FFT I UGR

UNIVERSIDAD DE GRANADA

Grado en Ingeniería

Informática FUNDAMENTOS FÍSICOS Y

TECNOLÓGICOS

(PARTE I)

Curso: 2011/2012 Clase: Primero - Grupo: B

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recopilación de toda la asignatura impartida en la UGR.

TEORÍA


Fundamentos Fısicos y Tecnologicos

Tema 1. Electromagnetismo.Parte I. Campo Electrico

Isabel M. Tienda Luna

Departamento de Electronica y Tecnologıa de ComputadoresUniversidad de Granada

[email protected]

Grado en InformaticaCurso 2011-2012

Isabel M. Tienda Luna Tema 1. Electromagnetismo. Parte I. Campo Electrico 1 / 49

1 Magnitudes escalares y vectoriales

2 Teorıa de Campos

3 Concepto de campo electrico

4 Intensidad de campo electrico

5 Energıa potencial electrica

6 Potencial electrico

7 Principio de superposicion

8 Teorema de Gauss

9 Campo Electrico en la materia. Capacidad


Magnitudes escalares y vectoriales


2 Teorıa de Campos






8 Teorema de Gauss





Denominamos magnitudes escalares a aquellas que quedancompletamente identificadas dando su valor, que siempre es unnumero real acompanado de una unidad. Ejemplos: masa,temperatura, densidad, tiempo, intensidad, voltaje, ...

Denominamos magnitudes vectoriales a aquellas que quedancompletamente identificadas dando su modulo, direccion y sentido.Por ejemplo velocidad, aceleracion, fuerza, el campo electrico, elcampo magnetico.... El modulo de una magnitud vectorial siempre esun numero real positivo.

Las magnitudes vectoriales se representan a traves de vectores.



Sistemas de coordenadas

Cartesianas




Cilındricas

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z

r =px2 + y2

θ = arctan (y/x)

z = z




Esfericas

x = r sin θ cosφ

y = r sin θ sinφ

z = r cos θ

r =px2 + y2 + z2

θ = arctan

py2 + x2

z

!φ = arctan (y/x)


Teorıa de Campos


2 Teorıa de Campos






8 Teorema de Gauss



Teorıa de Campos

Teorıa de Campos

En la naturaleza, existen muchos cuerpos que interactuan entre sı sin estaren contacto. Por ejemplo la interaccion que existe entre un iman y unclavo situado a cierta distancia. Estas interacciones se explican mediante elconcepto de campo.Vamos a estudiar dos tipos de campos:

Campos escalares

Campos vectoriales


Teorıa de Campos

Campos escalares

Se dice que existe un campo escalar cuando una magnitud escalartiene un valor determinado en cada punto del espacio.La magnitudescalar sera entonces una funcion de la posicion. Si llamamos a esamagnitud U, entonces U = f(x, y, z).

Representacion: superficies de nivel o equiescalares (superficiesequipotenciales, isotermas, isobaras, etc..)

U(x,y)=x +y2 2

U(x,y)=4

U(x,y)=1


Teorıa de Campos

Campos escalares

Variaciones entre superficies equiescalares: gradiente.

∇U =∂U

∂xi+

∂U

∂yj +

∂U

∂zk (1)

U1

U2

A


Teorıa de Campos

Campos vectoriales

Se dice que existe un campo vectorial cuando en cada punto delespacio esta definito un vector. Si llamamos a esa magnitud ~v,entonces ~v = f(x, y, z).


Teorıa de Campos

Campos vectoriales

Lınea de campo en un punto es la tangente al vector campo endicho punto.

Representacion: lıneas de campo. Concepto de campo uniforme.

Propiedades de las lıneas de campo:1 Su sentido de recorrido coincide con el del vector campo.2 Dos lıneas de campo no pueden cortarse nunca. ¿Por que?3 Las lıneas de campo pueden ser cerradas o abiertas.4 Si el campo es uniforme, las lıneas de campo son rectas paralelas. ¿Por

que?


Teorıa de Campos

Circulacion de un vector. Campos Conservativos

Circulacion de un vector.

C =∫ B

A~v.d~r (2)

La circulacion de un vector es una magnitud escalar.Campo conservativo:

C =∮~v.d~r = 0 (3)


Teorıa de Campos

Campos conservativos. Potencial

Potencial: A cada punto de un campo vectorial conservativo se lepuede asignar un escalar llamado potencial (V), de manera que lacirculacion entre dos puntos del campo nos da la diferencia depotencial entre dichos puntos:

C =∫ B

A~v.d~r = VB − VA = −(VA − VB) = −∆V (4)

Superficies equipotenciales. Propiedades.


Teorıa de Campos

Flujo a traves de una superficie

Ejemplo

Se entiende como flujo de lıneas de campo a traves de una superficieel numero de lıneas de campo que la atraviesan.

En el ejemplo: φ = vScosα

En general:

φ =∫S~v.d~S (5)

Eleccion del vector de superficie de una superficie.


Concepto de campo electrico


2 Teorıa de Campos






8 Teorema de Gauss




Propiedades

Se dice que existe un campo electrico en un region del espacio si unacarga electrica colocada en un punto de esa region experimenta una fuerzaelectrica.Caracterısticas del campo electrico:

Es un campo vectorial.

Es central, eso es, esta dirigido hacia el punto donde se encuentra lacarga que lo crea.

Es conservativo.

La fuerza que lo define es inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia:

~F = KQq

r2er (6)



Lıneas de Campo

Cargas positivas: Fuentes

Cargas negativas: Sumideros

Ejemplo 1 Ejemplo 2



Ley de Coulomb

Ley de Coulomb (1785)

La fuerza de atraccion o repulsion entre dos cargas puntales esdirectamente proporcional al producto de las dos cargas e inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Limitaciones de la Ley de Coulomb: solo es aplicable a cargaspuntuales.

Unidad de carga electrica en el S.I.: El culombio (C)

Carga del electron: q=e=1,6× 10−19C. ¿Cuantos e− necesito paratener 1C de carga?

K = 14πε0

Ejemplo de aplicacion


Intensidad de campo electrico


2 Teorıa de Campos






8 Teorema de Gauss



Intensidad de campo electrico

Intensidad de campo Electrico

La intensidad de campo es la fuerza referida a la unidad caracterıstica dedicho campo colocada en ese punto. En nuestro caso, es la fuerza queejerce el campo sobre una unidad de carga positiva colocada en un punto.

~E =~F

q= K

Qq

qr2er = K

Q

r2er(N/C) (7)


Energıa potencial electrica


2 Teorıa de Campos






8 Teorema de Gauss





Supongamos que tenemos dos cargas, Q y q, y que queremos desplazaruna con respecto a la otra. Eso requerira un esfuerzo, la realizacion de untrabajo:

WA→B =∫ B

A

~F · d~r (8)

Variacion de la energıa potencial entre dos puntos A y B: es el trabajorealizado por la fuerza central al trasladar su punto de aplicacion de unpunto al otro.

∆Ep = KQq

(1rA− 1rB

)(Julios) = −WA→B (9)

Signos:

Positivo (el trabajo lo realiza el campo)

Negativo (trabajo realizado por una fuerza externa)




Solo tiene sentido hablar de diferencias de energıa potencial. Si se quierehablar en terminos absolutos es necesario marcar una referencia. Ennuestro caso la referencia sera una distancia muy lejana donde lainteraccion y por tanto el potencial se suponen nulos.

La energıa potencial en un punto B de un campo central es el trabajorealizado por la fuerza central al trasladar su punto de aplicacion desde elinfinito (rA), donde se supone que la fuerza es nula, hasta dicho punto(rB).

Ejemplo

Q q

rB dr

rA=

Ep = KQq

rB(Julios) (10)


Potencial electrico


2 Teorıa de Campos






8 Teorema de Gauss



Potencial electrico

Definicion de potencial Electrico

El potencial en un punto es el trabajo realizado por la fuerza central paratrasladar la unidad de carga positiva sometida a la accion del campo desdeel infinito (rA), donde suponemos que el campo es nulo, hasta dicho punto(rB).

VB = KQ

rB(V oltio =

Julios

Culombio) (11)


Potencial electrico

Diferencia de potencial Electrico

La diferencia de potencial entre dos puntos de campo es el trabajorealizado para trasladar la unidad de carga positiva desde un punto al otro.

VB − VA = KQ

(1rB− 1rA

)(V ) (12)


Potencial electrico

Potencial e intensidad de campo

Calculo del potencial a partir del campo

VB − VA =−WAB

q= −1

q

∫ B

A

~F .d~r = −1q

∫ B

Aq ~E.d~r = −

∫ B

A

~E.d~r

(13)Si consideramos rA →∞ y situamos la referencia de potencial en elinfinito, entonces

VB = −∫ B

∞~E.d~r (14)

Calculo del campo a partir del potencial

− ~E = ∇V (15)


Potencial electrico

Potencial e intensidad de campo

El sentido del campo es el de los potenciales decrecientes.

~E = −∇V

Trabajo realizado por el campo

Q V1 V2

E

+

dr

Trabajo contra el campo

Q V1 V2

E

+

dr


Principio de superposicion


2 Teorıa de Campos






8 Teorema de Gauss




¿Que ocurre cuando tengo mas de una carga?

Cuando queremos calcular el campoo el potencial electricos creados poruna serie de cargas puntuales usamosel principio de superposicion.

Para el campo electrico ha de hacerse una suma de vectores:

~ET = ~E1 + ~E2 + · · ·+ ~En = K

n∑i=1

Qir2i

~eri (16)

Para el potencial la suma es de escalares:

VT = V1 + V2 + · · ·+ Vn = Kn∑i=1

Qiri

(17)



Distribuciones contınuas de carga

Distribucion volumetrica

ρ = lım∆V→0

∆Q∆V

=dQ

dV⇒ Q =

∫VρdV (18)

Distribucion superficial

σ = lım∆S→0

∆Q∆S

=dQ

dV⇒ Q =

∫SσdS (19)

Distribucion lineal

λ = lım∆L→0

∆Q∆L

=dQ

dL⇒ Q =

∫LλdL (20)



Principio de Superposicion Generalizado

Si tenemos un sistema de cargas puntuales, una distribucion volumetrica decarga definida por una ρ(r), una distribucion superficial definida por σ(r)y una distribucion lineal de cargas definida por λ(r), el campo total es:

~ET = K

n∑i=1

Qir2i

~eri +∫V

ρ(r)dVr2

~er +∫S

σ(r)dSr2

~er +∫L

λ(r)dLr2

~er (21)


Teorema de Gauss


2 Teorıa de Campos






8 Teorema de Gauss



Teorema de Gauss

¿Hay otra alternativa para calcular el campo?

Teorema de Gauss

El flujo total de un campo electrico a traves de una superficie cerrada esigual al cociente entre la suma algebraica de las cargas contenidas en elvolumen limitado por ella y la permitividad del vacio (ε0).

φ =∑Q

ε0(22)

Ejemplos de aplicacion

Campo y potencial creados por una carga puntual.

Campo y potencial creados por un plano uniformemente cargado.

Campo y potencial creados por un hilo infinito uniformemente cargado.

Campo y potencial creados por una esfera uniformemente cargada en su interior yen el exterior.


Campo Electrico en la materia. Capacidad


2 Teorıa de Campos






8 Teorema de Gauss




Materiales conductores y dielectricos

Dielectricos

Conductores

Semiconductores

¿Como se comporta un dielectico en un campo electrico?




¿Como se comporta un dielectico en un campo electrico?

~Etot = ~Eext + ~Eind (23)

~Etot = ~Eext − (1− ε0ε

) ~Eext (24)




Dielectricos

Conductores

Semiconductores

¿Como se comporta un conductor cargado en equilibrio?

La carga se distribuye en lasuperficie

~E es perpendicular a lasuperficie

~E es cero en el interior

El potencial es constante



Ejemplo:esfera conductora cargada en equilibrio

Aplicamos el Teorema de Gauss

φ =∮S

~E.d~S =∮SEdS = E

∮SdS =

E4πr2

Teorema de Gauss: φ = Qε0

E4πr2 =Q

ε0

E =Q

4πε0r2= K

Q

r2



Ejemplo:esfera conductora cargada en equilibrio

Usamos la relacion entre el potencial y el campo

V =∫ ∞r

~E.d~r =∫ ∞r

Edr

Aplicamos el resultado anterior:

V =∫ ∞r

KQ

r2dr

V = KQ

r



Fenomenos de apantallamiento.



Capacidad

Definicion

La capacidad de un conductor es el cociente entre la carga que almacena yel potencial al que se encuentra.

C =Q

V(25)

Sımil hidrostatico

Al poner en contacto:VA = VB = VC

Pero QA 6= QB 6= QC porqueCA 6= CB 6= CC

Ejemplo: Capacidad de un esferaconductora



Condensadores

Los condensadores son sistemas de dos conductores, separados por undielectrico, en los que se verifica un aumento de capacidad por fenomenosde influencia total. Ello permite que los conductores almacenen una grancarga, para pequenas diferencias de potencial.

Un condensador consta de dos armaduras metalicas: colectora ycondensadora; la primera con carga positiva y un mayor potencialque la segunda, en la que existe, en su superficie influida, una cargaigual pero de signo contrario.

La capacidad de un condensador se calcula:

C =Q

V1 − V2

La capacidad de un condensador depende del propio cuerpo, delmedio y del resto de cuerpos que lo rodean.



Condensadores

Condensador Plano Condensador variable Condensador esferico

6

6

C =ε0A

d(26)

C =4πε0

1rA− 1

rB

(27)



Condensadores

Asociacion paralelo Se realiza con la union de todas lasarmaduras colectoras y condensadorasentre sı

La capacidad del sistema es igual a lasuma de las capacidades asociadas

C = C1 + C2 + · · ·+ Cn (28)

Para obtener la relacion anterior setiene cuenta que

Q = Q1 +Q2 + · · ·+Qn (29)



Condensadores

Asociacion serie Se realiza uniendo las armaduras decada condensador con la condensadoray colectora del anterior y del siguiente,quedando las dos terminales,funcionando como armaduras delconjunto

La inversa de la capacidad del sistemaes la suma de las inversas de lascapacidades asociadas

1C

=1C1

+1C2

+ · · ·+ 1Cn

(30)



Condensadores

Energıa almacenada en un condensador:

U =12C(V1 − V2)2 =

12Q2

C=

12Q(V1 − V2)2 (31)

Definicion de la constante dielectrica de un medio a partir de lacapacidad. Experiencias de Faraday.

Vacio Dielectrico



Tema 1. Electromagnetismo.Parte II. Campo Magnetico



[email protected]


Isabel M. Tienda Luna Tema 1. Electromagnetismo. Parte II. Campo Magnetico 1 / 31

1 Introduccion

2 Corriente Electrica

3 Ley de Ohm. Resistencia.

4 Fuerza Electromotriz

5 Vector Induccion Magnetica. Fuerza de Lorentz.

6 Ley de Biot y Savart

7 Ley de Ampere

8 Fenomenos de autoinduccion


Introduccion

1 Introduccion






7 Ley de Ampere



Introduccion

Conceptos fundamentales

Tipos de imanes

Polos

Lınea neutra

Lıneas de induccion magnetica1 Salen del polo N y entran al polo S2 Son cerradas ⇒ los polos no pueden

separarse3 Lıneas terrestres4 Las lıneas de campo debidas a una

corriente rectilınea soncircunferencias con centro en elconductor.

5 La direccion del campo ( ~B) estangente a las lıneas de induccion

Iman


Introduccion

Un poco de historia...

Oersted (1820). Las corrientes electricas producen camposmagneticos.

Faraday (1832). Los campos magneticos son capaces de inducirmovimiento de cargas.

Ampere sienta las bases del electromagnetismo:1 Las cargas en movimiento producen interacciones electromagneticas

ademas de las electricas dadas por la ley de Coulomb.2 Toda carga en movimiento produce un campo magnetico que actua

sobre otra carga solo si esta esta tambien en movimiento.3 Un campo magnetico solo es capaz de actuar sobre cargas en

movimiento.4 Se dice que en una region hay un campo magnetico cuando una carga

en movimiento experimenta una fuerza.5 El magnetismo natural es consecuencia tambien de cargas en

movimiento.6 El campo magnetico cumple el principio de superposicion.


Corriente Electrica

1 Introduccion






7 Ley de Ampere



Corriente Electrica

Concepto

Corriente Electrica es la circulacion de la carga a traves de un conductor.Convenimos en asignar un sentido a la corriente electrica y es el que tienelos portadores de carga positiva; como la corriente electrica esta producidapor un campo electrico, esta tiene el mismo sentido que el campo. Sellama conduccion al proceso por el cual la carga se transporta.


Corriente Electrica

Intensidad de corriente

La intensidad de corriente es la velocidad a la que se transporta la cargapor un punto dado en un sistema conductor.

I =dQ

dt

(Culombio

segundo= Amperio

)(1)


Ley de Ohm. Resistencia.

1 Introduccion






7 Ley de Ampere




Ley de Ohm

Definicion de Resistencia ⇒ Ley de Ohm

V1 − V2 = IR (2)

Representacion en uncircuito

La resistencia es la medida de la oposicion de los hilos conductores al movimientode los electrones en su seno.

La resistencia depende de la temperatura. ¿Aumenta o disminuye con T?

Expresion mas general de la ley de Ohm: R =dV

dI= cte



Asociacion de resistencias

Asociacion serie Asociacion paralelo



Resistencias

Resistencias variables: cajas de resistencias y potenciometros.

Energıa consumida por una corriente que atraviesa una resistencia.La caıda de potencial (V1 − V2) entre dos puntos de un hilo conductor es laperdida de energıa potencial de la unidad de carga, cuando pasa de un punto aotro. Si la carga transportada es q, la perdida de energıa potencial U sera:

U = I2Rt =(V1 − V2)

2

Rt (3)

Potencia consumida por una corriente que atraviesa una resistenciaEs la energıa de la corriente en cada unidad de tiempo. Su unidad es el Vatio (W).

P = I2R =(V1 − V2)

2

R(4)

Kilovatio-hora.

Efecto Joule. Es la transformacion de la energıa electrica en calorıfica, al circularuna corriente por un conductor. U = I2Rt


Fuerza Electromotriz

1 Introduccion






7 Ley de Ampere




Fem

La fuerza electromotriz (fem) (ε) es toda causa capaz de mantener unadiferencia de potencial entre dos puntos de un conductor o de produciruna corriente electrica que lo atraviese.

Electrostatica Sımil hidrodinamico


Vector Induccion Magnetica. Fuerza de Lorentz.

1 Introduccion






7 Ley de Ampere




Vector Induccion Magnetica. Fuerza de Lorentz

Carga movil

~F = q~v × ~B (5)

Unidades de ~B: Tesla, Weberm2

Modulo de la fuerza : qvB sinϕDireccion y sentido de la fuerza: reglade la mano derecha




Corriente ~F = I~l × ~B (6)

Numero de portadores de carga en elelemento de volumen: dn = NSdl

Carga en el elemento de volumen:dq = edn

Teniendo en cuenta que I = dqdt se

llega a Id~l = ~vdq

Sustituyendo: d~F = Id~l × ~B


Ley de Biot y Savart

1 Introduccion






7 Ley de Ampere





La induccion magnetica ( ~B) producida por un elemento de corrienteestacionaria en un punto del espacio, es un vector perpendicular al planodeterminado por el elemento de corriente y el punto; de sentido dado por laregla de la mano derecha cuando el pulgar indica el avance de la corriente

Ley de Biot y Savart Permeabilidad magnetica:capacidad de

una sustancia o medio para atraer y hacer

pasar a traves de sı los campos magneticos.(N/A2)


Aplicable a cargas en movimiento

Conductores finitos: uso∫


Ley de Ampere

1 Introduccion






7 Ley de Ampere



Ley de Ampere

¿Hay alguna forma mas facil de calcular el campo?

Si, pero primero algunas propiedades del campo magnetico:

El origen del campo magnetico esta en las corrientes electricas y portanto no existen polos magneticos aislados, es decir, las lıneas decampo son siempre cerradas. Por tanto:∮

~B.d~S = 0 (7)

No podemos usar la ley de Gauss para el campo magnetico.

El campo magnetico no es conservativo, por tanto su circulacion alo largo de una lınea cerrada no es cero.


Ley de Ampere

Ley de Ampere

En un campo magnetico, la circulacion del vector induccion a lo largo deuna curva cerrada C es igual a µ0 veces la intensidad de corriente quecorta el area de dicha curva. ∮

C

~B.d~l = µ0I (8)

La ley de Ampere solo es valida paracorrientes estacionarias

En el ejemplo:∮C~B.d~l = µ0(I2 − I3 + I4)

Para poner signo a las corrientesusamos la regla de la mano derecha


Ley de Ampere


Si r > aIC

~B.d~l =

IC

Bdl = B

IC

dl = B2πrIC

~B.d~l = µ0I

B =µ0I

2πr

Si r < aIC

~B.d~l =

IC

Bdl = B

IC

dl = B2πrIC

~B.d~l = µ0I′ con I ′ = I

πr2

πa2

B =µ0Ir

2πa2


Ley de Ampere

Fuerzas entre corrientes paralelas

Mismo sentido Sentido opuesto

Las corrientes en el mismo sentido se atraen

Las corrientes en sentidos opuestos se repelen

F = µ0II′l2πa


Fenomenos de autoinduccion

1 Introduccion






7 Ley de Ampere




Experiencias de Faraday

Solo hay corriente mientras quehaya movimiento relativoespira-iman

Cesa la corriente si cesa elmovimiento

La corriente se produce por unafuerza electromotriz llamadafem inducida que depende de laintensidad del campo magneticoy de su sentido

Explicacion: las corrientesinducidas se deben a lasvariaciones del flujo magnetico



Ley de Lenz

El flujo producido por la corriente inducida se opone a la variacion del flujoinductor.

Esto es, el sentido de la corriente inducida es tal que tiende a oponerse ala causa que la origina: principio de accion-reaccion del electromagnetismo.



Ley de Faraday

Siempre que varıa el flujo magnetico que atraviesa un circuito, se origina elel una corriente inducida; la fuerza electromotriz de induccion tiene elvalor de la velocidad de variacion del flujo. La corriente existe mientrasexiste variacion de flujo.

ε = −dφdt

(9)



Autoinduccion

¿Que ocurrirıa si tengo un conductor y hago variar la corriente quelo atraviesa?Si uso la ley de Lenz, aparecera una corriente que se opondra a dichasvariaciones.

Se llama autoinduccion de un circuito a la formacion de corrientesinducidas en el circuito cuando se producen en el variaciones del propioflujo.

ε = −dφdt

(10)



Autoinduccion

El flujo magnetico que atraviesa a un circuito aislado depende de susparametros geometricos y de la intensidad de corriente que lo recorre (Leyde Biot y Savart); por tanto para un circuito rıgido (no varıan losparametros geometricos), los cambios de flujo resultan de los cambios decorriente:

dφ

dt=dφ

dI

dI

dt(11)

Coeficiente de autoinduccion de un circuito es la variacion queexperimenta el flujo a traves del circuito debida a las variaciones de lacorriente que lo recorre y depende unicamente de los parametrosgeometricos del circuito

L =dφ

dI(12)



Autoinduccion

L se mide en Henrios. Un Henrio es la autoinduccion de un conductoren el cual la variacion de la corriente en un amperio por segundoinduce una fem de un voltio.

ε = −LdIdt

(13)

Asociacion de bobinas1 Serie:

Leq = L1 + L2 + ....+ LN (14)

2 Paralelo:1Leq

=1L1

+1L2

+ ....+1LN

(15)



Tema 1. Electromagnetismo.Parte II. Campo Magnetico



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1 Introduccion






7 Ley de Ampere



Introduccion

1 Introduccion






7 Ley de Ampere



Introduccion

Conceptos fundamentales

Tipos de imanes

Polos

Lınea neutra

Lıneas de induccion magnetica1 Salen del polo N y entran al polo S2 Son cerradas ⇒ los polos no pueden

separarse3 Lıneas terrestres4 Las lıneas de campo debidas a una

corriente rectilınea soncircunferencias con centro en elconductor.

5 La direccion del campo ( ~B) estangente a las lıneas de induccion

Iman


Introduccion

Un poco de historia...

Oersted (1820). Las corrientes electricas producen camposmagneticos.

Faraday (1832). Los campos magneticos son capaces de inducirmovimiento de cargas.

Ampere sienta las bases del electromagnetismo:1 Las cargas en movimiento producen interacciones electromagneticas

ademas de las electricas dadas por la ley de Coulomb.2 Toda carga en movimiento produce un campo magnetico que actua

sobre otra carga solo si esta esta tambien en movimiento.3 Un campo magnetico solo es capaz de actuar sobre cargas en

movimiento.4 Se dice que en una region hay un campo magnetico cuando una carga

en movimiento experimenta una fuerza.5 El magnetismo natural es consecuencia tambien de cargas en

movimiento.6 El campo magnetico cumple el principio de superposicion.


Corriente Electrica

1 Introduccion






7 Ley de Ampere



Corriente Electrica

Concepto

Corriente Electrica es la circulacion de la carga a traves de un conductor.Convenimos en asignar un sentido a la corriente electrica y es el que tienelos portadores de carga positiva; como la corriente electrica esta producidapor un campo electrico, esta tiene el mismo sentido que el campo. Sellama conduccion al proceso por el cual la carga se transporta.


Corriente Electrica

Intensidad de corriente

La intensidad de corriente es la velocidad a la que se transporta la cargapor un punto dado en un sistema conductor.

I =dQ

dt

(Culombio

segundo= Amperio

)(1)



1 Introduccion






7 Ley de Ampere




Ley de Ohm

Definicion de Resistencia ⇒ Ley de Ohm

V1 − V2 = IR (2)

Representacion en uncircuito

La resistencia es la medida de la oposicion de los hilos conductores al movimientode los electrones en su seno.

La resistencia depende de la temperatura. ¿Aumenta o disminuye con T?

Expresion mas general de la ley de Ohm: R =dV

dI= cte



Asociacion de resistencias

Asociacion serie Asociacion paralelo



Resistencias

Resistencias variables: cajas de resistencias y potenciometros.

Energıa consumida por una corriente que atraviesa una resistencia.La caıda de potencial (V1 − V2) entre dos puntos de un hilo conductor es laperdida de energıa potencial de la unidad de carga, cuando pasa de un punto aotro. Si la carga transportada es q, la perdida de energıa potencial U sera:

U = I2Rt =(V1 − V2)

2

Rt (3)

Potencia consumida por una corriente que atraviesa una resistenciaEs la energıa de la corriente en cada unidad de tiempo. Su unidad es el Vatio (W).

P = I2R =(V1 − V2)

2

R(4)

Kilovatio-hora.

Efecto Joule. Es la transformacion de la energıa electrica en calorıfica, al circularuna corriente por un conductor. U = I2Rt



1 Introduccion






7 Ley de Ampere




Fem

La fuerza electromotriz (fem) (ε) es toda causa capaz de mantener unadiferencia de potencial entre dos puntos de un conductor o de produciruna corriente electrica que lo atraviese.

Electrostatica Sımil hidrodinamico



1 Introduccion






7 Ley de Ampere





Carga movil

~F = q~v × ~B (5)

Unidades de ~B: Tesla, Weberm2

Modulo de la fuerza : qvB sinϕDireccion y sentido de la fuerza: reglade la mano derecha




Corriente ~F = I~l × ~B (6)

Numero de portadores de carga en elelemento de volumen: dn = NSdl

Carga en el elemento de volumen:dq = edn

Teniendo en cuenta que I = dqdt se

llega a Id~l = ~vdq

Sustituyendo: d~F = Id~l × ~B



1 Introduccion






7 Ley de Ampere





La induccion magnetica ( ~B) producida por un elemento de corrienteestacionaria en un punto del espacio, es un vector perpendicular al planodeterminado por el elemento de corriente y el punto; de sentido dado por laregla de la mano derecha cuando el pulgar indica el avance de la corriente

Ley de Biot y Savart Permeabilidad magnetica:capacidad de

una sustancia o medio para atraer y hacer

pasar a traves de sı los campos magneticos.(N/A2)


Aplicable a cargas en movimiento

Conductores finitos: uso∫


Ley de Ampere

1 Introduccion






7 Ley de Ampere



Ley de Ampere

¿Hay alguna forma mas facil de calcular el campo?

Si, pero primero algunas propiedades del campo magnetico:

El origen del campo magnetico esta en las corrientes electricas y portanto no existen polos magneticos aislados, es decir, las lıneas decampo son siempre cerradas. Por tanto:∮

~B.d~S = 0 (7)

No podemos usar la ley de Gauss para el campo magnetico.

El campo magnetico no es conservativo, por tanto su circulacion alo largo de una lınea cerrada no es cero.


