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FÍSICA MATEMÁTICA

Facultad de Ciencias Médicas / UNSE 2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO

FACULTAD DE CIENCIAS MÉDICAS

AUTORIDADES

Rectora UNSE

Lic. Natividad NASSIF

Decano Organizador Facultad de Ciencias Médicas

Dr. Humberto A. HERRERA

Secretario Académico Facultad de Ciencias Médicas

Dr. Pedro CARRANZA

Coordinador de Actividades de Ingreso Facultad de Ciencias Médicas

Dr. José GALIANO

MÓDULOS DE ESTUDIO PARA INGRESO A MEDICINA

Equipo de autores de material de estudio

Módulos de Curso de Nivelación

Biología: Dr. Diego MELONI

Física: Ing. Claudia ANRIQUEZ

Química: Dra. Evangelina GONZÁLEZ

Lic. Héctor TÉVEZ

Alfabetización Académica: Lic. Elsa DANNA

FÍSICA MATEMÁTICA


Anríquez, Claudia Beatriz

Módulos de estudio para ingreso a medicina: biología. - 1a ed. -

Santiago del Estero: Universidad Nacional de Santiago del Estero -

UNSE, 2015.

E-Book.

ISBN 978-987-1676-60-6

1. Medicina. 2. Física. 3. Enseñanza Universitaria. I. Título

CDD 530.711

FÍSICA MATEMÁTICA


MÓDULO 1: FÍSICA MATEMÁTICA

La física matemática es el campo científico que se ocupa de la interfaz entre la matemática y

la física y se la define como la aplicación de las matemáticas a problemas del ámbito de la

física y el desarrollo de métodos matemáticos apropiados para estos usos y para el desarrollo

de conocimientos físicos imprescindibles para el abordaje de los estudios de la carrera de

medicina.

Propósito

Brindar a los aspirantes conocimientos básicos de Matemática y Física que permitan explicar

algunos fenómenos estudiados por la Ciencia Médica mediante la resolución de problemas.

Objetivos

Conocer y utilizar las herramientas de la matemática para organizar y explicar los

fenómenos físicos.

Interpretar los conceptos básicos de la física.

Conocer e interpretar el significado, las limitaciones y el alcance de las leyes que rigen

los fenómenos físicos.

Comprender y resolver situaciones problemáticas en el área de las Ciencias Médicas,

mediante el uso de herramientas y modelos matemáticos necesarios para su

interpretación.

Propuesta de Contenidos

Matemática. Notación científica. Potencia. Operaciones con potencia. Sistema cartesiano

ortogonal. Funciones: funciones de 1º y 2º grado; exponenciales; logarítmicas. Relaciones

trigonométricas.

Vectores. Nomenclatura: forma cartesiana, polar y con vectores unitarios. Operaciones con

vectores: Suma vectorial y producto de escalar por vector.

Magnitudes. Medición y sus componentes; magnitudes y unidades. Magnitudes escalares y

vectoriales. Sistema de unidades. SIMELA.

Cinemática. Trayectoria. Posición. Desplazamiento. Velocidad media e instantánea.

Aceleración. Movimiento rectilíneo uniforme. Movimiento rectilíneo uniformemente variado.

Dinámica. Fuerza. Masa. Ley de la gravitación universal. Primera ley de Newton. Segunda ley

de Newton. Tercera ley de Newton. Fuerzas de contacto y a distancia; peso; fuerza normal;

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fuerza de rozamiento. Aplicaciones de las leyes Newton. Trabajo de una fuerza. Potencia.

Energía cinética y potencial. Principio de conservación de la energía. Cantidad de movimiento.

Momento de una fuerza respecto de un eje. Cuerpo rígido; centro de masa. 2º ley de Newton

para la rotación. Condiciones de equilibrio estático. Biomecánica.

Hidrostática e Hidrodinámica. Concepto de fluido. Densidad. Presión. Presión hidrostática.

Principio de Pascal. Presión atmosférica. Principio de Arquímedes. Líneas de flujo y Ecuación

de continuidad. Teorema de Bernoulli. Viscosidad. Flujo laminar y turbulento. Número de

Reynolds. Ley de Poiseuille. Ley de Stokes

Temperatura, Gases, Calor y Nociones de Termodinámica. Temperatura. Escalas de

temperatura. Expansión térmica. Gases ideales y reales. Ley de Boyle-Mariotte. Leyes de Gay

Lussac. Ecuación general de los gases. El calor. Calor específico y calor Latente. Primer

principio de la termodinámica. Energía interna. Transmisión del calor: conducción, convección

y radiación.

Electrostática y Electrodinámica. Carga eléctrica. Ley de Coulomb. Campo eléctrico.

Potencial eléctrico. Diferencia de potencial. Corriente eléctrica. Resistencia eléctrica. Ley de

Ohm. Trabajo y potencia eléctrica. Resistencias en serie y en paralelo. Circuitos eléctricos.

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¡Bienvenidos al módulo de Física Matemática!

La Física es la ciencia que explica todo tipo de fenómeno natural y los organismos

vivientes forman parte de la Naturaleza, ellos son sistemas abiertos ya que incorporan, como

también liberan materia, energía e información.

En éste curso se intentaran explicar conceptos físicos que se seleccionaron para poder

afrontar el estudio de la Medicina. Así también se debe entender que el lenguaje de la Física

es la Matemática, por lo que no se puede separar; en muchos casos los conceptos físicos

están definidos operativamente, o sea siempre asociados a una expresión matemática, que

pone de manifiesto la relación entre las variables o magnitudes, intervinientes en el fenómeno.

La primera parte del curso se ven justamente las herramientas matemáticas para dar

lugar luego a los conceptos físicos propiamente dichos

Desde ya deseamos que en esta primera experiencia para todos, sepamos

acompañarnos para cimentar esta nueva carrera en Santiago del Estero que es una aventura

del pensamiento que se hizo realidad.

¡Muchos Éxitos!

Ing. Claudia Anriquez

Coordinador Módulo de Física Matemática

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ÍNDICE

HERRAMIENTAS MATEMATICAS ............................................................................................................ 9

DE CARTESIANAS A POLARES ...................................................................................... 14

DE POLARES A CARTESIANAS ...................................................................................... 14

MECÁNICA .......................................................................................................................... 24

CINEMÁTICA ....................................................................................................................... 24

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) .............................................................. 26

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) .............................. 27

Movimiento en el Plano – Movimiento circular ............................................................... 27

DINÁMICA ........................................................................................................................... 28

PRIMERA LEY DE NEWTON............................................................................................ 33

SEGUNDA LEY DE NEWTON .......................................................................................... 34

TERCERA LEY DE NEWTON ........................................................................................... 35

Momentum de una fuerza o Torque .............................................................................. 37

EL CUERPO RÍGIDO ........................................................................................................ 39

EQUILIBRIO ESTÁTICO ................................................................................................... 41

TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA - DEFINICIONES...................................................... 43

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA .............................................................. 44

Mecánica de los fluidos ................................................................................................. 45

HIDROSTÁTICA .................................................................................................................. 46

DENSIDAD DE LOS FLUIDOS ......................................................................................... 46

PRESIÓN ......................................................................................................................... 47

Empuje y peso aparente................................................................................................ 49

PRINCIPIO DE PASCAL Y SU APLICACIÓN: LA PRENSA HIDRÁULICA ........................ 50

HIDRODINAMICA ................................................................................................................................... 51

ECUACIÓN DE BERNOULLI ............................................................................................ 55

Barómetros y manómetros: instrumentos de medición de presiones ............................. 57

LA PRESION ATMOSFERICA: SU MEDIDA. EXPERIENCIA DE TORRICELLI ................ 59

Tensión superficial ........................................................................................................ 60

FLUIDOS REALES ........................................................................................................... 62

Viscosidad ..................................................................................................................... 62

Viscosidad de algunos líquidos ..................................................................................... 63

LEY DE POISEUILLE........................................................................................................ 63

Uniones entre circuitos .................................................................................................. 64

FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO, Y EL PERFIL PARABÓLICO DE VELOCIDADES .... 65

LEY DE STOKES .............................................................................................................. 65

Circulación sanguínea ................................................................................................... 66

La sangre ...................................................................................................................... 66

LA PRESIÓN .................................................................................................................... 67

Uniones entre tuberías .................................................................................................. 67

Medida de la presión arterial ......................................................................................... 68

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TEMPERATURA - CALOR - NOCIONES DE TERMODINÁMICA ....................................... 71

TEMPERATURA ............................................................................................................... 71

EL CALOR Y EL PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA ..................................... 72

Dilatación Térmica ......................................................................................................... 73

EL CALOR ........................................................................................................................ 73

TRANSMISIÓN DEL CALOR ............................................................................................ 74

Descripción de los sistemas termodinámicos ................................................................ 75

Descripción termodinámica del universo ....................................................................... 75

Clasificación de los sistemas ......................................................................................... 76

Estado del sistema ........................................................................................................ 77

TEMPERATURA- PRESION- VOLUMEN EN GASES ....................................................... 78

La naturaleza de los gases ............................................................................................ 78

LEY DE BOYLE Y MARIOTTE .......................................................................................... 79

LEY DE GAY LUSSAC ...................................................................................................... 79

ECUACIÓN GENERAL DE LOS GASES IDEALES ........................................................... 80

Ecuación de estado ....................................................................................................... 82

ELECTROSTATICA ............................................................................................................. 84

Energía potencial electrostática ..................................................................................... 86

ELECTROCINETICA ........................................................................................................... 88

CORRIENTE ELÉCTRICA ................................................................................................ 88

CIRCUITOS ELÉCTRICOS. LEY DE OHM ....................................................................... 89

Símbolos eléctricos ....................................................................................................... 91

Circuitos en serie........................................................................................................... 92

Circuito en paralelo ....................................................................................................... 92

Caída de tensión en un receptor ................................................................................... 93

La corriente en los circuitos serie y paralelo .................................................................. 93

Características de los circuitos serie y paralelo ............................................................. 93

Efectos fisiológicos de la corriente eléctrica .................................................................. 95

Terapia con estimulación de corriente ........................................................................... 96

Propagación ................................................................................................................ 102

Velocidad de propagación ........................................................................................... 103

BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................. 104

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HERRAMIENTAS MATEMATICAS

La MEDICION; la medida, instrumentos de medición

El estudio de una ciencia implica realizar mediciones, el resultado de estas es la medida. Pero

este proceso no es solo de las ciencias, sino que nuestra vida se rige de medidas: cuánto

cuesta, cuánto mides, qué hora es, cuanto ganas, cuánto pesa, un análisis de sangre, un

análisis de orina, los valores de los triglicéridos etc. En suma todo lo medimos.

Es por eso que el proceso de Medición es muy importante.

La Medición puede ser Directa o puede ser Indirecta.

La Medición Directa es cuando a la medida se la obtiene de la sola lectura de un

instrumento de medición, ejemplo de esto es la medida del tiempo en un reloj, la medida de

la masa de papas en una balanza de verdulería, la medida de la temperatura en un

termómetro, etc. En estos casos el reloj, la balanza, el termómetro son los instrumentos de

medición

La Medición Indirecta: es la medida que resulta ya no de la lectura directa de un

instrumento de medición sino del resultado de una operación matemática. En la Física hay

muchas magnitudes físicas que se definen como el resultado de una operación matemática,

por ejemplo la superficie de un lote de forma rectangular es el resultado de multiplicar lado

por lado.

Hay dos componentes fundamentales en el proceso de la Medición: La magnitud y las

unidades (sistema de unidades)

Una magnitud es la propiedad del cuerpo susceptible de ser medido. Para medir una

magnitud se emplea una cantidad fija de la misma clase que se llama unidad.

Entonces debemos determinar la magnitud a medir y luego seleccionar la unidad de la

medida. La unidad no es una, sino un sistema de unidades.

Tenemos el Sistema Ingles y el Sistema Internacional del cual proviene el sistema que

usamos es nuestro país que es el SIMELA. Dentro de éste sistema es común hablar del

sistema MKS (metro, kilogramo, segundo). Otro sistema de unidades es el CGS (centímetros,

gramos, segundos).

El SIMELA es el Sistema Métrico Legal Argentino que es con el que trabajamos en

nuestro país. En el siguiente cuadro solo se mencionan algunas magnitudes con sus

respectivas unidades:

MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO

masa Gramo g

tiempo Segundo seg

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longitud Metro m

volumen Metro cubico m3

Velocidad Metro/segundo m/seg

Lo bueno es que toda unidad en un sistema de unidades tiene su equivalencia en otro sistema;

es decir que si tenemos una medida en el sistema ingles por ejemplo 20 millas, esto equivale

a 32,187 km, puesto que 1 milla equivale a 1,609 km. Estas equivalencias se las puede

encontrar en cualquier libro de física, en los celulares que tienen conversores, en fin no es

ningún secreto para nadie, solo hay que saber dónde buscar.

Algunas conversiones son:

1ft = 0,3048 m

1plg = 0,0254 m

1mi = 1609 m

1lb = 0,453 kg

1 lb (fuerza) = 4,448 N

1 yarda = 3 ft

1plg = 8,33 x 10-2 ft

1ft = 12 plg

1mi = 5280 ft

Ejercicios

1- ¿Cuál es el área de un círculo de 3,5 cm de diámetro? Expresarlo en m2

2- El corazón bombea sangre a un ritmo de 0,083 l/seg. ¿cuáles son las dimensiones de esta

velocidad de flujo? Expresarla en m3/h

3- ¿Cuál es el volumen de una célula esférica de 2 x 10-3 cm de diámetro?

4- La densidad normal de la orina oscila entre 1,002 - 1,035 g/l. Expresar estos valores en

kg/m3.

Las Magnitudes suelen clasificarse de varias maneras, la que seleccionamos aquí es la

siguiente:

Magnitudes escalares: son aquellas cuya medida es un escalar, esto es un número

con su unidad. Ejemplo: la longitud, masa, superficie, volumen, densidad, entre otras.

Magnitudes vectoriales: son aquellas cuyas medidas son vectores, o sea que se debe

indicar de ellas la intensidad, la dirección, sentido y donde están aplicadas. Todo esto se

indica con una herramienta llamada: vector. (La nomenclatura vectorial se ve después)

Entonces las magnitudes físicas vectoriales son aquellas que se representan por un vector, el

cual a su vez da la información de la intensidad, dirección y sentido. ¿Por qué esto es así?

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Porque esa información es necesaria, porque causarán un efecto! Por ejemplo, si nos dicen:

“viene un tornado de 150 Km/h”, lo primero que preguntaremos es de donde viene y a donde

impactará, porque es ahí donde causará un gran efecto! Algunas de estas magnitudes son: la

velocidad, la aceleración, la fuerza, entre otras.

La medida y sus formas de expresar

a) Forma de escribir medidas que son números:

Notación científica

Los técnicos, médicos y físicos se encuentran frecuentemente con números muy grandes o

muy pequeños, estos números suelen ser expresados en notación científica. Recuerde que

para expresar un número en notación científica, este debe ser mayor o igual a 1 y menor que

10, multiplicado por una potencia entera de 10.

En medicina es difícil asimilar los valores que se manejan, por ejemplo cuando nos dicen

que el radio de un átomo de hidrógeno es igual a 0,000000005. Esto sucede pues tales

números distan mucho de los valores que nuestros sentidos están acostumbrados a percibir

y se encuentran fuera de nuestro cuadro de referencias. En el estudio de la física

encontraremos magnitudes expresadas por números muy grandes o muy pequeños. El

enunciado escrito u oral de tales números, por lo común es dificultoso y por eso se utiliza la

notación científica.

La notación científica es expresar cualquier número como el producto de ese número

comprendido entre 1 y 10 y una adecuada potencia de 10.

Una regla práctica para obtener la potencia de 10 adecuada es la siguiente:

a) Contar el número de lugares que debe trasladarse el punto decimal para colocarlo a la

izquierda; este número nos proporciona el exponente positivo de 10.

b) Contar el número de lugares que debe trasladarse el punto decimal hacia la derecha; este

número nos proporciona el exponente negativo de 10.

Ejercicios

1) La relación 1/1.000.000 g equivale a:

a) 1 ng

b) 103 pg

c) 106 fg

d) 10 Å

e) nada de lo anterior es correcto

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2) En un cultivo de orina se obtienen 1,3 x 106 bacterias por mm3, esto significa que:

a) tiene 13 x 106 bacterias por mm3 de orina

b) tiene 1300 bacterias por mm3 de orina

c) tiene 1300000 bacterias por mm3 de orina

d) tiene 0,0000013 bacterias por mm3 de orina

e) tiene 0,00013 bacterias por mm3 de orina

3) Resuelva aplicando notación científica:

(5 x 108) x (3,5 x 10-6) / (4 x 10-2) =

- Exprese en notación científica

a) 382 b) 21200 c) 62000000 d) 0,042

e) 0,75 f) 0,000069 g) 0,0087 x 103 h) 4500 x 105

i) 84,6 x 10-5 j) 0,12 x 10-4

2- Calcule usando notación científica:

a) 0,0021 x 30000000 b) 34000

0000450, c)

000058,08900

560000

d) 7,54 x 108 3,7 x 107 e) 71090 f) 5,7 x 10-4 + 240 x 10-

6

g) 009,00078,0

00496,0780000

h) 59000 x 103 x 0,00009 i)

00000095,0

005,010533

b) Forma de escribir las medidas que son vectores: El vector: es un segmento orientado v El módulo o intensidad está representado por la medida de todo el segmento: v

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La dirección y sentido del vector vienen dados por la medida del ángulo que forma el vector

con la dirección + x.

* Coordenadas polares: la medida del vector viene dada por su módulo, y el ángulo

(respecto alguna referencia), 𝐴 = (A , θ)

por ejemplo 100 km/h, dirección norte a sur, con esta información se está dando

implícitamente el ángulo . 𝐴 = (100 km/h , 270°)

* Coordenadas cartesianas: se indican las las medidas de las componentes

Las proyecciones perpendiculares de A sobre cada eje se llaman, por definición,

componentes vectoriales de a en las direcciones x e y. En la figura estas componentes

vectoriales están indicadas por Ax y Ay. De la figura se encuentra fácilmente que los módulos

de las componentes vectoriales son:

Ax = A cos θ

Ay = A sen θ

Una vez que un vector ha quedado descompuesto, las componentes mismas pueden

usarse para especificar el vector. En lugar de dar un vector como (A , θ), esto es magnitud y

dirección con respecto al eje x positivo, puede darse el mismo como (Ax ; Ay), las componentes

rectangulares o cartesianas según los ejes x e y.

* Coordenadas con vectores unitarios:

Los vectores unitarios tienen modulo uno y la dirección de los ejes cartesianos:

i, representa el vector unitario en la dirección del eje x

j, representa el vector unitario en la dirección del eje y

k representa el vector unitario en la dirección del eje z

asi por ejemplo un vector V = (4 , 6 , 3) en coordenadas cartesianas será V = ( 4 i + 6 j

+ 3 k)

Como convertir….

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De cartesianas a polares

Si tiene un punto en coordenadas cartesianas (x, y) y lo quiere en coordenadas polares (r,θ),

necesitas resolver un triángulo del que conoce dos lados.

Ejemplo: ¿Cómo pasar (12,5) en coordenadas cartesianas a polares?

Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):

r2 = 122 + 52

1316925 + 144512r 22

Usa la función tangente para calcular el ángulo:

tg θ = 5 / 12

θ = arctg ( 5 / 12 ) = 22.6°

Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ) son:

22 yxr

θ = arctg ( y / x )

De polares a cartesianas

Si tiene un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quiere en coordenadas cartesianas (x,y)

necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo:

Ejemplo: ¿el vector (13, 23°) en coordenadas polares expresarlo en cartesianas?

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Usamos la función coseno para x: cos ( 23° ) = x / 13

Cambiamos de orden y resolvemos: x = 13 × cos ( 23° ) = 13 × 0,921 = 11,98

Usamos la función seno para y: sen ( 23° ) = y / 13

Cambiamos de orden y resolvemos: y = 13 × sen ( 23° ) = 13 × 0,391 = 5,08

Así que las expresiones para convertir coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y) son:

x = r × cos (θ)

y = r × sen (θ)

Operaciones con vectores

Una vez que se sabe cómo escribir vectores, se pueden realizar las siguientes operaciones:

Suma y resta vectorial

Productos escalar por vector

Producto escalar

Producto vectorial

Sumar vectores analíticamente

Es descomponer todos los vectores según un sistema de coordenadas cartesianas. Cada

componente de la resultante se obtendrá sumando algebraicamente las componentes de cada

vector según el eje considerado.

A partir de las componentes de la resultante se podrán encontrarse el módulo y dirección

del dicho vector.

