UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER

UNIDAD 4

FACTORIZACIÒN Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

FACTORIZACION Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto.

Cuando realizamos las multiplicaciones:

1. 2x(x2 – 3x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x 2. (x + 7)(x + 5) = x2 + 12x + 35

Vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir, la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.

CASOS DE FACTORIZACIÓN 1. FACTOR COMUN 1.1 Factor común monomio : Con este método buscamos el factor común de todos y cada uno de los términos del monomio. Es decir, cuando tenemos una expresión de dos o más expresiones algebraicas y se presenta un término común; se debe sacar como factor común. Ejemplo 1: ¿cuál es el factor común monomio en 12x + 18y − 24z? Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y − 6· 4z = 6(2x + 3y − 4z) Ejemplo 2: ¿Cuál es el factor común monomio en: 5a2 − 15ab − 10ac? El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a (el de menor grado), por lo tanto 5a2 − 15ab − 10ac = 5a·a − 5a·3b − 5a · 2c = 5a(a − 3b − 2c) Ejemplo 3: ¿Cuál es el factor común en 6x2y − 30xy2 + 12x2y2 ? El factor común es “6xy “porque 6x2y − 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x − 5y + 2xy)

1.2 Factor común polinomio: Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión. En este método se busca el factor común de todos y cada uno de los términos de un polinomio. Pero el resultado será otro polinomio. Ejemplo 1: 5x2(x − y) + 3x(x − y) + 7(x − y) - Factor común "(x − y)", el otro factor será lo que queda del polinomio. (5x2 + 3x + 7) Entonces se obtiene como resultado: (x − y) (5x2 + 3x +7) Ejemplo 2: Factoriza 2a (m − 2n) − b (m − 2n) =

Existe un factor común que es (m − 2n) → 2a (m − 2n) − b (m - 2n) = (m − 2n) (2a − b) 1.3 Factor común por agrupación de términos : En este caso de factorización hacemos uso de los dos métodos anteriores. Ejemplo: 5x4y + 3x3y −9xy −15xy2:

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Primero debemos agruparlo y factorizar los términos que agrupamos: seria así:

1º 5x4y − 15xy2 = 5xy (x3 − 3y) 2º 3x3y − 9xy = 3y (x3 −3y) Y por último si unimos los dos factores comunes monomios quedaría así: 5xy (x3 −3y) +3y (x3 −3y): Después se aplica el factor común polinomio. Entonces el resultado será el siguiente: (x3 −3y) (5xy +3y)

2. FACTORIZACION DE TRINOMIOS 2.1 Trinomio cuadrado perfecto Para que un trinomio sea cuadrado perfecto: el primer y tercer término deben tener raíz cuadrada y

el segundo término debe ser el doble producto de las bases de los dichos términos.

Ejemplo:

Factorizar 29 30 25x x− +

1°°°° Halla la raíz principal del primer término 29x ; 3x · 3x

2°°°° Halla la raíz principal del tercer término 25 con el signo del segundo término; −5 · −5

luego la factorización de ( ) ( ) ( )229 30 25 3 5 3 5 3 5x x x x x− + = − − = −

2.2 Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracció n: En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo: 4224 910 nnmm +− Resolviéndolo queda:

22224224 44910 nmnmnnmm −++− 224224 496 nmnnmm −+−

( ) ( )2222 23 mnnm −− Aplicamos diferencia de cuadrados:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 23 2 3 2m n mn m n mn − + − −

2.3 Trinomio de la forma: 2n nx bx c+ +

El trinomio de la forma 2n nx bx c+ + se puede descomponer en dos factores binomiales mediante el siguiente proceso: Ejemplo 1:

Descomponer 2 6 5x x+ + 1°°°° Hallar dos factores que den el primer término x ···· x 2°°°° Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea “6”

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1 y 5 ó -1 y - 5

Pero la suma debe ser +6 luego serán ( )( )5 1x x+ +

( ) ( )2 6 5 5 1x x x x⇒ + + = + +

Ejemplo 2:

Factorizar 4 2 24 12x x y y+ − 1º Hallar dos factores del primer término, o sea x4: x2 ···· x2 2º Hallar los divisores de 12y2, estos pueden ser: 6y · −2y ó −6y · 2y 4y · −3y ó −4y · 3y 12y · −y ó −12y · y Pero la suma debe ser +4, luego servirán 6y y −2y, es decir:

( )( )4 2 2 2 24 12 6 2x x y y x y x y+ − = + −

2.4 Trinomio de la forma 2n nax bx c+ + Ejemplo:

Factorizar 22 11 5x x− + 1º El primer término se descompone en dos factores 2x ···· x 2º Se buscan los divisores del tercer término 5 ···· 1 ó -5 ···· -1 3º Parcialmente la factorización sería (2x + 5) (x + 1) Pero no sirve pues da: 2x2 + 7x + 5 Se reemplaza por (2x - 1) (x - 5) y en este caso nos da: 2x2 - 11x + 5

Por lo tanto, ( ) ( )22 11 5 5 2 1x x x x− + = − −

Vale aclarar que este no es el único método. En la presentación se aplica el método que sugiere Baldor. 3. FACTORIZACION DE BINOMIOS 3.1 Diferencia de dos cuadrados: Ejemplo:

Factorizar 2 29 16x y−

Raíz cuadrada del primer término 29 3x x=

Y raíz cuadrada del segundo término 216 4y y=

Luego la factorización de ( ) ( )2 29 16 3 4 3 4x y x x− = + −

3.2 Cubo perfecto de un binomio Ejemplo: Factorizar 3 23 3 1a a a+ + +

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Todos los signos de los términos son positivos

3 3a a= : Raíz cúbica del primer término del cuatrinomio. 3 1 1= : Raíz cúbica del cuarto término del cuatrinomio.

( )( ) 22 313 aa = Triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto: Igual al segundo término del cuatrinomio.

( )( ) aa 313 = Triplo de la raíz cúbica del primer término del cuatrinomio por el cuadrado de la raíz cúbica del cuarto término: igual al tercer término del cuatrinomio. Por lo tanto:

133 23 +++ aaa Desarrollo de un cubo perfecto de binomios.

( )323 1133 +=+++ aaaa 3.3 Suma o diferencia de cubos perfectos

3.3.1 Diferencia de cubos: ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b− = − + +

Ejemplo: ( )( )3 28 2 4 2x x x x− = − + +

3.3. 2 Suma de cubos: ( ) ( )3 3 2 2a b a b a ab b+ = + − +

Ejemplo: ( )( )3 227 1 3 1 9 3 1a a a a+ = + − +

FRACCIONES ALGEBRAICAS DEFINICIONES Fracción algebraica: es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas, es decir de la forma

( )

( )

p x

q xdonde el polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica, con

q(x) ≠ 0. Ejemplos:

2

5 8 3( ) ( 3) ( )

3 2 3 2

2 3 3 4( ) ( ) ( 4, 2)

7 2 8

xa x b x

x x

x y xc d x x

x x

+ ≠ ≠ − − +

− + ≠ ≠ −− −

Simplificación de fracciones algebraicas Simplificar una fracción algebraica es convertirla en una fracción equivalente reducida a su mínima expresión, o sea, una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y su denominador se pueden dividir por un mismo factor.

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Una fracción después de simplificada se dice que es irreducible.

• Para simplificar una fracción cuyos términos sean monomios se dividen el numerador y el denominador por sus factores comunes hasta lograr que la fracción sea irreducible.

• Para simplificar una fracción cuyos términos sean polinomios se descomponen en factores los polinomios y se suprimen los factores comunes en el numerador y el denominador hasta lograr que la fracción sea irreducible.

