RAFAEL MORA / 3 de Febrero del 2013

CONCEPTO DE FILOSOFIA DE LA MATEMATICA Es una rama de la filosofía que trata de

comprender y explicar los requisitos, el objeto, el método y la naturaleza de las matemáticas.

En esta rama se intentan responder las siguientes preguntas: ¿Cómo sabemos que nuestras teorías

matemáticas son verdaderas? ¿Sobre qué son las matemáticas? En otras

palabras, si un enunciado matemático es verdadero, ¿qué lo hace verdadero? ¿En virtud de qué es verdadero?

¿Las verdades matemáticas son verdaderas por necesidad? Y, si lo son, ¿cuál es la fuente de esta necesidad?

INTRODUCCION

La imagen tradicional de las matemáticas (formal e infalible) fue cuestionada a raíz de la llamada "crisis de los fundamentos de las matemáticas", que sucedió en el siglo XIX. Dicha "crisis" se origino principalmente por dos descubrimientos: primero el de las geometrías no euclidianas y, segundo, el de la teoría de los conjuntos.“

En tanto la teoría de conjunto iba a ser utilizada para asegurar la base de todo el edificio matemática, era necesario revisar bien la teoría conjuntista. Pero sucedió que se hallaron algunas dificultades que más tarde serían conocidas como “paradojas lógica”.

PARADOJA DE CANTOR

Sea A un conjunto, digamos de 2 elementos: A={1, 2} Sabemos que su conjunto potencia es el conjunto de todos los

subconjuntos de A Pot (A) = {φ, A, {1}, {2}} Este Pot (A) tiene más elementos que A Card (A) < Card (Pot (A)) (Teorema de Cantor) Ahora bien, sabemos que el conjunto universo contiene a

todos los conjuntos incluso a sí mismo. A su vez, sabemos que cuando un conjunto A incluye a otro conjunto B, la cardinalidad de A es mayor o igual que la cardinalidad de B. Es decir,

Si A incluye a B, entonces Card(A) > Card(B) (relación de inclusión)

¿Qué sucede con el conjunto universo y su conjunto potencia? Por el teorema: Card (U) < Card (Pot (U)) Por la relación: Card (U) > Card (Pot (U))

PARADOJA DE RUSSELL

Hay conjuntos normales que no se contienen a sí mismos

Hay conjuntos anormales que se contienen a sí mismos

Formamos R que es el conjunto de todos los conjuntos que no contienen a sí mismos.

Si R es normal entonces R no contiene a sí mismo, por lo cual R sería elemento de R

Pero si R es elemento de R, entonces esto significa que se contiene a sí mismo por lo cual R sería anormal y no debería estar en R.

LOGICISMO Rep: Frege, Russell Plantea que la matemática es reducible a la lógica. Frege inició el

programa logicista pero este fue continuado por Bertrand Russell y Alfred North Withehead en Principia Mathematica. La tesis logicista considera que las Matemáticas pueden “derivarse de la lógica” en el siguiente sentido:

1) Todos los conceptos de las Matemáticas pueden definirse basado en definiciones de la lógica pura.

2) Todos los teoremas de las Matemáticas pueden deducirse de estas definiciones por medio de los principios de la lógica.

La lógica, a la que los logicistas pretenden reducir las Matemáticas, supone la existencia de una dicotomía que divide el conocimiento en “a priori” (no empírico) y “a posteriori”

Los logicistas consideraban las proposiciones matemáticas como conocimiento a priori, que prescinde de las demostraciones empíricas.

Este proyecto estaba engarzado con el ya realizado proyecto de la aritmetización del análisis. Así Peano propuso un sistema de axiomas: 1. El 0 es un número 2. Cada número tiene por lo menos uno y a lo más un sucesor que también es

un número 3. El 0 no es el sucesor de ningún número 4. No hay dos números que tengan el mismo sucesor 5. Lo que sea verdad del 0, también es verdad para el sucesor de cualquier

otro número, y si es verdad para ese número, es verdad de todos los números

LOGICISMO Frege había logrado mostrar la posibilidad de reducir el concepto

de número natural al concepto de clase o conjunto y derivar todas las propiedades de los números naturales de las propiedades de las multiplicidades. Dice que el número 2, por ejemplo ,es el conjunto de todos los conjuntos que tienen 2 elementos.

