Fase de-berry

IntroduccionFase de Berry

Ejemplos

La fase de Berry

Jose Miguel Mendez Reyes1

Jesus A. Maytorena Cordova2

1 Facultad de Quımica UNAM2 Centro de Nanociencias y Nanotecnologıa UNAM

V Taller de Fısica de NanoestructurasCentro de Nanociencias y Nanotecnologıa UNAM,

Ensenada Baja California

5 de septiembre de 2014

Jose Miguel Mendez Reyes Fase de Berry


Ejemplos

Indice

1 IntroduccionImportancia de la Fase de BerryObservacion de la Fase de Berry

2 Fase de BerryTeorema adiabaticoFase geometrica de BerryCurvatura de Berry

3 EjemplosEspın 1/2 en un campo magneticoEfecto Aharonov - BohmEfecto Hall de espın



Ejemplos

Importancia de la Fase de BerryObservacion de la Fase de Berry

Importancia de la Fase de Berry

Presencia en toda la fısica cuantica

Fısica de partıculas, teorıa cuantica de campos, estado solido,materia condensada, fısica atomica y molecular, sistemasopticos(fibras), quımica cuantica, etc.1

Relacionada con propiedades de transporte

Efecto Hall cuantico, corriente de espın, aislantes topologicos,estructura de bandas, etc.

Hay muchas situaciones en las cuales el estado de un sistemacuantico depende no solamente de la situacion local y de losparametros fısicos, sino tambien de la historia previa. Es comosi tales sistemas tuvieran memoria.2

1Holstein. B. R. Am. J. Phys. 57, 1079 (1989)2Berry. M. V. Proc. R. Soc. Lon. A 322 45-57 (1984)



Ejemplos

Importancia de la Fase de BerryObservacion de la Fase de Berry

Observacion de la Fase de Berry

Ampliamente anticipado y predicho en quımicacuantica(superficies de energıa potencial).3

Experimentos en fısica moderna (1986-2010).4

Rotacion en la polarizacion de la luz en fibra optical helicoidal.Rotacion en el espın de neutrones dentro de camposmagneticos helicoidales.1HNMR (Resonancia magnetica de proton).Polarizacion de ferroelectricos.Velocidades anomalas en dinamica de electrones.Cuantizacion de la conductancia Hall en potenciales periodicos.

σxy = e2

~∫BZ

d2b(2π2)

Ωkxky → σxy = n e2

~

3Mead. C., Truhlar. D. J. Chem. Phys. 70, 2284-2296 (1979)4Garg. A. Am. J. Phys. 78 7 661-670 (2010)



Ejemplos

Teorema adiabaticoFase geometrica de BerryCurvatura de Berry

Teorema adiabatico

Considerar un sistema con dependencia temporal a traves deuna serie de parametros denotados por R = (R1,R2,R3, ...).

H = H(R),R = R(t) (1)

La evolucion del sistema es adiabatica, es decir R(t) varıamuy lentamente (cambio lento pero no pequeno).

H(R)|n(R)〉 = εn(R)|n(R)〉 (2)

Cuando el cambio es adiabatico, H(R(0)) y su eigenfuncion|n(R(0))〉 evolucionan lentamente a H(R(T )) y |n(R(T ))〉respectivamente. Por tanto se puede expresar a la funcion deonda total como:

|Ψn(R)〉 = |n(R)〉exp− i

~

∫ T

0εn(R(t ′))d(t ′)

eiγn(R) (3)



Ejemplos


Fase geometrica de Berry

Aplicando la ecuacion de Schrodinger dependiente del tiempoy considerando la evaluacion de γn(R) a lo largo de C en elespacio R cuando R(T ) = R(0) se llega a:

γn(R) = i

∫C〈n(R)|∇R|n(R)〉·dR (4)

Donde i〈n(R)|∇R|n(R)〉 = An(R) y se denota como Vectorpotencial de Berry (conexion de Berry).

Dicha fase ya se conocıa con anterioridad y se suponıa que eraposible eliminarla mediante una transformacion de norma:

|n(R)〉 → |n′(R)〉 = |n(R)〉e iχ(R) (5)

Por tanto se encuentra que:

An(R)→ An′(R) = An(R)−∇χ(R) (6)



Ejemplos


Fase geometrica de Berry

⇒ γn′(R) = γn(R)− [χ(T )− χ(0)] (7)

Escogiendo adecuadamente a χ, se pensaba que γn(R) sepodıa cancelar.

En 1984 M. V. Berry noto que si la ecuacion (4) se integrabasobre una curva cerrada, χ(T )− χ(0) = 2πN donde N es unentero (se obliga a que χ sea monoevaluada).