Ley de Ampere

Ley de Ampere

En un campo magnetico, la circulacion del vector induccion a lo largo deuna curva cerrada C es igual a µ0 veces la intensidad de corriente quecorta el area de dicha curva. ∮

C

~B.d~l = µ0I (8)

La ley de Ampere solo es valida paracorrientes estacionarias

En el ejemplo:∮C~B.d~l = µ0(I2 − I3 + I4)

Para poner signo a las corrientesusamos la regla de la mano derecha


Ley de Ampere


Si r > aIC

~B.d~l =

IC

Bdl = B

IC

dl = B2πrIC

~B.d~l = µ0I

B =µ0I

2πr

Si r < aIC

~B.d~l =

IC

Bdl = B

IC

dl = B2πrIC

~B.d~l = µ0I′ con I ′ = I

πr2

πa2

B =µ0Ir

2πa2


Ley de Ampere

Fuerzas entre corrientes paralelas

Mismo sentido Sentido opuesto

Las corrientes en el mismo sentido se atraen

Las corrientes en sentidos opuestos se repelen

F = µ0II′l2πa



1 Introduccion






7 Ley de Ampere




Experiencias de Faraday

Solo hay corriente mientras quehaya movimiento relativoespira-iman

Cesa la corriente si cesa elmovimiento

La corriente se produce por unafuerza electromotriz llamadafem inducida que depende de laintensidad del campo magneticoy de su sentido

Explicacion: las corrientesinducidas se deben a lasvariaciones del flujo magnetico



Ley de Lenz

El flujo producido por la corriente inducida se opone a la variacion del flujoinductor.

Esto es, el sentido de la corriente inducida es tal que tiende a oponerse ala causa que la origina: principio de accion-reaccion del electromagnetismo.



Ley de Faraday

Siempre que varıa el flujo magnetico que atraviesa un circuito, se origina elel una corriente inducida; la fuerza electromotriz de induccion tiene elvalor de la velocidad de variacion del flujo. La corriente existe mientrasexiste variacion de flujo.

ε = −dφdt

(9)



Autoinduccion

¿Que ocurrirıa si tengo un conductor y hago variar la corriente quelo atraviesa?Si uso la ley de Lenz, aparecera una corriente que se opondra a dichasvariaciones.

Se llama autoinduccion de un circuito a la formacion de corrientesinducidas en el circuito cuando se producen en el variaciones del propioflujo.

ε = −dφdt

(10)



Autoinduccion

El flujo magnetico que atraviesa a un circuito aislado depende de susparametros geometricos y de la intensidad de corriente que lo recorre (Leyde Biot y Savart); por tanto para un circuito rıgido (no varıan losparametros geometricos), los cambios de flujo resultan de los cambios decorriente:

dφ

dt=dφ

dI

dI

dt(11)

Coeficiente de autoinduccion de un circuito es la variacion queexperimenta el flujo a traves del circuito debida a las variaciones de lacorriente que lo recorre y depende unicamente de los parametrosgeometricos del circuito

L =dφ

dI(12)



Autoinduccion

L se mide en Henrios. Un Henrio es la autoinduccion de un conductoren el cual la variacion de la corriente en un amperio por segundoinduce una fem de un voltio.

ε = −LdIdt

(13)

Asociacion de bobinas1 Serie:

Leq = L1 + L2 + ....+ LN (14)

2 Paralelo:1Leq

=1L1

+1L2

+ ....+1LN

(15)



Tema 3. Circuitos en Corriente Alterna



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Isabel M. Tienda Luna Tema 3. Circuitos en Corriente Alterna 1 / 53

1 Introduccion

2 Herramientas Matematicas

3 Corriente Alterna

4 Impedancia

5 Principio de Superposicion en CA

6 Teoremas de Thevenin y Norton en CA.

7 Funcion de Transferencia. Filtros.

8 Potencia


Introduccion

1 Introduccion


3 Corriente Alterna

4 Impedancia




8 Potencia


Introduccion

CA vs CC

El amplio uso de la CA viene determinada por su facilidad detransformacion, que no existe CC.

Elevacion de tension en CC: conexion de generadores en serie ⇒ pocopractico.

Elevacion de tension en CA: uso de transformadores ⇒ eficienteporque se eleva el voltaje hasta altos valores (alta tension),disminuyendo en igual proporcion la intensidad de corriente.

Energıa transportada: U = vit. La misma energıa puede serdistribuida a largas distancias con bajas intensidades de corriente y,por tanto, con bajas perdidas (Uperdidas = Ri2t).

Una vez en el punto de consumo o en sus cercanıas, el voltaje puedeser de nuevo reducido para su uso industrial o domestico de formacomoda y segura.


Herramientas Matematicas

1 Introduccion


3 Corriente Alterna

4 Impedancia




8 Potencia



Numeros complejos

¿Que es un numero complejo?

Los numeros complejos estan relacionados con las raices de numerosnegativos.Nosotros vamos a usar la notacion j ≡

√−1

¿Como se expresan los numeros complejos?

Forma binomial: z = a+ jb.Forma polar: z = |z|ejθ.Forma trigonometrica: z = |z| cos θ + j|z| sin θ

Transformaciones.

Representacion grafica.

Complejo conjugado.

Opuesto de un numero complejo.

Igualdad de numeros complejos.

Representacion

a

b z0

z=a+jb

Eje imaginario

Eje real



Numeros complejos

Operaciones con numeros complejos: dependiendo de la operacion a realizar,

sera mas conveniente tener el numero complejo expresado en una forma u otra.

1 Suma (binomial)2 Resta (binomial)3 Producto (polar)4 Division (polar)

Para hacer ejemplos sobre operaciones con numeros complejos, usar elpdf sobre complejos que esta dentro de la carpeta Curso cero dematematicas basicas disponible en el moodle (semana 1).



Senal sinusoidal (tipo seno o tipo coseno)

0

v(t)

V0

t

T

T

cosenoseno v(t) = V0 sin (ωt+ α) =

V0 cos (ωt+ α− π/2)

v(t) = V0 sin (2πft+ α) =V0 cos (2πft+ α− π/2)

v(t) = V0 sin ( 2πtT

+ α) =V0 cos ( 2πt

T+ α− π/2)

Algunas definiciones

Frecuencia angular (ω), frecuencia (f), y Periodo (T).

Diferencia de fase entre dos senales x1(t) y x2(t). x1(t) adelantada si0 < α1 − α2 < π. x2(t) adelantada si −π < α1 − α2 < 0.

Valor instantaneo.

Valor pico a pico.

Valor eficaz (r.m.s)=qR T

0v2(t)dt=V0/

√2. Relacion con la potencia.



Fasores y numeros complejos

Puedo usar numeros complejos para representar senales sinusoidales ( verhttp : //en.wikipedia.org/wiki/Phasor o http : //es.wikipedia.org/wiki/Fasor):v(t) = V0(cos(ωt+ α) + j sin(ωt+ α)) ¡¡Solo nos interesa una parte!!

Representacion fasorial: v(t) = V0ej(ωt+α) si V = V0e

jα ⇒ v(t) = V ejωt

0

v(t)

V0

t

0

T

Fasor (V0ejα)

Es un numero complejo que

representa el modulo V0 y la

fase inicial ejα de una senal

sinusoidal v(t).

¿Por que trabajar con numeros complejos?

Ventaja: permite transformar ecuaciones diferenciales en ecuacionesalgebraicas faciles de resolver.(Derivada e integral de la exponencial).Desventaja: hay que familiarizarse con los numeros complejos.


Corriente Alterna

1 Introduccion


3 Corriente Alterna

4 Impedancia




8 Potencia


Corriente Alterna

Caracterısticas Generales

¿Que es una senal de corriente alterna? Se denomina corriente alternaa la corriente electrica en la que la magnitud y direccion varıancıclicamente. La forma de onda de la corriente alterna mascomunmente utilizada es la de una onda senoidal. Sin embargo, enciertas aplicaciones se utilizan otras formas de onda periodicas, talescomo la triangular o la cuadrada.

Representacion: polaridad.

Notacion.

Vamos a comenzar analizando las caracterısticas y el comportamientode las senales mas sencillas: aquellas que son de tipo senoidal.


Corriente Alterna

Caracterısticas Generales II

Algunos tipos de ondas periodicas tienen el inconveniente de no tenerdefinida su expresion matematica, por lo que no se puede operaranalıticamente con ellas.

¿Por que trabajamos con ondas senoidales?

Las funciones seno y coseno estan perfectamente definidasmatematicamente. Mediante la teorıa de los numeros complejos seanalizan con facilidad los circuitos de alterna.Las ondas periodicas no senoidales se pueden descomponer en suma deuna serie de ondas senoidales de diferentes frecuencias (armonicos):series de Fourier.Se pueden generar con facilidad y en magnitudes de valores elevadospara facilitar el transporte de la energıa electrica: transformadores.

Las leyes de Kirchoff se siguen cumpliendo. Problema: ahoratrabajamos con ecuaciones diferenciales.


Impedancia

1 Introduccion


3 Corriente Alterna

4 Impedancia




8 Potencia


Impedancia

Impedancia. Ley de Ohm generalizada.

Si v(t) = V0cos(ωt+ α), se cumple que v(t) = Real“V0e

j(ωt+α)”⇒ A partir de

ahora usaremos v(t) = V0ej(ωt+α) para hacer las cuentas y al final, al calcular

potenciales o intensidades, nos quedaremos solo con la parte real del resultadoporque v(t) es la parte real del numero complejo V0e

j(ωt+α).

¿Por que hacemos esto? Para poder seguir usando la Ley de Ohm.

Generalizacion de la ley de Ohm

v(t) = Zi(t)

Z es la Impedancia y se mide en Ohmios (Ω). Su valor depende del tipo de elemento aconsiderar. A continuacion lo calcularemos para:

Resistencia

Condensador

Bobina


Impedancia

Impedancia de una resistencia

Para una resistencia se cumple siempre que:

v(t) = Ri(t)

Si usamos que v(t) = V0ej(ωt+α), la Ley de Ohm nos dice que V0e

j(ωt+α) = Ri(t). Estaexpresion tiene dos consecuencias:

1 La impedancia de una resistencia se calcula como ZR = R.

2 La intensidad que recorre la resistencia es i(t) = V0Rej(ωt+α). Como puede

observarse, i(t) tiene las mismas frecuencia angular y fase que v(t) pero distintomodulo.


Impedancia

Impedancia de un condensador

Para un condensador se cumple siempre que:

i(t) = C dv(t)dt

Si usamos que v(t) = V0ej(ωt+α), la expresion anterior queda como

i(t) = C d(V0ej(ωt+α))dt

= CjωV0ej(ωt+α) = Cjωv(t). Esta expresion tiene dos

consecuencias:

1 La impedancia de un condensador se calcula como ZC = 1jωC

= −jωC

= 1ωCe−j

π2

ya que v(t) = 1jωC

i(t).

2 La intensidad que recorre el condensador es i(t) = Cjωv(t) = CωV0ej(ωt+α+π

2 ).Como puede observarse, i(t) tiene la misma frecuencia angular que v(t) perodistinto modulo (CωV0) y distinta fase (α+ π

2).


Impedancia

Impedancia de una bobina

Para una bobina se cumple siempre que:

v(t) = L di(t)dt

Si usamos que v(t) = V0ej(ωt+α), la expresion anterior queda como

i(t) = 1L

Rv(t)dt = 1

L

RV0e

j(ωt+α)dt = 1L

1jωV0e

j(ωt+α). Esta expresion tiene dosconsecuencias:

1 La impedancia de una bobina se calcula como ZL = jωL = ωLejπ2 ya que

v(t) = jωLi(t).

2 La intensidad que recorre la bobina es i(t) = 1jωL

v(t) = V0ωLej(ωt+α−

π2 ). Como

puede observarse, i(t) tiene la misma frecuencia angular que v(t) pero distintomodulo ( V0

ωL) y distinta fase (α− π

2).


Impedancia

Impedancia

A partir de ahora, trataremos resistencias, bobinas y condensadores como si fueranresistencias de valor Z (ZR para resistencias, ZL para bobinas y ZC paracondensadores) en los circuitos alimentados por corriente alterna de manera quecumpliran la Ley de Ohm generalizada.

Las asociaciones de impedancias se haran:

Serie: Zequivalente =N∑i

Zi

Paralelo:1

Zequivalente=

N∑i

1Zi

Puesto que la existencia de una resistencia, condensador o bobina no cambia lafrecuencia angular de las senales, a partir de ahora, ignoraremos la dependenciatemporal de las mismas en los calculos (nos olvidamos del termino ejωt).Anadiremos esta dependencia temporal (el termino ejωt) al final y, por tanto,operaremos solo con fasores.


Impedancia

Ejemplo 1: RCL serie

Ejemplo 1

R

L

Cv(t)

R=1kΩL=1mH

C=2nF

v(t)=10cos(106 rad

s t)V


Impedancia


Ejemplo 1

R

L

Cv(t)

Se cumple que:

v(t) = vR(t) + vL(t) + vC(t) (1)

v(t) = i(t)R+ Ldi(t)

dt+

1

C

Zi(t)dt (2)

Pero si usamos fasores:

10V = IZR + IZL + IZC (3)

10V = IR+ IjωL+ I1

jωC(4)


Impedancia


Calculamos las impedancias:

ZR = 103Ω (5)

ZC =1

j106 rads

2 10−9F= −j0,5103Ω = 0,5103e−j

π2 Ω (6)

ZL = j106 rad

s10−3H = j103Ω = 103ej

π2 Ω (7)

Como las tres estan en serie, la impedancia equivalente:

Zeq = ZR + ZC + ZL = (103 + j0,5103)Ω = 1,12ej0,46Ω (8)

Calculamos el fasor que reperesenta la intensidad:

I =10V

(103 + j0,5103)Ω=

10V

1,12ej0,46Ω= 8,93e−j0,46mA (9)

Anadimos la dependencia temporal: i(t) = 8,93ej(106 radst−0,46)mA

Nos quedamos solo con la parte real: i(t) = 8,93 cos`106 rad

st− 0,46

´mA


Impedancia


Usamos la ley de Ohm Generalizada aplicada a cada elemento para calcular ladiferencia de potencial entre sus extremos:

VR = RI = 103Ω8,93e

−j0,46mA = 8,93e

−j0,46V (10)

VC =1

jωCI =

8,93e−j0,46mA

j106 rads

2 10−9F= 0,510

3e−j π2 Ω8,93e

−j0,46mA = 4,46e

−j2,03V (11)

VL = jωLI = j103Ω8,93e

−j0,46mA = 10

3ej π2 Ω8,93e

−j0,46mA = 8,93e

j1,11V (12)

Anadimos la dependencia temporal:

vR(t) = 8,93e−j0,46

ej106 rad

stV = 8,93e

j(106 radst−0,46)

V (13)

vC(t) = 4,46e−j2,03

ej106 rad

stV = 4,46e

j(106 radst−2,03)

V (14)

vL(t) = 8,93ej1,11

ej106 rad

stV = 8,93e

j(106 radst+1,11)

V (15)

Nos quedamos solo con la parte real:

vR(t) = 8,93 cos

„10

6 rad

st− 0,46

«V (16)

vC(t) = 4,46 cos

„10

6 rad

st− 2,03

«V (17)

vL(t) = 8,93 cos

„10

6 rad

st + 1,11

«V (18)


Impedancia


¿Que ocurrirıa para otro valor de ω?

Ejemplo 1

R

L

Cv(t)

R=1kΩL=1mH

C=2nF

v(t)=10cos (ωt)V


Impedancia


Se sigue cumpliendo:

10V = IZR + IZL + IZC (19)

10V = IR+ IjωL+ I1

jωC(20)

10V = I

„1kΩ + jω1mH +

1

jω2 10−9F

«(21)

Zeq =

„1kΩ + j

„ω1mH − 1

ω2 10−9F

««(22)

=

s(1kΩ)2 +

„ω1mH − 1

ω2 10−9F

«2

ej arctan

ω1mH− 1

ω2 10−9F1kΩ

!


Impedancia


El fasor que representa a la intensidad es un numero complejo:

I =10V

r(1kΩ)2 +

“ω1mH − 1

ω2 10−9F

”2e

j arctan

0@ω1mH− 1ω2 10−9F

1kΩ

1A (23)

I =10Vr

(1kΩ)2 +“ω1mH − 1

ω2 10−9F

”2e

−j arctan

0@ω1mH− 1ω2 10−9F

1kΩ

1A(24)

Anadimos la dependencia temporal :

i(t) = Iejωt

=10Vr

(1kΩ)2 +“ω1mH − 1

ω2 10−9F

”2e

j

0@ωt−arctan

0@ω1mH− 1ω2 10−9F

1kΩ

1A1A(25)


i(t) =10Vr

(1kΩ)2 +“ω1mH − 1

ω2 10−9F

”2cos

0@ωt− arctan

0@ω1mH − 1ω2 10−9F

1kΩ

1A1A (26)


Impedancia


Usamos la ley de Ohm para calcular la diferencia de potencial entre los extremosde la resistencia. Trabajo con fasores.

VR = ZRI = 1kΩ10Vr

(1kΩ)2 +“ω1mH − 1

ω2 10−9F

”2e

−j arctan

0@ω1mH− 1ω2 10−9F

1kΩ

1A(27)

Anadimos la dependencia temporal

vR(t) = 1kΩ10Vr

(1kΩ)2 +“ω1mH − 1

ω2 10−9F

”2e

j

0@ωt−arctan

0@ω1mH− 1ω2 10−9F

1kΩ

1A1A(28)


vR(t) = 1kΩ10Vr

(1kΩ)2 +“ω1mH − 1

ω2 10−9F

”2cos

0@ωt− arctan

0@ω1mH − 1ω2 10−9F

1kΩ

1A1A (29)


Impedancia


Usamos la ley de Ohm generalizada para calcular la diferencia de potencial entrelos extremos del condensador. Trabajo con fasores.

VC = ZCI =e−j π2

ω2 10−9F

10V e

−j arctan

0@ω1mH− 1ω2 10−9F

1kΩ

1Ar

(1kΩ)2 +“ω1mH − 1

ω2 10−9F

”2(30)

=10V e

−j

0@arctan

0@ω1mH− 1ω2 10−9F

1kΩ

1A+π2

1A

ω2 10−9F

r(1kΩ)2 +

“ω1mH − 1

ω2 10−9F

”2(31)

Anado la dependencia temporal vC(t) = 10V e

j

0@ωt−arctan

0@ω1mH− 1ω2 10−9F

1kΩ

1A−π21A

ω2 10−9F

s(1kΩ)2+

„ω1mH− 1

ω2 10−9F

«2

Me quedo solo con la parte real:

vC(t) = 10V

ω2 10−9F

s(1kΩ)2+

„ω1mH− 1

ω2 10−9F

«2cos

ωt− arctan

ω1mH− 1

ω2 10−9F1kΩ

!− π

2

!


Impedancia


Uso la ley de Ohm generalizada para calcular la diferencia de potencial entre losextremos de la bobina. Trabajo con fasores.

VL = ZLI = ω1mHej π2

10V e

−j arctan

0@ω1mH− 1ω2 10−9F

1kΩ

1Ar

(1kΩ)2 +“ω1mH − 1

ω2 10−9F

”2(32)

=10V ω1mHe

−j

0@arctan

0@ω1mH− 1ω2 10−9F

1kΩ

1A−π21A

r(1kΩ)2 +

“ω1mH − 1

ω2 10−9F

”2(33)

Anado la dependencia temporal:

vL(t) = 10V ω1mHe

j

0@ωt−arctan

0@ω1mH− 1ω2 10−9F

1kΩ

1A+π2

1Aω2 10−9F

s(1kΩ)2+

„ω1mH− 1

ω2 10−9F

«2

Me quedo solo con la parte real:

vL(t) = 10V

ω2 10−9F

s(1kΩ)2+

„ω1mH− 1

ω2 10−9F

«2cos

ωt− arctan

ω1mH− 1

ω2 10−9F1kΩ

!− π

2

!


Principio de Superposicion en CA

1 Introduccion


3 Corriente Alterna

4 Impedancia




8 Potencia



Principio de Superposicion en circuitos con CA

Ejemplo 3

R L

Cv1(t) v2(t)

Si:

v1(t)=10 cos (106 radst)V

v2(t)=3 cos (2 106 radst+ π

6)V

¿Como calculo las impedancias?¿Que valor de ω tengo que usar?

SOLUCION: Uso el Principio de superposicion

El Principio de Superposicion es especialmente util en CA para resolver circuitos enlos que hay varias fuentes que operan a distintas frecuencias. En este caso, nopodemos emplear ningun otro metodo de resolucion de los aprendidos en CC.



Principio de Superposicion en circuitos con CA

La intensidad o diferencia de potencial entre los extremos de cualquier elementodel circuito del Ejemplo 3 se puede calcular como la suma de las intensidades odiferencias de potenciales que se obtienen al resolver los circuitos de los ejemplos3a y 3b.

Ejemplo 3a

R L

Cv1(t)

Ejemplo 3b

R L

Cv2(t)

Resuelvo el Ejemplo 3a usando ω = 106 rads

.

Resuelvo el Ejemplo 3b usando ω = 2 106 rads

.

Sumo las soluciones finales, las que dependen del tiempo y son funciones coseno!!!


Teoremas de Thevenin y Norton en CA.

1 Introduccion


3 Corriente Alterna

4 Impedancia




8 Potencia


Teoremas de Thevenin y Norton en CA.

Teoremas de Thevenin y Norton en circuitos en CA

Equivalentes Thevenin y Norton

vth(t)

Zth

a

biN(t) ZN

a

b

La formulacion de ambos teoremas es similar a la vista en CC. Ahorahablaremos de Impedancia Thevenin y de Impedancia Norton en lugarde Resistencias Thevenin y Norton.

Las impedancias Thevenin y Norton son ahora numeros complejos ⇒complejidad de determinacion experimental.

Las impedancias Thevenin y Norton son ahora funciones de lafrecuencia.


Funcion de Transferencia. Filtros.

1 Introduccion


3 Corriente Alterna

4 Impedancia




8 Potencia



Funcion de Transferencia. Filtros

Supongamos un circuito arbitrario de manera que entre dos de sus puntos conectamosuna fuente de tension con cierta amplitud y cierta frecuencia (ventrada,ω) y estamosinteresados en ver como este hecho afecta la difencia de potencial entre otros dospuntos del circuito (vsalida,ω). Observamos que:

La frecuencia de entrada es igual a la de salida.

Si cambio la frecuencia de entrada, cambia la amplitud de salida.

Si cambio la frecuencia de entrada, cambio el desfase entre entrada y salida.

Matematicamente:vsalida,ω = T (ω)ventrada,ω

donde:

vsalida,ω = |vsalida,ω|ejarg(vsalida,ω)

ventrada,ω = |ventrada,ω|ejarg(ventrada,ω)

T (ω) = |T (ω)|ejarg(T (ω))

9>>=>>; =⇒

8><>:|T (ω)|ejarg(T (ω)) =

|vsalida,ω||ventrada,ω|

ej(arg(vsalida,ω)−arg(ventrada,ω))



Funcion de Transferencia. Filtros

¿Como puedo estudiar la funcion de transferencia graficamente?

Uso su representacion: Diagrama de Bode

¿Como se pinta un Diagrama de Bode?

Puesto que la funcion de transferencia es un numero complejo, para representar sucomportamiento en funcion de la frecuencia (Diagrama de Bode) necesitamoshacer dos dibujos: el del argumento y el del modulo.

Para estudiar el modulo, representamos 20log|T (ω)| (en decibelios) frente a lafrecuencia (ω) usando una escala logarıtmica para la frecuencia.

Para estudiar el argumento, representamos su valor frente a la frecuencia usandopara esta ultima una escala logarıtmica.

Para aprender a dibujar diagramas de Bode, usar el documento titulado Dibujo dediagramas de Bode disponible en moodle.

Link muy util para practica 3:www.ugr.es/ jmolinos/files/elaboraciondediagramasdebode.pdf



Circuito RC: Filtros paso alta y paso baja

Analizamos un circuito RC y ponemos la salida en:

1 el condensador: Filtro paso baja

T (ω) =1√

1 + (RCω)2ej(−arctan(RCω))

2 la resistencia: Filtro paso alta

T (ω) =RCω√

1 + (RCω)2ej(

π2−arctan(RCω))

Frecuencia de corte: es la frecuencia a la que la salida es un 70 % de lasenal de entrada. Esto se traduce en una disminucion o aumento de lafuncion de transferencia en 3 dB.



Circuito RC: Filtros paso alta y paso baja

Bode del Filtro paso baja Bode del Filtro paso alta



Circuito RLC: Filtro paso banda

Si tomamos la salida en la resistencia:

T (ω) =ωRCp

(1− ω2CL)2 + ω2C2R2ej(π2−arctan( ωRC

1−ω2CL))

Si definimos:

ω0 =1√CL

y δ =1

2

rC

LR

La funcion de transferencia puede escribirse como:

T (ω) =2δ ω

ω0q(1− ω

ω0)2 + 4ω2

ω0

ej(π2−arctan(

2δωω0ω2

0−ω2 ))



Circuito RLC: Filtro paso banda

¿Que ocurre a bajas frecuencias (ω << ω0)?

|T (ω)| =2δ ω

ω0√1ej(π2−arctan( 2δω

ω0))

Bode en amplitud: 20 log |T (ω)| = 20 log 2δ ωω0

= 20 logω + log 2δω0

Bode en fase: arg(|T (ω)|) = π2− arctan(2δ ω

ω0)

¿Que ocurre a altas frecuencias (ω >> ω0)?

|T (ω)| = 2δω0

ωej(

π2−arctan(

2δω0−ω ))

Bode en amplitud: 20 log |T (ω)| = 20 log 2δ ω0ω

= −20 logω + log 2δω0

Bode en fase: arg(|T (ω)|) = π2− arctan(2δ ω0

−ω )



Pintando Bode a mano alzada

En general, en esta asignatura, vamos a poder escribir siempre una funcion detransferencia T (ω) como el producto de una serie de funciones de transferencia sencillas(Ti(ω)):

T (ω) =Yi

Ti(ω) =Yi

“|Ti(ω)|ej arg Ti(ω)

”=

Yi

|Ti(ω)|

!ejPi arg Ti(ω) = |T (ω)|ej arg T (ω)

De la igualdad anterior podemos concluir que:

|T (ω)| =Yi

|Ti(ω)| ⇒ 20 log |T (ω)| =Xi

(20 log |Ti(ω)|)

arg T (ω) =Xi

arg Ti(ω)

Entonces,

si conozco el diagrama de Bode en modulo cada Ti(ω) podre calcular el de T (ω)simplemente sumandolos.

si conozco el diagrama de Bode de cada arg Ti(ω) podre calcular el de arg Ti(ω)sumandolos.



Pintando Bode a mano alzada

Los tipos de funciones sencillas que nos podemos encontrar son:

1 Ti(ω) = K donde K es un valor constante (no depende de ω).

2 Ti(ω) = j ωω0donde ω0 es un valor constante.

3 Ti(ω) = 1j ωω0

donde ω0 es un valor constante.

4 Ti(ω) = 1 + j ωω0donde ω0 es un valor constante.

5 Ti(ω) = 11+j ω

ω0

donde ω0 es un valor constante.



Pintando Bode a mano alzada. Ti(ω) = K

La forma del diagrama de Bode de Ti(ω) = K depende del signo de K. Vamos a escribirla funcion de transferencia Ti(ω) = K en forma polar:

Ti(ω) = |K|ej0 si K es positivo.

Ti(ω) = |K|ejπ si K es negativo.

Entonces:

1 el diagrama de Bode en modulo sera:

20 log |Ti(ω)| = 20 log |K|dB

2 el diagrama de Bode para el argumento sera:

arg Ti(ω) = 0 si K es positivo.

arg Ti(ω) = π si K es negativo.

Conclusion: El diagrama de Bode tanto del modulo como del argumento para este tipode funciones es constante, no depende de ω.



Pintando Bode a mano alzada. Ti(ω) = j ωω0

Comenzamos escribiendo la funcion de transferencia Ti(ω) = j ωω0

en forma polar. Paraello usamos que esta funcion es un numero complejo que tiene solo parte imaginaria.

Ti(ω) = | ωω0|ej

π2

Entonces:


20 log |Ti(ω)| = 20 log | ωω0|= 20 logω − 20 logω0


arg Ti(ω) =π

2

Conclusiones: El diagrama de Bode tanto del modulo es una recta de pendiente 20dBque corta al eje X en ω = ω0. El diagrama de Bode del argumento para este tipo defunciones es constante, no depende de ω.



Pintando Bode a mano alzada. Ti(ω) = 1j ωω0

Comenzamos escribiendo la funcion de transferencia Ti(ω) = 1j ωω0

en forma polar. Para

ello usamos que esta funcion es un numero complejo que tiene solo parte imaginaria.

Ti(ω) = −j ω0

ω= |ω0

ω|e−j

π2

Entonces:


20 log |Ti(ω)| = 20 log |ω0

ω| = 20 logω0-20 logω


arg Ti(ω) = −π2

Conclusiones: El diagrama de Bode tanto del modulo es una recta de pendiente -20dBque corta al eje X en ω = ω0. El diagrama de Bode del argumento para este tipo defunciones es constante, no depende de ω.