Asimismo, se encarga de aclarar la naturaleza del número. Cuando digo que Sócrates es uno y que la Santísima Trinidad son tres, ¿de qué se está predicando el “uno” y el “tres”? De inmediato queda claro que los números no son una propiedad de los objetos: de Sócrates no se predica la unidad. Si fuera este el caso, se podría inferir de las premisas que Sócrates es uno y que Platón es uno, que Sócrates y Platón son uno. La respuesta a esto se sugiere por la teoría de la cuantificación. Frege argumenta que cuando digo que un hombre existe, no predico la existencia de un hombre, sino que mas bien, predico el concepto hombre: lo que estoy diciendo es que el concepto hombre tiene por lo menos una instancia. (La existencia es un predicado de predicados). En forma similar los números se predican de conceptos: decir que hay cinco hombres sabios, es decir que el concepto hombre sabio se instancia cinco veces.

Russell para evitar la aparición de paradojas impuso ciertas restricciones a la formación de expresiones lógico matemáticas. Estas restricciones se determinan mediante la famosa teoría de los tipos lógicos.

FORMALISMO Rep: Hilbert, Ackermann Considera que el lenguaje matemático, puede reducirse a operar con signos.

El formalismo entiende las matemáticas como un juego basado en un cierto conjunto de reglas para manipular cadenas de caracteres: el programa del formalismo matemático consiste en construir la Matemática como un sistema lógico-formal puro, cuya condición fundamental es la ausencia de contradicción, prescindiendo de todo tipo de contenido; se trata, pues, de un sistema formal vacío.

Se puede comprender mejor el razonamiento de Hilbert considerando una analogía. Los número irracionales no tienen significado intuitivo como tales números. Aunque podamos introducir longitudes cuyas medidas sean irracionales, las propias longitudes no proporcionan ningún significado intuitivo a los números irracionales, pero ell0s son necesarios incluso para las matemáticas elementales. Hilbert hizo la misma observación al respecto de los números complejos. Esto no tienen contrapartidas reales inmediatas, pero hacen que sean posibles teoremas generales como el de que toda ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n raíces. Independiente de que los símbolos representen o no objetos con un significado intuitivo, todos los signos y símbolos de conceptos y operaciones están libres de significado. Para el propósito de los fundamentos, los elementos del pensamiento matemático son los símbolos y las proposiciones, que son combinaciones o cadenas de símbolos. Así se lograba la certeza al precio de tratar a la matemática como símbolos vacíos de significado.

FORMALISMO Hilbert intenta un nuevo planteamiento de la consistencia utilizando

el concepto de demostraciones absolutas, sin contradicciones para lo cual necesitará validar el uso del tercio excluso: “Quitar a los matemáticos el principio del tercio excluso es como prohibir el telescopio a los astrónomos y el uso de sus puños a los boxeadores. Negar los teoremas de existencia que utilizan el principio del tercio excluso es tanto como renunciar de golpe a la ciencia de las matemáticas”. Pretendía lograr este tipo de demostraciones construyendo un sistema de signos formales, vacíos de significados, con reglas manifiestas de cómo manipular estos signos. Así, se derivan teoremas a partir de axiomas mediante combinaciones y transformaciones sígnicas de acuerdo a reglas de operación que funcionan bajo el principio de un razonamiento explícito. A este sistema Hilbert lo llamó “metamatemática” . La metamatemática o teoría de la demostración es la disciplina que partiendo del conocimiento de la estructura y el funcionamiento de las teorías matemáticas tiene por objeto probar la consistencia de estas teorías.

“La Matemática en sentido estricto puede sustituirse por un método puramente mecánico de derivar fórmulas, método que no tiene nada que ver con la significación de interpretación de los símbolos usados”.

“Se toman como premisas algunas agregados de símbolos; éstos son los axiomas, y a partir de ellos se derivan otros grupos de signos, de acuerdo con reglas fijas y de un modo puramente mecánico; o sea, sin utilizar conclusiones obtenidas de su interpretación; los nuevos grupos son los teoremas demostrables”.

AXIOMATISMO Rep: Zermelo Llamado también conjuntismo. Esta escuela no intenta

desentrañar la esencia del conocimiento matemático. Propone limitar los conjuntos mediante axiomas que imposibiliten la aparición de paradojas. Por ejemplo, reemplaza el axioma de comprehensión por el axioma de la separación que sostiene que para que una propiedad pueda determinar un conjunto es necesario que se aplique a elementos de otro conjunto preexistente cuya existencia esté asegurada de antemano. Así se logra frenar a la aparición de paradojas.

