Factores y Su Empleo 1

FACTORES Y SU EMPLEO

•Los factores utilizados en la ingeniería económica toman en cuenta el valor del dinero en el tiempo.

•La aplicación de los factores se ilustra mediante el empleo de sus formas matemáticas y de un formato de notación estándar.

FACTORES

1. Factor de Valor Futuro – Pago Único (F/P).

2. Factor de Valor Presente – Pago Único (P/F).

3. Factor de Valor Presente – Serie Uniforme (P/A).

4. Factor de Recuperación de Capital – Serie Uniforme (A/P).

5. Factor de Fondo de Amortización – Serie Uniforme (A/F).

6. Factor de Cantidad Compuesta - Serie Uniforme (F/A).

1- Factor de Valor Futuro – Pago Único (F/P)

Factor fundamental en la ingeniería económica que determina la cantidad de dinero F.

Que se acumula después de n años (o periodos).

A partir de un valor único presente P . Con interés compuesto una vez por año (o

por periodo).

Recuerde: el interés compuesto se refiere al interés pagado sobre el interés.

Derivaciones básicas:

Factor F/P (Para hallar F dado P)

P0

Fn

………….

Compuesto hacia adelante en el tiempo.

Factor de Valor Futuro – Pago Único (F/P)

0 1 2 3 4 n-1 n

= ?

= dado

i = dado

Derivación por inducción matemática - Factor F/P

F1 = P(1+i)

F2 = F1(1+i)… pero:

F2 = P(1+i)(1+i) = P(1+i)2

F3 =F2(1+i) =P(1+i)2 (1+i) = P(1+i)3

En general: Fn = P(1+i)n

El factor (1+i)n se denomina Factor de Cantidad Compuesta de Pago Único (FCCPU). Éste es el factor de conversión que, cuando se multiplica por P, produce la cantidad F de una inversión inicial P después de n años, a la tasa de interés i.

Notación: Fn = P(F/P,i,n)

donde (F/P,i,n) = (1 + i)n

Factor de Valor Futuro – Pago Único (F/P)

Descuento hacia atrás en el tiempo

P

Fn

………….

El factor P/F trae de vuelta un solo monto futuro hasta un punto específico en el tiempo.

2- Factor de Valor Presente – Pago Único (P/F)

= ?

= dado

i = dado

0 1 2 3 4 n-1 n

Factor P/F (Para hallar P dado F)

Descuento hacia atrás desde el futuro.

Factor de Valor Presente – Pago Único (P/F)

Puesto que Fn = P(1+i)n

Resolvemos para P en términos de Fn

P = Fn 1 ó P = F(1+i)-n

(1+i)n

El factor (1+i)-n se conoce como el Factor de Valor Presente de Pago Único (FVPPU), o el factor P/F. Este factor determina el valor presente P de una cantidad futura dada F, después de n años a una tasa de interés i.

Notación: P = F(P/F,i,n) donde (P/F,i,n) = (1+i)-n

Notación y Ecuaciones

Ecuación EcuaciónEncontrar en notación con fórmula Funciones

Notación Nombre /dado estándar de factor de Excel

(F/P ,i ,n ) Cantidad compuesta F/P F = P (F/P ,i ,n ) F = P (1 + i )n FV(i %,n ,,P )pago único

(P/F ,i ,n ) Valor presente P/F P = F (P/F ,i ,n ) P = F (1/(1 + i )n) PV(i %,n ,,F )pago único

Tabla: Factores F/P y P/F

Factor

Se ha adoptado una notación estándar para todos los factores. La notación incluye dos símbolos de flujo de efectivo, la tasa de interés y el número de periodos. Siempre está en la forma general (X/Y,i,n). La literal X representa lo que se busca; mientras que la literal Y representa lo que está dado. La i es la tasa de interés en porcentaje y n representa los periodos implicados.

Ejemplo: F/P significa encuentre F cuando P está dado.

Ejemplo – Análisis F/P

P= $1,000; n=3; i=10%¿Cuál es el valor futuro, F?

0 1 2 3P = $1 000

F = ?

i=10% por año

F3 = $1,000[F/P,10%,3] = $1,000[1.10]3

= $1,000[1.3310] = $1,331.00

Fn = P(1+i)n

Fn = P(F/P,i,n)

Ejemplo – Análisis P/F

Suponga que F = $100,000 a 9 años a partir de ahora. ¿Cúal es el valor presente de esta cantidad ahora si i =15%?