Producto de un escalar por un vector

De igual manera si multiplicamos un vector por un escalar, éste afectará al vector original en

módulo y dirección dependiendo de su signo y su valor absoluto. Si el signo del escalar es

negativo, el vector resultante deberá cambiar su sentido, caso contrario lo conservará.

Si el valor absoluto del escalar es mayor que uno el vector resultante tendrá un módulo

mayor que el vector dato. Si fuera menor que uno, el módulo disminuirá.

Relaciones y funciones entre magnitudes

Los científicos, para estudiar los fenómenos que se producen en la naturaleza, comprueban

que en ellos, generalmente hay dos o más magnitudes relacionadas entre sí.

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Esto significa que al variar una de las magnitudes, la otra también cambia. Cuando esto

sucede, es decir cuando las magnitudes están relacionadas, puede establecerse un vínculo

funcional entre ellas.

Ejemplo de relación:

M = (Argentina, Brasil, Perú, España, Francia)

P = (Buenos Aires, Madrid, París, Brasilia, Lima)

Si entre los conjuntos M y P se establece la relación “capital de”, se obtiene:

P R M, que es una relación funcional.

El conjunto P es también llamado el dominio, y al conjunto M se lo llama el codominio.

Función

Las funciones son casos particulares de relaciones.

Definición:

Una función f de A en B (f: A B) es una relación que cumple:

1) El dominio de f es A

2) A cada elemento x A le corresponde un único elemento y B que se denota por

y = f (x)

A “x” se le llama variable independiente y a “y” variable dependiente.

Al igual que las relaciones, una función puede representarse mediante tablas, diagramas de

Venn, en el plano cartesiano, mediante una fórmula o coloquialmente.

Una función se puede representar a través de:

• una explicación con palabras comunes (lenguaje coloquial),

• una tabla acompañada de una explicación,

• una fórmula algebraica,

• un gráfico cartesiano.

Función lineal

Definición: las funciones cuya gráfica es una recta o parte de una recta se llaman funciones

lineales.

La fórmula de cada función lineal es:

y = a + b . x

También existe una relación entre el número b de la fórmula, la inclinación o pendiente de la

recta, y la variación constante en las funciones lineales.

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Propiedad: en las fórmulas del tipo “y = a + b”, el número “a” indica el punto donde la

recta de la gráfica corta al eje de ordenadas y. Suele llamárselo ordenada al origen.

Propiedad: en las fórmulas del tipo “y = a + b . x”, el número b (coeficiente de la variable

independiente) indica la variación constante, es decir el cociente o división entre la resta de

dos valores de la variable dependiente y, y la resta de sus correspondientes valores para la

variable independiente x.

Propiedad: además, si el número b es positivo, la recta de la gráfica es creciente,

ascendente, y si el número b es negativo, la recta de la gráfica es decreciente, descendente.

Suele llamárselo inclinación o pendiente.

Ejemplo 1

Las vías del tren

Seguramente usted habrá observado que las vías del ferrocarril dejan un pequeño

espacio libre en la unión de los rieles. Esto se debe a que, como el metal se dilata, se agranda,

con el calor, las vías necesitan ese espacio para no curvarse con temperaturas altas. ¿Cómo

se sabe cuánto espacio dejar? Se hicieron experiencias a diferentes temperaturas, y con rieles

que a 0º tienen 10 metros se obtuvo la siguiente tabla:

Analice la tabla.

Temperaturas (en ºC) Alargamiento (en mm)

-12 -1,4

-8 -1

0 0

8 1

15 2

25 3

No olvide que a temperaturas muy bajas (bajo 0) los rieles se contraen, es decir que se

achican. ¿Cómo interpreta los números negativos en la variable alargamiento?

Construya la gráfica de la función. Determine primero el dominio. Tenga en cuenta que

la tabla da valores aproximados. Observe por ejemplo que 15 es aproximadamente el doble

de 8, que 25 apenas pasa del triplo de 8:

Proponga una fórmula para esta función.

Ejercicio 2

La actividad física produce a largo plazo un aumento del peso del hígado y volumen del

corazón. Suponga que que se tiene un hígado de 280 gramos cuyo volumen cardíaco es de

850 ml, y que para un hıgado de 350 gramos el volumen cardíaco es de 990 ml. Suponiendo

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que existe una relación lineal entre la masa hepática y el volumen del corazón, determine la

función del volumen cardíaco en términos de la masa hepática

Función cuadrática

Definición: las funciones cuya fórmula es del tipo: y = un Nº + un Nº . x + un Nº . x 2,

simbólicamente: “y = a . x 2 + b . x + c”, con a, b, c números fijos para cada función, se llaman

funciones cuadráticas.

La grafica de esta función es una parábola de segundo grado.

Ejemplo1

Animales extraños en una isla: cuando en una isla se introducen animales no autóctonos, si

encuentran condiciones favorables su número aumenta rápidamente. Después de un tiempo

puede suceder que la escasez de alimentos, o la caza, empiecen a disminuir nuevamente el

número de animales. Lo primero sucedió con la introducción de castores en Tierra del Fuego.

Lo primero y lo segundo, con la introducción de ciervos en la Isla Victoria, en Bariloche.

En una isla se introdujeron ciervos. Con recuentos durante varios años se estableció

que el número de animales en función del tiempo transcurrido desde su introducción está dado

por la fórmula: n = - t2 + 21 t + 100

a : Indique de qué tipo de función se trata. Luego tabule algunos valores de la función, y

descríbala guiándose por la tabla.

b : Calcule cuántos ciervos se introdujeron, y cuántos hubo a los 5 años.

c : Determine a partir de qué momento la cantidad de animales comenzó a disminuir, y cuál

fue la máxima cantidad de ciervos que llegó a haber en la isla.

d : Señale el dominio de la función.

Ejemplo 2

Un investigador en fisiología establece que la función r(s) = − s2 + 12 s – 20, es un

modelo matemático que describe el número de impulsos emitidos por una persona, después

que se ha estimulado un nervio. La variable s es el número de segundos transcurridos desde

que es estimulado el nervio. Graficar la función e interpretarla en el contexto del problema.

Ejercicios

Investigaciones cardiovasculares han mostrado que a un nivel de colesterol superior a

210, cada aumento del 1% por encima de este nivel aumenta el riesgo en un 2 %. Se encontró

FÍSICA MATEMÁTICA


que para un grupo de edad particular el riesgo coronario en un nivel de 210 de colesterol es

de 0,160 y a un nivel de 231 el riesgo es de 0,192.

a) Encuentre una ecuación lineal que exprese el riesgo R en términos del nivel de colesterol

C.

b) ¿Cuál es el riesgo para un nivel de colesterol de 260?

En un estudio de paciente VIH que se infectaron por el uso de drogas intravenosas, se

encontró que después de 4 años, 17% de los pacientes tenían SIDA y que después de 7 años

33% lo tenían.

a) Encuentre una función lineal que modele la relación entre el intervalo de tiempo y el

porcentaje de pacientes con SIDA.

b) Pronostique el número de años para que la mitad de esos pacientes tenga SIDA.

En los últimos años se ha detectado un incremento lineal en el porcentaje de la población

de alcohólicos en una ciudad. En 1990 el porcentaje era de 10% y en el año 2002 se elevó a

14%. Si p(t) es el porcentaje de alcohólicos en la población y t representa el tiempo en años

desde 1990, determine la expresión para la función p(t), considerando que t = 0 en 1990.

La evolución de tratamiento aplicado a cierto paciente que sufre alteraciones en la

regeneración de tejidos sigue un comportamiento lineal, cuya variable independiente

corresponde al número de días en que el organismo regenera en milímetros cuadrados sus

tejidos. Según antecedentes clínicos, al primer día no hay tejidos regenerados, sin embargo

al cabo de 10 días se comprueba que, hay 4,5 milímetros cuadrados de tejidos regenerados.

Determine (a) La función lineal que describe el problema. (b) La cantidad de tejido

regenerado, cuando han transcurrido 30 d´ıas. (c) El tiempo aproximado para obtener una

evolución en el tejido de 100 milímetros.

La concentración de cierto calmante suministrado mediante suero, varía en su

efectividad en el tiempo según C(t) = − t2 + 6 t , donde C es la concentración del calmante en

el suero medida en millıgramos por litro para que haga efecto durante t horas. ¿En qué

instante la concentración es de 8 millıgramos por litro? Grafique la función e interprete

resultados en el contexto del problema.

Los biólogos hallaron que la velocidad de la sangre en una arteria es una función de la

distancia de la sangre al eje central de la arteria. De acuerdo con la ley de Poiseuille, la

velocidad (en centımetros por segundos) de la sangre que está a r centımetros del eje central

de una arteria está dada por la función S(r) = C (R2 − r2), donde C es una constante y R el

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radio de la arteria. Suponga que para cierta arteria, C = 1,76 × 105 y R = 1,2 × 10−2 centımetros.

(a) Calcule la velocidad de la sangre en el eje central de esta arteria. (b) Calcule la velocidad

de la sangre equidistante de la pared arterial y el eje central.

Expresiones algebraicas enteras. Polinomios:

Se llama polinomio de grado n en la variable x sobre el conjunto de los números reales a toda

expresión de la forma:

P (x) = a0 x0 + a1 x1 + a2 x2 +…+ an xn

con an ≠ 0 y n un entero no negativo

siendo a0, a1, a2,..., an , números reales llamados coeficientes.

Notación:

*A los polinomios en la variable x se los simboliza con letras mayúsculas indicando la

indeterminada entre paréntesis: P (x); Q (x); T (x)

*A los polinomios que tienen un solo término se los llama monomios, a los que tienen

sólo dos, binomios y a los de tres, trinomios.

*A a0 se lo llama término independiente y a an se lo llama coeficiente principal.

Razones trigonométricas

Se llaman “razones trigonométricas” a aquellas que relacionan las longitudes de los lados de

un triángulo rectángulo con los ángulos agudos de este.

Aplicación de las funciones trigonométricas en la resolución de triángulos rectángulos.

Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados

del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.

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1. Se conocen la hipotenusa y un cateto

𝑠𝑒𝑛𝛽 =𝑏

𝑎 𝛾 = 90° − 𝛽

𝑐𝑜𝑠𝛽 =𝑐

𝑎 𝑐 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛽

𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2

1) Utilizando la calculadora científica, resuelva:

a) sen 45° =

b) cos 40° 32’ =

c) tg 120° 15’ 32” =

2) Utilizando la calculadora científica, encuentre el ángulo sabiendo:

a) tg θ = 1,22

b) cos θ = 0,86

c) sen θ = 0,53

Las funciones logarítmicas son funciones del tipo: f (x) = loga x siendo a > 0 y a ≠ 1 Es la inversa de la función exponencial f(x) = ax

𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 = 𝒃 ⇔ 𝒂𝒃 = 𝒙

Las características generales de las funciones logarítmicas son:

1) El dominio de una función logarítmica son los números reales positivos: Dom(f) = (0 , + ∞) .

2) Su recorrido es R: Im(f) = R.

3) Son funciones continuas.

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4) Como loga1 = 0 , la función siempre pasa por el punto (1 , 0) .

La función corta el eje x en el punto (1 , 0) y no corta el eje y.

5) Como loga a = 1, la función siempre pasa por el punto (a , 1).

6) Si a > 1 la función es creciente.

Si 0 < a < 1 la función es decreciente.

7) Son convexas si a > 1.

Son cóncavas si 0 < a < 1.

8) El eje y es una asíntota vertical.

Ejemplo de funciones logarítmicas: f(x) = log2 x

g(x) = log1/2 x

Puntos de corte: f(1) = log2 1 = 0, el punto de corte con el eje x es (1 , 0). g(1) = log1/2 1 = 0, el punto de corte con el eje x es (1 , 0).

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Tablas de valores:

Gráficas

Ejercicios

El yodo radioactivo tiene un periodo radioactivo de 20,9 horas. Si se inyecta en el torrente

sanguíneo, el yodo se acumula en la glándula tiroides. (a) Después de 24 horas un médico

examina la glándula tiroides de un paciente para determinar si su funcionamiento es normal.

Si la glándula tiroides ha absorbido todo el yodo, ¿qué porcentaje de la cantidad original

debería detectarse? (b) Un paciente regresa a la clıínica 25 horas después de haber recibido

una inyección de yodo radiactivo. El médico examina la glándula tiroides del paciente y detecta

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la presencia de 41,3 % del yodo original. ¿Cuánto yodo radiactivo permanece en el resto del

cuerpo?

Ahora si vamos a la Física…

MECÁNICA

La Mecánica, la más antigua de las ciencias físicas, es el estudio del movimiento de los

cuerpos.

Cuando describimos el movimiento nos ocupamos de la parte de la mecánica que se

llama Cinemática. Cuando relacionamos el movimiento con las fuerzas que intervienen en él

y con las propiedades de los cuerpos en movimiento, nos ocupamos de la Dinámica.

En general, el movimiento de un cuerpo real es complejo, sin embargo siempre es

posible, descomponer un movimiento complejo en otros más simples y por lo tanto más fáciles

de analizar.

Así, para simplificar nuestro estudio definiremos un nuevo concepto: el de punto material

o partícula. Diremos que un cuerpo podrá considerarse como una partícula cuando se

consideran sus movimientos de traslación y no los de rotación. En el caso que se consideren

las rotaciones se considera la mecánica de los cuerpos.

La Cinemática nos enseña a medir el movimiento, para ello se definen las magnitudes

o variables cinemáticas con las cuales se medirá el movimiento. Las magnitudes cinemáticas

son:

- Posición

- Desplazamiento

- Velocidad

- Aceleración

Todas estas magnitudes físicas son magnitudes vectoriales.

CINEMÁTICA

Se dice que un cuerpo está en movimiento cuando su posición cambia a través del tiempo.

Este concepto, posición, tiene sentido únicamente cuando se utiliza asociado a un sistema de

referencia. En este curso, estudiaremos el movimiento de cuerpos respecto a un sistema de

referencia que se encuentran en reposo o moviéndose a velocidad constante.

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La elección del sistema de referencia dependerá del tipo de movimiento que realice la

partícula, es decir si puede ser necesario utilizar sistemas con una, dos o tres coordenadas

para evaluar las sucesivas posiciones que ocupe conforme pasa el tiempo.

La posición es un vector que se mide siempre es asociado a un sistema de referencia,

donde se establece cual es el cero de posición.

Trayectoria: Es el dibujo que surge de las posiciones ocupadas por un cuerpo mientras

se mueve, es decir, la trayectoria es la huella dejada o el camino verdadero del movimiento

de cuerpo. La posición no es la trayectoria, la posición es una medida vectorial, la trayectoria

no es una medida, es un dibujo.

Si una partícula está en movimiento se puede determinar fácilmente el cambio en su

posición. El desplazamiento de una partícula se define como el cambio en su posición.

Conforme se mueve desde una posición inicial xi a una posición final xf, su desplazamiento

está dado por xf - xi. Se usa la letra griega delta (Δ) para significa el cambio o diferencia en una

cantidad, en éste caso es de la posición. Por lo tanto, el desplazamiento, o cambio en la

posición de la partícula, se escribe como:

∆x = xf - xi Donde, ∆x: desplazamiento; xf: posición final; xi: posición inicial

La velocidad media es un vector, cuya magnitud se define como:

𝑣(𝑡1;𝑡2) =𝛥𝑥(𝑡1, 𝑡2)

𝛥𝑡=

(𝑥2 − 𝑥1)

(𝑡2 − 𝑡1)

La velocidad tiene como unidades (𝑚

𝑠), esto es, dimensiones de longitud sobre tiempo

Es la velocidad que tiene una partícula en un instante específico, es la velocidad

instantánea

Para medirla se necesita registrar la variación de posición en una fracción pequeñísima

de tiempo. Sin embargo, se puede hallar por medio de su grafica Posición Vs Tiempo,

aplicando la recta tangente a un punto cualquiera de su trazo, es decir, empleando el principio

de las derivadas del cálculo diferencial.

vx = lim∆t→0

∆x

∆t

En la notación del cálculo este límite se conoce como la derivada de x respecto t, y se

describe dx / dt:

vx = lim∆t→0

∆x

∆t=

dx

dt

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La magnitud de la aceleración media se define como:

𝑎(𝑡1;𝑡2) =𝛥𝑣(𝑡1, 𝑡2)

𝛥𝑡=

(𝑣2 − 𝑣1)

(𝑡2 − 𝑡1)

por lo cual las unidades de aceleración son (𝑚

𝑠2), dimensiones de longitud sobre tiempo

al cuadrado.

La aceleración instantánea se define para un instante de tiempo y no para un intervalo

de tiempo, su magnitud es:

a = lim∆t→0

∆v

∆t=

dv

dt

Una vez definidas las variables cinemáticas, se pueden clasificar los movimientos en una

dimensión en:

Movimiento rectilíneo uniforme

Movimiento rectilíneo uniformemente variado

(no son las únicas clases que existen)

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)

Gráficas del Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU):

Posición vs tiempo, velocidad vs tiempo y aceleración vs tiempo.

Las características del movimiento son:

* La trayectoria es recta o rectilínea

* La posición varía en función del tiempo como función lineal:

x(t) = x0 + v t

* Por lo que la velocidad en función del tiempo es constante (positiva o negativa)

* La aceleración en función del tiempo es cero

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MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)

Las características del movimiento son:

* La trayectoria es recta o rectilínea

* La posición varía en función del tiempo como una función cuadrática:

x(t) = x0 + v0 t + 𝟏

𝟐 a t2

* Por lo que la velocidad en función del tiempo es una función lineal:

v (t) = v0 + a t

* Se puede obtener una tercera ecuación, combinando las anteriores:

vf2 = v0

2 + 2 a x

La aceleración en función del tiempo es una constante (positiva o negativa)

Las graficas características podrían ser las siguientes: posición en función del tiempo

una parábola con concavidad hacia arriba, que significa que la aceleración es constante y

positiva

La velocidad es una función lineal con pendiente positiva, por lo que la aceleración es

constante y positiva

Movimiento en el Plano – Movimiento circular

También tiene interés especial el caso del movimiento circular, cuya variable natural es el

ángulo.

v

t

a

t

x

t

FÍSICA MATEMÁTICA


Se define la velocidad angular y la aceleración angular como la variación instantánea del

ángulo y de la velocidad angular, respectivamente

ω =dφ

dt , α =

dω

dt

Existe una relación simple entre la velocidad lineal v y la angular , dada por la relación:

v = r

siendo r el radio de giro, ya que la distancia lineal s viene dada por s = r .

Procediendo de modo análogo al del movimiento lineal uniforme (MRU) y al movimiento

lineal uniformemente variado (MRUV), se obtiene para el movimiento circular uniforme (MCU)

(t) = 0 + t y para el movimiento circular uniformemente variado (MCUV):

(t) = 0 + 0 t + 1

2 t2

(t) = 0 + t

f2 = 0

2 + 2

DINÁMICA

La dinámica es la parte de la Mecánica que estudia las relaciones entre las causas que

originan los movimientos y las propiedades de los movimientos originados. Las Leyes de

Newton constituyen los tres principios básicos que explican el movimiento de los cuerpos,

según la mecánica clásica.

Fueron formuladas por primera vez por Newton en 1687, aunque la primera de ellas

ya fue enunciada por Galileo. Tal y como las vamos a ver aquí sólo son válidas para un

Sistema de Referencia Inercial.

Las fuerzas son magnitudes vectoriales, por lo que es importante definir modulo,

dirección y sentido, y se relaciona con las magnitudes cinemáticas, de la siguiente manera,

según la Segunda Ley de Newton:

�⃗⃗⃗� = 𝒎 . �⃗⃗⃗�

Las fuerzas externas aplicadas a una determinada masa le producen una aceleración

a, lo que significa que las fuerzas, provocan la aceleración y son directamente

proporcionales.

Una forma útil de analizar las fuerzas actuantes en una determinada partícula es

realizar el diagrama de cuerpo libre o de cuerpo aislado (se adoptan ejes cartesianos donde

FÍSICA MATEMÁTICA


se ubican solo vectores fuerzas), se debe entender que ningún cuerpo o partícula se realiza

fuerza a sí misma, por lo que otros cuerpos ejercen su influencia en ella, o sea que la

sumatoria de fuerzas, son de fuerzas externas

Del análisis dimensional resulta que la fuerza se mide, en el Sistema Internacional, en

unidades de (𝐤𝐠.𝐦

𝐬𝟐 ), que se denomina Newton (N), es decir que sus dimensiones son [𝑴𝑳

𝑻𝟐 ].

Tipos de fuerza - Fuerzas de contacto

Las fuerzas que son interacciones entre cuerpos, pueden ser de contacto o a distancia.

Entre las fuerzas de contacto se pueden mencionar: la Normal, la fuerza de roce, la

tensión, etc.

Entre las fuerzas a distancia se puede mencionar: la fuerza gravitatoria con que la

Tierra atrae a los cuerpos: el Peso, la Fuerza eléctrica, etc.

