Utp pds_s7y8_dft y fft

Procesamiento Digital de Señales

(TC61)

Facultad de Ingeniería Electrónica y Mecatrónica

Sesión: 7 y 8

Ing. José C. Benítez P.

DFT y FFT

Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 2

Sesión 7 y 8. FFT

� Números complejos: � Representación cartesiana: Operaciones básicas� Representación polar: Operaciones básicas

� Teorema de De Moivre� Transformada de Fourier� Twiddle

� Ejemplo de DFT� Periodicidad de la DFT� Simetría de la DFT� Inversa de la DFT� Respuesta en frecuencia de un sistema� Transformada rápida de Fourier (FFT)� Tipos básicos de secuencias� Mariposa de N puntos� Propiedades de una secuencia� Aplicaciones de la FFT


Representación cartesiana de complejos

� El conjunto de los números complejos (C) supone la conjunción de los números reales y de los números imaginarios.

� Cualquier número complejo x será un vector de dos componentes: una real, denominada parte real, Re(x), y otra imaginaria, parte imaginaria, Im(x):

x = Re(x) + j Im(x)

� Para representar un número complejo, es necesario hacerlo en un diagrama de Argand: diagrama bidimensional cuyos ejes de abscisas y ordenadas representan la parte real e imaginaria respectivamente.


Operaciones básicas con complejos en notación cartesiana

� Igualdad:

a + jb = c + jd <=> a = c y b = d

� Adición:

(a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d)

� Sustracción:

(a + jb) - (c + jd) = (a - c) + j(b - d)

� Producto:

(a + jb)(c + jd) = (ac - bd) + j(ad + bc)

� Cociente:

(a + jb) / (c + jd) = [(ac + bd) + j(bc - ad)] / (c2 - d2)

� Conjugación:

(a + jb)* = a - jb


Representación polar de complejos

�Complejo:

x = Re(x) + j Im(x)

�Equivalencias:

|x| = √(Re2(x) + Im2(x)) = A

fase(x) = arctan[Im(x) / Re(x)] = a

Re(x) = |x|cos fase(x)

Im(x) = |x|sen fase(x)

�Función exponencial compleja:

x = |x|ej fase(x) = Aeja


Operaciones básicas con complejos en notación polar

�Producto:

Aeja Bejb = ABej(a + b)

�Cociente:

Aeja / Bejb = (A / B)ej(a - b)

� Equivalencia trigonométrica:

Aeja = A(cos a + j sen a)

�Conjugación:

(Aeja)* = Ae-ja


Teorema de De Moivre

�En la exponenciación de complejos no pueden emplearse las reglas algebraicas. Hay que seguir el teorema de DeMoivre:

Zk => [A(cos a + j sen a)]k

=> (Aeja)k = Akejka

=> Ak(cos ka + j sen ka)

�Para Zk existe más de una solución por lo que hay que poner especial cuidado en la exponenciación de complejos.


Transformada de Fourier

� Debe su nombre al matemático francés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830).

� Esta transformación consigue llevar una señal expresada en el dominio del tiempo al dominio de la frecuenciaexpresándola como la suma de muchas funciones exponenciales complejas.

� En función de su continuidad, existen dos transformadas de Fourier utilizadas en el PDS:

� Discrete Time Fourier Transform (DTFT)

� Discrete Fourier Transform (DFT)


Transformada de Fourier

� Transformación: llevar una señal expresada en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia expresándola como la suma de muchas funciones exponenciales complejas.

� Discrete Time Fourier Transform (DTFT):

Transforma una secuencia en el tiempo, a su equivalente frecuencial en forma de función compleja continua:

X(ω) = DTFT{x[n]} = Σn=-∞,∞ x[n]e-jωn

� Discrete Fourier Transform (DFT):

Transforma una secuencia en el tiempo, a su equivalente frecuencial en forma de función compleja discreta (es la que puede calcularse en un computador):

X[k] = DFT{x[n]} = Σn=0,N-1 x[n]e-j2πnk/N


Twiddle

� Considerando la ecuación de la DFT:


� Teniendo en cuenta que N es la longitud de x[n], es muy común extraer el factor WN = e

-j2π/N, llamado twiddle, con lo que la ecuación de la DFT queda así:

X[k] = DFT{x[n]} = Σn=0,N-1 x[n]WNnk

= x[0]WN0k + x[1]WN

1k + … + x[N-1]WN(N-1)k


Ejemplo de DFT

� Ejemplo de DFT: Señal suma de

dos sinusoides de 1 Hz y 2 Hz

respectivamente (fs = 5 Hz)


Ejemplo de DFT

• Ejercicio. Visualizar la DFT de una señal discreta, que es calculada como un conjunto finito de frecuencias. Sea la señal (secuencia)

h[n] = δ [n] + 0.5 δ [n − 1] + 0.2 δ[n − 2]

>> h=[1 0.5 0.2]

>> stem(h)

Calculamos 128 valores de la DFT:

>> H=fft(h,128);

El vector H recoge los valores de la función H(ejw) en las siguientes frecuencias:

wk =2πk/128 , k = 0, · · · , 127


Ejemplo de DFT

Para visualizar la DFT hay que tener en cuenta que el vector H contiene valores complejos, por lo que tendremos que representar por separado su magnitud y su fase:>> stem(2*pi*(0:127)/128,abs(H));>> stem(2*pi*(0:127)/128,angle(H));


Periodicidad de la DFT

� Consiste en que la DFT, X[k], de una señal en tiempo discreto x[n], es periódica (su periodo es la longitud de x[n]: N)

� Sea x[n] una señal en tiempo discretode longitud N. Se cumple que:

X[k] = DFT{x[n]} => X[k] = X[k mod N]

� Lo que equivale a decir que:

X[k] = DFT{x[n]} => X[k] = X[k + aN], a εεεε Z


Simetría de la DFT

�Consiste en que la transformada discreta de Fourier, X[k], de una señal real en tiempo discreto, x[n], presenta simetría hermítica:

x[n] ∈ ℝ y X[k] = DFT{x[n]} => X[k] = X[-k]*


Inversa de la DFT

� La transformada discreta de Fourier (DFT), se calcula:

X[k] = DFT{x[n]} = Σn=0,N-1 x[n] e-j2πnk/N

X[k] = DFT{x[n]} = Σn=0,N-1 x[n] WNnk ; WN = e

-j2π/N

� La inversa de la transformada discreta de Fourier (InverseDiscrete Fourier Transform, IDFT) se calcula de manera muy similar a la transformada directa de acuerdo con la siguiente ecuación (N es la longitud de x[n]):

x[n] = IDFT{X[k]} = (1 / N) Σn=0,N-1 X[k] WN-nk

� Como se verá más adelante esta similitud entre las dos formas de la transformada (forma directa y forma inversa) nos permite calcular la inversa a partir de la directa y, por tanto, aprovechar cualquier algoritmo que calcule la transformada directa para obtener la forma inversa.


Respuesta en frecuencia de un sistema

� El modelo de respuesta en frecuencia de un sistema describe su comportamiento en términos de su efecto en la amplitud y la fase de las componentes frecuenciales que lo atraviesan.

� Esta descripción se realiza mediante la función de respuesta en frecuencia que se calcula como la transformada de Fourier de la respuesta al impulso unitario del sistema:

H(ω) = DTFT{h[n]}

H[k] = DFT{h[n]}


Tipos básicos de secuencias

Cuadro resumen

H[k] = DFT{h[n]}


Transformada rápida de Fourier (FFT)

� La transformada rápida de Fourier (Fast Fourier Transform, FFT) fue descrita por James Cooley y John W. Tukey en 1965 y no es propiamente una transformada.

� Se trata en realidad de un algoritmo que permite calcular la DFT en tiempo logarítmico.

� Debería por tanto considerarse más bien como algoritmo FFT para hallar la DFT.



�Si observamos la fórmula de la DFT:


vemos que su aplicación directa es de orden: o(n2).

�El objetivo de la FFT es calcular la DFT en orden logarítmico: o(n log2 n).



Diagrama de flujo de una FFT de una señal de 4 elementos


Mariposa de N puntos

• Cómo puede observarse, el algoritmo FFT es recursivo.

• El caso base de cualquier procesamiento FFT es la mariposa.

• Una mariposa de N puntos es una función/circuito (según se trate de una implementación software o hardware) capaz de calcular la FFT de una secuencia de N elementos de manera directa (sin necesidad de recursión).


Propiedades de una secuencia

• El caso base más habitual es la mariposa de 2 puntos:


Y[0] = x[0] + x[1]

Y[1] = x[0] - x[1]



The standard strategy to speed up an algorithm is to divide and conquer. We have to find some way to group the terms in the equation

V[k] = Σn=0..N-1 WNkn v[n]

Let's see what happens when we separate odd ns from even ns (from now on, let's assume that N is even):

V[k] = Σn even WNkn v[n] + Σn odd WN

kn v[n]

= Σr=0..N/2-1 WNk(2r) v[2r] + Σr=0..N/2-1 WN

k(2r+1) v[2r+1]

= Σr=0..N/2-1 WNk(2r) v[2r] + Σr=0..N/2-1 WN

k(2r) WNk v[2r+1]

= Σr=0..N/2-1 WNk(2r) v[2r] + WN

k Σr=0..N/2-1 WNk(2r) v[2r+1]

= (Σr=0..N/2-1 WN/2kr v[2r]) + WN

k (Σr=0..N/2-1 WN/2kr v[2r+1])

where we have used one crucial identity:

WNk(2r) = e-2πi*2kr/N = e-2πi*kr/(N/2) = WN/2

kr



Notice an interesting thing: the two sums are nothing else but N/2-point Fourier transforms of, respectively, the even subset and the odd subset of samples. Terms with k greater or equal N/2 can be reduced using another identity:

WN/2m+N/2 = WN/2

mWN/2N/2 = WN/2

m

which is true because Wmm = e-2πi = cos(-2π) + i sin(-2π)= 1.