Pintando Bode a mano alzada. Ti(ω) = 1 + j ωω0

Comenzamos escribiendo la funcion de transferencia Ti(ω) = 1 + j ωω0

en forma polar:

Ti(ω) =

vuut 1 +

„ω

ω0

«2!ej arctan ω

ω0

Entonces:


20 log |Ti(ω)| = 20 log

vuut 1 +

„ω

ω0

«2!


arg Ti(ω) = arctanω

ω0




Analizamos ahora el comportamiento asintotico del modulo:

Si ω >> ω0 ⇒ ωω0

>> 1 ⇒ 1 +“ωω0

”2

≈“ωω0

”2

⇒

s„1 +

“ωω0

”2«≈ ω

ω0

20 log |Ti(ω)| ≈ 20 log ωω0

= 20 logω − 20 logω0

Si ω << ω0 ⇒ ωω0

<< 1 ⇒ 1 +“ωω0

”2

≈ 1 ⇒

s„1 +

“ωω0

”2«≈ 1

20 log |Ti(ω)| ≈ 20 log 1= 0dB

Si ω = ω0 ⇒ ωω0

= 1 ⇒ 1 +“ωω0

”2

= 2 ⇒

s„1 +

“ωω0

”2«

=√

2

20 log |Ti(ω)| = 20 log√

2≈ 3dB





Si ω >> ω0 ⇒ ωω0

>> 1 ⇒ arctan ωω0≈ π

2

arg Ti(ω) ≈ π2

Si ω << ω0 ⇒ ωω0

<< 1 ⇒ arctan ωω0≈ 0

arg Ti(ω) ≈ 0


= 1 ⇒ arctan√

2 = π4

arg Ti(ω) = π4



Pintando Bode a mano alzada. Ti(ω) = 11+j ωω0

Comenzamos escribiendo la funcion de transferencia Ti(ω) = 11+j ω

ω0en forma polar:

Ti(ω) =1s„

1 +“ωω0

”2«ej arctan ω

ω0

=1s„

1 +“ωω0

”2«e−j arctan ω

ω0

Entonces:


20 log |Ti(ω)| = 0− 20 log

vuut 1 +

„ω

ω0

«2!


arg Ti(ω) = − arctanω

ω0





Si ω >> ω0 ⇒ ωω0

>> 1 ⇒ 1 +“ωω0

”2

≈“ωω0

”2

⇒

s„1 +

“ωω0

”2«≈ ω

ω0

20 log |Ti(ω)| ≈ −20 log ωω0

= -20 logω + 20 logω0

Si ω << ω0 ⇒ ωω0

<< 1 ⇒ 1 +“ωω0

”2

≈ 1 ⇒

s„1 +

“ωω0

”2«≈ 1

20 log |Ti(ω)| ≈ 20 log 1= 0dB


= 1 ⇒ 1 +“ωω0

”2

= 2 ⇒

s„1 +

“ωω0

”2«

=√

2

20 log |Ti(ω)| = −20 log√

2≈ −3dB





Si ω >> ω0 ⇒ ωω0

>> 1 ⇒ arctan ωω0≈ π

2

arg Ti(ω) ≈ −π2

Si ω << ω0 ⇒ ωω0

<< 1 ⇒ arctan ωω0≈ 0

arg Ti(ω) ≈ 0


= 1 ⇒ arctan√

2 = π4

arg Ti(ω) = −π4


Potencia

1 Introduccion


3 Corriente Alterna

4 Impedancia




8 Potencia


Potencia

Potencia

Supongamos que

v(t) = V ej(ωt+αV )

i(t) = Iej(ωt+αI )

¿Como calculo la potencia?

No puedo multiplicar los numeros complejos y quedarme con la parte real

Procedimiento adecuado:P (t) = V I cos(ωt+αV ) cos(ωt+αI) = V I

2[cos(2ωt+ αV + αI) + cos(αV − αI)]

La potencia varıa con el tiempo con una frecuencia doble a la de las senales delcircuito.

La potencia tiene una parte independiente del tiempo que es la que da lugar alvalor medio de la potencia distinto de cero.

La potencia disipada en una bobina o un condensador es cero.



Tema 4. Dispositivos Semiconductores



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Isabel M. Tienda Luna Tema 4. Dispositivos Semiconductores 1 / 51

1 Introduccion

2 Modelo atomico

3 Materiales solidos

4 Semiconductores

5 La union PN

6 El Transistor MOSFET


Introduccion

1 Introduccion

2 Modelo atomico


4 Semiconductores

5 La union PN



Modelo atomico

1 Introduccion

2 Modelo atomico


4 Semiconductores

5 La union PN



Modelo atomico

Un poco de historia....


Modelo atomico

Modelo atomico actual

Energıa cinetica + Energıa potencial = Energıa total

Ecuacion de Schroedinger dependiente del tiempo

− ~2

2m∇2Ψ(r, t) + V (r)Ψ(r, t) = j~ ∂

∂tΨ(r, t) (1)

donde:

− ~2

2m∇2 es el operador energıa cinetica y m es la masa de la partıcula.

∇2 = ∂2

∂x2 + ∂2

∂z2+ ∂2

∂z2

V (r) es la energıa potencial en la posicion r

Ψ(r, t) es la funcion de onda

Ecuacion de Schroedinger independiente del tiempo

− ~2

2m∇2Ψ(r, t) + V (r)Ψ(r, t) = EΨ(r, t) (2)


Materiales solidos

1 Introduccion

2 Modelo atomico


4 Semiconductores

5 La union PN



Materiales solidos

Enlaces Ionicos

Los electrones estan fuertemente ligados a los atomos ⇒ aislantes.

Ejemplo: ClNa


Materiales solidos

Enlaces Metalicos

Los electrones exteriores estan desligados de los atomos, formando una nubeelectronica distribuida en todo el solido y que sirve de union entre los nucleosatomicos.

Los electrones exteriores no estan ligados a ningun atomo en concreto, por lo quepueden moverse libremente bajo la accion de un campo electrico ⇒ conductores.

Ejemplo


Materiales solidos

Enlaces Covalentes

Los electrones de la capa mas externa de cada atomo se comparten con otrosatomos, formando un enlace entre ellos.

Cada par de electrones forma un enlace entre atomos.

Por ejemplo, el silicio tiene cuatro electrones en su capa mas externa ⇒ formacuatro enlaces covalentes con otros tantos atomos de silicio.

En principio (cierto a T = 0 K), loselectrones que forman el enlace se compartenpor dos atomos y no pueden desplazarse porel cristal bajo la accion de un campo electrico⇒ aislante.

Al aumentar T, se rompen algunos enlacesliberandose electrones que pueden moversebajo la accion de un campo electrico ⇒conductor.

Ejemplo: Silicio


Materiales solidos

Bandas de energıa

Cuando una serie de atomos se unen para formar un solido los niveles de energıa de losatomos individuales forman bandas continuas de energıa.

Bandas en un cristal de diamante


Materiales solidos

Clasificacion de materiales

1 Aislantes

2 Semiconductores

3 Conductores


Semiconductores

1 Introduccion

2 Modelo atomico


4 Semiconductores

5 La union PN



Semiconductores

Portadores: electrones y huecos

Al aumentar T, se rompen algunos enlaces liberandose electrones que puedenmoverse bajo la accion de un campo electrico ⇒ Formacion de par electron-hueco.

Los huecos tambien participan en el proceso de conduccion: σ = qnµn + qpµp.(σes la conductividad, n es la concentracion de electrones, p la de huecos y µn y µplas movilidades de electrones y huecos.)

En general, un semiconductor tiene pocos portadores libres por eso suconductividad es baja.

¿Que puedo hacer para aumentar la conductividad? Incrementar el numero deportadores.


Semiconductores

Tipos de Semiconductores

Intrınsecos

Extrınsecos (dopados)

1 Tipo P (con impurezas aceptadoras, materiales de la columna III)

2 Tipo N (con impurezas donadoras, materiales de la columna V)


La union PN

1 Introduccion

2 Modelo atomico


4 Semiconductores

5 La union PN



La union PN

Union PN


La union PN

Union PN

++

+

+++

++++ +

+p pn nVnVp

Potencial

Estructura de BandasEstructura de Bandas

+

=Vn-Vp

Vn

Vp

+

hueco

electrón

átomo con un hueco ocupado por un e-átomo que ha perdido un e-

E

+ +


La union PN

Union PN

¿Se puede hacer algo para modificar la barrera que ven electrones yhuecos?

++

+

+++

++++ +

+p nVnVp

+

E

+ +

+

+

++

p nVnVp

+

E

+

++

+

+++

++++ +

+p nVnVp

+

E

+ +

++

+

+++

++++ +

++

+ +

Vn

Vn

Vn

Vp

Vp

Vp

Sin polarización Polarización directa Polarización inversa


La union PN

El Diodo

Es un dispositivo de dos terminales.

Sımbolo

++

+

+++

++++ +

+p nVnVp

+

E

+ +

Relacion voltaje/intensidad:

Id = IS

„e

qVdkBT − 1

«(3)

donde Id es la intensidad que atraviesa del diodo, IS es la corriente inversa desaturacion, q es la carga del electron, Vd la diferencia de potencial entre los extremos deldiodo, kB la constante de Boltzmann y T la temperatura.

Tipos de diodos: Zener, LEDs,..


La union PN

El Diodo

¿Como se trabaja en un circuito con diodos? Hay que hacer aproximaciones.

Modelo 1. Suponemos que hay una tension a partir de la cual el diodo conduce(Vγ) y una vez que entra en conduccion puede conducir cualquier valor decorriente. El diodo se comportan entonces como una fuente de tension de valor Vγ

Modelo 2. Suponemos que hay una tension a partir de la cual el diodo conduce(Vγ) como en el modelo anterior. Sin embargo, consideramos que existe unaresistencia asociada de manera que el diodo se comporta en conduccion como unafuente de tension Vγ en serie con esa resistencia.

Caracterıstica de transferencia.


El Transistor MOSFET

1 Introduccion

2 Modelo atomico


4 Semiconductores

5 La union PN




El transistor de efecto campo

Es un dispositivo electronico de tres terminales llamados puerta (G, gate),drenador (D, drain) y fuente (S, source).

La corriente fluye entre la fuente y el drenador y se controla con la tensionaplicada en la puerta.

Sus aplicaciones fundamentales son:

1 Digitales: conmutadores.2 Analogicas: amplificadores.

El mas importante es el MOSFET(Metal oxide semiconductor fieldeffect transistor).

Tipos:

n-MOSFETp-MOSFET

Estructura



Tipos de MOSFET

bulk bulk



Flujo de portadores en el MOSFET

Comportamiento de MIS

(A) (B)

(C)

Estructura MIS en conduccion

La structura MIS se comporta como un condensador.

Comportamiento de la estructura MIS en funcion de VG. Regiones de acumulacion(A), vaciamiento (B) e inversion (C). Formacion de la capa de inversion y capa dedeplexion.



Modos de funcionamiento del n-MOSFET

Para caracterizar el comportamiento del dispositivo definimos una tension umbral(VT es la diferencia de potencial entre puerta y sustrato a la que comienza aformarse el canal).

Distinguimos las siguientes regiones de comportamiento en funcion de la

polarizacion drenador-fuente:

a. VGS < VT . No hay canal.

b. VGS > VT y VDS < (VGS − VT ). Hay canal en toda la zona entre D y S.

c. VGS > VT y VDS > (VGS − VT ). Hay canal pero no ocupa toda la zona

entre D y S.

pn n

aislante

metalS DG

pn n

aislante

metalS DG

pn n

aislante

metalS DG

CORTE LINEAL SATURACIÓN




1 Region de Corte:

Ocurre si VGS ≤ VT

El transistor esta OFF porque no hay canal.No hay conduccion entre drenador y fuente (ID = 0).IG = 0.Corriente de fuga.

2 Region lineal, ohmica o triodo:

Ocurre si VGS > VT y VDS < (VGS − VT ).El transistor esta ON.IG = 0.Hay conduccion entre drenador y fuente:

ID =k

2[2 (VGS − VT ) VDS − V 2

DS

](4)

Nota: k es la transconductancia de valor k = µCoxWL

donde µ es la movilidad de los portadores, Cox la capacidad del oxido

de puerta y W y L son la anchura y longitud del canal respectivamente.




1 Region de Corte:

Ocurre si VGS ≤ VT

El transistor esta OFF porque no hay canal.No hay conduccion entre drenador y fuente (ID = 0).IG = 0.Corriente de fuga.

2 Region lineal, ohmica o triodo:

Ocurre si VGS > VT y VDS < (VGS − VT ).El transistor esta ON.IG = 0.Hay conduccion entre drenador y fuente:

ID =k

2[2 (VGS − VT ) VDS − V 2

DS

](5)

Nota: k es la transconductancia de valor k = µCoxWL

donde µ es la movilidad de los portadores, Cox la capacidad del oxido

de puerta y W y L son la anchura y longitud del canal respectivamente.




3 Region de saturacion:

Ocurre si VGS > VT yVDS > (VGS − VT ).El transistor esta ON.IG = 0.Hay conduccion entre drenador y fuente:

ID =k

2(VGS − VT )2 (6)

Curva I-VDS nMOSFET



Modos de funcionamiento del p-MOSFET

1 Region de Corte:

Ocurre si VGS ≥ VT (|VGS | ≤ |VT |)El transistor esta OFF porque no hay canal.IG = 0.No hay conduccion entre drenador y fuente (ID = 0).

2 Region lineal u ohmica:

Ocurre si VGS < VT (|VGS | > |VT |) y VDS > (VGS − VT )(|VDS | < |(VGS | − |VT )|).El transistor esta ON.IG = 0.Hay conduccion entre drenador y fuente:

ID =k

2[2 (VGS − VT ) VDS − V 2

DS

](7)



Modos de funcionamiento del p-MOSFET

3 Region de saturacion:

Ocurre si VGS < VT (|VGS | > |VT |) yVDS < (VGS − VT )(|VDS | > (|VGS | − |VT |)).El transistor esta ON.IG = 0.Hay conduccion entre drenador y fuente:

ID =k

2(VGS − VT )2 (8)

Curva I-V pMOSFET



Ejemplos de resolucion de problemas con MOSFETs. I

Determinar la region de operacion del transistory calcular ID para el circuito del Ejemplo 4

VDD = 15V

RD = 1kΩ

Vi = 15V

VT = 2V

k = 40 · 10−6 AV 2

Ejemplo 4

Vi

RD

VDD

ID

S

DG

IG





VDD = 15V

RD = 1kΩ

Vi = 15V

VT = 2V

k = 40 · 10−6 AV 2

Ejemplo 4

Vi

¿?

¿?

RD

VDD

ID

S

DG

IG





VDD = 15V

RD = 1kΩ

Vi = 15V

VT = 2V

k = 40 · 10−6 AV 2

Ejemplo 4

RD

VDD

ID

S

DG

IGVi



Ejemplos de resolucion de problemas con MOSFETs.

1 Comenzamos calculando VGS para saber si eltransistor esta conduciendo o no.

VGS = VG − VS ⇒ necesitamos VG y VS

¿Cuanto vale VG? A la puerta solo tenemosconectada una fuente, de manera queVG = Vi = 15V .¿Cuanto vale VS? La fuente esta conectadaa tierra, por tanto VS = 0V .EntoncesVGS − VT = 15V − 2V = 13V > 0 ⇒nMOSFET ON.¿Lineal o Saturacion?

Ejemplo 4

Vi

RD

VDD

ID

S

DG

IG




2 Suponemos saturacion.

Resolvemos usando la ecuacion para laintensidad ID en saturacion:

ID =k

2(VGS − VT )2

ID =40 · 10−6 A

V 2

2(15V − 2V )2

ID = 3,38 10−3A

Ejemplo 4

Vi

RD

VDD

ID

S

DG

IG




3 Compruebo si mi suposicion es correcta.

Para comprobar si la suposicion que hice escorrecta tengo que ver si se cumple lacondicion de saturacion:

VDS > (VGS − VT ) = 15V − 2V = 13V

¿Cuanto vale VDS?VDS = VD − VS ⇒ necesito saber VD. Paracalcular VD aplico la ley de Ohm a laresistencia RD:

VDD − VD = IDRD

VD = VDD − IDRD

VD = 15V − 3,38 10−3A 1kΩ

VD = 11,62V

VDS = VD − VS = 11,62V − 0V = 11,62V

Como VDS = 11,62V < (VGS − VT ) = 13VSUPOSICION INCORRECTA _

Ejemplo 4

Vi

RD

VDD

ID

S

DG

IG




4 Supongo lineal.

Resolvemos utilizando la ecuacion para IDen la region lineal:

ID =k

2

h2 (VGS − VT )VDS − V

2DS

iID =

40 · 10−6 AV 2

2

h2 (15V − 2V )VDS − V

2DS

i

Para calcular ID necesito VDS

¿Cuanto vale VDS?VDS = VD − VS ⇒ necesito saber VD. Paracalcular VD aplico la ley de Ohm a laresistencia RD:

VDD − VD = IDRD

VD = 15V − ID103Ω

Ejemplo 4

Vi

RD

VDD

ID

S

DG

IG




4 Supongo lineal.

Sustituyendo la expresion de ID en laformula para VD queda:

VD = 15V−40 · 10−6 A

V 2

2

h2 (15V − 2V )VD − V

2D

i10

3Ω

La ecuacion anterior tiene dos soluciones:

VDS1 = 64,33V

VDS2 = 11,68V

¿Son las dos soluciones correctas? Unasolucion sera correcta si esta de acuerdocon mi suposicion. En este caso, si cumpleque VDS < VGS − VT = 13V . Por tanto,solo VDS2 es correcta.

Ejemplo 4

Vi

RD

VDD

ID

S

DG

IG



Ejemplos de resolucion de problemas con MOSFETs. II


VDD = 15V

RD = 40kΩ

RS = 5kΩ

R1 = 150kΩ

R2 = 100kΩ

VT = 2V

k = 40 · 10−6 AV 2

Ejemplo 5

RD

VDD

ID

IDRS

S

DG

IG

R2

R1




1 Comenzamos calculando VG para saber si el

MOSFET conduce o no. Para ello, tenemos en

cuenta que:

IG = 0La parte de la izquierda del circuito es undivisor de tension:

I1 =15V

150kΩ + 100kΩ

VG = I1100kΩ =15V

250kΩ100kΩ = 6V

Como VG − VT > 0 ⇒ nMOSFET ON¿Pero no era VGS? ¿Por que uso VG?¿Lineal o Saturacion?

Ejemplo 5

RD

VDD

ID

IDRS

S

DG

IG

R2

R1




2 Suponemos saturacion:

Ecuaciones generales:

VDD = IDRD + VDS + IDRS

VG = VGS + IDRS

ID =k

2(VGS − VT )

2

Sustituimos:

15V = ID45kΩ + VDS (9)

6V = VGS + ID5kΩ (10)

ID = 20 · 10−6 A

V 2

“V

2GS + 4− 4VGS

”(11)

Despejando e gualando:

6− VGS

RS

= 20 · 10−6“V

2GS + 4− 4VGS

”V

2GS + 6VGS − 56 = 0

VGS1 = 5,06V ⇒ ID = 0,18mA⇒ VDS = 6,54V

VGS2 < 0⇒ IMPOSIBLE

Ejemplo 5

RD

VDD

ID

IDRS

S

DG

IG

R2

R1




3 Comprobamos que la suposicion es correcta:

¿VDS > VGS − VT ?6,54V > 5,06V − 2V = 3,06V ⇒SUPOSICION CORRECTA ¨

Ejemplo 5

RD

VDD

ID

IDRS

S

DG

IG

R2

R1



Ejemplos de resolucion de problemas con MOSFETs. III

Pintar la caracterıstica de transferencia para elcircuito del Ejemplo 6

VDD = 15V

RD = 0,1kΩ

VT = 2V

k = 40 · 10−3 AV 2

Ejemplo 6

RD

VDD

ID

S

DG

IG

Vi

Vo




Ecuaciones generales

VDD = IDRD + VDS

VGS = Vi

VDS = Vo ⇒ VDD = IDRD + Vo

Ejemplo 6

RD

VDD

ID

S

DG

IG

Vi

Vo




Corte

VGS < VT ⇒ Vi < 2V

ID = 0 ⇒ VDD = 0 ·RD + Vo

VDD = Vo ⇒ Vo = 15V

Ejemplo 6

RD

VDD

ID

S

DG

IG

Vi

Vo




Saturacion

VGS > VT ⇒ Vi > 2V

VDS > VGS − VT ⇒ Vo > Vi − 2V

ID =k

2(VGS − VT )2 ⇒ ID =

k

2(Vi − 2V )2

VDD = IDRD + Vo

Vo = 15V − 2 (Vi − 2V )2

Ejemplo 6

RD

VDD

ID

S

DG

IG

Vi

Vo




Lineal

VGS > VT ⇒ Vi > 2V

VDS < VGS − VT ⇒ Vo < Vi − 2V

ID =k

2

ˆ2 (Vi − 2V )Vo − V 2

o

˜VDD = IDRD + Vo

Vo =(4Vi − 7)±

p(4Vi − 7)2 − 120

4

Para Vi grandes, Vo → 0V

Ejemplo 6

RD

VDD

ID

S

DG

IG

Vi

Vo



¿Hacia donde va la industria?

Escalado de los MOSFETs.

Escalado

¿Por que es interesante el escalado?Mismas prestaciones en menor espacio omayores prestaciones en el mismo espacio.

Ley de Moore.

Ley de Moore



¿Hacia donde va la industria?

Evolucion: 10 µm en 1971 (Intel 4004), 3 µm en 1975 (Intel 8085), 1.5 µm en1982 (Intel 80286), 1 µm en 1985 (Intel 80386)...., 65 nm en 2006 (Intel Pentium4, Pentium D, Celeron, Core, Core 2, Xeon, AMD Athlon 64, Turion 64 X2,Phenom, Xbox 360 con Falcon, Opus, Jasper CPUs), 45 nm en 2008 (Intel Core i7y i5 750, AMD Deneb, Shanghai ..., Xenon en Xbox 360S, PlayStation 3 Slim,..),32 nm en 2010 (Intel Core i3 y i5 Arrandale y Clarkdale, i7 980x, ..), 22 nm enapprox. 2011 (Intel Ivy Bridge), 16 nm en approx. 2013, 11 nm en approx. 2015

Problemas: en el control de la fabricacion, en el control de las caracterısticas de losdispositivos, problemas de modelado, aumenta la conduccion subumbral, aumentanlas fugas entre oxido y puerta, aumento del calor (problemas de disipacion),...

Soluciones: dispositivos multipuerta, strain, nuevos materiales, high K, etc...



Tema 5. Fundamentos de Electronica Digital



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Isabel M. Tienda Luna Tema 5. Fundamentos de Electronica Digital 1 / 45

1 Introduccion

2 Caracterizacion de un circuito logico

3 Puertas Logicas basicas con tecnologıa MOSFET


Introduccion

1 Introduccion




Introduccion

Senales Analogicas y Senales Digitales

Una senal analogica es aquella que puede tomar infinitos valores a lo largo deltiempo, esto es, que cambia de forma continua.

Una senal digital es aquella que tiene un numero finito de valores definidos ycambia de valor por saltos. A esos valores se les llama estados o niveles logicos.

¿Por que se ha impuesto la electronica digital?

Inmunidad frente al ruido.Menor complejidad en el diseno.Facilidad de acoplamiento de unosbloques con otros.Integracion. Escalas de integracion:

SSI : 100 componentes/chipMSI : 100-1000 componentes/chipLSI : 1000-10000 componentes/chipVLSI : mas de 10000componentes/chip

Senal Analogica

Senal Digital


Introduccion

Algebra de Boole

George Boole desarrollo un algebra para investigar las leyesfundamentales de las operaciones de la mente humana querigen los razonamientos (Algebra de Boole).

Objetivo: definir una serie de sımbolos para representarobjetos o fenomenos que, encadenados convenientemente,dan lugar a expresiones matematicas mas complejas(funciones ⇒ tabla de verdad).

Herramientas: relaciones logicas.

Variables binarias: pueden tomar solo dos valores distintos,verdadero (1) y falso (0). El 1 y el 0 no expresan cantidadessino estados de las variables.

George Boole


Introduccion

Funciones Logicas: ejemplos.

1 S = a

2 S = a · b

3 S = a + b

Funcion Igualdad

+V

a S

Funcion Interseccion

+V

a Sb

Funcion Union

+V

aS

b


Introduccion

Funciones Logicas: representacion. Puertas Logicas

Puertas Logicas

Links interesantes: http : //www.autoshop101.com/trainmodules/logicgate/101.html,

http : //www.opamp − electronics.com/tutorials/digital theory ch 007.htm


Introduccion

Familias Logicas

Familias Logicas

En este tema estudiaremos los circuitos basicos que constituyen las familias logicas.

En el tema anterior ya vimos como se comportaban inversores basicos creados conBJTs y MOSFETs.

Estudiaremos las caracterısticas estaticas y dinamicas de esos inversores.

Normalmente trabajaremos con logicas positivas: al mayor valor logico se le asociaun 1.


Caracterizacion de un circuito logico

1 Introduccion





Niveles logicos

Ejemplo: inversor basico

Para un inversor ideal la transicion desde el estado alto (que llamaremos VH) albajo (que llamaremos VL) es abrupta.

El estado alto, VH , representa el 1 logico.

El estado bajo, VL, representa el 0 logico.



Caracterısticas de transferencia estaticas

Caracterıstica de transferencia de un inversor ideal:

Para cuantificar la inmunidad al ruido de un

circuito logico:

Margen de ruido de estado alto:NMH = VH − VM

Margen de ruido en estado bajo:NML = VM − VL

Vo

ViVH

VH

VL

VL VM

La diferencia no tendrıa que ser elevada, pero la posibilidad de que se superponganruidos obliga a que este margen logico sea mas elevado para garantizar la fiabilidadde la puerta.



Caracterısticas de transferencia estaticas

Caracterıstica de transferencia de un inversor real:

Para cuantificar la inmunidad al ruido de un

circuito logico:

Margen de ruido de estado alto:NMH = VOH − VIH

Margen de ruido en estado bajo:NML = VIL − VOL

Es necesario que VOL < VIL y que VIH < VOH para asegurar que el nivel de salidade una puerta logica es un nivel de entrada apropiado para una segunda puerta.



Caracterısticas de transferencia dinamicas

Debido a la no idealidad del inversor basico, las transiciones entre los estados altoy bajo, cuando la senal de entrada es un pulso, no son instantaneas, sino gradualesdebido a las capacidades parasitas de los dispositivos.

Se pueden definir algunos tiempos caracterısticos para cuantificar el retardoproducido por dichas capacidades:

1 Tiempo de bajada o de caıda tf .

2 Tiempo de subida tr.

3 Tiempo de propagacion del nivel altoal bajo tPHL.

4 Tiempo de propagacion del nivel bajoal alto tPLH .

5 Tiempo de propagaciontP = 0,5 · (tPHL + tPLH)



Fan-in y Fan-out

Caracterıstica de entrada: Fan-in

Numero maximo de puertas que se pueden conectar a la entrada sin estropear elfuncionamiento.

Si se excede este valor la puerta logica producira una salida es un estadoindeterminado o incorrecto.

La senal de entrada puede resultar deteriorada por la carga excesiva.

Caracterıstica de salida: Fan-out

Numero maximo de puertas que se pueden conectar a la salida de la puerta.

Debido a la energıa maxima que una puerta puede absorber o consumir se imponeun lımite en el numero maximo de salidas que puede tener una puerta logica.

El fan-out depende de la cantidad de corriente que una puerta es capaz desuministrar o consumir al estar conectada a otras puertas.

Un fan-out mayor que el recomendado puede producir aumento de la temperaturadel dispositivo (perjudicando su funcionamiento), aumento de los tiempos desubida y bajada, aumento del retardo, etc..



Otras caracterısticas de los circuitos logicos

Disipacion de potencia. Potencia estatica y potencia dinamica.

Ventajas de tipo funcional : fuentes menos costosas, mayor autonomıa,menor coste en refrigeracion.Cuanto mas reducido sea el consumo por puerta, mas puertas sepodran integrar en un mismo circuito manteniendo constante lacapacidad de disipacion de calor del mismo.

Producto retardo-potencia.

Cuando uno de ellos aumenta el otro disminuye y viceversa.Parametro que resume las caracterısticas mas relevantes de unadeterminada tecnologıa.Interesan valores tan pequenos como sea posible.

Area de Silicio.


Puertas Logicas basicas con tecnologıa MOSFET

1 Introduccion





Logica MOS

Es una de las cuatro tecnologıas mas utilizadas para hacer circuitos digitales.

Permite implementar con una mayor densidad: Cada transistor NMOS utilizadoocupa un espacio inferior al de los bipolares.

Simplicidad de la topologıa.

Para entender el funcionamiento de esta logica conviene ver el NMOS comointerruptor.



Recordando el inversor NMOS

Se cumple que: Vi = VGS yVo = VDS .

La carga puede ser:

1 Una resistencia.2 Un NMOS.3 Un PMOS: logica CMOS.

Inversor MOS



El inversor NMOS. Circuito como interruptor.

Analisis Abierto

Si Vi = 0 logico ⇒ VGS < VT ⇒ ID ' 0

Vo = 1 logico

Interruptor Abierto

Analisis Cerrado

Si Vi = 1 logico ⇒ VGS > VT ⇒ ID 6= 0

Vo = 0 logico

Dos posibilidades: VDS < VGS − VT (Lineal)o VDS > VGS − VT (Saturacion)

Interruptor Cerrado



El inversor NMOS. Resistencia como carga.

1 Si Vi = VGS < VT ⇒ NMOS OFF ⇒ ID ' 0 ⇒ Vo = VDD = VOH .

2 Si Vi = VGS > VT hay dos posibilidades:

1 NMOS Saturacion: al principio, Vi = VGS > VT (solo un poco) ⇒NMOS ON ⇒ Vo = VDS > VGS − VT = Vi − VT ⇒ NMOS enSaturacion.

