Fenomenos de Transporte
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DEPARTAMENTO DE INGENIERA QUMICA Y TECNOLOGA DEL MEDIO AMBIENTEUNIVERSIDAD DE VALLADOLID
fenmenostransporte
fenmenos de
mic
o. R
afae
l Mat
o)1
Inge
nier
o Q
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B (P
rof
Cur
so 2
010/
11
-
rte
Ingeniero QumicoCurso 2010/11
s de
Tra
nspo
Departamento de Ingeniera Qumica y Tecnologa del Medio AmbienteUniversidad de Valladolid
Fen
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Tema 0 p. 1
Universidad de Valladolid
Situacin en el plan de estudios
BASICAS FUNDAMENTOSI.Q. APLICADAS
BALANCES DEMATERIA Y
I.Q.
OPERACIONES
MATEMATICAS
ENERGIA
TERMODINAMICA
OPERACIONESDE
SEPARACION
MATEMATICAS
FISICA
FLUJO DEFLUIDOS
REACTORESQUIMICOS
DISEO YFISICA
QUIMICA
FENOMENOSDE
TRANSPORTE
TRANSMISIONDE CALOR
OPERACIONDE PROCESOS
rte
QUIMICA
CINETICA
TRANSFERENCIADE MATERIA
PROYECTOS
s de
Tra
nspo OTRAS:
INSTRUMENT.CONTROLECONOMIA, ....
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Tema 0 p. 2
-
OBJETIVO
Relacionar la cintica del proceso de transporte con lasvariables del proceso y las dimensiones del sistema.
PROCESO DE
SITUACION DENO EQUILIBRIO EQUILIBRIORESISTENCIA
PROCESO DETRANSPORTE
rte
NO-EQUILIBRIO EQUILIBRIORESISTENCIA
s de
Tra
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Fen
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Tema 0 p. 3
DESCRIPTOR
I t d i l f f i d ib lIntroduccin a los fenmenos fsicos que describen losprocesos de transporte de cantidad de movimiento,calor y materia en los procesos reales, con especiali id i l i t tili d i i incidencia en los sistemas utilizados en ingenieraqumica.
Al final del curso los estudiantes debern
i) identificar y valorar la importancia de los diferentesprocesos de transporte que intervienen en unprocesoproceso,
ii) describirlos en trminos matemticos, y
iii) calcular y evaluar magnitudes relevantes para el
rte
iii) calcular y evaluar magnitudes relevantes para eldiseo y operacin de los citados sistemas.
s de
Tra
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Tema 0 p. 4
-
COMPETENCIAS ESPECFICASConocimientos y habilidades que el estudiante debe obtener en este curso:
Comprender los fundamentos fsicos de los procesos de transporte(cantidad de movimiento calor y materia).( y )
Familiarizarse con sus propiedades fsicas asociadas (viscosidad,conductividad, difusividad).
Construir modelos ingenieriles de procesos reales e identificar las Construir modelos ingenieriles de procesos reales e identificar lastcnicas de diseo adecuadas.
Obtener resultados prcticos para el diseo de los procesos a partir delos modelos elaborados a fin de disear los equipos u operacioneslos modelos elaborados a fin de disear los equipos u operacionesnecesarias para alcanzar las especificaciones requeridas, a partir de lainformacin disponible.
Aplicar principios cientficos e ingenieriles para realizar el anlisis del Aplicar principios cientficos e ingenieriles para realizar el anlisis delsistema.
Examinar la operacin de equipos y entender sus principios deoperacin desde el punto de vista de los procesos de transporte
rte
operacin desde el punto de vista de los procesos de transporte.
Integrar los fenmenos de transporte con los conocimientos adquiridosen otras asignaturas para entender y modelizar problemas complejosen trminos de principios cientficos.
s de
Tra
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en trminos de principios cientficos.
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Tema 0 p. 5
Organizacin del temario
C.D.M. ENERGIA MATERIA
Leyes de transporte 1 Newton 3
Fourier 5
Fick
Ecuaciones de variacin 2 4 6Ecuaciones de variacin 2 4 6
Flujo turbulento 7 EXAMEN 1,2 EXAMEN 3,4 EXAMEN 5,6
Transporte de interfase
Balances macroscpicos8 9 10
Balances macroscpicos EXAMEN 1 10
rte
RIGUROSOTERICO
APROXIMADOEMPRICO
s de
Tra
nspo COMPLEJO
INFORMACIN COMPLETA"PREDICTIVO"
SIMPLEINFORMACIN PARCIAL
"CORRELACIN"
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Tema 0 p. 6
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Mtodo y criterios de evaluacin
Durante el desarrollo del curso se realizarn en horariode clase tres controles, que supondrn 2 puntos adicionales, q p pen la nota final. El examen de junio se calificar sobre 10puntos, a los que se sumarn los obtenidos en los controles.Para aprobar la asignatura deber obtenerse una notamnima de 5.0, despus de haber sumado los controles a lanota del examen.
En la convocatoria de septiembre se mantienen losEn la convocatoria de septiembre se mantienen losmismos criterios que en la de junio, conservndose la notade los controles realizados durante el curso.
rte
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Tra
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Tema 0 p. 7
Mtodo de trabajo
1. Preparacin de las clases
Notas de clase Libro de texto Actividades propuestas
2. Explicacin de la teora
Actividades propuestas
Tutoras
3. Ejercicios Coleccin de problemas
4. Seminarios
5 Evaluacin
rte
5. Evaluacin Tres exmenes parciales (+2 Puntos) Examen final
s de
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Tema 0 p. 8
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Material
Pgina Web: http://www.iq.uva.es/fentrans/Comprimido: http://www.iq.uva.es/fentrans/Web_FenTrans.zip
( f )Notas de clase (Reprografa, Web)
Coleccin de Problemas resueltos (Web)
Bibliografa:
Fenmenos de TransportepR.B. Bird, W.E. Stewart y E.N. LightfootEditorial Revert
The Properties of Gases and Liquids, 5 Ed., B.E.Poling, J.M.Prausnitz and J.P. OConnell, McGraw-Hill (2001).
rte
INGENIERIA QUIMICA. 2. Fenmenos de TransporteE. Costa Novella et al.Alhambra Universidad, (1984).
s de
Tra
nspo
Perrys Chemical Engineers Handbook, 7 Ed.McGraw-Hill (1999).
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Tema 0 p. 9
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Tema 1 p. 1
TEMA 1
Viscosidad y mecanismo del transporte de cantidad de movimiento
Ley de Newton de la viscosidadFluidos no-newtonianosViscosidad:
Determinacin experimentalViscosidad de gasesInfluencia de la presin y la temperaturaMezclas de gasesViscosidad de lquidos
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Tema 1 p. 2
t < 0x
yy = Y
y = 0
t > 0
V
( , )xv t y
V
t ( )xv y
Ley de Newton de la viscosidad
F VA Y=
xyx
dvdy
=
EFECTO:TRANSPORTE DE C.D.M.
FUERZA IMPULSORA(GRADIENTE DE VELOCIDAD)
t = 0
V
-
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Tema 1 p. 3
T(C) (cp) v (102cm2s-1) (cp) v (102cm2s-1)0 1.787 1.787 0.01716 13.27
20 1.0019 1.0037 0.01813 15.0540 0.6530 0.6581 0.01908 16.9260 0.4665 0.4744 0.01999 18.8680 0.3548 0.3651 0.02087 20.88
100 0.2821 0.2944 0.02173 22.98
VISCOSIDAD DEL AGUA Y EL AIRE A 1 ATM DE PRESIONAGUA AIRE
SUBSTANCIA T(C) (cp)(C2H5)2O 20 0.245C6H6 20 0.647Br2 26 0.946C2H5OH 20 1.194Hg 20 1.547H2SO4 25 19.15 Glicerina 20 1069
VISCOSIDAD DE ALGUNOS LIQUIDOS A 1 ATM DE PRESION
VISCOSIDAD CINEMATICA: =
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Tema 1 p. 4
Fluidos no-newtonianos
xyx
dvdy
=
xy
xdvdy
Newt
onian
o
Bingh
amSh
ear-t
hinnin
g
(Pse
udop
lstic
o)
Dilat
ante
Plsticos de Bingham Plsticos de Ostwald
Pseudoplsticos Dilatantes
Fluidos no-newtonianos con viscosidad constante en el tiempo
-
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Tema 1 p. 5
xy
xdvdy
Bingh
amPs
eudo
plsti
co
Pran
dtl-E
yring
Newt
onian
o
Dilat
ante
Modelos de dos parmetros
MODELO ECUACION PARAMETROS
Bingham (Pastas y suspensiones finas) Ostwald-de Waele(Suspensiones de combustibles nucleares)
Eyring
000 , >= yxxyx dydv
(Yield-stress)0
0
nx
yx dydvm
= nm,
=dy
dvB
arcsenhA xyx1 BA,
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Tema 1 p. 6
xy
xdvdy
Ellis
(>1)
Newt
onian
o
Reine
r-Phil
ippoff
Ellis
( 1%
Viscosidad crtica
/ / /.c c cc
c
c
M P TP
P atmT K
= =
==
1 2 2 3 1 67 70
-
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Tema 1 p. 17
Mezclas de gases
Ecuacin de Wilke
/ / /
ni i
mezcla ni
j ijj
ji iij
j j i
x
x
MMM M
==
=
= + +
11
21 2 1 2 1 41 1 18
Diagrama generalizado
Constantes pseudocrticas:'
'
'
n
c i ciin
c i ciin
c i cii
P x P
T x T
x
=
=
=
=
=
=
1
1
1
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Tema 1 p. 18
Viscosidad de lquidos
Modelo de Eyring
. /bT TAN h eV
= 3 8
Modelo de Orrik y Erbar
KTcmgcPTBA
M
LL
L
L
===+=
,/,
ln
3
GRUPO A B Doble enlace Anillo de cinco miembros Anillo de seis miembros Anillo aromtico Substitucin en orto Substitucin en meta Substitucin en para Cloro Bromo Iodo OH COO O >C=O COOH
0.24 0.10 -0.45
0 -0.12 0.05 -0.01 -0.61 -1.25 -1.75 -3.00 -1.00 -0.38 -0.50 -0.90
-90 32
250 20
100 -34 -5
220 365 400 1600 420 140 350 770
GRUPO A B
Atomos de carbono1 - (6.95+0.21n) 275+99n
-0.15
35
-1.20
400
1 n = atomos de carbono no considerados en otros grupos.