Zermelo creía que las paradojas de la teoría de conjuntos venían de que Cantor no había restringido el concepto de conjunto. Zermelo esperaba, por consiguiente, que unos axiomas claros y explícitos clarificarían lo que se entendía por conjunto y las propiedades que los conjuntos debían tener. Él buscaba en particular limitar el tamaño de los conjuntos.

El sistema de axiomas de Zermelo fue perfeccionado por Abraham A. Fraenkel. Zermelo no había distinguido entre la propiedad de un conjunto y el propio conjunto. La distinción fue hecha por Fraenkel en 1922.

AXIOMATISMO

Estos son algunos de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel.

1. Dos conjuntos son idénticos si tienen los mismos elementos

2. Existe el conjunto vacío 3. Si x e y son conjuntos, entonces el par no ordenado (x,y)

es un conjunto 4. La unión de un conjunto de conjuntos es un conjunto 5. Existen conjuntos infinitos 6. Cualquier propiedad que pueda ser formalizada en el

lenguaje de la teoría de conjuntos puede utilizada para definir conjuntos

7. Se puede formar el conjunto potencia de cualquier conjunto; esto es, la colección de todos los subconjuntos de cualquier conjunto dado es un subconjunto

8. El axioma de eleccíón 9. x no pertenece a x Sin embargo, no logra ofrecer una garantía indubitable

contra el hallazgo de nuevas paradojas.

AXIOMATISMO

Los conjuntistas piensan que no se pueden obtener paradojas poruqe se ha constriudo una jerarquía de conjuntos que evitaba la ambigüedad. Pero la consistencia de la teoría de conjuntos no ha sido demostrada. Según Poincaré: “Hemos puesto una cerca alrededor del rebaño para protegerlo de los lobos, pero no sabemos si dentro de la cerca han quedado encerrados algunos lobos”

Si se aceptan los axiomas de la teoría de conjuntos se pueden construir todas las matematicas sobre ellos. La lógica esta subordinada a los axiomas de las matematicas. La lógica no controla lo que son o lo que hacen las matematicas. La lógica es la gramatica del lenguaje que usamos, un lenguaje que tuvo que existir antes de que se pudiera construir la gramatica

PLATONISMO MATEMÁTICO Rep: Kurt Gödel Llamado también objetivismo. Consiste en la

creencia de que los objetos y conceptos matemáticos (las entidades referidas por los símbolos matemáticos), así como los hechos matemáticos (los expresados por las proposiciones matemáticas), no son de nuestra creación, sino que existen objetivamente con total independencia de la existencia y el funcionamiento de nuestra mente. Es decir, los objetos y conceptos tratados por las matemáticas no son simples invenciones existentes únicamente en la mente de los matemáticos, sino que son realidades ingénitas, universales, inmateriales, imperecederas, inmutables y atemporales. tanto los "objetos matemáticos" (números, figuras geométricas, etc) como las leyes matemáticas no se inventan, sino que se descubren. Por ejemplo, los axiomas lejos de crear el concepto de conjunto lo desarrollan y este seria anteriormente dado a nuestra percepción de lo abstracto o intuición matemática

PLATONISMO MATEMÁTICO Según Gödel: “Me parece que la asunción de tales objetos es tan

totalmente legítima como la asunción de cuerpos físicos, y existen las mismas razones para creer en su existencia. Son necesarios para obtener un sistema satisfactorio de matemática en el mismo sentido en que los cuerpos físicos son necesarios para una teoría satisfactoria de nuestras percepciones sensibles”

Aunque es cierto que las proposiciones matemáticas no dicen nada sobre la realidad espacio-temporal, tienen sin embargo un contenido objetivo, que radica en que dicen algo sobre relaciones objetivas entre conceptos objetivos

Puesto que conocemos muchas proposiciones sobre números naturales que son verdaderas, y como estamos convencidos de que muchas conjeturas relacionadas con ellos tienen sentido, entonces deben existir hechos objetivos sobre los números naturales y tales hechos deben referirse a objetos que son inmutables en el tiempo. La lógica y la matemática deben tener un contenido real, que puede verse estudiando teoría de números, donde hallamos hechos que son independientes de las convenciones arbitrarias.