ID =k

2(VGS − VT )2 =

VDD − Vo

RD⇒ Vo = VDD −

kRD

2(Vi − VT )2

2 NMOS Lineal: sigue aumentando Vi ⇒ Vo disminuye hasta queVo = VDS = VGS − VT = Vi − VT ⇒ el transistor pasa a la regionlineal donde Vo = VDS < VGS − VT = Vi − VT .

ID =k

2

ˆ2 (VGS − VT ) VDS − V 2

DS

˜=

VDD − Vo

RD⇒

Vo =1 + kRD(Vi − VT )

kRD−p

(1 + kRD(Vi − VT ))2 − 2kRDVDD

kRD




Puntos de interes:

1 Paso de saturacion a lineal. Ocurre cuando VDS = Vo = VGS − VT = Vi − VT .Llamo a Vo en el que se produce la transicion V ∗

o y a Vi en el que se produce latransicion V ∗

i .

V ∗o = VDD −RDID = VDD −

kRD

2(V ∗

i − VT )2

V ∗o = V ∗

i − VT

V ∗o =

−1 +√

1 + 2kRDVDD

kRD

2 En la region Lineal, calculo VOL como Vo en el que Vi = VOH = VDD:

VOL =1 + kRD(VDD − VT )

kRD−p

(1 + kRD(VDD − VT ))2 − 2kRDVDD

kRD

Nos interesa VOL pequeno.Con RD grandes: se tienen potencias disipadas pequenas pero causaproblemas de integracion.




Caracterıstica de Transferencia



El inversor NMOS. Transistor como carga.

Transistor M1:

Actua como carga

VGS1 = VDS1 ⇒ VDS1 > VGS1 − VT

Si M1 conduce siempre lo hace en saturacion:

ID1 =k1

2(VGS1 − VT1)

2

ID1 =k1

2(VDD − Vo − VT1)

2

Transistor M2:

Funciona como inversor.

VDS2 = Vo ⇒ VGS2 = Vi

Transistor M1 como carga

VDD

S2

D2G2

Vo

Vi

G1

M1

M2

S1

D1

ID1=ID2




Analizamos el comportamiento del inversor.

1 Si Vi < VT2 ⇒ M2 OFF ⇒ ID2 = ID1 = 0 ⇒ ID1 = k12

(VDD − Vo − VT1)2 = 0

⇒ Vo = VDD − VT1 = VOH

2 Si Vi > VT2 (solo un poco mayor) ⇒ M2 ON (En Saturacion) ⇒

ID2 =k2

2(Vi − VT2)

2

ID2 = ID1

k2

2(Vi − VT2)

2=

k1


2

3 Si sigo aumentando Vi ⇒ Vo disminuye ⇒ M2 pasa a Lineal

ID2 =k2

2

h2 (Vi − VT2) Vo − V

2o

iID2 = ID1

k2

2

h2 (Vi − VT2) Vo − V

2o

i=

k1


2




Caracterıstica de Transferencia




Si comparamos el inversor NMOS con la resistencia como carga y el inversor NMOS conel transistor como carga, este ultimo tiene como:

Ventaja: que ocupa menos area

Inconveniente: que VOH es menor



¿Como construimos una puerta logica con NMOS?

Regla

Seguimos la filosofıa de ver el NMOS como un interruptor. Vemoscuando queremos la salida a 0 y colocamos la red NMOS adecuadateniendo en cuenta que multiplicar es colocar transistores en serie ysumar es colocarlos en paralelo.

Puerta NAND Puerta NOR



Logica CMOS

Con esta construccion se pretende que el consumo de potencia seareducido.

Como carga del CMOS se coloca un PMOS de manera que en reposo(es decir, cuando la salida es 0 o 1 pero no en las transiciones) lapotencia consumida sea aproximadamente 0 al poner una corrienteaproximadamente igual a 0.

Esto se consigue gracias a que cuando el transistor NMOS conduce, elPMOS esta en corte y viceversa.

Estudiaremos la conficuracion mas basica: el inversor.



El inversor CMOS

Inversor CMOS

VDD

S2

D2

G2

VoVi

G1

M1

M2

S1

D1

ID1

ID2

La carga del transistorNMOS (M1) es un PMOS(M2).

Recordamos que el PMOSfunciona como el NMOSusando |VGS |, |VDS |,|VTp|, |ID|.



Modo de operacion de los transistores en el inversor CMOS

Transistor M1 (NMOS)

Ecuaciones Generales (analizamos el circuito):

VGS = Vi

VDS = Vo

M1 en OFF si VGS < VTn ⇒ Vi < VTn.

M1 en ON si VGS > VTn ⇒ Vi > VTn. El transistor puede estar en Lineal o en

Saturacion:

Lineal si VDS < VGS − VTn ⇒ Vo < Vi − VTn ⇒ Vi > Vo + VTn

ID = kn2

ˆ2 (Vi − VTn) Vo − V 2

o

˜Saturacion si VDS > VGS − VTn ⇒ Vo > Vi − VTn ⇒ Vi < Vo + VTn

ID = kn2

(Vi − VTn)2



Modo de operacion de los transistores en el inversor CMOS

Transistor M2 (PMOS)

Ecuaciones Generales (analizamos el circuito):

VGS = Vi − VDD ⇒ |VGS | = VDD − Vi

VDS = Vo − VDD ⇒ |VDS | = VDD − Vo

M2 en OFF si |VGS | < |VTp| ⇒ VDD − Vi < |VTp| ⇒ Vi > VDD − |VTp|.

M2 en ON si |VGS | > |VTp| ⇒ Vi < VDD − |VTp|. El transistor puede estar en

Lineal o en Saturacion:

Lineal si |VDS | < |VGS | − |VTp| ⇒ VDD − Vo < VDD − Vi − |VTp| ⇒Vi < Vo − |VTp|

ID =kp

2

ˆ2 (VDD − Vi − |VTp|) (VDD − Vo)− (VDD − Vo)

2˜Saturacion si |VDS | > |VGS | − |VTp| ⇒ Vi > Vo + |VTp|

ID =kp

2(VDD − Vi − |VTp|)2



Caracterıstica de transferencia del inversor CMOS

Caracterıstica de transferencia del inversor CMOS



Analisis del inversor CMOS

Region I

Si Vi < VTn ⇒ M1 esta OFF ⇒ ID1 = 0.

Si ID1 = 0 ⇒ ID2 = 0.

¿En que modo se encuentra M2?

No esta en corte porque su condicion de corte (Vi > VDD − |VTp|) no secumple.No esta en Saturacion porque: ID2 =

kp

2(VDD − Vi − |VTp|)2 6= 0

Por tanto, M2 esta en Lineal:ID2 =

kp

2


2˜Para que se cumpla que ID2 = 0, Vo = VDD




Region II

Si Vi aumenta hasta Vi > VTn ⇒ M1 esta en Saturacion.

M2 sigue en Lineal.

Usando que ID1 = ID2:

kn

2(Vi − VTn)2 =

kp

2


2˜Al despejar Vo en funcion de Vi, se obtiene una funcion decreciente. Esto es, si Vi

aumenta, Vo disminuye.




Region III

Si Vi aumenta M1 sigue en Saturacion.

M2 pasa de Lineal a Saturacion.


kn

2(Vi − VTn)2 =

kp


Solo existe un unico valor de Vi(= V ∗i ) para el que los dos transistores estan

saturados:

V ∗i =

VDD − |VTp|+ VTn

qknkp

1 +q

knkp

CMOS simetrico si V ∗i = VDD/2. Ocurre cuando VTn = |VTp| y kn = kp.




Region IV

Si Vi > V ∗i M1 pasa a Lineal.

M2 sigue en Saturacion.


kn

2

ˆ2 (Vi − VTn) Vo − V 2

o

˜=

kp


Si despejamos Vo en funcion de Vi, obtenemos una funcion decreciente. Esto es, siaumentamos Vi, Vo disminuye.

Vo va a disminuir hasta que M2 entra en Corte.




Region V

Si Vi > V ∗i sigue aumentando, M1 sigue en Lineal.

Al aumentar Vi, baja Vo hasta que M2 entra en Corte ⇒ ID2 = 0.

Usando que ID1 = ID2:ID1 = ID2 = 0

De la ecuacion anterior, Vo = 0.



¿Como construimos puertas logicas con CMOS?

La idea es similar a la logica NMOS.

Cuando queremos sintetizar una funcion:

Vemos los 0 que tiene la funcion e implementamos con la red de NMOS laNOT de la funcion que queremos.Colocamos una red de transistores PMOS en la carga con una topologıacomplementaria a la de los NMOS.Hay que tener en cuenta que en una red NMOS, los productos se hacen conNMOS en serie y las sumas con NMOS en paralelo.

Hay que tener en cuenta que en una red PMOS, los productos se hacen con

PMOS en paralelo y las sumas con PMOS en serie.

Cuando queremos obtener la funcion logica que implementa un circuito:

Vemos los NMOS y los PMOS como interruptores.

Para cada combinacion de entradas se ve si hay un camino hasta tierra o si

es hacia la fuente, sabiendo que por la topologıa de esta logica solo puede

irse a uno de los dos.



Ejemplos

NMOS

PMOS



¿Como construimos puertas logicas con CMOS?

Algebra de Boole: Algunas reglas utiles.

Identidades OR Identidades AND

A + 0 = A A · 0 = 0

A + 1 = 1 A · 1 = A

A + A = A A ·A = A

A + A = A A ·A = 0

A = A

A + B = B + A A ·B = B ·AA + (B + C) = (A + B) + C A · (B · C) = (A ·B) · C

(A + B) = A ·B (A ·B) = A + B

A + A ·B = A A + A ·B = A + B

Dibujar el circuito que realiza la funcion: Y = A ·BDibujar el circuito que realiza la funcion: Y = A + B

Dibujar el circuito que realiza la funcion: Y = A · (B + C ·D)

Dibujar el circuito que realiza la funcion: Y = A + B + A · CDibujar el circuito que realiza la funcion: Y = (A + B) · C



Puerta NAND

Puerta NAND

Vo = A ·B



Puerta NOR

Puerta NOR

Vo = A + B



Y = A · (B + C ·D)

Circuito

Y = A · (B + C ·D)



Y = A + B + A · C

Circuito

Y = A + B + A · CY = A + B + A · CY = A + B ·A · CY = (A + B) · (A + C)

Y = (A + B) · (A + C)

Y = A ·A + A · C + B ·A + B · CY = A · (A + B + C) + B · CY = A + B · C



Y = (A + B) · C

Circuito

Y = (A + B) · C

Y = (A + B) · C

Y = (A + B) + C

Y = A ·B + C



Tema 6. El Amplificador Operacional



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Isabel M. Tienda Luna Tema 6. El Amplificador Operacional 1 / 35

1 Introduccion

2 Caracterısticas de los Amplificadores

3 El Amplificador Operacional

4 Aplicaciones lineales del Amplificador Operacional


Introduccion

1 Introduccion





Introduccion

Introduccion

Las senales contienen informacion sobre los fenomenos que ocurren en el mundoque nos rodea.

Para extraer esta informacion, es necesario procesar dichas senales de la forma masconveniente por sistemas electronicos.

Para ello, las senales deben de convertirse en senales electricas (voltaje o corriente)por medio de transductores. Pero los transductores producen senales debiles ⇒Necesitamos amplificar las senales.

Una caracterizacion muy util de una senal es en terminos de su espectro defrecuencias. El espectro de frecuencias de una senal se calcula mediante una seriede herramientas matematicas (series de Fourier o transformada de Fourier) quepermiten representar la senal como suma de senales sinusoidales de diferentesfrecuencias y amplitudes.

De esta forma, una senal puede representarse en el dominio del tiempo (va(t)) oen el dominio de la frecuencia (Va(ω)).


Introduccion

Introduccion

Senal Periodica Senal Arbitraria


Caracterısticas de los Amplificadores

1 Introduccion






Generalidades

La amplificacion es una funcion fundamental en el procesado de las senales.

Sımbolo

Sımbolos

En amplificadores lineales, la senal de salida es una replica exacta de la de entrada,salvo que tiene mayor magnitud.



Ganancia

Circuito

Ganancia de voltaje.

Av ≡vo

vi⇒ 20 log |Av|dB

Ganancia de corriente.

Ai ≡ioii⇒ 20 log |Ai|dB

Representacion grafica



Saturacion

Fenomeno de Saturacion. La caracterıstica de transferencia permanece lineal soloun intervalo limitado de voltajes de entrada y salida. Alimentacion.

L+ y L− son los valores de saturacionpositivos y negativos respectivamente.

Para evitar la distorsion:

L−Av≤ vi ≤

L+

Av



Respuesta en frecuencia

La respuesta en frecuencia es una caracterizacion importante del amplificador enterminos de su respuesta a senales sinusoidales de entrada de frecuenciasdiferentes.

Matematicamente la caracterizamos a traves de la funcion de transferencia delpropio amplificador (T (ω)) que describe la respuesta del amplificador a una senalsinusoidal de frecuencia ω.

|T (ω)| = Vo

Vi∠T (ω) = φ

Para calcular T (ω) es necesario analizar el modelo de circuito equivalente delamplificador: analizar en el dominio de la frecuencia con impedancias y/oadmitancias para obtener la funcion de transferencia.



Respuesta en frecuencia

Para representar la respuesta en frecuencia se usa el diagrama de Bode, tanto enamplitud como en fase.

El ancho de banda del amplificador es la banda de frecuencias sobre la que laganancia del amplificador es casi constante, a menos de cierto numero dedecibelios (por lo general 3dB).


El Amplificador Operacional

1 Introduccion






Generalidades

El Amplificador Operacional (AOP) es un amplificador de gran ganancia, utilizadopara realizar operaciones lineales y no lineales sin mas que cambiar los elementosexternos tales como resistencias, condensadores, diodos, etc.

Circuito integrado basico:

El AO esta contituido por tres etapas: etapa de entrada, etapa amplificadora yetapa en seguidor de tension.



Esquematico

El amplificador operacional esta compuesto por muchos transistores.

Esquematico del AO 741: 24 transistores



Chip

En el laboratorio se trabaja con un chip.

Chip del AO 741



Modelo Lineal

Cuando el comportamiento del AOP es lineal, se puede sustituir por el siguiente modelolineal:

Circuito del Modelo Lineal



Respuesta en Frecuencia

La respuesta en frecuencia de un AOP tıpico en lazo abierto es la siguiente:

Diagrama de Bode en Amplitud



Modelo Ideal

En el modelo ideal del AOP se realizan las siguiente aproximaciones:

Los lımites de saturacion son los voltajes de alimentacion.

Av es muy grande ⇒ Av →∞.

Ri es muy grande ⇒ Ri →∞.

Ro es muy pequena ⇒ Ro → 0 y Vo = Av(V + − V −).

Ancho de banda muy grande ⇒ B →∞.

Representacion Modelo Ideal Caracterıstica



Realimentacion

Amplificador Operacional en Lazo Abierto: no existe conexion entre salida yentrada.

Amplificador Operacional con Realimentacion: se establece una conexion entresalida y entrada.

Existen dos tipos de realimentacion: positiva y negativa.

Tipos de Realimentacion

¿Para que sirve conectar la salida y la entrada? Lo vemos a continuacion...



Realimentacion

Realimentacion Positiva

Si V − > V + ⇒ (V + − V −) < 0 ⇒ Vo ↓ ⇒ V + ↓⇒ (V + − V −) ↓ ⇒ Vo ↓ ⇒ Vo se limita a −Vcc

Si V − < V + ⇒ (V + − V −) > 0 ⇒ Vo ↑ ⇒ V + ↑⇒ (V + − V −) ↑ ⇒ Vo ↑ ⇒ Vo se limita a +Vcc

Realimentacion Negativa

Si V − > V + ⇒ (V + − V −) < 0 ⇒ Vo ↓ ⇒ V − ↓⇒ (V + − V −) ↑ ⇒ Vo ↑ ⇒ Equilibrio V − = V +

Si V − < V + ⇒ (V + − V −) > 0 ⇒ Vo ↑ ⇒ V − ↑⇒ (V + − V −) ↓ ⇒ Vo ↓ ⇒ Equilibrio V − = V +

RealimentacionPositiva

RealimentacionNegativa


Aplicaciones lineales del Amplificador Operacional

1 Introduccion






Generalidades

El comportamiento del AOP se considera ideal a la hora de analizar los circuitos.

El AOP opera en condiciones de lazo cerrado, en concreto con retroalimentacionnegativa.

Las caracterısticas del circuito dependeran de los valores externos.

Las caracterısticas del circuito son independientes de la ganancia interna del AOPy de Ri y Ro.

Los circuitos que vamos a estudiar son:

Configuracion inversora y configuracion no inversora.Sumador inversor y sumador no inversor.Derivador.

Integrador.



Configuracion inversora

Analisis del circuito:

Condiciones ideales: i− = i+ = 0

Leyes de Kirchoff: Vi−V−

R1= V−−Vo

R2

Realimentacion negativa: V − = V +

⇒ como V + = 0V ⇒ V − = 0V

Funcion de transferencia:

Vo

Vi= −R2

R1

Circuito

Transferencia



Configuracion inversora

Ejemplo 1

Ejemplo 2



Configuracion no inversora



Leyes de Kirchoff: 0−V−

R1= V−−Vo

R2


⇒ como V + = Vi ⇒ V − = Vi

Funcion de transferencia:

Vo

Vi= 1 +

R2

R1

Circuito

Transferencia



Configuracion no inversora

Ejemplo 3

Ejemplo 4



Sumador

Analisis del circuito inversor:


Leyes de Kirchoff:V1−V−

R1+ V2−V−

R2= V−−Vo

RF


⇒ como V + = 0 ⇒ V − = 0

Funcion de transferencia del inversor:

Vo = −RF

„V1

R1+V2

R2

«Si R1 = R2 = RF ⇒ Vo = − (V1 + V2)Analizar como ejercicio el no inversor:

Circuito inversor

Circuito no inversor



Derivador



Realimentacion negativa: V − = V + ⇒ comoV + = 0 ⇒ V − = 0

Ecuacion para el condensador:ic(t) = C dvi(t)

dt

En el dominio del tiempo: la senal de salidaes la derivada de la senal de entrada:vo(t) = −RC dvi(t)

dt

En el dominio de la frecuencia:Vo(ω) = −RCjωVi(ω)

Derivador



Derivador

Ejemplo 5

Ejemplo 6



Derivador

Bode en amplitud

|T (jω)| = RCω

Bode en fase

φ(ω) = −π2



Integrador



Realimentacion negativa: V − = V + ⇒ comoV + = Vi ⇒ V − = Vi

Ecuacion para el condensador:ic(t) = C dvo(t)

dt

En el dominio del tiempo: la senal de salidaes la integral de la senal de entrada:vi(t) = −RC dvo(t)

dt⇒

vo(t) = − 1RC

Rvi(t)dt

En el dominio de la frecuencia:Vo(ω) = − 1

RCjωVi(ω)

Integrador



Integrador

Ejemplo 7

Ejemplo 8



Integrador

Problema de estabilidad: en continua el condensador se comporta como uncircuito abierto y no hay realimentacion negativa. Cualquier pequena componentede continua en Vi teoricamente produce una salida infinita.

vi(t) = sin(ωt) + k

vo(t) = − 1

RC

Z(sin(ωt) + k)dt

vo(t) = − 1

RC

„− 1

ωcos(ωt) + kt+ Vo(0)

«En la practica, la salida del amplificador se satura a un voltaje cercano +Vcc o−Vcc, dependiendo de la polaridad de la senal de entrada.

Solucion: El problema de ganancia muy alta en continua del integrador se resuelveal conectar R2 en paralelo con el condensador. Esta resistencia cierra elcircuito derealimentacion y proporciona una ganancia finita en continua de −R2/R1.



Integrador

Al introducir la resistencia R2, la funcion detransferencia resultante es:VoVi

= −R2R1

11+R2Cjω

Filtro paso-bajo de frecuencia de corte:ω0 = (R2C)−1

Si ω > ω0 ⇒ VoVi≈ − 1

R1Cjω

El integrador resultante ya no es ideal, perose puede reducir al mınimo la imperfeccionseleccionando una R2 tan grande como seaposible.

Integrador Modificado



Integrador

Bode en amplitud

|T (jω)| = R2

R1

1p1 + (R2Cω)2

Bode en fase


Tema 7. Conversores D/A y A/D



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Isabel M. Tienda Luna Tema 7. Conversores D/A y A/D 1 / 31

1 Introduccion

2 Conversores D/ASumador analogicoConvertidor en escalera R-2R

3 Conversores A/DCaracterısticas GeneralesTipos de conversores A/D


Introduccion

1 Introduccion




Introduccion

Introduccion

Hasta ahora hemos trabajado con dos tipos de senales en esta asignatura:

Analogicas:

la senal puede tomar cualquier valor en un intervalo.no solo nos interesa el estado de los dispositivos.

Digitales:

la senal solo puede tomar ciertos valores.solo nos interesa el estado de los dispositivos (ON/OFF).

A veces es interesante poder convertir un valor digital a uno analogico oviceversa. Los conversores son circuitos que convierten senales digitales enanalogicas y viceversa.

Conversor

A/D

Conversor

D/AvA vA

1

2

3

1

2

3

N N

SALIDA SALIDAENTRADAENTRADA


Introduccion

Introduccion


Conversores D/A

1 Introduccion




Conversores D/A

Conversores D/A

Conversor

D/APALABRADIGITAL

SEÑAL ANALÓGICA

Si la palabra digital es: SN SN−1 SN−2 · · ·S1 S0, su valor analogicosera:

K(SN2N + SN−12

N−1 + · · ·+ S12 + S0

)En este tema estudiaremos dos circuitos conversores D/A:

Sumador analogicoConvertidor en escalera R-2R


Conversores D/A Sumador analogico

Sumador analogico: el circuito.

Cada uno de los interruptores (Si) esta controlado por cada uno delos N+1 bits de la palabra digital de entrada.En la palabra de entrada

bN es el bit mas significativob0 es el bit menos significativo

Entonces, el bit bi controla el interruptor Si.



Sumador analogico: analizando el circuito.


Realimentacion negativa: V − = V + ⇒ como V + = 0V ⇒ V − = 0V

Ley de Ohm aplicada a cada resistencia: Si(VR − V −) = Si(VR − 0) = IiRi dondeRi = 2N−iRAplicamos Ley de Nudos al nudo conectado a la entrada inversora:∑

Ientran =∑

Isalen

donde ∑Ientran =

N∑i=0

SiVR

Ri

=N∑

i=0

SiVR

2N−iR

∑Isalen =

V − − Vo

Rf

=0 − Vo

Rf

igualando:N∑

i=0

SiVR

2N−iR=

−Vo

Rf

S0VR

2NR+

S1VR

2N−1R+ · · · +

SNVR

20R=

0 − Vo

Rf

−RfVR

2NR

[S0 + 2S1 + · · · + 2

NSN

]= Vo



Sumador analogico: analizando el circuito.

A la salida tendremos una senal discreta, no vamos a lograr recuperar una senal

continua. El incremento mınimo de voltaje: ∆Vmin =RfVR

2NR

Cuanto mas grande es N, esto es, cuanto mas numero de bits tenga la palabra,mas pequeno es ∆Vmin, mas valores tendra la senal analogica. La senalsera continua si N →∞

Inconveniente: es necesaria una gran gama de resistencias: desde R a 2NR.


Conversores D/A Convertidor en escalera R-2R

Convertidor en escalera R-2R: el circuito.

Para evitar con la gama de resistencias del problema del sumadoranalogico, especialmente cuando el numero de bits es mayor de 4, sesuele usar el Convertidor en escalera R-2R.



Convertidor en escalera R-2R: analizando el circuito.

A

Calculamos el Equivalente Thevenin del circuito rodeado. Para ello usamos que elcircuito rodeado es un divisor de tension:

RthA =2R 2R

2R + 2R= R

VthA =S0VR2R

2R + 2R=

S0VR

2




Sustituimos el circuito rodeado por su Equivalente Thevenin.

A

VR

2

A




VR

2

B

Calculamos de nuevo el Equivalente Thevenin para la parte rodeada.La resistencia Thevenin

RthB =(R + R) 2R

(R + R) + 2R= R

La tension Thevenin

I =S1VR − S0

VR2

4R

VthB = S1VR − I2R = S1VR −S1VR − S0

VR2

4R2R =

S1VR

2+

S0VR

4




Vth

th

N

Repetimos el calculo del equivalente Thevenin hasta llegar al nodo NLa resistencia Thevenin

RthB =(R + R) 2R

(R + R) + 2R= R

La tension Thevenin

VthN =SNVR

2+

SNVR

22+ · · · +

S1VR

2N+

S0VR

2N+1

VthN =VR

2N+1

(2N

SN + · · · + 2S1 + S0

)




N

Vth

th

N

Repetimos el calculo del equivalente Thevenin hasta llegar al nodo NLa resistencia Thevenin

RthN =(R + R) 2R

(R + R) + 2R= R

La tension Thevenin

VthN =SNVR

2+

SNVR

22+ · · · +

S1VR

2N+

S0VR

2N+1

VthN =VR

2N+1

(2N

SN + · · · + 2S1 + S0

)




Vth

th

N

Analizamos el circuito con el AO:


Realimentacion negativa: V − = V + ⇒ como V + = 0V ⇒V − = 0V

Aplicamos Ley de Nudos al nudo unido a la entrada inversora

∑Ientran =

∑Isalen

VthN − 0

RS + RthN

=0 − Vo

Rf

Vo =−VthNRf

RS + RthN

Vo =−Rf

RS + R

VR

2N+1

(2N

SN + · · · + 2S1 + S0

)


Conversores A/D

1 Introduccion




Conversores A/D Caracterısticas Generales

Conversores D/A

Conversor

A/DSEÑAL

ANALÓGICAPALABRADIGITAL

El proceso de conversion de una senal analogica a una senal digital engloba cuatro fases:

1 Fase de Muestreo

2 Fase de Mantenimiento

3 Fase de Cuantificacion

4 Fase de Codificacion



Conversores D/A: Caracterısticas

Numero de bits (N), determina el numero de posibles salidas (2N ).

Rango de entrada (VR), rango de tension de entrada que el conversor es capaz deanalizar.

Tiempo de conversion (TC), tiempo necesario para convertir la senal analogica endigital.

Resolucion (r), mınimo incremento de la entrada que es capaz de apreciar elconversor A/D. r = VR

2N−1.



Fase de Muestreo

a)

b)

c)

d)

¿A que frecuencia muestreo

para no perder informacion?

Teorema de Nyquist-Shanon

La frecuencia de muestreo debe de ser como mınimo el doble de la maxima frecuenciade la senal.

fmuestreo > 2fmax

¿Y si mi senal no esta limitada en banda?⇒ Inevitablemente hay perdida deinformacion. Se suele filtrar con un filtro paso baja.



Fase de Muestreo y Mantenimiento

Durante el tiempo que se tarda en transformar la senal analogica a digital, es necesario

mantener el valor de la senal muestreada.

Circuito muestreador-retenedor

Estructura:

Seguidor de tension.

Puerta de Paso.

Seguidor de tension.



Fase de Muestreo y Mantenimiento

Muestreo

Si VC = 1, el condensador se carga a Vi.

Mantenimiento

Si VC = 0, el condensador mantiene el

voltaje a Vi.



Fases de Cuantificacion y Codificacion

Cuantificacion

La cuantificacion consiste en aproximar el valor mantenido a un multiplo entero de una

cantidad asociada con la resolucion del convertidor (resolucion del convertidor).

Ejemplo 1

Supongamos un convertidor A/C de rango [0,5]V y con N=2.Entonces, VR = 5V , el numero de niveles es 2N = 4, de manera que el numero deintervalos entre niveles es 2N − 1 = 3 y la resolucion esr = 5

3V/intervalo = 1,66V/intervalo



Fases de Cuantificacion y Codificacion

Ejemplo 2

Supongamos un convertidor A/C de rango [0,5]V y con N=8. Escribir la palabracorrespondiente a un valor de senal analogica de 3.83V usando la aproximacion +LSB yusando la aproximacion ±1/2LSB

Entonces, VR = 5V , el numero de niveles es 2N = 256, de manera que el numerode intervalos entre niveles es 2N − 1 = 255 y la resolucion esr = 5

255V/intervalo = 0,196V/intervalo

Calculo el intervalo en el que esta la senal ⇒ 3,830,196V/intervalo

= 195,4

Usando la aproximacion +LSB, la senal esta en el intervalo 196 que en binario es11000100.

Usando la aproximacion ±1/2LSB, la senal esta en el intervalo 195 que en binarioes 11000011.


Conversores A/D Tipos de conversores A/D

Tecnicas de conversion A/D

Las tecnicas de conversion analogica digital pueden clasificarse en dosgrandes grupos:

Tecnicas Directas: Los conversores directos obtienen el dato digitalpor conteo o por comparacion. Entre estos se encuentran losconversores de integracion de rampa doble y simple y los flash (enparalelo).

Tecnicas Realimentadas: Los conversores realimentados obtienen eldato digital mediante un conversor digital analogico que realimenta eldato digital generado por algun sistema logico. Operan generandodigitalmente un codigo (de acuerdo con alguno de varios criterios), elcual se aplica como entrada digital a un conversor D/A. La salida deeste se compara con la entrada, y segun el signo del error seincrementa o no el codigo.