Fuerza normal (N). Se presenta siempre que un cuerpo se encuentra apoyado en una

superficie. Esta fuerza es perpendicular a la superficie de apoyo.

El Peso (P o W), provoca en los cuerpos una aceleración g, sobre una masa m

P = mg o W = mg, donde, al nivel del mar, g = 9,8m/s2, y se denomina aceleración de

la gravedad; g varía con el lugar.

Ejemplo:

Fuerza de tensión (FT).se presenta al aplicarle una fuerza al extremo de una cuerda o

cable. Esta tensión se transmite por toda la longitud del mismo.

Ejemplos:

P P

FÍSICA MATEMÁTICA


Fuerza de fricción (Fr): se presenta por el contacto de dos superficies que se deslizan

entre si y siempre se opone al movimiento de estas. La fricción se debe a la resistencia que

las superficies tienen por sus asperezas, y se expresa por la fórmula:

Fr = µ.N Fr : fuerza de fricción µ: coeficiente de fricción estático. N: fuerza normal.

La fricción es una fuerza con sentido contrario al movimiento de los cuerpos, y depende

de la fuerza que se ejerce perpendicularmente entre las superficies.

El coeficiente de fricción µ (Mu minúscula) se obtiene experimentalmente, no depende

del área de la superficie de contacto y es característico del tipo de supercicie. Su valor

esta entre 0 y 1 (normalmente).

Cuando µ tiende hacerse muy pequeño (cero) la fricción disminuye mucho, aunque

NUNCA puede desaparecer, ya que siempre está presente en las superficies. Sin

embargo para cálculos ideales, se puede considerar que es libre de fricción, cuando esta

es insignificante.

Algunos materiales son tan ásperos, que sus coeficientes µ pueden valer por encima de

1, aunque no son frecuentes.

Fuerza elástica (FE): se presenta en los muelles, resortes o aquellos cuerpos que

tienen la capacidad de deformarse ante la presencia de una fuerza externa y posteriormente

FÍSICA MATEMÁTICA


recuperar su forma inicial. La Fuerza Elástica es una FUERZA RECUPERADORA que

permite devolverle la forma original a un resorte cuando este se ha estirado. El valor de ésta

fuerza se halla por el enunciado de la:

Ley de Hooke: la fuerza recuperadora en un resorte es directamente proporcional al

estiramiento del mismo y siempre apunta en sentido contrario a la fuerza que los estira. Su

fórmula es

Fe = - k.x Fe = fuerza elástica. x = elongación. K = constante de elasticidad.

La constante de elasticidad es característica de cada resorte y depende del material del cual

está hecho. El signo (-) de la formula indica que la fuerza recuperadora apunta en sentido

contrario a la fuerza deformadora. La fuerza recuperadora es una manifestación de la

Energía Potencial Elástica de los resortes.

Fuerzas de campo

Las fuerzas de campo son cuatro: gravitacional, electromagnética, nuclear fuerte y nuclear

débil. Están son las fuerzas fundamentales de la naturaleza, presentes en absolutamente

TODA la materia del universo. Las dos primeras fuerzas (gravitacional y electromagnética)

son de un alcance INFINITO, es decir, su campo de acción cubre todo el cosmos. En cambio,

las dos últimas (nuclear fuerte y débil) son mucho más intensas que las otras, aunque son

de un campo de acción limitado al interior del átomo, exclusivamente.

Fuerza gravitacional: Ley de la gravitacional universal: dos cuerpos materiales

cualesquiera, se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas

e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Esta fuerza de

atracción se llama fuerza gravitacional, y se obtiene por la expresión.

F = G m1 . m2

d2

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F: fuerza gravitacional. G: constante de gravitacional. m1 y m2: masas de los cuerpos d: distancia entre los cuerpos G = 6,67 x 10-11 N.m 2 / kg2

Peso: El peso de un cuerpo es la fuerza de atracción que la tierra ejerce sobre el mismo y

está dirigido siempre al centro de la tierra, o sea, es perpendicular a una superficie horizontal.

W = m.g W: peso m: masa g: aceleración de la gravedad

Nota: la masa y el peso son conceptos que se confunden frecuentemente. Sin embargo se

diferencian en que: la masa de un cuerpo es la cantidad de materia que posee un cuerpo y es

una magnitud escalar; en cambio, el peso de los cuerpos es una fuerza y depende de la

aceleración de la gravedad del sitio donde se encuentra el mismo.

Ejemplo: en la luna, la aceleración de la gravedad es un 1/6 de la de la tierra, por lo que

su peso es seis veces menor. De igual modo, si se estuviera en un planeta con mayor

aceleración de la gravedad, el peso en su superficie seria mayor.

Ejemplo: Si un hombre pesa 900 N sobre la tierra, ¿Cuánto pesa en Júpiter, donde la

aceleración debida a la gravedad es de 25,9 m/s2?

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Solución:

Primero se calcula la masa del hombre en la tierra, esto es:

w = m . gt

m = w / gt = 900 N / 10 m/s2 = 90 kg

Como la masa es la misma, se tiene que el peso del hombre en Júpiter es:

w = m . gj = (90 kg) (25,9 m/s2) = 2,331 kg

w = 2,331 kg

Se observa que el peso en Júpiter es mayor que en la tierra, esto se debe a que la

gravedad de Júpiter es mayor a la gravedad de la tierra.

La Primera y la Segunda Ley de Newton te darán la justificación.

PRIMERA LEY DE NEWTON

Todo cuerpo que no está sometido a ninguna interacción (cuerpo libre

o aislado) permanece en reposo o se traslada con velocidad constante.

Esta ley es conocida como la ley de inercia y explica que para modificar el estado de

movimiento de un cuerpo es necesario actuar sobre él. Definimos una nueva magnitud

vectorial llamada momento lineal (o cantidad de movimiento) p de una partícula:

𝑝 = 𝑚 �⃗� Momento lineal (kg m / s)

Entonces la primera ley es equivalente a decir que un cuerpo libre se mueve con p

constante.

Consideremos el caso de dos partículas que, debido a su interacción mutua, describen

un movimiento en el que sus velocidades respectivas varían:

Dos partículas que interaccionan entre sí no se mueven con velocidad constante

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Como el conjunto de las dos partículas está aislado, su momento lineal total se

conserva:

𝑚1 �⃗�1 + 𝑚2 �⃗�2 = 𝑚1 �⃗�1′

+ 𝑚2 �⃗�2′

Esta expresión se conoce como principio de conservación del momento lineal y se puede

hacer extensivo a un conjunto de N partículas. Operando en la ecuación anterior obtenemos

que:

− ∆𝑝1 = ∆�⃗�2 Esto significa que, como el momento lineal del conjunto de las dos partículas se

conserva, pero el de cada una de ellas por separado no permanece constante, lo que aumenta

el momento lineal de una de ellas ha de ser igual a lo que disminuye el momento lineal de la

otra. El ejemplo típico que demuestra este hecho es el retroceso que experimenta un arma al

ser disparada.

Estamos ya en disposición de enunciar la segunda ley de Newton

SEGUNDA LEY DE NEWTON

Se define fuerza F que actúa sobre un cuerpo como la variación

instantánea de su momento lineal respecto del tiempo.

Expresado matemáticamente:

�⃗� =𝑑𝑝

𝑑𝑡

Una fuerza representa entonces una interacción. Cuando una partícula no está sometida

a ninguna fuerza, se mueve con momento lineal constante (Primera Ley).

Sustituyendo la definición de momento lineal y suponiendo que la masa de la partícula

es constante, se llega a otra expresión para la Segunda Ley:

�⃗� =𝑑

𝑑𝑡(𝑚�⃗�) = 𝑚

𝑑�⃗�

𝑑𝑡= 𝑚�⃗�

�⃗�𝑁𝑒𝑡𝑎 = 𝛴�⃗� = 𝑚�⃗�

Ó sus ecuaciones escalares equivalentes:

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𝛴𝐹𝑥 = 𝑚 𝑎𝑥

𝛴𝐹𝑦 = 𝑚 𝑎𝑦

𝛴𝐹𝑧 = 𝑚 𝑎𝑧

Comentaremos algunos aspectos interesantes de esta ecuación:

La aceleración que adquiere un cuerpo es proporcional a la fuerza aplicada, y la constante

de proporcionalidad es la masa del cuerpo.

Si actúan varias fuerzas, esta ecuación se refiere a la fuerza resultante, suma vectorial de

todas ellas.

Esta es una ecuación vectorial, luego se debe cumplir componente a componente.

En ocasiones será útil recordar el concepto de componentes intrínsecas: si la trayectoria

no es rectilínea es porque hay una aceleración normal, luego habrá una también una fuerza

normal; si el módulo de la velocidad varía, es porque hay una aceleración tangencial, luego

habrá una fuerza tangencial.

La fuerza y la aceleración son vectores paralelos, pero esto no significa que el vector

velocidad sea paralelo a la fuerza. Es decir, la trayectoria no tiene por qué ser tangente a

la fuerza aplicada.

Esta ecuación debe cumplirse para todos los cuerpos. Cuando analicemos un problema

con varios cuerpos, deberemos entonces tener en cuenta las fuerzas que actúan sobre

cada uno de ellos y aplicar la ecuación por separado.

TERCERA LEY DE NEWTON

Volvamos a la ecuación que relaciona las variaciones del momento lineal de dos partículas

que interaccionan entre sí. Si dividimos por el intervalo tiempo transcurrido y tomamos el límite

cuando Δt tiende a cero:

− ∆𝑝1

∆𝑡=

∆𝑝2

∆𝑡 → −

𝑑𝑝1

𝑑𝑡=

𝑑𝑝2

𝑑𝑡

Atendiendo a la definición de fuerza vista en la segunda ley:

− �⃗�12 = �⃗�21

Enunciamos ya la tercera ley:

Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, este último ejerce sobre el primero

una fuerza igual en módulo y de sentido contrario a la primera.

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Esta ley es conocida como la Ley de Acción y Reacción. Un error muy común es cancelar las fuerzas que constituyen un par acción-reacción al

estudiar un cuerpo, pero hay que tener en cuenta que dichas fuerzas se ejercen sobre cuerpos

distintos, luego sólo se cancelarán entre sí cuando consideremos el sistema formado por los

dos cuerpos en su conjunto.

Otro factor a tener en cuenta es que las fuerzas que constituyen un par acción-reacción

siempre responden al mismo tipo de interacción.

Resumimos las leyes de Newton en este cuadro:

LEYES DE NEWTON

Primera ley (partícula libre) �⃗� = 𝑐𝑡𝑡𝑒

Segunda ley 𝛴�⃗� = 𝑚�⃗� ; �⃗� =𝑑�⃗�

𝑑𝑡

Tercera ley �⃗�12 = − �⃗�21

Ejercicios

Para resolver problemas de fuerzas es muy importante seguir un orden, que podemos resumir

en los siguientes pasos:

1. Hacer un diagrama por separado de los distintos cuerpos que intervienen en el problema

y dibujar las fuerzas que actúan sobre cada uno de ellos.

2. Expresar la ley de Newton en forma vectorial para cada cuerpo.

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3. Elegir un sistema de ejes cartesianos para cada cuerpo. Si es posible, conviene hacer

coincidir uno de ellos con la dirección del vector aceleración y tomar como positivo el

sentido de dicho vector.

4. Proyectar las fuerzas según los ejes elegidos.

5. Aplicar la segunda ley de Newton para cada cuerpo en cada eje, teniendo en cuenta el

criterio de signos. Si hemos seguido la recomendación del paso 3, las fuerzas que vayan

en el sentido de la aceleración serán positivas y las opuestas negativas.

6. Resolver el sistema de ecuaciones.

7. Comprobar que el resultado tiene sentido: órdenes de magnitud, signos de las magnitudes,

etc.

Para simplificar cálculos, en todos los problemas se tomará g = 10 m/s2

Ejercicio 1.- Se tiene una masa puntual m = 4 kg en un plano inclinado un ángulo α = 30o.

Entre la masa y el plano existe rozamiento de coeficientes estático µs = 0,3 y dinámico µd =

0,12.

a. Razonar si la masa desliza por el plano. En caso afirmativo, calcular la aceleración con la

que baja.

Se aplica ahora una fuerza F perpendicular al plano. Figura (b)

b. Calcular el módulo de F para que la masa baje con velocidad constante.

Momentum de una fuerza o Torque

Efecto de torque (0): es el efecto de giro de un objeto alrededor de su eje de rotación, debido

a la acción de la fuerza externa. La intensidad del efecto de torque depende de la fuerza

aplicada al objeto y de la distancia que separa dicho punto a su origen de rotación, llamado

brazo de palanca. Ver figuras.

FÍSICA MATEMÁTICA


Su fórmula es:

0 = F d

0 = torque F = fuerza aplicada d = brazo de palanca

El eje de rotación de un objeto es el punto en el cual todo el resto del mismo gira

uniformemente en torno a él.

La fuerza aplicada debe ser perpendicular al brazo de palanca para originar el efecto de

torque. Si no es así, se toma la componente de la fuerza que si es perpendicular:

0 = F d = F (sen θ) d

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El signo (+ ó -) del efecto de torque se determina arbitrariamente así:

Si el cuerpo gira en el mismo sentido de las manecillas del reloj (sentido horario), su signo

es negativo.

Si el cuerpo gira en el sentido contrario de las manecillas del reloj (sentido antihorario), su

signo es positivo.

El efecto torque es de especial importancia en las palancas, balanza y tornos.

Teorema de Varignon: cuando en un cuerpo actúan varias fuerzas, el torque resultante es la

suma de las torques de cada una de las fuerzas.

Unidades de Torque.

S.I: Como el torque es el producto de una fuerza por una distancia su unidad de medida

será: = F . d = 1 Newton. 1metro = N.m

C.G.S: El torque estera dado por: = F . d = 1 Dina. 1 centímetro = dyn.cm

Observación. El efecto torque tiene una sola dimensionalidad equivalente a la

del trabajo [ML2T-2].

EL CUERPO RÍGIDO

Un sólido rígido es un sistema de partículas en el cual las distancias relativas entre ellas

permanecen constantes. Cuando las distancias entre las partículas que constituyen un sólido

varían, dicho sólido se denomina deformable. En lo que sigue nos ocuparemos únicamente

del estudio del movimiento de un sólido rígido.

En general, el movimiento de un sólido rígido puede ser muy complejo; sin embargo, se

puede definir el centro de masas, que es el lugar en donde están aplicadas las fuerzas

exteriores, conociendo la posición de ese centro de masa se podrá saber sobre el movimiento

del cuerpo, esto es su velocidad y aceleración:

�⃗�𝐶𝑀 =1

𝑚 𝛴�⃗�𝑒𝑥𝑡 =

1

𝑚 𝛴 (𝑚𝑖 �⃗�)

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑚 = 𝛴 𝑚𝑖

Es decir, el centro de masas del sólido se mueve como un punto de masa igual a la

masa total del sistema.

Utilizando la segunda ley de Newton aplicada a un sistema de partículas podemos

describir el movimiento de traslación del centro de masas de un sólido rígido.

Sin embargo, durante el movimiento de traslación de su centro de masas, el sólido

describe una serie de giros. La segunda ley de Newton es válida para describir movimientos

FÍSICA MATEMÁTICA


de traslación, por lo que debemos encontrar otra ecuación que nos permita analizar la parte

rotacional del movimiento.

Es conveniente definir lo que se llama Inercia Rotacional o momento de inercia de un

cuerpo sólido.

El producto m r2 se denomina momento de inercia (I) de la partícula respecto al punto O y es

la magnitud “equivalente” en dinámica de rotación, a la masa en dinámica de traslación. Para

un conjunto de N partículas, el momento de inercia se escribe como

𝐼 = ∑ 𝑚𝑖 𝑟𝑖2

𝑁

𝑖=1

En general el momento de inercia depende únicamente de la geometría del sistema y

del eje de giro que se considere.

En la siguiente tabla se presentan algunos valores del momento de inercia para algunos

cuerpos de geometría sencilla.

Con lo cual, se puede escribir en forma análoga a la traslación, la Segunda Ley de

Newton para la rotación, de la siguiente manera:

τ⃗⃗ = I . α⃗⃗⃗

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En donde �⃗� es la aceleración angular del cuerpo.

EQUILIBRIO ESTÁTICO

Un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando su aceleración es nula. Un cuerpo es libre si está en equilibrio y no se encuentra sometido a fuerza resultante.

Para que un cuerpo este en equilibrio es necesario que la resultante de todas las fuerzas

que actúan sobre él sea nula, es decir, que la suma de todos los tipos de fuerza neta (fuerzas

de aplicación y de torque) sea cero.

La sumatoria de las fuerzas ∑F que actúan sobre un cuerpo debe ser igual a cero:

𝛴�⃗� = 0

Las ecuaciones en dos dimensiones para el equilibrio traslacional son, ∑F = 0, esto

es ∑Fx = 0 componente de F en x, y ∑Fy = 0 componente de F en y.

Equilibrio traslacional:

𝛴𝐹𝑥 = 0𝛴𝐹𝑦 = 0

Ecuación de equilibrio rotacional: la sumatoria de torques ∑0 debe ser igual acero.

Equilibrio rotacional:

𝛴0 = 0

Para que un cuerpo esté en equilibrio estático deben cumplirse simultáneamente dos

condiciones:

Que el sólido no se traslade: la aceleración de su centro de masas debe ser cero.

Que el sólido no rote: la aceleración angular del sólido debe ser también nula.

Estas dos condiciones se imponen respectivamente a la ecuación del movimiento de

traslación del centro de masas (segunda ley de Newton) y a la ecuación de la rotación:

No hay traslación 𝛴�⃗�𝑒𝑥𝑡 = 0

No hay rotación 𝛴⃗⃗𝑒𝑥𝑡 = 0

La segunda condición se cumple con independencia del origen que se elija para calcular los

momentos de las fuerzas externas. Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se calculan

las fuerzas que actúan sobre el sistema en equilibrio.

FÍSICA MATEMÁTICA


Estas condiciones son muy útiles para el estudio de las configuraciones estáticas,

frecuentes en biomecánica. En particular, la segunda es la forma general de la ley de la

palanca. Veamos ahora unas aplicaciones de estas condiciones a varios ejemplos.

Ejemplo

.- Un listón homogéneo de longitud L = 2 m y masa m = 1 kg está clavado en la pared

por su punto medio (O), de forma que puede girar libremente en torno a ese punto. Sobre él

se aplican las fuerzas F1 = F2 = 4 N y F3 = 6 N, según la figura.

Dato: ICM = (1/12) m L2

a. Determinar el valor de d para que el listón esté en equilibrio estático, así como el valor de

la normal en el punto O.

b. Si se duplica el módulo de F3 y d = 0,75 m, determinar la aceleración angular α del listón

en función del ángulo θ que barre, suponiendo que las fuerzas son siempre verticales.

Ejemplo 1:

La tensión máxima de la fibra lisa de los músculos aductores de los moluscos bivalvos es de

80 N / cm2, ver figura. Supongamos que la distancia de inserción de los músculos hasta la

articulación de las valvas es de 0,5 cm y que la longitud de las valvas es de 5 cm. ¿Qué fuerza

tendremos que hacer para abrir un molusco si el músculo correspondiente es un cilindro de 2

mm de radio?

Si la tensión máxima de los músculos aductores es de 80 N / cm2 y el músculo es un

cilindro de 2 mm de radio, la fuerza máxima que pueden realizar estos músculos es:

𝐹𝑚𝑎𝑥 = 80𝑁

𝑐𝑚2 𝜋 (0,2 𝑐𝑚)2 = 10,05 𝑁

FÍSICA MATEMÁTICA


Esta fuerza realizará un momento máximo.

Por tanto, para abrir un molusco tal como el descrito en este ejercicio, habrá que ejercer

un momento:

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝐹𝑚𝑎𝑥 𝑑 = 10,05 𝑁 0,5 𝑐𝑚 = 5,03 𝑁𝑐𝑚

Como al abrir el molusco aplicamos una fuerza en los extremos de las valvas que están

a 5 cm de la articulación, si ejercemos una fuerza Fa, el momento de ésta es (Fa . da) y ha de

ser igual a 5,03 N cm. Por tanto,

𝐹𝑎 =𝜏𝑚𝑎𝑥

𝑑𝑎=

5,03 𝑐𝑚

5 𝑐𝑚= 1,01 𝑁

Ejemplo 2:

El músculo deltoides sube el brazo hasta una posición horizontal, ver figura.

El músculo está fijado a 15 cm de la articulación y forma un ángulo de 18° con el húmero.

Suponiendo que el peso del brazo es de 40 N y que se puede aplicar todo él en el centro de

masas, situado a 35 cm de la articulación, calcular: la fuerza R que hace la articulación, el

ángulo que dicha fuerza forma con el húmero cuando el brazo está horizontal y la tensión T

que realiza el músculo.

TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA - DEFINICIONES

El trabajo de una fuerza constante que mueve un cuerpo en la dirección de la misma, es el

producto entre el modulo de la fuerza por el desplazamiento.

Por ejemplo, la estudiante al levantar la arena verticalmente debe vencer una

resistencia, el peso P de la arena, a lo largo de un camino: la altura d a la que se levanta el

depósito de arena. El trabajo W realizado por el peso es el producto de la fuerza P por el

desplazamiento d.

La unidad de trabajo en el Sistema Internacional es el Joule: [𝑱] equivale a Newton por

metro.

FÍSICA MATEMÁTICA


En un caso general el trabajo de una fuerza constante vendrá dado por la expresión:

W = F x cos

Siendo el ángulo entre la fuerza F y el desplazamiento x.

Potencia: se denomina potencia al cociente entre el trabajo efectuado y el tiempo

empleado para realizarlo, si el trabajo se realiza a un ritmo uniforme.

𝑃 =𝑊

∆𝑡

Por lo que sus unidades son unidades de trabajo sobre unidades de tiempo, el Watt (W).

En otras palabras, la potencia es el ritmo al que el trabajo se realiza.

Energía mecánica: se define como energía a aquella capacidad que posee un cuerpo

(una masa) para realizar trabajo. Esta capacidad (la energía) puede estar dada por la posición

de un cuerpo o por la velocidad del mismo; es por esto que podemos distinguir dos tipos de

energía, energía potencial y energía cinética, ambas energías tienen unidades de trabajo, el

Joule.

Se define la Energía cinética de un cuerpo de masa m y módulo de su velocidad v como:

𝐸𝑐 =1

2 𝑚 𝑣2

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA

La ecuación de conservación o balance de la energía mecánica es la base de la ley,

más general, de conservación de la energía. Esta última ley es de gran importancia conceptual

y práctica.

Se puede demostrar que el trabajo efectuado sobre un cuerpo entre dos posiciones 1 y

2 es igual al incremento de su energía cinética; es decir:

FÍSICA MATEMÁTICA


W12 = Ec = Ec2 – Ec1

Este resultado se conoce como teorema del trabajo y la energía, donde W12 es el trabajo de

todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo.

Cabe distinguir dos tipos de fuerzas: las conservativas y las no conservativas. La

diferencia entre ambas estriba en el hecho de que el trabajo realizado por las primeras entre

dos puntos cualesquiera 1 y 2 es independiente del camino seguido, mientras que para las

segundas depende del camino.

En el caso de fuerzas conservativas, es posible definir la energía potencial como:

W12 = - U = - (U2 – U1) = U1 – U2

es decir, la energía potencial en el punto 2 es igual a la de 1, menos el trabajo realizado

por la fuerza sobre el cuerpo para ir de uno a otro punto.

La Energía potencial gravitatoria (a baja altura): Si analizamos ahora, el sistema

constituido por la Tierra y un cuerpo determinado. Al subir un cuerpo de masa m, desde la

altura h1 a una altura h2, el trabajo efectuado por la fuerza de la gravedad (que es conservativa)

es

W12 = U1 – U2 = m g (h1 – h2)

por lo cual, se tiene:

Ug = m g h

Que se define como energía potencial gravitatoria

Mecánica de los fluidos

Dentro de este capítulo veremos algunos conceptos como

Hidrostática: estudio de los fluidos en equilibrio. Aquí veremos el principio de

Arquimides, Principio de Pascal y Teorema general de la hidrostática.

Hidrodinámica: estudio de los fluidos en movimiento. Donde se verá el Teorema de

Bernoulli y Fluidos reales.

FÍSICA MATEMÁTICA


HIDROSTÁTICA

Un fluido es tanto un líquido como un gas. Consideraremos fluidos ideales para la primera

parte, que se caracterizan por ser incompresibles, y no tener fuerzas internas de rozamiento,

en contraposición con los fluidos reales que son levemente compresibles y que poseen

fuerzas de rozamiento (debido a la viscosidad).

En los fenómenos relacionados con la vida, los fluidos con los que se trata son sobre

todo el agua, el aire y la sangre. Realmente estos fluidos no son los únicos que intervienen en

la vida, pero sus propiedades y su comportamiento describen prácticamente todos los

entornos y toda la fenomenología.

DENSIDAD DE LOS FLUIDOS

La densidad de una sustancia se define como el cociente de su masa entre el volumen que

ocupa. La unidad de medida en el S.I. de Unidades es kg/m3, también se utiliza la unidad

g/cm3.

𝜌 =𝑚

𝑉

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A continuación se presentan los valores de densidad de algunas sustancias:

PRESIÓN

El concepto de presión es muy útil, pero no debemos pensar que solo es limitado a los fluidos.

La presión es una magnitud escalar y es el modulo de la fuerza ejercida perpendicular

a una superficie dada.

Presión:

𝑝 =𝐹

𝐴

Se mide en unidades de fuerza por unidad de superficie, esto es, en el sistema

internacional N/m2, denominada Pascal. Frecuentemente se utiliza como unidad de medida la

presión atmosférica estándar o atmósfera, que vale 1,013 x 105 N/m2. Esta presión equivale

también a 760 mm de Hg o 760 torr, que es una unidad útil para medir diferencias de presión

en ciertos entornos, como se verá más adelante. La presión de un fluido en reposo se puede

evaluar a partir de relaciones mecánicas sencillas.

Por ejemplo, supongamos que queremos determinar la presión de un fluido en el fondo

de un lago de profundidad h en equilibrio hidrostático. Sea pa la presión ejercida por la

atmósfera en la superficie del lago. Sobre un elemento de fluido cualquiera actúan las fuerzas

ejercidas por el resto del fluido. Las fuerzas laterales han de anularse unas con otras, de otro

modo el elemento de fluido se movería. Por tanto, la única fuerza ejercida por el resto del

fluido, que es equilibrada por la fuerza del suelo, es el peso de la columna de fluido, más la

fuerza correspondiente a la presión atmosférica, que puede expresarse en términos de

presión, esta es otra forma de medir la presión en un punto en el seno de un fluido

p = pa + ρgh [1]

https://julianapinzon.files.wordpress.com/2013/06/tabladensidades.gif

FÍSICA MATEMÁTICA


Se puede observar la dependencia de la presión con h, o profundidad a la que se

encuentra el punto en cuestión.

El término ρgh se denomina presión manométrica, ya que corresponde a la presión

obtenida de la lectura de un manómetro, es decir, la diferencia entre la presión total y una

presión de referencia, que con frecuencia resulta ser la presión atmosférica. Según esta

relación, la presión del agua aumenta a medida que se baja hacia el fondo, y por la misma

razón, a medida que nos alejamos de la superficie de la Tierra la presión del aire disminuye.

Dado que la presión del aire es unas mil veces inferior a la del agua, el aumento de la

presión al descender un metro en agua es mil veces superior a la disminución de la presión

del aire al ascender un metro.

Una consecuencia inmediata de la ecuación [1] es el principio de Arquímedes.

En efecto, supongamos un objeto sumergido en un fluido tal como se ve en la Figura A.

Antes de introducir el objeto, el fluido está en equilibrio, por tanto el resto del fluido ejerce

una fuerza, sobre la porción de fluido que ocupa el espacio que ocupará el cuerpo, que iguala

el peso de la porción de fluido. Esta fuerza también actúa sobre el objeto sumergido, ejercida

por el fluido y se conoce como empuje. Así se enuncia, pues, el principio de Arquímedes: «El

empuje, es una fuerza que el fluido ejerce sobre un objeto sumergido en ese fluido y es igual

al peso del fluido desalojado».

El principio de Arquímedes constata que el empuje que actúa sobre un cuerpo

sumergido en el seno de un fluido es igual al peso del fluido desalojado.

Esto se expresa E = Peso fluido desalojado = m g (del fluido desalojado) = ρ(fl) g V(sumergido)

FÍSICA MATEMÁTICA


Donde ρ es la densidad del fluido, g la aceleración de la gravedad, y V es el volumen

del fluido desalojado por el cuerpo.

Quiere decir que de acuerdo con esta expresión matematica el empuje aumenta, si

aumenta la densidad del fluido y/o aumenta el volumen desplazado por el cuerpo al

sumergirse en el fluido. Este principio se aprovecha para hacer rehabilitación a personas

lisiadas, en agua salada puesto que la densidad es mayor, que en el agua dulce.

Según el análisis dinámico de la situación de un cuerpo que flota en equilibrio:

E = Pc [2]

Según Arquímedes, E = ρ(fl) g V(sumerg), como a su vez, el peso del cuerpo es Pc = ρc g

Vc (no confundir con peso de fluido desalojado), y si el V(sumerg) = % Vc por lo que reeplazando

la expresión queda así:

ρ(fl) g V(sumerg) = ρc g Vc ρ(fl) V(sumerg) = ρc Vc ρ(fl) (%) Vc = ρc Vc

(%) ρ(fl) = ρc

de esta expresión se ve que para que flote un cuerpo, hay una relación de densidades

entre la del fluido y la del cuerpo que se sumerge, no está bien decir que un cuerpo flota

porque el empuje es mayor que su peso, ya que se parte de la condición dinámica [2] de que

son iguales.

Empuje y peso aparente

Todos hemos experimentado la sensación de sentirnos más livianos cuando estamos

sumergidos en agua. Ello no se debe a una reducción de nuestro peso, sino a la presencia

del empuje.

Si haces el experimento que se ilustra en la figura B, podrás constatar que en apariencia

el peso de una piedra se reduce al sumergirla en agua. Por ejemplo, si al colgar la piedra del

dinamómetro este indica que el peso de la piedra es de 10 Newton (a) y al sumergirla en agua

(b) indica 8 Newton, ello se debe a que sobre la piedra, además de la fuerza de gravedad,

está actuando el empuje que ejerce el agua. El peso de la piedra es 10 Newton, su peso

aparente 8 Newton y el empuje 2 Newton.

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PRINCIPIO DE PASCAL Y SU APLICACIÓN: LA PRENSA HIDRÁULICA

El principio de Pascal expresa; que toda presión que se ejerce sobre un fluido encerrado en

un recipiente se transmite con la misma intensidad a todos los puntos del fluido y las paredes

que lo contienen.

En la figura se puede observar que los chorros son los mismos, por lo que se deduce

que se transmite la presión con la misma intensidad

La principal aplicación de este principio es la Prensa hidráulica, cuyo beneficio es que

aplicando pequeñas fuerzas se logra grandes fuerzas tan solo cambiando el área de

aplicación de las mismas.

Las presiones transmitidas por el seno del fluido son las mismas en los dos extremos

de las bocas de una manguera que tienen émbolos, como se muestra en la figura:

𝑝1 = 𝑝2 → 𝐹1

𝐴1=

𝐹2

𝐴2

para que se mantenga la igualdad, si se aumenta A2 , debe aumentar F2, por lo que:

𝐹2 =𝐴2

𝐴1 𝐹1

FÍSICA MATEMÁTICA


Ejercicios

1) Júpiter tiene un radio R = 7,14 x 104 km y la aceleración debida a la gravedad en su

superficie es gJ = 22,9 2 m/s2. Use estos datos para calcular la densidad promedio de

Júpiter.

2) ¿Cuál es la presión a 1 m y a 10 m de profundidad desde la superficie del mar? Suponga

que = 1,03 x 103 kg/m3, como densidad del agua de mar y que la presión atmosférica en

la superficie del mar es de 1,01 x 105 Pa. Suponga además que a este nivel de precisión

la densidad no varía con la profundidad.

3) Las dimensiones de una piscina rectangular son 25 m de largo, 12 m de ancho y 2 m de

profundidad. Encontrar: a) La presión manométrica en el fondo de la piscina. b) La fuerza

total en el fondo debida al agua que contiene. c) La presión absoluta en el fondo de la

piscina en condiciones atmosféricas normales, al nivel del mar.

4) Calcular el empuje que ejerce (a) el agua y (b) el alcohol sobre un cuerpo enteramente

sumergido en estos líquidos cuyo volumen es de 350 cm3. El peso específico del alcohol

es de 0,83 gf/cm3.

5) Un recipiente en U que contiene líquido (incompresible) está conectado al exterior

mediante dos pistones, uno pequeño de área A1 = 1 cm2, y uno grande de área A2 = 100

cm2. Ambos pistones se encuentran a la misma altura. Cuando se aplica una fuerza F =

100 N hacia abajo sobre el pistón pequeño. ¿Cuánta masa m puede levantar el pistón

grande?

HIDRODINAMICA

A continuación vamos a estudiar propiedades de fluidos en movimiento y propiedades de

movimiento de objetos en fluidos. Consideramos un fluido ideal. Este modelo permite

comprender una abundante fenomenología.

FÍSICA MATEMÁTICA


La ecuación de continuidad es el resultado de aplicar el principio de conservación de la

masa al flujo de un fluido. Supongamos un conducto por el cual circula un fluido de densidad

constante como el de la Figura.

Nuestro objetivo es evaluar el cambio en la velocidad del fluido al pasar del punto 1 al

punto 2. Sea A1 el área de la sección transversal del conducto en la zona 1 y A2 el área

correspondiente en la zona 2. (En el caso en que el conducto se divida en varias

ramificaciones, A2 es la suma de las áreas de las secciones transversales de cada una de las

ramificaciones.) La ecuación de continuidad surge de aplicar el principio de que la masa de

fluido que entra por 1 debe salir por 2.

En efecto, en el punto 1, la masa de fluido que pasa a través del área A1 durante un

tiempo infinitesimal dt es

dm = ρ A1 v1 dt

Si el fluido es incompresible, el fluido que pasa por el punto 2 en el mismo tiempo es el

mismo, es decir,

dm = ρ A2 v2 dt

La igualdad de ambas ecuaciones nos lleva a la ecuación de continuidad

A1 v1 = A2 v2 [3]

El producto A.v corresponde al caudal Q de fluido que circula por el tubo, el cual se

define como el volumen de fluido que atraviesa una determinada sección del tubo, por unidad

de tiempo.

Por tanto, la ecuación [3] equivale a la constancia del caudal. Si el área de salida es

mayor que el área de entrada, la velocidad de salida será inferior a la velocidad de entrada.

Si la velocidad del fluido no es la misma en todos los puntos de la sección transversal

del conducto, como se da en el flujo de un fluido viscoso, las velocidades v1 y v2 que aparecen

en [3] corresponderán a la velocidad media sobre la sección correspondiente.

Hay muchos casos de la vida cotidiana regidos por la ecuación de continuidad.

Por ejemplo, la ecuación de continuidad explica la forma del chorro de agua que sale

por un grifo. Al salir del grifo el agua forma una especie de columna que se hace cada vez

más estrecha. Esta forma característica se debe a que el agua se acelera debido a la acción

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de la gravedad. La continuidad implica, por tanto, que la sección se haga cada vez inferior.

Así, a medida que el agua está más alejada del grifo, la velocidad es mayor y la sección es

menor hasta llegar incluso a una situación en que la sección es tan pequeña que los efectos

de la tensión superficial y la fuerza de resistencia del aire rompen la columna para formar

gotas.

Ejemplo 1

Las esponjas de mar son animales que viven en el fondo del mar y cuya alimentación está

basada en la continua filtración de agua. En su superficie la esponja tiene aberturas de

distintos tamaños por donde circula el agua. El agua entra por las aberturas pequeñas y sale

por las grandes. El caudal del agua que fluye por la esponja es muy grande, ya que una

esponja es capaz de propulsar a través suyo un volumen de agua igual a su propio volumen

cada cinco segundos.

Durante mucho tiempo los zoólogos especialistas en estos animales se habían

preguntado cómo las esponjas impulsaban el agua por sus conductos internos. Se formulaban

distintas hipótesis: la existencia de unos músculos, el impulso mediante flagelos, etc. Para

esta última hipótesis existían serias dudas sobre la capacidad de los flagelos de impulsar el

agua. Si suponemos que los flagelos pueden impulsar el agua con una velocidad máxima de

50 μm/s y sabiendo que el agua sale a 20 cm/s por los conductos grandes de salida de 1 cm2

de área y que el área de los conductos de entrada es de unos 6000 cm2, probar si es plausible

la propulsión de agua mediante los flagelos.

El flujo del agua está gobernado por la ecuación de continuidad. Por consiguiente,

aplicamos la ecuación [3]:

v2 = A1 v1 / A1 = 20 cm/s . 1 cm2 / 6000 cm2 = 33,3 μm/s

con lo cual se muestra que es plausible suponer que el agua es impulsada por los

flagelos.

Aparte de este cálculo, parece probado que el mecanismo de impulsión del agua a

través de las esponjas es el de los flagelos. Sin embargo, en todos los animales no se ha

adoptado la misma solución por lo que hace referencia al transporte de fluidos. En los

animales superiores se utilizan grandes bombas, el corazón, mientras que los animales

pequeños utilizan para impulsar el agua en sus sistemas de filtración flagelos y cilios.

Ejemplo 2

Otro ejemplo de la utilización de la ecuación de continuidad pertenece al campo de la fisiología

vegetal y hace referencia a la conducción de la savia en los árboles. Teniendo en cuenta que

la acción capilar por sí sola no puede justificar el ascenso de la savia en los árboles. El

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mecanismo principal que propulsa la alimentación de los árboles es el esfuerzo de tracción o

presión negativa que se produce cuando se evapora el agua de las hojas de los árboles. Un

árbol evapora 1,5 x 10–8 m3/s de líquido por cada m2 de área. Así un árbol de 2 m2 de área

evapora 3 x 10–8 m3/s. El tronco está formado por conductos denominados xilema de 100 μm

de diámetro que ocupan un 7 % del tronco, y que por tanto, ocupan un área de 1,5 x10-4 m2.

Con estos datos, calcular la velocidad de ascenso de la savia.

El cálculo de la velocidad es simple si se usa la ecuación de continuidad.

En efecto: Q = v A

donde Q es el caudal total y A el área. Despejando v de la ecuación anterior resulta

v = Q / A = 1,5 x 10-8 m3/s / 1,5 x 10-4 m2 = 2 x 10-4 m/s

La determinación experimental de la velocidad de ascenso de la savia mediante

métodos no invasivos lleva a valores de unas cincuenta veces el valor anterior. Este resultado

se interpreta como que los xilemas no conducen todos ellos la savia, ya que la mayor parte

de ellos no son funcionales y están llenos de aire. En este caso la ecuación de continuidad

indica que sólo el 2 por 100 de los xilemas de un árbol conducen la savia.

Hasta aquí nos hemos referido a la ecuación de continuidad para recintos cerrados. Si,

en cambio, estudiamos el flujo abierto de un fluido, este principio se cumple también siempre

y cuando se cumplan ciertas condiciones.

Definimos línea de corriente como aquella línea que es tangente en todos sus puntos al

vector velocidad. Para representar el flujo de un fluido podemos dibujar tantas líneas de

corriente como nos convenga, pero dos líneas de corriente no pueden cruzarse, ya que esto

querría decir que una misma partícula de fluido puede moverse en dos direcciones diferentes,

lo cual es imposible.

En cada línea de corriente, la componente perpendicular de la velocidad es nula. En un

flujo en dos dimensiones, dos líneas de corriente configuran un tubo de corriente, en el cual

se aplica la ecuación de continuidad, aunque no haya fronteras físicas para el flujo. De esta

forma, las líneas de corriente permiten dividir conceptualmente el flujo en un conjunto de tubos

de corriente con paredes inmateriales. Los efectos viscosos y el calor pueden atravesarlos,

pero, en cambio, no puede haber ningún flujo de masa a su través.

A pesar del gran interés conceptual de las líneas de corriente, su aplicación más

importante se da cuando el flujo del fluido es estacionario, es decir, cuando no varía con el

tiempo, ya que entonces las líneas de corriente coinciden con las trayectorias de las partículas

de fluido. Es precisamente en el flujo estacionario cuando tratamos con la ecuación de

Bernoulli, ecuación importantísima y muy útil para la descripción del flujo de fluidos.

La ecuación de continuidad se puede visualizar en múltiples entornos de estudio en

meteorología. En las capas altas de la atmósfera (aproximadamente 5000 m) el aire se mueve

paralelo a las líneas de corriente que suelen coincidir con las líneas de presión constante.

FÍSICA MATEMÁTICA


Cuando éstas tienden a unirse, la velocidad del aire aumenta produciéndose una

convergencia. El aire entonces tiende a moverse hacia la superficie dando origen a un

anticiclón.

ECUACIÓN DE BERNOULLI

En el apartado anterior hemos aplicado el principio de conservación de la masa. En este

apartado aplicamos a la mecánica de fluidos el principio de conservación de la energía. El

ámbito de esta aplicación es el de los fluidos ideales, es decir, los fluidos sin viscosidad,

además de las hipótesis de incompresibilidad y de flujo estacionario ya mencionadas

anteriormente.

