Facultad de Ingeniería Mecánica Departamento de Ingeniería ...

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Facultad de Ingeniería Mecánica

Departamento de Ingeniería Mecánica

Tesis en opción al título de Ingeniero Mecánico

Título: Optimización de la resistencia a la fractura deengranajes cilíndricos de dientes rectos de material plástico

usando el software MatLab.

Autor: Frank Plasencia Martínez.

Tutor: Dr. Jorge L. Moya Rodríguez.

Santa Clara

Junio, 2013

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Santa Clara

Junio, 2013

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Santa Clara

Junio, 2013

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Resumen

Hoy en día ha ido creciendo cada vez más el uso de los materiales plásticos para

los engranajes. Los engranajes plásticos se han colocado como serias alternativas

a los engranajes tradicionales de metal en una gran variedad de usos. El uso de

los engranajes plásticos se ha expandido desde las aplicaciones de baja potencia

y transmisiones de movimiento de precisión hasta aplicaciones que cada vez

demandan más potencia. Los engranajes plásticos cuando son correctamente

diseñados ofrecen muchas ventajas comparados con los engranajes metálicos.

Tienen menos peso, una inercia más baja, y funcionan mucho más

silenciosamente que sus contrapartes metálicas. Los engranajes plásticos muchas

veces no requieren lubricación o a menudo la lubricación puede ser a través de

lubricantes internos dentro del propio material como es el caso del PTFE o la

silicona. Los engranajes plásticos tienen un menor costo que los metálicos y se

pueden diseñar con una geometría especial. Sin embargo hay poca información

disponible sobre el diseño de los engranajes plásticos. En el presente trabajo se

hace un análisis de los materiales, características, fallas principales, métodos de

cálculo, ejemplos de aplicación de los engranajes plásticos y la optimización de

estos.

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Abstract

Today the use of plastic materials for gearing has been growing up. Plastic gears

have positioned themselves as serious alternatives to traditional metal gears in a

wide variety of applications. The use of plastic gears has expanded from low

power, precision motion transmission into more demanding power transmission

applications. When properly designed plastic gears offer many advantages

compared to metal gears. They have less weight, lower inertia, and run much

quieter than their metal counterparts. Plastic gears often require no lubrication or

can be compounded with internal lubricants such as PTFE or silicone. Plastic

gears have a lower cost than metal gears, and can be designed with a special

geometry. Nevertheless there is little information available about plastic gear

design. At this work is made an analysis of the materials, characteristics, main

failures, calculations methods, examples of application of plastic gears and their

optimization.

4

Índice generalIntroducción............................................................................................................. 1

Capítulo 1: Generalidades de los engranajes plásticos. ...................................... 12

1.1 Marco teórico ............................................................................................... 12

1.2 Materiales .................................................................................................... 13

1.2.1 Termo-plásticos ..................................................................................... 13

1.2.2 Termo-estables...................................................................................... 13

1.3 Propiedades de los materiales termo-plásticos y termo-estables. ............... 15

1.3.1 Termo-plásticos ..................................................................................... 16

1.3.2 Termo-estables...................................................................................... 18

1.4 Refuerzos para engranajes.......................................................................... 20

1.5 Fallas en los engranajes plásticos ............................................................... 23

1.6 Geometría.................................................................................................... 26

1.7 Lubricación .................................................................................................. 30

Conclusiones parciales del capítulo 1................................................................ 32

Capítulo 2: Metodología de cálculo de los engranajes plásticos. .......................... 33

2.1 Temperatura de trabajo ............................................................................... 33

2.2-Cálculo de la distancia entre centros ........................................................... 34

2.3 Resistencia superficial de los engranajes .................................................... 36

2.4 Métodos de cálculo ..................................................................................... 44

2.5 Posible utilización de engranajes plásticos. ................................................. 51

2.6 Pasos para el diseño de los engranajes plásticos de dientes rectos ........... 52

2.7 Validación a través de una ejemplo de cálculo ............................................ 53

Conclusiones parciales del capítulo 2................................................................ 57

5

Capítulo 3: Optimización multicriterial de la resistencia de los engranajescilíndricos de dientes rectos de material plástico. ................................................. 58

3.1 Algoritmos genéticos.................................................................................... 59

3.2 Algoritmos Genéticos propuestos para resolver problemas de optimizaciónmultiobjetivo son ................................................................................................ 62

3.3 Optimización de los engranajes cilíndricos .................................................. 64

3.4 Lenguaje utilizado en el editor de MatLab ................................................... 65

3.5 Análisis de resultados .................................................................................. 71

Conclusiones......................................................................................................... 72

Recomendaciones ................................................................................................ 74

Bibliografía ............................................................................................................ 75

Anexos .................................................................................................................. 78

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IntroducciónPara los ingenieros mecánicos el uso de engranajes plásticos hoy en día es

insoslayable debido al bajo costo, el bajo peso, la reducción de ruido y otros

parámetros de vital importancia en las aplicaciones con engranajes.

Mientras existe mundialmente una gran experiencia en el diseño de engranajes

metálicos que data de cientos de años, los engranajes plásticos son tema de

estudio de los Ingenieros Mecánicos de hace solo unas pocas décadas. Producto

del desconocimiento cuando un engranaje plástico falla inmediatamente se tiende

a culpar a la pobre calidad de estos materiales siendo en realidad de los

proyectistas y constructores que realmente no dominan la teoría y práctica de los

engranajes plásticos. La primera intención de todo ingeniero es tratar de

reemplazar los materiales metálicos con materiales plásticos usando el mismo

diseño, pero lamentablemente esto no es posible, ya que existen enormes

diferencias entre las propiedades mecánicas, métodos de fabricación, geometría y

cálculo de los engranajes plásticos y los engranajes metálicos. De hecho existe

una mayor libertad en cuanto a forma y modificaciones del diente en los

engranajes plásticos.

Este proyecto de diploma de Ingeniería Mecánica surge con el objetivo de lograr

un mayor conocimiento de los engranajes cilíndricos de dientes rectos de material

plástico. En este se pretende profundizar en los materiales más utilizados para su

fabricación, así como las diversas fallas que se pueden encontrar en ellos, la

metodología de cálculos y métodos de optimización de estos. A partir de esto se

plantea la siguiente idea:

Idea: Optimización de la resistencia a la fractura de engranajes cilíndricos de

material plástico de dientes rectos.

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Objeto de la Investigación: El Objeto de esta Investigación lo constituyen los


Problema Científico: El problema Científico que se aborda en este trabajo

consiste en que no existe en la literatura suficiente información para el diseño de

engranajes plásticos ni están recopilados los diferentes métodos de cálculo de los

mismos, así como métodos de optimización.

Con base en la revisión bibliográfica, el objeto de la misma y el problema científico

se plantea la siguiente hipótesis:Hipótesis:“Es posible agrupar en una metodología las diferentes expresiones de cálculo de

los engranajes plásticos que existen en la literatura para posteriormente

desarrollar una metodología automatizada de cálculo de estos engranajes que

facilite la optimización de ellos con el software necesario”.

Objetivo general: Desarrollar un método de optimización multiobjetivo a través de

algoritmos genéticos para el diseño de engranajes plásticos cilíndricos de dientes

rectos que recopile la información y los criterios dispersos que existen en la

literatura.

Objetivos específicos:

1. Hacer un análisis de las diferentes fallas de los engranajes cilíndricos de

dientes rectos de material plástico.

2. Recopilar la información disponible en la literatura sobre el cálculo de los


3. Incorporar el valor de la temperatura como criterio a tener en cuenta en el

diseño de los engranajes plásticos.

4. Establecer los pasos a seguir para el diseño de los engranajes plásticos

cilíndricos de dientes rectos.

5. Realizar un análisis de la optimización multiobjetivo aplicada a los

engranajes cilíndricos de dientes rectos de material plástico.

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Justificación de la investigación: Esta investigación es de suma importancia ya

que en la actualidad una de las principales metas es la obtención de productos

con los menores gastos posibles y en etapas de tiempo rápidas, por lo que al

tener un lenguaje de optimización se pueden llegar a respuestas óptimas en

cortas etapas de tiempo.

Viabilidad:

El presente trabajo se desarrolla en el laboratorio Triunfo de la Facultad de

Ingeniería Mecánica de la Universidad Central “Marta Abreu” de las Villas,

y en la planta Centroplast de la INPUD de Villa Clara.

Se cuenta con la orientación de profesores y especialistas para desarrollar

la investigación.

Se dispone de la bibliografía necesaria para su desarrollo.

Tareas de Investigación:

Para alcanzar los objetivos anteriormente planeados, se acometieron lassiguientes tareas:

1. Realizar una descripción de los engranajes cilíndricos de dientes rectos de

material plástico.

2. Recopilar y organizar el conocimiento teórico y práctico sobre el diseño y

fabricación de engranajes plásticos, mediante el análisis del mayor número

posible de normas, revistas y textos.

3. Analizar las particularidades de la geometría del diente de los engranajes

plásticos

4. Analizar las particularidades de los materiales plásticos, sus características

y propiedades mecánicas más importantes.

5. Analizar las diferentes fallas de los engranajes plásticos.

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6. Realizar un análisis de los diferentes métodos de cálculo existentes.

7. Elaborar una metodología de cálculo.

8. Analizar las particularidades de la optimización multiobjetivo a través de

algoritmos genéticos, para posteriormente aplicarla a los engranajes

cilíndricos de dientes rectos de material plástico.

Métodos de Investigación empleados:Entre los métodos científicos empleados en esta investigación se pueden señalar

los siguientes:

Métodos generales: Se utilizó el método hipotético – deductivo al elaborar la

hipótesis y proponer nuevas líneas de trabajo a partir de los resultados parciales

de la revisión bibliográfica. Se empleó además el método sistémico para enmarcar

el tema de investigación en uno más amplio del Diseño Mecánico para aplicar

métodos computacionales de optimización y análisis y posteriormente

descomponerlo en subsistemas que al unirlos brindan una solución al problema

planteado.

Métodos lógicos: El método científico fundamental empleado en este proyecto es

el analítico-sintético. Mediante el análisis se evaluaron las expresiones para el

diseño geométrico de los engranajes plásticos así como las diferentes normas y

métodos de cálculo. Ello permitió descubrir las diferencias con los engranajes

metálicos y conocer los aspectos aun no investigados dentro de la geometría, la

resistencia y la fabricación de engranajes plásticos. El análisis permite también

establecer las comparaciones entre el comportamiento de los materiales plásticos,

termoestables y termoplásticos, las formas de falla de estos engranajes y los

diferentes métodos de fabricación. La síntesis permite integrar las partes

analizadas, lo que da como principal resultado el desarrollo de nuevas

expresiones de cálculo geométrico y de resistencia de estos engranajes.