-
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Tema 1 p. 19
Influencia de la temperatura en los lquidos
ln
. cT1
0 7cT1
ln BAT
= +
Ecuacin de Andrade
-
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Tema 2 p. 1
TEMA 2
Ecuaciones de variacin para sistemas isotrmicos
Balances envolventes de cantidad de movimientoPelcula descendenteFlujo por el interior de un tubo circularFlujo reptante alrededor de una esfera slida
NomenclaturaEcuacin de continuidad
La ecuacin de continuidad en los distintos sistemas coordenadosEcuacin de movimiento
La ecuacin de movimiento en los distintos sistemas coordenadosSoftware de modelado de procesosCondiciones lmite
Ecuacin de energa mecnicaForma adimensional de las ecuaciones de variacinCapa lmite y flujo potencial
Capa lmite Flujo potencial
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Tema 2 p. 2
Balances envolventes de cantidad de movimiento: condiciones lmite
1. Pelcula descendente
Balance de materiaz zz z LxW v xW v= = = 0
v z(x) L
x
zx
x = 0
x =
z zz z Lv v= ==0 zvz = 0
Rgimen estacionario Fluido incompresible
-
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Tema 2 p. 3
Balance de c.d.m.
velocidad neta develocidad de velocidad neta de
entrada de c.d.m. fuerza deacumulacin = entrada de c.d.m. + +
por transporte gravedadde c.d.m. por conveccin
viscoso
=0
Lmite cuando x tiende a cero: cosxzd gdx =
Integrando: cosxz xzx gx= = = 0 0
Ley de Newton: zxzdvdx
=
Integrando:cos
zg xv
= 22
12z
x v= = 0
( )xz xzx x xLW + + cosLW x g ( )z z z zz z LxW v v v v= = +0
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Tema 2 p. 4
Magnitudes derivadas
Velocidad mxima:cos
z mx
gv = 2
2
Velocidad media:cos
W
zoz zW
o
v dx dyQ gv v dxA dx dy
= = = =
2
00
0
13
Flujo volumtrico:cosW
z zo
gWQ v dx dy W v = = =
3
0 3
Fuerza sobre la superficie: cosL W
z xzoF dy dz g LW= = 0
cosz
g xv =
22
12
-
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Tema 2 p. 5
2. Flujo por el interior de un tubo circular
r
z
vz(r)
z zz z Lr r v r r v= = = 02 2 zvz = 0
Balance de materia
Balance de c.d.m.
+
+
+
=
presinde fuerza
gravedadde fuerza
viscosotransporte por
c.d.m. de entradade neta velocidad
conveccin porc.d.m. de entrada
de neta velocidad
c.d.m. denacumulaci
de velocidad
( ) ( )( )
z z rz rzr r r r rz z L
o L
r r v v L r r
r r L g r r P P= = + = == +
+ + 2 2
00 2 2
2 2
,Lrzdr r P ghdr L
= = + 0
Integrando: rzr = = 0 0 Lrz rL =
0
2
0
zrz
z
dvdr
r R v
= = = ( )L
zR rv
L R =
220 1
4
En el lmite (r0):
P0
PL
Rgimen estacionario Fluido incompresible
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Tema 2 p. 6
Magnitudes derivadas
( )Lz
R rvL R
= 22
0 14
Velocidad mxima:
Velocidad media:
Flujo volumtrico:
Fuerza sobre la superficie:
( )Lz mx
Rr vL
= = 2
004
( )R
zo Lz R
o
v r dr d RQvA Lr dr d
= = =
2
20 0
2
08
( )R Lzo
RQ v r dr dL
= = 42 0
0 8
( )
( )z rz Lr R
L
F RL R
R P P R L g== = == +
20
2 20
2
-
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Tema 2 p. 7
v
3. Flujo reptante alrededor de una esfera slida
z
x
y
(x,y,z)( , , )r
Flujo reptanteRe .p
Dv=
-
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Tema 2 p. 9
Rotacional de un campo vectorial: [ ]
x y z
x y z
vx y z
v v v
=
G G G
G G
Laplaciana de un campo escalar: 2 2 2
22 2 2( . )s s ss s
x y z = = + +
G G
Laplaciana de un campo vectorial: 2 2 2 2x x y y z zv v v v = + + G G GG
Operadores diferenciales
Operador nabla: x y zx y z = + +
G G GG
Gradiente de un campo escalar: x y zs s ssx y z
= + + G G GG
Divergencia de un campo vectorial: ( . ) yx zvv vv
x y z = + +
G G
Fen
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Tema 2 p. 10
Derivadas con respecto al tiempo
Derivada parcial: ct
Derivada total: dc c c dx c dy c dzdt t x dt y dt z dt
= + + +
Derivada substancial: x y zDc c c c cv v vDt t x y z
= + + +
-
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Tema 2 p. 11
z
xy
x xv x x xv +
z zv
z z zv +y y
v
y y yv +
Ecuacin de continuidad
velocidad de velocidad de velocidad deacumulacin = entrada salidade materia de materia de materia
CARA ENTRADA SALIDA x x xv y z x x xv y z+ y y yv x z y y yv x z+ z z zv x y z z zv x y+
( )( )( )
x xx x x
y yy y y
z zz z z
x y z y z v vt
x z v v
x y v v
+
+
+
= + +
yx zvv vt x y z
= + +
Fen
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Tema 2 p. 12
Forma vectorial:
( ). vt = G G
Transformacin:
( ) ( )( ). .
.
v vt
D vDt t
= = +
G GG G
GG ( ).D vDt = G G
Fluidos incompresibles (=constante):
( ). 0v =G G
-
Fen
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Tema 2 p. 13
( ) ( ) ( ) 0x y zv v vt x y z + + + =
1 1( ) ( ) ( ) 0r zrv v vt r r r z + + + =
221 1 1( ) ( ) ( ) 0rr v v sen vt r r sen r senr
+ + + =
Coordenadas rectangulares (x, y, z):
Coordenadas cilndricas (r, , z):
Coordenadas esfricas (r, , ):
La ecuacin de continuidad en los diferentes sistemas de coordenadasFe
nm
enos
de
Tran
spor
te
Tema 2 p. 14
z
xy
xx x xx x x +
zx z
zx z z +yx y
yx y y +
Ecuacin de movimiento
Transporte convectivo: CARA ENTRADA SALIDA
x x x xv v y z x x x xv v y z+ y y x yv v x z y x y yv v x z+ z z x zv v x y z x z zv v x y+
velocidad de velocidad de velocidad de suma deacumulacin = entrada + salida + fuerzas sobre
de c.d.m. de c.d.m. de c.d.m. el sistema
Balance:
Transporte viscoso: CARA ENTRADA SALIDA
x xx x y z xx x x y z+ y yx y x z yx y y x z+ z zx z x y zx x z x y+
Balance a la componente x:
-
Fen
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Tema 2 p. 15
Balance de fuerzas: ( ) xx x xy z p p g x y z+ + Trmino de acumulacin: xv x y z
t
Substituyendo en el balance:
y x yxx x x z x xx zxx
v vv v v v v p gt x y z x y z x
= + + + + +
. .v vv p gt
= + G G G G GG G G
.Dv p gDt
= + G G G GG
Haciendo uso de la ecuacin de continuidad:
Fen
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Tema 2 p. 16
Ley de Newton
( )( )( )
22 .3
22 .322 .3
yx xxx yx xy
y yzyy yz zy
z z xzz xz zx
vv vvx y x
v vvvy y z
v v vvz x z
= + = = + = + = = + = + = = +
G G
G G
G G
( )22 .3
yx x x z xx
vDv v v v vp v gDt x x x y y x z x z
= + + + + + +
( )22 .3
yz z x z zz
vDv v v v vp v gDt z x x z y y z z z
= + + + + + +
( )22 .3
y y y yx zy
Dv v v vv vp v gDt y x x y y y z y z
= + + + + + +
La ecuacin de movimiento, para un fluido newtoniano:
-
Fen
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Tema 2 p. 17
Fluido de densidad y viscosidad constantes. (Ec. Navier-Stokes)
= + G G GG2Dv v p g
Dt
Sistemas de flujo sin efectos viscosos. (Ec. Euler)
Dv p gDt
= + G G G
Fluido en reposo.