Consideremos un tubo de fluido como el de la Figura. En el apartado anterior hemos

visto que podemos escribir que el producto Ai vi es constante, donde el subíndice i indica la

zona del tubo que se considera.

Para transportar una determinada cantidad de fluido de volumen dV (sombreado en la

figura) desde la zona 1 hasta la zona 2 hay que realizar un trabajo dT definido por:

dT = (p1 – p2) dV

En ausencia de rozamiento, este trabajo debe transformarse en un aumento de energía

mecánica del fluido, es decir,

dEm = ½ (v2 2 – v1

2) ρ dv + g (h2 – h1) ρ dv

donde

dm = ρ Dv [4]

en que ρ es la densidad del fluido. El principio de conservación de la energía dice que

dT = dEm

es decir,

(p1 – p2) dV = ½ (v22 – v1

2) ρ dV + g (h2 –h1) ρ dV

Si se reordenan los términos y se elimina dV queda

P1 + ½ ρ v12 + ρ g h1 = p2 + ½ ρ v2

2 + ρ g h2

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o lo que es lo mismo,

p + ½ ρ v2 + ρ g h = cte [5]

donde el valor de la constante es el mismo para todos los puntos de un mismo tubo de

corriente. Según la ecuación anterior, o ecuación de Bernoulli, el flujo de un fluido ideal

mantiene constante la energía por unidad de volumen. Si se trata del flujo de un fluido viscoso,

la suma de los tres términos de la ecuación [5] deja de ser constante y pasa a ser una función

decreciente con la distancia. El trabajo por unidad de volumen que hay que suministrar a un

fluido viscoso para mantener constante la suma de estos tres términos se denomina pérdida

de carga, y es muy utilizada para caracterizar el flujo de fluidos reales por conductos.

A continuación tratamos algunas aplicaciones sencillas de la ecuación de Bernoulli.

Ejemplo 1. Teorema de Torricelli

En este primer caso aplicamos la ecuación de Bernoulli al estudio de la velocidad de

salida de un fluido ideal por un agujero situado a una cierta profundidad, tal como se muestra

en la Figura. Aplicamos la ecuación [5] entre los puntos 1 y 2 de la figura. En ambos puntos

la presión es la exterior; por tanto, p1 = p2. En el punto 1 la velocidad de descenso del fluido

es muy pequeña, ya que el recipiente es muy ancho si se compara con el tamaño del agujero

y el volumen del fluido que se escapa por el orificio es pequeño comparado con el volumen

total del fluido; por tanto, v1 = 0. Además, las alturas las referimos respecto el nivel del fondo

del recipiente, con lo que h2 = 0. En estas condiciones, la ecuación [5] se escribe

ρ g h = ½ ρ v2

donde hemos tenido en cuenta que h1 = h y que v2 = v. Eliminando ρ y despejando v

queda:

hg2v

expresión que es la conocida fórmula de Torricelli, que indica que la velocidad de salida

del agua por un orificio viene determinada por la misma expresión de la velocidad de caída

libre de un objeto desde una altura dada.

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Ejemplo 2

En una arteria se ha formado una placa arterioesclerótica que reduce el área transversal a 1/5

del valor normal. ¿En qué porcentaje disminuye la presión en el punto donde ha habido este

accidente vascular? (presión media normal de la sangre, 100 mm de Hg; velocidad normal de

la sangre, 0,12 m/s; densidad de la sangre, 1056 kg/m3).

La ecuación de Bernoulli [5] da una relación entre la presión, la velocidad y la altura de

un fluido. Si suponemos que tenemos establecido un flujo sin cambio apreciable de nivel y

señalamos como 1 el punto donde la arteria es normal y como punto 2 la zona donde se ha

producido la deposición alteradora (véase la Figura), podemos escribir a partir de [5]

(p1 – p2) = ½ (v22 – v1

2) ρ

Por otra parte, dado que suponemos que no hay hemorragias, es decir, toda la sangre

que pasa por 1 debe pasar por 2, se cumple la ecuación de continuidad

v1 A1 = v2 A2

Figura de la arteria

Barómetros y manómetros: instrumentos de medición de presiones

Consideremos un recipiente como el de la Figura. Suponemos que el fluido está en reposo.

Si aplicamos la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 considerando que en 1 la presión

es la presión exterior y en 2 la presión es p2, resulta

p2 = p1 + ½ g (h1 – h2) = p1 + g h [6]

Así, la presión en un fluido en reposo depende de h, la profundidad a la cual se mide.

Por argumentos similares resulta que p1 = p4 y p2 = p3, ya que los puntos 1 y 4 y los puntos 2

y 3 están al mismo nivel.

Para determinar la presión exterior se puede utilizar un dispositivo como el de la Figura

de abajo y la expresión [6]. El barómetro consiste en un recipiente lleno de un fluido y un tubo

invertido donde se ha hecho el vacío en su interior, es decir, p3= 0. El fluido asciende por el

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tubo hasta la altura h, donde la presión en el punto 2 multiplicada por el área de la sección

transversal del tubo se iguala con el peso de la columna de fluido. Así, la presión en el punto

2 vale

p2 = ρ g h

Como la presión en los puntos 1 y 2 es la misma y la presión en el punto 1 es la presión

exterior, la medida de la altura de la columna de fluido sirve para determinar la presión exterior.

Es importante el fluido que se utiliza, ya que debe elegirse de tal manera que a la temperatura

ambiente (o en cada caso a la temperatura de utilización del barómetro) su presión de vapor

sea pequeña de tal manera que la condición p3 = 0 se mantenga. Por otro lado, el ascenso

del fluido por el tubo debido al ascenso capilar ha de ser adecuado.

El fluido más utilizado es el mercurio por su elevada densidad (13600 kg/m3). Así se

define la atmósfera, como una unidad de medida de presión que corresponde a la altura de

una columna de mercurio de 760 mm. En estas condiciones se cumple, pues,

p2 = 1 atm = 13600 kg/m3 9,82 m/s2 0,760 m = 1,013 x 105 N/m2

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Barómetro barómetro en U manómetro

LA PRESION ATMOSFERICA: SU MEDIDA. EXPERIENCIA DE TORRICELLI

Torricelli llenó de mercurio un tubo de 1 m de largo, (cerrado por uno de los extremos) y lo

invirtió sobre un cubeta llena de mercurio. Sorprendentemente la columna de mercurio bajó

varios centímetros, permaneciendo estática a unos 76 cm (760 mm) de altura.

Torricelli razonó que la columna de mercurio no caía debido a que la presión atmosférica

ejercida sobre la superficie del mercurio (y transmitida a todo el líquido y en todas direcciones)

era capaz de equilibrar la presión ejercida por su peso.

𝑝𝑎𝑡𝑚 = 𝑝𝐻𝑔 =𝑃𝐻𝑔

𝐴=

𝑚𝐻𝑔 𝑔

𝐴=

𝑉𝐻𝑔 𝜌𝐻𝑔 𝑔

𝐴=

𝐴 ℎ 𝜌𝐻𝑔 𝑔

𝐴= 𝜌𝐻𝑔 𝑔 ℎ

Como se observa la presión es directamente proporcional a la altura de la columna de

mercurio (h), se adoptó como medida de la presión el mm de mercurio.

Así la presión considerada como "normal" se correspondía con una columna de altura

760 mm.

La presión atmosférica se puede medir también en atmósferas (atm):

1 atm = 760 mm Hg = 760 Torr = 101325 Pa = 1,01325 bar

FÍSICA MATEMÁTICA


Tensión superficial

La cohesión interna, la atracción entre las moléculas del fluido, es un atributo básico que

distingue los líquidos de los gases. Así, en condiciones de ingravidez, una gota de líquido al

minimizar su área superficial adquiere una forma esférica. Asimismo, en un lago en calma la

superficie del agua es plana y sin rizos, ya que ésta es la condición que minimiza el área

superficial.

Los insectos acuáticos pueden caminar por encima de la superficie del agua, ya que su

peso está compensado por la resistencia de la superficie a su deformación.

Las fuerzas de cohesión dan lugar a la tensión superficial, que corresponde a una fuerza

por unidad de longitud, o a una energía por unidad de área de la superficie del fluido. ¿De

dónde proviene esta energía? Para mostrarlo utilizaremos un modelo molecular del fluido. En

un fluido podemos distinguir dos regiones (véase Figura): la región interior y la región

superficial.

Mientras que una molécula de la región interior en promedio tiene el mismo número de

moléculas que la atraen hacia la derecha que hacia la izquierda, hacia arriba o hacia abajo, y,

por tanto, la resultante de las fuerzas es cero, una molécula de la región superficial tiene una

fuerza resultante dirigida hacia el interior del fluido.

Esto hace que para desplazar una molécula a la superficie tenga que realizarse un

trabajo, es decir, hay que aportar una energía que, evaluada por unidad de área, es lo que

conocemos como tensión superficial.

Así, para aumentar la superficie de un fluido tenemos que realizar un trabajo que

equivale a la energía potencial de las moléculas de fluido que han de pasar de la región interior

a la región superficial. La tensión superficial es una propiedad de cada fluido, en la medida

que las moléculas de cada fluido tienen distintas fuerzas de interacción y, por supuesto, si se

disuelve una sustancia en un fluido, la disolución tiene una tensión superficial distinta de la

del fluido disolvente. Un ejemplo especialmente importante de este fenómeno es el cambio de

la tensión superficial del agua a causa de la adición de detergentes o de productos

polucionantes.

FÍSICA MATEMÁTICA


La tensión superficial no tiene unidades propias y se mide en el sistema internacional

en N/m.

Un último aspecto especialmente interesante relacionado con la tensión superficial es la

capilaridad. El experimento clásico del efecto de capilaridad se produce cuando dentro de un

recipiente lleno de un líquido, por ejemplo agua, colocamos un tubo delgado, por ejemplo de

vidrio (Ver figura), y se observa que el fluido asciende por el tubo hasta una altura

determinada. Decimos entonces que el fluido asciende por capilaridad.

El efecto depende de la competición entre dos fuerzas, la fuerza de cohesión del líquido

y la fuerza entre el líquido y las paredes. Por un lado, la atracción del vidrio hacia las moléculas

de agua hace subir el agua por el tubo, pero por otro lado la resistencia a aumentar la

superficie del agua, consecuencia directa de la tensión superficial, tiende a frenar el ascenso.

𝛾 2 𝜋 𝑟 = 𝜋 𝑟2 ℎ 𝜌 𝑔

La altura h del tubo a la que llega el agua es aquella en la que la fuerza debida a la

tensión superficial iguala en magnitud al peso de la columna de agua, es decir, donde es la

tensión superficial y r el radio del tubo. Así, cuanto mayor es la tensión superficial, el ascenso

capilar es más alto, y cuanto mayor es el radio del tubo, menor es el ascenso capilar.

Ejemplo

¿Qué diámetro deberían tener los capilares del xilema de los árboles para que la tensión

superficial sea una explicación satisfactoria del ascenso de la savia a la copa de una secoya

gigante de 100 m de altura ( tensión superficial del agua 73 x 10-3 N/m, ángulo de contacto ,φ

= 0°, densidad del agua 1000 kg/m3)

Supongamos que el xilema de los arboles está formado por capilares de forma cilíndrica

de radio r. La savia subirá hasta la altura h gracias a la tensión superficial. La componente

vertical de la tensión superficial Fv es

Fv = 2 r cos φ

FÍSICA MATEMÁTICA


En donde 2 r es la longitud de la circunferencia de radio r, donde la savia está en

contacto con el capilar. Por otro lado, el peso P de la savia viene dado por

P = ρ V g = ρ r 2 h g

Por lo tanto, teniendo en cuenta la situación en que hay equilibrio entre la tensión

superficial y la del peso, y despejando r resulta:

𝑟 =2 γ cos φ

𝜌 ℎ 𝑔=

2 𝑥 73 𝑥 10−3(𝑁/𝑚) cos 0º

1000 (𝑘𝑔/𝑚3)100 𝑚 9,81 (𝑚/𝑠2)= 1,49 𝑥 10−7 𝑚

Las medidas experimentales de este diámetro dan un valor de 2,5 x 10–5 m, que es

mucho mayor que el anterior. Por tanto, la tensión superficial no explica por sí sola el ascenso

de la savia en los árboles.

FLUIDOS REALES

Viscosidad

La viscosidad es el rozamiento interno entre las capas de un fluido. A causa de la viscosidad,

es necesario ejercer una fuerza para obligar a una capa de fluido a deslizar sobre otra.

En la figura, se representa un fluido comprendido entre una lámina inferior fija y una

lámina superior móvil.

La capa de fluido en contacto con la lámina móvil tiene la misma velocidad que ella,

mientras que la adyacente a la pared fija está en reposo. La velocidad de las distintas capas

intermedias aumenta uniformemente entre ambas láminas tal como sugieren las flechas. Un

flujo de este tipo se denomina laminar.

Como consecuencia de este movimiento, una porción de líquido que en un determinado

instante tiene la forma ABCD, al cabo de un cierto tiempo se deformará y se transformará en

la porción ABC’D’.

Sean dos capas de fluido de área S que distan dx y entre las cuales existe una diferencia

de velocidad dv.

FÍSICA MATEMÁTICA


La fuerza por unidad de área que hay que aplicar es proporcional al gradiente de

velocidad. La constante de proporcionalidad se denomina viscosidad .

𝐹

𝐴= 𝜂

𝑑𝑣

𝑑𝑥 (1)

En un fluido viscoso el balance de energía es muy diferente. Al abrir el extremo del tubo,

sale fluido con una velocidad bastante más pequeña. Los tubos manométricos marcan alturas

decrecientes, informándonos de las pérdidas de energía por rozamiento viscoso. En la salida,

una parte de la energía potencial que tiene cualquier elemento de fluido al iniciar el movimiento

se ha transformado íntegramente en calor. El hecho de que los manómetros marquen

presiones sucesivamente decrecientes nos indica que la pérdida de energía en forma de calor

es uniforme a lo largo del tubo

Viscosidad de algunos líquidos

Líquido . 10-2 kg/(ms)

Aceite de ricino 120

Agua 0,105

Alcohol etílico 0,122

Glicerina 139,3

Mercurio 0,159

LEY DE POISEUILLE

La ley de Poiseuille, cuyo nombre se debe a un médico francés especialista en el flujo de la

sangre en los vasos sanguíneos, nos permite saber cómo es la velocidad de un fluido que se

mueve de forma laminar por un tubo, y relacionar el caudal que circula por un tubo con la

diferencia de presión que lo origina y con las características físicas del fluido y las

características geométricas del tubo.

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El caudal total que circula por un cilindro de radio R y longitud L sometido a una

diferencia de presiones p1 − p2 es:

𝑄 =𝜋 𝑅4

8 𝜂 𝑙 𝛥𝑝

Esta ley relaciona la causa, la diferencia de presiones Δp, con el caudal. La constante

de proporcionalidad depende del fluido, a través de la viscosidad, y de las características del

conducto como son su radio y su longitud.

Es de notar la dependencia del caudal con la cuarta potencia del radio si se duplica el

radio del conducto, el caudal se multiplica por dieciséis.

Uniones entre circuitos

La presión y el caudal representan equivalen al potencial eléctrico y la intensidad de corriente

en los circuitos eléctricos. La ley de Poiseuille es similar a la de Ohm (I = V/R):

𝑄 =∆𝑝

𝑅𝑓

En donde Rf es la resistencia hidráulica al flujo, igual a: 𝑅𝑓 =8𝜂𝑙

𝜋𝑅4

De la expresión anterior vemos que la resistencia hidrodinámica es tanto mayor cuanto

mayor es la viscosidad del fluido y cuanto más largo y más estrecho es el conducto. La

semejanza con la ley de Ohm es tan completa que cuando se unen dos o más conductos uno

a continuación del otro, es decir, en serie, su resistencia hidrodinámica global se comporta del

mismo modo que lo hace la resistencia eléctrica al conectar dos resistencias en serie y, por

tanto, resulta ser la suma de las resistencias hidrodinámicas individuales.

Unión en serie: Q1 = Q2 y ∆p = ∆p1 + ∆p2

La resistencia total es la suma de las resistencias de los conductos: Rt = R1 + R2.

Si los tubos se unen en paralelo, la resistencia hidrodinámica global seguirá la misma

relación que sigue la resistencia eléctrica de los resistores conectados en paralelo.

Unión en paralelo: Q = Q1 + Q2 y ∆p1 = ∆p2

La inversa de la resistencia total es la suma de las inversas de las resistencias de los

circuitos:

1

𝑅𝑡=

1

𝑅1+

1

𝑅2

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FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO, Y EL PERFIL PARABÓLICO DE VELOCIDADES

Reynolds estudió las condiciones para las que se produce el cambio de un tipo de movimiento

a otro y encontró que la velocidad crítica, para la que el flujo pasa de laminar a turbulento,

depende de cuatro variables: el radio del tubo (r), así como la viscosidad (η), la densidad (ρ)

y la velocidad lineal media del líquido (v). Además, encontró que estos cuatro factores pueden

combinarse formando un grupo y que el cambio del tipo de flujo ocurre para un valor definido

del mismo. La citada agrupación de variables es:

𝑁𝑅𝑒 =𝜌 𝑣 𝑟

𝜂

Esta agrupación adimensional de variables recibe el nombre de NUMERO DE

REYNOLDS.

Sin embargo, el análisis de los fenómenos turbulentos a pesar de ser muy interesante,

desde el punto de vista biológico no se hace imprescindible. En efecto, la mayor parte de

situaciones de interés en biología se dan en condiciones donde el flujo es laminar. Incluso en

los conductos donde la sangre sale del corazón, el flujo prácticamente es laminar. Sólo en las

fosas nasales parece que se ha desarrollado un entorno donde se ha favorecido el flujo

turbulento para facilitar la mezcla completa del aire y, por tanto, mejorar el olfato y el

intercambio de calor.

Para números de Reynolds inferiores a 2100 se encuentra siempre flujo laminar, pero

éste puede persistir hasta números de Reynolds de varios millares para condiciones

especiales de entrada del tubo bien acampanada. En condiciones ordinarias de flujo, el flujo

es turbulento para números de Reynolds superiores a aproximadamente 4000.

Entre 2100 y 4000 existe una región de transición, donde el tipo de flujo puede ser tanto

laminar como turbulento, dependiendo de las condiciones de entrada del tubo y de la distancia

a dicha entrada.

NRe ˂ 2100 Flujo Laminar

2100 < NRe < 4000 Flujo de Transición

NRe > 4000 Flujo Turbulento

LEY DE STOKES

Cuando un objeto se mueve en el seno de un fluido, experimenta una fuerza de resistencia

(opuesta a su velocidad), denominada fuerza de arrastre. Que para el caso de objetos muy

pequeños domina esta fuerza de rozamiento. La ley de Stokes nos da dicha fuerza para el

caso de una esfera:

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Fr = 6 π η v R

En donde R es el radio de la esfera.

Cuando una disolución precipita, la velocidad de sedimentación está determinada por la

ley de Stokes y vale:

𝑣 =2 𝑅2(𝜌𝑐 − 𝜌𝑓𝑙) 𝑔

9

Circulación sanguínea

La resistencia periférica total es el cociente entre la diferencia de presión a la salida y a la

entrada del corazón y el caudal sanguíneo.

Si un conducto de área A1 se bifurca en n conductos iguales, de área A2, la caída de

presión por unidad de longitud se mantiene constante si se verifica:

𝐴1 = √𝑛 𝐴2

La potencia del corazón es el trabajo realizado en un latido W dividido por el intervalo

de tiempo entre latidos: P = W / t = p ∆V/ ∆t = p Q

Esta expresión ha de ser evaluada separadamente para cada ventrículo.

La sangre

En ciertos casos la sangre fluye a un ritmo constante a través de un vaso liso, largo en

corrientes continuas, manteniéndose cada capa de sangre a una distancia constante de la

pared del vaso presentándose entonces como flujo laminar. Al tener flujo laminar, se presenta

también el efecto de que las capas más cercanas a las paredes de los vasos, tendrán

velocidades de flujo casi nulas debido al efecto de la viscosidad, mientras que las capas de

sangre más alejadas de las paredes alcanzarán una velocidad mayor que el resto de las

capas. Lo anterior origina un perfil parabólico de velocidades cuando se presenta un flujo

laminar.

Cuando la rapidez del flujo sanguíneo es muy intensa, cuando pasa una obstrucción de

un vaso, cuando hace un giro brusco, o cuando pasa por encima de una superficie más

rugosa, el flujo puede volverse turbulento, formando generalmente remolinos denominados

corrientes parásitas o de remolino. Cuando se producen corrientes de remolino, la sangre

circula contra una resistencia mucho mayor que la que existe cuando la corriente es lineal

porque los remolinos aumentan enormemente la fricción dentro del vaso.

