Utp pds_s3y4_señales, secuencias y muestreo

Procesamiento Digital de Señales

(TC61)

Facultad de Ingeniería Electrónica y Mecatrónica

Sesión: 3 y 4

Ing. José C. Benítez P.

Señales, secuencias y muestreo de señales

Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P. 2

Sesión 3 y 4. Temas

Muestreo de señales

� Señales

� Filtros

� Secuencias

� Muestreo de Señales.

� Teorema de Muestreo.

� Alliasing.

� Error de Cuantización.

� Decimación e Interpolación.

� Tasa de Bits



Objetivos

� Comprender los pasos necesarios para la digitalización de

señales analógicas.

� Comprender la teoría del muestreo de señales de banda

base y pasa banda.

� Interpretar y aplicar correctamente el teorema fundamental

del muestreo.

� Se da una visión general del tratamiento digital de señales, se

explican las diferencias fundamentales entre los distintos

tipos de señales, se presentan los dos tipos básicos de filtros

(de paso bajo y de paso alto) y se comentan las ventajas del

PDS sobre las técnicas analógicas.



Introducción

�Nuestro principal objetivo es el estudio de PDS, sin

embargo muchas de las señales que se transmiten en

estos sistemas son analógicas por lo que estas señales

tienen que ser muestreadas, cuantificadas y

codificadas para ser procesadas.

�Por lo tanto el muestreo y la cuantificación son

operaciones básicas en todo sistema de PDS.



PDS

El PDS (digital signal processing, DSP) trata de la:

� representación,

� transformación

� y manipulación de señales

� y de la información que contienen.



� Ejemplos de aplicaciones DSP:


Señales analógicas y digitales

Señales

� Una señal es una descripción de cómo un parámetro varía con otro parámetro. p1=f(p2)

� Por ejemplo, el cambio de la tensión en un circuito a lo largo del tiempo.

Tipos de señales

� Esta variable independiente puede ser continua o discreta lo que da lugar a dos tipos de señal en función de su distribución temporal:

� Señales en tiempo continuo

� Señales en tiempo discreto


Señales en tiempo continuo

Señales analógicas

� Están definidas para cualquier instante del intervalo de medición (por ejemplo, voz, audio, etc.) y

� Vienen representadas por una función; que no tiene por qué ser continua.


Señales en tiempo discreto

Señales digitales

� Están definidas sólo en un conjunto particular de instantes de tiempo (por ejemplo, temperatura al mediodía) y

� Vienen representadas por una secuencia.

� Además de ser discretas en dominio, lo son en rango (es decir, su amplitud es discreta) .


Filtros de paso bajo y paso alto

Filtros

� Un filtro es un dispositivo que permite el paso de un determinado rango de frecuencias y elimina el resto.

Tipos básicos de filtros:

� Filtro paso bajo (low-pass filter, LPF): sólo permite el paso de frecuencias inferiores a una determinada frecuencia(denominada frecuencia de corte).

� Filtro paso alto (high-pass filter, HPF): sólo permite el paso de frecuencias superiores a la frecuencia de corte.


Filtros de paso bajo y paso alto

Ejemplo:

La señal azul es el resultado de sumar una señal de 50 Hz (roja) y otra de 250 Hz (verde). Un LPF con frecuencia de corte de 100 Hz sólo dejaría pasar la componente roja mientras que un HPF similar sólo dejaría pasar la verde.


Ventajas del PDS

� El PDS presenta básicamente las siguientes ventajas frente a las técnicas analógicas:

� Inmunidad frente al ruido.

� Soportes de almacenamientouniversales.

� Unidades de procesamiento universales.


Secuencias

� Una secuencia es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros. Su valor puede expresarse mediante:

� Enumeración: x[n] = {1; 2; 3; 4; 5}

� Formulación: x[n] = n + 1, 0 <= n <= 4

� El primer elemento definido corresponde a x[0] (en caso contrario el elemento correspondiente a x[0] se subraya) y los valores no definidos se consideran nulos:

� x[n] = {1; -1; 1; -1; 1}

� La longitud de una secuencia se define como el número de muestras contenidas en el intervalo más estrecho que recoge todas las muestras no nulas y que contiene a x[0]:

� x[n] = {1; 1; 0; 2; 3; 0; 0; 1} => long(x[n]) = 8


Tipos básicos de secuencias

� Muestra unitaria (MU) o delta:

� d[n] = 1, n = 0

� Escalón unitario:

� u[n] = 1, n >= 0

� Signo:

� signo[n] = 1, n > 0

� signo[n] = 0, n = 0

� signo[n] = -1, n < 0

� Pulso:

� pL[n] = 1, 0 <= n < L

� Exponencial:

� x[n] = an

� Sinusoidal:

� x[n] = A sen(w0n + R)


Operaciones con secuencias

� Suma: consiste en sumar sus elementos de dos en dos (tomando uno de cada secuencia). Ejemplo:

a[n] = {1; 2; 3; 4; 5}b[n] = {1; 0; 1; -1; -2}a[n] + b[n] = {2; 2; 4; 3; 3}

� Escalado: consiste en multiplicar una secuencia a[n] por un escalar K. Es decir, multiplicar cada elemento de a[n] por K. Ejemplo:

a[n] = {1; 2; 3; 4; 5}2a[n] = {2; 4; 6; 8; 10}



� Producto: consiste en multiplicar sus elementos de dos en dos (tomando uno de cada secuencia). Ejemplo:

a[n] = {1; 2; 3; 4; 5}

b[n] = {1; 0; 1; -1; -2}

a[n]b[n] = {1; 0; 3; -4; -10}

� Desplazamiento: la operación de desplazamiento (también llamada retardo) consiste en desplazar los elementos de una secuencia a[n] un determinado número K de muestras. Ejemplo:

a[n] = {1; 2; 3; 4; 5}a[n − 3] = {0; 0; 0; 1; 2; 3; 4; 5}



� Convolución (Suma de): se denota con un asterisco (*) y se calcula como:

c[n] = a[n] * b[n] = Σk=-∞,∞ a[k]b[n – k]

� Su longitud de la convolucion siempre es 1 menos que la suma de las longitudes:

long(a[n] * b[n]) = long(a[n]) + long(b[n]) - 1



� Propiedades de la convolución:

� Conmutatividad:

a[n] * b[n] = b[n] * a[n]

� Asociatividad:

(a[n] * b[n]) * c[n] = a[n] * (b[n] * c[n])

� Distributividad respecto a la suma:

a[n] * (b[n] + c[n]) = a[n] * b[n] + a[n] * c[n]

� Elemento neutro (d[n] es la secuencia delta):

a[n] * d[n] = a[n]



� Diagrama de flujo de una convolución (c[n] = a[n] * b[n])

� Técnica rápida para calcular la convolución entre a[n] = {1; -2; 3} y b[n] = {-1; 0; 2}. Deben multiplicarse los elementos entre sí y sumar las diagonales: a[n] * b[n] = {-1; 2; -1; -4; 6}.


Propiedades de una secuencia

� Una secuencia es causal si y sólo si todas sus muestras anteriores a n = 0 son nulas:

causal(x[n]) <=> x[n] = 0, n < 0

� En oposición a esto podemos hablar de secuencias anticausales. Es decir, secuencias cuyas muestras son nulas para n >= 0:

anticausal(x[n]) <=> x[n] = 0, n >= 0



� Se definen como parte causal y parte anticausal de una secuencia los conjuntos de muestras correspondientes:

� La parte causal de una secuencia x[n] es el conjunto de muestras correspondientes a n >= 0

� La parte anticausal es el conjunto de muestras correspondientes a n < 0



� Una secuencia es finita si y sólo si su longitud lo es (en caso contrario se trataría de una secuencia infinita):

finita(x[n]) <=> long(x[n]) < ∞

� Una secuencia es acotada si y sólo si todas sus muestras tienen un valor finito:

acotada(x[n]) <=> |x[n]| < ∞


Muestreo

� El proceso de conversión analógico-digital (analog-to-digital conversion, ADC), permite transformar una señal analógica en otra digital equivalente.

� Este proceso también se denomina digitalización.

� Una señal analógica es continua tanto en dominio (tiempo) como en rango (amplitud) por lo que en esta conversión debe realizarse dos procesos de discretización:

� Discretización en tiempo (muestreo)

� Discretización en amplitud (cuantización)


Muestreo

� El proceso de muestreo (sampling) consiste en almacenar los valores (muestras) que toma la señal analógica en determinados instantes de tiempo.

� Estos instantes son equidistantes y el tiempo que transcurre entre uno y el siguiente se denomina periodo de muestreo (suele denotarse como Ts).

� En consecuencia, se define la frecuencia de muestreo como la inversa de este periodo:

fs = 1 / Ts


Muestreo

� Como ya se ha comentado, el proceso de digitalizaciónconlleva dos procesos de discretización:

� discretización en tiempo (muestreo) y

� discretización en amplitud (cuantización).

� Si dichos procesos no se realizan de manera adecuada, pueden producirse errores en la generación de la nueva señal digital.