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También se emplea el método inductivo-deductivo. Mediante el estudio de las

características funcionales de los engranajes metálicos, se pudo deducir

expresiones equivalentes para los engranajes plásticos.

Métodos empíricos: Se utilizó el método coloquial para la presentación y

discusión de los resultados en sesiones con el tutor y varios profesores del

departamento.

Aportes esperados de la investigación: Se recopilan expresiones existentes

para el diseño de los engranajes cilíndricos de dientes rectos de materiales

plásticos. Se tienen en cuenta en estas expresiones aspectos tan importantes

como las diferentes normas de cálculo para transmisiones por engranajes

plásticos. Entre otras la investigación reportará las siguientes ventajas:

Ahorro de materiales y posible sustitución de engranajes metálicos por


Mayor rapidez en la elaboración de los diseños.

Mayor durabilidad de los engranajes plásticos diseñados por la metodología

elaborada.

Superior calidad técnica de las soluciones, dada por la realización de cálculos y

comprobaciones que en la práctica no se realizan o cuando se realizan se hacen

sin el uso de técnicas precisas.

Aplicación de programas informáticos para la obtención de soluciones óptimas.

Novedad científica del trabajo.

El autor defiende como novedades científicas de la investigación las siguientes:

Un método de cálculo de resistencia al contacto para engranajes cilíndricos de

dientes rectos de material plástico. La influencia de la temperatura en el diseño de

los engranajes plásticos cilíndricos de dientes rectos.

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Un método de optimización multiobjetivo utilizando algoritmos genéticos.

El valor práctico del trabajo se deriva de la automatización del diseño y la

optimización de los engranajes cilíndricos de dientes rectos de material plástico.

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Capítulo 1: Generalidades de los engranajes plásticos.

1.1 Marco teóricoMundialmente los engranajes más utilizados y de los que existe una vasta

experiencia son los metálicos, pero en los últimos años ha existido una

proliferación de los engranajes plásticos y esto viene dado esencialmente a su

bajo costo y a las mejoras de las propiedades mecánicas que con el decursar de

los años de estudio se han logrado. En la actualidad no existe una base sólida

sobre los engranajes plásticos, por lo cual es tema de estudio para los ingenieros

de hoy en día, pero sin duda alguna estos presentan una serie de beneficios

sobre los metálicos que no se deben dejar pasar como son el bajo peso e inercia

de estos, la reducción de ruidos, la no necesidad de lubricación y otros

parámetros de vital importancia en las aplicaciones con engranajes, sin embargo

poseen desventajas entre las que se pueden destacar la ineficiencia a elevadas

temperaturas y la intolerancia a agentes químicos en el ambiente.

En la literatura que se puede encontrar sobre este tema existen algunas lagunas

en cuanto a las fallas de estos engranajes, los métodos de cálculo a resistencia y

sobre los posibles materiales con sus propiedades mecánicas que se pueden

utilizar en su elaboración. Debido a esto en la actualidad cuando un engranaje

plástico tiende a fallar siempre se culpa a la baja calidad de los materiales y nunca

se tiene en cuenta a los proyectistas y constructores de estos que realmente no

dominan la teoría y práctica de los engranajes plásticos.

Un error que cometen los ingenieros a la hora de la elaboración de estos tipos de

engranajes es que tratan de remplazar los metálicos con materiales plásticos

utilizando el mismo diseño, lo cual no es posible debido a que existen diversas

diferencias entre las propiedades mecánicas, métodos de fabricación, geometría y

cálculo de los engranajes plásticos y los metálicos.

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Estos engranajes son usados fundamentalmente en mecanismos de precisión

donde se transmite una baja potencia, sin embrago ya hoy en día se ha podido

llegar a potencias de alrededor de 50 Kw.

Para su elaboración existen dos métodos fundamentales que son a través de

inyección de plástico y a través del procesos de maquinado. Los obtenidos a partir

del primer proceso poseen la ventaja que pueden ser reforzados con fibra de

vidrio(esta posee varias características que aumentan la resistencia de estos

engranajes como son su resistencia a altas temperaturas, resistencia mecánica

[con una resistencia específica(tracción/densidad) superior a la del acero] y que

permanece inerte ante los ácidos además del bajo costo de sus materias primas),

y agregarles algunos adhesivos anti-fricción, aparte de poseer superficies más

duras y más lisas, la única diferencia es que a partir del procesos de maquinado

se pueden obtener mayores dimensiones.

1.2 MaterialesActualmente podemos encontrar una diversidad de materiales para el diseño de

engranajes plásticos, sin embargo los podemos agrupar solamente en dos grupos

que son los: termo-plásticos y los termo-estables [1].

1.2.1 Termo-plásticosEs un plástico que, a temperatura ambiente, es plástico o deformable, se convierte

en un líquido cuando se calienta y se endurece en un estado vítreo cuando se

enfría lo suficiente. La mayoría de los termoplásticos son polímeros de alto peso

molecular, los que poseen cadenas asociadas por medio de débiles fuerzas Van

der Waals (polietileno); fuertes interacciones dipolo-dipolo y un enlace de

hidrógeno, o incluso anillos aromáticos apilados (poliestireno).

1.2.2 Termo-establesLos plásticos termoestables son materiales que una vez que han sufrido el

proceso de calentamiento-fusión y formación-solidificación, se convierten en

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materiales rígidos que no vuelven a fundirse. Generalmente para su obtención se

parte de un aldehído.

Esta clasificación depende esencialmente de las cadenas de polímeros, si la

cadena permanece lineal y separada después del moldeo estamos en presencia

de un termo-plástico, y si la cadena se convierte en una cadena tridimensional

reticulada estamos en presencia de un termo-estable. Además los polímeros

termoplásticos difieren de los polímeros termoestables en que después de

calentarse y moldearse éstos pueden recalentarse y formar otros objetos, ya que

en el caso de los termoestables o termo-duros, su forma después de enfriarse no

cambia y este prefiere incendiarse. La siguiente tabla (tabla 1) presenta los

materiales, tanto termo-plásticos como termo-estables más comúnmente usados.

zim://A/A/Aldeh%C3%ADdo.html

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Tabla 1. Materiales termo-plásticos y termo-estables más utilizados en los

engranajes plásticos

1.3 Propiedades de los materiales termo-plásticos y termo-establesPara la ingeniería a es de vital importancia conocer las propiedades de los

materiales que se van a utilizar en el diseño de engranajes, ya que a partir de

estas propiedades se puede saber en que aplicaciones se van a utilizar, a

MATERIALES

TERMO-PLÁSTICOS TERMO-ESTABLES

ABS(Acrylonitrile-butadiene-styrene) Alquídicos

Acetal Alilos

Acrílico Amino (urea y melamina)

Celulósicos Resinas epóxicas

Fluoroplásticos Resinas fenólicas

Nylon Poliéster

Poliamidas Poliuretano

Policarbonato --

Poliéster --

Poliestireno --

Poliuretano --

Cloruro de polivinilo (PVC) --

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continuación se muestran las propiedades de los materiales más usados en el

diseño de engranajes plásticos:

1.3.1 Termo-plásticosABS: este material es muy tenaz, pero es duro y rígido; en cuanto a su

resistencia química esta es aceptable; posee baja absorción de agua por lo tanto

buena estabilidad dimensional; alta resistencia a la abrasión y puede ser

recubierto con una capa metálica con facilidad.

Acetal: es un plástico rígido usado en ingeniería con estabilidad dimensional

excepcional, posee poca absorción de agua, además de ser resistente

químicamente, tiene como desventaja su baja resistencia al impacto.

Acrílico: se compone de un polímero, es un termo-plástico brillante y resistente

de 10 a 20 veces más que el vidrio y con la mitad del peso en relación a este.

Posee una excelente resistencia a la intemperie en exteriores, su resistencia

química es aceptable y tiene una alta claridad óptica.

Celulósicos: familia de materiales tenaces y duros, los márgenes de las

propiedades son amplios debido a las composiciones; disponible con diversos

grados de resistencia a la intemperie, humedad y productos químicos; la

estabilidad dimensional es de aceptable a mala; posee colores brillantes.

Fluoroplásticos: compuestos por una gran familia dentro de los que podemos

mencionar a PTFE, FEP. PFA, CTFE, ECTFE, ETFE y PVDF. Estos son

caracterizados por una buena resistencia eléctrica y química y estabilidad

sobresaliente a altas temperaturas.

Nylon: es un polímero sintético que pertenece al grupo de las poliamidas. Poseen

buena resistencia a la tracción además de un bajo coeficiente de fricción, su

resistencia química es buena. Al nylon se le puede agregar fibra de vidrio para

http://www.monografias.com/trabajos14/historiaingenieria/historiaingenieria.shtml

http://www.monografias.com/trabajos5/fami/fami.shtml

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aumentar su rigidez, en la tabla 3 se muestra un ejemplo con un 25% de fibra de

vidrio de como varían las propiedades de este.

Poliamidas: se caracterizan por su óptima propiedad mecánica, resistencia al

desgaste, bajo coeficiente de fricción, puntos de fusión elevada, buena resistencia

al impacto y alta resistencia a la fatiga, además tienen gran resistencia al calor

(500ºF continuos, 900ºF intermitente) y al envejecimiento por el calor.

Policarbonato: tiene la más alta resistencia al impacto de los materiales

transparentes rígidos; estabilidad en exteriores y resistencia a la deformación

plástica bajo carga excelentes; su resistencia a los productos químicos es

aceptable, su resistencia a la compresión es superior a los 80 Mpa.

Poliéster: buena estabilidad dimensional, no es adecuado para uso en exteriores

o en instalaciones para agua caliente. Para darle mayor resistencia mecánica

suelen ir reforzados con cortante, también llamado endurecedor o catalizador.

Poliestireno: tiene relativamente poca resistencia a la temperatura, ya que

reblandece entre 85 y 105 °C (el valor exacto depende del contenido en aceite

mineral), tiene muy baja conductividad eléctrica (típicamente de 10-16 S m-1). Las

ventajas fundamentales son su facilidad de uso y su costo relativamente bajo.

Poliuretano: es un material tenaz, de extrema resistencia a la abrasión, al

impacto, al desgaste y a las bajas temperaturas. Además tiene alta resistencia a

grasas, aceites, oxígeno y ozono.

