente 9."odemos ignorar el campo generado en el origen decoordenadas por las cargas en ? y @.Vemos que las cargas situadas en y de%en ser

iguales y negativas para que el campo esté en el e!e 9dirigido hacia 9 positivas."odemos resolver de dos maneras equivalentes:?. (tili&ando la definición vectorial de campo eléctrico

+ = 7 8

r # ur y que ur =

r

∣r ∣El vector que va de ? a Y es −# j y la distancia entreellos es # m.El vector que va de @ a Y es # j y la distancia entreellos es # m.

El vector que va de a Y es −< i−# j y la distanciaentre ellos es √ ##+ <#=√ # m.El vector que va de a Y es −< i + # j y la distancia entre ellos es √ ##+ < #=√ #. m.

+ (:)= 7 6 '

## (− j )+ 7 6 -

## ( j)+ 7 6C

#(−< i− # j)

√ # + 7

6 H

#(−< i+ # j)

√ #omo q?5q@ y q5q5F

+ (:)=<⋅$ +i= 7

8

#√ #(−; ) i ⇒8=

<⋅$+⋅#√ #6⋅$6⋅(−;)

=−<,6A⋅$−0C


función del ángulo B. En este caso B 5 arctg *#<) 5#0,-A1, cos*B)5

#

√ # , sen*B)5

<

√ # . "orsimetría tendremos que ∣ + '∣=∣ + -∣ y que ∣ + Cy∣=∣ + Hy∣ y ∣ + C5∣=∣ + H5∣ , por lo que tomando

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signos del diagrama podemos plantear y resolver, llegando al mismo resultado tras tener en cuentael ra&onamiento cualitativo de que F es negativa.

∣ + ( :)∣=#∣ + C5 (:)∣⇒<⋅$.+=# 7 ∣8∣$.

cosα=#⋅6⋅$.6∣8∣#.

⋅ <

√ #.⇒∣8∣=

<⋅$.+⋅#.√ #.6⋅$.6⋅;

=<,6A⋅$.−0C

%) (tili&ando el principio de superposición y la simetría *contri%ución de q? igual a la de q@, y de q igual a q al tener mismos valores entre ellas y estar a la misma distancia.

4 (:)=# 7 6 '

# + # 7 8

√ #=#⋅6⋅$6⋅( +⋅$−0

# + −<,6A⋅$−0

√ # )=06604

2006-JunioCueti"n 3.-

a)

4 ( ')= 7 8

5 =−$#

+ ( ')= 7 8

5# i=−; i

7 8

5#=−;⇒8 es negativa

Hespejando dela primera ecuación 78=−$#9 y sustituyendo en la segunda

−$#9

5# =−;⇒ 5=

$#; =

+#=$,- m

8=−$#9

7 =

−$#⋅$,-

6⋅$6 =−#⋅$−;

C

%)

-→ '=−Δ + p=−6Δ 4 =−6 (4 ( ')−4 ( -))

4 ( -)= 7 8

r =

6⋅$6⋅(−#⋅$−;)

√ ##+ ## =−0+,0<4

- → '

=−(−$,0⋅$−$6)⋅(−$#−(−0+,0<))=$,0⋅$−$6⋅(−-0,+0)=−6⋅$−$; )

El tra%a!o es negativo, se hace contra el campo: estamos llevando a un potencial menor *n'meronegativo de valor a%soluto mayor) una carga negativa. ualitativamente estamos acercando unacarga negativa a otra negativa.Cueti"n 5.-

a)

p=m v⇒ v= p

m=

$−#$

$,0A⋅$−#A=-,66⋅$-m/ s

Itili?amos la conservaciónde energa ,toda la + p pasa a + c

64 =$#

m v#⇒4 =

mv#

# 6 =

$,0A⋅$−#A⋅(-,66⋅$-)#

#⋅$,0⋅$−$6 =$;A#,-4

7ota: por separar apartado a conceptualmente de campo eléctrico de apartado % conceptualmente defísica moderna, simplemente mencionar que esta velocidad no es relativista *es mucho menor que lavelocidad de la lu&), para recordar que de manera glo%al hay que tenerlo presente.2005-SeptiembreCueti"n 5.- a) (tili&amos la conservación de energía, toda la E p pasa a EcD al acelerar el protón mediante unadiferencia de potencial, este gana energía cinética.

