____________________________________________________________________________________________________________Física Estadística 1

CAPÍTULO 4.MÁQUINAS Y RENDIMIENTO

POR VÍCTOR FUENZALIDA ESCOBAR

vfuenzal@ing.uchile.cl(1995)

#1 Introducción: ANTECEDENTES HISTÓRICOS

En la antigüedad no existió una necesidad imperiosa de disponer de máquinas: eltrabajo podía ser realizado por medio de animales y de personas, estas últimas,frecuentemente, esclavos. De este modo la figura muestra una "máquina" egipcia del año2000 a.C.: cadenas de esclavos.

No obstante, las necesidades bélicas si establecieron la necesidad de fabricarmáquinas que extendieran las capacidades mecánicas humanas y animales, como ocurriócon las catapultas. Es interesante la mención de maquinarias de guerra dada por Polibio 1,aludiendo al sitio de Siracusa durante la 2ª guerra púnica:

Había también otras máquinas contra los que atacaban, las cuales,bien que los enemigos estuviesen cubiertos con sus escudos y seguros de serofendidos de los tiros que se disparaban desde la muralla, no obstante,arrojaban peñascos tan desmesurados, que hacían huir de la proa a loscombatientes. Al mismo tiempo dejaban caer una mano de hierro atada a unacadena, con la cual aquel que gobernaba la máquina, luego que con la parte

1Polibio de Megápolis (siglo II A.C.) "Historia Universal" libro octavo, párrafo 8,

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anterior de ésta había agarrado la proa del navío, bajaba la posterior pordentro de la muralla. Una vez levantada la proa, y puesto el buqueperpendicular sobre la popa, quedaba inmoble la parte anterior de lamáquina; pero por medio de cierta polea se aflojaba la mano de hierro y lacadena, con lo cual unos navíos caían de costado, otros de espaldas, y lamayor parte, dejada caer la proa desde lo alto, eran sumergidos y echados apique.

Tanto y tan admirable es el poder que tiene en ciertos lances un solohombre y un solo arte empleado a propósito. Sáquese un solo viejo deSiracusa; con tantas fuerzas de mar y tierra, al momento se hubieranapoderado de la ciudad los romanos; pero estando dentro, ni aún tentarosaban el ataque, a lo menos del modo que Arquímides pudiese prohibirlo...

Como es sabido, las máquinas no fueron suficientes: finalmente los romanosingresaron a Siracusa y mataron a Arquímides.

• Herón de Alejandría diseñó una "turbinade juguete", a veces llamada turbinaeolípila (posiblemente por Eolo, dios delviento)

• El agua fue usada ya durante la época de los romanos para mover molinos de agua, yhubo invenciones y mejoras importantes durante la edad media que condujeron a lafabricación de molinos de viento que se adaptaban automáticamente según la direccióndel viento. Ya se trata de máquinas propiamente tales según el sentido que se les da eneste curso.

• En 1678-1682 Hautefeuille, Huyggins y otros especularon con un motor impulsado porpólvora, posiblemente a sabiendas de su carencia de interés práctico al ser muy difíciloperarla en un ciclo.

• En 1690 Dionisio Papin construyó un cilindro que, al llenarse parcialmente con agua,movía un émbolo al ser calentado y volvía a la posición original al enfriarse. Podría ser

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considerado un precursor de la máquina de vapor. Incidentalmente, Papin inventó la olla

a presión

• En 1663 Edward Somerset obtuvo del parlamento el monopolio por 99 años para unabomba de agua

• Más adelante, en 1698 Savery construyó una bomba de agua que se usó para extraeragua de las minas inglesas de carbón (muy ineficiente).