If we start with N that is a power of 2, we can apply this subdivision recursively until we get down to 2-point transforms.

We can also go backwards, starting with the 2-point transform:

V[k] = W20*k v[0] + W2

1*k v[1], k=0,1

The two components are:

V[0] = W20 v[0] + W2

0 v[1] = v[0] + W20 v[1]

V[1] = W20 v[0] + W2

1 v[1] = v[0] + W21 v[1]

We can represent the two equations for the components of the 2-point transform graphically using the, so called, butterfly



This graph can be further

simplified using this identity:

WNs+N/2 = WN

s WNN/2

= -WNs

which is true because

WNN/2 = e-2πi(N/2)/N

= e-πi

= cos(-π) + isin(-π)

= -1

Here's the simplified butterfly:

Y[0] = x[0] + x[1]

Y[1] = x[0] - x[1]


Aplicaciones de la FFT

Tiene 3 aplicaciones fundamentales en DSP:

� Cálculo de la DFT en tiempo logarítmico.

� Cálculo de la IDFT en tiempo logarítmico.

� Interpolación de señales.


Cálculo de la DFT mediante FFT

• Esta aplicación es obvia y consiste simplemente en aplicar el algoritmo FFT a la señal:

X[k] = DFT{x[n]} = FFT{x[n]}


Cálculo de la IDFT mediante FFT

• Para comprender la aplicación de la transformada rápida al cálculo de la inversa de la transformada discreta basta analizar la ecuación de esta última y comprobar cómo puede obtenerse a partir de la transformada discreta:

x[n] = IDFT{X[k]}

= (1 / N) (Σn=0,N-1 X[k]ej2πnk/N)**

= (1 / N) (Σn=0,N-1 X[k]*e-j2πnk/N)*

= (1 / N) DFT{X[k]*}*

= (1 / N) FFT{X[k]*}*


Interpolación mediante FFT

• Consiste en interpolar una secuencia mediante su paso al dominio frecuencial y posterior paso al dominio del tiempo.

• Esta técnica se basa en calcular la transformada discreta y rellenarla con ceros en su zona central. Al calcular ahora la inversa de la transformada se obtiene la secuencia original pero interpolada.

• Sin embargo, durante este cambio de dominio se produce un desajuste en la amplitud de las muestras de la secuencia debido a que la longitud de la secuencia original es menor que la longitud de la nueva secuencia. Este efecto puede compensarse de una manera muy sencilla tal como se verá a continuación.



El proceso de interpolación puede realizarse a través de los siguientes pasos:

1. Sean v[n] la secuencia original, N su longitud y Mla cantidad de muestras deseada en la secuencia resultante. M > N.

2. Calculamos la transformada discreta de v[n]:

V[k] = DFT{v[n]}

3. Dividimos la secuencia V[k] en dos mitades:

V[k] = {V1[k]; V2[k]}



4. Creamos una nueva secuencia W[k] a partir de estas dos mitades insertando en su centro los ceros necesarios para que su longitud sea igual a M:

W[k] = {V1[k]; 0; 0; 0; ...; 0; 0; 0; V2[k]}

5. Calculamos la transformada inversa de W[k]:

w0[n] = IDFT{W[k]}

6. Corregimos el desajuste de amplitud:

w[n] = (M / N) w0[n]

7. Una vez terminado el proceso, la secuencia w[n] interpola a la secuencia v[n]



NOTA: Como se verá en el último capítulo, cuando se comente la transformada discreta en dos dimensiones, esta técnica de interpolación puede extrapolarse a datos bidimensionales con lo que se convierte también en una técnica de zoom para imágenes digitales.


Ejemplo de interpolación

Ejemplo de interpolación (de 16 a 256 muestras)


Tarea 5

1. Realizar los mapas semántico y/o mapas conceptuales de

todo el contenido de la Diapositiva de la Sesión 9 y 10.- La Transformada Z.

2. Adjuntar fuentes que le han ayudado a consolidar la tarea.

Presentación:

• Impreso y en USB el desarrollo de la tarea.

• Los mapas semánticos se deben hacer en PowerPoint y los mapas

conceptuales en CMapTools.

• En USB adjuntar las fuentes (05 PDFs, 05 PPTs y 01 Video.).

• La fuente debe provenir de una universidad.

Presentación

39Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P.

� Todas las fuentes deben presentarse en formato digital

(USB), dentro de una carpeta que lleve las iniciales del curso,

sus Apellidos, guion bajo y luego el numero de la Tarea.

Ejemplo:

PDS_BenitezPalacios_T5

� La fuente debe conservar el nombre original y agregar

_tema.

Las Tareas que no cumplan las indicaciones

no serán recepcionados por el profesor.


Sesión 7 y 8. DFT y FFT

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