0 p g= + G G
Formas simplificadas de la ecuacin de movimiento
.Dv p gDt
= + G G G GG
Fen
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Tema 2 p. 18
La ecuacin de movimiento en coordenadas rectangulares(en funcin de )
yxx x x x xx zxx y z x
v v v v pv v v gt x y z x x y z
+ + + = + + +
y y y y xy yy zyx y z y
v v v v pv v v gt x y z y x y z
+ + + = + + +
yzz z z z xz zzx y z z
v v v v pv v v gt x y z z x y z
+ + + = + + +
componente x:
componente y:
componente z:
-
Fen
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Tema 2 p. 19
La ecuacin de movimiento en coordenadas rectangulares(para fluidos newtonianos de y constantes)
componente x:
componente y:
componente z:
2 2 2
2 2 2x x x x x x x
x y z xv v v v v v vpv v v gt x y z x x y z
+ + + = + + + +
2 2 2
2 2 2y y y y y y y
x y z yv v v v v v vpv v v gt x y z y x y z
+ + + = + + + +
2 2 2
2 2 2z z z z z z z
x y z zv v v v v v vpv v v gt x y z z x y z
+ + + = + + + +
Fen
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Tema 2 p. 20
La ecuacin de movimiento en coordenadas cilndricas(en funcin de )
componente r:
componente :
componente z:
2
1 1( )
r r r rr z
r rzrr r
v vv v v v pv vt r r r z r
r gr r r r z
+ + + = + + +
22
1
1 1( )
rr z
zr
v v v v v v v pv vt r r r z r
r gr r zr
+ + + + = + + +
1 1( )
z z z zr z
z zzrz z
vv v v v pv vt r r z z
r gr r r z
+ + + = + + +
-
Fen
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Tema 2 p. 21
La ecuacin de movimiento en coordenadas cilndricas(para fluidos newtonianos de y constantes)
componente r:
componente :
componente z:
( )
2
2 2
2 2 2 21 1 2
r r r rr z
r rr r
v vv v v v pv vt r r r z r
vv vrv gr r r r r z
+ + + = + + + +
( ) 2 22 2 2 2
1
1 1 2
rr z
r
v v v v v v v pv vt r r r z r
v vvrv gr r r r r z
+ + + + = + + + + +
2 2
2 2 21 1
z z z zr z
z z zz
vv v v v pv vt r r z z
v v vr gr r r r z
+ + + = + + + +
Fen
men
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ansp
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Tema 2 p. 22
La ecuacin de movimiento en coordenadas esfricas(en funcin de )
componente r:
componente :
componente :
( )
2 2
22
sen
1 1 1( ) sensen sen
r r r rr
rrr r r
v v vvv v v v pvt r r r r r
r gr r r rr
+ + + + = + + + +
( )
2
22
cot 1sen
1 1 1 cot( ) sensen sen
rr
rr
v vv v v v v v v pvt r r r r r r
r gr r r r rr
+ + + + = + + + +
22
1cotsen sen
1 1 1 2cot( )sen
rr
rr
v v v v v v v v vv pvt r r r r r r
r gr r r r rr
+ + + + + = + + + + +
-
Fen
men
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e Tr
ansp
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Tema 2 p. 23
La ecuacin de movimiento en coordenadas esfricas(para fluidos newtonianos de y constantes)
componente r:
componente :
componente :
2 2
22 2 2 2
sen
2 2 2 2cotsen
r r r rr
r r r
v v vvv v v v pvt r r r r r
vvv v v gr r r r
+ + + + = + +
2
22 2 2 2 2
cot 1sen
2 2cossen sen
rr
r
v vv v v v v v v pvt r r r r r r
vvvv gr r r
+ + + + = + + +
22 2 2 2 2
cotsen
1 2 2cossen sen sen sen
rr
r
v v v v v v v v vvvt r r r r r
v vvp v gr r r r
+ + + + + = + + + +
En estas ecuaciones:2
2 22 2 2 2 21 1 1sen
sen senr
r rr r r = + +
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 2 p. 24
Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas rectangulares
22 ( . )322 ( . )322 ( . )3
xxx
yyy
zzz
v vx
vv
yv vz
= = =
G G
G G
G G
yxxy yx
y zyz zy
z xzx xz
vvy x
v vz y
v vx z
= = + = = + = = +
( ). yx zvv vv x y z = + + G G
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 2 p. 25
Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas cilndricas
22 ( . )3
1 22 ( . )3
22 ( . )3
rrr
r
zzz
v vr
v v vr rv vz
= = +
=
G G
G G
G G
1
1
rr r
zz z
z rzr rz
v vrr r r
v vz r
v vr z
= = + = = + = = +
( ) ( )1 1. zr v vv rvr r r z = + + G G
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 2 p. 26
Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas esfricas
22 ( . )3
1 22 ( . )3
cot1 22 ( . )sen 3
rrr
r
r
v vr
v v vr r
v vv vr r r
= = + = + +
G G
G G
G G
1
sen 1sen sen
1sen
rr r
rr r
v vrr r r
v vr r
vv rr r r
= = + = = + = = +
( ) ( ) ( )221 1 1. sensen senr vv r v vr r rr = + + G G
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 2 p. 27
Software de modelado de procesos
Profiled contours of axial velocity
Pressure Driven Flow in a Jet Pump Pump Efficiency
http://www.fluent.com
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 2 p. 28
The transient behavior of the tracerdispersion through the multistage reactor is captured.
Residence Time Distribution in CSTRs
Product plume forming as a result ofreactant injection through the dip tube.
Liquid-phase Reaction
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 2 p. 29
Blending Time Prediction
Concentration of the tracer can be monitored at a number of locations in the vessel andplotted as uniformity of concentration, U, as a function of time.
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 2 p. 30
Pressure contours on an aneurysm created from a Spiral CT scan
Cerebral Aneurysm RiskAssessment
Pathlines around the OpelAstra, Courtesy of Opel AG
Automotive industry: Aerodynamics
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 2 p. 31
Condiciones lmite (interfase)
VELOCIDAD:int intI IIv v=
TRANSPORTE DE C.D.M.:
FASE II FASE I SLIDO LQUIDO
GAS int 0 int 0 = LIQUIDO int 0 int intI II =
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 2 p. 32
Ecuacin de energa mecnica
Ecuacin de movimiento:
.Dv p gDt
= + G G G GG
( ) ( ) ( ) ( )212 . . . .D v v p v v gDt = + G G GG G GG
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 12 2. . . . . : .v v v pv p v v v v gt = + G G G G G GG G G G G GG G
, multiplicndola escalarmente por :vG
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 2 p. 33
SISTEMA
Compresin/Expansin( ).p v G G
Disipacin viscosa( ): v G GG
EnergaInterna
U
EnergaMecnica
212 v
ALREDEDORES
TrabajoCalor
(conduccin) ( ) ( )( ). .
. .
v g pv
v
GGG GG GG( ).q G G
E. Interna( ). vU G G E. Mecnica( )( )212. v v G G
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 12 2. . . . . : .v v v pv p v v v v gt = + G G G G G GG G G G G GG GFe
nm
enos
de
Tran
spor
te
Tema 2 p. 34
Forma adimensional de las ecuaciones de variacin
Propiedades fsicas constantes: , Magnitudes caractersticas: L, V, p0
* * * * * *02
** * *
2 2 2*2 2 2
*2 *2 *2
*
, , , , ,
x y z
p pv tV x y zv p t x y zV L L L LV
Lx y z
Lx y z
D L DV DtDt
= = = = = = = = + +
= = + + =
G
G G GG G
Ecuacin de continuidad: ( )* *. 0v =G GEcuacin de movimiento:
** * *2 *
* 2Dv gL gp v
LV gDt V = + +
GG G G
Grupos adimensionales caractersticos: Nmero de Reynolds: ReLV=
Nmero de Froude:2VFr
gL=
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 2 p. 35
Capa lmite y flujo potencial
Flujo potencial
Fluido ideal: constante0 , = =Velocidad originada por un campo potencial ():
x yv vx y = =
Ecuacin de continuidad ( = constante):
0yxvv
x y + =
Ec. Laplace
2 2
2 2 0x y + =
Carcter irrotacional:
2
20
x
yx
y
vvy x y v
y xvx x y
= = = 0v =G G
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 2 p. 36
Funcin de corriente ():
x
y
vy
vx
= =
2 20 0
2 2v vp gz p gz
+ + = + + =
constante2
2v P zg g
+ + =
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 2 p. 37
Capa lmite
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 2 p. 38
Despegue de la capa lmite
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 3 p. 1
TEMA 3
Conductividad calorfica y mecanismo del transporte de energa
Ley de FourierDeterminacin experimentalConductividad de gasesConductividad de lquidosConductividad de slidos
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 3 p. 2
Ley de Fourier
t < 0x
yy = Y
y = 0T0
t = 0
T0 T1
t > 0( , )T t y
T0 T1
t ( )T y
T0 T1
1 0yQ T TkA Y
=
ydTq kdy
=
Medio istropo:
x
y
z
dTq kdxdTq k q k TdydTq kdz
= = = =
GGG
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 3 p. 3
DIFUSIVIDAD TRMICA: p
kC
=
k cal/cm.s.K
H2(g) a 300 K y 1 atm H2(g) a 100 K y 1 atm Agua(g) a 25C y 1 atm Aire a 25C y 1 atm Agua(l) a 25C Agua(l) a 100C Benceno a 25C Al(l) a 700C Al(s) a 100C Vidrio a 200C
0.0004227 0.0001625 0.0000455 0.0000621 0.00145 0.00160 0.00342 0.247 0.2055 0.0017
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 3 p. 4
Determinacin experimental
1 2
1 2
T Tq x VIk kA x T T A
= =
Slidos (rgimen estacionario)
0
2
( )
s
s
T FoT TTT T
tFoR
+
+
= =
=
Slidos (rgimen no-estacionario)
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 3 p. 5
( )0 0 0 0 0
~ s Gs Gs G
T Tq IV kk T TA I V k T T
=
Fluidos
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 3 p. 6
Conductividad de gases
a
ayT +
yT
ayT
y
x
Energa cintica:
Calor especfico:
Balance de energa:
( )2 21 1
2 2
32
yy a y a
y a y a
q Z mu Z mu
KZ T T
+
+
=
=
Perfil plano de T:2323
y a y
y a y
dTT TdydTT Tdy
+
=
= +
2 312 2mu KT=
( )2 312 2v A dC N mu RdT= =
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 3 p. 7
12y
dTq nKudy
=
3
2 31 1 12 3 v
K Tk nKu C ud m
= = =
vk C= Modelo de Chapman-Enskog:
421.9891 10 , / . .
k
T Mk k cal cm s K= =
=15 54 2 v
Rk CM
= =
Modelo de Euken (poliatmicas):
54p
Rk CM
= +
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 3 p. 8
Diagrama generalizado:
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 3 p. 9
2
3.75 ,/
8.314
v v
v
kM k W m KC C R
M kg mol
N s mC J mol KR J mol K
= ==
===
(experimental para polares)
Recomendacin: gases no-polares
2
2
0.215 0.28288 1.061 0.2666510.6366 1.061
32
2.0 10.5
0.7862 0.7109 1.3168
v
r
ZZ
CR
Z T
+ + = + + + = = +
= +
Mtodo de Chung et al. (1986)Fe
nm
enos
de
Tran
spor
te
Tema 3 p. 10
Mtodo de Roy & Thodos
r = 1/ 63
4210c
c
T MP
= ( ) ( )
( )( ) ( )
int0.0464 0.2412
int
8.757 r rr tr
T Ttr
r
e e
C f T
= +
= =
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 3 p. 11
Mtodo de Wilke (mezclas gaseosas)
1
1
ni i
mezcla ni
j ijj
x kkx=
=
=
1 1 12 2 4
2
1 1 18
ji iij
j j i
MMM M
=
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 3 p. 12
Conductividad de lquidos
Modelo de Bridgman
23
2.80 A sNk KvV
= Velocidad del sonido a baja frecuencia:
ps
v T
C pvC
=
Mtodo de Latini et al.