• En 1712 Thomas Newcomen construyó la primera "máquina" térmica, en el sentidousual de la palabra. Operaba a seis ciclos por minuto, y llegó a dar 12-15. En estamáquina el trabajo lo realiza la atmósfera. Se estima que una máquina "atmosférica" deeste tipo de 0,75 m de diámetro entregaba una potencia de 12-20 kW2

PIVOTEEMBOLO

Entrada de

agua

Entrada de vapor

CALDERA

ATMOSFERA

Contrapeso

• En 1736 nació James Watt, quien fabricaba y reparaba instrumentos de física general.En 1763 la U. de Glasgow le entregó a reparar un modelo de la máquina de Newcomen,que Watt encontró defectuosa y relativamente fácil de modificar, habiendo definido sus

2"A History of Mechanical Inventions", Abbot Payson Usher, Dover, NY,

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ideas hacia 1765. Varios años después Watt patenta su máquina, para tardar aun variosmás en construirla. 3

La figura muestra la máquina de vapor de Watt de doble efecto. Sus característicasmás importantes son:

i) El trabajo es realizado por la expansión del vapor, no por la atmósferaii) El cilindro de trabajo se mantiene caliente, realizándose la condensación en un

recipiente separadoiii) Realiza trabajo en ambas carreras del pistóniv) Funciona con vapor ligeramente sobrecalentado, a presión moderada. Watt sabía

que una máquina de alta presión era mejor, pero no disponía de los medios parafabricarla

Tiempo 2

MÁQUINA DE VAPOR DE WATT

Caldera

Condensador

Tiempo 1

Caldera

Condensador

3A Shory History of Technology, Dover

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• En 1824 se publica, en seiscientos ejemplares, el trabajo del ingeniero militar francésSadi Carnot titulado "Reflexiones sobre la Fuerza Motriz del Fuego y de las MáquinasApropiadas para desarrollarla", que establece una cota al rendimiento de las máquinastérmicas y sienta las bases de la termodinámica. Carnot dice: Es sabido que el calorpuede producir movimiento. No hay ninguna duda de que posee una gran fuerza motriz,en estos días en que la máquina de vapor es tan conocida... La importancia del trabajofue reconocida por Clapeyron, quien reproduce las ideas principales en 1834.

#2 Aspectos formales

i) Máquina:• Es un sistema capaz de "transformar" energía• En el lenguaje de este curso, transfiere la energía transportada por un portador de

energía (los "portadores" son magnitudes extensivas, X e Y) a otroFinalmente, y aunque no es indispensable que sea así, el concepto de máquina está ligado al

de automatismo: al menos por un tiempo la máquina debe ser capaz de funcionar sin laintervención permanente de un ser humano.

ff

i i

La figura representa una máquina como un sistema que transfiere energía desde unamagnitud X, que ingresa "cargada" de energía y es expulsada "descargada", a otravariable extensiva Y que ingresa descargada y es expulsada cargada con energía

Ejemplo 1e, Φ

e, Φ=0

Energía(eléctrica) (calor)

Energía + entropía

Una estufa eléctrica: entra energía transportada por una corriente eléctrica apotencial φ.

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La corriente sale después descargada a potencial 0, idealmente. En la práctica, ydebido a la resistencia no nula de los conductores, el contacto de baja tensión está muyligeramente por encima de cero y una fracción pequeña de la energía ingresada con lacorriente sale con ésta. Por otra parte, sale entropía que transporta toda la energíaintroducida por la corriente eléctrica. En este caso se "transformó" energía eléctrica en calor(la energía se extrajo de la carga eléctrica y se puso en la entropía)

Ejemplo 2

Motor eléctrico: es análogo al anterior, pero la energía sale transportada por momentumangular (se "transformó" energía eléctrica en mecánica)En síntesis, una máquina es un sistema capaz de redistribuir la energía entre losportadores (magnitudes extensivas)

El problema a resolver en este capítulo es si es determinar acaso cualquierredistribución es posible. Se mostrará que no es así y que la 2ª ley restringe lasredistribuciones posibles.

ii) Máquina cíclica

a) Es una máquina que opera en un ciclob) Por lo anterior, el estado final del sistema es igual al estado inicialc) El estado final del medio NO es necesariamente iguald) Si los estados inicial y final son iguales, las funciones de estado, en particular las

magnitudes extensivas, tienen los mismos valores:

Sistema (Medio)Ef-Ei=0 Ef'-Ei'=0Sf-Si=0 S'f-S'i no necesariamente igual a

cero

e) En general, Q≠0 y W≠0 en el cicloPor la primera ley, cualquier par de valores Q y W tales que Q+W=0 es posible

f) Según la 2ª ley, se verá que sólo algunos valores Q, W son posibles: no es posibleredistribuir arbitrariamente la energía entre la entropía y otros portadores

Definición local (válida sólo en el curso)Una máquina que realiza trabajo sobre el medio, es decir, W<0, se llamará "motor". Enla discusión se hará más o menos evidente que el caso inverso, W>0, correspondefrecuentemente a una estufa (pero también a una máquina frigorífica)

#3 Máquina térmica Se define como aquella máquina que extrae energía de una fuente térmica para realizartrabajo (generalmente) mecánico

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a) Proposición: no es posible "convertir íntegramente el calor en trabajo mecánico" o"no es posible una máquina térmica cíclica que interactúe con una sola fuente térmica"

En la figura, las flechas señalan la direcciónreal del flujo de energía si la máquina actúacomo un "motor", es decir, realiza trabajosobre el medio. Esto significa que:

Q>0y

W<0

Fuente térmica

T2

Q

W

Dem. suponer Q>0 y W<0, es decir, que la máquina efectivamente puede operar como unmotor

Caso a) funcionamiento reversiblePor la 1ª ley es Q+W=0 (no varía la energía en un ciclo)por la 2ª ley, junto con Q, la fuente transfiere entropía Q/T2 al sistema, o sea,

Sf-Si=Q/Tf

Pero la máquina opera en un ciclo, luego debe serSf-Si=0

Debe ser entoncesQ=0 y por lo tanto W=0

El significado físico de este resultado es que una máquina que opera reversiblemente nopuede convertir 100% el calor en trabajo (no puede "despegar" la energía de la entropía)

Caso b) funcionamiento irreversible

1ª ley Q+W=0

2ª ley: hay transferencia de entropía Q/Tf y creación de entropía Sgen en un ciclo, luego

Sf-Si=Q/Tf+Sgen>0

pero por igualdad de los estados inicial y final debe ser Sf-Si=0: contradicción.La contradicción proviene de suponer que es posible utilizar 100% el calor para

realizar trabajo mecánico sobre el medio.

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caso c) "Disipación" de energía.Contrariamente a lo anterior, sí es posible "convertir" íntegramente el trabajo en calor,es decir, Q<0 y W>0.

En efecto, del resultado (caso b) se tiene

Q/Tf+Sgen=0

que tiene solución Q=-TSgen<0

Nótese que la desigualdad se puede cumplir solo si el proceso es irreversible, es decir,se genera entropía. Conclusión: la "conversión" de trabajo en calor, llamada a veces"destrucción del trabajo útil", es un proceso irreversible.

Interpretación:La fuente térmica contiene energía almacenada en movimientos atómicos aleatoriosPor otra parte, realizar trabajo supone un desplazamiento macroscópico"Es estadísticamente imposible (probabilidad prácticamente cero) que el

movimiento aleatorio de los átomos de la fuente se organice espontáneamente para darlugar a un desplazamiento macroscópico"

Enunciado de Kelvin-Plank de la segunda ley: resulta como consecuencia directade lo anterior: No es posible un proceso cíclico cuyo único resultado sea la "extracción decalor" de una única fuente y la realización de una cantidad equivalente de trabajo

#4 Máquina térmica cíclica realSe trata de una máquina que recibe energía térmicamente de la fuente

caliente (Q2>0) y realiza trabajo sobre el medio (W<0)

i) Balance de entropía

a) ciclo⇒ Sf-Si=0

b) Por otra parte, el sistema (la máquina)-recibe entropía de la fuente caliente:

Q2/T2-recibe entropía de la fuente fría:

Q1/T1 (en realidad, cede entropía a la fuente, lo que quedadeterminado por el signo de Q1)-debido a procesos irreversibles, genera entropía Sgen en cadaciclo. No se conoce el valor de Sgen, sólo se sabe que es mayorque cero. Luego

Q2/T2+Q1/T1+Sgen=0

Fuente térmica

T2

Q2>0

W<0

Fuente térmica fría

T1

Q1<0

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Por construcción, Q2 >0Además, por la segunda ley, Sgen≥0La igualdad exige que Q1<0 necesariamente

ii) Consecuencias del balance de entropía

a) La máquina térmica debe ceder una parte la energía Q2 a la fuente fría

b) La máquina térmica no puede convertir 100% Q2 en trabajo

c) La máquina no puede funcionar sin fuente fría

d) Lo anterior es válido incluso en el límite reversible en que Sgen→0

e) Q1=-(Q2T1/T2+T1Sgen). El término entre paréntesis representa energía "malgastada" pordescargarse a la fuente fría

f) Mientras más entropía se genera, más energía se "malgasta"

g) Mientras más caliente la fuente caliente, mejor se aprovecha la energía. El límite prácticoestá impuesto por la resistencia de los materiales

h) Mientras más fría la fuente fría, mejor se aprovecha la energía. El límite teórico es T1→0K (posiblemente T→2,7K temperatura de fondo del universo). El límite práctico: T1=temperatura del agua o el aire

iii) Balance de energía

a) ciclo: Ef-Ei=0

b) 1a ley: Q1+Q2+W=0

c) W=-(Q1+Q2) trabajo realizado por el medio sobre el sistema-W=(Q1+Q2) trabajo realizado por el sistema sobre el medio. Representa

energía "útil".La máquina óptima es aquella que, dado Q2, maximiza |W|.

iv) Rendimiento ηηEn general se entiende por rendimiento la relación beneficio/costo, es decir,

rendimiento=(lo que obtenemos)/(lo que pagamos)a) η=(energía utilizable entregada por la máquina)/(energía suministrada a la máquina)

=|W|/Q2

η=1-T1/T2-T1Sgen/Q2

b) el rendimiento es siempre menor que la unidad

c) límite reversible Sgen→0. Entonces η→η(rev)=1-T1/T2 . Este rendimiento límite seconoce como rendimiento de Carnot.

d) η(real)<η(rev)=1-T1/T2<1

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e) Notar que el rendimiento reversible depende sólo de T1 y T2, no depende del detalle defuncionamiento de la máquina. Por este motivo se trata de una limitación fundamentalimpuesta por las leyes de la Física.

f) Ejemplo: la máquina original de Watt, que operaba con vapor a 112ºC y condensabael vapor a 50ºC.

η(rev)=1-(273+50)/(273+112)=1-323/385=1-0.84=0.16

En condiciones reversibles la máquina aprovecha sólo el 16% de la energía. El 84%restante se transfiere al medio. El rendimiento real es muy inferior

g) Actualmente se usa vapor sobrecalentado. El rendimiento, suponiendo T2=300ºC yT1=20ºC sería

η(rev)=1-293/573=49

De todos modos, en condiciones ideales, se desaprovecha más de la mitad de laenergía.

iv) Comentarios adicionalesLa energía suministrada por la fuente térmica se aprovecha mejor, es decir, la

máquina tiene un rendimiento más elevado, cuanto menos entropía se genera en un ciclo deoperación. Esto significa que la máquina debe funcionar lo menos irreversiblementeposible, evitando en lo posible los procesos "violentos": aceleraciones bruscas, grandesgradientes de temperatura, etc. No obstante, desde el punto de vista práctico interesa que lamáquina funcione a alta potencia, lo que la obliga a funcionar a alta velocidad y muy lejosdel equilibrio, generando entropía. Las máquinas reales se construyen a "medio camino"entre los extremos, tratando de que su rendimiento sea lo mejor (o menos malo) posibleentregando potencia.