� A continuación se presenta el teorema del muestreo (que establece el criterio adecuado para realizar un muestreo correcto), se habla del aliasing (efecto que se produce cuando la frecuencia de muestreo no es suficientemente elevada), el proceso de cuantización y, por último, el concepto de tasa de bits y su influencia en la calidad de la información digital.


Muestreo

� El resultado del proceso de muestreo es una señal en tiempo discreto.

Considerando:

� x(t) como la señal analógica original,

� x[n] como la señal en tiempo discreto (secuencia) resultante y Ts como el periodo de muestreo, esta recogida de muestras puede expresarse formalmente como:

x[n] = x(nTs)

� De esta ecuación se deduce que cualquier proceso de muestreo lleva asociado un determinado periodo de muestreo. Es decir, para que la información que contienen las muestras tenga sentido, es imprescindible conocer qué periodo de muestreo se ha utilizado en su obtención.


Teorema de Muestreo

� El teorema del muestreo fue formulado como conjetura por Harry Nyquist en 1928 y, más tarde, fue probado formalmente por Claude E. Shannon en 1949.

� Este teorema establece el criterio que debe seguirse para no perder información durante el proceso de muestreo.

� Para comprender este teorema es necesario pensar que una señal, al igual que en el tiempo está formada por infinitos puntos, en la frecuencia podemos considerar que está formada por infinitas señales sinusoidales de diferentes frecuencias. Cada una de estas señales sinusoidales se conoce como una componente frecuencial.


Teorema de Muestreo

� La señal que se representa (magenta) está formada por tres componentes frecuenciales de; 50 Hz (azul), 500 Hz (roja) y 1000 Hz (verde).


Teorema de Muestreo

� De esta manera, podemos enunciar el teorema del muestreo de la siguiente forma:

« Sea x(t) una señal analógica y sea fmax la frecuencia de su componente de mayor frecuencia. Dicha señal x(t) estará determinada de forma única por sus muestras x[n] = x(nTs), siendo n entero, si se cumple que : fs >= 2fmax , siendo fs = 1/Ts.»

� Además, aunque no todos lo autores coinciden en esto, en general se denomina frecuencia de Nyquist a la mitad de la frecuencia de muestreo:

fNyq = fs / 2


Teorema de Muestreo

� Ejemplo de muestreo: la fmax de la señal original es 110 Hz y la frecuencia de muestreo se ha establecido en 250 Hz.


Aliasing

� Cuando se digitaliza una señal sinusoidal x(t) sin respetar el teorema del muestreo, puede ocurrir que se obtengan las mismas muestras que se obtendrían de una señal también sinusoidal pero de menor frecuencia.

� Si la frecuencia de x(t) es fx, las muestras resultantes serían compatibles con una sinusoide de frecuencia fs - fx. En este caso, cada una de las señales se convierte en un alias de la otra. En consecuencia, si se muestrea a esa frecuencia fsuna señal que contenga ambas componentes, la señal no podría ser reconstruida con exactitud.


Aliasing

� Ejemplo de aliasing: la señal x(t) de 50 Hz (roja) se muestrea a una frecuencia de 60 Hz por lo que se confunde con la señal y(t) de 10 Hz (verde). Según el teorema del muestreo el proceso debería haberse realizado al menos con fs = 100 Hz.


Cuantización

� La cuantización consiste en la aproximación de un rango continuo de valores mediante un conjunto relativamente pequeño de valores enteros.

� Ejemplo: en los discos compactos, la señal de audio se muestrea a una frecuencia de 44100 Hz y se cuantiza utilizando 16 bits; lo que permite aproximar los valores originales mediante una gama de 65536 (216) posibles valores enteros.

� Error de cuantización (EQ): error que se comete al aproximar el valor continuo original mediante el nuevo valor entero.

� EQ depende directamente del número de bits utilizados en el proceso (bits por muestra).


Cuantización

� Ejemplo de cuantización utilizando 4 bits por muestra


Cuantización



Tasa de bits

� La tasa de bits (bitrate) es el número de bits por segundo que se utilizan para almacenar o transmitir una determinada señal digital. Se mide por tanto utilizando la unidad "bits por segundo" (bit/s o bps) y a menudo incorpora un prefijo del sistema internacional:


Tasa de bits

� Para calcular la tasa de bits es necesario tener en cuenta tanto la frecuencia de muestreo como el número de bits por muestra. De esta forma podemos expresarla como:

bitrate = fs B

donde :

� fs es la frecuencia de muestreo (es decir, el número de muestras por segundo) y

� B es el número de bits por muestra (es decir, la cantidad de bits que ocupa cada muestra).