Para determinar si un flujo sanguíneo es laminar o turbulento es posible utlizar el número

de Reynolds, que determina la tendencia a ser turbulento que tiene un flujo. En la aorta

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proximal y en la arteria pulmonar, el número de Reynolds puede elevarse hasta niveles altos,

como de varios miles, durante la fase rápida de vaciamiento de los ventrículos; esto provoca

intensa turbulencia en la parte proximal de las arterias aorta y pulmonar, donde hay muchas

condiciones adecuadas para la turbulencia:

1. Gran velocidad de la corriente.

2. Índole pulsátil de flujo.

3. Brusco cambio del diámetro del vaso.

Sin embargo, en los vasos pequeños el número de Reynolds casi nunca llega a ser

suficientemente elevado para provocar turbulencia.

LA PRESIÓN

La presión sanguínea representa la fuerza ejercida por la sangre contra cualquier área de la

pared vascular, se mide generalmente en torr (milímetros de mercurio) porque se ha utilizado

el manómetro diferencial. Sin embargo, el mercurio tiene tanta inercia que no puede elevarse

y bajar rápidamente. Por este motivo, el manómetro de mercurio, aunque excelente para

registrar presiones constantes, no puede responder a cambios de presión que ocurran con

rapidez mayor de aproximadamente un ciclo cada dos o tres segundos. Se utilizan entonces

artefactos más especializados cuando se va a medir la presión sanguínea, como son los

transductores electrónicos de presión utilizados generalmente para convertir la presión en

signos electrónicos y registrarla con un dispositivo de alta velocidad.

Uniones entre tuberías

La aorta al salir del corazón se empieza a dividir en una serie de ramas principales que a su

vez se ramifican en otras más pequeñas para lograr llegar a todas las partes del organismo

mediante una complicada red de múltiples derivaciones. Las arterias menores se dividen en

una fina red de capilares que son vasos aún más pequeños y tienen paredes muy delgadas.

Así la sangre entra en contacto con con los líquidos y tejdos del organismo. Después de

permitir a la sangre interactuar con las diversas células, los capilares se empiezan a unir para

formar venas pequeñas que a su vez se unen para formar venas mayores cada vez, hasta

que finalmente se reúnen en la vena cava superior e inferior que llega al corazón.

FÍSICA MATEMÁTICA


Este sistema de ramificaciones y uniones se puede interpretar como un sistema de tubos

en paralelo que es uno de los objetos de estudio de la hidráulica.

Medida de la presión arterial

La medida se realiza habitualmente mediante la utilización de una variante de manómetro,

denominado esfigmomanómetro. Existen esfigmanómetros de tres clases: de mercurio,

aneroides y electrónicos. Los más exactos son los de mercurio, ya que los otros modelos

necesitan de calibración frecuente. Están formados por:

a) Un manguito de compresión, constituido por una bolsa hinchable situada dentro de una

cubierta no distensible.

b) Una fuente de presión constituida, habitualmente, por una perilla de goma y una válvula

de presión que permite regular la presión ejercida sobre el brazo.

c) Un manómetro que mide la presión en milímetros de mercurio ejercida por el manguito

de compresión, en realidad las presiones medidas corresponden al aire contenido en el

manguito. Las dimensiones del manguito deben adaptarse al grosor del brazo de la

persona a la que ha de hacerse la medida.

Método auscultatorio. Es el más utilizado en la práctica. Se procede de la siguiente

manera: se sitúa el estetoscopio en la flexura del codo sobre la arteria braquial, no se aprecia

ningún sonido debido a que el flujo en su interior es un flujo laminar y no genera ruido; se infla

el manguito hasta que desaparece el pulso radial lo que supone que la arteria humeral queda

bloqueada por la presión ejercida en el brazo. A continuación se desinfla lentamente (2-3 mm

Hg/seg) y cuando la presión en la arteria durante la eyección sistólica iguala la del manguito

la sangre supera la zona de oclusión y pasa de forma turbulenta generando una secuencia de

ruidos que se denominan ruidos de Korotkoff. Se distinguen varias etapas:

Etapa 1: inicio de sonidos que son tenues y galopantes, y van aumentando de intensidad.

En este punto la presión medida corresponde a la presión arterial sistólica.

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Etapa 2: desaparición momentánea de sonidos o sonidos muy tenues, descritos como de

susurro o soplo más o menos rasposos.

Etapa 3: sonidos golpeantes, más potentes y agudos aunque sin lograr la intensidad de

los primeros latidos.

Etapa 4: los sonidos se suavizan brusca y repentinamente, siendo más sibilantes.

Etapa 5: los sonidos cesan totalmente, la presión sobre el brazo no comprime la arteria y

el flujo que corre en su interior es laminar y no turbulento. La presión en este punto

corresponde a la presión arterial diastólica.

Los valores normales en la población presentan una cierta variación. Para un adulto

joven y sano los valores de 120 mm Hg para la presión sistólica y 80 mm Hg para la diastólica

se consideran como normales. Factores constitucionales (sexo, raza, peso) y del estilo de vida

(dieta, hábitos como el consumo de tabaco o alcohol, etc.) influyen de forma muy importante

en la presión arterial.

Ejercicios

1) ¿Qué fuerza hay que ejercer sobre una superficie circular de 0,2 m de radio apoyada

sobre una capa de sangre de 1 cm de grosor para que se mueva con una velocidad de 1

m/s?

2) Tenemos una manguera de 10 m de largo y 1 cm de diámetro conectada a un grifo con

una presión de 2 atm. Calcula: (a) el caudal de agua que circula por ella, (b) la velocidad

media del agua, (c) la velocidad máxima, (d) la resistencia al flujo de la manguera

3) Para medir la viscosidad de un fluido utilizamos un conducto de 2 m de largo y 4 mm de

radio. Si aplicamos una diferencia de presión de 10 mm de Hg entre los extremos del

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conducto, circula por él un caudal de 0,3 l/min. ¿Cuál es el coeficiente de viscosidad del

líquido?

4) Un depósito cilíndrico de 0,5 m de radio y 1,2 m de altura está lleno de agua y posee un

orificio, en su parte inferior, conectado a un conducto de 0,2 m de longitud y 2 mm de

radio. Determina la velocidad de salida del agua en función del tiempo, medida desde que

se empieza a vaciar el depósito. (Desprecia la velocidad del agua en el interior del

depósito.)

5) Un circuito está formado por dos conductos de 6 x 107 y 9 x 107 Ns/m5 de resistencia

unidos en serie. La presión total sobre el circuito es de 3 atm. ¿Qué caudal atraviesa el

circuito? ¿Cuál es la presión en el punto de unión de los dos conductos?

6) La resistencia al flujo de un vaso aumenta un 10 % porque en algunos tramos la sección

se ha reducido a la mitad. ¿En qué porcentaje de la longitud del vaso hay obstrucciones?

7) Estima aproximadamente el número de Reynolds de: (a) un nadador capaz de hacer 100

m en 52 s, (b) un atleta que recorre 100 m en 10 s, (c) un submarino de 3 m de radio

viajando a 36 km/h, (d) un avión de 3 m de radio volando a 900 km/h, (e) una partícula de

una micra de diámetro que se desplaza en el agua a 0,01 m/s.

8) Una aorta posee una sección de 4 cm2. ¿A qué velocidad comenzará a hacerse turbulento

el flujo sanguíneo? ¿Cuál será entonces el caudal?

9) ¿Con qué velocidad se sumergirá en el agua un objeto esférico de 1,2 kg/l de densidad y

0,8 cm de diámetro?

10) Una muestra de sangre posee una velocidad de sedimentación 4 veces superior a la

normal debido a que los glóbulos rojos se han unido parcialmente entre sí. Si suponemos

que en el caso normal éstos no están unidos en absoluto, ¿cuántos glóbulos rojos se

agregan en media formando nuevas partículas efectivas en la muestra considerada?

11) En una arteriola de 20 cm de longitud la presión sanguínea cae 18 mm de Hg. Por ella

circula un caudal de 0,1 l/min. ¿Cuál es el radio de la arteriola?

12) Supongamos que la caída de presión por unidad de longitud es constante en el cuerpo

humano, debido a la forma de bifurcarse los vasos. Si el área total de los capilares es 500

veces mayor que la de la aorta, determina: (a) el número de capilares, (b) la sección de

cada uno de ellos, sabiendo que la de la aorta es de 3 cm2, (c) la velocidad de la sangre

en los capilares, teniendo en cuenta que el caudal total es de 5 l/min.

13) Un corazón bombea 0,08 l de sangre, 60 veces por minuto, con una presión media de

110 mm de Hg. La aorta correspondiente posee un radio de 1,2 cm. Calcula: (a) el caudal

sanguíneo, (b) la potencia que ejerce el ventrículo izquierdo, (c) la velocidad de la sangre

en la aorta, (d) la resistencia al flujo del sistema circulatorio, (e) la longitud que debería

tener un conducto de 1 cm de diámetro para que su resistencia al flujo coincidiera con la

del sistema circulatorio.

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14) Para medir la viscosidad de un fluido utilizamos un conducto de 2 m de largo y 4 mm de

radio. Si aplicamos una diferencia de presión de 10 mm de Hg entre los extremos del

conducto, circula por él un caudal de 0,3 l/min. ¿Cuál es el coeficiente de viscosidad del

líquido?

TEMPERATURA - CALOR - NOCIONES DE TERMODINÁMICA

TEMPERATURA

Las medidas del calor y de la temperatura están relacionadas, que para su estudio

cuantitativo, se deben establecer escalas y unidades. La definición de una escala se consigue

asignando valores fijos de la temperatura a unos puntos de referencia. Las escalas más

usuales toman como puntos fijos el de fusión del hielo y el de ebullición del agua a presión

atmosférica; entre ellas destacan las escalas

Celsius (tf = 0 °C, teb = 100 °C) y la

Fahrenheit (tf = 32 °F, teb = 212 °F).

La escala más importante desde el punto de vista físico por su significación fundamental

es la escala absoluta o Kelvin, que operativamente coincide con la escala de temperaturas de

los gases ideales y cuyo valor se obtiene al sumar 273,15° a los valores de la escala Celsius.

El cero de dicha escala es el cero absoluto, que constituye el límite inferior de temperaturas.

Los termómetros se basan en la dependencia de ciertas propiedades con la temperatura

(longitud de una barra o de una columna de fluido, volumen de un gas a presión constante o

presión de un gas a volumen constante, resistencia de un metal o de un semiconductor, fuerza

electromotriz de un par termoeléctrico, características de la radiación electromagnética

emitida, etc.). A partir de los valores directamente observables de tales magnitudes se puede

asignar valores a la temperatura.

Ejemplo

Encontrar las relaciones entre las escalas Celsius, Kelvin y Fahrenheit de temperatura,

comparando los valores que toman en los puntos fijos recogidos en la siguiente tabla:

De la tabla se desprende inmediatamente que las escalas Celsius y Kelvin difieren

únicamente en el cambio de origen:

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T (K) = t (°C) + 273,15

Para determinar la relación entre la escala Celsius y la Fahrenheit tenemos en cuenta

que entre el punto de fusión del hielo tf y el de ebullición del agua teb hay 100 °C y 180 °F; por

tanto,

∆𝑡 (℃)

∆𝑡 (℉)=

100

180=

5

9

𝑡 (℃) =5

9[𝑡 (℉) − 32]

EL CALOR Y EL PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA

La primera ley de la termodinámica identifica el calor como una forma de energía y postula la

conservación de ésta. Conceptualmente resultaron difíciles tanto esta identificación del calor,

que antes se confundía con un fluido indestructible especial (calórico), como la idea de la

conservación de la energía. La primera ley de la termodinámica establece

U = Q + W

donde U es la energía interna del sistema, U su diferencia entre el estado final y el

estado inicial, Q el calor suministrado al sistema y W el trabajo efectuado sobre el sistema.

Calor y trabajo son las dos maneras de variar la energía de un sistema cerrado. En efecto, si

en los sistemas mecánicos simples un trabajo produce la variación de la energía cinética o de

la energía potencial, en los sistemas compuestos por muchas partículas puede realizarse

trabajo (por ejemplo, comprimiendo lentamente el sistema) sin que varíe su energía potencial.

Asimismo, comunicar calor al sistema produce una variación en la temperatura de éste y,

posteriormente, se puede extraer cierta cantidad de trabajo del sistema al enfriarlo. Estas

formas de energía relacionadas con el estado interno del cuerpo, más que con su posición o

con su velocidad, constituyen la llamada energía interna. Así como U es una función del

estado del sistema (sólo depende de sus propiedades actuales), Q y W dependen del proceso

entre el estado inicial y el estado final, aunque su suma sólo depende del inicio y el fin del

proceso.

Hay muchos tipos de trabajo: mecánico, químico, eléctrico, magnético, superficial, etc.

Aquí consideraremos solamente el trabajo mecánico de compresión o expansión de un fluido,

que viene dado por

dW = – p dV

FÍSICA MATEMÁTICA


con p la presión y dV la variación de volumen del sistema (negativa en la compresión,

ya que en este caso disminuye el volumen del sistema, y positiva en la expansión).

Dilatación Térmica

a) El coeficiente de dilatación lineal expresa la variación relativa de la longitud con la

temperatura

𝛼 =1

𝐿𝑜

∆𝐿

∆𝑡

donde L denota la longitud y t la temperatura. La dilatación podrá escribirse en la forma

ΔL = Lf - Lo = α Lo Δt

EL CALOR

Vista la medida de la temperatura, queda la medida del calor. En muchos casos, el suministro

de calor a un sistema produce un aumento de su temperatura, y se puede relacionar éste con

la cantidad de calor proporcionada. Se define calor específico como el calor que debe

suministrarse a una cantidad determinada de sustancia (un gramo, un mol) para que su

temperatura aumente un grado. Esta magnitud física depende del material de que se trate. El

calor específico c, la masa del sistema m y la variación de temperatura T se relacionan con

el calor suministrado Q mediante la expresión

Q = m c T

(En el caso de los gases hay que especificar si el calentamiento se realiza a presión

constante o a volumen constante.) En otras ocasiones, el calor suministrado no produce un

aumento de temperatura, sino un cambio de fase (paso de sólido a líquido, de líquido a gas,

etc.). Dichos cambios se producen, en general, a una temperatura bien determinada

(temperatura de fusión, de ebullición, etc.). Se define calor latente como la cantidad de calor

que se ha de suministrar a un gramo (o un mol) de sustancia para que ésta cambie totalmente

de fase. El calor Q utilizado para ello depende de la cantidad de masa que cambia de fase m

y del calor latente L a través de la relación

Q = L m

La unidad tradicional de calor es la caloría, que es el calor (cal) que debe suministrarse

a un gramo de agua a 15 °C para aumentar su temperatura un grado Celsius. Una caloría

FÍSICA MATEMÁTICA


equivale a 4,19 julios, por lo cual en muchas ocasiones se utilizan los julios en lugar de la

caloría como unidad de energía térmica.

TRANSMISIÓN DEL CALOR

En biología presentan especial interés los problemas relacionados con la temperatura corporal

y el metabolismo. Las propiedades de transporte de calor de los materiales biológicos tienen

una gran importancia por sus repercusiones metabólicas. Asimismo, el transporte de calor

desde el Sol hasta la Tierra mediante la radiación electromagnética juega un papel de primer

orden en biología y meteorología.

Hay tres procesos de transporte de calor: a) conducción, b) convección, c) radiación. En

el primer caso, el calor se transporta a través de un medio material, sin movimiento del mismo.

La ley que relaciona la cantidad H de calor transportado por unidad de tiempo desde un cuerpo

a temperatura T1, a otro a temperatura T2, conectados mediante una barra de longitud L y área

transversal A, es

𝐻 =𝑄

∆𝑡=

𝐾 𝐴 (𝑇1 − 𝑇2)

𝐿

K es una constante que depende del material y se denomina conductividad térmica.

En el caso de la convección, el material que transporta el calor se mueve, bien de forma

natural como cuando el aire caliente asciende en la atmósfera debido a su menor densidad o

bien de forma forzada cuando se facilita mecánicamente el movimiento del fluido (ventilación).

En estas circunstancias, el calor cedido por unidad de tiempo por un cuerpo de temperatura

T1 a un ambiente de temperatura inferior T2 es

𝐻 =𝑄

∆𝑡= ℎ 𝐴 (𝑇1 − 𝑇2)

donde A es el área superficial del cuerpo en contacto con el fluido circundante y h una

constante que en el caso del cuerpo humano rodeado de aire vale h = 1,7 x 10–3 kcal / s m2

K.

El caso de la radiación es bastante diferente. En esta situación, el calor se transmite en

forma de radiación electromagnética y no se necesita ningún medio material intermedio. Este

es el proceso mediante el cual nos llega la energía del Sol a través del espacio exterior. La

ley básica que describe la cantidad de calor H cedida por un cuerpo de área A a temperatura

absoluta T por unidad de tiempo es la ley de Stefan-Boltzmann, según la cual

𝐻 =𝑄

∆𝑡= e σ 𝐴 𝑇4

FÍSICA MATEMÁTICA


Aquí σ es una costante universal que vale σ = 5,67 x 10–8 W / m2 K4 y e se denomina

coeficiente de emisividad, comprendido entre 0 y 1, que depende de las propiedades de la

superficie del cuerpo y del material. Los cuerpos para los cuales e = 1 se denominan cuerpos

negros. Este fenómeno de radiación es muy utilizado en medicina (termografía) y en la

industria como método de exploración y diagnóstico. La ley de Stefan-Boltzmann juega un

papel importante en la comprensión del balance térmico de los planetas y en particular en la

Tierra para explicar el balance radiativo de la atmósfera y la superficie terrestre.

Descripción de los sistemas termodinámicos

La Termodinámica clásica divide al Universo en el sistema y el ambiente, separados por una

frontera. Esta visión simplificada permite estudiar la transferencia de energía en el Universo.

En esta Unidad se realizan las principales definiciones y consideraciones que permiten la

descripción de los sistemas termodinámicos.

Descripción termodinámica del universo

La Teoría termodinámica divide al Universo en forma simple considerando como el sistema a

aquella parte del Universo que se encuentra en estudio. El sistema está rodeado por los

alrededores y el límite de separación entre ambos constituye la frontera. Toda comunicación

entre el sistema y los alrededores implica algún tipo de transferencia que se realiza a través

de la frontera. De esta manera, los alrededores no están constituidos por todo el Universo,

sino solamente por aquella parte del mismo que afecta a o se ve afectada por el sistema. La

definición del sistema y de los alrededores constituye el punto de partida para el análisis de

cualquier problema termodinámico. Por ejemplo, consideremos el caso de un recipiente

sumergido en un baño de agua. Si nuestro interés es estudiar la solución contenida en ese

recipiente, entonces esta solución constituye el sistema. Lo que suceda en esta solución podrá

afectar o será afectado por el baño de agua. Por ejemplo, si calentamos el baño, habrá una

transferencia de calor desde el baño hacia la solución a través del vidrio. Por lo tanto, el

recipiente de vidrio constituye la frontera entre el sistema y los alrededores. Si por el contrario

la solución experimenta un aumento de temperatura (por ejemplo, por disolución de un sólido),

entonces la transferencia de calor se producirá desde la solución hacia el baño de agua. La

fracción del Universo que se encuentra por fuera del baño (la mesada del laboratorio, el salón

de clase) no se ve afectado por el sistema, y tampoco afecta al mismo. Por lo tanto, los

alrededores están solamente constituido por el baño, y no por el resto del Universo tal cual lo

entendemos intuitivamente.

FÍSICA MATEMÁTICA


Clasificación de los sistemas

Los sistemas se clasifican de acuerdo con la permeabilidad de la frontera al pasaje de materia,

calor o trabajo. Un sistema abierto es aquel en el cual tanto la materia, el calor y el trabajo

pueden pasar libremente. En nuestro ejemplo, basta con que el recipiente esté destapado

para que sea un sistema abierto. Un sistema cerrado posee una frontera que impide el pasaje

de materia pero sí permite el pasaje de calor y trabajo. En nuestro ejemplo, si cerramos el

recipiente podemos impedir que se produzca un pasaje de materia, pero no impediremos que

se de un intercambio de calor y trabajo a través de la frontera. Un sistema adiabático impide

el pasaje de calor y materia, aunque sí permite el pasaje de trabajo. Un ejemplo de este

sistema es un termo, que tiene paredes de un material tal que impide el pasaje de calor a

través del mismo. Finalmente, un sistema aislado impide el pasaje de materia, calor y trabajo.

En la Tabla siguiente se ejemplifican algunos sistemas.