+ p=64 =$,0⋅$−$6⋅$=$,0⋅$−$; ) ⋅

$ e4

$,0⋅$−$6 ) =$e4

64 =$#

m v#⇒ v=√

# 6 4

m =√

#⋅$,0⋅$−$6⋅$

$,0A⋅$

−#A =<,+;⋅$<m / s

7ota: por separar apartado a conceptualmente de campo eléctrico de apartado % conceptualmente defísica moderna, no entramos en este apartado a valorar si esa velocidad es relativista o no, aunque

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de manera glo%al hay que tenerlo presente, y se menciona en solución apartado %.2005-JunioCueti"n 5.-a) (tili&amos la conservación de energía, toda la E p pasa a EcD al acelerar el electrón mediante unadiferencia de potencial, este gana energía cinética.

64 =$

#m v

#⇒ v=

√

# 6 4

m =

√

#⋅$,0⋅$−$6⋅-

6,$⋅$−+$ =<,$6⋅$0

m / s

c

v=

+⋅$;

<,$6⋅$0=A$,0⇒v

c≈,$<=$,<[

7ota: por separar apartado a conceptualmente de campo eléctrico de apartado % conceptualmente defísica moderna, no entramos en este apartado a valorar si esa velocidad es relativista o no, aunquede manera glo%al hay que tenerlo presente, y se menciona en solución apartado %.A. Problema 2.- a) 3lamamos " al punto *,$). =i la fuer&a es nula, lo es paracualquier carga, implicando que el campo tam%ién es nulo, yutili&ando el principio de superposición

+ ( 0 )= + $+ + #+ + + . "or simetría vemos que se cancelaráncomponentes 9 del campo generado por F$ y F# ya que soniguales y están a la misma distancia, y sólo tendremoscomponente y.ualitativamente en el diagrama se puede ver que la carga F +

tiene que ser positiva para el campo generado por ella estédirigido hacia y negativas y cancele el campo generado por F$

y F#."odemos resolver de dos maneras equivalentes:?. (tili&ando la definición vectorial de campo eléctrico

+ = 7

8

r # ur y que ur = r

∣r ∣El vector que va de F$ a " es − i + j y la distancia entre ellos es √ $#+ $#=√ # m.El vector que va de F# a " es i + j y la distancia entre ellos es √ $#+ $

#=√ # m.El vector que va de F+ a " es − j y la distancia entre ellos es $ m.

+ ( 0 )=.= 7 8$

#

(− i + j)

√ #+ 7

8 #

#

( i + j)

√ #+ 7

8+

$(− j)

Lgualando componentes

Componentes 5 : .=− 7 8 $

#√ #+ 7

8#

#√ #( se cumple ya 6ue 8$=8#)

Componentes y : .= 7 8$

#√ #+ 7 8#

#√ #− 7 8+ ⇒8+= 8$

√ #= #⋅$.−0

√ # =√ #⋅$.−0C =$,<$μ C


función del ángulo B. En este caso B 5 arctg *$) 5<-1, cos*B)5 sen*B)5$

√ #. "or ser el ángulo de

<-1 tendremos que ∣ + $9∣=∣ + $y∣ y que ∣ + #9∣=∣ + #y∣(tili&ando las componentes seg'n el diagrama, llegamos a las mismas ecuaciones y solución.∣ + $9∣=∣ + #9∣⇒8$=8# D ∣ + D ∣=#∣ + $y∣

%) (tili&ando superposición

4 ( 0 )= 7 8$

√ #+ 7

8#

√ #+ 7

8+

$

=6⋅$.6(#⋅$.−0

√ #+ #⋅$.−0

√ #+ √ #⋅$.−0)=

-<

√ #⋅$.+=+,;#⋅$.<

4

7ota: es importante tener presente que aunque el campo sea nulo, el potencial no tiene por quéserlo.

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2005-ModeloCueti"n 3.- a) (tili&ando el principio de superposición

+ ( 0 )= + '( 0 )+ + -( 0 )>eali&ando un diagrama donde representamos los campos seg'n las cargas, vemos que estarádirigido hacia 9 positivas.