Es interesante reproducir las palabras del propio Carnot:La condición necesaria para el trabajo máximo es que en los cuerpos empleados

para realizar la fuerza motriz del calor no ocurran cambios de temperatura que no sedeban al cambio de volumen. Recíprocamente, cada vez que esta condición se satisfaga seobtendrá el máximo. Este principio no debe perderse de vista en la construcción de unamáquina térmica, es su base fundamental. Si no se la puede cumplir estrictamente, almenos se tratará de apartarse lo menos posible del mismo.

En términos más modernos, la máquina debe operar con los mínimos gradientes detemperatura, de modo que las variaciones de temperatura se deban únicamente a laexpansión y no a flujo térmico causado por los gradientes, lo que se cumplirá mejor en lasmáquinas que funcionen con expansiones (y compresiones) muy lentas, de modo que latemperatura interna sea tan homogénea como resulte posible. Precisamente esta operaciónlenta aproxima la operación reversible en que no se genera entropía.

Aunque Carnot no dio un a expresión cuantitativa, más adelante afirma:La fuerza motriz del calor es independiente del agente empleado para realizarla; su

cantidad está fijada únicamente por las temperaturas de los cuerpos entre los cuales seefectúa, finalmente, la transferencia de "calórico". Carnot en ese momento piensa que el"calor" es una magnitud extensiva, aunque parece haber corregido ese punto de vista

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posteriormente. De hecho estimó el factor de conversión de calorías a Joule en 3,7(1cal=4,182 Joule).

#5 Máquinas frigoríficasSe entiende por máquina frigorífica a aquella cuya función es "enfriar" una región

del espacio (la fuente fría). Enfriar significa extraer energía térmicamente, es decir, extraerenergía a través de un flujo de entropía. Esta energía debe entregarse al medio, a mayortemperatura (la fuente caliente). Finalmente, la experiencia nos indica que e proceso deextracción requiere realizar trabajo sobre la máquina (la cuenta de la luz a fin de mes, elrefrigerador es uno de los electrodomésticos de mayor consumo).

Se desprende de lo anterior que una máquina frigorífica es una máquina térmicaoperando en el sentido inverso:

Fuente fría entrega calor a la máquina (hipótesis): Q1>0

Balance de entropía: Q2/T2+Q1/T1+Sgen=0Como Sgen>0, DEBE ser Q2<0: en efecto

Q2=-Q1T2/T1-T2Sgen

Por la 1ª leyQ1+Q2+W=0

luego

W=Q1(T2/T1-1)+T2Sgen, W>0,

es decir, el medio debe realizar trabajo sobre el sistema (la cuenta de la luz).El buen funcionamiento de la máquina se describe en términos de lo que cuesta

extraer energía desde la fuente fría. Para evitar confusión con el rendimiento, se habla eneste caso de eficiencia E:

E =(lo que obtenemos)/(lo que pagamos)=(energía extraída de la fuente fría)/(trabajo realizado para extraerla)=Q1/W=[(T2/T1-1)+T2Sgen/Q1] que en el límite reversible es

ECarnot=1/(T2/T1-1)

Las eficiencias pueden ser mayores que la unidad, lo significa solamente que nocuesta mucho trabajo extraer energía cuando las fuentes fría y caliente están a temperaturasparecidas.

Por otra parte, la eficiencia tiende a cero cuando T1 tiende a cero: mientras más bajatemperatura se quiere alcanzar, más difícil y costoso se torna el proceso.

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Una máquina frigorífica puede usarse para calentar un recinto, en cuyo caso se hablade una bomba térmica. Esta función se usa en el aire acondicionado: se puede demostrarfácilmente que en este caso es posible disipar en el interior de una habitación más potenciaque la consumida por la máquina.

Los métodos más usados en la práctica para producir descensos de temperatura son:-expansión adiabática de un gas-proceso de Joule-Kelvin por debajo de la temperatura de inversión-transición de fase líquido a vapor.

