Universidad Nacional de Cajamarca

Universidad Nacional de Cajamarca

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCASECCIN JAN

TEMA : VALOR PROPIO Y VECTOR PROPIO.

ASIGNATURA : LGEBRA LINEAL.

ALUMNO : DVILA BERNAL, Walter Manuel. PATIO HUMBO, Luis Antonio. QUISPE HUAMN, Walter. SILVA GALVEZ, Reiner. TARRILLO FLORES, Cristian Ricardo. DOCENTE : SNCHEZ CULQUI, Eladio.

FECHA : 04-08-13.

JAN - PER2013

INTRODUCIN

Valor y vector propio viene a ser un repaso conciso a los temas antes desarrollados como matrices, sistemas lineales, espacios vectoriales, campos y transformaciones lineales.Vendra a ser el nexo entre la parte abstracta y operativa de la matemtica, en el que se fundamenta en la obtencin de la forma cannica de Jordan, con un sistema completo de invariantes para la semejanza o conjugacin de matrices.Finalmente los valores propios y vectores propios su estudio en su mayora consta de aspectos tericos para la mejor comprensin de algoritmos que se refleja en las demostraciones en temas anteriores a este; permitiendo al estudiante o al investigador tener un lenguaje matemtico ms riguroso que le permita sustentar su tesis de una manera objetiva y fehaciente.

NDICE

1) Valor propio y vector propio..04 Teorema 01..04

2) Polinomio caracterstico05 Teorema 02 ..13

3) Polinomios anuladores ..14 Teorema 03.. 17 Teorema 04.. 19

4) Subespacios invariantes 22 Invariancia .. 24 Teorema 05. 25

5) Triangulacin de un ordenador ..25 Teorema 06 32 Teorema 07 33

6) Descomposicin de una suma directa .. 38 Proyeccin de un espacio vectorial . 41 Imagen y ncleo de una proyeccin . 43 Teorema 08 . 44

7) Bibliografa.45

1) VALOR PROPIO Y VECTOR PROPIO.

Definicin N 01: Sea un espacio vectoriale sobre el cuerpo y sea T un operador lineal sobre V. Un valor propio de T es un escalar de tal que existe un vector no nulo tal que . Si es un valor propio de T, entonces: a) Cualquier tal que se llama un vector propio de P asociado al valor propio .b) La coleccin de todos los v tales que se llama espacio propio asociado a TEOREMAS 01: Sea T un operador lineal sobre un espacio vectorial V de dimensin finita y sea un escalar. Las siguientes afirmaciones son equivalentes.i) es un valor propio de T.ii) El operador ( es singular (no inversible).iii)

DEMOSTRACIN

Si es un v.p. de tal que lo cual implica entonces lugo el nucleo de es no nulo y no puede ser invertible (un operador es invertible si es inyectiva).

Si () es singular entonces existe tal que (=0)

Si ()=0, entonces existe v , tal que (=0), lo cual implica que entonces , lo cual prueba que es valor propio de T. Los valores propios de T se llaman tambin races caractersticas, valores caractersticos, valores espectrales, exigen valores. Conjunto de vectores , es un subespacio de v, llamado subespacio propio de v o espacio nulo de T- esto es , es la transformacin lineal identidad. Se llama a un valor propio de T si donde es el subespacio nulo. Si , entonces no es inyectiva. Si V es de dimensin finita, el operador , no es inyectiva uando su El criterio del determinante dado en (iii) nos permite hallar los vectores propios de T, de forma sencilla.Definicin N 02: Sea una matriz sobre un cuerpo , un valor propio de en K, es un escalar de , tal que, la matriz es singular (no invertible).

2) POLINOMIO CARCTERSTICOLa matriz es singular si y solo si As obtendremos el polinomio mnico de grado n , llamado polinomio caracterstico de A. Las races de son los valores propios de T.Ejemplo 01

Sea el representado en la base canonica por la matriz .El polinomio caracterstico de T (o de A), es:

Como no tiene races reales y T es un operador lineal sobre afirmando que T no tiene valores propios.

Ejemplo 01

Sea el representado en la base canonica por la matriz .

Las races de son . Entonces U tiene dos valores propios y en.

LEMA 01: Las matrices semejantes tienen el mismo polinomio caracterstico.

DEMOSTRACINB es semejante a A sobre K, si existe una matriz invertible sobre tal que , se tiene que probar que:

Veamos:, pero

Definicin N 03: Sea T un operador lineal sobre un espacio vectorial de dimensin finita V. Se dice que T es diagonalizable si existe una base de V tal que de B sea un vector propio de T.Ejemplo 01:

Supongamos que T es el operador lineal sobre representado por la matriz en la base cannica.DEMOSTRACINEl polinomio caracterstico de A es:

Los valores propios de A son: es el vector propio asociado al valor propio es el vector propio asociado al valor propio es el vector propio asociado al valor propio Una base de es , por tanto T es diagonalizable.NOTA: Segn la definicin de la matriz de orden n debern tener n vectores propios para afirmar que T es diagonalizable. Pero, si k