� Por ejemplo, en el caso de los discos compactos, la tasa de bits sería:

bitrate = 44100 x 16 x 2 = 1411,2 kbit/s (El factor 2 aparece debido a que el sonido es estéreo.)



Muestreo

� Como se muestra en la figura, una señal digital se obtiene de una señal analógica después de muestrearla, cuantificarla y codificarla.

� La señal analógica que se denota por x(t) es una señal continua tanto en el tiempo como en amplitud.

� El resultado de muestrear una señal es otra señal que es discreta en el tiempo pero que todavía es continua en amplitud.

� Una señal digital se obtiene al cuantificar los valores de una señal muestreada en el tiempo en un intervalo finito de valores. Como se verá más adelante, se introduce error en cada paso de este proceso.



Teorema del Muestreo en Banda Base

� El primer paso para formar una señal digital a partir de una señal

analógica x(t) consiste en muestrear la señal x(t) a intervalos de tiempo

uniformemente espaciados para producir xs(t) = x(kTs) = x[Ts ], la notación

que emplea corchetes significa que se trata de una señal discreta por lo

que no es necesario acompañar el índice k de Ts. El parámetro Ts se

conoce como el periodo de muestreo y es la inversa de la frecuencia de

muestreo fs.



Función de Muestreo

� Un modelo para realizar la operación de muestreo se ilustra en la Figura.

� La señal x(t) es multiplicada por una señal periódica de pulsos p(t) para

formar la señal discreta xs(t), en otras palabras: xs(t) = x(t) p(t)

� La señal p(t) se conoce como la función de muestro.

� La función de muestreo es un impulso de corta duración de tiempo, el

cual puede tomar los valores de cero o uno.

� De esta manera xs(t) = x(t) cuando p(t) = 1, y xs(t) = 0 cuando p(t) = 0.

� Más adelante en nuestra discusión veremos que sólo el periodo de la

función de muestreo p(t) es significativo y que la forma de p(t) es

arbitraria.



Función de Muestreo

� Puesto que p(t) es una señal periódica, puede ser representada en series

de Fourier:

� en donde los coeficientes de Fourier están dados por:

� Reemplazando tenemos:



Deducción…

� Con el fin de deducir el teorema del muestreo y por lo tanto demostrar que

bajo condiciones apropiadas x(t) está totalmente representada por las

muestras de x(kTs), debemos pues determinar el espectro de xs (t) y

demostrar que x(t) puede ser reconstruida a partir de xs (t).

� La transformada de Fourier de la señal muestreada es:

� lo cual, después de intercambiar el orden de la integral por el de la suma

vendría a ser:

� Teniendo en cuenta que la transformada de Fourier de la señal continua

en el tiempo x(t) es:



Teorema de Muestreo

� Se puede deducir que la transformada de Fourier de la señal muestreada

puede ser escrita de la siguiente manera:

� Por lo tanto podemos ver que el efecto de muestrear una señal de tiempo

continuo es repetir el espectro de la señal en f = 0 en todas los

harmónicos de la frecuencia de muestreo f = nfs.

� Los espectros trasladados están ponderados por los coeficientes de

Fourier que resultan de la expansión en series de la función p(t).

� El siguiente y último paso en nuestra discusión y desarrollo del teorema

de muestreo es definir p(t).

� Considerando que las muestras son tomadas instantáneamente una

definición apropiada para p(t) es:



Cual es la función de muestreo?

� La cual se conoce como función impulso de muestreo, en donde los

coeficientes de Fourier están dados por:

� Aplicando la propiedad del desplazamiento de la función delta obtenemos:

� Usando los resultados obtenidos anteriormente, tenemos que la

transformada de Fourier de la función p(t) está representada por:

� Así usando esta expresión, el espectro de la señal muestreada vendría a

ser:



Convolucion?

� Debe de hacerse notar que este resultado también pudo haberse obtenido

de la expresión:

� La generación de Xs(f) empleando la convolución para una señal con un

ancho de banda limitado.

� El teorema del muestreo puede ser deducido a partir de la sigiente figura 3.

Con el fin de que las muestras de x(nTs) contengan toda la información de la

señal continua en el tiempo x(t), de tal manera que no se pierda información

en el proceso de muestreo, las muestras deben ser tomadas tal que x(t)

pueda ser reconstruida sin error a partir de las muestras x(nTs).



Comprobación

� Podemos pues observar que la reconstrucción de x(t) a partir de xs(t) se

logra extrayendo el término para n = 0 de Xs(t) empleando para ello un filtro

pasa bajo.