( )16
0.381 rr
A Tk
T=
*bvc
A TAM T
=
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 3 p. 13
Mtodo del punto de ebullicin
( ) 12
1.11 ,bk T k w m KM= =
Ecuacin de Riedel:
( ) 233 20 1 rk B T = +
( )( )
23
12
23
1.11 3 20 1
3 20 1
r
br
TMk
T
+ =+
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 1
TEMA 4
Ecuaciones de variacin para sistemas no isotrmicos
Distribucin de temperatura en slidos y en flujo laminar.Conduccin de calor con un manantial calorfico de origen elctricoConveccin Libre y ForzadaConveccin forzada: flujo en un tubo refrigerado por la paredConveccin natural: paredes planas verticales
Ecuacin de energaLa ecuacin de energa en funcin de la temperaturaCasos particularesLa ecuacin de energa en los distintos sistemas coordenadosEcuaciones adaptadas para procesos de conveccin naturalResumen de ecuacionesFlujo tangencial con generacin de calor de origen viscosoEnfriamiento por transpiracin
Anlisis dimensionalTransmisin de calor por conveccin forzada en un tanque agitadoEcuaciones adimensionales: Conveccin libre o naturalTemperatura de la superficie de una espiral de calentamiento elctricoInterpretacin de los nmeros adimensionales
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 2
Ley deNewton
Perfil develocidad
IntegracinBalancede C.D.M.Volumen
de control
Integracin
Densidad de flujo de
C.D.M.
Estudio del transporte de C.D.M.
Ley deFourier
Perfil detemperatura
IntegracinBalancede EnergaVolumen
de control
Integracin
Densidad de flujo de
Calor
Estudio del transporte de Calor
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 3
Balances de energa
Restricciones: Rgimen estacionario. No se considera energa cintica, potencial o trabajo.
Mecanismos de transporte: Conduccin de calor (Ley de Fourier). Transporte convectivo.
Generacin de calor: elctrica, viscosa, nuclear, reaccin, ...
velocidad de velocidad de velocidad deentrada de energa - salida de energa + produccin de energa =0
calorfica calorfica calorfica
Balance:
Condiciones lmite mas frecuentes: Temperatura conocida en la superficie: T = To Densidad de flujo de calor conocida en la superficie: q = qo Condiciones de transporte en la interfase slido-fluido ("Ley de
enfriamiento de Newton"): ( )fluidoq h T T=
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 4
r
Distribucin de temperatura en slidos y en flujo laminar
Conduccin de calor con un manantial calorfico de origen elctrico
Balance de energa:
Velocidad de entrada Velocidad de salida Generacin dede calor por de calor por calor por
= -conduccin por la conduccin por la disipacinsuperficie interior superficie exterior el
ctrica
Evaluacin de los trminos:
( ) 22 2 2 ,r r e er r re
IrLq r r Lq r r LS Sk+
= + =
Integrando (r=0 qr=0): 2e
rS rq =
L
R
( )r ed rq S rdr =Por unidad de volumen (volumen 0):
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 5
Ley de Fourier: 2e
rS rdT dTq k k
dr dr= =
Condicin lmite: exr R T T= =
Integrando: 221
4e
exS R rT T
k R =
Magnitudes derivadas
(a) T mximo:2
4e
mx exS RT T
k =
(b) Flujo de calor en la superficie:
22 eR RQ RLq R LS= =
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 6
Conveccin Libre y Forzada
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 7
z
r
Conveccin forzada: flujo en un tubo refrigerado por la pared
Rgimen estacionario.Propiedades fsicas constantes.Rgimen laminar.Densidad de flujo de calor en la pared (q1) constante.
Perfil de velocidad:2
, 1z z mxrv vR
= 2
0,
( ),4
Lz mx
RvL
=
Balance de energa:
Conduccin en r:
q1
zr
T0
Conduccin en z:
Conveccin en z:
( )Entrada:
Salida:
2
2r r
r r r
q r z
q r r z+
+
Entrada:
Salida:
2
2z z
z z z
q r r
q r r+
( )( )
z
z
Entrada:
Salida:
0
0
2
2p z
p z z
v r r C T T
v r r C T T +
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 8
Dividiendo por 2r r z y tomando el lmite r 0, z 0:1 r z
p zrq qTC v
z r r z =
Con el perfil de velocidad y la ley de Fourier:2 2
, 21 1p z mx
r T T TC v k rR z r r r z
= + Conduccin axial despreciable:
2
,1 1p z mx
r T TC v k rR z r r r
=
Condiciones lmite:
r = 0 T es finitor = R (constante)1Tk qr
=z = 0 T = T0
Integrando numricamente T(z,r)
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 9
Conveccin natural: paredes planas verticales
Rgimen estacionario.Propiedades fsicas constantes.Rgimen laminar.Temperatura de las paredes constante (T1 y T2).Paredes muy largas (en z): T(y)
Balance de energa:
y yy y yq q +=
Integrando:12m
yT T Tb
=
2 1
1 22m
T T TT TT
= +=
vz(y)
y
z
b
Lm
ina
calie
nte
Lm
ina
fra
T2
T1
T(y)
0ydqdy
=2
2 0d Tkdy
=
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 10
Balance de c.d.m.:2
2zd v dp g
dzdy = +
Desarrollo en serie de Taylor (2 trminos):
( ) ( )TT
T T T TT = + = +
Admitiendo ( )2 2zd vdp g g T Tdz dy= =
Integrando: ( )2 3 ,12z gb T yv b = =En forma adimensional: ( )3112Gr = velocidad adimensional
distancia adimensional
Nmero de Grashof2 3
2
zbv
yb
gb TGr
= = = =
= =
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 11
z
xy
x xv x x xv +
z zv
z z zv +y y
v
y y yv +
Ecuacin de energa
Velocidad de Velocidad de Velocidad deacumulacin entrada de energa salida de energa
= -de energa cintica e interna cintica e interna
cintica e interna por conveccin por convec
cin
Velocidad neta Velocidad netade adicin de de trabajo comunicado
+ -calor por por el sistema
conduccin a los alrededores
Balance de energa:
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 12
Velocidad de acumulacin de energa cintica e interna:
212
x y z U vt +
Velocidad neta de entrada de energa cintica e interna por conveccin:
2 2
2 2
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
x xx x x
y yy y y
z zz z z
y z v U v v U v
x z v U v v U v
x y v U v v U v
+
+
+
+ + + + + + + +
Velocidad neta de adicin de calor por conduccin:
{ } { } { }x x y y z zx x x z z zy y yy z q q y z q q x y q q+ ++ + +
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 13
Velocidad neta de trabajo comunicado por el sistema a los alrededores:
a. Fuerzas gravitacionales:
b. Fuerzas de presin:
c. Fuerzas viscosas:
( )x x y y z zx y z v g v g v g + +
( ) ( ){ }( ) ( ){ }( ) ( ){ }
x xx x x
y yy y y
z zz z z
y z pv pv
x z pv pv
x y pv pv
+
+
+
+ +
( ) ( ){ }( ) ( ){ }( ) ( ){ }xx x xy y xz z xx x xy y xz zx x x
yx x yy y yz z yx x yy y yz zy y y
zx x zy y zz z zx x zy y zz zz z z
y z v v v v v v
x z v v v v v v
x y v v v v v v
+
+
+
+ + + +
+ + + + +
+ + + + +
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 14
SISTEMA
Compresin/Expansin( ).p v G G
Disipacin viscosa( ): v G GG
EnergaInterna
U
EnergaMecnica
212 v
ALREDEDORES
TrabajoCalor
(conduccin) ( ) ( )( ). .
. .
v g pv
v
GGG GG GG( ).q G G
E. Interna( ). vU G G E. Mecnica( )( )212. v v G G
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [1] [2] [3] [4] [5] [6]
2 21 12 2
. . . . . .U v v U v q v g pv vt + = + +
G G G GG GG G G GG
1. Velocidad deganancia de energa por unidad de volumen,
2. entrada de energa por conveccin,
3. entrada de energa por conduccin,
4. velocidad de trabajo comunicado al fluido por unidad de volumen debido a las fuerzas de gravitacin,
5. fuerzas de presin,6. fuerzas viscosas.
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 15
Transformacin a un sistema de coordenadas mvil:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )212 . . . . .D U v q v g pv vDt + = + G G GG GG G GG
Restando la ecuacin de energa mecnica se obtiene la Ecuacin de energa calorfica:
1. Velocidad de ganancia de energa interna por unidad de volumen,2. entrada de energa interna por conduccin,3. aumento reversible de energa interna debido a la compresin4. aumento irreversible de energa interna debido a la disipacin viscosa.
( ) ( ) ( ) [1] [2] [3] [4]
. . :DU q p v v
Dt = G G GG G GG
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 16
Simplificando para el caso de fluido newtoniano y conductividad calorfica constante:
VVT V
U U pdU dV dT p T dV C dTT TV
= + = + +
( ) ( ) ( )
. . :VV
DT pC q T v vDt T
= G G GG G GG
( )2 .V vDT pC k T T vDt T = +
G G
La ecuacin de energa en funcin de la temperatura
Generacinde energa
+
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 17
Casos particulares
(a) Gas ideal.
( )2
.VV
p p DTC k T p vT T Dt = =
G G
(b) Proceso a presin constante.2tan p
DTp cons te C k TDt
= =
(c) Fluido incompresible.