Cada sistema puede ser descrito en función de un pequeño número de variables de

estado o propiedades. Solamente pueden ser clasificados como propiedades aquellas

características del sistema que no dependen de la forma en que fue adquirida. En otras

palabras, una propiedad del sistema no depende de la historia del sistema sino de las

condiciones del mismo en el momento de la medida. Las propiedades pueden ser extensivas

o intensivas. Las propiedades intensivas son aquellas que son propias del sistema, es decir,

si un sistema se divide en dos partes, una propiedad intensiva mantiene el mismo valor en

cada parte que poseía en el total. Por otro lado, una propiedad extensiva es una propiedad

aditiva, de manera que cuando las partes de un todo se unen, se obtiene el valor total. Algunos

ejemplos de propiedades intensivas y extensivas se resumen en la Tabla siguiente.

FÍSICA MATEMÁTICA


Estado del sistema

Un sistema se encuentra en estado definido cuando todas sus propiedades poseen valores

específicos. Si a su vez estos valores no cambian con el tiempo, el sistema se dice que está

en equilibrio termodinámico, para el cual no existe un flujo de masa o energía. El equilibrio

termodinámico se establece una vez que el sistema alcanza otro tipo de equilibrios. Cuando

no hay ninguna fuerza sin equilibrar en el sistema y, por consiguiente, no se ejercen fuerzas

entre él y el ambiente que lo rodea, se dice que el sistema se encuentra en equilibrio

mecánico. Si no se cumplen estas condiciones, el sistema sólo o el sistema y su medio

ambiente experimentarán un cambio de estado, que no cesará hasta que se haya restablecido

el equilibrio mecánico. Si un sistema en equilibrio mecánico no tiende a experimentar un

cambio espontáneo en su estructura interna, tal como una reacción química, o la difusión de

materia de una parte del sistema a otro (aunque sea lenta), el sistema se encuentra en

equilibrio químico. Un sistema que no se encuentre en equilibrio químico experimenta un

cambio de estado que, en algunos casos, es extremadamente lento. El cambio cesa cuando

se ha alcanzado el equilibrio químico. Existe un equilibrio térmico cuando no hay cambio

espontáneo en las variables de un sistema en equilibrio mecánico y químico si se le separa

del exterior mediante una pared diatérmica. En el equilibrio térmico, todas las partes del

sistema se encuentran a la misma temperatura, y esta temperatura es igual a la del medio

ambiente. Si estas condiciones no se cumplen, tendrá lugar un cambio de estado hasta

alcanzar el equilibrio térmico. Para el caso en que las propiedades del sistema no cambien

FÍSICA MATEMÁTICA


con el tiempo, pero igual existe un flujo de materia y/o energía, se dice que el sistema se

encuentra en estado estacionario.

Veamos algunos ejemplos:

1) Una solución de azúcar, a una concentración de 30 g/l a 25°C y 1 Bar de presión, se

encuentra en equilibrio termodinámico.

2) Una suspensión de bacterias en fase de rápido crecimiento a temperatura constante se

encuentra consumiendo oxígeno y desprendiendo CO2 y H2O. Si las velocidades de

consumo de oxígeno y de producción de CO2 y H2O son constantes, el sistema se

encuentra en estado estacionario, dado que existe un permanente flujo de materia desde

y hacia las células.

TEMPERATURA- PRESION- VOLUMEN EN GASES

La materia se presenta en tres estados de agregación: sólido, líquido y gaseoso. Para

comprender las propiedades que presentan estos estados de agregación, basta considerar a

la materia como formada por partículas discretas que, de acuerdo con las fuerzas que se

producen cuando estas partículas interactúan, determinan el estado de agregación.

La naturaleza de los gases

Los gases constituyen la forma más simple de la materia, y muestran un comportamiento

típico que los caracteriza. Por ejemplo, tienden a llenar completamente el recipiente que los

contiene, lo que demuestra que las partículas en los gases se mueven libremente en el

espacio. Son fácilmente compresibles, lo que indica que existe mucho espacio libre entre las

partículas. Pero la característica más relevante es que ejercen presión, lo que sugiere que se

mueven aleatoriamente, chocando entre sí y contra las paredes del recipiente que los

contiene. De acuerdo con estas características, los gases pueden ser descriptos como una

colección de partículas moviéndose en forma libre y aleatoria, chocando permanentemente

entre ellas y contra las paredes del recipiente que las contiene. Las partículas gaseosas

encerradas en un volumen, moviéndose en forma aleatoria, y ejerciendo presión contra las

paredes del recipiente. Comportamiento de los gases A pesar de su naturaleza caótica, el

comportamiento de los gases no sólo puede estudiarse científicamente, sino que, de hecho,

fue la primera forma de la materia en ser estudiada. Estos estudios dieron lugar a las leyes de

Boyle (1661) y Charles (1787), que describen su comportamiento general. Los gases se

caracterizan por variar sus propiedades físicas con la presión, la temperatura y la cantidad.

Veremos en detalle cada uno de estos factores. La dependencia con la presión Robert Boyle

notó que cuanto mayor es la presión de un gas, menor es su volumen. Por lo tanto, pudo

FÍSICA MATEMÁTICA


establecer que el volumen es inversamente proporcional a la presión aplicada, si la

temperatura y la cantidad permanecen constantes.

LEY DE BOYLE Y MARIOTTE

La masa de gas realiza la transformación 1–2, que corresponde a una Transformación

Isotérmica (Ley de Boyle y Mariotte), por lo que su expresión será:

T = cte P1 V1 = P2 V2

Un gas ideal realiza una Transformación isotérmica (a Temperatura constante) cuando

la presión de la misma está en una relación inversamente proporcional al volumen que ocupa.

LEY DE GAY LUSSAC

FÍSICA MATEMÁTICA


ECUACIÓN GENERAL DE LOS GASES IDEALES

Combinando la Ley de Boyle y Mariotte junto con la 1º Ley de Gay - Lussac, obtendremos la

ecuación de estado de los gases ideales que relaciona los tres parámetros P, V y T, de un

estado cualquiera. Para ello supondremos que una masa gas ideal realiza la transformación

1 - 2 en el diagrama P - V, pasando por un estado intermedio A:

Luego la masa de gas realiza la transformación A–2, que es una Transformación

Isobárica (1º Ley de Gay - Lussac), por lo que su expresión será:

(1)

(2)

Si comparamos las expresiones (1) y (2), veremos que VA es el parámetro de estado

común que permite relacionar ambas leyes, así que despejando VA en (1) y (2) e igualándolas,

tenemos:

FÍSICA MATEMÁTICA


Recordando que PA = P2 y luego agrupando los parámetros de estado del mismo

subíndice, llegamos a la ecuación final que relaciona los tres parámetros P, V y T para dos

estados de equilibrio:

(3)

Esta expresión (3) es la Ecuación General de los Gases Ideales y relaciona las leyes de

los gases ideales para transformaciones isotérmicas (T = cte), transformaciones isobáricas (P

= cte) y transformaciones isocóricas (V = cte).

1º Transformación Isotérmica (T = cte) – Ley de Boyle y Mariotte

2º Transformación Isobárica (P = cte) – 1º Ley de Gay – Lussac

3º Transformación Isocórica (V = cte) – 2º Ley de Gay – Lussac

Pero también nos dice que para un estado de equilibrio cualquiera 3 la expresión (3)

sería una constante, es decir:

(4)

La expresión (4) podemos generalizarla para un estado de equilibrio cualquiera como:

(5)

Para determinar el valor de la constante de la expresión (5) consideraremos 1 mol de

gas ideal en un estado de equilibrio particular medido en un laboratorio en Condiciones

FÍSICA MATEMÁTICA


Normales de Presión y Temperatura (CNPT). Las CNPT se definen a la presión P = 1

atmósfera y a la temperatura T = 273 K (0 ºC). Según con la Hipótesis de Avogadro 1 mol de

gas ideal contiene 6,023 x 1023 moléculas, que en CNPT ocupan un volumen de 22,4 litros,

en consecuencia:

(6)

El valor de R = 0,082 (l atm / K mol) se denomina Constante Universal de los Gases

Ideales. El hecho de que R sea la misma para todos los gases, resulta de la Hipótesis de

Avogadro que se puede enunciar diciendo que:

“Volúmenes iguales de gases diferentes a iguales presiones y temperaturas, contienen

igual número de moléculas, o sea el Número de Avogadro = 6,023 1023 moléculas”.

Por lo tanto la expresión (6) como está referida para un volumen V´ de un mol de gas

ideal, podemos escribirla como:

(7)

Pero si tenemos n moles de gas, que ocupan un volumen V, y siendo V = nV´,

obtendremos una expresión más general de la Ecuación General de los Gases Ideales:

(8)

Ecuación de estado

A partir de la Ecuación General de los Gases Ideales (8), podemos obtener una ecuación que

pueda medir el estado particular de un tipo de gas ideal, para un estado de equilibrio

cualquiera. Recordando que el número de moles de un gas es el cociente entre la masa del

gas y su peso molecular:

(9)

FÍSICA MATEMÁTICA


Reemplazando la ecuación (9) en (8) tendremos:

(10)

Pero el cociente de la constante universal R y el peso molecular PM se denomina

Constante Particular del gas Rp:

(11)

que se corresponde a un sistema constituido por una masa de gas determinado, siendo

este valor de Rp tabulado para los distintos gases, por lo que reemplazando en (11)

obtenemos:

(12)

Esta última expresión constituye la Ecuación de Estado para gases ideales.

En la siguiente figura se ha representado un gas encerrado en un recipiente y las

variables termodinámicas que describen su estado.

Cuando un sistema se encuentra en equilibrio, las variables termodinámicas están

relacionadas mediante una ecuación denominada ecuación de estado.

Función de estado

Una función de estado es una propiedad de un sistema termodinámico que depende sólo

del estado del sistema, y no de la forma en que el sistema llegó a dicho estado. Por ejemplo,

la energía interna y la entropía son funciones de estado.

FÍSICA MATEMÁTICA


El calor y el trabajo no son funciones de estado, ya que su valor depende del tipo

de transformación que experimenta un sistema desde su estado inicial a su estado final.

Las funciones de estado pueden verse como propiedades del sistema, mientras que las

funciones que no son de estado representan procesos en los que las funciones de estado

varían.

ELECTROSTATICA

La fuerza electromagnética es la interacción que se da entre cuerpos que poseen carga

eléctrica. Es una de las cuatro fuerzas fundamentales de la Naturaleza. Cuando las cargas

están en reposo, la interacción entre ellas se denomina fuerza electrostática. Dependiendo

del signo de las cargas que interaccionan, la fuerza electrostática puede ser atractiva o

repulsiva. La interacción entre cargas en movimiento da lugar a los fenómenos magnéticos.

Históricamente los fenómenos eléctricos y magnéticos se descubrieron y estudiaron de

forma independiente, hasta que en 1861 James Clerk Maxwell unificó todos ellos en las cuatro

ecuaciones que llevan su nombre. Por simplicidad, en estas páginas trataremos por separado

los fenómenos eléctricos y magnéticos.

En el Sistema Internacional, la unidad de carga eléctrica es el Culombio (C). Un

Culombio es la cantidad de carga que pasa por la sección transversal de un conductor

eléctrico en un segundo, cuando la corriente eléctrica es de un Ampere.

La carga eléctrica es una propiedad fundamental de la materia que poseen algunas

partículas subatómicas. Esta carga puede ser positiva o negativa. Todos los átomos están

formados por protones (de carga positiva) y electrones (de carga negativa). En general, los

átomos son neutros, es decir, tienen el mismo número de electrones que de protones. Cuando

un cuerpo está cargado, los átomos que lo constituyen tienen un defecto o un exceso de

electrones.

La carga eléctrica es discreta, y la unidad elemental de carga es la que porta un electrón.

En el Sistema Internacional, la carga del electrón es:

e = - 1,602 x 10 – 19 C

La carga del electrón es una constante física fundamental. El protón tiene la misma

cantidad de carga que un electrón pero con signo opuesto.

La carga eléctrica está cuantizada, por lo que, cuando un objeto (o partícula, a excepción

de los quarks) está cargado, su carga es un múltiplo entero de la carga del electrón.

El concepto de electrón (carga elemental indivisible) fue introducido en el siglo XIX para

explicar las propiedades químicas de los átomos. Desde entonces hasta principios del siglo

XX se propusieron distintos modelos atómicos. Tanto en el modelo de Rutherford como en el

FÍSICA MATEMÁTICA


de Bohr, los electrones son partículas que giran en torno al núcleo, por lo que el átomo es un

sistema solar en miniatura.

Con el descubrimiento de la mecánica cuántica se desarrolló una ecuación (la ecuación

de Schrödinger, equivalente a la segunda ley de Newton en Mecánica Clásica) que permite

calcular la función de onda asociada a un electrón. Éste ya no es una partícula con una

posición bien definida, sino que lo que podemos determinar es la probabilidad de encontrar

un electrón cerca de una cierta posición r del espacio. Esta probabilidad es el cuadrado de la

función de onda.

Las soluciones de la ecuación de Schrödinger están cuantizadas, dependiendo sus

soluciones de una serie de números cuánticos relacionados con su energía, con su momento

angular y con su spin.

En la siguiente figura está representado el orbital 1s de un electrón en el átomo de

hidrógeno, que es su estado de más baja energía, denominado estado fundamental:

A lo largo de estas páginas trataremos los fenómenos asociados a dos tipos de objetos

cargados: cargas puntuales y distribuciones continuas de carga.

Una carga puntual es una carga eléctrica localizada en un punto sin dimensiones. Este

concepto es una idealización, y resultará muy útil a la hora de estudiar los fenómenos

eléctricos.

Una distribución continua de carga es un objeto cargado cuyas dimensiones no son

despreciables. Los fenómenos eléctricos producidos por distribuciones de carga son más

complicados de analizar, aunque trataremos algunos sistemas sencillos.

FÍSICA MATEMÁTICA


Fuerza electrostática. Energía potencial

Sean las dos cargas puntuales q1 y q separadas una distancia r, que se encuentran en reposo

con respecto al origen O del sistema de referencia inercial. La fuerza que la carga q1 ejerce

sobre q se denomina fuerza electrostática y viene dada por la ley de Coulomb:

�⃗� =𝐾 𝑞1 𝑞2

𝑟2 �̂�

𝐾 =1

4 𝜋 𝜖𝑜= 9 𝑥 109

𝑁𝑚2

𝐶2 ; 𝜖𝑜 = 8,854

𝐶2

𝑁𝑚2

donde K es una constante denominada constante electrostática que depende del medio

y ε0 es la permitividad eléctrica del vacío.

El vector �̂� es un vector unitario que va desde la carga q1 a la carga q2 de modo que

cuando ambas cargas tienen distinto signo (figura (a)) la fuerza electrostática es de atracción,

mientras que si tienen el mismo signo la fuerza electrostática es de repulsión (figura (b)).

Al estudiar problemas de cargas en electrostática, se denomina carga fuente a la carga

que ejerce la fuerza (en este caso q1) y carga testigo o carga de prueba a la carga sobre la

que se calcula la fuerza (q2).

La fuerza electrostática cumple la tercera ley de Newton, por lo que la carga q1

experimentará una fuerza de igual módulo y sentido contrario que la que experimenta q2.

Si la carga q1 se encontrase en presencia de N cargas puntuales, la fuerza total sobre

ella sería la resultante de todas las fuerzas que ejercen sobre ella las N cargas.

Energía potencial electrostática

La ley de Coulomb es formalmente igual a la ley de Gravitación Universal de Newton, que

permite calcular la fuerza de atracción entre dos masas. Al igual que esta última, la fuerza

electrostática dada por la ley de Coulomb es una fuerza conservativa. Por tanto, el trabajo es

FÍSICA MATEMÁTICA


independiente de la trayectoria y se puede calcular a partir de una función escalar

denominada energía potencia electrostática U.

Supongamos que bajo la acción de la fuerza electrostática la carga de prueba q2 se

desplaza desde un punto A a un punto B, entonces el trabajo W realizado por la fuerza

electrostática es:

WAB = - U = - (UB – UA) = UA – UB

Cuando se encuentra bajo la única acción de la fuerza electrostática la carga de prueba se

moverá siempre en el sentido en el que disminuye su energía potencial (UA > UB); de este

modo el trabajo de la fuerza es positivo, es decir, corresponde a una fuerza que va en el

mismo sentido del movimiento.

Por otra parte, si aplicamos la definición de trabajo a la fuerza electrostática expresando

ésta a partir de la Ley de Coulomb, se obtiene:

𝑊𝐴𝐵 = ∫ �⃗�12 𝑑𝑟𝐴

𝐴

= ∫𝐾 𝑞1 𝑞2

𝑟2 �̂�𝑑𝑟 �̂�

𝐴

𝐴

= ∫𝐾 𝑞1 𝑞2

𝑟2 𝑑𝑟

𝑟𝐵

𝑟𝐴

Integrando:

𝑊𝐴𝐵 =𝐾 𝑞1 𝑞2

𝑟𝐴−

𝐾 𝑞1 𝑞2

𝑟𝐵= 𝑈𝐴 − 𝑈𝐵

lo que, comparando con la expresión inicial para el trabajo, nos permite identificar la

variación de energía potencial.

De forma general se toma como origen para la energía potencial el infinito, de modo que

cuando la distancia entre las dos cargas es infinita, la energía potencial entre ambas es nula.

Por tanto, la energía potencial de un sistema de dos cargas puntuales q1 y q2 que están

separadas una distancia r es:

𝑈 =𝐾 𝑞1 𝑞2

𝑟

FÍSICA MATEMÁTICA


Cuando una carga q se encuentra en presencia de N cargas puntuales, la energía

potencial total se calcula a partir de la sumatoria:

𝑈 = ∑𝐾 𝑞 𝑞𝑖

𝑟𝑖

𝑁

𝑖=1

ELECTROCINETICA

CORRIENTE ELÉCTRICA

Cuando sobre un conductor se aplica un campo eléctrico, las cargas experimentan una fuerza

y por tanto están en movimiento. La corriente eléctrica es el flujo de estas cargas en

movimiento a través del conductor.

La intensidad de corriente eléctrica I se define como la cantidad de carga eléctrica Q

(medida en Culombios) que atraviesa una sección de un conductor en cada unidad de tiempo.

Es una magnitud escalar:

𝐼 =𝑄

∆𝑡

La unidad de corriente eléctrica en el Sistema Internacional es el Ampere (A).

La carga eléctrica que está en movimiento en el conductor bajo la acción del campo

eléctrico son los electrones libres. Estos electrones, experimentan una fuerza dada por la

ecuación:

�⃗� = 𝑞 �⃗⃗�

El vector fuerza que actúa sobre los electrones tiene sentido contrario al del vector

campo eléctrico. Sin embargo, históricamente se creía que la corriente eléctrica estaba

producida por el movimiento de las cargas positivas, y por ello se adoptó como sentido de la

corriente eléctrica el contrario al que en realidad llevan los electrones. Esta convención sigue

manteniéndose en nuestros días.

FÍSICA MATEMÁTICA


Los electrones (portadores de carga), tienen en la red cristalina un movimiento aleatorio. Sin

embargo, debido al campo eléctrico externo, su movimiento no es completamente aleatorio

sino que se desplazan también en la dirección del campo eléctrico y sentido contrario. La

velocidad a la que lo hacen se denomina velocidad de desplazamiento vd. Esta velocidad de

desplazamiento es muy pequeña, del orden de 1 mm/s.

Se puede demostrar que, si por el hilo conductor circulan n cargas q por unidad de volumen,

la intensidad de corriente viene dada por:

𝐼 = 𝑞 𝑛 𝑣𝑑 𝐴

Los metales pueden conducir la corriente. Cuando se conecta una pila entre las 2 puntas

de un cable, la pila obliga a estos electrones a moverse. La pila provoca la aparición de la

corriente eléctrica.

EJEMPLOS

- Se tienen dos cargas puntuales: q1 = 5 nC en el punto de coordenadas (a;a) y

q2 = - 5 nC en el punto de coordenadas (-a; -a) (en metros).

a. Hacer un esquema de las cargas y dibujar el vector campo eléctrico en los puntos de

coordenadas (-a;a) y (a;-a).

b. Sabiendo que en el punto (-a;a) una carga q0 = 4 nC experimenta una fuerza dada

por F = - 5 x 10-9 i - 5 x 10-9 j (N), determinar el valor de a.

c. Calcular el potencial creado por q1 y q2 en los puntos (0;0) y (a;0), tomando como valor

de a el calculado en el apartado anterior.

CIRCUITOS ELÉCTRICOS. LEY DE OHM

Supongamos un filamento de un material conductor. Al aplicar entre sus extremos una

diferencia de potencial ∆V circula por él una corriente eléctrica de intensidad I (carga que

atraviesa el filamento por unidad de tiempo).