0 1 2 3 8 9

…………

F9 =

$100,000

P= ?

i = 15%por año

P = $100,000(P/F, 15%,9) = $100,000(1/(1.15)9)

= $100,000(0.2843) = $28,430 en el tiempo t = 0

P = Fn 1 (1+i)n

P = F(P/F,i,n)

$A por periodo = dado

P = ?

0

…………..

n 1 2 3 .. .. n-1

3- Factor de Valor Presente – Serie Uniforme (P/A)

i = dado

Se desea una expresión para el valor presente (P) de una serie de flujos de efectivo iguales (A) a fin de periodo.

Se considera cada valor de A como un valor futuro F, calculando su valor presente con el factor P/F para luego sumar los resultados.

Factor P/A (Para hallar P dado A)

Anualidad de flujo de efectivo.

Expresión de valor presente.

1 2 1

1 1 1 1..

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )n nP A

i i i i

El término dentro de los paréntesis es una progresión geométrica.

Multiplique esta ecuación por 1/(1+i) para obtener una segunda ecuación.

[1]

Factor de Valor Presente – Serie Uniforme (P/A)

La segunda ecuación.

2 3 1

1 1 1 1..

1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )n n

PA

i i i i i

Para aislar una expresión para P en términos de A, reste la Ec. [1] de la Ec. [2]. Observe que muchos términos desaparecen.

[2]

Planteamiento de la resta.

1 2 1

1 1 1 1..

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )n nP A

i i i i

[1]

2 3 1

1 1 1 1..

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )n nP A

i i i i

[2]

-

1

1 1

1 (1 ) (1 )n

iP Ai i i

= [3]


1

1 + i

Simplificando más la Ec. [3].

1

1 1

1 (1 ) (1 )n

iP Ai i i

1

11

(1 )nA

Pi i

(1 ) 1 0

(1 )

n

n

iP A for i

i i

para



Esta expresión convertirá un flujo de efectivo anual a una cantidad de valor presente equivalente un periodo a la izquierda del primer flujo de efectivo anual.

(1 ) 1 0

(1 )

n

n

iP A for i

i i

•El factor P/A es utilizado para calcular el valor P equivalente en el año 0 para una serie uniforme de final de periodo de valores A, que empiezan al final del periodo 1 y se extienden durante n periodos.

•El término entre corchetes en la ecuación es el factor de conversión referido como Factor de Valor Presente de Serie Uniforme (FVPSU).

Notación: P = A (P/A, i, n) donde (P/A, i, n) = (1 + i)n - 1 i (1 + i)n

4- Factor de Recuperación del Capital – Serie Uniforme (A/P)

$A por periodo = ?

P = dado

…………..

n 0 1 2 3 .. .. n-1

i = dado

El punto de valor presente de un flujo de efectivo anual está siempre un periodo a la izq. de la primera cantidad A.

Factor A/P (Para hallar A dado P)

Factor de Recuperación del Capital – Serie Uniforme (A/P)

Dado el factor P/A

(1 ) 1 0

(1 )

n

n

iP A for i

i i

Resolviendo para A en términos de P.

Obtenemos la ecuación

(1 )

(1 ) 1

n

n

i iA P

i

Notación:A = P (A/P, i, n)donde (P/A, i, n) = i (1 + i)n

(1 + i)n - 1

El término entre corchetes se denomina Factor de Recuperación del Capital (FRC), o factor A/P. Con él se calcula el valor anual uniforme equivalente A durante n años de una P dada en el año 0, cuando la tasa de interés es i.




(P/A ,i ,n ) Serie uniformes de P/A P = A(P/A,i ,n ) P = A (1 + i )n -1 PV(i %,n ,,A)

valor presente i (1 + i )n

(A/P ,i ,n ) Recuperación A/P A = P(A/P ,i ,n ) A = P i (1 + i )n PMT(i %,n ,,P )

de capital (1 + i)n -1

Tabla: Factores P/A y A/P

Factor

Estas fórmulas se derivan con el valor presente P y la primera cantidad anual uniforme A, con un año (o un periodo) de diferencia. Es decir, el valor n años de una P siempre debe localizarse un periodo antes de la primera A.