#6 El ciclo de Carnot

En esta sección se considera la representación gráfica del ciclo de una máquinatérmica reversible, la máquina real (irreversible) no puede ser representada en el gráfico deestados de equilibrio.

i) Ciclo de Carnot genérico

1ª etapa: la máquina está en contacto con la fuente caliente, tomando energía. Para que elproceso sea reversible es necesario que la máquina esté en equilibrio térmico con la fuente,es decir, a la misma temperatura. Se trata por lo tanto de un calentamiento isotérmico a T2.2ª etapa: la máquina baja su temperatura hasta T1 sin interactuar con otras fuentes, por loque se trata de un proceso adiabático. Al ser reversible es por lo tanto isentrópico.3ª etapa: la máquina está ahora en contacto con la fuente fría, cediéndole energía. Como enla 1ª etapa, para que el proceso sea reversible es necesario que la máquina esté en equilibriotérmico con la fuente, es decir, a la misma temperatura. Se trata por lo tanto de unenfriamiento isotérmico a T1.4ª etapa: la máquina sube ahora su temperatura hasta T1 sin interactuar con otras fuentes,por lo que se trata, como en 2ª, de un proceso adiabático. Al ser reversible es tambiénisentrópico. Esta etapa cierra el ciclo.

El ciclo anterior consiste en dos isotermas ydos isentrópicas, como se indica en lafigura. El sentido del ciclo se determinaobservando que, a la temperatura T2, lamáquina recibe energía térmicamente, por loque su entropía aumenta en esa etapa.

T

S

El ciclo anterior se conoce genéricamente como ciclo de Carnot.

ii) Ciclo de Carnot para un gas ideal

La realización del ciclo de Carnot genérico requiere del uso de algún medio físicoparticular, vapor de agua en el caso de l máquina de Watt. Puede suponerse que la máquinaconsiste en un cilindro de paredes adiabáticas, que pueden convertirse en diatérmicas

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cuando sea conveniente, provisto de un pistón ideal, y relleno con algún material que sedenomina "substancia de trabajo".

La substancia de trabajo puede ser un gas simple o mezcla, un sólido, un líquido, eincluso experimentar transiciones de fase durante la ejecución del ciclo. De este modo elciclo representado en el plano P-V o en otras representaciones que no sean la T-S puedetener formas muy diferentes, todas, sin embargo, son un ciclo de Carnot.

Se considera aquí como ejemplo el ciclo correspondiente a un gas ideal concoeficiente adiabático 1,4 (gases diatómicos simples como el N2). El ciclo de Carnot de lafigura no está a escala: el área real enlazada es mucho menor que la enlazada.

#7 Motor a explosión

El motor a explosión descrito en la figura se puede describir aproximadamente porel siguiente ciclo:

Inyección Compresión Ignición -explosión

Expansión Expulsión

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Se ingresa alcilindro mezclade combustible ycomburentedesde elcarburador

La mezcla secomprimeadiabáticamente,con aumento detemperatura

La mezcla seenciende,siguiendo larápidacombustión(explosión) congran aumento depresión

El gas a presiónimpulsa el pistóndurante unaexpansiónaproximadamente adiabática

Los gasesproducto de lacombustión sonexpulsados alexterior

Los procesos de inyección y expulsión involucran intercambio de material con elmedio, lo que impide graficarlos en el plano PV, necesitándose (al menos) un eje adicional.La reacción química es un proceso irreversible (que además cambia el número de moles), ytampoco puede representarse en el plano PV.

A fin de enmarcar esta máquina dentro de lo que es posible describir aquí, se puedereemplazar conceptualmente la máquina, que es de combustión interna por otra equivalentede combustión externa, en la cual el proceso de combustión se reemplaza por uncalentamiento provisto por fuentes externas. De este modo se construye el ciclo de Otto:

a) Compresión: se representa por una compresión adiabáticab) Combustión: se reemplaza por un calentamiento isocórico (la combustión real ocurre enun tiempo no nulo y el volumen cambia durante la misma)c) Expansión: se representa por una expansión adiabáticad) Las etapas de expulsión e inyección se emulan por un enfriamiento isocórico