El vector que va de ? a " es ,< iEl vector que va de @ a " es −.,.; i

+ ( 0 )=6⋅$6⋅0⋅$−0

,<# i+

6⋅$6⋅(−0⋅$−0)

,;# (−i )

+ ( 0 )=-<⋅$+($

,$0+

$,0<

) i=<,##⋅$Ai 3 /C

%) (tili&amos el principio de superposición3a distancia de ? a y de @ a es √ .,.0#+ .,.;

#=.,$

m

4 (C )=

6⋅$.6⋅0⋅$.−0

.,$ +

6⋅$.6⋅(−0⋅$.−0)

.,$ =.4 ualitativamente podemos ver que es nulo porque am%as cargas están a la misma distancia y tienenmismo módulo pero signo opuesto. e hecho el potencial será cero en toda la mediatri&.200!-SeptiembreB. Problema 2.- a) >eali&amos un diagrama representando los campos en función de la carga, y por simetría

podemos ver que las componentes 9 se cancelarán y sólotendremos componente y negativa.(tili&ando superposición

+ ( ')= + $+ + #

"odemos resolver de dos maneras equivalentes:?. (tili&ando la definición vectorial de campo eléctrico

+ = 7 8

r # ur y que ur =

r

∣r ∣3a distancia de q$ a ? y de q# a @ es de √ +#+ ##=√ $+ mEl vector que va de q$ a ? es + i −# j

El vector que va de q# a ? es + i + # j

+ ( ')= 7 6$

$+

(+ i −# j)

√ $++ 7

6#

$+

(+ i + # j)

√ $+

+ ( ')=6⋅$.6⋅#⋅$.−0

$+√ $+(−< j)=−$-+0 j 3 /C


función del ángulo B. En este caso B 5 arctg *#+) 5++,061, cos*B)5+

√ $+, sen*B)5

#

√ $+. "or ser

las cargas iguales en módulo y estar am%as a la misma distancia del punto ? tendremos que∣ + $9∣=∣ + #9∣ , ∣ + $y∣=∣ + #y∣ , ∣ + ∣=#∣ + $9∣

Comando signos del diagrama y sumando vectorialmente, llegamos al mismo resultado. %) (tili&ando superposición

4 ( ')=6⋅$6⋅#⋅$−0

√ $+ +

6⋅$6⋅(−#⋅$−0)

√ $+ = 4

ualitativamente podemos ver que como am%as están a la misma distancia, tienen el mismo módulo pero signo puesto, el potencial es nulo3lamamos Y al origen de coordenadas

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; ' → :=−Δ + p=−6 Δ 4 =−6 (4 (:)−4 ( '))

4 (.)=6⋅$.6⋅#⋅$.−0

#+ 6⋅$.6⋅(−#⋅$.−0)

#=.4

; ' → :=−+⋅$.−0(.−.)=. )

El tra%a!o es nulo porque am%os puntos están al mismo potencial.200!-JunioA. Problema 2.-a) (tili&ando el sistema de coordenadas indicado

+ =0⋅$−0 j

omo + = *

6 ⇒ * =6 + =−$,0⋅$−$6⋅0⋅$−0

j=−6,0⋅$−#- j 3

En componentes cartesianas, P9 5 y Py586,0/$8#- 7 %) ^acemos un planteamiento dinámico y cinemáticoEn el e!e de las 9 la aceleración es nula, descri%e un G>( y lavelocidad es constante. v 5=+⋅$ - i m / s

En el e!e de las y la aceleración es constante a=

*

m =

−6,0⋅$.−#- j

6,$⋅$.−+$ =−$,.-⋅$.0

j m / s#

, descri%eun G>(? v y=−$,-⋅$0⋅t j m / s

v=+⋅$ - i−$,-⋅$0⋅t j m / s

c)∣v (t =$ s )∣=√ (+⋅$.-)#+ ($,.-⋅$.0)#=$,.6⋅$.0

m/ s

+ c=$

#m∣v (t =. s)∣#=.,-⋅6,$⋅$.−+$($,.6⋅$.0)#=-,<⋅$.−$6

)

d) omo sólo act'a la fuer&a electromagnética es conservativa, la energía mecánica se conserva: elaumento de energía cinética se produce por una disminución de energía potencial.

Δ + c=$

#m(∣v (t =$ s)∣#−∣v (t =. s )∣#)=.,-⋅6,$⋅$.−+$(($,.6⋅$.-)#−(+⋅$.-)#)=-⋅$.−$6

)

Δ + p=−Δ + c=-⋅$$6 )

200!-ModeloCueti"n 3.-a) Comamos un sistema de referencia, de modo que el vector campo eléctrico está dirigido hacia 9

positivas

* =m⋅a=6 + ⇒a=6 +

m=(−$,0⋅$−$6)⋅0⋅$<

i

6,$⋅$−+$ =−$,-⋅$$0i m / s#

7ota: si se pide aceleración, hay que dar como respuesta un vector, yaque es una magnitud vectorial. =e puede indicar el vector cualitativamente *misma dirección y sentido opuesto que el campo

por ser carga negativaW), aunque es más claro matemáticamente y deahí la necesidad de diagrama y elegir sistema de referencia.