Ejemplo – Análisis P/A

$A = $500 anual

P = ?

…………..

8 0 1 2 3 .. .. 7

i = 12%

(1 ) 1 0

(1 )

n

n

iP A for i

i i

P = A (P/A, i, n)

P = $500 (P/A, 12%, 8) = $500 (4.9676) = $2,483.50

Ejemplo – Análisis A/P

$A = ?

P = $12,500

…………..

0 1 2 3 .. .. 19

i = 6%

A = $12,500 (A/P, 6%, 8) = $12,500 (0.08718) = $1,089.75

20

(1 )

(1 ) 1

n

n

i iA P

i

A = P (A/P, i, n)

5- Factor de Fondo de Amortización – Serie Uniforme (A/F)

…………..

A por periodo = ?

Factor A/F (Para hallar A dado F)

0 1 2 3 n – 1 n

F = dado

i = dado

La forma más simple de derivar el factor A/F consiste en sustituirlo en aquellos ya desarrollados.

Observemos las ecuaciones de los factores que ya tenemos :

1

(1 )nP F

i

(1 )

(1 ) 1

n

n

i iA P

i

Sustituyamos “P” y ¡simplifiquemos!

Factor de Fondo de Amortización – Serie Uniforme (A/F)

Factor de Fondo de Amortización – Serie Uniforme (A/F)

Por sustitución obtenemos:

A = F 1 i (1 + i)n

(1 + i)n (1 + i)n - 1

Simplificando

A = F i (1 + i)n - 1

La expresión entre corchetes es el Factor de Fondo de Amortización o A/F, el cual determina la serie de valor anual que sería equivalente a un valor futuro determinado F.Notación: A = F (A/F, i, n)

donde (A/F, i, n) = i (1 + i)n - 1

0…………..

$A por periodo = dado

Halle $F dados los montos de $A.

6- Factor de Cantidad Compuesta – Serie Uniforme (F/A)

Flujo de efectivo anual.

Factor F/A (Para hallar F dado A)F = ?

i = dado

1 2 3 n –1 n

Factor de Cantidad Compuesta – Serie Uniforme (F/A)

Dada la ecuación: A = F i (1 + i)n - 1

Resolvemos para F en términos de A.

)=A

(1 1F

ni

i

El término entre corchetes es el Factor de Cantidad Compuesta, Serie Uniforme (FCCSU), o factor F/A. Cuando se multiplica por la cantidad uniforme A dada, produce el valor futuro de la serie uniforme. La cantidad futura F ocurre durante el mismo periodo que la última A.

Notación: F = A (F/A, i, n)donde (F/A, i, n) = (1 + i)n - 1 i



(F/A ,i ,n ) Cantidad compuesta F/A F = A(F/A,i ,n ) F = A (1 + i )n -1 VF(i %,n ,,A)serie uniforme i

(A/F,i ,n ) Fondo A/F A = F(A/F,i ,n ) A = F i PAGO(i %,n ,,F )

de amortización (1 + i)n -1

Tabla: Factores F/A y A/F

Factor


Factor A/F

La serie uniforme A se inicia al final del periodo 1 y continúa a lo largo del periodo de la F dada.

Ejemplo – Análisis F/A

Formasa Plastics tiene sus principales fábricas en Texas y Hong Kong. Se desea conocer el valor futuro de $1,000 000, invertidos al final de cada año durante 8 años, empezando dentro de un año. Se supone que la tasa de interés será de 14% anual.

Solución:

F = $1,000(F/A,14%,8) = $1,000(13.23218) = $13, 232.80

F = $13.232 millones, dentro de 8 años.

)=A

(1 1F

ni

i

F = A (F/A, i, n)

Ejemplo – Análisis A/F¿Cuánto dinero debe depositar Carol cada año, empezando dentro de 1 año, al 5½% anual, para acumular $6,000 dentro de siete años?

0…………..

$A por periodo = ?

i = 5½%

1 2 3 6 7

F = $6,000

Solución

A = F i (1 + i)n - 1

A = F(A/F, i, n)

A= $6,000 (A/F, 5.5%, 7) = $6,000 (0.12096) =$725.76 anual

Factores y Su Empleo 1

Documents

Transcript of Factores y Su Empleo 1