FÍSICA MATEMÁTICA


Cuando dicho material es un metal, y en otros muchos casos, se observa que la

diferencia de potencial ∆V que se debe aplicar para que circule una intensidad I es

proporcional a dicha intensidad; es decir,

ΔV = RI

La constante de proporcionalidad R se denomina resistencia, y depende del material y

de la forma del conductor pero no de la intensidad. Esta ley es la famosa ley de Ohm, básica

en el análisis de circuitos. Se ha de tener presente que dicha ley no tiene una validez universal,

ya que no vale, por ejemplo, para semiconductores, ni para los canales de sodio o de potasio

en las membranas celulares. En estos últimos casos, la resistencia depende de la diferencia

de potencial.

La resistencia R, es la mayor o menor dificultad que opone un conductor al paso de la

corriente eléctrica.

La resistencia de un conductor depende de las características del material, es decir, de

su resistividad, así como de la longitud y la sección del conductor.

En un hilo metálico de área transversal A y longitud l, la resistencia viene dada por la

expresión

𝑅 =𝜌 𝑙

𝐴

donde R es la resistencia y su unidad es el ohmio (Ω), ρ es la resistividad del material y

se mide en Ω/m, l la longitud del hilo conductor (m) y A la sección del hilo conductor (m2).

La resistividad ρ es característica del material y de la temperatura. En el estudio de las

disoluciones electrolíticas es más usual la conductividad σ, que es la inversa de la resistividad,

y que depende de la viscosidad del disolvente, de la temperatura y del tipo de iones del

electrólito. Así, tendremos

𝑅 =𝑙

𝜎 𝐴 𝜎 =

1

𝜌

Se acostumbra a utilizar también, en lugar de la resistencia, su inversa, que recibe el

nombre de conductancia.

Ejemplo

Cuando se introducen en una disolución de KCl dos láminas de 5 cm2 de área,

separadas 2,5 cm, y se establece entre ellas una diferencia de potencial de 50 V, circula una

corriente de 1,2 mA. Calcular la conductividad del electrolito.

FÍSICA MATEMÁTICA


En el caso que consideramos, la ley de Ohm permite calcular R y con ello la

conductividad:

𝜎 =𝑙

𝑅 𝐴 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑅 =

𝑉

𝐼 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎

𝜎 =𝐼 𝑙

𝑉 𝐴

En nuestro caso reemplazando queda:

σ = 1, 2 x 10-3 1/Ωm

La medida de la conductividad, de gran interés experimental, se ve frecuentemente

complicada por efectos eléctricos o químicos en las placas.

Símbolos eléctricos

Cuando dibujamos planos eléctricos, para representar los diferentes elementos que

componen nuestro circuito no usamos un dibujo realista del él -esto sería lento y costoso-; en

su lugar empleamos una seria de símbolos que ayudan a que el plano se realice de forma

más rápida y además evita que los dibujos se malinterpreten independientemente de dónde

se lea el plano.

Usaremos los siguientes símbolos:

Generadores

Generador

símbolo

general

Se usa cuando no se sabe qué tipo de

corriente alimenta el circuito.

Generador

corriente

alterna

Se usa cuando la corriente en el circuito es

alterna.

Generador

corriente

continua

Se usa cuando la corriente en el circuito es

continua sin especificar el tipo de fuente.

Pila

La alimentación es una pila.

Batería

La alimentación es una batería.

Receptores

Bombilla/lámpara

Bombilla. Un número a su lado

indica el valor de la resistencia.

Motor

Motor eléctrico de corriente

continua.

FÍSICA MATEMÁTICA


Resistencia

Puede ser una resistencia o un

receptor cualquiera.

Resistencia (2)

Otra forma de representar la

resistencia.

Diodo LED

No es un elemento eléctrico sino

electrónico. Es similar a una

bombilla de color.

Elementos de

maniobra

Interruptor

Permite cerrar o abrir el paso de la

corriente en el circuito.

Conmutador

Permite dirigir el paso de la

corriente entre dos ramas

diferentes de un circuito.

Pulsador NA

(Normalmente Abierto) permite

cerrar el circuito mientras se

mantiene pulsado.

Pulsador NC

(Normalmente Cerrado) permite

abrir el circuito mientras se

mantiene pulsado.

Circuitos en serie

En un circuito en serie los receptores están instalados uno a continuación de otro en la línea

eléctrica, de tal forma que la corriente que atraviesa el primero de ellos será la misma que la

que atraviesa el último. Para instalar un nuevo elemento en serie en un circuito tendremos

que cortar el cable y cada uno de los terminales generados conectarlos al receptor.

Circuito en paralelo

En un circuito en paralelo cada receptor conectado a la fuente de alimentación lo está de

forma independiente al resto; cada uno tiene su propia línea, aunque haya parte de esa línea

FÍSICA MATEMÁTICA


que sea común a todos. Para conectar un nuevo receptor en paralelo, añadiremos una nueva

línea conectada a los terminales de las líneas que ya hay en el circuito.

Caída de tensión en un receptor

Aparece un concepto nuevo ligado a la tensión. Cuando tenemos más de un receptor

conectado en serie en un circuito, si medimos los voltios en los extremos de cada uno de los

receptores podemos ver que la medida no es la misma si aquellos tienen resistencias

diferentes. La medida de los voltios en los extremos de cada receptor la llamamos caída de

tensión.

La corriente en los circuitos serie y paralelo

Una manera muy rápida de distinguir un circuito en serie, de otro en paralelo consiste en

imaginar la circulación de los electrones a través de uno de los receptores: si para regresen a

la pila atravesando el receptor, los electrones tienen que atravesar otro receptor, el circuito

está en serie; si los electrones llegan atravesando sólo el receptor seleccionado, el circuito

está en paralelo

Características de los circuitos serie y paralelo

Serie Paralelo

Resistencia Aumenta al incorporar receptores Disminuye al incorporar

receptores

FÍSICA MATEMÁTICA


Caída de

tensión

Cada receptor tiene la suya, que

aumenta con su resistencia.

La suma de todas las caídas es

igual a la tensión de la pila.

Es la misma para cada uno de

los receptores, e igual a la de la

fuente.

Intensidad

Es la misma en todos los receptores

e igual a la general en el circuito.

Cuantos más receptores, menor

será la corriente que circule.

Cada receptor es atravesado

por una corriente independiente,

menor cuanto mayor

resistencia.

La intensidad total es la suma

de las intensidades individuales.

Será, pues, mayor cuanto más

receptores tengamos en el

circuito.

Cálculos

Ejemplo 1:

En el circuito de la figura sabemos que la pila es de 4,5 V, y las lámparas tienen una resistencia de R1= 60 Ω y R2= 30 Ω. Se pide:

1. Dibujar el esquema del circuito; 2. calcular la resistencia total o equivalente del circuito, la intensidad de corriente que

circulará por él cuando se cierre el interruptor y las caídas de tensión en cada una de las bombillas.

FÍSICA MATEMÁTICA


Efectos fisiológicos de la corriente eléctrica

Para que la electricidad produzca algún efecto en el organismo, este debe entrar a formar

parte de un circuito eléctrico. Para que circule una corriente eléctrica tienen que existir cuando

menos dos conexiones entre el cuerpo y una fuente de tensión externa. La magnitud de la

corriente depende de la diferencia de potencial entre las conexiones y la resistencia eléctrica

del cuerpo. La mayor parte de los tejidos del cuerpo contienen un elevado porcentaje de agua;

en consecuencia resulta un aceptablemente buen conductor eléctrico. La parte del organismo

que se sitúe entre los dos puntos de contacto eléctrico constituye un conductor volumétrico

no homogéneo, en el cual la distribución del flujo de corriente viene determinada por la

conductividad local del tejido. Cuando la corriente es aplicada al tejido vivo, a través de un par

de electrodos, la distribución espacial de esta es virtualmente desconocida, a causa de las

diferentes resistividades de los tejidos y fluidos y de sus arreglos particulares. No existe un

método simple para realizar mediciones exactas de distribución de la densidad de corriente

en tejido anisotrópico. Los tejidos vivos poseen diferentes propiedades eléctricas en

direcciones diferentes; por lo que, una exacta especificación de la distribución local de

corriente, se necesita del conocimiento de la resistividad y gradiente de voltaje a lo largo de

los tres ejes. La medición práctica de estas cantidades es una tarea formidable, nada fácil, no

obstante puede hacerse una estimación basada en la resistividad de varios tejidos y fluidos.

Por otra parte muchas muestras biológicas, reportadas en la literatura, se han medido sin

tener en cuenta suficientemente, los errores debido a la polarización de los electrodos.

Debemos apuntar además que el tejido sin vida presenta una resistividad menor que el tejido

vivo.

La Tabla lista algunos valores representativos de resistividad.

Sustancia Resistividad [ Ω/ cm ]

Plasma 63

Fluido de la espina cerebral 65

Pulmón 1275

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Riñón 370

Cerebro 580

Grasa 2500

Valores representativos de resistividad. El efecto de la densidad de corriente sobre los

tejidos y fluidos no ha sido suficientemente investigado. La mayoría de los fluidos del cuerpo

no son simples electrolitos, si no, suspensiones de células y grandes moléculas. La magnitud

en la cual estos fluidos y sus componentes son afectados por la corriente, aún deben ser

investigados en mayor detalle y profundidad. Las corrientes de estimulación se emplean

durante el diagnóstico para comprobar el comportamiento de los músculos y los nervios. La

estimulación de corriente se usa principalmente para tratar enfermedades de músculos

esqueléticos, desorden del flujo sanguíneo y dolores de causas diversas. Algunas formas

especiales de tratamiento incluyen los electroshock usados en psiquiatría y la combinación de

corrientes de estimulación con ultrasonido. En el sentido más amplio, la terapia con

estimulación de corriente debe incluir los circuitos marcapasos y desfibriladores. Han sido

áreas de investigación en los últimos años la estimulación con frecuencia medias en nervios,

músculos lisos y el desarrollo de nuevas posibilidades de aplicación, como por ejemplo el

tratamiento de espasmos.

Terapia con estimulación de corriente

Tratamiento con corriente directa (galvanización). La corriente directa fluyendo a través del

cuerpo efectúa un cambio en el ordenamiento iónico. Los efectos básicos así producidos son:

Electrólisis. El cuerpo es un conductor de segundo orden. La corriente es iónica. Así la

migración de iónes es el efecto básico de la así llamada galvanización.

Electroforésis. Moléculas orgánicas no-disociadas, células individuales, bacterias, etc.

tienen cargas de frontera positiva y van hacia al cátodo (catodoforésis).

Electroósmosis. En sistemas que contienen cargas superficiales en que, las moléculas

asociadas están localmente fijas, puede ocurrir un corrimiento de fluido a través de las

membranas. Al conectar y desconectar la corriente esta debe cambiar de valor suavemente a

fin de evitar efectos de estimulación motores o sensoriales. Su magnitud dependerá de la

sensibilidad individual y también del área de contacto de los electrodos (50-200 µA/cm2). El

tratamiento con corriente directa tiene efectos sobre las fibras motoras, manifestándose en un

crecimiento de la excitabilidad a los estímulos exógenos y endógenos. El efecto ocurre en la

región del cátodo. Así mismo hay efecto sobre las fibras nerviosas sensoriales, reduciendo su

excitabilidad, particularmente en el mejoramiento del dolor. Este efecto ocurre en la región del

ánodo. El efecto en las fibras nerviosas vaso motoras es el principal campo de aplicación de

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la galvanización, consistente en un aumento del flujo de sangre a causa de la vaso dilatación.

Este efecto se manifiesta en las regiones superficiales y profundas (piel y músculos). Otra

aplicación demostrada es el transporte de drogas a regiones profundas a través de la piel

intacta. No obstante este método no es de uso generalizado debido a que establecer la

apropiada dosificación es un problema, por los efectos lógicos de una combinación de droga

más estímulo eléctrico ambos insuficientemente estudiados.

Ejercicios

1. Encontrar la resistencia total del siguiente circuito:

El voltaje de la resistencia R1 es:

por lo tanto la resistencia R2 tiene un voltaje de 6 V, como podemos ver:

también debemos considerar que la corriente en un circuito en serie, como lo es

esté, por lo que la corriente en la resistencia R1 es la misma que la de R2 y por tanto:

Por último la resistencia total de las resistencias del circuito son:

2. Encontrar el voltaje de la fuente del diagrama siguiente:

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Solución: De manera inmediata podemos determinar que por tratarse de un circuito serie

la intensidad de la corriente es la misma en todos sus elementos. Por otro lado conocemos el

valor de las resistencias, no así el de la pila del cual no será considerada en este ejercicio, y

por tanto podemos obtener directamente el voltaje total del las componentes.

V1 = I R1 = 500 mA 1 = 500 mV

V2 = I R2 = 500 mA 1 = 500 mV

V3 = I R3 = 500 mA 1 = 500 mV

entonces el voltaje total de la fuente es igual a:

3. Demostrar que para un circuito en paralelo de dos resistencias la resistencia total es igual

a:

Solución. Sabemos que para un circuito en paralelo la resistencia total es igual a:

si solo tenemos dos resistencias tendremos:

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la expresión demostrada es una expresión clásica para encontrar la relación entre dos

resistencias en paralelo, al menos es una expresión nemotécnica fácil de recordar.

4. Se tienen los siguientes datos para el circuito mostrado

a) Encontrar el voltaje de la fuente

b) Encontrar la corriente administrada por la fuente

a) El voltaje en cada una de las resistencias es igual al voltaje total, es decir el de la

fuente. Por lo tanto, podemos calcular el voltaje total calculando el voltaje en una de las

resistencias, en este caso, el que podemos calcular es el de la resistencia R1:

b) Para calcular la corriente de la fuente lo podemos hacer de dos formas:

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1er Método

Para el caso de las corrientes en las otras resistencias tendremos:

2º Método

Calculemos la resistencia total:

la corriente total es igual a:

Un potencial de acción, también llamado impulso eléctrico, es una onda de descarga

eléctrica que viaja a lo largo de la membrana celular modificando su distribución de carga

eléctrica. Los potenciales de acción se utilizan en el cuerpo para llevar información entre unos

tejidos y otros, lo que hace que sean una característica microscópica esencial para la vida de

los seres vivos. Pueden generarse por diversos tipos de células corporales, pero las más

activas en su uso son las células del sistema nervioso para enviar mensajes entre células

nerviosas (sinapsis) o desde células nerviosas a otros tejidos corporales, como el músculo o

las glándulas.

Muchas plantas también generan potenciales de acción que viajan a través

del floema para coordinar su actividad. La principal diferencia entre los potenciales de acción

de animales y plantas es que las plantas utilizan flujos de potasio y calcio mientras que los

animales utilizan potasio y sodio.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Impulso_el%C3%A9ctrico&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Despolarizaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Despolarizaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Membrana_plasm%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Potencial_de_membrana

http://es.wikipedia.org/wiki/Potencial_de_membrana

http://es.wikipedia.org/wiki/Tejido_(biolog%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_microsc%C3%B3pico

http://es.wikipedia.org/wiki/Vida

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_nervioso

http://es.wikipedia.org/wiki/Neurona

http://es.wikipedia.org/wiki/Neurona

http://es.wikipedia.org/wiki/Sinapsis

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%BAsculo

http://es.wikipedia.org/wiki/Gl%C3%A1ndula

http://es.wikipedia.org/wiki/Plantae

http://es.wikipedia.org/wiki/Floema

http://es.wikipedia.org/wiki/Potasio

http://es.wikipedia.org/wiki/Calcio

http://es.wikipedia.org/wiki/Sodio

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Los potenciales de acción son la vía fundamental de transmisión de códigosneurales.

Sus propiedades pueden frenar el tamaño de cuerpos en desarrollo y permitir el control y

coordinación centralizados de órganos y tejidos.

Modelo del circuito

A. Un circuito básico RC (resistencia/condensador) superpuesto sobre una membrana bicapa,

muestra la relación entre ambos. B. Se pueden utilizar circuitos más elaborados para

representar modelos de membranas con canales iónicos, como este ejemplo con canales de

sodio (azul) y potasio (verde).

http://es.wikipedia.org/wiki/Nervio

http://es.wikipedia.org/wiki/Desarrollo_(biolog%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93rgano_(biolog%C3%ADa)

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:RC_membrane_circuit.png

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Las membranas celulares con canales iónicos pueden representarse con un modelo de

circuito RC para entender mejor la propagación de potenciales de acción en membranas

biológicas. En estos circuitos, la resistencia representa los canales iónicos de membrana,

mientras que el condensador representa el aislamiento de la membrana lipídica. Los

potenciómetros indican los canales iónicos regulados por voltaje, ya que su valor cambia con

el voltaje. Una resistencia de valor fijo representa los canales de potasio que mantienen el

potencial de reposo. Los gradientes de sodio y potasio se indican en el modelo como fuentes

de voltaje (pila).

Propagación

En los axones amielínicos, los potenciales de acción se propagan como una interacción pasiva

entre la despolarización que se desplaza por la membrana y los canales de sodio regulados

por voltaje.

Los potenciales de acción de membrana pueden representarse uniendo varios circuitos RC,

cada uno representando un trozo de membrana.

Cuando una parte de la membrana celular se despolariza lo suficiente como para que

se abran los canales de sodio dependientes de voltaje, los iones de sodio entran en la célula

por difusión facilitada. Una vez dentro, los iones positivos de sodio impulsan los iones

próximos a lo largo del axón por repulsión electrostática, y atraen los iones negativos desde

la membrana adyacente.

Como resultado, una corriente positiva se desplaza a lo largo del axón, sin que ningún

ion se esté desplazando muy rápido. Una vez que la membrana adyacente está

suficientemente despolarizada, sus canales de sodio dependientes de voltaje se abren,

realimentando el ciclo. El proceso se repite a lo largo del axón, generándose un nuevo

potencial de acción en cada segmento de la membrana.

http://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_cient%C3%ADfico

http://es.wikipedia.org/wiki/Circuito_RC

http://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_el%C3%A9ctrica

http://es.wikipedia.org/wiki/Condensador_el%C3%A9ctrico

http://es.wikipedia.org/wiki/Bicapa_lip%C3%ADdica

http://es.wikipedia.org/wiki/Potenci%C3%B3metro

http://es.wikipedia.org/wiki/Gradiente_electroqu%C3%ADmico

http://es.wikipedia.org/wiki/Celda_galv%C3%A1nica

http://es.wikipedia.org/wiki/Ax%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_cargas

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:AP_propagation_membrane_model.png

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Velocidad de propagación

Los potenciales de acción se propagan más rápido en axones de mayor diámetro, si los demás

parámetros se mantienen. La principal razón para que ocurra es que la resistencia axial de la

luz del axón es menor cuanto mayor sea el diámetro, debido a la mayor relación

entre superficie total y superficie de membrana en un corte transversal. Como la superficie de

la membrana es el obstáculo principal para la propagación del potencial en axones

amielínicos, el incremento de esta tasa es una forma especialmente efectiva de incrementar

la velocidad de la transmisión.

Un ejemplo de un animal que utiliza el aumento de diámetro de axón como regulador de

la velocidad de propagación del potencial de membrana es el calamar gigante. El axón del

calamar gigante controla la contracción muscular asociada con la respuesta de

evasión de depredadores del animal. Este axón puede sobrepasar 1 mm de diámetro, y

posiblemente sea una adaptación para permitir una activación muy rápida del mecanismo de

escape. La velocidad de los impulsos nerviosos en estas fibras es una de las más rápidas de

la naturaleza, para los que poseen neuronas amielínicas.

http://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metro

http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Architeuthis

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ax%C3%B3n_del_calamar_gigante&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ax%C3%B3n_del_calamar_gigante&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Contracci%C3%B3n_muscular

http://es.wikipedia.org/wiki/Comportamiento_de_huida

http://es.wikipedia.org/wiki/Comportamiento_de_huida

http://es.wikipedia.org/wiki/Depredaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Mil%C3%ADmetro

http://es.wikipedia.org/wiki/Adaptaci%C3%B3n_biol%C3%B3gica

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BIBLIOGRAFÍA

Cromer, A. Física para las ciencias de la vida. 2º Ed. Reverte. 2007

Cussó F., López C., Villar R. Física de los procesos biológicos. Ariel. 2004

De Simone, I.; Turner, M. Matemática, Funciones y Probabilidades. A-Z. 2006

De Simone, I.; Turner, M. Matemática, Funciones y Estadística. A-Z. 2006

Gettys, W.; Keller, F.; Skove, M. Física Clásica y Moderna. MacGraw-Hill. 1991

Jou Mirabent, D.; Llebot Rabagliati, J.; Pérez García, C. Física para ciencias de la vida. 2º

Edición. McGraw-Hill. 2009

MacDonald- Burns. Física para las Ciencias de la Vida y de la Salud. Fondo Educativo

Interamericano. 1978.

Alvarenga- Maximo.- Fisica General. MacGraw-Hill

Lea – Burke-La naturaleza de la cosas. Ediciones Paraninfo. 2001.

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