%) =e trata de un pro%lema de cinemática, que resolvemos de maneraescalar en el e!e 9. omo no nos interesa el tiempo que tarda en llegar y la aceleración es constante. ?unque resolvamos escalarmente, de nuevo la velocidad es unamagnitud vectorial, de modo que damos como respuesta un vector.

v#−v.

#=#a ( 5 − 5.)⇒ v=√ #a 5 =√ #⋅$,.-⋅$.$0⋅.,.#-=#,#6⋅$.Am/ s ⇒ v =−#,#6⋅$.A i

7ota: ?unque este pro%lema se incluya en este desglose dentro del %loque de campo eléctrico,siempre hay que tener en cuenta si aparece una velocidad relativista. Esta velocidad es pró9ima a la

velocidad de la lu&v

c

=#,#6⋅$A

+⋅$; =,A0=A,0[

ompro%amos un posi%le aumento de masa relativista del electrón

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m= m.

√$−v#

c#

= 6,$⋅$.−+$

√ $−.,.A0#

=6,$+⋅$.−+$Fg

"odemos comentar que el 'ltimo tramo entre las placas, de%ido al ligero aumento de masarelativista del electrón, la aceleración será algo menor, y llegará con una velocidad ligeramenteinferior en módulo a la indicada.2003-SeptiembreCueti"n 1.- a) 3as superficies equipotenciales de un campo de fuer&as conservativo son las superficies que unentodos los puntos del espacio que tienen el mismo valor de potencial.

%) 3as superficies equipotenciales del campo eléctrico creado por una carga puntual son esferasconcéntricas con la carga puntual que crea el campo, ya que el potencial creado por una carga

puntual tiene la e9presión 4 = 7 8

r

c) 3as líneas de fuer&a de un campo conservativo son las líneas tangenciales a la fuer&a generada por el campo en un con!unto de puntos del espacio, que al ser la aceleración proporcional a la fuer&a

muestran la trayectoria que seguiría una partícula que se de!ase en reposo. 3as líneas de fuer&a son perpendiculares a las superficies equipotenciales. Gatemáticamente para el campo eléctrico se puede relacionar campo y potencial mediante + =− grad (4 )d) El campo de fuer&as magnéticas es no conservativo, ya que:8El tra%a!o reali&ado por el campo para ir de un punto a otro depende de la trayectoria.8El tra%a!o reali&ado por el campo en una trayectoria cerrada no es nulo, sino que depende de lascorrientes encerradas en esa trayectoria seg'n la ley de ?mpére.87o es posi%le definir una función energía potencial que dependa sólo de la posición.2003-JunioB. Problema 2.-a) 3lamamos ? al punto *#,)

+ ( ')= 7 6 p

r # u r =6⋅$6⋅$,0⋅$−$6

(#⋅$−0)# i =+0 i 3 /C

4 ( ')= 7 6 p

r =

6⋅$.6⋅$,0⋅$.−$6

#⋅$.−0 =A,#⋅$.−<

4

%) 3lamamos @ al punto *$,). =ólo e9iste la fuer&a eléctrica que es conservativa, luego la energíamecánica se conserva, de modo que en @ tendremos la misma energía mecánica que en ?, punto enel que sólo tenía energía potencial.

+ m( ')= + m( -)⇒ + p( ')= + p( -)+ + c ( -)⇒ + c ( -)= + p( ')− + p( -)=6e (4 ( ')−4 ( -))

4 ( -)= 7 6 p

r =

$,0⋅$−$6⋅6⋅$6⋅$,0⋅$−$6

$−0 =$,<<⋅$−+4

+ c( -)=−$,0⋅$−$6(A,#⋅$−<−$,<<⋅$−+)=$,$-⋅$−## )

Cam%ién podemos plantear que la variación de energía cinética es igual al tra%a!o reali&ado por lafuer&a eléctrica, que es la 'nica presente. 3as fuer&as están dirigidas hacia 9 negativas, en la mismadirección que el vector velocidad, luego el tra%a!o será positivo. omo ; =−Δ + p quiere decirque la diferencia de energía potencial Δ + p= + p( -)− + p( ') será negativa.=i calculamos como resultado intermedio las energías potenciales en cada punto