2tan . 0 pDTcons te v C k TDt
= = = G G
(d) Slido.20 . 0 p
DTv v C k TDt
= = = GG G
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 18
La ecuacin de energa en coordenadas rectangulares(en funcin de las densidades de flujo)
La ecuacin de energa en coordenadas cilndricas(en funcin de las densidades de flujo)
yx zv x y z
y yx z x zxx yy zz
y yx x z zxy xz yz
qq qT T T TC v v vt x y z x y z
v vv v v vpTT x y z x y z
v vv v v vy x z x z y
+ + + = + + + + + +
+ + + + +
1 1 ( )
1 1 1( )
1
zv r z r
z r zr rr r zz
r z rr rz
v q qT T T TC v v rqt r r z r r r z
v vv v vpT rv vT r r r z r r z
v v v vrr r r r
+ + + = + + + + + + +
+ + + 1 z
zvv
z r z
+ +
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 19
La ecuacin de energa en coordenadas esfricas(en funcin de las densidades de flujo)
( )( )
22
22
sen
1 1 1( ) sensen sen
1 1 1( ) sensen sen
1 1sen
v r
r
r
r r rrr
vvT T T TC vt r r r
qr q q
r r rrvpT r v v
T r r rr
vv vv v vr r r r r
+ + + = + +
+ + + + + + +
cot
1 1sen
1 1 cotsen
r rr r
r
v vv vv vr r r r r r
v v vr r r
+ + +
+ +
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 20
La ecuacin de energa en coordenadas rectangulares(en funcin de las propiedades de transporte, para , y k constantes)
La ecuacin de energa en coordenadas cilndricas(en funcin de las propiedades de transporte, para , y k constantes)
2 2 2
2 2 2
2 22 2
22
2
v x y z
y yx z x
yx z z
T T T T T T TC v v v kt x y z x y z
v vv v vx y z y x
vv v vz x z y
+ + + = + + + + + + +
+ + + +
2 2
2 2 2
2 22 2
2
1 1
1 12
1
v r z
r z zr
z r r
vT T T T T T TC v v k rt r r z r r r r z
v vv v vvr r z z r
vv v v rr z r r
+ + + = + + + + + + + +
+ + + + 2
r
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 21
La ecuacin de energa en coordenadas esfricas(en funcin de las propiedades de transporte, para , y k constantes)
22
22
2 2 2 2
22
1sen
1 1sen 2sen sen
cot1 1sen
1
v r
r
r r
vvT T T T TC v k rt r r r r rr
vT Trr r
vv vv vr r r r r
vrr r r
+ + + = + + + + + + + +
+ + 22
2
1sen
sen 1sen sen
r r vv v rr r r
v vr r
+ + + +
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 22
1r z
T T Tq k q k q kr r z
= = =
Componentes de la densidad de flujo de energa q (Ley de Fourier)
Coordenadas rectangulares:
Coordenadas cilndricas:
Coordenadas esfricas:
x y zT T Tq k q k q kx y z
= = =
1 1senr z
T T Tq k q k q kr r r
= = =
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 23
Limitaciones a la transformacin de la ecuacin de movimiento: Bajas velocidades de fluido Pequeas variaciones de temperatura.
Ecuaciones adaptadas para procesos de conveccin natural
Fluido en reposo (ley de la hidrosttica):
p g =G G
( )Desarrollo en serie de la densidad:
g T T = Ec. de movimiento:
.Dv p gDt
= + G G G GG
( ).Dv g T TDt
=
G G GG
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 24
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 25
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 26
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 27
RR
r
oEl perfil de velocidad se obtiene integrando la ecuacin de movimiento:
1
0
o
r z
r RR rv R
v v
= = =
Ecuacin de energa:210 vd dT dr r
r dr dr dr r = +
Substituyendo el perfil de velocidad...
( )2 4 4
2 42
41 101
o Rd dTrr dr dr r
= +
Flujo tangencial en tubos concntricos con generacin de calor de origen viscoso
T1
T
T(r)
v(r)
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 28
En coordenadas adimensionales:
41 14d d N
d d =
( )( ) Brinkman
14
22
2 2
1
,
1
o
T TrR T T
N Br
RBrT T
= = =
= = Integrando: 1 22
1 lnN C C = + +
Condiciones lmite: 01 1
= = = =
( ) ( )2 2 ln1 1 lnN NN N
= + +
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1000100
NN==
30002000
NN==
1
0.98 =
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 29
Enfriamiento por transpiracin
Ecuacin de continuidad:
( )221 0rd r vdrr =
Ecuacin de energa:2
21
p rdT d dTC v k rdr dr drr
= Condiciones lmite:
1
r R T Tr R T T
= == =
T
T1T(r)
CONDUCCIONkR R
CONVECCION
/ /1
/ /1
,
4o o
o o
R r R Rr p
oR R R R
w CT T e e RT T ke e
= =
Integrando:
R
R
constante24
rr
wr v = =
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 30
Clculo de la refrigeracin mediante un balance macroscpico de energa:
( )1r p refigerante conduccin r Rw C T T Q Q = + =(a) A la corteza exterior:(b) A la corteza interior:
( )( )( )
0 1/ 1
4,
41or p
refigerante oR R
w CkR T TQ R
ke
= =
10 4 1
T TQ k R =
Para un flujo de aire igual a cero:
( )0
11
1
o
o
Q QQ e
RR
= = =
Eficacia de transpiracin:
2 24refigerante conduccin r Rr R
dTQ Q k Rdr= =
= =
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 31
Restriccin: Propiedades fsicas constantes (, , k).Ecuaciones con dimensiones
Ec. Continuidad: ( ). 0v =G GEc. Movimiento: ( )o
(conveccin forzada)- g T-T (conveccin libre)
2 p gDv vDt
+ = +
G GGG
Ec. Energa: 2pDTC k TDt
= +
Variables caractersticas: 1 0, , , ,oV D P T T
* * * * * * *2
1, , , , , ,o o
o
p p T Tv tV x y zv p t T x y zV D T T D D DV
= = = = = = =GG
Ec. Continuidad: ( )* *. 0v =G GEc. Movimiento:
**2 * * *
*1 1Dv gv p
Re Fr gDt= +
GG GG
Ec. Energa:*
*2 * **
1RePr RePr
DT BrTDt
= +
( )2 2
1
Re , , Pr ,p
o
CDV V VFr BrgD k k T T
= = = =
Anlisis dimensional de las ecuaciones de variacin
Ecuaciones adimensionales: Conveccin forzada
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 32
Cambio de escala: Influencia del tamao (D) sobre el calor retirado por el refrigerante (Q)
Calor retirado en el refrigerante:0nA
TQ k dAn =
= vVariables adimensionales: * * *
21
, , oo
T TA nA n TD T TD
= = =
Transmisin de calor por conveccin forzada en un tanque agitado
Se mantiene:T1 (Disolucin)T0 (Superficie refrigerante)ReSemejanza geomtrica
Q cte D
=
( )**
**
1 *0
onA
TQ k T T D dAn =
= v*
*
*0
(Re,Pr, )n
T f condiciones lmiten =
=
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 33
Ecuaciones adimensionales: Conveccin libre o natural
Variables caractersticas: 1, , oD T T
** ** *2
1
* * *
, ,
, ,
o
o
T TvD tv t TT TD
x y zx y zD D D
= = = = = =
GG
Ec. Continuidad: ( )* **. 0v =G GEc. Movimiento:
***2 ** *
**Dv gv T Gr
gDt=
GG G
Ec. Energa:*
*2 ***
1Pr
DT TDt
=
( )Grashof
2 31
2
Pr ,p o
C g T T DGr
k = = =
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 34
Calor cedido por la resistencia:r RA
TQ k dAr =
= vVariables adimensionales: * * *2
1, , o
o
T TA rA r TD T TD
= = =
( ) * ***
**
1 o r RA
Q T dAk T T D r =
= v
Multiplicando ambos miembros por:( )2 31
2oT T gDGr
= 2 2
2 ( ) (Gr)Q gD Gr Gr
k = = ( )
2 2 21
1 2 3 2oQ gDT T
gD k =
La funcin se obtiene experimentando con el modelo.Si adems se utiliza el mismo fluido:
( ) ( )2 2modelo prototipoQD QD= ( ) ( )3 31 1modo oelo prototipoT T D T T D =
Temperatura de la superficie de una espiral de calentamiento elctrico
* *
*
* (Pr, , )r R
T f Gr condiciones lmiter =
=( )1 ( )o
Q Grk T T D
=
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 4 p. 35
( )
( )( )
fuerzas de inerciafuerzas viscosas
fuerzas de inerciafuerzas de gravedad
fuerzas de flotacinfuerzas de inercia
transporte de calor
2
2
2
12 2
12
1
/Re/
/
Re /
/PrRe
/
o
p o
o
V DV D
V DFrg
g T TGrV D
C V T T Dk T T D
= =
= =
= =
= =
( )( )
por conveccintransporte de calor por conduccin
produccin de calor por disipacin viscosatransporte de calor por conduccin
2
21
//o
V DBr
k T T D= =
Interpretacin de los nmeros adimensionales
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 5 p. 1
TEMA 5
Difusividad y mecanismos del transporte de materia
Definiciones de concentraciones, velocidades y densidades de flujo de materia
Ley de Fick de la difusinDeterminacin experimental de la difusividadEcuaciones de prediccin y correlacin para los estados
lquido y gaseosoAnaloga entre los distintos transportes
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 5 p. 2
Definiciones de concentraciones, velocidades y densidades de flujo de materia
imasa componente iConcentracin en masa:volumen de mezcla
moles de iConcentracin molar:volumen de mezcla
masa de iFraccin msica:masa de mezcla
moles de iFraccin molar:moles de
ii
i
ii
ii
cM
w
cxc
== == =
= = mezcla
Concentracin
Relaciones
2
1
// /
A B
A A B B
A AA
A A B B
AA
A BA B
A B
x xx M x M M
w Mxw M w M
dwdxw wM MM M
+ =+ =
= +=
+ ( )2
1/ / 1/
A B
A A B B
A AA
A A B B
A B AA
A A B B
w ww M w M M
x Mwx M x M
M M dxdwx M x M
+ =+ =
= += +
Masa Moles
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 5 p. 3
A
A
A
C
B
B
vB
vA
vA
vA
vC
vB
Velocidad media:
N N
i ii 1 i 1
N N
i ii 1 i 1
Masa Moles
*i iv cv
v vc
= =
= =
= =
G G
G G
Velocidad de difusin:
Masa:
Moles: *
i
i
v v
v v
G G
G G
Velocidad de mezclas en procesos de transferencia de materiaFe