TEOREMAS GÖDELIANOS

El primer teorema de incompletud de Gödel (1931) demuestra que la aritmética elemental no puede ser completamente axiomatizada en el sentido de completud deductiva, es decir, no puede axiomatizarse de modo consistente y completo. El segundo teorema dice que si una teoría aritmética T es consistente, entonces la consistencia de T no puede probarse en T, es decir, es imposible demostrar la consistencia de una teoría o sistema formal que incluya la aritmética elemental con los propios recursos de la teoría. Es decir, la consistencia de una teoría aritmética no puede probarse con sus propios medios.

PLATONISMO MATEMÁTICO Si las matemáticas fueran enteramente hipótesis existentes tan

sólo en nuestras mentes, cualquier verdad matemática podría ser formulada y demostrada, cosa imposible por los teoremas gödelianos. Por el contrario, si los conceptos matemáticos son preexistentes la única tarea que realiza el matemático es percibir dicha verdad objetiva y describirla. Tampoco la matemática puede reducirse a un sistema formal de sintaxis lógica de lenguaje pues, por los resultados de gödel, ningún sistema similar podría realizar una tarea semejante a menos que contase con conceptos igualmente potentes que los que pretenden reducirse, de modo que cualquier intento por esa línea sería inútil por principio.

Los matemáticos con toda su maquinaria operativa y simbólica tan sólo pueden hacer teorías matemáticas subjetivas con una alta aproximación a las verdades matemáticas objetivas, pero sin llegar a conocer éstas en su totalidad. Según esto, las matemáticas objetivas son imperecederas, no varían ni desaparecen independientemente de que alguien las conciba o no. Logramos reconocer los objetos y las verdades matemáticas que se encuentran en las "esferas celestiales de las ideas“ mediante la intuición matemática que, de manera similar a un órgano sensorial, hace que los seres humanos percibamos partes de ese otro mundo. La matemática es inagotable, de modo que no podemos hacer matemática sin recurrir a la intuición, que no puede reemplazarse por métodos puramente algorítmicos.

INTUICIONISMO Rep: Brouwer, Heyting El constructivismo cree que la única concepción de la verdad matemática es

la idea de prueba o demostración. Nuestras teorías matemáticas son constructos intelectuales. Todo lo que hay es la prueba. Asimismo, los números no existen hasta que se los “construye”, a través de operaciones que los generan en un número finito de pasos. No hay números allá afuera, a la espera de ser descubiertos; todos los números que existen están contenidos en los libros y artículos de los matemáticos. Decir que los números existen es decir que hay pruebas válidas implicando numerales.

Todo objeto matemático es considerado producto de la mente humana, y, por ende, la existencia de un objeto es equivalente a la posibilidad de su construcción. Esto contrasta con el enfoque clásico, que formula que la existencia de un objeto puede ser demostrada refutando su falsedad. Para los Intuicionistas esto no es válido; la refutación de la falsedad de un objeto matemático no significa que es posible hallar una prueba constructiva de su existencia.

Para un intuicionista una construcción es una entidad mental y en ningún caso se pueden identificar con entidades lingüísticas. El conocimiento matemático se basa en la aprehensión -que antecede cualquier lenguaje o lógica- de algunos conceptos matemáticos básicos

Se basa en la intuición primordial de los números naturales ( 1, 2, 3... ). Cada uno de esos números puede, a partir de la intuición básica del 1, ser "construido" agregando 1 al anterior.

A partir de lo anterior, el resto de la matemática puede (y debe) ser construida de forma explícita y rigurosa, lo que requiere un método claro y preciso. Solo entidades cuya existencia (positiva o negativa) haya sido demostrada de tal manera, o por medio de tal método, tienen validez matemática . Se podría decir que, desde el punto de vista intuicionista, las verdades matemáticas no se descubren, se crean.

INTUICIONISMO

Para los intuicionistas un (cualquier) ente es valido si y solo si puede ser construido por medio de un procedimiento especificado y con un número finito de pasos o operaciones. Pero ¿cual procedimiento específico y finito puede generar el infinito? Cualquier procedimiento que escojamos solo nos dará algún número concreto. Consecuentemente, el infinito intuicionista es solo potencial, a diferencia del "infinito oficial" que lo concibe como "una totalidad completa y acabada.“

Una proposición matemática es verdadera solo si hay una prueba de ella; en forma similar, es falsa solo si hay prueba de su negación. Pero, ¿qué ocurre si no hay pruebas para ninguna de las dos alternativas? Esta seria indecidible y tendríamos que romper con la ley del tercero excluido. Como ejemplo, tenemos la conjetura de Goldbach:

Todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos.