+ p( ')=64 ( ')=−$,0⋅$−$6⋅A,#⋅$−<=−$,$-⋅$−## )

+ p ( -)=6 4 ( ')=−$,0⋅$−$6⋅$,<<⋅$−+=−#,+⋅$−## )

Vemos que en @ tiene menor energía potencial *n'mero negativo de mayor valor a%soluto), y que

Δ + c=; =−Δ + p=$,$-⋅$.−##

)

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c) + c=

$#

m v#⇒ v=√#

+ cm =√

#⋅$,$-⋅$−##

6,$⋅$−+$ =$,-6⋅$<

m / s

4ectorialmente v=−$,-6⋅$< i m / s p=m v=6,$⋅$.−+$⋅(−$,-6⋅$.< i )=$,<<⋅$.−#0 i Fg m/ s

2002-JunioB. Problema 2.-a) "or la simetría vemos que las componentes 9del campo generado por las cargas en @ y queson iguales se cancelarán y sólo tendremos unacomponente dirigida hacia y positivas, luego lacarga en ? tendrá que ser positiva.(tili&ando superposición y llamando Y al origende coordenadas + (:)= + '+ + -+ + C

"odemos resolver de dos maneras equivalentes:?. (tili&ando la definición vectorial de campo

eléctrico + = 7

8

r # ur

y que u

r

= r

∣r ∣El vector que va de ? a Y es − j

El vector que va de @ a Y es √ + i + jEl vector que va de @ a Y es −√ + i + j

3a distancia entre ? y Y, @ y Y, y y Y es # cm: las tres son iguales ya que es un triánguloequilátero. Es inmediato calcularla entre ? y Y, y se puede compro%ar entre @ y Y que es

√ √ +#+ $#=# .cm.

+ (:)=.= 7 8 '

## (− j)+ 7

8 -

##

(√ ++ j)#

+ 7 8C

##

(−√ ++ j)#

.=8 '(− j)+

#⋅$.−0

# (+ j)+

#⋅$.−0

# (+ j )⇒ 8 '=#⋅$.−0

C 3a carga tiene que ser idéntica a las otras dos.@. "or trigonometría, calculando módulos y descomponiendo componentes 9 e y de cada vector en

función del ángulo B. En este caso B 5 arctg ($

√ +) 5+1, cos*B)5 √ +

#, sen*B)5 $#5,-. "or ser

las cargas iguales en módulo y estar am%as a la misma distancia del punto ? tendremos que∣ + -5∣=∣ + C5∣ , ∣ + -y∣=∣ + Cy∣

Comando signos del diagrama y sumando vectorialmente, planteamos la misma ecuación yo%tenemos el mismo resultado.

%) (tili&ando superposición y teniendo en cuenta que las + cargas y distancias son iguales

4 ( 0 )=+⋅ 7 8 '

# =+⋅6⋅$6 #⋅$

−0

# =#A 4

7ota: importante tener presente que aunque el campo sea nulo, el potencial no tiene por qué serlo.2002-ModeloA. Problema 2.- a) =i la velocidad se reduce, el electrón se ha lan&ado demanera que está siendo frenado: en la misma dirección delcampo. 3a energía mecánica se conserva *suma de energía

potencial eléctrica y cinética, despreciamos la interaccióngravitatoria), ya que sólo hay fuer&as conservativas. "or lotanto toda la pérdida de energía cinética será ganancia de energía potencial.

Δ + p=−Δ + c"or definición de energía potencial y potencial

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Δ + p=6 Δ 4

omo el campo es uniforme + =−Δ 4

Δ 5

Comamos 9 positivas en la dirección del campo, por lo que K9 S impica que KV H y estamos en potenciales mayores *una carga negativa es despla&ada hacia potenciales mayores).

Δ + c=$

#

m( v final

# −v inicial

# )=.,-⋅6,$⋅$.−+$⋅((.,-⋅$.0)#−(#⋅$.0)#)=−$,A⋅$.−$; )

(niendo am%as e9presiones

"or lo tanto Δ + p=6 + Δ 5=−Δ + c⇒Δ 5=−Δ + c

6 + =

−$,A⋅$−$;

$,0⋅$−$6⋅-=−#,$+⋅$−+

m

%) 3a variación de energía potencial es la variación de energía cinética pero con sentido opuesto:Δ + p=−Δ + c=$,A⋅$−$;