Se deja propuesto como ejercicio:-Bosquejar el ciclo en el plano P-V-Suponer que la substancia de trabajo es un gas ideal, darse valores razonables para lascondiciones iniciales y factor de compresión, y resolver el ciclo-Calcular explícitamente el rendimiento y mostrar que es menor que el de Carnot

Notas:i) El motor Diesel funciona de manera algo diferente, representándose por el ciclo Dieseldeterminado por dos adiabáticas como en el caso anterior, el mismo enfriamiento isocórico,pero el calentamiento se representa por un proceso isobárico.ii) las turbinas a gas rotatorias se representan por el ciclo Joule-Brayton, dos adiabáticas ydos isobaras

#8 El modelo de Curzon-AhlbornLa máquina de Carnot tiene el rendimiento superior límite, pero supone procesos

reversibles, en particular sin gradientes térmicos, siendo de "funcionamiento infinitamentelento", es decir, entrega potencia cero. Por otra parte, la experiencia diaria nos enseña queuna transferencia térmica se puede realizar sólo entre cuerpos a diferente temperatura y queen general es más rápida cuanto mayor la diferencia, por lo que una máquina que entreguepotencia requiere de diferencia de temperatura entre la fuente y la máquina y generaráentropía, teniendo rendimiento menor que el de Carnot pero entregando potencia no nula.

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Un modelo para describir una máquina "real" (tampoco lo es) supone:

-Una máquina de Carnot operando entre dos temperaturas T2' <T2 y T1'>T1.-La máquina opera reversiblemente entre T1' y T2', luego su rendimiento será 1-T1'/T2'-Se supone entonces que toda la irreversibilidad se concentra en las etapas de toma deenergía desde la fuente caliente a T2' y la de ceder entropía a la fuente fría

T2

T1

T2'

T1'

Q2

Q1

W

Fuente caliente real

Fuente fría real

Fuente caliente

Fuente fría

"Vista por la máquina"

"Vista por la máquina"

Es importante destacar que esta máquina constituye un modelo particular demáquina térmica funcionando de un modo particular, contrariamente a la de Carnot, que esun modelo general. Se trata ahora de un caso particular de la máquina térmica irreversibledescrita en el #4, en el que resulta posible calcular Sirr, la entropía generadairreversiblemente en un ciclo.i) Modelo

Para concretar el modelo es necesario especificar una propiedad de los materialesque conforman la máquina, añadiéndole aún más particularidad al ejemplo. Se observa queen muchas situaciones prácticas la tasa de transferencia térmica de enrgía es proporcional ala diferencia de temperatura (más precisamente, el vector de flujo térmico es proporcionalal gradiente de temperatura, como se discutirá en el capítulo de fenómenos de transporte).Esto significa que la tasa a la cual se transfiere Q2 es

dQ2/dt=K(T2-T2')>0donde K es la "conductancia térmica" que depende del material y la geometría de lamáquina. Del mismo modo Q1 se transfiere desde la máquina a la fuente fría a una tasa:

dQ1/dt=K(T1-T1')<0Nótese que, al poner la misma constante de proporcionalidad K se supuso, como hipótesissimplificadora adicional, que la máquina es simétrica (no es obvio que esto sea lo másconveniente en la práctica).

ii) Balance de entropía

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Las temperaturas intermedias T1' y T2' no son independientes. En efecto, si seconsidera la máquina operando reversiblemente entre T2' y T1' el balance de entropía debedar cero en un ciclo, es decir:

Q1/T1'+Q2/T2'=0

que al derivar con respecto al tiempo y reemplazar las expresiones para dQ/dt queda:

(T1-T1')/T1' + (T2-T2')/T2'=0o bien

T1/T1' + T2/T2' =2

que define una de ellas en función de la otra, ya que T1 y T2, las temperaturas de las fuentestérmicas, están dadas. Conviene introducir la variable auxiliar x como el cuociente entre lastemperaturas intermedias: x=T1'/T2', que al reemplazar en la ecuación anterior conduce a:

T2'=(T1/x+T2)/2y

T1'=(T1+xT2)/2

nótese que: T1/T2<x<1

iii) Balance de energíaLa potencia entregada por la máquina esPotencia = |dW/dt|

Por conservación de enrgía debe serW=-(Q1+Q2)

luego|dW/dt|=K(T1+T2-T1'-T2')

que al reemplazar queda en función de x:|dW/dt|=K(T1+T2)/2 - K(T1/x+xT2)/2 *

Se encuentra entonces que:a) la potencia de esta máquina es una función de x, donde el rendimiento está dado por (1-x).b) En particular, si x=1 las temperaturas máxima y mínima de la máquina son iguales y estano trabaja, es decir, el rendimiento es cero y también |dW/dt|=0.c) Si x asume su valor máximo, el rendimiento es el de Carnot (1-T1/T2), pero la potenciaes|dW/dt|=K(T1+T2)/2-K(T2+T1)/2=0, es decir, no sirve para nadad) Debe existir un valor de x que hace que la potencia sea máxima

iv) Rendimiento a potencia máximaEl modelo es interesante en la medida que permite determinar las temperaturas intermediasque hacen máxima la potencia entregada por la máquina. Al derivar (*) con respecto a x se

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obtiene que el máximo de |dW/dt| se obtiene cuando x2=T1/T2, es decir x=√T1/√T2. Eneste caso el rendimiento a potencia máxima es:

η(Curzon-Ahlborn)=1-√T1/√T2<η(Carnot)=1-T1/T2

0

2

4

6

8

10

12

14

Pot

enci

a (u

. a.)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Ren

dim

ient

o

0.5 0.7 0.9 Cuociente x=T1'/T2'

Rendimiento de Curzon-AhlbornMáquina "endoreversible"

La figura muestra el comportamiento de una máquina que opera entre fuentes térmicas aT1=300K y T2=600 K. La potencia (curva azul) se muestra en función del cuociente detemperaturas de operación de la máquina endoreversible en unidades arbitrarias. La rectadecreciente en rojo representa el rendimiento de la máquina, mientras que la rectahorizontal es el rendimiento de Carnot que solo se obtiene si x=0,5.

v) Valor predictivoEl caso general, que conduce al rendimiento de una máquina reversible de Carnot

tiene validez general, pero carece de valor predictivo, ya que las máquinas operan muy pordebajo del rendimiento de Carnot. Por el contrario, el modelo mostrado aquí, aunque MUYparticular, permite estimar mejor el rendimiento real de una máquina térmica cuando éstaopera a potencia máxima.

La tabla siguiente muestra el rendimiento real de plantas de generación eléctrica depotencia de diferentes tipos. Nótese que los rendimientos reales se aproximan mejor por elrendimiento η(Curzon-Ahlborn). Por supuesto, es posible encontrar una máquina conrendimiento superior, lo que significa que no está funcionando a potencia máxima, pero esimposible encontrar una máquina con rendimiento superior al de Carnot.

RENDIMIENTO REAL

DE PLANTAS DE POTENCIA

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PlantaLugar

T1ºC

T2ºC

Tipo ηreal

η de Carnot

η de Curzon-Ahlborn

η ηC=1-T1/T2

η'=1-(T1/T2)1/2

UK 25 565 Carbón 0,36 0,64 0,40Canada 25 300 Nuclear 0,30 0,48 0,28Italia 80 250 Geotérmica 0,16 0,32 0,18Suiza 25 690 Turbina 0,32 0,69 0,44Francia 25 680 Turbina 0,34 0,69 0,44

Rendimiento de otros procesos

Proceso Desde("forma")

Hacia("forma")

Real%

Teoría%

Generación eléc- Química Calor 85-95 100trica a partir de Calor Mecánica 40-48 63combustibles Mecánica Eléctrica 95-98 100TOTAL Química Eléctrica 32-42 63Hidroeléctrica Potencial Rotación 85-90 100

Rotación Eléctrica 95-98 100TOTAL Potencial Eléctrica 81-88 100