Cloruro de polivinilo (PVC): en la industria existen dos tipos, los rígidos y los

flexibles. Tiene una elevada resistencia a la abrasión, junto con una baja densidad

(1,4 g/cm3), buena resistencia mecánica y al impacto.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cortante&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Conductividad_el%C3%A9ctrica

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1.3.2 Termo-estables

Alquídicos: propiedades eléctricas y resistencia al calor excelentes; más fáciles y

rápidos de moldear que la mayoría de los termoestables; no son productos

volátiles.

Alilos: estabilidad dimensional y propiedades eléctricas sobresalientes; fáciles de

moldear, excelente resistencia a la humedad y a los productos químicos a

temperaturas altas.

Amino (urea y melamina): posee buena resistencia a la abrasión y a los

disolventes; en el caso de la urea se moldea con mayor rapidez y cuesta menos

que la melamina; la melamina tiene una superficie más dura y una alta resistencia

al calor y a los productos químicos.

Resinas epóxicas: una de las principales ventajas es que dependiendo del peso

molecular pueden tener muchas aplicaciones. Sus principales propiedades son su

buen aislamiento eléctrico, buena resistencia mecánica, a la humedad y además

de resistir temperaturas elevadas tienen poca contracción al ser curadas lo que

las hace superiores en propiedades a los demás materiales.

Resinas fenólicas: poseen un buen equilibrio entre sus propiedades. Su

resistencia a la tracción está dada entre 2.5 y 8.4 Kg/mm2 . Pueden resistir

temperaturas desde 116 ° C hasta 175 ° C y generalmente son de color oscuro.

Poliéster: es muy resistente a la humedad, a los productos químicos y a las

fuerzas mecánicas. No libera volátiles durante el curado, pero la contracción en el

moldeo es alta, puede ser además de poliéster termo-estable poliéster termo-

plástico.

Poliuretano: posee un coeficiente de transmisión de calor muy bajo, tienen una

alta resistencia a la absorción de agua y adecuado para piezas grandes hechas

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de espuma, ya sea en tipos rígidos o flexibles, al igual que el poliéster puede ser

termo-plástico o termo-estable.

En la siguiente tabla (tabla 2) se muestran las propiedades físicas de varios

plásticos utilizados en la elaboración de engranajes de este tipo.

Tabla 2. Propiedades físicas de materiales plásticos usados en la confección

de engranajes [5]

Material Fuerza detensión

(psix103)

Fuerza deflexión

(psix103)

Módulo decompresión

(psix103)

Absorciónde agua (%en 24 hrs)

DurezaRockwell

Acetal 8.8-1.0 13-14 410 0.25 M94

R120

ABS 4.5-8.5 5-13.5 120-200 0.2-0.5 R80-120

Nylon 6/6 11.2-13.1 14.6 400 1.3 R118-123

Nylon 6/10 7 – 8.5 10.5 400 0.4 R111M70

Policarbonato 8 – 9.5 11 – 13 350 0.15 R112

Poliestireno

de alto

impacto

1.9 – 4 5.5 – 12.5 300 – 500 0.05 – 0.10 M25 – 69M29

Poliuretano 4.5 – 8 7.1 85 0.60 – 0.80 R90

Polivinilo

Cloruro 6 – 9 8 – 15 300 – 400 0.07 – 0.40 R100 –120M69

Polysulfone 10.2 15.4 370 0.22 R120

MoS2- relleno

con Nylon

10.2 10 350 0.4 D785

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En la actualidad también tiene una gran aplicación las resinas Alphatic polyketone

(PK), este polímero ofrece un balance único de cualidades mecánicas,

tribológicas-químicas y de moldeabilidad. Algo que podemos destacar es que los

materiales termoestables pueden ser utilizados a mayores temperaturas de

operación, pero sin embargo los termoplásticos tienen un mejor comportamiento a

la fatiga. Actualmente se está utilizando la inclusión de fibra de vidrio para

aumentar la dureza de estos engranajes ya que esta posee una resistencia

mecánica, con una resistencia específica (tracción/densidad) superior a la del

acero, además de su bajo coeficiente de dilatación y su bajo costo en el mercado.

Tabla 3. Propiedades del Nylon con un 25% de fibra de vidrio [2]

Temperatura de uso 40 a 170 °C

Tensión de rotura 100 a 160 Mpa

Elongación 3 a 4%

Resistencia a la flexión 130 a 230 Mpa

Dureza Brinell 112 a 122

Coeficiente de expansión térmica 3,5x10-5 °C

Resistencia al impacto 170 J/m

Absorción de agua en aire húmedo 2,2 a 2,7%

1.4 Refuerzos para engranajesEn la actualidad a la hora de confeccionar un engranaje se utilizan diversas fibras

para aumentar sus propiedades, estas fibras son conocidas como refuerzos que

aumentan en cierto grado las propiedades mecánicas a las cuales son sometidos

los engranajes. Entre los refuerzos más populares en la actualidad encontramos

los refuerzos a base de fibras de vidrio, las fibras de carbono y el aramid. Ellas

21

también constituyen formas para atenuar las fallas que estos engranajes

presentan.

Los refuerzos de fibra de vidrio y de carbono le proporcionan a los engranajes una

gran resistencia a las fuerzas y tensiones mecánicas, reduciendo

considerablemente el factor de carga. En el caso de la fibra de vidrio esta posee

características especiales, que la sitúan en una de las más utilizadas debido a su

bajo costo y a que poseen buenas propiedades mecánicas, además de soportar

elevadas temperaturas lo cual es muy importante en el diseño de los engranajes

de este tipo. Con solo la inclusión de fibras disminuye considerablemente el factor

de desgaste de la mayoría de los sistemas a base de resinas, y con la

combinación de PTFE y estos refuerzos de fibra se produce una reducción

extensa de este factor. Por situar un ejemplo podemos decir que para el Nylon 6/6

lubricado con un 15% PTFE y reforzado con fibras típicas (30% de fibra de vidrio

y carbono, y 10% para el aramid) los factores de desgaste se reducen a menos

de 20. Cabe destacar que estas fibras también en ocasiones poseen desventajas

dejándose ver que las de vidrio y carbono inducen una contracción anisotrópica en

el molde, lo que en ocasiones puede provocar que los engranajes producidos no

tengan buena precisión [4]. La siguiente tabla (tabla 4) muestra una comparación

de las propiedades para el Nylon 6/6 utilizando diferentes fibras de refuerzos.

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Tabla 4. Comparación de las propiedades del Nylon 6/6 reforzado con

diferentes fibras [4]

Unidades Sinreforzamient

o

10%vidrio

10%carbono

10%aramid

Reducción % flujo 1.5/1.8 0.6/1.1 0.6/1.1 0.8/1.1

Tensión decontacto

psi 12500 14000 20000 13500

Fuerza deflexión

psi 410000 650000 1000000 520000

Coeficiente de

fricción

Estático/dinámico

0.22/0.28 0.21/0.2

8

0.18/0.2

4

0.23/0.25

Factor dedesgaste

Pulg5-min/pie-lb-hr

200 80 65 30

En la actualidad se viene trabajando en el empleo de fibras largas para lograr una

sustitución de los engranajes de metal, para tener una idea, una comparación de

las propiedades del uso de las fibras de vidrio largas y cortas para el Nylon 6/6

con un 40% de fibras de vidrio y 10% de PTFE revela mejoras significativas en

los esfuerzos de flexión e impacto para el refuerzo de fibra larga. En este caso el

régimen de desgaste no aumenta drásticamente ya que el número de extremos de

fibra se reduce.

En la siguiente tabla (tabla 5) se muestran las propiedades mecánicas de algunos

plásticos utilizados en ingeniería comparados con algunos metales.

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Tabla 5. Propiedades mecánicas de algunos materiales usados en ingeniería.

Propiedades Unidades Material

Nylon Torlon Bronce Acero AluminioDensidad g/cm3 1.15 1,41 8,8 7,84 2,7

Resistencia ala Tracción

MPa 83 124 152 248 207

Módulo deelasticidad

MPa 2,75*103 4,13*103

1,1*105 2*105 2,9*104

Resistenciarelativa al

peso

Acero=1 2,27 2,78 0,54 1 2,41

Coeficientede expansióntérmica lineal

mm/mm/ºK 100*10-6 28*10-6 20*10-6 12*10-6 24*10-6

1.5 Fallas en los engranajes plásticosLos engranajes plásticos también están expuestos a las fallas, entre las

principales fallas que pueden ocurrir en un engranaje de este tipo podemos

encontrar [2, 4]:

Desgaste adhesivo: ocurre producto de las soldaduras intermitentes de

pequeñas áreas de un diente en el otro diente conjugado, si ocurre a un nivel

microscópico el resultado es un desgaste pequeño y uniforme. En estos

engranajes tanto como en los metálicos si los materiales de los engranajes son

diferentes existe un mejor comportamiento al desgaste, en ocasiones es

conveniente poner a engranar una rueda metálica con una plástica. Además en el

caso particular que las dos ruedas sean plásticas es aconsejable que al menos

una de ellas contenga Politetrafluoroetileno (PTFE), lo cual ayuda a disminuir el

desgaste.

Desgaste abrasivo: tiene lugar cuando partículas de un engranaje o suciedades

entran dentro de las superficies de contacto, también puede ocurrir si uno de los

engranajes (el metálico, en caso de usarse) tiene una superficie más rugosa que

el otro, lo que ocurre es que las partículas de la superficie más dura penetran en

24

la superficie más blanda arrancando pedazos de material de la superficie, cuando

son diseñados no se debe trabajar para este tipo de desgaste sino buscar una

forma de evitarlo. En la figura 1 se muestra un desgaste en una rueda dentada

plástica.

Figura 1. Aguzamiento del diente debido al alto desgaste [4]

Picadura: esta es una falla superficial que ocurre cuando se excede el límite de

endurancia del material. Si las cargas son lo suficientemente altas y los ciclos de

tensiones se repiten frecuentemente se fatigan porciones de la superficie que

posteriormente se desprenden. La zona del polo recibe la mayor tensión y es la

más propensa a la picadura.

Flujo plástico: este se produce debido a las altas tensiones de contacto y la

acción de la rodadura y deslizamiento que se produce durante el engranamiento.

De hecho es una deformación de la superficie debido a la fluencia del material en

la superficie y sub-superficie. El flujo plástico inicial es en la dirección radial y

puede no ser destructivo ya que el mismo puede atenuarse, en casos más

severos el flujo será en la dirección axial.

Fractura: esta es la falla que más se puede encontrar en los engranajes plásticos

y es producto de las sobrecargas debido a los ciclos de tensiones aplicadas al

diente, los cuales sobrepasan los límites de endurancia del material. Ocurre

24




plástica.
















24




plástica.
















25

generalmente en el radio de redondeo de la raíz del diente y se propaga alrededor

de la base del mismo (figura 2).