)

ualitativamente el electrón está siendo frenado, gana energía potencial, luego está dirigido hacia potenciales mayores, y la diferencia de energía potencial de%e ser positiva.2001-SeptiembreB. Problema 2.-

a) >eali&amos un diagrama con las dos cargas en el e!e 9, donde la posición de q$ es 9$5$ m y la posición de q# es 9#58# m.(tili&ando el principio de superposición el potencialcreado por am%as cargas es la suma de los potencialescreados por cada una de ellas, por lo que, si tomamosun punto N genérico de coordenada 9, que no asumimos situado entre am%as cargas3a distancia entre 9 y 9$ será R9$89R : puede que 9$ esté situado a la i&quierda o a la derecha de N.3a distancia entre 9 y 9# será R989#R : puede que 9# esté situado a la i&quierda o a la derecha de NV5V$QV#54q$r $ Q 4q#r # 54*8,#/$80R$89R Q ,</$80R98*8#)R)=i igualamos a cero:

,#/$80

R$89R5,</$80

R9Q#R,#/R9Q#R5,</R$89R Mividimos por ,# M R9Q#R5#R$89R"ara asignar valores de%emos contemplar las casuísticas de cada uno de los dosvalores a%solutos, teniendo en cuenta sus

propiedades: RaR 5a si aS , y RaR58a si aH=e incluye representación gráfica de los

potenciales individuales, de la suma, y dela ecuación con valores a%solutos para aportar claridad.=e ve que las soluciones son 95 y 95<, y cualitativamente se puede ra&onar que son dos puntos, y

que de%e ser uno entre am%os *ya que el que genera uno es positivo y el otro es negativo), y otro ala derecha de la carga menor *ya que para distancias más pró9imas a la carga menor el valor serámayor e igualará al valor de potencial generado por la carga mayor)3o ra&onamos matemáticamente:8aso $: *9Q#S y $89S M 9S8# y 9H$):

puntos N que cumplen am%as condiciones en intervalo *8#,$), que es entre am%as cargas.9Q#5#8#9 M +95 M 95 m M El punto es el origen decoordenadas.8aso #: *9Q#S y $89H M 9S8# y 9S$): punto N deam%as condiciones en intervalo *$, T), a la derecha deam%as cargas.9Q#5#*8$Q9)58#Q#9 M 95< M El punto está a la

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derecha8aso +: *9Q#H y $89H M 9H8# y 9S$): punto N de am%as condiciones no e9iste8aso <: *9Q#H y $89S M 9H8# y 9H$): punto N de am%as condiciones en intervalo *T, 8#), a lai&quierda de am%as cargas.898#5#*$89)5#8#9 M 95< m M =in solución ya que 95< no está en el intervalo que cumple am%as3os dos puntos del e!e N donde el potencial creado por am%as cargas es nulo son los que tienen

coordenadas 95 m y 95< m. %) El origen es uno de los puntos donde seg'n el apartado a) el potencial creado por am%as cargases nulo. Fue el potencial sea nulo no implica que la fuer&a total sea nula *tal y como está redactadoel enunciado, asumimos que se pide solamente la fuer&a total).(tili&ando el principio de superposición, la fuer&a será la suma de am%as fuer&as. =in utili&arvectores ya que están las fuer&as en el e!e N, sí tenemos en cuenta el signo para indicar el sentido.P5P$QP#

P$ será positiva ya que q$ es negativa y q positiva, la fuer&a será atractiva hacia q $, y q$ está más a laderecha.P# será positiva ya que q# es positiva y q positiva, la fuer&a será repulsiva desde q#, y q# está más a lai&quierda.

P54Rq$qR$#Q4Rq#qR##56/$6/,</$80/*,#/$80 Q ,</$80<)56/$6/,</$80/+/$8A5$,;/$8+ 72001-JunioB. Problema 2.-a) 3a colocación so%re e!es es ar%itraria, pero es necesarioelegir una para dar el resultado como vector. olocamos elcuadrado de forma que los tres vértices con cargas quedenso%re los e!es 9 e y, uno de ellos en el origen.3lamamos q$ a la carga en *,$D), q# a la carga en *D), q+ a lacarga en *D,$) y " al punto central *,-D ,-)(tili&ando el principio de superposición

+ ( 0 )= + $+ + #+ + +

>epresentado en un diagrama las cargas, los vectores r que vande la carga al punto central donde queremos calcular el campo,y los vectores campo seg'n el signo de las cargas, vemos queel campo generado por las cargas en vértices opuestos *q$ y q+),al tener mismo signo y estar a la misma distancia, se cancelan,

por lo que podríamos calcular sólo el campo asociado a q#."odemos resolver de dos maneras equivalentes:


r # ur y que ur =

r

∣r ∣3a distancia de las tres cargas a " es la misma, √ ,-#+,-#=,AA m.