Tecnicas de conversion directas

Conversor de rampa simple

El condensador se carga de forma lineal hastaalcanzar la tension a convertir.

El tiempo necesario para llegar a la tension aconvertir es proporcional a la tension deentrada y puede medirse con un contador quecuente ciclos de reloj.

V1 =Vref

RCt

El comparador conmuta cuando V1 ≥ Vi yentonces el contador queda a

D =[fckRC Vi

Vref

]Eligiendo fckRC = 2N tenemos un conversorde N bits.



Tecnicas de conversion directas

Conversor con comparadoresVref

Es el unico caso en el que los procesos decuantificacion y codificacion estan claramenteseparados.

Cuantificacion: se compara la senal deentrada procedente del muestreo con unaserie de senales de referencia que se obtienendel divisor son la Vref .

Codificacion: se realiza a traves de uncodificador.

Ventaja: rapidez.

Inconveniente: necesitan mucha circuiterıa(aumenta con N).



Tecnicas de conversion realimentadas

Conversor de rampa discreta

El generador de los datos digitales es uncontador ascendente.

Al resetear el contador, el conversor D/Aaplica una tension nula al comparador ⇒Vi > 0 ⇒ salida alta del comparador ⇒puerta AND deja pasar los pulsos de reloj ⇒el contador aumenta el numero aplicado alD/A ⇒ la tension dee comparador aumenta.

Si la tension del comparador supera Vi, lasalida ddel comparador es baja y la puertaAND para el conteo.

Inconveniente: el conversor se resetea trascada conversion y hacen falta 2N − 1 ciclos ereloj para completar la conversion.




Conversor de balance continuo

Misma filosofıa que el conversor de rampadiscreta.

Ventaja: el contador es capaz de contar haciaarriba o hacia abajo segun el nivel de la senalde control ⇒ el conversor responde masrapido a variaciones pequenas.




Conversor de aproximacionessucesivas

Misma filosofıa que los otros conversores peroreemplaza el contador por un registro deaproximaciones sucesivas.

Funcionamiento: inicialmente se pone registroa 0000 · · · 0︸︷︷︸

N

.

Se hace 1 el bit mas significativo.

Se compara el valor analogico

correspondiente a 100· · · 0 con Vi

si Vi es mayor ⇒ se mantiene el 1.si Vi es menor ⇒ el 1 se transformaen 0.

Ventaja: mas rapidez y resolucion a mas bajocoste.


PRÁCTICAS


Practicas de Laboratorio deFundamentos Fısicos y Tecnologicos

de la Informatica

Curso 2010-2011

Indice general

1. Apuntes sobre Teorıa de Errores 71.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Conceptos importantes: Exactitud, Precision y Sensibilidad . . 8

1.2.1. Exactitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2. Precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3. Sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Clasificacion de los tipos de errores . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1. Errores Sistematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2. Errores Accidentales o Estadısticos . . . . . . . . . . . 101.3.3. Errores Espurios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Error absoluto y error relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.1. Error absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.2. Error relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.3. Comparacion entre distintas medidas . . . . . . . . . . 12

1.5. Expresion de una medida: cifras significativas . . . . . . . . . 131.5.1. Expresion del error absoluto . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.2. Expresion del valor de la magnitud . . . . . . . . . . . 14

1.6. Estimacion del error y del valor de una magnitud con medidasdirectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6.1. Solo es posible realizar una unica medida de la magnitud 141.6.2. Es posible realizar mas de una medida . . . . . . . . . 15

1.7. Estimacion del error y del valor de una magnitud con medidasindirectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8. Regresion Lineal: Metodo de Mınimos Cuadrados . . . . . . . 191.9. Construccion de Graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.10. Normas del Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2. Practica 1: Medidas en corriente continua. 252.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2. Manejo de la fuente de alimentacion y el polımetro. Descripcion. 25

2.2.1. Fuente de alimentacion FAC-363B . . . . . . . . . . . . 25

3

4 INDICE GENERAL

2.2.2. El polımetro digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.3. Placa de montaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.4. Valor nominal de resistencias . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3. Fundamento Teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.1. Asociacion de resisitencias . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.2. Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4. Procedimiento Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5. Trabajo de prelaboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.6. Trabajo de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3. Practica 2: Divisor de tension y Equivalente Thevenin de uncircuito. 373.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2. Fundamento Teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.1. Divisor de Tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.2. Equivalente Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3. Procedimiento Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3.1. Divisor de Tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3.2. Equivalente Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4. Trabajo de prelaboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5. Trabajo de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4. Practica 3: Medidas en corriente alterna 434.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2. Manejo del osciloscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2.1. Manejo de los controles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.2. Modos de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3. Manejo del generador de senales . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3.1. Manejo del generador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3.2. Pantalla de presentacion de datos . . . . . . . . . . . . 52

4.4. Fundamento Teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.5. Procedimiento Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.6. Trabajo de prelaboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.7. Trabajo de laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5. Practica 4. Caracterizacion de circuitos con diodos y BJT. 595.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2. Circuitos con diodos. Fundamento Teorico . . . . . . . . . . . 595.3. Circuitos con diodos. Procedimiento Experimental. . . . . . . 60

5.3.1. Relacion I-V en un diodo. . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3.2. Caracterıstica de transferencia. . . . . . . . . . . . . . 61

INDICE GENERAL 5

5.4. Circuitos con Transistores Bipolares de Union. FundamentoTeorico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5. Circuitos con BJTs. Procedimiento Experimental . . . . . . . 625.6. Trabajo de Prelaboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.7. Trabajo de Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6. Practica 5. Caracterizacion de circuitos con MOSFETs 676.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.2. Fundamento Teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.3. Procedimiento Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.3.1. Caracterıstica de transferencia . . . . . . . . . . . . . . 686.3.2. Caracterıstica de transferencia . . . . . . . . . . . . . . 69

6.4. Trabajo de Prelaboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.5. Trabajo de Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7. Practica 6. Familias logicas NMOS y CMOS. 757.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.2. Procedimiento Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.2.1. Inversor NMOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.2.2. Inversor CMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.2.3. Puerta NAND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.2.4. Puerta NOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.3. Trabajo de Prelaboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.4. Trabajo de Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8. Practica 7. El Amplificador Operacional. 838.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.2. Fundamento Teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.3. Procedimiento Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

8.3.1. Circuito inversor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.3.2. Circuito no inversor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858.3.3. Circuito derivador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858.3.4. Circuito integrador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.4. Trabajo de Prelaboratorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.5. Trabajo de Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9. Practica 8. Conversor Digital/Analogico 939.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.2. Procedimiento Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.3. Trabajo de Prelaboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949.4. Trabajo de Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Apuntes sobre Teorıa deErrores

1.1. Introduccion

Una magnitud fısica es un atributo de un cuerpo, un fenomeno o unasustancia, que puede determinarse cuantitativamente, es decir, es un atributosusceptible de ser medido. Ejemplos de magnitudes son la longitud, la masa,la potencia, la velocidad, etc.

Para establecer el valor de una determinada magnitud tenemos que usarinstrumentos y un metodo de medida. Asimismo es necesario definir unidadesde medida. Por ejemplo, si deseamos medir el largo de una mesa, el instru-mento de medida sera una regla. Si hemos elegido el Sistema Internacionalde Unidades (SI), la unidad sera el metro y la regla a usar debera estar cal-ibrada en esa unidad (o submultiplos). El metodo de medida consistira endeterminar cuantas veces la regla y fracciones de ella entran en la longitudbuscada.

En todo proceso de medida existen limitaciones dadas por los instrumen-tos usados, el metodo de medida y/o el observador (u observadores) querealizan la medida. Por ejemplo, cuando usamos un termometro para mediruna temperatura, parte del calor del objeto fluye al termometro (o viceversa),de modo que el resultado de la medida es un valor modificado del originaldebido a la inevitable interaccion que se ha producido. Esta claro que estainteraccion podra o no ser significativa: Si estamos midiendo la temperaturade un metro cubico de agua, la cantidad de calor transferida al termometropuede no ser significativa, pero si lo sera si el volumen en cuestion es de unapequena fraccion del mililitro.

Por tanto, ya que incluso el propio proceso de medida introduce impre-

7

8 CAPITULO 1. APUNTES SOBRE TEORIA DE ERRORES

cisiones, puede aceptarse como postulado fısico el hecho de que resulta im-posible conocer el valor exacto de una magnitud. El principal objetivo de ladenominada teorıa de errores consiste en acotar el valor de dichas impreci-siones denominadas errores experimentales para establecer los lımites dentrode los cuales se encuentra el valor de la magnitud a determinar. Ası, en todolo que sigue, las medidas vendran caracterizadas no por un unico numerosino por un intervalo.

Figura 1.1: Intervalo de error asociado a la medida de x

Finalmente, resaltar que en teorıa de errores, el concepto de error tieneun significado diferente del habitual. Coloquialmente, se suele usar el termi-no error como sinonimo de equivocacion. En la teorıa de errores, el erroresta asociado al concepto de imprecision en la determinacion del resultadode una medida. Concretamente, lo que intenta en toda medida es conocer lascotas (o lımites probabilısticos) de estas imprecisiones. Graficamente, bus-camos establecer un intervalo x − ∆x ≤ x ≤ x + ∆x como el de la Figura1.1, donde con cierta probabilidad, podamos decir que se encuentra el mejorvalor de la magnitud x. Este mejor valor x es el mas representativo de nuestramedida y al semi ancho ∆x lo denominamos error absoluto de la medida.

1.2. Conceptos importantes: Exactitud, Pre-

cision y Sensibilidad

En lo que respecta a los aparatos de medida, hay tres conceptos muyimportantes que es necesario definir para poder usarlos con propiedad: exac-titud, precision y sensibilidad.

1.2.1. Exactitud

La exactitud se define como el grado de concordancia entre el valor ver-dadero de una magnitud y el obtenido experimentalmente. De modo que, sedice que un instrumento es exacto si las medidas realizadas el son todas muyproximas al valor verdadero de la magnitud.

La exactitud de un instrumento o metodo de medicion esta asociada a lacalidad de la calibracion del mismo. La exactitud es una medida de la calidad

1.3. CLASIFICACION DE LOS TIPOS DE ERRORES 9

de la calibracion del instrumento respecto de patrones de medida aceptadosinternacionalmente. En general los instrumentos vienen calibrados, pero den-tro de ciertos limites. Es deseable que la calibracion de un instrumento seatan buena como la apreciacion del mismo.

1.2.2. Precision

El concepto de precision hace referencia a la concordancia entre una me-dida y otras de la misma magnitud realizadas en condiciones sensiblementeiguales. De modo que, un instrumento sera mas preciso cuanto menores seanlas diferencias entre distintas medidas de una mismas magnitud realizadasen condiciones parecidas.

Aunque exactitud implica normalmente precision, la afirmacion inversano es cierta ya que pueden existir aparatos muy precisos que posean pocaexactitud. Esto es, aparatos cuyas medidas de una magnitud sean muy pare-cidas entre sı (y por lo tanto precisas) pero que esten muy lejos del valorverdadero (y por lo tanto poco exactas). Imaginemos que el cronometro queusamos en un proceso de medida es capaz de determinar la centesima de se-gundo pero adelanta dos minutos por hora, mientras que un reloj de pulseracomun no lo hace. En este caso decimos que el cronometro es mas precisoque el reloj comun, pero menos exacto.

1.2.3. Sensibilidad

La sensibilidad de un aparato esta relacionada con el valor mınimo de lamagnitud que es capaz de medir. Normalmente, se admite que la sensibilidadde un aparato viene indicada por el valor de la division mas pequena de laescala de medida. Ası por ejemplo, la sensibilidad de una regla cuya mınimadivision es un milımetro, es de un milımetro. La de una balanza que lo mınimoque aprecia es 0.01 g, es de 0.01 g.

En muchas ocasiones, de un modo erroneo, se toman como identicos losconceptos de precision y sensibilidad aunque del analisis de sus definicionespuede verse que se trata de conceptos diferentes.

1.3. Clasificacion de los tipos de errores

Decimos que conocemos el valor de una magnitud dada, en la medida enque conocemos sus errores. En ciencia se considera que la medicion de unamagnitud con un cierto error no significa que se haya cometido una equiv-ocacion o que se haya realizado una mala medicion. Con la indicacion del


error de medicion se expresan, en forma cuantitativa y lo mas precisamenteposible, las limitaciones que el proceso de medida introduce en la determi-nacion de la magnitud medida. Los errores no siguen una ley determinaday su origen esta en multiples causas. Atendiendo a las distintas causas quelos producen, los errores pueden clasificarse en tres grandes grupos: erroressistematicos, errores accidentales y errores espurios.

1.3.1. Errores Sistematicos

Se denomina error sistematico a aquel originado por las imperfeccionesde los metodos de medida. Por tanto, este tipo de errores es constante a lolargo de todo el proceso de medida y afecta de la misma forma a todas lasmedidas siendo el mismo para todas ellas. Por ejemplo, pensemos en un relojque atrasa o adelanta, o en una regla dilatada, el error de paralaje, etc.

Estos errores tienen un signo determinado y las causas probables puedenser:

1. Errores instrumentales. Estos errores estan relacionados con los instru-mentos de medida. Un ejemplo de este tipo de errores es el de calibrado.

2. Errores personales. Este tipo de errores se deben a limitaciones decaracter personal relacionadas con los observadores que realizan el pro-ceso de medida y son, en general, difıciles de determinar. Un ejemplode este tipo de errores serıa una persona con problemas de tipo visual:es posible que un observador entrenado pueda apreciar con una reglacomun fracciones del milımetro mientras que otro observador, con lamisma regla pero con dificultades de vision solo pueda apreciar 2 mm.

3. Error en la seleccion del metodo. Como su propio nombre indica, estetipo de errores se producen debido a una eleccion inadecuada del meto-do de medida de la magnitud.

1.3.2. Errores Accidentales o Estadısticos

Se denomina error accidental a aquel que se produce en las pequenas varia-ciones que aparecen entre observaciones sucesivas realizadas por un mismooperador. Las variaciones no son reproducibles de una medida a la siguientey no presentan mas que por azar la misma magnitud en dos mediciones cua-lesquiera del grupo . Las causas de estos errores son incontrolables para unobservador.

Los errores accidentales se producen al azar y son en su mayorıa de mag-nitud muy pequena . Estos errores pueden cometerse con igual probabilidad

1.4. ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO 11

por defecto como por exceso. Por tanto, midiendo varias veces y promedian-do el resultado, es posible reducirlos considerablemente. Es a este tipo deerrores a los que comunmente hace referencia la teorıa estadıstica de erroresde medicion que se formularan en lo que sigue.

Un ejemplo de este tipo de error es el que se comete al contar mal lasdivisiones de una regla o al copiar mar el valor que marca un polımetro.

1.3.3. Errores Espurios

Supongamos que se desea calcular el volumen de un objeto esferico ypara ello se determina su diametro. Si al introducir el valor del diametro enla formula, nos equivocamos en el numero introducido, o lo hacemos usandounidades incorrectas, o bien usamos una expresion equivocada del volumen,claramente habremos cometido un error. Esta vez este error esta mas asociadoal concepto convencional de equivocacion. A este tipo de errores los desig-namos como espurios. A este tipo de errores no se aplica la teorıa estadısticade errores y el modo de evitarlo consiste en una evaluacion cuidadosa de losprocedimientos realizados en la medicion Un ejemplo de este tipo de errores el que se cometio en el Mars Climate Explorer a fines de 1999, al pasarde pulgadas a cm se cometio un error que costo el fracaso de dicha mision aMarte.

1.4. Error absoluto y error relativo

1.4.1. Error absoluto

Para expresar el valor del error cometido al realizar una medida han decombinarse los errores sistematicos con los errores estadısticos. Esta combi-nacion de errores se constituye el llamado error absoluto. El error absolutose define a traves de la siguiente expresion:

∆x = x− x0 (1.1)

donde x0 representa el valor verdadero de la magnitud que se pretende mediry x es el valor de la medida obtenido experimentalmente. Por tanto, el er-ror absoluto proporciona informacion sobre la desviacion respecto al valorverdadero.

El error absoluto tiene las mismas dimensiones que la magnitud mediday ha de expresarse con las mismas unidades de esta. Si x es el resultado delproceso de medida y ∆x su error absoluto, el valor de la magnitud en estudiox, se expresa como:

x = (x±∆x)Unidades (1.2)


El significado de esta notacion es equivalente a decir que, segun la medidarealizada, el valor de x esta contenido en el intervalo (x−∆x, x+∆x)con unacierta probabilidad razonable p0 (normalmente p0 = 0,68, 68 %). O equiva-lentemente que: x−∆x < x < x+∆x con probabilidad p0. Un tercera posiblenotacion es: P (x−∆x < x < x+ ∆x) = p0 que significa que la probabilidadde que el mejor estimador de la magnitud x este comprendido entre x−∆x yx+ ∆x es igual a p0. El valor de p0 se conoce con el nombre de coeficiente deconfianza y los valores (x−∆x ,x−∆x) determinan un intervalo de confianzapara x.

El error absoluto nos da una medida de la desviacion en terminos ab-solutos respecto del valor verdadero. No obstante, en ocasiones nos interesaresaltar la importancia relativa de esa desviacion. Para tal fin, se usa el errorrelativo.

1.4.2. Error relativo

El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y elmejor valor de la magnitud x:

εx =∆x

x(1.3)

Tambien suele expresarse la cantidad anterior en forma porcentual, ası sedefine el error relativo porcentual de la siguiente forma:

εx,% = εx100 (1.4)

1.4.3. Comparacion entre distintas medidas

La comparacion de dos medidas puede realizarse en virtud de dos criterios:

• El error absoluto.

• El error relativo

Ejemplo

Imaginemos que medimos el espesor de un alambre (cuyo diametro esd ≈ 3 mm) y su longitud (L ≈ 1m) con la misma regla graduada en milımet-ros. Imaginemos que en este caso el error absoluto en ambas medidas secorresponde con la sensibilidad de la regla utilizada (∆d = ∆L = 1mm). Sinembargo, resulta evidente que la determinacion de la longitud del alambrees mucho mejor que la del diametro. El error relativo porcentual refleja estadiferencia, ya que para el caso del diametro su valor es εd,% ≈ 30 %, y parael caso de la longitud tenemos εL,% ≈ 0,1 %.

1.5. EXPRESION DE UNA MEDIDA: CIFRAS SIGNIFICATIVAS 13

1.5. Expresion de una medida: cifras signi-

ficativas

1.5.1. Expresion del error absoluto

Para expresar de forma correcta la medida de una magnitud concretahay que comenzar por expresar correctamente el error de la misma. Normal-mente, dado el significado de cota de imprecision que tiene el error absoluto,este jamas debe de tener mas de dos cifras significativas. La primera cifrasignificativa es la primera cifra distinta de cero cuando se empieza a contarpor la izquierda. La segunda cifra significativa es la que sigue a la primera yası sucesivamente.

Se admite por convenio que el error absoluto solo puede darse con doscifras significativas si la primera de ellas es un 1, o si siendo la primera un 2la segunda no llega a 5. En los demas casos debe darse un valor con una solacifra. En cualquier caso, hay que aumentar la ultima cifra significativa unaunidad si la que le sigue es 5 o mayor que cinco, en caso contrario la ultimacifra significativa se deja igual. El concepto anterior se aclara en el siguienteejemplo.

Ejemplo. Expresar correctamente los siguientes valores correspondientesa errores absolutos: 0.0003545, 0.00178, 0.02254, 1995

• ∆x = 0,0003545. El primer paso consiste en calcular el numero decifras significativas de ∆x. Para empezar a contar hay que buscar laprimera cifra distinta de cero empezando por la izquierda. En este casola primera cifra significativa es un 3. Como se trata de un 3, el numerode cifras significativas con las que hay que dar el error es uno. El sigu-iente paso es redondear el 3, para ello se mira la cifra que le sigue.Como se trata de un 5, hay que aumentar en una unidad el 3 por loque el error absoluto queda ∆x = 0,0004.

• ∆x = 0,00178. La primera cifra significativa es un 1 ası que el error seda con dos cifras significativas: 0.0017. El siguiente paso es redondearla ultima cifra significativa: el 7. Como el 7 va seguido de un 8 que esmayor que cinco, habra que aumentar el 7 en una unidad. Por tanto,∆x = 0,0018.

• ∆x = 0,023.

• ∆x = 2000.


Medida Error Absoluto Valor correcto3,418 0,123 (3,42± 0,123)6,3 0,09 (6,30± 0,09)

46288 1551 (46300± 1600)428,351 0,27 (428,4± 0,3)0,01683 0,0058 (0,017± 0,006

Cuadro 1.1: Ejemplo

1.5.2. Expresion del valor de la magnitud

Una vez que el error se ha expresado correctamente, es el turno del valorde la magnitud. La regla a seguir es la siguiente: el valor de la magnituddebe tener solo las cifras necesarias para que su ultima cifra significativa seadel mismo orden decimal que la ultima del error absoluto llamada cifra deacotamiento. Y esa ultima cifra significativa se redondea de acuerdo con laregla dada en el apartado anterior.

Ejemplo. Expresar correctamente los valores de la izquierda de el Cuadro1.

1.6. Estimacion del error y del valor de una

magnitud con medidas directas

Como ya se ha comentado, es imposible conocer los valores verdaderos delas magnitudes. En esta seccion se introduce el metodo de estimacion del valorde una magnitud ası como del error asociado al mismo cuando se disponede medidas directas de dicha magnitud. Se dice que una medida es directacuando se obtiene a traves de un proceso realizado con un instrumento. Laforma en la que se calcula la estimacion del valor de la magnitud y delerror depende de la forma de realizar la medida observandose la siguientecasuıstica:

1.6.1. Solo es posible realizar una unica medida de lamagnitud

En este caso, el error absoluto coincide con la sensibilidad del instrumentoutilizado para realizar la medida y la estimacion de la magnitud es el unicovalor tomado experimentalmente.

1.6. ESTIMACION DEL ERROR Y DEL VALOR DE UNA MAGNITUD CON MEDIDAS DIRECTAS15

1.6.2. Es posible realizar mas de una medida

Con el fin de alcanzar cierta validez estadıstica en los resultados de lasmedidas es muy conveniente repetir varias veces la determinacion del valorde la magnitud problema. Los resultados de las medidas individuales puedenpresentarse dispersos y en funcion de esta dispersion sera conveniente au-mentar o no el numero de determinaciones del valor de la magnitud. Paradecidir el numero de medidas necesarias para estimar el valor de la magnitudfısica se sigue el procedimiento que se presenta a continuacion.

Para cada medida donde el proceso de toma de datos se pueda repro-ducir en las mismas condiciones, se realizan SIEMPRE tres medidas de lamagnitud. Con estas tres medidas puede calcularse la media:

x3 =

∑3i=1 xi3

(1.5)

El siguiente paso consiste en calcular de la dispersion D de las medidas.La dispersion es el primer criterio que se utiliza para estimar el numero demedidas de la magnitud necesarias. La dispersion se define como la diferenciaentre los valores extremos de las medidas (valor maximo de las medidasobtenidas menos el valor mınimo):

D = xmax − xmin (1.6)

Si la dispersion calculada con las tres primeras medidas es menor o igualque la sensibilidad del aparato con el que se han tomado dichas medidas, D ≤S, estas tres medidas son suficientes para estimar el valor de la magnitud.No es necesario tomar mas medidas.

Si la dispersion calculada con las tres primeras medidas es mayor que lasensibilidad del aparato con el que se han tomado dichas medidas, D > S, esnecesario buscar un nuevo criterio para estimar el numero de medidas totalesa realizar.

Este nuevo criterio es el tanto por ciento de dispersion T que se definecomo

T = 100D

x(1.7)

Solo sera necesario calcular T para las tres primeras medidas que se re-alicen y sera solamente este valor de T el que se utilice como criterio aseguir para conocer el numero de medidas totales a realizar. Este criterio sepresenta en el Cuadro 2.


D3 T3 No de medidas necesarioD3 ≤ S Para cualquier valor de T3 Bastan las tres medidas realiza-

das.T3 ≤ 2 % Bastan las tres medidas realiza-

das.2 % < T3 ≤ 8 % Hay que hacer 3 medidas mas

para tener un total de 6.D3 > S 8 % < T3 ≤ 15 % Hay que hacer 12 medidas mas

para tener un total de 15.T3 > 15 % Hay que hacer un mınimo de 47

medidas para tener un total mıni-mo de 50.

Cuadro 1.2: Regla para calcular el numero total de medidas necesarias

Estimacion del valor de la magnitud y de su error

En esta seccion se explica la forma de calcular el valor de la magnitud quese ha medido una vez que el numero de medidas necesarias han sido tomadas.Los casos que pueden presentarse se enumeran a continuacion:

1. Si D3 ≤ S, se toma como estimacion del valor “verdadero” de la mag-nitud el valor medio de las tres medidas y como error absoluto la sen-sibilidad del aparato:

x = (x3 ± S)Unidades (1.8)

2. Si D3 > S y T ≤ 2 %, se toma como estimacion del valor “verdadero”de la magnitud el valor medio de las tres medidas y como error absolutola sensibilidad del aparato:

x = (x3 ± S)Unidades (1.9)

3. Si D3 > S y 2 % < T ≤ 8 %, se toma como estimacion del valor“verdadero” de la magnitud el valor medio de las seis medidas y comoerror absoluto el maximo entre un cuarto de la dispersion de las seismedidas y la sensibilidad del aparato:

x =

(x6 ±max

(D6

4, S

))Unidades (1.10)

1.7. ESTIMACION DEL ERROR Y DEL VALOR DE UNA MAGNITUD CON MEDIDAS INDIRECTAS17

4. Si D3 > S y 8 % < T ≤ 15 %, se toma como estimacion del valor“verdadero” de la magnitud el valor medio de las quince medidas ycomo error absoluto el que aparece en la siguiente expresion:

x =

x15 ±(∑15i=1 (xi − x15)2

15

)1/2Unidades (1.11)

5. Si se han realizado mas de 50 medidas, se construye el histograma rep-resentativo de las mismas, tomando en abscisas, a intervalos regulares,los valores de las medidas realizadas y representando cada una por unpunto sobre la abscisa correspondiente. En este caso debemos seguirrealizando medidas hasta que la distribucion resultante tenga formade distribucion gaussiana o normal. Sobre esta distribucion se obtienecomo estimacion del valor “verdadero” de la magnitud el valor mediode la misma y como medida del error absoluto, la desviacion standard:

x =

x±(∑Ni=1 (xi − x)2

N

)1/2Unidades (1.12)

El procedimiento seguido en este ultimo caso se debe a que, en una serierepetida de medidas aleatorias de una misma magnitud, la distribucionde estas alrededor del valor medio representa una forma tıpica querecibe el nombre de distribucion gaussiana o distribucion normal.

El significado de la desviacion estandar (σ) es el que se muestra acontinuacion:

• En el intervalo x − σ < x < x + σ se encuentra el 68,3 % de lasmedidas realizadas cuando el numero de estas es muy elevado.

• En el intervalo x− 2σ < x < x+ 2σ se encuentra el 95,4 % de lasmedidas realizadas cuando el numero de estas es muy elevado.

• En el intervalo x− 3σ < x < x+ 3σ se encuentra el 99,7 % de lasmedidas realizadas cuando el numero de estas es muy elevado.

1.7. Estimacion del error y del valor de una

magnitud con medidas indirectas

Las medidas indirectas de magnitudes son aquellas que se realizan a travesde una aplicacion de una formula a un conjunto de medidas (variables inde-pendientes o datos) que las relacionan con la magnitud problema. Mediante


dicha formula puede obtenerse ademas el error de dicha medida. Este sera elobjetivo en esta seccion.

Supongamos que la magnitud F cuyo valor estamos interesados en esti-mar, puede expresarse en funcion de otras magnitudes y que se relaciona conellas a traves de la siguiente expresion matematica:

F = f(x, y, z, ...) (1.13)

Si se conocen los valores de las magnitudes que aparecen en la formula(1.13) y sus errores, el modo de proceder es el siguiente:

1. Se calcula el valor de la magnitud F sustituyendo en la expresion (1.13)los valores de las medidas de cada una de las variables.

2. Para calcular el valor del error de F , hay que calcular derivadas par-ciales con respecto a cada una de las variables de las que depende F ycombinarlas de la siguiente forma:

∆F = |∂F∂x|y,z,..∆x+ |∂F

∂y|x,z,..∆y + |∂F

∂z|x,y,..∆z + .... (1.14)

Ejemplo. Las magnitudes F , x, y y z se relacionan a traves de la siguienteexpresion:

F = xy − z (1.15)

La magnitudes x, y y z se han medido de forma directa y sus valores sonx = (3,12± 0,16), y = (2,7± 0,4) y z = (12,42± 0,23). Calcular el valor deF ası como el de su error.