Ejemplos Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

(a) 3 3 2 3 2

5 2 3 2

24 8 3 8

21 7 3 7

a b a ab a

ab b ab b

⋅= =⋅

(b) 16x

12x7x2

2

−+−

Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que:

)4x)(4x(16x

)3x)(4x(12x7x2

2

−+=−−−=+−

Luego:

2

2

7 12 ( 4)( 3) 3

16 ( 4)( 4) 4

x x x x x

x x x x

− + − − −= =− + − +

Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas La operación de reducir las fracciones algebraicas al mínimo común denominador consiste en convertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador y que éste sea el menor posible. Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en sus factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada caso el de mayor exponente

Ejemplo: Reducir al mínimo común denominador

2 2 2

3 2 3, , ,

5 6 6 9 3 2 2

x x x

x x x x x x x

++ + + + + + +

Al factorizar los denominadores obtenemos:

2( 2)( 3) , ( 3) , ( 2)( 1) , ( 2)x x x x x x+ + + + + + ; m.c.m. = 2( 2)( 3) ( 1)x x x+ + +

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

En las operaciones con fracciones algebraicas se aplican las mismas reglas que se utilizan en aritmética para el cálculo de fracciones numéricas.

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1. Suma y Resta Reglas:

• Se simplifican las fracciones, si es posible. • Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador • Se divide el denominador común entre cada uno de los denominadores y cada cociente lo

multiplicamos por su respectivo numerador. • Se suman o restan los numeradores que resulten y se divide este resultado por el

denominador común. • Se reducen términos semejantes en el numerador, si los hubiere. • Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.

Ejemplo:

5 9 7 2 8 5 (5 9 ) (7 2 ) (8 5 ) 4 6

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3

a b a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b

− − − − + − − − −+ − = =− − − − −

Luego, factorizando el numerador y simplificando, se obtiene:

2)b3a2(

)b3a2(2 =−−

Entonces: 5 9 7 2 8 5

22 3 2 3 2 3

a b a b a b

a b a b a b

− − −+ + =− − −

2. Multiplicación Reglas:

• Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible. • Se halla el producto de las expresiones que queden en los numeradores y el producto

resultante se divide por el producto de las expresiones que queden en los denominadores. Ejemplo:

2 3

2 3 2 2

5 6 7 21

9 2 8 7 7

m m m m m

m m m m m

− + − +− + − −

� �

Factoricemos y simplifiquemos

2

2 2

( 3)( 2) ( 1) 7( 3)

( 3)( 3) ( 2 8) 7( 1)

( 3)( 2) ( 1)( 1) 7( 3) 1

( 3)( 3) ( 4)( 2) 7( 1)( 1) 4

m m m m m

m m m m m m

m m m m m m

m m m m m m m m

− − − +⋅ ⋅ =+ − + − −

− − + − +⋅ ⋅ =+ − + − + − +

Entonces:

2 3

2 3 2 2

5 6 7 21 1

9 2 8 7 7 4

m m m m m

m m m m m m

− + − +⋅ ⋅ =− + − − +

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3. División Reglas:

• Se multiplica el dividendo por el divisor invertido • Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible.

Ejemplo:

2

2

2 4 6 12 2 4 15 45

5 15 15 45 5 15 6 12

x y xy y x y x y

x y x y x y xy y

− − − +÷ = •+ + + −

Factoricemos y simplifiquemos

2( 2 ) 15( 3 ) 1

5( 3 ) 6 ( 2 )

x y x y

x y y x y y

− +• =+ −

Entonces: 22 4 6 12 1

5 15 15 45

x y xy y

x y x y y

− −÷ =+ +

4. Operaciones combinadas Para resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en primer lugar aquellas indicadas dentro de los paréntesis. Si no los hay, las multiplicaciones y divisiones tienen prioridad. Ejemplo:

2 2

2 2 2 2

3 3 6 6

2 2 2

x y x y x y

x xy y x y x xy y

− − −÷ • + + + − +

Calculemos el cociente del paréntesis y luego multipliquemos.

22

22

2 yxyx

yx

)yx(6

)yx(2

)yx(

)yx(3

+−−•

−+•

+−

Factoricemos y simplifiquemos

Entonces:

2 2

2 2 2 2 2 2

3 3 6 6

2 2 2

x y x y x y x y

x xy y x y x xy y x xy y

− − − −÷ • = + + + − + − +

2 2 2 2 2

3( ) 2( ) ( )( )

( ) 6( )

x y x y x y x y x y

x y x y x xy y x xy y

− + − + −• • =+ − − + − +