El vector que va de q$ a " es −,- i +,- jEl vector que va de q# a " es y .,.- i +.,.- j

El vector que va de q+ a " es y .,.- i −.,.- j

+ ( 0 )= 7 6$

,AA#

(−,- i +,- j),AA

+ 7 6#

,AA#

(,- i +,- j),AA

+ 7 6$

,AA#

(,- i−,- j),AA

Como6$=6#=6+=6

+ ( 0 )= 7 6

,AA+ 2 ,-(− i + j+ i + j + i − j)=6⋅$6⋅#⋅$−0 ,-,AA+ ( i + j)

+ ( 0 )=#,- 2 $0i +#,-2$0

j 3 /C

∣ + ( 0 )∣=√ (#,- 2$0)#+(#,-2$0)#=+,- 2$0

3 /C


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función del ángulo B. En este caso B 5 arctg *$) 5<-1, cos*B)5 sen*B)5,-

,AA=,AA , y

∣ + #9∣=∣ + #y∣ ya que el ángulo es de <-1.

∣ + #9( 0 )∣=∣ + ( 0 )∣cosα= 7 6#

,AA#⋅,AA=6⋅$6⋅#⋅$−0

,AA# ⋅,AA=#,-2$0 3 /C

Comando signos del diagrama y sumando vectorialmente, llegamos al mismo resultado. 7ota: Ytra posi%le elección de e!es hu%iera sido plantear e!e 9 ó y directamente en la diagonal delcuadrado en la que falta la carga, para que el campo resultante no tuviera componentes.

%) (tili&ando superposición, y como las tres cargas son iguales y están a la misma distancia de estos puntos medios, los potenciales en am%os puntos medios serán iguales entre ellos. 3lamamos puntoG a uno de ellos y lo calculamos:

4 ( / )=# 7 6

.,.-+ 7

6

√ .,.-#+.,$#=6⋅$.6⋅#⋅$.−0(

#

.,.-+

$

.,$$#)=;,; 2$.

-4

El tra%a!o reali&ado al despla&ar la carga entre esos puntos es nulo, ya que am%os puntos tienen elmismo potencial, y por lo tanto la misma energía potencial. El tra%a!o a reali&ar depende de lavariación de energía potencial, y como es nula, el tra%a!o tam%ién es nulo.

2000-SeptiembreA. Problema 2.-

7ota: el enunciado proporciona Xo D utili&amos el valor de 4 que es más directo en las e9presiones, sa%iendo que

7 = $

<π ε.

≈6 2$.6 3 C

−#m

#

a) "rimero reali&amos un diagrama y elegimos un sistemade referencia. Comamos el e!e 9 de modo que pase por losvértices ? y @, estando el origen en su punto medio,teniendo ? coordenada 9 negativa y @ coordenada 9

positiva. El e!e y pasa por el punto .

"odemos resolver de dos maneras equivalentes:?. (tili&ando la definición vectorial de campo eléctrico

+ = 7 8

r # ur y que ur =

r

|r |3a distancia de las dos cargas al tercer vértice es la misma, # m al ser un triángulo equilátero.omo los ángulos del triángulo equilátero son de 01, para su altura, que es la coordenada y del

punto , Y, podemos plantear seg'n el diagrama

tg 0. 9 = :C

'- /#⇒ :C =

'- tg 0. 9

#=

# 2√ +#

=√ +m

El vector que va de ? a es i +√ + j

El vector que va de @ a es y − i +√ + j

+ ( 0 )= 7 6 '

##

( i +√ + j)#

+ 7 6 -

##

(− i +√ + j)#

Como 6 '=6 -=6

+ ( 0 )= 7 6

#+

( i +√ + j−i +√ + j)=6⋅$.6⋅#⋅$.−0

#+

(#√ + j)

+ ( 0 )=A,; 2$.+ j 3 /C

@. "or trigonometría, calculando módulos y descomponiendo componentes 9 e y de cada vector enfunción del ángulo B. En este caso B 5 01| + 6'5|=| + 6-5|;| + 6'y|=| + 6-y| "or la simetría, por lo que solamente hay componente y, su valor

será dos veces la componente y asociada a una 'nica carga, ya que am%as son iguales.