En primer lugar se calcula el valor de F simplemente sustituyendo en laformula:

F = 3,12 ∗ 2,7− 12,42 = −3,9960

El siguiente paso es el calculo del error. Para ello, necesitamos calcular enprimer lugar cada una de las derivadas parciales:

∂F∂x|y,z = y

∂F∂y|x,z = x

∂F∂z|x,y = −1

1.8. REGRESION LINEAL: METODO DE MINIMOS CUADRADOS 19

A continuacion se sustituye en la expresion del error:

∆F = |y|∆x+ |x|∆y + | − 1|∆z= 2,7 ∗ 0,16 + 3,12 ∗ 0,4 + 0,23

= 1,9100

Ya solo queda expresar correctamente tanto la medida como el error. Paraello se siguen los pasos presentados en la Seccion 5. Y el resultado es:

F = (−4,0± 1,9)Unidades

Nota: Trabajar con numeros irracionales. Cuando se trabaja connumeros irracionales tales como π, e, etc... no es posible introducir en loscalculos todos los decimales que contienen. Por ello, es necesario elegir elnumero de cifras significativas que han de tomarse en estos calculos para quelos errores cometidos al aproximar estos numeros irracionales no afecten a lamagnitud del error absoluto de la magnitud que se pretende determinar.

1.8. Regresion Lineal: Metodo de Mınimos

Cuadrados

Con frecuencia se plantea el problema de encontrar una expresion matematicadel tipo y = f(x) de la ley fısica que rige el comportamiento de un deter-minado fenomeno a partir de una serie de medidas de las magnitudes x ey que lo caracterizan.En un experimento tıpico, se cambia el valor de unavariable independiente x para observar el comportamiento de otra variabley dependiente de la anterior; por ejemplo, el cambio de la densidad del agua(y) con la temperatura (x). Cuando hacemos una representacion grafica y(x)(y en el eje vertical de ordenadas y x en el eje horizontal de abscisas), lacurva obtenida tendra una forma dada. En el laboratorio, al reproducir unexperimento de este tipo, obtendrıamos una grafica identica a la arrojadapor la teorıa. Sin embargo, la existencia de muchas fuentes de indetermi-nacion (no solo errores sino tambien las simplificaciones hechas en la propiateorıa, influencias de otros factores, etc) hacen que los datos experimentalesno coincidan exactamente con la curva teorica, sino que tiendan a disponersealrededor de esta. Surge entonces la pregunta de que curva “ajusta” mejorlos datos experimentales. Con “ajusta” se quiere decir, no que la curva paseexactamente por todos los puntos experimentales, sino que tienda a estar lomas cerca posible de todos ellos en conjunto.

El ajuste de datos experimentales a curvas es extremadamente impor-tante, no solo para poder comparar con la teorıa, sino incluso para poder


establecer la validez o no de la misma teorıa. El caso general es complejo ylaborioso, ası que nos limitaremos a una curva en la que la dependencia entrex e y es de tipo lineal.

Supongamos que para cada valor xi de la variable independiente se obtieneun valor yi de la variable dependiente (aquı los subındices i denotan distintosvalores de x e y, y no guardan relacion alguna con los valores de una mismacantidad utilizados en la Seccion 6). El problema consiste en encontrar unacurva del tipo y = ax + b, (una recta, en este caso) que ajuste mejor elconjunto de datos; en concreto, se buscan los valores de a y b tales quela suma de distancias entre la recta y todos los puntos experimentales seamınima.

Se puede demostrar, minimizando dicha suma de distancias, que los val-ores a y b que nos dan el mejor ajuste vienen dados por las siguientes expre-siones:

a =N∑i=N

i=1 xiyi −∑i=N

i=1 xi∑i=N

i=1 yi

N∑i=N

i=1 x2i −

(∑i=Ni=1 xi

)2 (1.16)

b =N∑i=N

i=1 x2i yi −

∑i=Ni=1 xi

∑i=Ni=1 xiyi

N∑i=N

i=1 x2i −

(∑i=Ni=1 xi

)2 (1.17)

∆a =

√ ∑i=Ni=1 (yi − axi − b)2

(N − 2)∑i=N

i=1 (xi − x)2(1.18)

∆b =

√√√√( 1

N+

x2∑i=Ni=1 (xi − x)2

)(∑i=Ni=1 (yi − axi − b)2

N − 2

)(1.19)

Cuando se quiere conocer la validez o bondad del ajuste, o cuando setienen dudas sobre si la relacion x − y es lineal, se acude al coeficiente decorrelacion lineal (C.C.L.), descrito con la letra r, definido como:

r =N∑i=N

i=1 xiyi −∑i=N

i=1 xi∑i=N

i=1 yi√(N∑i=N

i=1 x2i −

(∑i=Ni=1 xi

)2)(N∑i=N

i=1 y2i −

(∑i=Ni=1 yi

)2) (1.20)

El valor absoluto de r nos indica lo bien que los puntos experimentales ajustana la curva teorica. Si r = 1, el ajuste es perfecto; un valor r = 0,95 nos indicaun buen ajuste; un valor de r inferior a 0.85 no resulta apenas aceptable.

1.9. CONSTRUCCION DE GRAFICAS 21

1.9. Construccion de Graficas

En esta seccion se introducen algunas reglas para realizar una repre-sentacion grafica adecuada de los fenomenos que se estudian en el labora-torio.

• Las graficas han de representarse con un mallado en ambos ejes en losextremos de los cuales han de indicarse la magnitud que se representaası como la unidad en la que se mide. El tıtulo de la representacion hade estar situado en la parte superior de la misma claramente indicado.

• La variable independiente del fenomeno debe ir representada en ab-scisas y la dependiente en ordenadas. Ambas variables deben de etique-tarse bajo el eje correspondiente acompanadas de sus unidades entreparentesis.

• Las escalas, sobre ambos ejes, han de permitir una lectura rapida ysencilla. Para ello han de elegirse escalas con intervalos adecuados demanera que los puntos que se representen esten repartidos de manerahomogenea en el grafico. Normalmente los datos se representan en es-cala lineal. Para ello se usa un grafico cartesiano o grafico x-y, dondela primera coordenada corresponde a la variable independiente, mien-tras que la segunda corresponde a la variable dependiente. Tambien sepueden representar los datos en escala semi logarıtmica. En esta escala,cada division en uno de los ejes (generalmente el eje y) es una potenciade diez. Ası mismo, se puede utilizar la escala logarıtmica en la quecada division en cada uno de los ejes es una potencia de diez. o

• Las escalas deben abarcar todo el intervalo de medidas realizadas y soloel citado intervalo.

• Sobre los ejes solo se indican los valores correspondientes a las divi-siones enteras de la escala usada (que han de quedar uniformementeespaciados). Nunca se senalan los valores correspondientes a las me-didas realizadas.

• Los valores medidos se representan sobre el papel milimetrado por elpunto correspondiente a sus dos coordenadas (punto experimental) yrodeado por el denominado rectangulo de error cuya base abarca desdex − ∆x hasta x + ∆x y cuya altura se extiende desde y − ∆y hastay + ∆y siendo (x, y) las coordenadas del punto experimental. En elcaso de que ∆x o ∆y sean despreciables en comparacion con la escala


utilizada, el rectangulo de error queda reducido a un simple segmentovertical u horizontal segun el caso.

• Las graficas han de ser lıneas finas y continuas, nunca quebradas quehan de pasar por todos los rectangulos de error aunque para ello dejenmuchas veces de pasar por los puntos experimentales que pueden quedara derecha o izquierda de la grafica.

En la Figura 1.2 se muestra un ejemplo realizado con la hoja de calculodel software OpenOffice 3.1. Los pasos a seguir son los siguientes:

Figura 1.2: Ejemplo de representacion grafica

1. Introducimos los datos de las variables a representar en cada uno delos ejes en una columna diferente de la hoja de calculo.

2. Marcamos Insertar y dentro de este menu la opcion Grafico.

3. Seleccionamos como tipo de grafico XY (dispersion).

4. El siguiente paso consiste en pulsar la opcion Series de datos del asis-tente para graficos y pulsamos el boton Agregar. Automaticamenteaparecen en la casilla de Rango de Datos tres opciones que nos permi-tiran anadir los datos de nuestra tabla. Si pulsamos la opcion valores-X,nos aparece una casilla con el nombre Rango para valores de X juntoa la cual aparece un boton que, al ser pulsado, nos permite seleccionarde la hoja de calculo los datos que queremos representar en el eje X.De igual manera se procede con la opcion valores-Y.

1.10. NORMAS DEL LABORATORIO 23

5. El siguiente paso es anadir la cuadrıcula, el tıtulo y las etiquetas a cadauno de los ejes. Todas esas opciones pueden modificarse en el paso 4Elementos de Graficos.

6. Para terminar, pulsamos el boton Finalizar.

7. Llegados a este punto, conseguimos insertar un grafico en la hoja decalculo. Ya solo queda introducir las barras de error y anadir la lınea detendencia en caso de que se nos pida. Ambas acciones aparecen en unmenu que se despliega al pulsar con el boton derecho sobre los puntos dela representacion. Si escogemos la opcion Agregar Lınea de tendencia,se abre una ventana con dos pestanas. En la pestana Tipo se puedeelegir el tipo de lınea de tendencia (lineal, exponencial, logarıtmica,etc..) ası como la posibilidad de presentar su ecuacion y el coeficientede correlacion en el grafico.

1.10. Normas del Laboratorio

1. Leer el guion de practicas antes de entrar en el laboratorio. El profesorpreguntara a cada alumno y pondra una nota que contara en la notafinal de practicas. En ningun caso se permitira a un alumno realizaruna practica sin haberse leıdo el guion.

2. El alumno ha de completar la parte correspondiente al trabajo deprelaboratorio y entregarlo al profesor antes de realizar la practica cor-respondiente.

3. El puesto de trabajo ha de estar ordenado y con todo apagado antes deabandonar el laboratorio. Antes de irse, cada pareja avisara al profesorpara que juntos revisen si todo esta en orden y en buen estado.

4. Los dispositivos experimentales no deben tocarse o cambiarse de con-figuracion a menos que lo indique explıcitamente el guion.

5. El uso inapropiado del material implicara la expulsion del laboratorioy un cero en la sesion de practicas.

6. Tras la realizacion de cada practica, los alumnos deben de entregar laparte de trabajo de laboratorio al profesor.

7. No se permite faltar injustificadamente al laboratorio. Para aquellasfaltas que hayan sido debidamente justificadas, se organizara una unicasesion especial de recuperacion.


8. Las memorias de practicas se entregaran al profesor dentro de la fechaindicada: no se aceptaran memorias fuera del plazo fijado.

9. Las memorias de practicas se entregaran al profesor de forma individualo por parejas.

10. Las memorias de practicas tiene que tener la siguiente estructura:

• Objetivo. Donde se presentaran los objetivos que se han persegui-do con la realizacion de las experiencias de laboratorio

• Material. Donde se presentara un listado del material utilizado.

• Fundamento teorico. Donde se presentara un breve resumen sobrelas leyes fısicas o fenomenos estudiados en el laboratorio desde unpunto de vista teorico.

• Desarrollo. Donde se explicara el procedimiento seguido y se pre-sentaran los datos tomados.

• Resultados. Donde se presentaran los resultados obtenidos con losdatos tomados en el laboratorio.

• Conclusiones. Donde se presentaran las conclusiones mas impor-tantes derivadas de la realizacion de la practica.

11. Las practicas cuentan hasta un 30 % de la nota global de la signatura.

Capıtulo 2

Practica 1: Medidas encorriente continua.

2.1. Objetivo

La primera practica de este curso esta orientada al conocimiento de losinstrumentos disponibles en el laboratorio para realizar experiencias con cor-riente continua. Se realizaran medidas de asociaciones de resistencias y lacomprobacion experimental de la ley de Ohm.

2.2. Manejo de la fuente de alimentacion y el

polımetro. Descripcion.

2.2.1. Fuente de alimentacion FAC-363B

El modelo FAC-363B contiene tres fuentes de alimentacion estabilizadastotalmente independientes. La primera suministra una tension ajustable entre0 y 30 V, con limitacion de corriente ajustable entre 0 y 2 A. La segundaes una fuente doble fija: -15 V, 0, +15 V, con una corriente maxima de 0.5A. La tercera, tambien fija, suministra 5 V, con una corriente de hasta 1 A.La fuente de 30 V/2 A dispone de dos displays que indican simultaneamentela tension y la corriente de salida. Las otras dos fuentes indican, por mediode un punto luminoso, el momento en que la corriente de salida sobrepasa ellımite especificado, a partir del cual no se garantiza el valor de la tension yla fuente esta sobrecargada, por lo que sera necesario disminuir el consumode potencia para evitar un calentamiento excesivo.

25

26CAPITULO 2. PRACTICA 1: MEDIDAS EN CORRIENTE CONTINUA.

Figura 2.1: Fuente de alimentacion FAC-363B.(1) Voltımetro digital 3 dıgitos.(2) Ajuste de la tension de salida (0-30 V). Potenciometro multivuelta. (3)Ajuste del lımite de corriente. Potenciometro de una vuelta. (4) Amperımetrodigital 3 dıgitos. (5) Indicadores de exceso de carga en las fuentes de salidafija. (6) Bornes de conexion a tierra. (7) Borne positivo salida 5 V. (8) Bornenegativo salida 5 V. (9) Borne salida +15 V. (10) Borne 0 V de la fuentede ±15 V. (11) Borne salida -15 V. (12) Borne positivo salida 0-30 V. (13)Borne negativo salida 0-30 V. (14) Interruptor de puesta en marcha.

Normas de uso

Fuente de alimentacion ajustable:Girar el boton de limitacion de corriente de la fuente ajustable (3 en lafigura 2.1) a la derecha hasta el maximo. Con el boton de control 2 de lafigura ajustar la tension de salida al valor deseado indicado en el display I.

Fuentes fijas:Conectar la carga a los bornes correspondientes. Si se enciende uno de losindicadores (5 en la figura 2.1), la salida correspondiente esta sobrecargaday hay que reducir el consumo.

2.2.2. El polımetro digital

El polımetro digital es un instrumento que permite la medida de tensiones,corrientes, resistencias, capacidades de condensadores, frecuencias, pruebade diodos, β en transistores bipolares y continuidad. Antes de proceder a lamedida con el polımetro hay que comprobar que el conmutador de margenes(3 en la figura 2.2) este en su posicion apropiada. Cuando se cambia de escalao de funcion, hay que retirar las puntas de prueba.

2.2. MANEJO DE LA FUENTE DE ALIMENTACION Y EL POLIMETRO. DESCRIPCION.27

Figura 2.2: Polımetro digital.(1) Display LCD.(2) Interruptor de puesta enmarcha. (3) Conmutador de funciones y escalas. (4) Zocalo hFE. (5) 20 Aentrada de corriente hasta 20 A. (6) mA entrada de corriente hasta 200 mA.(7) Zocalo Cx. (8) V- -Hz entrada de tension, resistencia y frecuencia. (9)COM entrada comun para conexion del cable de prueba negro.


Medida de tensiones:

Para la medida de tensiones hay que seguir las siguientes indicaciones:

Situar los conmutadores de margen (3 en la figura 2.2) y DC/AC en laposicion adecuada.

Conectar el cable de prueba negro al terminal “COM” (9 en la figu-ra 2.2) y el cable de prueba rojo al terminal de entrada “V-Hz” delpolımetro.

Conectar los cables de prueba entre los dos puntos del circuito entre losque se quiere medir la caıda de tension y tomar la lectura en el display(1 en la figura 2.2). Puesto que el voltımetro presenta una resistenciainterna R, al colocar este en paralelo para efectuar la medida, la medidase puede ver afectada. Las especificaciones del fabricante indican queesta resistencia es de 10 MΩ.

Medida de resistencias:

Para la medida de resistencias hay que seguir las siguientes indicaciones:

Situar el conmutador de margen (3 en la figura 2.2) en Ω con el fondode escala adecuado.

Conectar el cable de prueba negro al terminal “COM” (9 en la figura2.2) y el cable de prueba rojo al terminal de entrada “V-Ω-Hz” delmultımetro.

Conectar los cables de prueba en los dos puntos entre los que se quieremedir la resistencia y tomar la lectura en el display (1 en la figura2.2). En el caso de una unica resistencia, se colocan las puntas entrelos bornes de la misma.

EN NINGUN CASO DEBE EFECTUARSE LA MEDIDA DERESISTENCIAS CONECTADAS DENTRO DEL CIRCUITO. PARAELLO, EXTRAERLAS DEL CIRCUITO Y REALIZAR LA ME-DIDA DE LA RESISTENCIA AISLADA. DE LO CONTRARIO,EL EQUIPO PUEDE VERSE SERIAMENTE DANADO.

2.2.3. Placa de montaje

Las distintas practicas a realizar en el laboratorio se montaran sobre lasplacas que se muestran en la figura 2.3. Para realizar las experiencias que se

2.3. FUNDAMENTO TEORICO 29

Figura 2.3: Placa de montaje. Se ha usado el mismo color para las celdasconectadas entre sı.

propongan correctamente, hay que tener en cuenta que cada una de las celdasde las placas se encuentran conectadas entre sı por columnas y de cinco encinco. Esto es, cada celda se encuentra conectada con las 4 celdas restantesde su misma columna.

2.2.4. Valor nominal de resistencias

El valor nominal de las resistencias viene indicado en las mismas usandoun codigo de colores. En las resistencias del laboratorio se usa un codigo decuatro bandas: la dos primeras bandas codifican un numero de dos dıgitos; latercera banda codifica el exponente de una potencia de diez que se multiplicaal anterior numero; finalmente la cuarta banda indica el error relativo delvalor nominal. El codigo de colores se muestra en la figura :

2.3. Fundamento Teorico

2.3.1. Asociacion de resisitencias

Asociacion en serie

En la figura 2.5 se muestra un ejemplo de asociacion de las resistenciasR1 y R2 en serie. Este tipo de asociacion se caracteriza porque la corrienteelectrica que circula por cada resistencia es la misma.

Asociacion en paralelo

En la figura 2.5 se muestra un ejemplo de asociacion de las resistenciasR1 y R2 en paralelo. Este tipo de asociacion se caracteriza porque la tensionentre los extremos de cada resistencia es la misma.


Figura 2.4: Codigo de colores en resistencias

R1

R2

Figura 2.5: Resistencias en serie.

2.4. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 31

R1

R2

Figura 2.6: Resistencias en paralelo.

2.3.2. Ley de Ohm

La ley de Ohm establece la siguiente relacion entre la corriente que circulaa traves de una resistencia, el valor de dicha resistencia y la caıda de tensionen la misma:

V = IR (2.1)

2.4. Procedimiento Experimental

Para estudiar experimentalmente la ley de Ohm, vamos a realizar el mon-taje que se muestra en la figura 2.7 en el laboratorio. En esta figura, lasresistencias estan conectadas en serie, por lo que la corriente que atraviesaR1 y R2 es la misma. Por ello, podemos deducir que en el anterior montaje,la caıda de tension en cada una de las resistencias sera proporcional al valorde la resistencia, teniendose la misma constante de proporcionalidad I paraambas.


R1

R2

V2

V

Figura 2.7: Montaje para el estudio de la Ley de Ohm.

2.5. Trabajo de prelaboratorio

Nombre de los alumnos:

Turno de la sesion de practicas:

1. Para hacer una medida de una resistencia de valor desconocido, ¿dondese situarıa el fondo de escala inicialmente? ¿En el fondo de escala menoro en el mayor? Justifique la respuesta.

2. Escriba el codigo de colores que espera ver en resistencias con los sigu-ientes valores:

a) R1=(33000 ± 1350) Ω

b) R2=(16000 ± 1600) Ω

c) R3=(470000 ± 9400) Ω

2.5. TRABAJO DE PRELABORATORIO 33

d) R4=(1000 ± 50) Ω

3. Escriba el intervalo en el que espera encontrar el valor de cada una delas resistencias anteriores al medirlas con el polımetro en el laboratorio.

a)

b)

c)

d)

4. Calcule el intervalo en el que espera encontrar el valor de las siguientesasociaciones de resistencias:

a) R1 en serie con R2

b) R1 en paralelo con R2

c) R1 en serie con R2 y R4

d) R3 en paralelo con R2

5. En la figura 2.7, ¿que relacion existe entre las caıdas de tension en cadauna de las resistencias y la tension de la fuente?

6. En la figura 2.7, explique como calcularıa la intensidad que circula porR1 (I1) y la que circula por R2 (I2) a partir de las medidas experimen-tales de las caıdas de tension en cada una de las resistencias y del valorde las mismas.


2.6. Trabajo de laboratorio



En esta parte realizaremos dos montajes experimentales. En primer lugarrealizaremos las asociaciones en serie y paralelo que se muestran en las figuras2.5 y 2.6. Para ello usaremos las resistencias R1 y R2.

1. ¿Cual es el valor experimental de cada una de las resistencias? ¿Con-cuerda con el valor nominal dado por el fabricante, esto es, esta elresultado experimental dentro del intervalo de error? Consultar los re-sultados del trabajo de prelaboratorio para la comparacion.

2. ¿Cual es el valor experimental de las asociaciones de R1 y R2 en serie yen paralelo? ¿Concuerda con el valor teorico? Consultar los resultadosdel trabajo de prelaboratorio para la comparacion.

3. Realice el montaje experimental de la figura 2.7. Complete la siguientetabla incluyendo las unidades en cada una de las medidas.

2.6. TRABAJO DE LABORATORIO 35

V (Tension de V1 (Caıda de V2 (Caıda de V2/V1 I1 I2la fuente) tension en R1) tension en R2)

123

4. Calcula el cociente de las resistencias R1/R2 y comparalo con los resul-tados de la columna V2/V1 ¿Existe alguna relacion entre los mismos?¿Cual es la justificacion teorica de este hecho?

Capıtulo 3

Practica 2: Divisor de tension yEquivalente Thevenin de uncircuito.

3.1. Objetivo

En la segunda practica vamos a realizar un divisor de tension y compro-baremos que condiciones ha de satisfacer el mismo para comportarse comouna fuente de un circuito. Ademas, calcularemos el equivalente de Theveninde un circuito.


3.2.1. Divisor de Tension

Un divisor de tension es un circuito electrico que puede usarse para pro-porcionar una tension distinta a la de alimentacion a un circuito dado. Eldivisor de tension mas simple consiste en el montaje de la figura 3.3.1. Eneste montaje, los valores de las resistencias R1 y R2 determinan la caıda detension entre los extremos de cada una de las resistencias. Estas tensionespueden ser usadas como nuevas fuentes de tension en otro circuito. En estapractica nos vamos a centrar en la caıda de tension entre los extremos de laresistencia R2 (VAB) y estudiaremos en que casos puede usarse esta caıda detension como fuente para otro circuito.

Una buena fuente de tension debe mantener constante su tension inde-pendientemente del circuito que se conecte a la misma. Por ello, es deseableque el valor VAB no varıe cuando se conecte un circuito en dicho punto.

37

38CAPITULO 3. PRACTICA 2: DIVISOR DE TENSION Y EQUIVALENTE THEVENIN DE UN CIRCUITO.

A

B

A

Figura 3.1: Montaje del divisor de tension.

3.2.2. Equivalente Thevenin

El teorema de Thevenin establece que si una parte de un circuito electricolineal esta comprendida entre dos terminales A y B, esta parte en cuestionpuede sustituirse por un circuito equivalente que este constituido unicamentepor un generador de tension en serie con una impedancia, de forma que alconectar un elemento entre las dos terminales A y B, la tension que cae en ely la intensidad que lo atraviesa son las mismas tanto en el circuito real comoen el equivalente.


3.3.1. Divisor de Tension

Para realizar nuestro estudio, conectaremos una resistencia de carga RL

al divisor de tension entre los puntos A y B, como muestra la figura 3.2. Conesta configuracion se pretende utilizar el circuito de la figura como fuentede tension para la resistencia RL. Esto es, el circuito de la figura 3.2 esequivalente al de la figura 3.3.

3.3.2. Equivalente Thevenin

Para realizar el estudio experimental del Teorema de Thevenin usaremosel montaje que aparece en la figura 3.2 y mediremos la resistencia Thevenin


A

B

L

Figura 3.2: Divisor de tension al que se ha cargado una resistencia RL (izquier-da) y circuito equivalente (derecha).

L

Figura 3.3: Circuito equivalente al de la figura 3.2.

y la tension Thevenin. Se recomienda que las resistencias utilizadas en estemontaje no tengan valores que difieran en muchos ordenes de magnitud.





1. Para el circuito de la figura 3.3.1, exprese la caıda de tension entre losextremos de R1 y entre los extremos de R2 en funcion de la tension dela fuente que alimenta el circuito y de los valores de las resistencias.

2. Para el circuito de la figura 3.2, exprese la caıda de tension VAB enfuncion de V, R1, R2 y RL.

3. Usando el resultado anterior, ¿que relacion debe existir entre los valoresde R1, R2 y RL para que el divisor de tension se comporte como unbuen divisor? Teniendo esto en cuenta ¿Como ha de ser el valor de laresistencia interna de una fuente de tension real para que la tensionque proporciona no dependa de lo que se conecte a la misma?

4. Para el circuito de la figura 3.2, calcule la expresion de la tensionThevenin (Vth) y la resistencia Thevenin (Rth) en funcion de V1, V2,R1 y R2 del circuito equivalente visto desde los puntos A y B. Expliquecomo los medirıa experimentalmente.





Divisor de tension.

1. Realice el montaje de la figura 3.3.1, para ello utilice dos resistenciascuyo valor sea del mismo orden de magnitud. Mida los siguientes val-ores.

R1= R2=V= VAB(cuando RL=0)=

2. A continuacion, escoja tres resistencias que utilizara como resistenciasde carga (RL) en el circuito 3.2. Una cuyo valor sea del mismo ordende magnitud de R1 y R2. Otra cuyo valor sea mucho mayor y otracuyo valor sea mucho menor a los de R1 y R2. Con cada una de lasresistencias anteriores, monte el circuito de la figura 3.2 y complete lasiguiente tabla:

RL VAB

3. A la vista de los resultados experimentales de la tabla anterior, ¿que relaciondebe existir entre los valores de R1, R2 y RL para que el divisor de ten-sion se comporte como un buen divisor? Teniendo esto en cuenta ¿Comoha de ser el valor de la resistencia interna de una fuente de tension realpara que la tension que proporciona no dependa de lo que se conecte ala misma?


Equivalente Thevenin

1. Monte el circuito de la figura 3.2 y mida experimentalmente los valoresde Vth y Rth del circuito equivalente visto desde los puntos A y B.

Vth= Rth=

Capıtulo 4

Practica 3: Medidas encorriente alterna

4.1. Objetivo

En la tercera practica vamos a aprender el manejo del osciloscopio yestudiaremos un circuito RC en el dominio de la frecuencia a traves de lamedida de las modificaciones de la tension de la senal de salida al modificar lafrecuencia de la senal de entrada. Con estas medidas, se realizara el diagramade Bode de amplitud de la salida en el condensador de un circuito RC.

4.2. Manejo del osciloscopio

El osciloscopio es un instrumento analogo al multımetro o polımetro. Esdecir, sirve para medir voltajes entre los polos de sus terminales llamadossondas. Se diferencia del polımetro en varios aspectos:

Posee una pantalla para visualizar el voltaje medido en funcion deltiempo. En la pantalla, el eje vertical corresponde a voltajes y el hori-zontal a tiempo (salvo en un caso particular de discutiremos mas ade-lante). Es decir, si mide una tension continua aparece una lınea de al-tura constante en toda la pantalla, mientras que si la tension es alternao transitoria, su altura varıa con el tiempo respecto del eje horizontal.

Por otro lado, este osciloscopio que usaremos posee dos canales de en-trada X e Y, o 1 y 2 en la figura 2.1) con sus respectivas sondas; esdecir, podemos visualizar y medir dos senales a la vez, ası como visu-alizar algunas operaciones aritmeticas sencillas entre ellas (por ejemplo,la suma y resta de ambos canales).

43

44CAPITULO 4. PRACTICA 3: MEDIDAS EN CORRIENTE ALTERNA

Figura 4.1: Frontal del osciloscopio 54622A de Agilent.

Figura 4.2: Sonda.

Vista esta introduccion, iniciemos el manejo del osciloscopio 54622A deAgilent, cuyo panel frontal se muestra en la figura 4.1. A continuacion se de-scriben los controles fundamentales y los procedimientos de operacion paralas operaciones mas comunes a lo largo del desarrollo de las practicas. Encualquier caso, siempre habremos de tener en cuenta las siguientes consid-eraciones iniciales:

1. Encendido del aparato: El boton de encendido POWER se encuentraen la parte inferior derecha de la pantalla. Al otro lado de la parteinferior de la pantalla tenemos el control de intensidad de la misma(INTENSITY).

2. Sondas: El aparato debe tener dos sondas, figura 2.2, o terminales in-sertados cada una en los bornes X-1 e Y-2. Cada sonda se compone asu vez de dos polos: el polo positivo es el gancho oculto en el extremode la sonda que aparece retrayendo la punta, y el polo negativo o cablede masa, el cocodrilo. La sonda medira la diferencia de potencial entreambos polos. La sonda se muestra en la figura .

4.2. MANEJO DEL OSCILOSCOPIO 45

Figura 4.3: Controles verticales.

3. Ajustes iniciales: El osciloscopio 54622A es un instrumento digital, conlo que se accede a la mayor parte de sus funciones a traves de menusde configuracion directamente en la pantalla; dichos menus se activancon los controles del panel frontal (figura 2.1) y se navega a travesde ellos con las teclas (Softkeys) situadas bajo la misma. Ademas, elinstrumento es capaz de ajustar los parametros principales de la medidaautomaticamente con la tecla Autoscale (figura 2.1). Por tanto, parainiciar una medida, habremos de asegurarnos de que la tecla Run/Stopesta en verde y presionar Autoscale para que el instrumento ajuste losparametros principales.