nm
enos
de
Tran
spor
te
Tema 5 p. 4
( )( )
( ) ( )( ) ( )
*
* * *
*
1
1
A A B B A A B B
A A B B A A B B
A A B B
A A B B
v v v w v w v
v c v c v x v x vc
v v w v v w v v
v v x v v x v v
= + = += + = + = + = +
G G G G G
G G G G G
G G G G G GG G G G G G
Relaciones entre velocidades
Sistema de coordenadas Base Estacionario Masa Moles Masa i i in v= G G ( )i i ij v v= G G G ( )* *i i ij v v= G G G Moles i i iN c v=
G G ( )i i iJ c v v= G G G ( )* *i i iJ c v v= G G G
( )( )
*
*
* * * * *
0
0
A B A B
A B A B
A B A B
n n v N N cv
j j J J c v v
j j v v J J
+ = + =+ = + = + = + =
G GG G G GG G G G G GG G G GG G
Densidades de flujo
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 5 p. 5
* *
A A A
A A A
A A A
n M N
n j v
N J c v
== + = +
GGGG G
G G G
Sistema de coordenadas estacionario:
( )
*
A A A A B
BA A A A B
A
AA
A
BA A
j n w n n
MJ N w N NM
jJMMJ JM
= + = +
=
=
G G G G
G G G G
GG
G G
Sistema de coordenadas mvil (masa):
( )*
*
*
* *
AA A A A B
B
A A A A B
A AB
A A A
Mj n x n nM
J N x N N
Mj jM
j J M
= + = +=
=
G G G G
G G G G
G G
G G
Sistema de coordenadas mvil (moles):
Relaciones entre densidades de flujoFe
nm
enos
de
Tran
spor
te
Tema 5 p. 6
* AAy AB
dxJ cDdy
=
Forma vectorial: *A AB AJ cD x= G G
Ley de Fick de la difusin
xA1
xA2
*AJ
Sistema T (K) xA DAB (cm2/s CO2 + N2O (g) Ar + O2 H2 + CH4 Etanol + Agua (l) Al + Cu (s)
273.2 293.2 298.2 298.2 293.2
0.05 0.50 0.95
0.096 0.20 0.726 1.13 10-5 0.90 10-5 2.20 10-5 1.3 10-30
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 5 p. 7
( )( )
( ) ( )
* *
2
2* *
A A A A B AB A
A A A A B AB A
A A AB A
A A AB A
A A A B AB A
A A AB AA B
ABA B A B A
A B
n n w n n D w
N N x N N cD x
j j D w
J J cD x
cj j M M D x
J J D wcM M
cDc v v c v v xx x
= + = + = = =
=
=
GG G G GG G G G GG G GG G G
G G G
G G G
GG G G G
TransporteDensidad Transporte
= global de +de flujo difusional
la fase
Otras formas de la Ley de FickFe
nm
enos
de
Tran
spor
te
Tema 5 p. 8
Determinacin experimental de la difusividad
Difusividad de vapores en gases (celda de Stephan)
,0 ,A A ZAAz AB AB
y ydc pN D Ddz RT Z
= =
,0
,
0
0
oA
A
A Z
pz yp
z Z y
= == =
LAz
A
A zN A tM = LAB o
A A
RT zD ZtM p
=
B
A
Z
Difusividad en disoluciones lquidas
1 2A A AAz AB Ab
dc c cN D Ddz Z
= =
2Az AN A t V c = 21 2
1AAB
A A
cZVDA c c t
=
cA1 cA2Z
V
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 5 p. 9
Ecuaciones de prediccin y correlacin para los estados lquido y gaseoso
Teora cintica (simplificacin adicional: autodifusin):
Balance de materia:
( )* 1 1 1 14 4Ay A A A Ay a y ay a y aJ Z x Z x nx u nx uN N + + = = Gradiente lineal de concentracin:
2323
AA Ay a y
AA Ay a y
dxx xdydxx xdy
+
=
= +
Difusividad de gases (autodifusin)
a
y
x
y ax +
yx
y ax
( )x y
Operando: *13
AAy
dxJ cudy
=
Comparando con la ley de Fick:
*
1/ 23 3 / 2
3 21 23 3AA A A
K TD um pd
= = *
* AAy AA
dxJ cDdy
=
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 5 p. 10
Difusividad de gases (sistemas binarios)
1/ 23 / 2 3 / 2
22 1 13 2 2
2
ABA B A B
K TDm m d dp
= + +
3
2
1 1
0.0018583AB
A BAB
AB D
TM M
Dp
+ =
( )12AB A B
AB A B
= + =
Estimacin de parmetros:
Teora de Chapman-Enskog
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 5 p. 11
Ecuacin predictiva
Basada en la ley de los estados correspondientes:
( ) ( )1/ 2
1/ 3 5 /12 1 1
bAB
cA cBcA cB cA cB
A B
pD TaT T
p p T TM M
= + a b Mezclas binarias de gases no polares Mezclas H2O + gas no-polar
2,745 10-4 3,640 10-4
1,823 2,334
Difusividad de lquidos
Ecuacin de Wilke:
( )1/ 28 2 30.67.410 , / , , , /
B BAB AB A
A
M TD D cm s T K cP V cm mol
V = = = = =
B = parmetro de asociacin del disolvente (B). Valores recomendados: 2,6 para el agua, 1,9 para el metanol, 1,5 para el etanol y 1,0 para disolventes no asociados (benceno, ter, heptano,...).
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 5 p. 12
Influencia de las variables de operacin
Presin Temperatura Concentracin
Gases ~ p-1 ~T1.5-2.0
Lquidos ~T1.0 ~ xA1
Analoga entre los distintos transportes
( ) ( ) *px Ayx y Ay AB
d C Td u dcq J Ddy dy dy
= = =
( / )P d P VAt dy
= P P/At P/V C.D.M. yx ux Calor qy CpT Materia (mol) J*Ay cA DAB
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 6 p. 1
TEMA 6
Ecuaciones de variacin para sistemas de varios componentes
Balances de materia aplicados a una envoltura: condiciones lmite:Difusin a travs de una pelcula gaseosa estancadaDifusin con reaccin qumica heterogneaDifusin con reaccin qumica homogneaTransferencia de materia por conveccin forzada
Ecuacin de continuidad para una mezcla binaria: La ecuacin de continuidad en diversos sistemas coordenados
Ecuacin de continuidad para sistemas de varios componentes en funcin de las densidades de flujo
Ecuacin de continuidad para sistemas de varios componentes en funcin de las propiedades de transporte
Ejemplo: Transferencia simultnea de calor y materia
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 6 p. 2
Ley deNewton
Perfil develocidad
IntegracinBalancede C.D.M.Volumen
de control
Integracin
Densidad de flujo de
C.D.M.
Estudio del transporte de C.D.M.
Ley deFick
Perfil deConcentracin
IntegracinBalancede MateriaVolumen
de control
Integracin
Densidad de flujo de
Materia
Estudio de la transferencia de materia
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 6 p. 3
Balances de materia aplicados a una envoltura: condiciones lmite
velocidad de velocidad de velocidad deentrada de salida de produccin de
materia de A materia de A materia de A0
+ =
Balance de materia en rgimen estacionario
( )AAz AB A Az BzxN cD x N Nz= + +
Ley de Fick
Concentracin conocida: xA= xAo Densidad de flujo conocida: NA= NAo Transporte de interfase slido-fluido: NAz= kc(cA-cAo)
Condiciones lmite habituales
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 6 p. 4
Difusin a travs de una pelcula gaseosa estancada
Ley de Fick:
01
AB ABz Az
A
cD xN Nx z
= =
Balance de materia:
0Az Azz z zS N S N + = 0AzdN
dz=
Condiciones lmite:
1 1
2 2
oA
A AT
A A
Pz z x xP
z z x x
= = == =
Perfil de concentracin:1
2 12
1 1
1 11 1
z zz zA A
A A
x xx x
=
Densidad de flujo: 22 1 1
lnAB BAzB
cD xNz z x
=
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 6 p. 5
Difusin con reaccin qumica heterognea
Reaccin cataltica
instantnea
22A A
Ley de Fick: 22
12 1
2
AA AA z Az Az
A
cD dxN N N x dz= =
Balance de materia: 0 0AzAz Azz z zdNS N S N
dz+ = =
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 6 p. 6
Condiciones lmite:
00
A Ao
A
z x xz x= == =
Perfil de concentracin:1
1 12 2
z
AoA xx =
Densidad de flujo:2
2 1ln1
2
AAAz
Ao
cDN x=
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 6 p. 7
Difusin con reaccin qumica homognea
Reaccin homognea, con cintica de primer orden:
1, A AA B AB r k c+ =
Balance de materia: 1 10 0AzAz Az A Az z zdNS N S N k c S z k c
dz+ = + =
Ley de Fick para componente A diluido (xA0): AAz AB dcN D dz=
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 6 p. 8
Condiciones lmite:
0
0
A Ao
A
z c cdcz Ldz
= == =
Perfil de concentracin:
211
11
cosh 1,
coshA
Ao AB
zbc k LL bc b D
= =
Densidad de flujo en la superficie de nivel:
1 10 tanhAo AB
Az zc DN b b
L==
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 6 p. 9
Transferencia de materia por conveccin forzada
Integrando las ecuaciones de continuidad y movimiento:
2
,( ) 1z z mxxv x v
=
Balance de materia:
0Az Az Axz z z x
Ax x x
W x N W x N W z N
W z N+
+
+ =
En el lmite:
0Az AxN Nz x
+ =
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 6 p. 10
Ley de Fick:
( ) ( ) ( )( )
AAz AB A Az Bz A Az Bz A z
A AAx AB A Ax Bx AB
dcN D x N N x N N c v xdzdc dcN D x N N Ddx dx
= + + +
= + +
Substituyendo:2 2
, 21A A
z mx ABc cxv Dz x
= Condiciones lmite:
0 00
0
A
A Ao
A
z cx c c
cxx
= == =
= =
La solucin:
,
4A
Ao AB
z mx
c xerfcc D z
v
=
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 6 p. 11
Ecuacin de continuidad para una mezcla binaria
z
xy
Ax xn Ax x xn +
Az zn
Az z zn +Ay y
n
Ay y yn +
velocidad de velocidad de velocidad de velocidad deacumulacin de entrada de salida de produccin de
masa de A masa de A masa de A masa de A
= +
Ax x
Ax x x
x y zt
n y z
n y z+
+
AVelocidad de acumulacin:
Velocidad de entrada (cara x):
Velocidad de salida (cara x x):
AyA Ax AzA
nn n rt x y z
+ + + =
Notacin vectorial: A A An rt + =
G G
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 6 p. 12
Anlogamente para el componente B: B B Bn rt + =
G G
Sumando las dos ecuaciones:
0
A B
A B
A B
n n n vr r
+ = + = = + =
G G G G. 0v
t + =
G G
... que es la ecuacin de continuidad para un fluido puro.