Figura 2. Fractura del diente debido a la sobrecarga [4]

Fatiga por ciclo térmico o ablandamiento parcial o global del diente: ocurre

cuando se eleva considerablemente la temperatura y por tanto disminuye la

resistencia del material. Esta se produce como la deformación del diente en la

zona polar, perdiéndose el paso y en ocasiones doblando el diente. Este tipo de

falla ocurre debido a que las tensiones sobre el diente siempre resultan en una

especie de histéresis de calentamiento que incrementa considerablemente la

temperatura del material, ya que los plásticos son buenos aislantes (figura 3).

Figura 3. Deformación del diente debido al excesivo calor [4]

25












25












26

Los diferentes tipos de fallas pueden ser atenuadas mediante modificaciones

geométricas del diente, mayor precisión en los métodos de cálculo y un

mejoramiento en las propiedades del material, además de la utilización de

refuerzos como la fibra de vidrio o las de carbón, aunque existen firmas como la

Intech que plantean la importancia del diseño de engranajes plásticos con un

núcleo metálico, lo que trae como ventajas una mayor disipación de calor y una

sujeción del engranaje más segura al árbol ( figura 4).

Figura 4. Engranajes plásticos con núcleo de metal

1.6 GeometríaOtro aspecto a tener en cuenta a la hora de diseñar engranajes plásticos es su

geometría, ya que existen diversos tipos de geometría entre las que podemos

mencionar cilíndricos de dientes rectos exteriores, cilíndricos de dientes rectos

interiores, cónicos y tornillos sin fin. Estos engranajes poseen diversas

particularidades respecto a los metálicos, pero tradicionalmente el perfil del diente

utilizado es el evolvente con un ángulo de presión de 20 0, aunque podemos

señalar que la Plastic Gearing Technology, Inc. de Manchester [3, 4] ha

modificado los patrones de involuta en cuatro formas, entre las que podemos

27

encontrar la PGT 1 (figura 5) que es la que produce los dientes con la forma más

fuerte y se usa en aplicaciones donde se necesita una mayor potencia, y la PGT 4

que es el otro extremo, es decir la herramienta que se utiliza para accionamientos

de mecánica de precisión. En cuanto a la PGT 1 la ISO ha realizado una

modificación llamándola ISO R53 Modificada (figura 6), en esta se usa diferente

nomenclatura, la ISO usa el sistema métrico del módulo (m), mientras que en la

PGT 1 se utiliza el diametral Pitch (Pd).

Figura 5. PGT 1 [4]

28

Figura 6. ISO R53 Modificada [4]

También podemos encontrar la norma AGMA que por su parte establece además

de la tradicional AGMA PT, las cremalleras adicionales XPT-2, XPT-3 y XPT-4

siendo el uso de estas opcionales pues las mismas son experimentales. A

continuación se muestran los datos correspondientes a las diferentes cremalleras

tradicionales usadas por la norma AGMA e ISO para módulo unitario (tabla 6).

29

Tabla 6. Valores de los diferentes parámetros de las cremalleras AGMA e ISO

[2]

Parámetro AGMA PT ANSI/AGMA1003-G93 Paso

fino

ISO 53 (1974)Paso grueso

Ángulo del perfil 20 0 20 0 20 0

Paso circular 3.1416 3.1416 3.1416

Espesor deldiente

1.57080 1.57080 1.57080

Addendum 1.00000 1.00000 1.00000

Profundidad total 2.33000 2.20000 2.25000

Radio deredondeo

0.43032 .0.00000 0.30000

Deddendum 1.33000 1.20000 1.25000

Profundidad detrabajo

2.00000 2.00000 2.00000

Clarencia 0.33000 0.20000 0.25000

Form dedundum 1.04686 1.2 1.05261

Espacio entredientes

1.57080 1.57080 1.57080

En la geometría de los engranajes plásticos hay que tener en cuenta dos aspectos

esenciales que son el alivio de la punta (Tip relief) y el aumento del radio de

30

redondeo del pie del diente. El primero consiste en el afilamiento o estrechamiento

de la cabeza del diente y el segundo se debe a que los engranajes plásticos son

muy sensibles a las entallas y con un alto radio de redondeo se elimina el

socavado (figura 6).

Figura 7. Cremallera para producir alivio en la cabeza del diente, donde, Rac

es el radio de redondeo y ARac es la altura a la que se comienza a redondear

la cabeza de la cremallera [2]

1.7 Lubricación [2, 4, 5]Está demostrado que los engranajes trabajan mucho mejor lubricados que sin

lubricación. En el caso de los plásticos esta puede ser reducida y en ocasiones

eliminada, muchas veces la lubricación solo se tiene en cuenta dependiendo del

tipo de aplicación, pero siempre es recomendable que al menos en el montaje

este presente, muchos autores recomiendan una lubricación periódica de estos ya

que se puede mejorar la vida de ellos, además los engranajes plásticos son

inertes a los lubricantes comunes por lo cual trabajan sin dificultad en este medio.

31

De acuerdo a L.D. Martin [6]:

1. Todos los engranajes lubricados pueden tener una mayor efectividad y

un mayor servicio de vida útil.

2. Usualmente son recomendados los aceites de ligera viscosidad (SAE

10), los cuales incorporan aceites de silicona e hidrocarbono y en

algunos casos es aceptada el agua fría.

3. Bajo ciertas condiciones, los lubricantes secos, tales como el disulfuro

de molibdeno, se puede utilizar para reducir la fricción del diente.

Para los engranajes reforzados con fibra de vidrio u otro material es recomendable

usar baños de aceite como lubricación y para las aplicaciones donde no está

permitida el uso de grasas o lubricantes muchas veces se utilizan engranajes

auto- lubricados (aquí se le adiciona PTFE (politetrafluoroetileno), silicón o grafito).

En el caso del PTFE cuando el 20% de este es PES (politersulfone) el coeficiente

de fricción dinámica se reduce desde 0.37 hasta 0.11, y el factor de desgaste

disminuye desde 1500 hasta 32. Para tener una idea, un engranaje elaborado con

un material con un factor de desgaste por encima de 200 indica que posee una

relación de desgaste alta e inaceptable, lo que revela que este material es

inadecuado para la mayoría de las aplicaciones donde son usados los engranajes

de material plástico, por el contrario si el factor de desgaste es inferior a 200 el

material a utilizar es potencialmente viable para la confección de engranajes.

Es recomendable que una pareja de engranajes plásticos al menos uno contenga

PTFE, ya que así se previene la formación de la capa de arrastre o traslado, ya

que el PTFE actúa en los termoplásticos formando una película delgada de

lubricante entre los engranajes, lo que arroja como resultado una baja fricción

entre ellos, además de un bajo desgaste.

A la hora de diseñar un engranaje el diseñador es el que decide la presencia de

la lubricación o no, y el tipo de lubricante a utilizar. Por lo general los engranajes

plásticos no lubricados fallan debido al desgaste o al ablandamiento producto del

32

sobrecalentamiento del flanco del diente, pero a la hora de elegir el lubricante que

se va a utilizar en caso de que exista la lubricación se debe tener mucho cuidado

ya que este puede producir grandes cambios en las propiedades y dimensiones

del engranaje.

Conclusiones parciales del capítulo 1 La selección adecuada del material para el diseño de un engranaje plástico

es de suma importancia ya que de esta selección va a depender en gran

medida la resistencia de dicho engranaje.

Las fallas de los engranajes plásticos poseen un carácter similar a los de

los engranajes metálicos, aunque en el caso de los plásticos se debe tener

en cuenta la elevación de la temperatura, el ablandamiento, deformación

del material y la fractura del diente que es una de las fallas esenciales de

los engranajes plásticos.

La geometría de estos engranajes juega un papel determinante, ya que a

través de esta se pueden hacer diversas modificaciones que no siempre se

pueden realizar en los engranajes metálicos.

En cuanto a la lubricación la presencia de ella va a ser en dependencia del

diseñador pero es recomendable su utilización para un mayor servicio de

vida útil.

33

Capítulo 2: Metodología de cálculo de los engranajes plásticos.A la hora de realizar el cálculo de cualquier tipo de engranaje se debe tener en

cuenta primeramente la naturaleza del mismo, es decir, el mecanismo del

engranaje. Cada diente del engranaje es una viga en voladizo soportada en un

extremo; el contacto producido entre los dientes al entrar en movimiento el

engranaje intenta doblar la viga y trasquilarla del volumen del material. Por tanto

un material para engranajes necesita tener alta resistencia a la flexión y rigidez. La

parte más importante de un engranaje son los dientes ya que estos son los que

facilitan el movimiento o potencia según requiera la aplicación, sin estos el

engranaje simplemente sería una rueda con poca funcionalidad. Por ello a la hora

del cálculo de los engranajes hay que prestar vital atención a la carga que estos

dientes pueden soportar, porque de aquí depende en gran medida la vida útil que

estos van a poseer.

Para el cálculo de los engranajes plásticos cilíndricos de dientes rectos exteriores

existen diferentes métodos de cálculo los cuales son empleados para lograr

determinar ciertos requisitos en cuanto a potencia y velocidad. Entre estos

métodos podemos mencionar a Dvorak, Kelley, Faires y Moya, ellos nos

permiten evaluar la resistencia de estos engranajes y así lograr un mejor

funcionamiento de ellos. Ahora antes de seleccionar el método de cálculo a

emplear cabe destacar algunos aspectos que son necesarios en el diseño de los

engranajes plásticos entre los que podemos mencionar:

2.1 Temperatura de trabajoUno de los principales aspectos que hay que tener en cuenta y que es de suma

importancia es la determinación de la temperatura, ya que un incremento no

deseado de esta puede llevar a una falla del engranaje por flujo plástico o de

fatiga por ciclo térmico. Según estudios realizados en la escuela Politécnica de

Montreal [3] es posible predecir la máxima temperatura superficial de dos dientes

plásticos engranados por la expresión que se presenta a continuación:

http://www.monografias.com/trabajos5/volfi/volfi.shtml

34

accc

t TmVFCT 3210max ***

Dónde:

Tmax- temperatura máxima de la superficie en 0C.

Co, C1, C2 y C3 – coeficientes de regresión según tabla 7.

Ft- fuerza tangencial por unidad de longitud en N/mm.

V- velocidad lineal en el polo en m/s.

m- módulo en mm.

Ta- temperatura ambiente.

