FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Factorizar un polinomio significa expresar el polinomio en forma de multiplicación. El objetivo es descomponer el polinomio dado en un producto de polinomios irreducibles o primos. Un polinomio es irreducible o primo si no se puede expresar o descomponer como un producto de otros polinomios de menor grado que él.

Posibles casos

1. Polinomio de segundo grado

Realizar una factorización de un polinomio de segundo grado es muy fácil. Lo único que tenemos que hacer es igualar el polinomio a cero y resolver la ecuación de segundo grado

Ejemplo:

Factorizar el siguiente polinomio

Igualamos a cero el polinomio

Resolvemos la ecuación

;

Ahora lo presentamos como multiplicación de polinomios de la siguiente forma

Con lo cual nuestro polinomio quedaría de la siguiente forma

= 2 4 2 4x x x x

¿Qué pasaría si al resolver la ecuación de segundo grado únicamente nos da un resultado?

Resolvamos el siguiente ejercicio

Factoriza el siguiente polinomio

Los pasos son los mismos que en el ejemplo anterior

Esto no quiere decir que sólo tenemos una solución. Nos encontramos ante una solución doble. Nuestra factorización sería

=

¿Qué pasaría si al resolver la ecuación de segundo grado nos diese un resultado cero?

Resolvamos el siguiente ejercicio

Factoriza el siguiente polinomio

Se trata de una ecuación incompleta de segundo grado. Si no recuerdas como se resuelve pica en el siguiente enlace Resolución ecuaciones de segundo grado

¿Estaría bien nuestra solución? Si nos fijamos bien y desarrollamos = que no es el mismo que nuestro polinomio inicial. Nos falta multiplicarlo todo por 3

Con lo que nuestra solución quedaría

=

2. Al igualar a cero nos encontramos ante una ecuación bicuadrada

Factorizar el siguiente polinomio

Los pasos son los mismos que en los casos anteriores si nos fijamos bien no podemos sacar factor común para simplificar un poco, así que la forma más rápida de resolverla será con una ecuación bicuadrada

Pasos para resolver este tipo de ecuación

1° hacemos el siguiente cambio de variable

2° resolvemos la ecuación de segundo grado

3° Deshacemos el cambio de variable

Con lo cual nuestra factorización quedaría:

3. Polinomio de grado igual o superior a 3

A veces, cuando igualamos a cero el polinomio para factorizar no nos encontramos ante una ecuación de segundo grado o bicuadrada, y es cuando necesitaremos otros procedimientos para poder factorizar. Uno de ellos es aplicando Ruffini

Ejemplo:

Factoriza el siguiente polinomio

El posible valor de “a” deber ser divisor del término independiente es este caso 16

16 tiene por divisor ±1, ±2, ±3, ±4, ±8, ±16. Cualquiera de ellos puede ser el que haga cero la expresión

Probamos con 2: Si x4+6x3+x2-24x+16, Sus coeficientes en orden son:

1 6 1 -24 16 2

2 16 34 20

1 8 17 10 36 NO

Probamos con -4

1 6 1 -24 16 -4

-4 -8 28 -16

1 2 -7 4 0 SI

Coeficientes resultantes

(x3+2x2-7x+4) (x+4)

Volvemos a dividir:

Probamos con 1

1 2 -7 4 1

1 3 -4

1 3 -4 0 SI

(x2+3x-4) (x-1) (x+4) = (x+4) (x-1) (x-1) (x+4) = (x+4)2 (x-1)2

FACTORIZAMOS USANDO ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

=

4. Sacando factor común previamente

En muchos casos antes de factorizar tenemos que sacar factor común para poder realizar alguno de los procedimientos anteriores

Ejemplos

Factorizar los siguientes polinomios

a)

La resolvemos como el caso de una ecuación de segundo grado

b)

Por ejemplo por Ruffini