Si el fluido es incompresible: constante . 0v = =G G
Para la densidad de flujo molar (desarrollo anlogo): .A A Ac N Rt
+ =GG
Sumando las ecuaciones para los dos componentes:
*A B
A B
c c c
N N N cv
+ = + = = G G G G ( )*. A Bc cv R Rt
+ = +G G
Para concentracin global constante: constante *. A BR Rc v
c+= =G G
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 6 p. 13
Para el clculo de perfiles de concentracin hay que introducir la ley de Fick:
Simplificaciones habituales
(a) Densidad y difusividad constantes (disoluciones diluidas,T constante).
constante .v 0
2.A A A AB A Av v D rt + + = + = =
G GGG G
*
. .
. .
AA AB A A
AA AB A A
v D w rt
c c v cD x Rt
+ = + + = +
G G GG
G G GG
2.A A AB A Ac v c D c Rt
+ = +GG, dividiendo por la masa
molecular de A ...
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 6 p. 14
(c) ..si adems la velocidad molar media es nula y no hay reaccin, (slidos o lquidos estacionarios, y gases con interdifusin equimolar)
"Segunda ley de Fick"2A AB Ac D ct
=
constante
* * 2
*
.
.
AA A AB A A
A B
c c v v c D c Rt
R Rc vc
+ + = + + = =
G GG G
G G
(b) Concentracin total y difusividad constantes (gases a baja densidad, T y P ctes.)
( )* 2.A AA AB A A A Bc cv c D c R R Rt c + = + +
GG
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 6 p. 15
Rectangulares: AyA Ax Az ANc N N R
t x y z + + + =
Cilndricas: ( )1 1 AA AzAr ANc NrN Rt r r r z + + + =
Esfricas: ( ) ( )221 1 1 AA Ar A ANc r N N sen Rt r r sen r senr + + + =
Rectangulares:2 2 2
2 2 2A A A A A A A
x y z AB Ac c c c c c cv v v D Rt x y z x y z
+ + + = + + + Cilndricas: 1A A A Ar z
c c c cv v vt r r z
+ + + = 2 2
2 2 21 1A A A
AB Ac c cD r R
r r r r z = + + +
Esfricas: 1 1A A A Arc c c cv v vt r r r sen
+ + + = 2
22 2 2 2 21 1 1A A A
AB Ac c cD r sen R
r rr r sen r sen = + + +
La ecuacin de continuidad en diversos sistemas coordenados
La ecuacin de continuidad de A para y DAB constantes
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 6 p. 16
Ecuacin de continuidad: ( ) ( ). . 1,2,...,i i i iD v j r i nDt = + =GG GGSumando para todos los componentes: ( ). 0vt + = G G
Ecuacin de movimiento:
Ecuacin de energa:
1.
n
i ii
Dv g PDt =
= + = + G GG GG G G
( ) [ ]( ) ( )21
1 . . . .2
n
i ii
D U v q v n gDt =
+ = + G GG G GGGOtras ecuaciones necesarias para describir el sistema:
Ecuacin de estado: p = p(,T,xi) Ecuacin trmica de estado: =(,T,xi) Expresiones para las densidades de flujo: ji, , q Propiedades de transporte: , k, DAB = f(P,T,xi) Cinticas de las reacciones: ri Campos de fuerzas: gi
Ecuacin de continuidad para sistemas de varios componentes en funcin de las densidades de flujo
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 6 p. 17
Densidades de flujo en un sistema de coordenadas estacionario(Transporte convectivo + molecular)
i
c.d.m.: vv
Energa:
Materia: n
21 .2
1,2,...,i i
e U v v q v
w v j i n
= + = + + +
= + =
G GG GG GG GG
GG G
Las ecuaciones de variacin correspondientes ...
( ) ( )( )
Movimiento:
Energa:t
Continuidad:
1
2
1
.
1 . .2
. 1,2,...,
n
i ii
n
i ii
i i i
v gt
U v e n g
n r i nt
=
=
= + + = + = + =
GG GG
G G G G
G G
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 6 p. 18
ACOPLAMIENTO
Diferencia de rdenes:0,2
DENSIDAD DE FLUJO
FUERZA IMPLUSORA
i
q
j
GGG
{ }, ,i i
v
T
x P g
G GG
G G G
Ecuacin de continuidad para sistemas de varios componentes en funcin de las propiedades de transporte
-
Fen
men
os d
e Tr
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orte
Tema 6 p. 19
Densidades de flujo
c.d.m. (newtonianos):
( ) ( ) ( )23 .tv v v = + + G G GG G GG
Energa: ( ) ( ) ( ) ( )1
nc d x x
i ii
q q q q k T H J q=
= + + = + + GGG G G G GEn un sistema de coordenadas estacionario:
{ }( ) ( ) ( ) 212.c d xe q q q v U v v= + + + + + G G G G G GG{ }Despreciando ( ) 212, . :xq v v v + G G GG
1
n
i ii
e k T N H=
= + GGG
Fen
men
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orte
Tema 6 p. 20
Materia:
( )( ) ( ) ( )
2( )
, ,1 1,
2( )
1
2( )
1
1
s
gx P Ti i i i i
n njx
i j ij j kik T p xj k
s j kk j
njP
i j ij j jijj
ng k
i j ij j j j kik
j j j j j
Gcj M M D x xRT x
Vcj M M D x M PRT M
cj M M D x M g gRT
= =
=
=
= + + + = =
=
G G G G G
G G
G G
G G G1
( ) ln
n
jT T
iij D T=
=
G G
-
Fen
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orte
Tema 6 p. 21
En un sistema binario ...
22
,
AA B A B AB A A
A A T P
Gcj j M M D x xRT x M
= = G G G
( ) 1 lnTB AA B AA
Vg g P D TM
+ G GG G
( ) 2, ln ,TA
A A TT P ABA B
DdG RT d a kDc M M
= =
2
,
lnln
AA B A B AB A
A T P
acj j M M D xx
= = G G G
( ) 1 lnA B A A A AA B TA
M x M x Vg g P k TRT RT M
+ G GG G
Fen
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orte
Tema 6 p. 22
Ejemplo: Transferencia simultnea de calor y materia
Ecuacin de continuidad:
0AzdNdz
=
Perfil de concentracin (Ley de Fick):
1AB A
AzA
cD dxNx dz
=
Densidad de flujo:
1ln1
AABAz
Ao
xcDNx
=
/11
1 1
zAA
Ao Ao
xxx x
=
VAPOR A+
INERTE
SUPE
RFI
CIE
FR
IA
CO
ND
ENSA
DO
TzT
0T
Ax Azx
0Ax
0z = z = z
-
Fen
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Tema 6 p. 23
Ecuacin de energa: 0zdedz
=
Densidad de flujo de energa:
( ) ( )0z A Az B Bz Az pAdT dTe k H N H N k N C T Tdz dz= + + = + Integrando:
0
0
1 exp
1 exp
Az pA
Az pA
N Cz
kT TT T N C
k
=
El perfil de concentracin en funcin de la densidad de flujo:
1 exp
1 exp
Az
ABA Ao
A Ao Az
AB
N zcDx x
x x NcD
=
-
Fen
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orte
Tema 7 p. 1
TEMA 7
Transporte en flujo turbulento
Flujo turbulento.Transporte turbulento de c.d.m.Ecuaciones de variacin de tiempo ajustado.Distribucin de velocidad en flujo turbulento.Transporte turbulento de energa.Transporte turbulento de materia.
Fen
men
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ansp
orte
Tema 7 p. 2
Flujo turbulento
Velocidad instantnea:
( ), , ,z zv v t x y z=
Velocidad de tiempo ajustado:
( )0
1 , , ,o
z z
t tzt
v v dt v t x y zt
+= =Componente fluctuante:
' zz zv v v=
0' ' 0
t tz zt
v v dt+= =
VELO
CID
AD
t
zv
zv
'zv
'zv
-
Fen
men
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orte
Tema 7 p. 3
Intensidad de la turbulencia
( )2 2 213 ' ' 'x y zv v vI
v
+ +=
Turbulencia isotrpica:2
2 2 2 '' ' ' xx y zv
v v v Iv
= = =
( ) ' '1 2'2 '2
1 2
x x
x x
v vR yv v
=R(y)
1
0y
Tamao de los remolinos
Escala de turbulencia:0
( )yL R y dy=
Fen
men
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Tema 7 p. 4
z
y )(yv x
xv
yv '
x
A
( ) '
'x
y x y xtyx
x x
m v v AvA A
v v v
= = = +
Ajustando en el tiempo:
( )( )
' ' '
' ' '
x
x
tyx y y x
y y x
v v v v
v v v v
= + = +
( )' '
tyx y xv v =
Turbulencia isotrpica: ( ) 0t
yx =
Transporte turbulento de c.d.m.
( )( ) ' ' 'xtyx y y xv v v v = +
Balance de c.d.m. en el plano A:
-
Fen
men
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orte
Tema 7 p. 5
Restringidas al flujo de fluidos incompresibles.