Tabla 7. Coeficientes de regression [4]

Material Co C1 C2 C3

Nylon 6-6 0.2354 0.755 0.42 0.502

Acetal 5.556x10-2 1.08 0.354 0.225

UHMWPE 1.985x10-4 1.76 0.831 0.687

2.2-Cálculo de la distancia entre centrosEn cuanto a la geometría un parámetro que hay que prever es el incremento de la

distancia entre centros para el buen funcionamiento de los engranajes debido a la

dilatación térmica. Esta distancia entre centros se puede determinar mediante la

expresión [2, 4]:

∆ = +2 + ( − 70) ∝ ∗ +∝ ∗+ −∝ + ∗ + ∗ ∗+ − + +2Dónde:

35

∆aw – Incremento requerido en la distancia entre centros en mm.

Tct – Tolerancia combinada total máxima del engranaje en mm (La

tolerancia total combinada es la suma de las tolerancias de los índices

comunes de precisión (precisión cinemática, suavidad de trabajo y contacto

entre los dientes)).

aw – Distancia entre centros sin tener en cuenta la temperatura en mm.

T – temperatura de operación en 0C.

α – Coeficiente de expansión térmica lineal en mm/mm 0C.

Z – Número de dientes.

M – Expansión debida a la absorción de humedad (tabla 8) en mm/mm.

RTI – Error de circularidad indicada en los cojinetes.

Tabla 8. Expansión debida a la absorción de humedad de determinadosmateriales [4]

Material M (mm/mm)

Acetal 0.0005

Nylon 6/6 0.0025

Nylon 6/6 + 30% de fibra de vidrio 0.0015

Policarbonato 0.0005

Si el material con el que se está trabajando no se encuentra en la tabla 8,

entonces se emplea el valor del policarbonato para materiales de baja humedad y

el valor del nylon 6/6 para materiales que absorben el agua.

36

2.3 Resistencia superficial de los engranajesLa resistencia superficial de los engranajes cilíndricos de dietes rectos de material

plástico se puede determinar mediante las derivadas de la ecuación de Hertz

aplicadas a este caso en particular, para ello utilizaremos diferentes expresiones

para lograr una comparación de resultados a través de ellas.

La primera ecuación a analizar es utilizada para el análisis por el método de

elementos finitos (MEF), esta parte de la teoría de Hertz, dicha expresión está

dada por [7]:

∗∗ ∗ ∗Dónde:

F –Fuerza de contacto en kgf.

Er –Módulo de reducción.

b –Ancho de la rueda en mm.

Rr –Radio de reducción en mm.

El módulo de reducción (Er) es determinado por la expresión:=Dónde:

µg/p –Coeficiente de Poisson (tabla 10).

Eg/p –Módulo de Young (tabla 9).

37

El radio de reducción (Rr) es determinado por la expresión:

= 11 + 1Dónde:

Rg/p – Radio de curvatura en el flanco del diente.

Tabla 9. Módulos de Young para materiales plásticos [7, 8]

Material Módulo de Young (GPa)

Stanyl GF30 10

Stanyl UF 23°C 3

Stanyl UF 140°C 0.7

ABS 1.7

Nylon 1.4-2.75

Acrílico 6

Polietileno 0.8

Poliestireno 5

PVC rígido 2.4-2.75

38

La segunda ecuación a analizar es derivada de la ecuación de Hertz sobre la

teoría de la fuerza de contacto entre dos cilindros, modificada para la corona [4]:

= ∗ ∗ 11 − + 1 − ∗ 1∅ ∗ ∅2 ∗ + 1Dónde:

SH – Superficie de contacto.

Wt – Potencia transmitida en Hp.

Dp – Diámetro Pitch para el piñón.

f – Ancho del diente en pulg.

µ - Coeficiente de Poisson para materiales plásticos (tabla 10).

E – Módulo de elasticidad en MPa.

Ø – Ángulo de presión.

m – Relación de transmisión (Zc/Zp).

Z – Numero de dientes.

39

Tabla 10. Coeficientes de Poisson para materiales termoplásticos sin

reforzamiento [5]

Polímero µ

ABS 0.33

Acetal 0.35

Nylon 6/6 0.39

Acrílico 0.33

PPO modificado 0.38

Policarbonato 0.36

Poliestireno 0.33

PVC 0.38

TFE (Tetrafluorethylene) 0.46

FEP (Fluorinated

Ethylene Propylene)

0.48

Stanyl GF30 0.4

Stanyl UF 23°C 0.4

Stanyl UF 140°C 0.45

40

Para la tensión superficial entre los dientes de contacto también se puede

emplear la siguiente expresión (esta expresión es utilizada para el Duracon M90)

[5]:

= ∗ ( + 1)∗ ∗ ∗ 1.41 + 1 ∗ (2 ) ≤ [ ]Dónde:

F – Fuerza tangencial en kgf.

b – Ancho del diente en mm.

d1 – Diámetro de paso del piñón en mm.

u – Relación de transmisión (Z2/Z1).

E – Módulo de elasticidad del material en kgf/mm2 (figura 8).

α – Ángulo de presión en grados.

σH – Tensión admisible del material en kgf/mm2.

La fuerza tangencial para esta ecuación puede ser obtenida a partir de la fórmula

de Lewis:

bbymF ***

Dónde:

m – Módulo en mm.

y – Factor de forma según anexo 1.

b – Ancho del diente en mm.

b -- Tensión permisible en kgf/mm2.

41

Figura 8. Módulos de elasticidad [5]

La tensión permisible para la fuerza tangencial se puede obtener mediante la

expresión:

S

MLTvbb C

kkkk/

Dónde:

/b -- Máxima tensión permisible bajo condiciones ideales en kgf/mm2

(figura 9).

KV – Factor de velocidad (figura 10).

KT – Factor de temperatura (figura 11).

KL – Factor de lubricación (tabla 11).

KM – Factor del material (tabla 12).

42

CS – Factor de servicio (tabla 13).

Figura 9. Máxima tensión permisible bajo condiciones ideales en kgf/mm2 [5]

Figura 10. Factor de velocidad [5]

43

Figura 11. Factor de temperatura [5]

Tabla 11. Factor de lubricación [5]

Lubricación KL

Lubricación inicial con grasa 1

Lubricación continua con aceite 1.5 - 3.0

Tabla 12. Factor del material [5]

Combinación del material KM

Duracon vs. metal 1

Duracon vs. duracon 0.75

44

Tabla 13. Factor de servicio [4]

Tipo de carga 8-10 h/día 24 h/día 0.5 h/día 3 h/día

Constante 1 1.25 0.80 0.50

Choques ligeros 1.25 1.50 1 0.80

Choques medios 1.50 1.75 1.25 1

Choques fuertes 1.75 2 1.50 1.25

2.4 Métodos de cálculo

Método de DvorakEste método presenta una ecuación que no es más que una modificación de la

ecuación de Lewis, lo que incorpora la velocidad en la circunferencia de paso y el

factor de servicio [2, 3].

ss SFYVWPCV

S

655

Dónde:

S- Tensión actuante en la base del diente en lb/pulg2.

V- Velocidad del polo en pie/min.

W- Potencia en Kw.

P- Diámetro Pitch (tabla 14).

Cs- Factor de servicio (tabla 13).

F- Ancho del diente en pulgadas.

Y- Factor de forma o de Lewis (tabla 15).

45

[Ss]- tensión admisible en lb/pulg2 (tabla 16).

Tabla 14. Diámetro Pitch y módulos normalizados

Módulos y diametral Pitch normalizados

Módulo

(mm

)

Serie

preferente

1 1.25 1.5 2 2.5 3 4 5

6 8 10 12 16 20 25 32

Seriepoco

habitual

1.125 1.375 1.75 2.25 2.75 3.5 4.5 5.5

7 9 11 14 18 22 28 36

Diám

etro

Pitch

Serie

preferente

20 16 12 10 8 6 5 4

3 2.5 2 1.5 1.25 1 0.75 0.5

Seriepoco

habitual

18 14 11 9 7 5.5 4.5 3.5

2.75 2.5 1.75 0.875 0.625 __ __ __

En el caso con que no se cuente con la tabla 15 para hallar el diámetro Pitch (el

cual es igual al número de dientes por pulgadas en el diámetro primitivo) se

puede emplear la expresión que expresa la relación entre el diámetro Pitch y el

módulo [1]:

= 25.4

46

Dónde:

m – Módulo en mm.

Pt – Diámetro Pitch.

Tabla 15. Factor de forma [2]

Número de dientes Dientes de involuta

de 20°

Dientes de involuta de

20° cortos.

12 0,245 0,311

14 0,276 0,339

16 0,295 0,361

18 0,308 0,377

20 0,320 0,393

22 0,330 0,405

26 0,346 0,424

30 0,358 0,437

34 0,371 0,446

38 0,383 0,456

43 0,396 0,462

50 0,408 0,474

47

Tabla 16. Valores de las tensiones admisibles para engranajes plásticos a

700F en lb/pulg2 [2]

Plástico NormalReforzado con fibra de

vidrio

ABS 3000 6000

Acetato 5000 7000

Nylon 6000 12000

Policarbonato 6000 9000

Poliéster 3500 8000

Poliuretano 2500 -

Método de KelleyEste método emplea para el cálculo de las tensiones la ecuación de Lewis en su

variante original [2].

fYFP

Dónde:

- Tensión actuante en el pie del diente en lb/pulg2.

[ ]- Tensión admisible del material en lb/pulg2.

f- Ancho del diente en pulgadas.

P – Diámetro Pitch (tabla 14).

48

F- Fuerza tangencial transmitida en libras.

o2

2*2000dMFt

o2

22 9550

nNM

Y- Factor de forma del diente (tabla 15).

Método de FairesEn este método se realizan diferentes cálculos, donde primeramente se calcula la

carga dinámica (Fd) [2].

VFVF t

d 82,020028,3200

Dónde:

Fd- Carga dinámica en Kg.

V- Velocidad del polo del engranaje en m/min.

Ft- Fuerza tangencial actuante sobre el diente en Kg.

Posteriormente esta carga dinámica se iguala a la carga actuante según la

ecuación de Lewis, Fd=Fs.

10SbYmFs

Dónde:

S- Esfuerzo de cálculo en Kg/cm2, que depende del módulo, del material

y del número de ciclos.

49

b- Ancho de la rueda en cm.

m- Módulo en mm.

Y- Factor de forma (anexo 2), en dependencia de donde se quiera

aplicar la carga, asumiendo un valor para el módulo se puede despejar

el ancho de cara necesario para transmitir la potencia dada. Luego se

iguala Fd=Fw.

gpW KQbDF ***

pg

g

DDD

Q

*2

Dónde:

Dg- Diámetro primitivo de la rueda en cm.

Dp- Diámetro primitivo de piñón en cm.

b-Ancho de los dientes en cm.