4.2.1. Manejo de los controles

Ajuste Vertical (Voltajes)

Cada canal cuenta con tres controles (ver figura 4.3) situados en el panelfrontal encima de la conexion de la sonda correspondiente; comenzando porla parte superior, corresponden a:

Control de amplitud de la senal: este control giratorio permite variar laescala vertical (tension) con la que se representa la senal correspondi-ente. Selector de canal: este boton permite seleccionar cada uno de los


Figura 4.4: Controles horizontales.

canales de entrada analogicos para que sea representado en pantalla.Cuando dicho canal esta seleccionado, la tecla correspondiente esta ilu-minada. Por tanto, se pueden seleccionar y representar ambos canalessimultaneamente o cada uno por separado.

Ajuste vertical: este control giratorio permite desplazar verticalmenteen la pantalla cada una de las senales, a fin de que el usuario puedarepresentarlas en la manera mas conveniente.

Ademas, el boton Math despliega el menu de funciones matematicascon las entradas; este menu permite sumar, restar y multiplicar lasdos senales de entrada, mostrando el resultado mas complejas con lasmismas.

Ajuste Horizontal (Tiempo)

Permite controlar la escala de tiempos (eje horizontal) de la representacionen la pantalla del instrumento (ver figura 4.4). Esto se logra mediante doscontroles basico:

Control de base de tiempos: corresponde al control giratorio de laizquierda de la figura 4.4 y permite fijar la escala horizontal de la rep-resentacion, desde 50 s/DIV hasta 5 ns/DIV.

Control de posicion horizontal: es el control giratorio de la derecha ypermite desplazar la representacion en pantalla a izquierda o derecha.

Ademas, el boton Main/Delayed despliega el menu de adquisicion. Da-do que no haremos uso en profundidad de esta caracterıstica, tendremosque asegurarnos de que en dicho menu siempre esta seleccionado Main,lo que podemos hacer utilizando los botones (softkeys) situados bajo lapantalla. Por otra parte, en este menu tambien es pos funcionamientose describira mas adelante.


Figura 4.5: Controles de Trigger.

Figura 4.6: Menu de Mode/Coupling del Trigger.

Parada de Imagen

Cuando el osciloscopio esta funcionando normalmente, es posible presion-ar el boton Run/Stop (que se iluminara en rojo) para detener o congelar laimagen. Con esta funcion, en la pantalla queda representado el ultimo ciclode adquisicion del aparato y es posible realizar diferentes medidas sobre estaimagen congelada.

Controles de Trigger

La funcion de trigger o disparo es la que permite al osciloscopio repre-sentar correctamente senales periodicas en la pantalla. Se puede acceder ala configuracion del disparo con los controles correspondientes (figura 4.5).

Figura 4.7: Menu de Edge de Trigger.


El boton Mode/Coupling despliega el menu correspondiente, en el que po-dremos navegar utilizando las softkeys (figura 4.6). En dicho menu podemosseleccionar el modo de disparo, el acoplamiento y otras caracterısticas:

Modo: podemos seleccionar entre Normal, Auto y Auto Level, aunquesiempre deberemos situarlo en Auto.

Acoplamiento: las opciones posibles son DC, AC y LF Reject. Normal-mente deberemos seleccionar el modo DC, ya que en el modo AC sefiltran las componentes DC de las entradas y, por tanto, podemos perderparte de las mismas. El modo LF Reject esta indicado solo cuando lasentradas son de baja frecuencia y no pueden mostrarse correctamente,ya que elimina las componentes de 50 Hz.

Con la tecla Edge podemos desplegar un menu (figura 4.7) que permite afinarlas caracterısticas del trigger:

Pendiente: selecciona si el disparo se producira en la pendiente positivao negativa de la senal fuente.

Fuente: permite seleccionar la senal que actuara como fuente del dis-paro, bien entre las entradas analogicas o una senal externa (nuestroosciloscopio no posee entradas digitales). En caso de representacion in-correcta de la senal tendremos que asegurarnos que en la senal de fuentehay una entrada valida.

Nivel de disparo: el control giratorio Level permite, para una pendienteseleccionada, variar el nivel concreto en el que se produce el disparo.Se puede variar dicho nivel cuando al disminuir la amplitud de la senalde entrada se pierde la visualizacion de la senal.

Controles y Medidas

El osciloscopio Agilent 54622A permite realizar medidas sobre las senalesrepresentadas en pantalla de dos maneras diferentes: utilizando los cursoresy con el menu de medidas. Los cursores se muestran en pantalla presionandoel boton Cursors que activa tambien el menu correspondiente y muestra lasmedidas en pantalla (figura 4.8) Se puede navegar por dicho menu utilizandolas softkeys y mover los cursores en la pantalla con el control giratorio Entryknob situado en el panel frontal del osciloscopio. Por otra parte, el botonQuick Meas da acceso al menu de medidas rapidas (figura 4.9); entre lasmedidas automaticas que puede realizar el osciloscopio destacan las medidasde tension (media, maximo, mınimo, amplitud, pico a pico, RMS, etc.) y de


Figura 4.8: Menu de Cursores.

Figura 4.9: Menu de medida automatica.

tiempo (frecuencia, periodo, tiempos de subida y bajada, etc.). Una vez quese ha activado el menu de medidas rapidas, se puede navegar en el con lassoftkeys:

Fuente: permite seleccionar la senal sobre la que se realiza la medida.

Seleccion: permite seleccionar la medida a realizar girando el controlgiratorio Entry knob tras pulsar esta tecla.

Medida (Measure) realiza la medida, al tiempo que Clear Meas eliminalas medidas realizadas que se muestran en la pantalla.

Ajustes (Settings): permite fijar diferentes parametros para algunostipos de medida que ası lo requieren.

Umbrales (Thresholds): algunas medidas se realizan a partir de ciertosumbrales predefinidos, como los tiempos de subida y bajada que se real-izan entre el 10 % y 90 % de variacion de la senal. El acceso a esta partedel menu permite modificar los valores por defecto de estos umbrales(ver figura 4.10).Es importante notar que los umbrales por defecto delaparato son 10 %, 50 % y 100 % para el inferior (Lower), medio (Middle)y superior (Upper), respectivamente con lo que sera preciso modificarel umbral superior al 90 % para la medida de los tiempos de subida ybajada tal y como estan definidos en la figura 4.11.

Figura 4.10: Menu de ajuste de umbrales.


Figura 4.11: Definicion de tiempo de subida (rise time) y tiempo de bajada(fall time).

4.2.2. Modos de funcionamiento

Modo en tiempo real con uno y/o dos canales

Este es el modo usual, donde los voltajes aparecen verticales frente al ejetemporal horizontal. Despues de los ajustes iniciales, y una vez introduci-das las senales en los canales correspondientes, para una mejor medida, esnecesario realizar las siguientes operaciones:

1. Asegurarnos de que el acoplamiento es DC.

2. Accionar el boton Autoscale para que el aparato trate de fijar au-tomaticamente la base de tiempos y las escalas de tension.

3. Si el osciloscopio no es capaz de proporcionar una imagen estatica,acceder al los menus de disparo y modificar el nivel del mismo como seha descrito anteriormente.

4. Manipular la base de tiempos, las escalas de tension y el desplazamien-to vertical de las senales para conseguir la representacion deseada enpantalla.

5. Tendremos que tener siempre en cuenta que el nivel de referencia paracada canal (0V, tierra, GND) esta marcado en el lateral izquierdo dela pantalla con el sımbolo con una flecha apuntando a la derecha y elsımbolo de tierra.

Modo XY

En este modo el voltaje de la senal en el canal 2-Y se representa en eleje vertical frente al voltaje en el canal 1-X. Se usa para obtener las carac-terısticas de transferencia (Vo frente a Vi) de los circuitos a medir. Para suuso, simplemente hay que accionar el boton Main/Delayed y seleccionar enel menu dicho modo (ver figura 4.12).

4.3. MANEJO DEL GENERADOR DE SENALES 51

Figura 4.12: Menu del modo XY.

Figura 4.13: Generador de senales Agilent 33220A.

4.3. Manejo del generador de senales

El generador de senales Agilent 33220A (ver figura 4.13) es una fuentede tension variable en el tiempo que proporciona senales de diferentes tipos(sinusoidales, triangulares, cuadradas, simetricas o asimetricas) en el margende frecuencias de 1 Hz a 20 MHz y con tensiones maximas de pico a picode 20 V en circuito abierto. Ademas permite sumar a la senal variable unatension continua o tension “offset” positiva o negativa. La impedancia desalida del generador es de 50 ohmios.

4.3.1. Manejo del generador

En el terminal (14) el generador viene con un cable con dos terminales.Como cualquier fuente de tension, este generador tiene la salida con dospolos, el rojo el positivo y el negro la referencia o negativo.

TENGASE CUIDADO DE NO CORTOCIRCUITAR ACCI-DENTALMENTE AMBOS POLOS, SE PUEDE DANAR EL EQUIPO.

PARA QUE LA SENAL DE SALIDA SELECCIONADA SE


Figura 4.14: Pantalla del generador de senales en el modo numerico.

Figura 4.15: Pantalla del generador de senales en el modo grafico.

APLIQUE EN LA SONDA DE SALIDA DEBE PULSARSE ELBOTON OUTPUT (10).

4.3.2. Pantalla de presentacion de datos

La informacion acerca de la senal generada se puede observar en unapantalla LCD. Existen dos modos de funcionamiento que se pueden alternarpulsando la tecla GRAPH (1). Una vista de la pantalla en el modo numericopuede verse en la figura 4.14 y la del modo grafico puede verse en la figura4.15.

Para seleccionar los distintos parametros de la senal se debe pulsar la teclacorrespondiente (7) situada debajo del indicador que aparece en la pantalla.Para cambiar el valor del parametro seleccionado (amplitud, frecuencia, off-set...) se puede utilizar la rueda (11) junto con los botones (12) o el tecladonumerico y el grupo de teclas (7) para elegir valor y unidades respectiva-mente.

ANTES DE SELECCIONAR LOS PARAMETROS DE LA SENAL

4.4. FUNDAMENTO TEORICO 53

Figura 4.16: Pantalla del generador de senales para seleccionar la impedancia.

Figura 4.17: Seleccion de la forma de onda en el generador de senales.

DESEADA SE DEBE HABILITAR EL MODO DE ALTA IMPEDAN-CIA (HIGH Z) PULSANDO LA TECLA UTILITY (5) Y A CON-TINUACION LA MARCADA CON LOAD. Ver figura 4.16.

La forma de la senal generada se puede seleccionar utilizando el grupo debotones (8) de forma que es posible obtener senales sinusoidales, cuadradas,rampas o de tipo ruido blanco entre otras. En la figura 4.17 se muestra undetalle de esta parte del generador de senales.

MIDE LA AMPLITUD Y FRECUENCIA DE ALGUNAS SENALESPROCEDENTES DEL GENERADOR Y DEL TERMINAL DECALIBRACION DEL OSCILOSCOPIO.


Filtro paso bajoEn la figura 4.18 se representa un filtro paso bajo de primer orden. El

fasor que representa a la corriente que circula por el circuito es:

if =jωCvi,f

1 + jωRC(4.1)

siendo vi,f el fasor que representa la tension de la fuente de entrada. Portanto, el fasor que representa la caıda de tension en el condensador, medido


Figura 4.18: Filtro paso bajo de primer orden.

con el canal 2 (CH2) en la figura 4.18, es:

vCf =vi,f

1 + jωRC(4.2)

De esta manera, la funcion de transferencia del circuito es

T (ω) =1

1 + jωRC(4.3)

En esta practica vamos a obtener experimentalmente el diagrama de Bodede amplitud, por lo que es necesario calcular el modulo de la funcion detransferencia, obteniendose:

|T (ω)| = 1√1 + (ω/ω0)

2(4.4)

siendo ω0 = 1/(RC) la frecuencia de corte del circuito. La funcion de transfer-encia en el diagrama de Bode se representa usando los decibelios, obteniendosepor consiguiente:

|T (ω)|dB = 20 log

1√1 + (ω/ω0)

2

(4.5)

Las caracterısticas de este diagrama de filtro paso bajo son:

Para bajas frecuencias no se atenua la amplitud de salida (se mantienemuy parecida a la de entrada) y el diagrama de Bode vale en torno a 0dB.

Para una frecuencia igual a la de corte, la atenuacion es de -3 dB.

Para frecuencias superiores a la de corte la amplitud de salida se atenuacada vez mas (amplitud de salida mas y mas pequena al aumentar lafrecuencia), con una pendiente de 20 dB/decada.



Filtro paso bajo:

1. Dados una resistencia y un condensador, medid sus valores con elpolımetro y anotadlos. Con ellos, calculad teoricamente la frecuenciade corte del filtro ω0.

2. Montad en el zocalo el circuito de la fig. 4.18. La fuente vi(t) sera el gen-erador de senal con forma de onda sinusoidal sin “offset” con amplitudpico a pico de al menos 10 V.

3. Medid las amplitudes pico a pico de la entrada vi(t) (Vipp) y de lasenal de salida v0(t) (Vopp) y la frecuencia de la senal de entrada. Paraello poner la sonda del canal 1 del osciloscopio a medir la entrada yla del canal 2 la salida. No olvides poner al menos una de las masasde la sondas al polo negativo del generador. Como vamos a obtenerexperimentalmente el diagrama de Bode en amplitud, debemos realizaresta operacion repetidamente cambiando la frecuencia de la senal deentrada, construyendo una tabla. El rango de frecuencias que vamos aestudiar comprende entre los 100 Hz y los 500 KHz, con los factores 1,2, 3, 5 y 8 en cada decada. Para hacer mas sencillo el procedimiento,comenzad con el valor de la frecuencia mas bajo, donde no se observala atenuacion de la senal de entrada.

4. Buscad experimentalmente la frecuencia de corte (teoricamente es fc =1/(2πRC), donde se cumple que Vopp=0.7Vipp y anotadla en la tabla.Comparala con la teorica.

5. Representad el diagrama de Bode en amplitud con ayuda de Excel (osimilar) o papel milimetrado, donde en le eje X tendremos ω en escalalogarıtmica, y en el eje Y el modulo de la funcion de transferencia endecibelios, es decir, 20log(Vopp/Vipp) correspondiente a cada frecuencia.

6. Sobre este diagrama, marca la frecuencia de corte experimental y hallala pendiente en la zona de bajada.





Demuestra teoricamente que el valor en decibelios del modulo de la fun-cion de transferencia para la frecuencia de corte es -3 dB. Demuestra asimis-mo que la tension pico pico de salida es 0.7 veces la tension pico pico de laentrada para la misma frecuencia.





Mida los valores de los elementos usados en el circuito:R=C=

Calcule la frecuencia de corte ω0 =

Realice una tabla con los datos necesarios para realizar el diagrama deBode.

Capıtulo 5

Practica 4. Caracterizacion decircuitos con diodos y BJT.

5.1. Objetivo

En esta practica vamos a obtener la relacion entre la caıda de tension yla corriente en un diodo. Ademas, veremos como se comporta el diodo en uncircuito sencillo.

5.2. Circuitos con diodos. Fundamento Teori-

co

El diodo es un dispositivo electronico cuya relacion I-V es la siguiente:

I = Is(eqVdnkT − 1) (5.1)

siendo:

I: La intensidad de la corriente que atraviesa el diodo y VD la diferenciade tension entre sus extremos.

Is: La corriente de saturacion inversa.

q: La carga del electron (1.6×10−19 C)

T: La temperatura de la union (expresada en grados Kelvin)

k: La constante de Boltzmann (k=1.38×10−23 J/K)

59

60CAPITULO 5. PRACTICA 4. CARACTERIZACION DE CIRCUITOS CON DIODOS Y BJT.

n: El ındice de idealidad, que suele adoptar valores entre 1 (para elgermanio) y del orden de 2 (para el silicio).

Dicha relacion, al ser de tipo exponencial, hace mas complicado la resolucionde los circuitos. Por consiguiente, con el proposito de simplificar el calculo,se usan modelos sencillos que dan una idea aproximada del funcionamientodel diodo pero sin usar la relacion exponencial. Uno de estos modelos es elsiguiente:

Id =

0 si Vd < VγVdrd

si Vd > Vγ(5.2)

Segun este modelo, el diodo no conduce mientras la caıda de tension entresus extremos sea menor o igual que un cierto valor Vγ , que depende del tipode diodo. Superado ese valor, el diodo conduce, presentando una resistenciainterna rd.

Un modelo aun mas sencillo es el siguiente:

Id =

0 si Vd < Vγ

Conduce si Vd > Vγ(5.3)

En este modelo se desprecia la resistencia del diodo, y se supone quepuede circular cualquier valor de la corriente por el mismo si Vd > Vγ.

5.3. Circuitos con diodos. Procedimiento Ex-

perimental.

Realizaremos el montaje experimental mostrado en la figura 5.1 usandouna resistencia de entre 1 kΩ y 10 kΩ, un diodo y una fuente de tensionvariable. Usando el montaje anterior vamos a aplicar tensiones entre 0 y 1.5voltios en saltos de 0.5 voltios. En cada paso anotaremos el valor de la caıdade tension en el diodo, ası como el valor de la caıda de tension en la resistencia(que es a partir del que obtendremos el valor de la corriente que circula porel circuito, y por tanto a traves del diodo).

Anotaremos en una tabla de Excel los siguientes datos:

Primera columna: Los valores de tension aplicada (en V)

Segunda columna: Los valores de caıda de tension en el diodo (en V)

Tercera columna: Los valores de caıda de tension en la resistencia (enV)

Cuarta columna: La corriente que circula por el circuito (en A)

5.4. CIRCUITOS CON TRANSISTORES BIPOLARES DE UNION. FUNDAMENTO TEORICO.61

Figura 5.1: Montaje experimental.

5.3.1. Relacion I-V en un diodo.

A continuacion representaremos los datos de la segunda columna (x) y lacuarta columna (y) en un grafico. Ajustaremos los datos usando una lineade tendencia exponencial (y = AeBx) e intentaremos deducir de los mis-mos los valores de la corriente de saturacion inversa y del producto q/nkT(despreciaremos el 1 de la expresion de la corriente).

5.3.2. Caracterıstica de transferencia.

Seguidamente representaremos la caracterıstica de transferencia del cir-cuito anterior para tensiones de entrada positivas. En este caso usaremos losdatos de la primera columna (x) y la segunda columna (y). Crearemos unnuevo grafico en el que se muestre el comportamiento del circuito.

5.4. Circuitos con Transistores Bipolares de

Union. Fundamento Teorico.

El transistor de union bipolar (del ingles Bipolar Junction Transistor, osus siglas BJT) es un dispositivo electronico de tres terminales constituidopor dos uniones PN muy cercanas entre sı. Dependiendo del dopado de estasuniones, existen dos tipos de BJTs, los npn y los pnp. Cada tipo de semi-conductor en la union se encuentra conectado a un terminal de modo que en


CB

E

Figura 5.2: Esquema de patillas del BJT.

este tipo de dispositivos se distinguen tres terminales:

Emisor, que se diferencia de las otras dos por estar fuertemente dopa-da. Su nombre se debe a que esta terminal funciona como emisor deportadores de carga.

Base, la intermedia, muy estrecha, que separa el emisor del colector.

Colector que recoge las cargas inyectadas en la base.

El BJT puede operar en cuatro modos distintos dependiendo de si lasuniones entre los distintos semiconductores estan en directa o en inversa. Losmodos de operacion son: activa, corte, saturacion y activa inversa.

5.5. Circuitos con BJTs. Procedimiento Ex-

perimental

El transistor bipolar que se utiliza en esta practica es el C547B de Philips,este es un transistor npn con una ganancia β=330. El esquema de sus patillasaparece representado en la figura 5.2.

Para realizar esta practica, comenzaremos montando el circuito de la figu-ra . A continuacion, variaremos la tension de entrada en la base del transistordesde 0 a 15 V. Para cada uno de esos valores de tension de base, mediremosla tension en la base, en el colector y en el emisor. Presentar los resultadosen una tabla. Nota: (mınimo 15 tensiones de base distintas, tres de ellas paratension de base menor a 1 V.).


Vo

ViB

E

C

15V

Re

Rb

Figura 5.3: Circuito para el estudio de las regiones de comportamiento delBJT.

5.6. Trabajo de Prelaboratorio



Diodo

1. Explique como calcularıa el valor de la cuarta columna en su tabla deExcel a partir de los datos tomados en el laboratorio.

2. Explique como estimarıa el valor de Is y de n de la ecuacion 5.2 siconociera los coeficientes A y B del ajuste de la curva de sus datos auna curva de tipo exponencial I = AeBVd .


3. Si usamos el modelo descrito por la ecuacion y representasemos la ten-sion aplicada frente a la tension en el diodo, verıamos una grafica condos tramos. El primer tramo serıa una recta creciente y el segundo untramo plano. Explique este comportamiento. Indique la pendiente teori-ca de cada uno de los tramos ası como la tension aplicada de cambiode tramo.

Transistor Bipolar

1. Explique desde el punto de vista teorico como cabrıa esperar la formade la caracterıstica de transferencia del montaje experimental para eltransistor bipolar.


5.7. Trabajo de Laboratorio



Diodo

1. Mida el valor de la resistencia utilizada.

2. Realice el ajuste exponencial propuesto a partir de los datos tomadosen el laboratorio. A partir de dicho ajuste calcule:

La expresion de la curva exponencial

Is

q/nkT

n (suponga que T=19 C)

3. Realice el ajuste lineal de cada uno de los tramos de la representacionde la tension aplicada frente a la tension del diodo. A partir de dichoajuste calcule:

Pendiente del primer tramo

Coeficiente de correlacion del primer tramo

Pendiente del segundo tramo

Coeficiente de correlacion del segundo tramo

Tension de cambio de tramo

4. ¿Coinciden los valores experimentales con los teoricos? Justifique surespuesta.

Transistor Bipolar


1. Representar graficamente la caracterıstica de transferencia del transis-tor, V0 en funcion de Vi.

2. Determinar los dos valores de Vi para los cuales se produce un cambioen la pendiente de la caracterıstica de transferencia. ¿Que significadotiene cada uno de estos dos valores de Vi?

Capıtulo 6

Practica 5. Caracterizacion decircuitos con MOSFETs

6.1. Objetivo

Es esta practica se pretende caracterizar un transistor MOSFET. Paracomprender el funcionamiento de este transistor, se mediran las caracterısticaI-V, se determinaran los parametros de un MOSFET de canal N (NMOSFET)y se medira su caracterıstica de transferencia.


El transistor MOSFET es un dispositivo de tres terminales, Puerta, Drenadory Fuente donde la corriente que circula entre los dos ultimos terminales secontrola a traves del primero de los tres. MOSFET son las siglas de Met-al Oxide Semiconductor Field Effect Transistor y, como su propio nombreindica, es un transistor de efecto de campo basado en la estructura MOS(Metal Oxido Semiconductor). Existen dos tipos de MOSFETs dependiendode la naturaleza del canal: NMOSFETs y PMOSFETs. En cuanto a su fun-cionamiento, pueden distinguirse tres modo de operacion que dependeran dela relacion entre los voltajes de los terminales:

Region de Corte. En este modo, el transistor no funciona, esto es, nohay corriente entre fuente y drenador.En esta region:

VGS < Vth (6.1)

donde Vth es la tension umbral del dispositivo.

67

68CAPITULO 6. PRACTICA 5. CARACTERIZACION DE CIRCUITOS CON MOSFETS

Figura 6.1: Circuito integrado 4007.

Region Triodo. En este modo, el transistor esta encendido y el canal quese crea entre fuente y drenador permite la circulacion de corriente entreambos. Este modo se produce cuando VGS > Vth y VDS < (VGS − Vth).La corriente que circula entre la fuente y el drenador es:

ID = µnCoxW

L

((VGS − Vth)VDS −

V 2DS

2

)(6.2)

donde µn es la movilidad efectiva de los portadores, W es la anchurade la puerta, L es su longitud y Cox es la capacidad del oxido de puertapor unidad de area.

Region de Saturacion. Este modo se produce cuando VGS > V th yVDS > (VGS−Vth). La corriente que circula entre la fuente y el drenadores:

ID = µnCoxW

L(VGS − Vth)2 (6.3)


Trabajaremos con un circuito integrado, el 4007, que contiene 6 transis-tores MOS segun indica la figura 6.1, (3 PMOS los tres de arriba y 3 NMOSlos tres de abajo). En concreto, trabajaremos con uno de los tres transistoresNMOS.

6.3.1. Caracterıstica de transferencia

Para calcular la caracterıstica de transferencia del transistor NMOS, montare-mos el circuito de la figura 6.2, donde Vi es una fuente de alimentacion vari-able cuyo valor cambiaremos en el intervalo de 0V a 5V. Para cada uno de losvalores de tension de la fuente variable Vi, tomaremos los siguientes valores:


DD

D

V

VG

Figura 6.2: Montaje experimental para la medida de la caracterıstica de trans-ferencia de un NMOS.

tension drenador-fuente

tension puerta-fuente

tension entre los extremos de RG

Los valores anteriores se anotaran en una tabla que debera tener al menos15 entradas. A partir de los datos anteriores, se realizara una representaciongrafica de la tension drenador-fuente frente a la tension de entrada.

6.3.2. Caracterıstica de transferencia

Para calcular la caracterıstica I-V en saturacion del transistor NMOS,montaremos el circuito de la figura 6.2, en el que puerta y drenador estancortocircuitados y donde Vi es una fuente de alimentacion variable cuyovalor cambiaremos en el intervalo de 0V a 5V. Para cada uno de los valoresde tension de la fuente variable Vi, tomaremos los siguientes valores:

tension entre los extremos de RD


Los valores anteriores se anotaran en una tabla que debera tener al menos 15entradas. A partir de los datos anteriores se realizara un ajuste por mınimoscuadrados de la relacion entre la intensidad de drenador y la tension puerta-fuente para estimar la tension umbral y la constante µnCox

WL

. Para ello, teneren cuenta que el transistor esta en saturacion.


D

V

V

Figura 6.3: Montaje experimental para la medida de la caracterıstica I-V deun NMOS.




1. Realice una representacion de la caracterıstica de transferencia que es-pera observar al realizar las medidas propuestas sobre en montaje 6.2.

2. ¿Que valor de tension espera medir entre los extremos de RG?Justifiquesu respuesta.


3. En el montaje 6.3, ¿como calcularıa la intensidad de drenador a partirde las medidas propuestas en el apartado Procedimiento Experimental?

4. En el montaje 6.3, se supone que el transistor esta en saturacion. ¿Esadecuada esta suposicion? Justifique su respuesta.

5. En el montaje 6.3, se supone que el transistor esta en saturacion por loque la relacion entre intensidad y voltaje puerta-fuente no es lineal sinocuadratica. ¿Como aplicarıa entonces el metodo de mınimos cuadradospara estimar la tension umbral y la constante?





1. Para el montaje de la figura 6.3, mida los valores de RG y RD.RG= RD=

2. Realice al menos quince medidas diferentes variando el valor de Vi yconstruya una tabla en la que aparezcan las medidas siguientes:

tension drenador-fuente


tension entre los extremos de RG

intensidad de puerta

3. ¿Coinciden los valores calculados de la intensidad de puerta con losesperados teoricamente?

4. Pinte la caracterıstica de transferencia ¿Coincide con la esperada teori-camente?

5. Para el montaje de la figura 6.3, mida el valor de RD.RD=

6. Para el montaje de la figura 6.3, realice al menos quince medidas difer-entes variando el valor de Vi y construya una tabla en la que aparezcanlas medidas siguientes:


tension entre los extremos de RD

intensidad de drenador

7. Pinte la caracterıstica I-V


8. Realice el ajuste por mınimos cuadrados y estime con los parametrosde ese ajuste:Vth=µnCox

WL

=coeficiente de correlacion del ajuste=

Capıtulo 7

Practica 6. Familias logicasNMOS y CMOS.

7.1. Objetivo

El objetivo de esta practica es montar y estudiar algunas puertas logicasutilizando transistores MOS. Comenzaremos realizando un inversor utilizan-do un transistor y una resistencia, posteriormente haremos otro usando lalogica CMOS y por ultimo implementaremos una puerta NAND y otra NORcon esta logica.


Trabajaremos con un circuito integrado, el 4007, que contiene 6 transis-tores MOS segun indica la figura 7.1, (3 PMOS los tres de arriba y 3 NMOSlos tres de abajo).

7.2.1. Inversor NMOS.

Para estudiar el inversor NMOS, utilizaremos el circuito de la figura .Como entrada utilizaremos una senal cuadrada de amplitud 5V que varıeentre 0 y 5V. Para este circuito se pide:

1. Representar con la mayor fidelidad posible (escalas, retardo, etc.) lafigura que aparece en el osciloscopio cuando una de las sondas esta mi-diendo la entrada y la otra la salida.