� Por lo tanto para lograr la reconstrucción sin errores se requiere que la

porción del espectro de Xs(f) para f = ±fs no traslape la porción del espectro para f = 0.

� Esto requiere que fs - fh > fh o fs > 2 fh, lo cual comprueba el teorema del

muestreo para señales de banda base.



Teorema del Muestreo en Banda Base

� Teorema Una señal con un ancho de banda finito puede ser reconstruida

sin error a partir de sus muestras si la frecuencia de muestreo fs es

mayor que 2 fh, donde fh es la frecuencia más alta presente en la señal

muestreada.



Teorema del Muestreo de Señales Pasa Banda

� Hay diversas estrategias que pueden emplearse para representar

señales pasa banda como un conjunto de muestras.

� Consideraremos los dos métodos más comunes.

� Teorema 2 Si una señal pasa banda tiene un ancho de banda B, con

frecuencia máxima fh, la señal puede ser muestreada y reconstruida

usando una frecuencia fs = 2 fh/m, donde m es el mayor entero que no

exceda a fh/B. Todas las frecuencias mayores no son necesarias a

menos que excedan a 2fh , que es el valor de fs que indica el teorema del

muestreo para señales en banda base.




� Vamos a suponer que tenemos una señal pasa banda expresada de la

siguiente forma:

� La función A(t) es conocida como la envolvente de la señal pasa banda y

la función φ(t) se conoce como la desviación de fase de la señal pasa

banda.

� En la mayor cantidad de aplicaciones de comunicaciones tanto A(t) como

φ(t) son señales en banda base y tienen un ancho de banda en el orden

del ancho de banda de la información que representan. Usando

transformaciones trigonométricas esta señal la podemos escribir de esta

manera:




� En esta representación:

� se conoce como la componente directa o en fase y

� es la componente en cuadratura.

� Debido a que A(t) y cos φ(t) son señales en banda base, podemos

deducir que xd(t) y xq(t) son también señales en banda base por lo que

deben de muestrearse con el criterio del teorema del muestreo de

señales en banda base.

� Hay que notar que si se conoce xd(t) , xq(t) y la frecuencia de la

portadora , entonces la señal pasa banda puede reconstruirse sin error.

� La representación de señales pasa banda usando sus componentes

directa y en cuadratura se estudiará en detalle más adelante.



� La representación de una señal pasa banda en el dominio de la

frecuencia se ilustra en la Figura 2.4(a). La envolvente compleja de esta

señal se define como:

� Puesto que xd(t) y xq(t) son señales en banda base entonces

� es también una señal en banda base como se ilustra en la Figura 2.4(b).

� En la Figura 2.4 vemos que X(f), y por consiguiente xd(t) y xq(t) son

señales en banda base por lo que deben de muestrearse de acuerdo al

teorema de muestreo de señales en banda base.

� Como la mayor frecuencia presente en xd(t) y xq(t) es B/2, la mínima

tasa de muestreo para cada una es B. Sin embargo se debe de

muestrear dos señales en lugar de una señal. Como resultado, se debe

emplear una tasa superior a 2B. Observamos que muestrear la

envolvente compleja empleando el teorema del muestreo para señales

en banda base, llega al mismo requerimiento de muestrear una señal

pasa banda usando el teorema del muestreo para señales pasa banda.


Tarea 3

1. Realizar los mapas semántico y/o mapas conceptuales de todo el contenido de la Diapositiva de la Sesión 5 y 6.-Sistemas LIT.

2. Adjuntar fuentes que le han ayudado a consolidar la tarea.

Presentación:

• Impreso y en USB el desarrollo de la tarea.

• Los mapas semánticos se deben hacer en PowerPoint y los mapas

conceptuales en CMapTools.

• En USB adjuntar las fuentes (05 PDFs, 05 PPTs y 01 Video.).

• La fuente debe provenir de una universidad.

Presentación

58Procesamiento Digital de Señales - Prof. Ing. Jose C. Benitez P.

� Todas las fuentes deben presentarse en formato digital

(USB), dentro de una carpeta que lleve las iniciales del curso,

sus Apellidos, guion bajo y luego el numero de la Tarea.

Ejemplo:

PDS_BenitezPalacios_T3

� La fuente debe conservar el nombre original y agregar

_tema.

Las Tareas que no cumplan las indicaciones

no serán recepcionados por el profesor.


Sesión 3 y 4. Señales, secuencias y Muestreo

Procesamiento Digital de Señales

Utp pds_s3y4_señales, secuencias y muestreo

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