Kg- Factor del material que se determina por la siguiente ecuación.

gpg EE

sensK 1*14,1

*2

Dónde:

s- Tensión admisible a contacto en Kg/cm2.

- Ángulo de presión.

50

Ep, Eg- módulo de elasticidad del piñón y la rueda respectivamente.

De los anchos obtenidos por la ecuación de Lewis y por la ecuación de desgaste

se toma el mayor.

Método de MoyaSegún Moya la resistencia de una pareja de engranajes plásticos está dada por

[2]:

mbYnFCs

Dónde:

- Tensión actuante en el pie del diente en MPa.

[ ]- Tensión admisible del material en MPa (tabla 17).

F- Fuerza tangencial aplicada sobre el diente en Newton.

Cs- Factor de servicio (tabla 13).

Y- Factor de forma (tabla 15).

m- Módulo en mm.

b- Ancho del diente en mm.

n- Factor de seguridad (se debe tomar entre 1 y 1.7 según la experiencia

del autor, los valores mayores se toman para aplicaciones de mayor

potencia y temperatura).

51

Tabla 17. Valores de la tensión admisible [2]

Material NormalReforzado con fibra de

vidrio

ABS 27,7 55,4

Acetato 45,5 64

Nylon 63,7 127,4

Policarbonato 63,7 82

Poliéster 32 73

Poliuretano 23 -

2.5 Posible utilización de engranajes plásticosA la hora de diseñar engranajes plásticos también se debe tener en cuenta la

posible utilización de estos, ya que en ocasiones no pueden ser utilizados, para

ello contamos con la siguiente expresión:= ( ∗ ∗ ) + (115 ∗ ∗ )Dónde:

D- diámetro del engranaje en pulg.

F- ancho del diente en pulg.

n- velocidad de la rueda en rpm.

H- potencia transmitida en HP.

Z- número de dientes.

Ahora si X es:

- 1 o mayor - Se recomienda el uso de plásticos, específicamente de la firma

Nylamid.

- 0,722 a 1 - El engranaje plástico funciona adecuadamente

52

- 0,445 a 0,721 - El engranaje tiene pocas propiedades para funcionar

adecuadamente.

- Menos de 0,445 - No debe usarse el plástico para reemplazar el metal.

2.6 Pasos para el diseño de los engranajes plásticos de dientes rectosPara considerar una metodología de cálculo de engranajes plásticos se deben

concebir unas serie de pasos para su diseño óptimo, a continuación se proponen

estos pasos para su diseño.

1. Determinar la potencia requerida a transmitir y la velocidad de giro del

piñón.

2. Especificar el número de dientes y calcular el diámetro de paso del piñón

con el módulo seleccionado.

3. Determinar los valores del ancho del diente, ángulo de presión del

engranaje, relación de transmisión y diámetro del engranaje.

4. Buscar el material que se va a emplear en el diseño de los engranajes y

determinar todas las propiedades de este.

5. Comprobar si se pueden utilizar engranajes plásticos en la transmisión

deseada.

6. Determinar la temperatura de trabajo del mismo para comprobar si el

material seleccionado cumple con los requisitos para las condiciones

trabajo y determinar la distancia entre centros requerida.

7. Calcular la resistencia superficial de los engranajes (en este trabajo de

diploma se proponen tres formulaciones para así lograr una comparación

de resultados).

8. Calcular la resistencia a la fractura de los engranajes (se proponen cuatro

formulaciones con el objetivo de realizar una comparación de resultados).

53

9. Si no llega a un diseño óptimo se repiten nuevamente los pasos anteriores,

variando las especificaciones del engranaje a diseñar hasta lograr el

diseño requerido.

2.7 Validación a través de una ejemplo de cálculoCon la intención de realizar una comparación de resultados a través de las

expresiones anteriores se procedió a efectuar un ejemplo de cálculo, para ello se

seleccionó como material a utilizar el Nylon 6/6 y los siguientes datos hipotéticos:

W=5kw C0=0.2354 C1=0.755

C2=0.42 C3=0.502 m=4mm

Ta=250C Ø=200 Δaw=250mm

Zp=25 Zc=100 n=1500rpm

D=3.94pulg b=20mm Ft=1500N

u=4 µ=0.39 Dp=6

Y=0.342 Y=0.34 (para Faires) V=990.71pie/min

Cs=1(carga constante, trabaja 8-10 h/día) Er=0.58 Rr=44.1mm

Cálculo del diámetro de paso= ∗ = 4 ∗ 25 = 100= ∗ = 4 ∗ 100 = 400Comprobación de la posible utilización de los engranajes plásticos= ( ∗ ∗ ) + (115 ∗ ∗ )= (3.94 ∗ 0.78 ∗ 1500) + (115 ∗ 8.04 ∗ 25)

54

X=27724.8>1 Se recomienda el uso de engranajes plásticos.

Cálculo de la temperatura de trabajo

accc

t TmVFCT 3210max ***

= 0.2354 ∗ (75) . ∗ (5.03) . ∗ (4) . + 25Tmax=490C

Cálculo de la resistencia superficial

En este caso solo se emplearon dos de las expresiones mencionadasanteriormente. La primera expresión empleada fue:

∗∗ ∗ ∗. ∗ .∗ ∗ ∗ . . .

Segunda expresión empleada:

= ∗ ( + 1)∗ ∗ ∗ 1.41 + 1 ∗ (2 ) ≤ [ ]= 152.9 ∗ (4 + 1)20 ∗ 100 ∗ 4 ∗ 1.4120.3 + 120.3 ∗ (2 ∗ 20) = 1.49 = 14.6

Cálculo de tensiones

Según Dvorak

ss SFYVWPCVS

655

55

= 55 ∗ (6 + 990.71) ∗ 5 ∗ 6 ∗ 10.78 ∗ 0.342 ∗ 990.71 = 6222.79 = 42.9Según Kelley

Solo tiene en cuenta la geometría en forma y dimensiones del diente y la carga a

la cual está sometido.

fYFP

= 337.21 ∗ 60.78 ∗ 0.342 = 7584.5704 = 52.2Según Faires

Primeramente se calcula la carga dinámica (Fd).

VFVF t

d 82,020028,3200

= (200 + 3.28 ∗ 301.9) ∗ 152.9200 + 0.82 ∗ 301.9 = 406.62La carga dinámica (Fd) se iguala a la carga actuante (Fs), para obtener mediante

despeje el valor del esfuerzo de cálculo (S).

= ∗ ∗ ∗10= 10 ∗∗ ∗

56

= 10 ∗ 406.6210 ∗ 0.34 ∗ 4 = 298.9 = 29.31Según Moya

mbYnFCs

= 1 ∗ 1500 ∗ 14 ∗ 20 ∗ 0.342 = 54.8A continuación se muestra una tabla (tabla 18) con los valores obtenidos para

cada método empleado.

Tabla 18. Resultados obtenidos en cada expresión

Resultados de los cálculos de resistencia superficial

Primera expresión Segunda expresión

Resultado en

Mpa

1.76 14.6

Resultados de los cálculos de tensión

Método de

Dvorak

Método de

Kelley

Método de

Faires

Método de

Moya

Resultado en

Mpa

42.9 52.2 29.31 54.8

Después de observar los resultados obtenidos por los diferentes métodos de

cálculo, especialmente los de tensiones a flexión los cuales no tienen en cuenta

los mismos parámetros podemos decir que el método de Kelley y el método de

Moya son los que nos arrojan una solución con un menor porciento de diferencia,

57

en este caso estos métodos tienen en cuenta la geometría como uno de sus

parámetros fundamentales. Cuando analizamos los resultados de las expresiones

para el cálculo de resistencia superficial se puede apreciar que existe una gran

diferencia, esto viene condicionado ya que en la primera expresión se puede

realizar el cálculo para todo tipo de material plástico no siendo así en la segunda

expresión la cual es desarrollada para el Duracon M90.

Conclusiones parciales del capítulo 2 Para el cálculo de engranajes plásticos existen diversos métodos para

determinar las dimensiones de este en función de la solicitación de la

potencia los cuales arrojan soluciones diferentes.

En la literatura que se encuentra actualmente sobre este tema existen

varios métodos para el cálculo de engranajes plásticos, sin embargo todos

estos métodos están basados en la ecuación original de Lewis para el

cálculo a flexión.

58

Capítulo 3: Optimización multicriterial de la resistencia de losengranajes cilíndricos de dientes rectos de material plástico.La optimización es una rama de las matemáticas aplicadas que consiste en la

recolección de principios y métodos usados para solucionar problemas

cuantitativos de muchas disciplinas como física, biología, ingeniería y economía

para obtener la mejor o una buena solución. Los métodos de optimización se

pueden clasificar en tres tipos: los métodos analíticos (uso del cálculo diferencial,

este es insuficiente para problemas no lineales), los métodos numéricos (se

emplean los algoritmos) y otros métodos como es el caso de los métodos gráficos,

métodos experimentales y estudio de casos.

Al usar la palabra optimización en MatLab nos referimos al proceso de búsqueda

del mínimo o máximo de una función, denominada comúnmente función objetivo

(también conocida como función de error). En la mayoría de las funciones de

optimización de MatLab, se requiere la definición de una función (.m) que compute

la función objetivo a optimizar. Es decir, la función objetivo realiza una serie de

cálculos, que el usuario define y devuelve como parámetro de salida un escalar

que será el valor que se pretende minimizar o maximizar. Por ende el objetivo

fundamental en todos los métodos de optimización en esencia es obtener, con el

menor número posible de evaluaciones de la función objetivo, una representación

adecuada de la misma que permita determinar la ubicación del punto óptimo [9].

Existen diferentes problemas de optimización, los cuales se pueden dividir en dos

grandes grupos de acuerdo al número de objetivos que se tratan de resolver: los

problemas de optimización simple y los problemas de optimización multiobjetivo.

La diferencia más grande que se podría encontrar entre los anteriores es que los

de optimización simple buscan obtener el mejor diseño o decisión, el cual es

regularmente un máximo o mínimo global, según sea el caso de maximizar o

minimizar. En cambio en la optimización multiobjetivo puede no existir una

solución que sea la mejor con respecto a todos los objetivos. Existe un conjunto

de soluciones que son las mejores del resto cuando todos los objetivos son

59

considerados, pero no tan buenas a otras soluciones al tomar en cuenta uno o

más objetivos [10]. Para analizar los problemas de optimización multiobjetivo ante

todo debe tenerse en cuenta el concepto de óptimo de Pareto [11, 12] el cual fue

formulado por Wilfredo Pareto en el siglo XIX y da inicio al origen de las

investigaciones en la materia de optimización multiobjetivo, este está definido por:

Esto quiere decir que la optimalidad de Pareto está definida como un conjunto

donde cada elemento es una solución al problema para la que ninguna otra

solución puede ser mejor dentro del problema, es decir que una solución P1 es un

óptimo de Pareto cuando no existe otra solución P2 tal que mejore en un objetivo

sin empeorar al menos uno de los otros.