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| + (C )|=#| + 6'y(C )|=#2 7 6 '

##

sen(0. 9 )=# 26⋅$.6⋅#⋅$.−0

<⋅.,;00=A,; 2$.

+ 3 / C

Comando signos del diagrama y sumando vectorialmente, llegamos al mismo resultado. %) (tili&ando el principio de superposición el potencial total es la suma de los potenciales creado por las cargas en ? y @. omo am%as cargas son iguales y están a la misma distancia de , # m.

4 (C )=# 7

6 '

r ' =# 26 2$.

6

2

# 2$.−0

# =$,; 2$.

<

4

c) 3a energía potencial de una carga de - 2 en el punto sería, reutili&ando el resultado delapartado %, de E p5q/V5-/$80/$,;/$8<5,6 UEsa energía potencial es el tra%a!o aportado *reali&ado e9ternocontra el campo) para llevar unacarga desde T hasta ese punto traerla del infinito, E aportada para crear esa configuración decargasW.d) =i la caga situada en @ se sustituye por una carga de 8# 2, se modifica el potencial en el punto, no podemos utili&ar el resultado del apartado %. El potencial ahora sería nulo *cualitativamente seve que am%as distancias son iguales y las cargas iguales pero de signo contrario)

4 (C )= 7 6 '

r '+ 7

6 -

r -=

62$.6

#

2(# 2$.−0−# 2$.

−0)=.4

"or lo tanto el tra%a!o para traer una carga desde el infinito al punto sería nulo, ya que am%os puntos tienen el mismo potencial *nulo), y por lo tanto la misma energía potencial. El tra%a!o areali&ar depende de la variación de energía potencial, y como es nula, el tra%a!o tam%ién es nulo.2000-JunioCueti"n 3.- a) "odemos reali&ar un diagrama representando am%ascargas en el plano.ualitativamente se puede ver en el diagrama como, siendoam%as cargas positivas, el campo eléctrico se anulará en el

punto medio entre ellas, que es el origen. =e ve como tiene

que ser un punto del e!e 9 para que el módulo de am%oscampos sea igual, y tiene que ser el origen para que am%oscampos tengan misma dirección y sentidos opuestos y seanulen.Gatemáticamente, teniendo en cuenta que el campoeléctrico es un vector, llamando q$ a la carga en *,-) y q# ala carga en *,8-) *seg'n enunciado q$5q#5q5# m),

podemos plantear que el campo nulo en un punto genérico "de coordenadas *9,y) implica

+ ( 0 )= + $( 0 )+ + #( 0 )= 7 6$

r $"#

ur#0 + 7 6#

r #"#

ur!0 = 7 6( ur#0

r $"#

+ ur!0

r #"#

)

"ara un punto genérico r = 5 i + y j

r $"= 5 i +( y−-) jr #"= 5 i +( y+-) j

omo ur = r

∣r ∣, para que el campo sea nulo

+ ( 0 )=⇒ ur#0

r $"# +

ur!0

r #"# =⇒

5 i +( y−- ) j

r $"+ +

5 i +( y+- ) j

r #"+ =

Lgualamos am%os componentes a cero.

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5

r $"+

+ 5

r #"+

=.⇒ 5 2( $

( 5#+( y−-)#)+/#

+ $

( 5#+( y +-)#)+/#

)=.

&oluciones:

5=.

( 5#+( y−-)#)=( 5#+( y +-)#)⇒ y=.

"odemos compro%ar que la solución 95, y5 tam%ién hace que la componente y sea cero. y−-

r $"+ + y+-

r #"+ =⇒ y−-

( 5#+( y−-)#)+/#= − y+-( 5#+( y+-)#)+/#

%) El tra%a!o estará asociado a la diferencia de energía potencial entre am%os puntos.ualitativamente podemos ver que am%os puntos están a la misma distancia de am%as cargas y quetendrán la misma energía potencial, por lo que el tra%a!o será nulo.

7uméricamente calculamos la energía potencial en am%os puntos: llamamos ? al punto *$,) y @ al punto *8$,). 3as distancias entre q$ y ?, q$ y @, q# y ? y q# y @ son todas iguales, la hipotenusa deun triángulo rectángulo de lados $ y -, d =√ $#+-

#=√ #Am . omo q$5q#5q, podemos plantear:E p?54qd Q 4qd5#4qd E p@54qd Q 4qd5#4qdI58KE p5




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