2. Calcular los tiempos de subida y bajada de la salida y realizar a partirde estos una estimacion del tiempo de retardo de la puerta. Representar

75

76 CAPITULO 7. PRACTICA 6. FAMILIAS LOGICAS NMOS Y CMOS.

Figura 7.1: Circuito integrado 4007.

vi

v0

V =5VCC

R

NMOS

Figura 7.2: Montaje experimental del inversor NMOS.


vi v0

V =5VCC

NMOS

PMOS

Figura 7.3: Montaje experimental del inversor CMOS.

igualmente la figura de la pantalla del osciloscopio a partir de la cualrealizamos estas mediciones.

7.2.2. Inversor CMOS

Para estudiar el inversor CMOS, utilizaremos el circuito de la figura 7.3.Como entrada utilizaremos una senal cuadrada de amplitud 5V que varıeentre 0 y 5V. Para este circuito se pide:

1. Representar con la mayor fidelidad posible (escalas, retardo, etc.) lafigura que aparece en el osciloscopio cuando una de las sondas esta mi-diendo la entrada y la otra la salida.

2. Calcular los tiempos de subida y bajada de la salida y realizar a partirde estos una estimacion del tiempo de retardo de la puerta. Representarigualmente la figura de la pantalla del osciloscopio a partir de la cualrealizamos estas mediciones.


via v0

V =5VCC

NMOS

PMOS

NMOS

PMOS

vib

Figura 7.4: Montaje experimental de la puerta NAND.

7.2.3. Puerta NAND

Para realizar el montaje de la puerta NAND, utilizaremos el circuito dela figura 7.4. Como tension via utilizaremos una senal cuadrada de amplitud5V que varıe entre 0 y 5V. Para vib primero introducimos un valor constantede 0V y estudiaremos la senal de salida. Seguidamente cambiaremos el valorde vib a 5V y estudiaremos de nuevo la senal de salida en el osciloscopio.

7.2.4. Puerta NOR

Para realizar el montaje de la puerta NOR, utilizaremos el circuito de lafigura 7.5. Como tension via utilizaremos una senal cuadrada de amplitud 5Vque varıe entre 0 y 5V. Para vib primero introducimos un valor constante de0V y estudiaremos la senal de salida. Seguidamente cambiaremos el valor devib a 5V y estudiaremos de nuevo la senal de salida en el osciloscopio.


via

v0

V =5VCC

NMOS

PMOS

NMOS

PMOS

vib

Figura 7.5: Montaje experimental de la puerta NOR.




1. Explicar desde un punto de vista teorico la salida que espera ver enel osciloscopio al alimentar la entrada del circuito de la figura con unasenal senal cuadrada de amplitud 5V que varıe entre 0 y 5V.

2. Explicar desde un punto de vista teorico la salida que espera ver enel osciloscopio al alimentar la entrada del circuito de la figura con unasenal senal cuadrada de amplitud 5V que varıe entre 0 y 5V.


3. ¿Que salida que espera ver en el osciloscopio en el circuito de la figuraal usar una tension vib=5V?¿Y al usar vib=0V?

4. ¿Que salida que espera ver en el osciloscopio en el circuito de la figuraal usar una tension vib=5V?¿Y al usar vib=0V?





1. Representar con la mayor fidelidad posible (escalas, retardo, etc.) lafigura que aparece en el osciloscopio cuando una de las sondas esta mi-diendo la entrada y la otra la salida al alimentar la entrada del circuitode la figura con una senal senal cuadrada de amplitud 5V que varıeentre 0 y 5V.

2. Calcular los tiempos de subida y bajada de la salida en el montajede la figura y realizar a partir de estos una estimacion del tiempo deretardo de la puerta. Representar igualmente la figura de la pantalladel osciloscopio a partir de la cual realizamos estas mediciones.

3. Representar con la mayor fidelidad posible (escalas, retardo, etc.) lafigura que aparece en el osciloscopio cuando una de las sondas esta mi-diendo la entrada y la otra la salida al alimentar la entrada del circuitode la figura con una senal senal cuadrada de amplitud 5V que varıeentre 0 y 5V.


4. Calcular los tiempos de subida y bajada de la salida en el montajede la figura y realizar a partir de estos una estimacion del tiempo deretardo de la puerta. Representar igualmente la figura de la pantalladel osciloscopio a partir de la cual realizamos estas mediciones.

5. Razonar a partir de las medidas realizadas en el laboratorio para elmontaje de la figura si el comportamiento del circuito se correspondecon el de una puerta NAND.

6. Razonar a partir de las medidas realizadas en el laboratorio para elmontaje de la figura si el comportamiento del circuito se correspondecon el de una puerta NOR.

Capıtulo 8

Practica 7. El AmplificadorOperacional.

8.1. Objetivo

El objetivo de esta practica es el estudio del comportamiento del Ampli-ficador Operacional a traves de sus distintas funciones.


El amplificador operacional (A.O.) es un circuito integrado monolıtico queen primera aproximacion proporciona una ganancia infinita, una impedanciade entrada infinita, un ancho de banda tambien infinito, una impedancia desalida nula, un tiempo de respuesta nulo y ningun ruido. Como la impedanciade entrada es infinita tambien se dice que las corrientes de entrada son cero.El esquema de su modelo ideal se muestra en la figura 8.1. El comportamientodel A.O. dentro de un circuito dependera de si hay o no retroalimentacion susalida. Si no hay retroalimentacion, la salida del A.O. sera la diferencia entresus dos entradas multiplicada por un factor (ganancia). Debido a la limitacionque supone no poder entregar mas tension de la que se usa para alimentarel A.O., este dispositivo estara saturado si se da este caso. Cuando existerealimentacion negativa, el circuito se analiza utilizando dos aproximaciones:

La tension en la entrada inversora es igual a la tension en la entradano inversora (V−=V+).

Las intensidades que circulan por las entradas inversoras y no inversorasson nulas (I−=I+=0).

83

84 CAPITULO 8. PRACTICA 7. EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL.

Figura 8.1: Modelo ideal del Amplificador Operacional.

Figura 8.2: Correspondencia de las patillas del AO µA741.


En el laboratorio trabajaremos con el amplificador operacional µA741.Este esta encapsulado y tiene ocho patillas. Las patillas se numeran comomuestra la figura 8.2. En esta practica alimentamos el amplificador opera-cional entre +15 V y -15 V para realizar los siguientes montajes experimen-tales:

8.3.1. Circuito inversor.

En esta parte de la practica estudiaremos el comportamiento de un cir-cuito inversor, esto es, un circuito en el que la senal de salida es la senalde entrada amplificada e invertida. Para ello utilizaremos el montaje experi-mental que se muestra en la figura 8.3. En concreto, se pretende disenar uninversor de ganancia AV =V0/Vi=10. Para este circuito:

Probar que el circuito tiene dicha ganancia. Para ello aplicar variassenales sinusoidales de distinta amplitud de tension y realizar un ajuste


Figura 8.3: Circuito Inversor.

lineal con los valores de entrada y salida.

Encontrar el valor de la tension de entrada Vi para el cual la salidadeja de aumentar.

8.3.2. Circuito no inversor.

En esta parte de la practica estudiaremos el comportamiento de un cir-cuito no inversor en el que la salida es simplemente la senal de entradaamplificada. Para ello utilizaremos el montaje experimental que se muestraen la figura 8.4. En concreto, se pretende disenar un inversor de gananciaAV =V0/Vi=11. Para este circuito:

Probar que el circuito tiene dicha ganancia. Para ello aplicar variassenales sinusoidales de distinta amplitud de tension y realizar un ajustelineal con los valores de entrada y salida.

Encontrar el valor de la tension de entrada Vi para el cual la salidadeja de aumentar.

8.3.3. Circuito derivador.

En esta parte de la practica estudiaremos el comportamiento de un cir-cuito derivador que, como su propio nombre indica, proporciona a la salidala derivada de la senal de entrada. Para ello utilizaremos el montaje experi-mental que se muestra en la figura 8.5. Para este circuito:


Figura 8.4: Circuito no inversor.

Figura 8.5: Circuito derivador.


Figura 8.6: Circuito integrador.

Probar que el circuito deriva. Para ello aplicar distintas senales (seno,cuadrada, diente de sierra) y observar si la salida es la derivada de laentrada.

Realizar el diagrama de Bode en amplitud del circuito, para ello serealizara un barrido en frecuencia de la senal de entrada anotando losvalores de frecuencia, de amplitud de entrada y de amplitud de salida.

8.3.4. Circuito integrador.

En esta parte de la practica estudiaremos el comportamiento de un cir-cuito integrador que, como su propio nombre indica, proporciona a la salidala integral de la senal de entrada. Para ello utilizaremos el montaje experi-mental que se muestra en la figura 8.6. Para este circuito:

Probar que el circuito integra. Para ello aplicar distintas senales (seno,cuadrada, diente de sierra) y observar si la salida es la integral de laentrada.

Realizar el diagrama de Bode en amplitud del circuito, para ello serealizara un barrido en frecuencia de la senal de entrada anotando losvalores de frecuencia, de amplitud de entrada y de amplitud de salida.


8.4. Trabajo de Prelaboratorio.



1. Para el circuito inversor, determinar el valor de R2 necesario para obten-er una ganancia AV =10 si R1=1KΩ.

2. Para el circuito inversor anterior, ¿que pendiente tendrıa la recta resul-tante de representar la salida en funcion de la entrada?

3. Para el circuito no inversor, determinar el valor de R2 necesario paraobtener una ganancia AV =11 si R1=1KΩ.

4. Para el circuito no inversor anterior, ¿que pendiente tendrıa la rectaresultante de representar la salida en funcion de la entrada?

5. Para el circuito derivador, dibuje las senales de salida que esperarıa siintroduce como entrada:

Una senal seno

Una senal cuadrada

8.4. TRABAJO DE PRELABORATORIO. 89

Una senal triangular

6. Para el circuito integrador, dibuje las senales de salida que esperarıa siintroduce como entrada:

Una senal seno

Una senal cuadrada






1. Para el circuito inversor, ¿que pendiente se obtiene de la representacionde la salida frente a la entrada? ¿Que coeficiente de correlacion se ob-tiene? ¿Concuerdan los datos teoricos con los experimentales?

2. Para el circuito inversor, ¿para que valor la salida deja de aumentar?¿Por que ocurre esto?

3. Para el circuito no inversor, ¿que pendiente se obtiene de la repre-sentacion de la salida frente a la entrada? ¿Que coeficiente de cor-relacion se obtiene? ¿Concuerdan los datos teoricos con los experimen-tales?

4. Para el circuito derivador, realice una tabla con los datos necesariospara realizar el diagrama de Bode.


5. Para el circuito derivador, dibuje las senales de salida que obtiene alintroducir como entrada como entrada:

Una senal seno

Una senal cuadrada


¿Concuerdan los datos experimentales y teoricos?

6. Para el circuito integrador, realice una tabla con los datos necesariospara realizar el diagrama de Bode.

7. Para el circuito integrador, dibuje las senales de salida que obtiene alintroducir como entrada:

Una senal seno

Una senal cuadrada


¿Concuerdan los datos experimentales y teoricos?

Capıtulo 9

Practica 8. ConversorDigital/Analogico

9.1. Objetivo

En esta practica se pretende estudiar el comportamiento de un conversordigital/analogico.


El conversor digital/analogico que se estudia en esta practica es el cor-respondiente al circuito en escalera R-2R que se muestra en la figura 9.1.Tomando como tension de referencia VR = 5V, probar las cuatro combina-ciones de senal digital: 00, 01, 10 y 11 y ver en cada caso cual es la tensionde salida V0 . Recordar que S0 es el bit menos significativo.

93

94 CAPITULO 9. PRACTICA 8. CONVERSOR DIGITAL/ANALOGICO

V0

S0

S1

0V0V

0V

0V 0V

5V

R

R

R

2R 2R 2R 2R

Figura 9.1: Montaje experimental del conversor digital/analogico.




1. Calcular teoricamente la senal de salida del circuito en funcion de S0 yS1 .





1. Representar en una tabla las medidas realizadas de la senal de salidapara cada una de las posibles combinaciones de entradas. ¿Cumplen losdatos experimentales la expresion teorica?

Redaccion de una memoria de practicas


En este documento se presenta una guıa para la redaccion de memoriasde practicas. Una memoria de practicas es un documento en el que hay queespecificar:

el objetivo de la practica

la teorıa en la que se basa la practica

el material que se ha utilizado

el metodo que se ha seguido

los resultados obtenidos

la comparacion de los resultados obtenidos con la teorıa

las conclusiones que se pueden extraer de la comparacion entre losdatos experimentales y la teorıa.

1. Partes de la memoria de practicas

Para cubrir cada una de las especificaciones anteriores, la memoria depracticas debe de tener los siguientes apartados:

1. Objetivos: donde se presentaran los objetivos mas importantes de lapractica de laboratorio realizada.

2. Fundamento teorico: donde se explicaran de forma breve los funda-mentos teoricos en los que se basa la practica de laboratorio realizada.

3. Material: donde se enumerara el material que se ha usado para realizarla practica.

4. Desarrollo y resultados: donde se explicara que se ha hecho en el lab-oratorio y se presentaran las tablas o las representaciones graficas conlos datos tomados en el laboratorio.

1

5. Discusion: donde se compararan los datos tomados en el laboratorio,su comportamiento o su representacion grafica con el comportamientoo la representacion grafica que dice la teorıa que cabrıa esperar. Eneste apartado hay que comentar las semejanzas o diferencias que seencuentran entre lo medido experimentalmente y lo que que nos dicela teorıa.

6. Conclusion: donde se presentan las principales conclusiones que puedanextraerse tanto de la practica realizada como de la comparacion entrelos datos experimentales y lo que dice la teorıa.

2. Presentacion de datos

Los datos tomados en el laboratorio hay que presentarlos en tablas. Enlas entradas de cada tabla hay que especificar la magnitud fısica que seesta midiendo ası como sus unidades entre parentesis. Por ejemplo:

I(A) V(V) R(Ω)1 1 11 2 2

Para representar los datos graficamente podemos usar cualquier herramientapero hay que cuidar ciertos detalles como:

poner la magnitud fısica que se representa en cada eje con sus unidades.O sea que cada eje tiene que llevar una etiqueta diciendo lo que estoyrepresentando y en que unidades lo estoy haciendo.

las parejas de valores (x,y) deben de estar representadas por puntos yes conveniente no unir unos puntos con otros.

cada grafica tiene que llevar un tıtulo donde se especifique que seesta representando.

si en una misma grafica se representan varias funciones, hay que anadirobligatoriamente una leyenda donde se especifiquen lo sımbolos (o elcolor o el tipo de trazo) que se han utilizado para representar cadafuncion.

3. Presentacion general del documento

La presentacion de la memoria es importante. Es conveniente que el doc-umento sea claro, que queden diferenciadas las distintas partes del mismo.Es importante que las tablas y las graficas puedan leerse comodamente ysean claras. Por supuesto, hay que revisar la ortografıa.

2

4. Bibliografıa y referencias

Si en la elaboracion de una memoria se ha utilizado algun tipo de ma-terial, hay que especificarlo anadiendo a la estructura un aparatado quellamaremos bibliografıa o referencias. Aunque puede costar entenderlo,copiar una practica de otros companeros o de otros anos no esusar una referencia. Esto esta totalmente prohibido. Si se detectaalguna practica copiada automaticamente se le asignara un cero.

3

Parte II

ANALISIS EN FRECUENCIA DE UNCIRCUITO.

3. Trabajo de teorico.

3.1. Funcion de transferencia Hs).

En este primer apartado se calcula la funcion de transferencia del circuito 3 de la figura 16. Lo primeroque se hace es linealizar el circuito en el dominio de la frecuencia para que resulte mas sencillo realizar loscalculos. De modo que las impedancias de los condensadores pasen a ser Z1 = 1

C1Sy Z2 = 1

C2S. Aplicando

ahora la ley de Kirchoff y Ohm queda:

Z3I3 = V o(s)I1R1 + Z1(I1 − I2) = V i(s)

(Z1 + Z2 +R2)I2 − Z1I1 − Z2I3 = 0 (8)Z2(I3 − I2) + Z3I3 = 0

Sistema del cual se tiene:

H(S) =V o(S)

V i(S)=

1R1R2C1(C2+COsc)

S2 + C1R1+(C2+COsc)(R2+R1)C1(C2+COsc)R1R2

S + 1C1(C2+COsc)R1R2

(9)

Figura 16: Esquemas del circuito empleado en esta practica.

Como R1 = R2 y C1 = C2 sustituyendo en 9) entonces:

H(S) =

1(R)2C(C+COsc)

S2 + RC+2(C+COsc)R(R)2C(C+COsc)

S + 1(R)2C(C+COsc)

(10)

3.2. Calculo por separado H2(S) = V os)V2s)

y H1(S) = V2s)V is). Verificacion de

que H(s) = H1(S)H2(S).

Volviendo al sistema de ecuaciones 8) se tiene que V2 = Z1(I1 − I2) y operando se llega a:

3Se ha tenido en cuenta el efecto capacitivo de la sonda empleada, con un valor de 35pF.

14

H1(S) =V2(S)

V i(S)=

1R1R2C1(C2+COsc)



+

+

R2(C2+COsc)R1R2C1(C2+COsc)

S



;

Finalmente y volviendo a 8), dado que V o(S) = Z3I3 se tiene operando que:

H2(S) =V o(S)

V2(S)=

1

(C2 + COsc)R2S + 1

Para terminar este apartado se ha verificado que H(s) = H1(S)H2(S).

3.3. Diagrama de Bode.

Ahora vamos a representar el diagrama de Bode en modulo y fase de la funcion Hjw) que esperamosencontrar en el laboratorio. Consideraremos los siguientes componentes: R1 = R2 = R = 100KΩ, C1 = C2= C= 33pF y COsc = 558pF . Para esta eleccion de componentes es facil sustituir en 10) y representar.No obstante, dado que se tiene una funcion de trasferencia con dos polos conjugados podemos usar laexpresion generica que encontramos en [2] para la funcion de transferencia HS) donde solo hay queidentificar terminos, para encontrar:

H(S) =kw2

n

S2 + 2ζwnS + w2n

(11)

Donde la ganancia k=1, el factor de amortiguamiento ζ = 19452 y la frecuencia natural wn =1

RC= wc = 184730 rad

s. Usando esta informacion podemos escribir la forma del modulo de la funcion de

transferencia como sigue:

H(S) =1

(1− ( w

wc)2)2 + (2ζ w

wc)2

(12)

Para la fase en [2] encontramos:

ϕ(w) = −ArcTan(2ζ w

wc

1− ( wwc)2) (13)

15

Diagrama de Bode en amplitud:

Figura 17: Grafica del diagrama de Bode en Amplitud. Como se puede ver la frecuencia de 184.73k rads

es la denominada frecuencia de corte, pues a esta frecuencia hay una caıda de 3dB.

Se ha calculado que la frecuencia de corte4 es de 184.73k rads.

4Notese que la frecuencia de corte tiene una potencia de 5, de ahı que entorno al 105 se de el cambio de fase.

16

Diagrama de Bode en fase:

Figura 18: Diagrama de Bode en fase. Con una frecuencia de corte de 184.73k rads.

3.4. Equivalente Thevenin.

Para determinar el equivalente Thevenin del circuito de un modelo teorico, en primer lugar se hacortocircuitado la fuente para obtener el equivalente de la impedancia Thevenin. En este caso se haobtenido Zth = (R//ZC +R)//(ZC//ZOsc). De modo que la impedancia Thevenin queda:

Zth(S) =(2 + CRS)R

(CCOscR2 + C2R)S2 + (2COscR + 3CR)S + 1

De igual modo y dado queH(S) = V o(S)V i(S)

entonces Vth = H(S)V i(S) =1

R)2CC+COsc)V i(S)

S2+RC+2C+COsc)R

R)2CC+COsc)S+ 1

R)2CC+COsc)

.

Como en este caso V i(S) = wS2+w2V que en dominio del tiempo tiene la forma V i(t) =

√2Re( 1√

2ej(wt+ π

2)) =

Cos(wt+ π2) = Sin(wt) y fasorialmente 1√

2 π

2V :

Vth(w) =

1√2

(C(C + COsc)Rw)2 + ((2COsc + 3C)Rw)2e

π2−ArcTan(

Rw2COsc+3C)

1CCOsc+C)Rw)2)

Particularizando para el caso de f=3kHz se tiene:

Zth(w = 2π3000Hz) = (176262− 64421j)Ω = 187665. (−2008o)Ω

Vth(w = 2π3000Hz) = (02469 + 06155j)V = 06632 6814oV

17

3.5. Expresiones que permitan calcular RT y XT . Resistencia de prueba.

Para determinar los parametros de la impedancia compleja Thevenin, se realizaran tres medidas cor-respondientes a las configuraciones que se pueden ver en la figura 19. Estas medidas de la tension paradistintos valores de la resistencia prueba, generaran un sistema de ecuaciones que proporcionara estaimpedancia compleja.

Figura 19: El esquema A representa el equivalente Thevenin. El esquema B es el equivalente Thevenincon la primera resistencia de prueba y el esquema C es el correspondiente a la segunda resistenciade prueba.

Si aplicamos las leyes de Kirchoff a estos esquemas tenemos:

V

0 = I1Rp

VT = I1(RT + jXT ) + I1Rp (14)V

0 = I2R

p

VT = I2(RT + jXT ) + I2R

p

Eliminando en 14) las corrientes se tiene:

V

0

VT

=

Rp

RT +Rp+jXT

= Rp√

(RT +Rp)2+X2T

V

0

VT

=

R

p

RT +R

p+jXT

=

R

p√(RT +R

p)2+X2T

Despejando RT y XT queda:

RT =R2

pV20 (V

20 − V 2

T ) +R2p V

2p (V 2

T − V20 )

2(R

p −Rp)V20 V

20

18

XT = 1

V

0

Rp(R2

p V20 (V

20 −V 2

T))+R2

pV20 (V 2

T−V

20 )

V20 (R

p−Rp)+ (RpVT )2 − (RpV

20 )−

((R

pV

0 )2(V20 −V 2

T)+RpV

0 (V 2T−V

20 ))2

4(R

p−Rp)2V20 V

40

Si ahora impongo que V

0 = VT

2y V

0 = VT

4y despejo Rp y R

p tengo:

Rp =1

15(RT

16R2T + 15X2

T )

R

p =1

3(RT

4R2T + 3X2

T )

Finalmente, usando los valores calculados de la impedancia equivalente Thevenin obtengo:

Rp = 182008.Ω ≈ 200kΩ

R

p = 616103Ω ≈ 60kΩ

19

4. Trabajo de laboratorio

4.1. Diagrama de Bode.

Obtener el diagrama de Bode experimental en modulo y fase de la funcion H(jw) = V0(jw)V i(jw)

. Para ellose realizaron a diferentes frecuencias las medidas siguientes. Tension pico a pico de las senales de entraday de salida, y desfase entre ambas senales. Con estas medidas se representaron en funcion de la frecuencialas funciones 20Log(V0(w)

V i(w)) y φ(w) como funcion de Log(w).

Para ello se hizo la siguiente construccion:

Figura 20: El esquema representa el circuito montado para medir un conjunto de valores que permi-tira representar el diagrama de Bode en amplitud y fase.

De esta configuracion ha salido el siguiente conjunto de datos.

20

Cada grafica representa un punto del diagrama de Bode.

Figura 21: Datos sin tratar (diferente escala para las senales) para representar el diagrama de Bodeen amplitud y fase.

Los datos proporcionados por el osciloscopio han sido representados y tratados adecuadamente y deellos se ha obtenido en primer lugar una tabla de salidas de V0 y Vi en funcion del tiempo con igual fondode escala.

21

Como se puede ver en la figura que sigue para diferentes frecuencias se tiene V0 y Vi en funcion deltiempo con el mismo fondo de escala.

Figura 22: Datos tratados (igual escala para both signals) para representar el diagrama de Bode enamplitud y fase.

Con esta informacion se ha construido la siguiente tabla:

Frecuencia 1 Hz) V0pp

VIpp

1 Δφ 1 Rad) Frecuencia 1 Hz) V0pp

VIpp

1 Δφ 1 Rad)

15.6 0.8318 0.006633 16767.6 0.4167 1.931355155.5 0.8396 0.009491 20973.1 0.3395 1.8320151537.0 0.8277 0.188285 24935.3 0.3028 1.7430153621.4 0.7798 0.415336 44752.4 0.1505 1.4490479388.8 0.5872 0.871499 60170.0 0.1138 1.34841412823.9 0.4818 1.055019 90498.8 0.0578 0.786209 2

Tabla de datos para hacer el diagrama de Bode.

Las magnitudes aquı expresadas no han sido acompanadas de su error, no obstante todas las cifras que aparecenen la tabla son significativas.

2Este valor se debe al elevado ruido que es causante de una distorsion en el ajuste de regresion no lineal.

22

Diagrama de Bode:

Figura 23: Diagrama de Bode en Amplitud.

Ahora el en fase:

23

Figura 24: Diagrama de Bode en Fase.

4.2. Impedancia Thevenin Zth.

En el laboratorio se han tomado las siguientes medidas:

V 0

1 V) V 0

1 V) VT1 V) Rp

1 kΩ) Rp1 kΩ)

0.928 0.448 2.18 186.3 66.0

Medidas que sustituyendo en las ecuaciones:

RT =R2

pV20 (V

20 − V 2

T ) +R2p V

2p (V 2

T − V20 )

2(R

p −Rp)V20 V

20

XT = 1

V

0

Rp(R2

p V20 (V

20 −V 2

T))+R2

pV20 (V 2

T−V

20 )

V20 (R

p−Rp)+ (RpVT )2 − (RpV

20 )−

((R

pV

0 )2(V20 −V 2

T)+RpV

0 (V 2T−V

20 ))2

4(R

p−Rp)2V20 V

40

se obtiene RT = 241217 y XT = 93606 con lo cual:

Zth = 258742 (−212o)Ω.

Valor teorico Zth = 187665 (−201o)Ω.

Las magnitudes aquı expresadas no han sido acompanadas de su error, no obstante todas las cifras que aparecenen la tabla son significativas.

24

Fundamentos Físicos y Tecnológicos

G.I.I.

Examen de Teoría

19 de Septiembre de 2011

Apellidos: Firma:

Nombre: DNI: Grupo:

Responde a cada pregunta en hojas separadas.

Indica en cada hoja tu nombre, el número de página y el número de páginas totales que entregas.

Lee detenidamente los enunciados antes de contestar.

Contesta las preguntas 1, 2 y 3 en el folio de enunciados.

No es obligatorio hacer los ejercicios en el orden en el que están planteados.

1. Una carga en un campo eléctrico se desplaza dirigiéndose: (0.25 puntos)

a) hacia potenciales decrecientes.

b) dependiendo de su signo, se dirigirá a potenciales crecientes o decrecientes.

c) a ningún sitio, no se mueve.

d) hacia potenciales crecientes.

2. Dos corrientes paralelas con intensidades de corriente circulando en el mismo sentido: (0.25 puntos)

a) se atraen.

b) se repelen.

c) no experimentan ninguna interacción entre sí.

d) fffuuu.

3. Por una espira circular circula una corriente estacionaria en el sentido de las agujas del reloj. En un instante determinado,se disminuye el valor de esa corriente. ¿Se observa algún efecto? (0.25 puntos)

a) No, el cambio en la intensidad de corriente no afecta porque no hay un campo magnético externo.

b) Si, hay un cambio en el flujo de campo magnético y se crea una corriente en el sentido de las agujas del reloj.

c) Si, hay un cambio en el flujo de campo magnético y se crea una corriente en el sentido opuesto al de las agujas delreloj.

d) Si, el campo magnético aumenta al disminuir la corriente.

4. Una esfera conductora de radio R está cargada con una carga Q. Calcula el campo eléctrico y el potencial creados pordicha esfera en cualquier punto del espacio. (0.75 puntos)

5. En el circuito de la figura 1:

a) Calcula el equivalente Thevenin del circuito visto desde los puntos A y B si R=2kΩ. (1.5 puntos)

b) Calcula la potencia en cada uno de los elementos del circuito justificando si es consumida o suministrada. (1.5puntos)

6. En el circuito de la figura 2:

a) Determinar el valor de ID, VDS y VGS . (1 punto)

b) ¿Cuánto vale la intensidad que circula por la resistencia R2?. (0.25 puntos)

c) Repita los apartados anteriores si en el circuito de la Figura 2 se coloca un condensador entre la puerta y la fuente.(0.25 puntos)

d) Repita los apartados anteriores si en el circuito de la Figura 2 se coloca una bobina en serie con R2. (0.25 puntos)

Figura 1: Circuito para el problema 5

R1R2

VDD

ID


Datos: VDD = 12V , R1 = 2kΩ, R2 = 1MΩ, VT = 3V , k = 0.48 · 10−3 AV 2 .

7. En el circuito de la figura 3, R1=35kΩ, R2=1kΩ y C=10nF.

a) Calcula la función de transferencia. (1 punto)

b) Dibujar el diagrama de Bode en amplitud y en fase. (1.5 puntos)

c) Calcula la intensidad que circula por R1. (0.25 puntos)

d) ¿Qué función realiza R2 en el circuito?¿Es adecuado su valor? (0.25 puntos)

Vi Vo

R1

R2C


8. Diseña usando tecnología CMOS un circuito que realice la función lógica Vo = A · (B + C). Analiza el estado de cadatransistor para las distintas combinaciones de las entradas. (0.75 puntos)

FFT I UGR

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