En la mayoría de los problemas de optimización existen ciertas restricciones las

cuales pueden aparecer como consecuencias de las características del ambiente

de la investigación, estas se deben satisfacer con el fin de establecer soluciones

válidas. Todas las restricciones describen dependencias entre las variables de

decisión y las constantes (o parámetros), involucrados en el problema.

En el caso de este trabajo de diploma se implementará el uso de la optimización

multiobjetivo mediante algoritmos genéticos.

3.1 Algoritmos genéticos

Los algoritmos genéticos (AG) o programación evolutiva como también se le

conoce se pueden definir como técnicas de búsquedas basadas en la teoría de la

evolución de las especies de Charles Darwin. Estos se basan en los mecanismos

de selección natural que utiliza la naturaleza de acuerdo a los cuales los

individuos más aptos de una población son los que sobreviven, al adaptarse más

fácilmente a los cambios que se producen en su entorno, por lo cual un algoritmo

genético consiste en una función matemática o una rutina de software que toma

como entradas a los ejemplares y retorna como salidas cuáles de ellos deben

60

generar descendencia para la nueva generación. Estos fueron establecidos y

desarrollados por John Henry Holland [13] en la década del 1960 bajo el nombre

de “planes reproductivos” pero no fue hasta después del 1975 tras la publicación

de su libro titulado “Adaptation in Natural and Artificial Systems” (en español:

“Adaptación en Sistemas Naturales y Artificiales”) [14] que se le llamó algoritmos

genéticos, su popularidad viene dada por ser un método robusto y bien probado

dentro de los sistemas naturales. Estos por su parte aunque no garanticen

encontrar la solución óptima, si encuentran soluciones con un alto grado de

acierto. Principalmente están basados en implementar e integrar dos ideas

fundamentales:

Las representaciones simples como strings binarios de las soluciones del

problema.

La realización de transformaciones simples para modificar y mejorar estas

representaciones.

Las ventajas de su uso para resolver problemas de optimización multiobjetivo es

que estos trabajan de antemano con las poblaciones, lo que facilita la generación

del conjunto de soluciones de Pareto, ya que tratan de encontrar tantos elementos

del conjunto de Pareto como le sea posible. La siguiente figura (figura 12) muestra

la estructura básica de un algoritmo genético [15].

61

Figura 12. Diagrama de flujo de la estructura base de un algoritmo genético

Los algoritmos genéticos poseen mecanismos de trabajo los cuales parten de una

población determinada de cromosomas generados aleatoriamente los cuales

generan a una nueva población empleando un mecanismo de selección natural

junto con los operadores genéticos de cruzamiento, mutación e inversión. En el

caso de la selección se escogen los cromosomas con posibilidades de

reproducirse y por ende los cromosomas más aptos producirán un mayor número

de descendientes que los menos aptos. En el cruzamiento lo que ocurre es que se

intercambian parte de dos cromosomas tratando de reproducir la recombinación

biológica entre dos organismos monocromosómicos.

62

En el caso de la mutación se cambian aleatoriamente los valores de alelo de

algunas ubicaciones en el cromosoma y la inversión es un ejemplo de un operador

de reordenamiento en el que se invierte el orden de todos los genes

comprendidos entre dos puntos seleccionados al azar [16].

Como todo método que se emplea los algoritmos genéticos poseen ciertas

ventajas y desventajas para su implementación, a continuación se reseña

brevemente algunas de las ventajas y desventajas que estos poseen:

Para su trabajo no se necesita conocimiento previo de la función a

optimizar.

Operan de manera simultánea con varias soluciones y no de manera

secuencial.

Estos en vez de usar operadores determinísticos, trabajan con operadores

probabilísticos.

Pueden tardar mucho en converger, o no converger en absoluto

dependiendo de los parámetros que se utilicen.

Pueden converger prematuramente debido a una serie de problemas de

diversa índole.

3.2 Algoritmos Genéticos propuestos para resolver problemas deoptimización multiobjetivo son [17]:

- AG de primera generación:

VEGA (Vector Evaluated Genetic Algorithm) propuesto por Schaffer [18] a

mediados de los años 80. Es un algoritmo a priori que divide la población

de un AG en tantas subpoblaciones como objetivos existan, este no permite

obtener la frontera de Pareto.

MOGA (Multi Objective Genetic Algorithm), desarrollado por Fonseca y

Fleming [19] en 1993. El manejo de las restricciones que propone, tiene

serias limitaciones.

NSGA (Non-dominated Sorting Genetic Algorithm), propuesto por Srinivas y

Deb en 1994 [20]. Se basa en la idea original de Goldberg sobre el uso de

63

niveles de dominación. Se diferencia básicamente de un AG simple en el

índice de bondad elegido.

NPGA (Niched-Pareto Genetic Algorithm), este método fue propuesto por

Horn y Nafpliotis en 1993 [21], en donde el cambio principal en un AG

simple se realiza en la etapa de selección.

- AG de segunda generación:

NSGA-II (Nondominated Sorting Genetic Algorithm-II), propuesto en el

año 2000 por Kalyanmoy Deb, A. Pratap, S. Agarwal y T. Meyarivan

[22]. Este es una versión mejorada de su antecesor en la primera

generación (NSGA), acá se mejoran fundamentalmente tres aspectos

que son: el proceso de ordenamiento de las soluciones no-dominadas,

la adición de elitismo y finalmente no requiere del parámetro σshare para

incrementar la variedad en la población.

SPEA (Strength Pareto Evolutionary Algorithm), presentado por Zitzler y

Thiele en 1999 [23], fue concebido como un medio de integración de los

demás algoritmos evolutivos para optimización multiobjetivo existentes

en aquel entonces. Usa un archivo que contiene las soluciones no-

dominadas encontradas previamente.

SPEA-2, dado a conocer por Zitzler, Laumanns y Thiele en el año 2001

[24], incorpora tres diferencias a su antecesor (SPEA). Incorpora una

estrategia de bondad de grano-fino, empleo de una técnica de

estimación del vecino más cercano que guía la búsqueda de una

manera más efectiva y presenta un método de truncamiento de las

soluciones que están en los extremos del archivo externo o población.

PAES (Pareto Archived Evolution Strategy), este método fue presentado

por Knowles y Corne en el año 2000 [25]. Consiste en una estrategia de

evolución (1+1) (esto es, un solo padre genera un solo hijo), en

combinación con un archivo histórico que almacena algunas de las

soluciones no-dominadas encontradas previamente.

64

MRCD y MRCD min-max (Genetic Algorithm for multiobjective Robust

Control Design) [26], son algoritmos que usan de forma directa los

conceptos de optimización de Pareto para hallar su frente y los óptimos

asociados, además son algoritmos a posteriori ya que tratan de obtener

el conjunto completo de dichos óptimos, dejando para una segunda fase

la elección de uno de ellos.

3.3 Optimización de los engranajes cilíndricos

En este trabajo de diploma se estudia la optimización de engranajes cilíndricos de

dientes rectos de material plástico utilizando el programa MatLab, esta se realiza

a partir de la aplicación del método de optimización multicriterial (siendo uno de

los métodos más utilizados en la actualidad) aplicando algoritmos genéticos. Para

ello se tomaron seis funciones objetivos:

La expresión para determinar las tensiones en el pie del diente debido a la

flexión (en este caso se utilizaron tres expresiones).

La expresión para determinar las tensiones de contacto (en este caso se

utilizaron dos expresiones).

La expresión para determinar la temperatura de trabajo del diente.

A la hora de lograr un valor óptimo de la resistencia del diente es necesario

entonces encontrar valores de los parámetros geométricos que minimicen

simultáneamente estas funciones. Para ello se tomaron como variables

independientes el ángulo del perfil del diente, el módulo del diente, el ancho del

diente y el número de dientes del piñón. Para estas variables independientes se

tomaron las siguientes fronteras:

- Ángulo del perfil del diente: entre 150 y 200.

- Módulo del diente: entre 3 y 5.

- Ancho del diente: entre 10 y 20.

- Número de dientes del piñón: entre 17 y 20.

65

Los procedimientos de cálculo para realizar la optimización multiobjetivo mediante

algoritmos genéticos fueron realizados en el programa MatLab, el cual cuenta con

un Toolbox de optimización que contiene el método de los algoritmos genéticos

junto con una diversidad de funciones de fácil implementación y que llevan a cabo

las diferentes acciones del algoritmo genético. En el Toolbox de el MatLab

contamos con la herramienta de optimización (optimtool) la cual es un GUI

(Grafics Unit Interface) que sirve para seleccionar la solución especificando las

opciones de optimización.

3.4 Lenguaje utilizado en el editor de MatLabfunction [S]= tesisfrank (x)

%Variables:

F=1500;%Fuerza tangencial aplicada sobre el diente en Newton

Cs=1;%Factor de servicio

n1=1500;%rpm

m=x (1);%Módulo en mm

b=x (2);%Ancho del diente en mm

z1=x (3);%Número de dientes del piñón

Y=0.342;%Factor de Lewis

ta=30;%Temperatura ambiente

n=1.5;%Factor de seguridad

u=3;%Relación de transmisión

E1=200;%Módulo de elasticidad del material del piñón

E2=200;%Módulo de elasticidad del material de la corona

alfa=x (4);%20*pi/180;%Ángulo de engrane

Wt=5;%Potencia transmitida

Dp=6;%Diametral Pitch

kp=1.7;%Coeficiente de Poisson para materiales plásticos

V=301.7;%Velocidad del polo

%Cálculos previos antes de Optimizar

66

disp('El valor del diámetro de paso del piñón es:')

d1=m*z1; %Diámetro de paso del piñón

disp (d1)

%Velocidad en el polo

disp('El valor de la velocidad en el polo es:')

v= ((pi*n1/30)* d1/2)/1000;

disp (v)

%Fórmula para determinar la tensión de contacto para el Duracron M90

disp('El valor de la tensión de contacto es:')

S (1) = ((F/10)*((u+1))/(x(2)*d1*u))^0.5 *(1.4/((1/E1+1/E2)*sin(2*alfa*pi/180)))^0.5;

disp (S (1))

%Sadm=127.4; %Tensión admisible del material en Mpa

%Fórmula para calcular la temperatura de trabajo

disp(' El valor de la temperatura de trabajo es')