γn(C) =

∮C

An(R)· dR (8)

∴ γn(C) no puede eliminarse. Aplicando el teorema de Stokes:

γn(C) =

∫∫S

Ωn(R)·dS (9)



Ejemplos


Curvatura de Berry

Donde:

Ωn(R) = ∇R × An(R) (10)

Queda definido como el campo o curvatura de Berry, analogoal campo magnetico, pero cuyas unidades son [R−2] (campoelectrico E = r

r2 ).

Sustituyendo An(R) = i〈Ψn(R)|∇R|Ψn(R)〉 se obtiene:

Ωn(R) = −Im∑m 6=n

〈n|∇RH(R)|m〉 × 〈m|∇RH(R)|n〉(En − Em)2

(11)

Ωn(R) es singular en los puntos de degeneracion en elsistema, analogo a una fuente de monopolo magnetico.



Ejemplos

Espın 1/2 en un campo magneticoEfecto Aharonov - BohmEfecto Hall de espın

Espın 1/2 en un campo magnetico

Sistema sencillo con dos estados posibles (↑↓), truncando elhamiltoniano a una matriz de 2× 2

H = −1

2σ·R = −1

2

(Z X−iY

X+iY −Z)

(12)

Cuyas eigenenergıas estan dadas por E↑↓ = ±12 |R|

Aplicando la ecuacion (11) en (12) se obtiene Ω↑ y por tanto−Ω↓

Ω↑ = −Ω↓ = −1

2

R

R3(13)

Posteriormente con la ecuacion (9) se obtiene γ↑

γ↑ = −1

2∆Ω⇒ γ↓ = +

1

2∆Ω (14)

Donde ±∆Ω es el angulo solido y depende de la direccion deintegracion.



Ejemplos


Espın 1/2 en un campo magnetico

Ω en R=0 equivale al monopolo magnetico en el punto dedegeneracion, encontrando el flujo de campo sobre unasuperficie cerrada:

Q↑ = −1

2

∮Ω↑ · dS = −1

2

∮(− R

2R3) · dS = 1 (15)

Donde Q↑ es el equivalente a una carga monopolar magnetica.

Conclusion: Este ejemplo permite interpretar la fase, laconexion y la curvatura de Berry mediante una analogıafısico-matematica con los campos y flujos enelectromagnetismo.



Ejemplos


Efecto Aharonov - Bohm

Figura : Efecto Aharonov - Bohm



Ejemplos


Efecto Aharonov - Bohm

Suponer un electron en una caja de paredes infinitas en elorigen con una ecuacion de Schrodinger independiente deltiempo asociada:[

p2

2m+ V (r)

]χn(r) = Eχn(r) (16)

Ahora se hace una variacion adiabatica (campo magneticoapagado ∴ una de las trayectorias se ve alterada)

H(R) =1

2m

(p− e

cA(r)

)2+ V (r − R) = H

(p− εA

c, r − R

)(17)

Aplicando la ecuacion (4), se obtiene la correspondienteconexion de Berry

i〈ψn(R)|∇R|ψn(R)〉 =e

~cAn(R) (18)



Ejemplos


Efecto Aharonov - Bohm a

aAharonov. Y., Bohm. D. Phys. Rev. 115, 485 (1959)

Por lo tanto, se obtiene la fase de Berry

γn(C) =e

~c

∮C

An(R)· dR =e

~cΦ (19)

Conclusion: Se obtiene la fase de Berry como un equivalentea un flujo, se evidencıa la importancia del conceptogeometrico en sistemas fısicos.



Ejemplos


Efecto Hall de espın

Sistema en 2D con acoplamiento espın-orbita (hamiltonianoRashba-Dresselhaus 5)

H0 =~2

2mk2 + HR + HD (20)

cuyos eigenestados se definen como:

|kλθ〉 =1√2

(e−iθ

+i

)|kλ〉, λ = ± (21)

Para este caso R = R(kx , ky ), Evaluando la fase de Berry,ecuacion (8) se obtiene la siguiente expreison:

γλ = i

∮〈kλθ|∇k|kλθ〉 = π

λ2 − β2

|λ2 − β2|(22)

5Rashba. E. Phys. Rev. Lett 91, 126405 (2003)Jose Miguel Mendez Reyes Fase de Berry


Ejemplos


Efecto Hall de espın

Analogamente, en teorıa de perturbaciones estudiando elfenomeno de conductividad en un gas bidimensional de unsistema (↑↓):

σsxy =e

2π

λ2 − β2

|λ2 − β2|(23)

Dado que jzy = σE, puede relacionarse entonces el efecto Hallde espın de la forma:

σsH =jzyE

=e

8π2γλ (24)

Conclusion: Presencia evidente de la fase geometrica en unfenomeno fısico medible y observable.



Ejemplos


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