Logica y Estructuras Discretas Material permitido: ninguno Febrero 2012, modelo A

Instrucciones Puede quedarse con estas hojas de enunciado (no las entregue para escanear). Respondaal test en la plantilla que le facilitan. Si decide responder al desarrollo, hagalo sobre una hoja blanca aparte,con su nombre; nunca en el reverso del test. Si considera que hay erratas, indıquelas en la hoja de desarrollo,no sobre la plantilla del test.

Puntuacion En el test, cada respuesta correcta suma 0’5 y cada incorrecta resta 0’25. Las respuestasen blanco no restan. El desarrollo suma 1 punto (como maximo).

Datos

U1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}U2 = {1, 3, 4}U3 = {1, 4, 6}U4 = ∅

R1 : {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 1)}R2 : {(1, 1), (3, 2), (2, 2), (3, 3)}R3 : {(4, 2), (3, 2), (5, 4), (6, 5)}R4 : {(1, 3), (2, 1), (3, 2), (4, 2)}

S1 : {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 4)}S2 : {(4, 5), (5, 6), (6, 2), (6, 4)}S3 : {(1, 2), (1, 1), (2, 2), (6, 2)}S4 : {(1, 2), (1, 1), (2, 2), (6, 2)}

Y1 : (p ∧ q) ∨ (¬r ∧ s)Y2 : (p ∧ r) ∨ (¬q ∧ s)Y3 : (p ∧ s)Y4 : (p ∧ q ∧ ¬r ∧ ¬s)

Z1 : ∀x(Px→ ∃yQxy)Z2 : ∀x(Px→ ∀yQxy)Z3 : ∀x(Px→ Qxx)Z4 : ∀x(Px→ ¬Qxx)

U1 es siempre la referencia: conjunto universal. Las relaciones lo son sobre U1; las funciones, de U1 en U1.Es el universo de discurso en las interpretaciones para las formulas logicas. Los grafos y arboles se suponensiempre con esos seis nodos.

Test

1. Marque la respuesta falsa:

a) 1 ∈ (U2 ∪ U3)

b) {1} ⊆ (U2 ∩ U3)

c) U2 ⊆ (U3 ∩ U1) ⇐d) U4 ⊆ U2

2. Marque la respuesta falsa

a) (U1 ∩ U3) ∪ U2 = (U1 ∪ U2) ∩ (U3 ∪ U2)

b) ∼ (U2 ∩ U3) = (∼ U2 ∩ ∼ U3) ⇐c) ∼∼ U4 = U4

d) El conj. potencia de U2 tiene 8 elementos

3. Marque la respuesta falsa

a) R−1 ∩R1 = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}

b) R−1 ⊆ (R−

1 ∪R1)

c) (1, 2) ∈ R1 ◦R2

d) R1 es simetrica ⇐

4. Es relacion de equivalencia sobre U1

a) R1 ∪ {(1, 1), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6),(2, 1), (3, 1), (2, 3), (3, 2)} ⇐

b) R1 ∩R2

c) R1 ∪R2 ∪ {(4, 4), (5, 5), (6, 6)}d) R2

5. R3 ∪R4

a) es funcion no inyectiva de U1 en U1 ⇐b) no es funcion de U1 en U1

c) es funcion sobreyectiva de U1 en U1

d) es funcion biyectiva de U1 en U1

6. (R3 ∪R4)−

a) es funcion no inyectiva de U1 en U1

b) no es funcion de U1 en U1 ⇐c) es funcion sobreyectiva de U1 en U1

d) es funcion biyectiva de U1 en U1

7. Y1 es falsa en la interpretacion:

a) p = 1, q = 0, r = 1, s = 1 ⇐

1

b) p = 1, q = 1, r = 1, s = 1

c) p = 1, q = 0, r = 0, s = 1

d) p = 1, q = 1, r = 0, s = 1

8. Marque la respuesta falsa:

a) Y1 → Y2 ≡ ¬Y2 → ¬Y1

b) Y1 → Y2 ≡ ¬Y1 ∨ Y2

c) Y1 → Y2 ≡ ¬Y1 → ¬Y2 ⇐d) Y1 → Y1 es tautologıa

9. La tabla de Y2, es verdadera en:

a) 7 lıneas ⇐b) 4 lıneas

c) 3 lıneas

d) 1 lınea

10. De Y4 se deduce, es consecuencia:

a) Y2

b) Y1 ⇐c) ¬Y4

d) Y3

11. Universo U1, donde U3 representa P y R1 repre-senta Q. Ahı son verdaderas las formulas:

a) ¬Z1 y ¬Z3 ⇐b) ¬Z1 y Z3

c) Z1 y Z3

d) Z1 y ¬Z3

12. Universo U1, donde U2 representa P y R2 repre-senta Q. Ahı son verdaderas las formulas:

a) ¬Z2 y ¬Z4 ⇐b) Z2 y Z4

c) ¬Z2 y Z4

d) Z2 y ¬Z4

13. Z1 es equivalente a:

a) ∃y∀x(¬Px ∨Qxy)

b) ∀x∀y(¬Px ∨Qxy)

c) ∀x∃y(¬Px ∨Qxy) ⇐d) ∀x∃y(Px ∨Qxy)

14. Es consecuencia, se deduce:

a) Z4 |= ¬Z4

b) Z2 |= Z3 ⇐c) Z1 |= Z3

d) Z4 |= Z2

15. Universo U1. La formula ∀x∃y(Qxy ∧ x 6= y) esverdadera en:

a) R1

b) R3

c) R1 ∪R2

d) R3 ∪R4 ⇐

16. El grafo dirigido (S1 ∪ S2)

a) tiene un nodo con grado de entrada 3

b) es acıclico

c) tiene un ciclo sencillo que recorre todos losnodos ⇐

d) tiene un ciclo elemental que recorre todoslos nodos

17. Es unilateralmente conexo:

a) S1 ∪ S3

b) S1 ∪ S2 ⇐c) S3

d) S4

18. Un arbol libre:

a) tiene ciclos elementales

b) es inconexo

c) es acıclico ⇐d) tiene ciclos sencillos

Desarrollo

Desarrolle un tableau que confirme la relacion de consecuencia que marco en la pregunta 14

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