S (2)= 0.2354 *(F/b)^0.755 * v ^0.42 *m^0.502 +ta;

disp (S(2))

%Fórmula para calcular la tensión de contacto derivada de la expresión de

%Hertz sobre la teoría de la fuerza entre dos cilindros en contacto,

%modificada para la corona

disp('Resistencia superficial:')

S(3)=((Wt/(x(2)*Dp))*(1/(pi*(1-kp^2)/E1+(1-

kp^2)/E2))*(1/((cos(x(4))*sin(x(4)))/2)*(u/(u+1))))^0.5;

disp ( S(3) )

%Empleando el método de Dvorak

disp('El valor de la tensión en el pie del diente (según Dvorak) es:')

S(4)=(55*(6+V)*Wt*Dp*Cs)/(x(2)*Y*V);

disp(S(4))

%Empleando el método de Kelley

disp('El valor de la tensión en el pie del diente (según Kelley) es:')

S(5)=(F*Dp)/(x(2)*Y);

67

disp(S(5))

%Empleando el método de Moya

disp('El valor de la tensión en el pie del diente (según Moya) es:')

S (6)=(F*Cs*n)/(x(1)*x(2)*b*Y);

disp (S (6))

end

Luego de tener este lenguaje se procedió a especificar las opciones en MatLab,

en cuanto a los requerimientos del algoritmo genético, para posteriormente

realizar las simulaciones para obtener los resultados. Para este problema de

optimización se fijó una población tipo de doble vector, una función de selección

de torneo y la función de cruzamiento fue dispersa. La siguiente tabla (tabla 19)

muestra los resultados obtenidos durante la simulación para las cuatro variables

independientes de la función de ajuste y la figura 13 muestra el frente de Pareto.

68

Tabla 19. Conjunto de soluciones óptimas de la optimización de la

resistencia de un engranaje cilíndrico de dientes rectos de material plástico

en función de la variación del módulo, el número de dientes, el ancho deldiente y el ángulo de engrane.

Módulo en mm Ancho del diente enmm

Número dedientes

Ángulo deengrane

4.711051204 19.99999943 19.7705614 19.636116684.711051204 19.99999943 19.7705614 19.634878823.000240818 19.98132248 17.07890082 16.387261224.223723945 19.99937115 18.98021516 18.849555923.538214875 19.8751276 19.84506964 19.575721443.017424151 19.53605731 18.23908923 16.551438943.307742619 19.99774896 17.08801385 17.632979473.010295516 19.62660491 17.71654516 16.531481213.240484815 19.96818061 17.37452445 16.520326524.318605312 19.97986827 18.99719359 18.849555924.233612647 19.9984591 18.9642911 18.849555924.79510595 19.99876598 19.83905623 18.9592856

3.170202114 19.98549771 17.89801967 17.041777953.384646637 19.99869637 18.71499487 17.852398434.999970652 19.99910745 19.99812932 19.99146073.113230707 19.79720139 17.249177 17.865206423.03237751 19.4318767 17.47656463 16.96542883

3.000641148 19.86539482 17.10313701 16.421931514.055552525 19.85455897 19.090512 17.82720444.999960789 19.99932656 19.99812932 19.99299644.230559882 19.98374615 18.9894925 18.8554153

69

Figura 13. Frente de Pareto para la optimización de la resistencia de un

engranaje cilíndrico de dientes rectos de material plástico.

Al ver el frente de Pareto podemos apreciar que solo este muestra dos objetivos

en vez de los cuatro propuestos, por lo que se realizaron dos simulaciones más,

cada uno solamente con dos variables independientes para así poder apreciar la

solución del frente de Pareto específicamente para estas variables. En la figura 14

se tomaron como variables independientes el módulo y el ancho del diente, aquí

se le asignó al número de dientes del piñón un valor de 17 dientes y al ángulo de

engrane un valor de 200. En la figura 15 se tomaron como variables

independientes el numero de dientes del piñón y el ángulo de engrane, aquí se le

asignó al módulo un valor de 4 mm y al ancho del diente un valor de 20 mm.

70

Figura 14. Frente de Pareto para la optimización de la resistencia de un

engranaje cilíndrico de dientes rectos de material plástico en función de lavariación del módulo y el ancho del diente.

71

Figura 15. Frente de Pareto para la optimización de la resistencia de unengranaje cilíndrico de dientes rectos de material plástico en función de la

variación del número de dientes, y el ángulo de engrane.

3.5 Análisis de resultadosDespués de realizar las simulaciones correspondientes pudimos arribar a que el

algoritmo genético utilizado fue de éxito, ya que con los valores obtenidos durante

el proceso se pudieron apreciar los puntos óptimos para las variables

independientes seleccionadas, lo que facilita un diseño duradero de este tipo de

engranajes. Al apreciar el frente de Pareto se pudo ver que la curva de este es

semejante a la teórica que el presenta arrojando soluciones cercanas a la

realidad. Se pudo ver que los puntos óptimos no se concentraron solo en una

parte de la gráfica, lo que indica que se cumple el principio de óptimo de Pareto,

de que para que un individuo mejore tiene que empeorar otro.

72

Conclusiones

Después de haber llegado al final de este trabajo de diploma podemos llegar a las

conclusiones de que en los engranajes cilíndricos de dientes rectos de material

plástico:

La selección adecuada del material para el diseño de un engranaje plástico

es de suma importancia ya que de esta selección va a depender en gran

medida la resistencia de dicho engranaje.

Las fallas de los engranajes plásticos poseen un carácter similar a los de

los engranajes metálicos, aunque en el caso de los plásticos se debe tener

en cuenta la elevación de la temperatura, el ablandamiento, deformación

del material y la fractura del diente que es una de las fallas esenciales de

los engranajes de este tipo.

La geometría de estos engranajes juega un papel determinante, ya que a

través de esta se pueden hacer diversas modificaciones que no siempre se

pueden realizar en los engranajes metálicos.

En cuanto a la lubricación la presencia de ella va a ser en dependencia del

diseñador pero es recomendable su utilización para un mayor servicio de

vida útil.

Para el cálculo de engranajes plásticos existen diversos métodos para

determinar las dimensiones de este en función de la solicitación de la

potencia los cuales arrojan soluciones diferentes.

En la literatura que se encuentra actualmente sobre este tema existen

varios métodos para el cálculo de engranajes plásticos, sin embargo todos

estos métodos están basados en la ecuación original de Lewis para el

cálculo a flexión.

73

La optimización multiobjetivo por algoritmos genéticos es una técnica eficaz

para la resolución de este tipo de problemas ya que arroja los valores

óptimos dentro de una población determinada, por ser un método robusto,

eficiente y eficaz.

En cuanto a las variables independientes que se optimizaron las respuestas

óptimas estuvieron para el caso del módulo entre 3 y 4 milímetros, para el

ancho del diente el valor predominante fue de 19 milímetros, el número de

dientes osciló entre 17 y 19 dientes y en el caso del ángulo de engrane los

valores óptimos variaron entre 16 y 19 grados.

Podemos decir que la optimización multiobjetivo por algoritmos genéticos

es una técnica que no sustituye a las técnicas tradicionales sino que

mediante la optimización viene a complementar las técnicas tradicionales.

74

Recomendaciones Continuar el desarrollo de este trabajo de diploma debido a su importancia

dentro del diseño de los engranajes cilíndricos de dientes rectos de material

plástico.

Realizar la optimización no solo de los engranajes que presentan este tipo

de geometría sino llevarla a otros tipos de geometría para así lograr mejor

calidad en los diseños.

A la hora de implementar la optimización a través de algoritmos genéticos

variar los requerimientos del algoritmo genético.

75

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23.Zitzler, E. and Thiele, L... Multiobjective Evolutionary Algorithms: A

Comparative case Study and the Strength Pareto Approach. IEEE

Transactions on Evolutionary Computation. Vol. 3, No. 4, pp. 257-271,

November 1999.

24.Zitzler, E... Laumanns, M. and Thiele, L… SPEA2: Improvising the Strength

Pareto Evolutionary Algorithms: A Comparative case Study and the

Strength Pareto Approach. Technical Report 103, Computer Engineering

and Networks Laboratory (TIK), Swiss federal Institute of Technology (ETH)

Zurich, Gloriastrasse 35, CH-8092 Zurich, Switzerland, 2001.

25. Knowles, J. D. and Corne, D.W... The Pareto Archived Evolution Strategy:

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26.Herreros López, Alberto. Diseño de controladores Robustos Multiobjetivo

por medio de Algoritmos Genéticos. Tesis Doctoral, Departamento de

Ingeniería de Sistemas y Automática, Universidad de Valladolid, España,

2000.

78

Anexos

Anexo 1. Factor de forma para la fuerza tangencial [5]

Número de dientesFactor de forma

14.50 Dientes estándar 200 Dientes cortos 200

12 0.355 0.415 0.496

14 0.399 0.468 0.540

16 0.430 0.503 0.578

18 0.458 0.522 0.603

20 0.480 0.544 0.628

22 0.496 0.559 0.648

24 0.509 0.572 0.664

26 0.522 0.588 0.678

28 0.535 0.597 0.688

30 0.540 0.606 0.698

34 0.553 0.628 0.714

38 0.565 0.651 0.729

40 0.569 0.657 0.733

50 0.588 0.694 0.757

60 0.604 0.713 0.774

75 0.613 0.735 0.792

100 0.622 0.757 0.808

79

150 0.635 0.779 0.830

300 0.650 0.801 0.855

Cremallera 0.660 0.823 0.881

Anexo 2. Factor de Lewis para el método de Faires [2]

Número de dientes Carga en la punta Carga en el centro

Ángulo 14.5 20

10 0.176 0.201

11 0.192 0.226

12 0.21 0.245

13 0.223 0.264

14 0.236 0.276

15 0.245 0.289

16 0.255 0.295

17 0.264 0.302

18 0.27 0.308

19 0.277 0.314

20 0.283 0.32

21 0.289 0.326

22 0.292 0.33

23 0.296 0.333

24 0.302 0.337

25 0.305 0.34

26 0.308 0.344

27 0.311 0.348

28 0.314 0.352

29 0.316 0.355

80

30 0.318 0.358

32 0.322 0.364

33 0.324 0.367

35 0.327 0.373

37 0.33 0.38

39 0.335 0.386

40 0.336 0.389

45 0.34 0.399

50 0.346 0.408

55 0.352 0.415

60 0.355 0.421

65 0.358 0.425

70 0.36 0.429

75 0.361 0.433

80 0.363 0.436

90 0.366 0.442

100 0.368 0.446

150 0.375 0.458

200 0.378 0.463

300 0.382 0.471

Cremallera 0.39 0.484

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