Proceso de transformacin a partir de las ecuaciones de variacin:
2. Ajustar la ecuacin en el tiempo.' 'x x xv v v P P P= + = +
Ecuacin de continuidad: 0yx zvv v
x y z + + =
Ecuacin de movimiento:
' '' ' ' '
x yx x x x z
y yx x z z
yxxx zxx
v vv v v v vPt x x y z
v vv v v vx y z
gx y z
= + + + +
+ + +
Ecuaciones de variacin de tiempo ajustado
1.Sustituir valores instantneos por promedio mas fluctuante:
Fen
men
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e Tr
ansp
orte
Tema 7 p. 6
( )Modelos bibliogrficos para el clculo de
tyx
Teora de la difusividad turbulenta de Boussinesq:
( ) ( )t xtyx
dvdy
=
Teora de la longitud de mezcla de Prandtl:
( ) 2 x xtyx
dv dvldy dy
=
Frmula emprica de Deissler:
2( ) 2 1 exp x xxt
yxn v y dvn v y
dy =
-
Fen
men
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orte
Tema 7 p. 7
Distribucin de velocidad en flujo turbulento
Lejos de la pared
00 1 rzL dL r dr
=
( )0 00
12
rz
rz
rL
oR r s
L R Rs R r
= = = = =
Integrando:
rz o = Aproximacin (?):( ) ( )( )
rz
t tlrz rzrz = + Lejos de la pared:
( ) 2 21rzt
rz
dvK sds
= Modelo de Prandtl (l=K1s):
* *1
1 1 ,z odv v vds K s
= = Reorganizando:
Ecuacin de movimiento:
1 * 11 1
1 ln ,z zsv v v s s
K s = Integrando entre s1 y s:
Fen
men
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orte
Tema 7 p. 8
*
*
/
/
zv v v
s sv
+
+
= =
En forma adimensional:
11 1
1 ln sv vK s
++ ++= +
Valores experimentales (Re>20.000): 13.8 ln0.36
v s+ += +
Cerca de la pared
Frmula de Deissler:2( ) 2 1 exp x xx
tyx
n v y dvn v ydy
= Aproximacin: 1 1ss R
R
-
Fen
men
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e Tr
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orte
Tema 7 p. 9
LAMINAR TURBULENTO
2
, 1z z mxrv vR
=
1/ 7
, 1z z mxrv vR
=
,12z z mx
v v=
,45
z z mxv v= ( )0 ~L Q
( ) 7 / 40 ~L Q
LAMINAR
TURBULENTO
Fen
men
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e Tr
ansp
orte
Tema 7 p. 10
Transporte turbulento de energa
Temperatura ajustada en el tiempo:
ot t
t
o
TdtT
t
+
= Componente fluctuante de la temperatura: TTT ='
Temperatura instantnea: T
Definiciones
Ecuacin de energa ajustada en el tiempo( , , , constantes)pC k
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 7 p. 11
Forma vectorial:
( ) ( ) ( )( ) ( ) . . t tl l vp vDTC q qDt = + + G GG G
Nuevos trminos:1) Densidad de flujo turbulento de energa
( )
( )
( )
' '
' '
' '
tp xx
tp yx
tp zx
q C v T
q C v T
q C v T
= = =
2) Funcin de disipacin turbulenta de energa
3 3( )
1 1
'' ' 't ji i iv
j j j ij j
vv v vx x x x= =
= +
Fen
men
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e Tr
ansp
orte
Tema 7 p. 12
( )Modelos bibliogrficos para el clculo de
tyq
Conductividad calorfica de remolino:
( ) ( )t ty
dTq kdy
=
Teora de la longitud de mezcla de Prandtl:
( ) 2 xtpy
dv dTq C ldy dy
=
Frmula emprica de Deissler:2( ) 2 1 exp xx
tpy
n v y dTq C n v ydy
=
-
Fen
men
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ansp
orte
Tema 7 p. 13
Transporte turbulento de materia
Definiciones
Concentracin ajustada en el tiempo:
o
A
t tAt
o
c dtc
t
+
= Fluctuacin de concentracin : ' AA Ac c c=
Concentracin instantnea: Ac
Ecuacin de continuidad para una reaccin con cintica de orden n
2 2 2
2 2 2A
x A y A z A
nA A AAB n A
c c c cv c v c v c D k ct x y z x y z
= + + + + + Ajustando en el tiempo:
' ' ' ' ' 'A x y zA A A x A y A z Ac v c v c v c v c v c v ct x y z x y z
= + + + + +
( )2 2 2 1 22 2 2 22( 1)
' ( 2)
AA A A
ABA A
k c nc c cDx y z k c c n
= + + + + =
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 7 p. 14
Nuevos trminos:
1) Densidad de flujo turbulento de materia:( )
( )
( )
' '
' '
' '
tx x At
y y At
z z A
J v c
J v c
J v c
===
2) Trmino de reaccin (n1)
Forma vectorial:
( )( ) ( ) 1 2 22( 1)
. .' ( 2)
AA
A
l tA A
A
k c nDc J JDt k c c n
= + =
G GG G
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
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Tema 7 p. 15
( )Modelos bibliogrficos para el clculo de
tAyJ
Difusividad de remolino:
( ) ( ) At tAy AB
dcJ D
dy=
Teora de la longitud de mezcla de Prandtl y Taylor:
( ) 2 x AtAy
dcdvJ ldy dy
=
Frmula emprica de Deissler (prximo a la pared):
2( ) 2 1 exp x Axt
Aydcn v yJ n v ydy
=
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 8 p. 1
TEMA 8
Factor de friccin y balance macroscpico de cantidad de movimiento
Balance macroscpico de materia. Balance macroscpico de cantidad de movimiento. Transporte de c.d.m.: Factor de friccin. Transporte de c.d.m.: Flujo en conducciones. Transporte de c.d.m.: Flujo alrededor de cuerpos sumergidos. Balance macroscpico de energa mecnica: Ecuacin de Bernouilli.
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 8 p. 2
Balance macroscpico de materia
Mtodos de calculo alternativos para la obtencin de los balances macroscpicos:
Integracin de la ecuacin de variacin (balance microscpico). Planteamiento en un volumen de control macroscpico.
Balance de materia al sistema: 1 2 1 1 1 2 2 2totdm w w v S v S
dt= =
En estado estacionario: 1 2w w=
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 8 p. 3
Balance macroscpico de cantidad de movimiento
( ) ( ) [1] [2] [3] [4] [5]
2 21 1 1 2 2 2 1 1 2 2
TOTtot
dCDM v S v S P S P S F m gdt
= + +JJJJJG G G G G G G
[1] La cdm total: V
CDM vdV= JJJJJG G [2] Flujo neto de entrada de cdm por los planos S1 y S2 (despreciando ). [3] Fuerza de presin. [4] Fuerza ejercida por el fluido sobre las paredes del sistema (presin + friccin). [5] Fuerza de gravedad.
2TOT
totvdCDM w PS F m g
dt v
= + +
JJJJJJG G G GGEn funcin de los flujos msicos:
Laminar: Turbulento:2 2
43
v vv v
v v= =
El clculo del factor / se realiza a partir del perfil de velocidad:
2
totv
F w PS m gv
= + + GG GG
En rgimen estacionario:
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 8 p. 4
Ejemplo: Aumento de presin en un ensanchamiento brusco
Problema: Fluido incompresible Flujo turbulento. Rgimen estacionario.
1 2 1 1 1 2 2 2
2 1
1 2
1w w v S v S
v Sv S
= = = =
Balance de materia:
Balance de c.d.m.:2
totv
F w PS m gv
= + + GG GG
Fuerza ejercida por el fluido sobre las paredes: F = -P1(S2 S1) Despreciando la contribucin de friccin superficial (slo presin). Presin en el ensanchamiento igual a la de entrada (vena contracta).
Operando: 22 1 21 1P P v =
1 1 2 2 1 1 2 2F w v w v P S P S= +
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 8 p. 5
Transporte de c.d.m.: Factor de friccin
Ecuaciones de variacin: Mucha informacin Mucha complejidad
Mtodo Alternativo: Transporte De Interfase
En la mayor parte de los procesos de inters en ingeniera qumica la resistencia a los procesos de transporte se encuentra en una delgada capa junto a la interfase slidofluido
Problemas caractersticos en el flujo de fluidos:
1. Flujo en conducciones: PQ ~ 2. Flujo alrededor de cuerpos sumergidos: uFR ~
Caractersticas: Menos complejo Menos informacin Mas experimentacin
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 8 p. 6
Factor de friccin
kF fAK=Fk: Fuerza de rozamiento f: factor de friccin,A: superficie,K: energa cintica / volumen.
1) Flujo en conducciones
FK
FPRESIONFPESO
( ) ( )2122kF f RL v= Balance de fuerzas:
( ) ( ) ( )2 20 0k L o L LF P P g h h R R = + = Resolviendo...:
021
2
14
LDfL v =
Factor de friccin de Fanning
-
Fen
men
os d
e Tr
ansp
orte
Tema 8 p. 7
FPESO
FkFFLOTACION
2) Flujo alrededor de cuerpos sumergidos
( ) ( )2 212kF f R u= Balance de fuerzas:
( )343k esf
F R g=
Resolviendo...
243
esfgDfu
= Coeficiente de resistencia (cD).
Correlacin de valores experimentales de coeficientes de friccin:
Anlisis dimensional
Fen
men
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orte
Tema 8 p. 8
Transporte de c.d.m.: Flujo en conducciones
( ) ( )2 2120 0 2Lk rz r RF Rd dz f RL v == =
( ) ( )2
0 0
2122
Lz
r R
v Rd dzr
fRL v
= =
Variables adimensionales:
( )*
**/ 22* *
0 *0 01/ 2
/1 1/
ReRe /
L D z
r
r r DvDP P P v f d dz
L rD v
=
= = = =
Problema Tubera lisa horizontal Flujo estacionario Propiedades constantes (, )
Fuerza de rozamiento sobre la pared
-
Fen
men
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Tema 8 p. 9
Resolucin del gradiente de velocidad en la pared:
( )* * * *, ,Reconocidav v r z= Ecuacin adimensional de movimiento:
( )* *
* * * *
* *
1/ 2 0
0 ,
0 0
conocida
r v
z v v r
z P
= == = = =