DIALETEISMO Rep: Graham Priest Dialeteismo es la creencia de que existen ciertas

contradicciones verdaderas, o dialetheias. En forma más especifica, los dialeteistas creen que para cierta proposición P, tanto P como su negación, no-P, son simultáneamente verdaderas. Sostiene que existen proposiciones verdaderas cuyas negaciones son también verdaderas

El dialeteismo no es en si mismo un sistema de lógica formal, pero adherir al dialeteismo sin aceptar algún tipo de lógica paraconsistente es aceptar cualquier cosa, trivialismo.

Para Priest, la necesidad de postular la existencia de contradicciones verdaderas proviene en primer lugar de la lógica, de la paradoja del mentiroso y similares. En segundo lugar, de la teoría de conjuntos, ya que los axiomas más intuitivos resultan en la paradoja de Russell, un conjunto que pertenece y no pertenece a sí mismo. Y en tercer lugar, de asuntos empíricos como el movimiento, las contradicciones legales y el cambio. Su idea es que las teorías lógicas que evitan las contradicciones por medio de restricciones (como la teoría de Alfred Tarski o la de Bertrand Russell) se alejan cada vez más del uso que hacemos de conceptos básicos como «verdad», y aun así no pueden evitar del todo inconsistencias.

A pesar de que la lógica del dialeteismo parece incompatible con la clásica, todos los teoremas de la lógica clásica serán verdades en la lógica del dialeteismo (aunque claro, a veces esas verdades serán también falsedades).

DIALETEISMO Gödel mostró que en la teoria consistente de la aritmética habian sentencias

que ni elllas ni su negación se podían probar. Una teoría consistente que contenga enunciados aritmetico no puede probar su consistencia en ella misma. Para confundir aún más Gödel demostró que dada una teoría intuitivamente correcta algunas sentencias improbables en el mismo sistema se podrían demostrar que eran verdaderas.

Las paradojas de la teoría de conjuntos constituyen pruebas para el dialeteismo. Las soluciones que se han dado consisten en restringir el esquema de comprensión. Aquí pasa lo mismo que en las paradojas semánticas.

Pero un punto de vista dialeteico ni altera el esquema de comprensión ni niega las contradicciones. Recordemos que una lógica es paraconsistente si no permite la explosión, es decir, si sólo algunas fórmulas son verdaderas de tal modo que no haya trivialidad.

El primer teorema de Gödel dice que cualquier teoría consistente de la aritmética es incompleta. La paraconsistencia muestra que esto es absolutamente necesario.

Demos ahora el segundo teorema de la aritmética: Si una teoría de la aritmética es consistente, la consistencia de la teoría no puede ser probada en la teoría misma. Se piensa que la consistencia y la no-trivialidad son iguales. Pero en la lógica paraconsistente esto no es así. T por ejemplo es inconsistente pero no trivial. Un problema serio sería considerar si la no-trivialidad de una inconsistente pero no trivial teoría puede ser probada en la misma teoría es algo real.

DIALETEISMO ¿Qué pasa con el programa de Hilbert? Si bien este programa requiere una entera

formalización de la matemática, las motivaciones de Hilbert no necesitan de la formalización para ser consistente. Instrumentalmente, no importa lo que suceda fuera del núcleo. El punto es que una extensión sea conservativa sobre el área nuclear. En este sentido, la teoría inconsistente es compatible con el programa de Hilbert. Sin embargo, en este caso lo buscado no es lo mismo que lo proporcionado.

La paraconsistencia no destruye los Teoremas de Gödel. Supuesta la consistencia de una teoría ella socaba cualquier consecuencia discutible. Pero estamos interesados en las teorías verdaderas. Desde que el dialeteismo es tenido en cuenta no podemos asumir que cualquier teoría matemática verdadera es consistente. ¿Qué pasa con la Aritmética? ¿podemos suponer que es inconsistente?

Por el teorema de Gödel mencionado ya: dada una axiomática e intuitivamente correcta teoría de la aritmética; hay una sentencia que no es probable en la teoría, pero que puede ser verdadera por un razonamiento intuitivo. Es la fórmula que dice de sí misma que no es probable.

= ¬(<>) Al igual que los estudiantes aprenden matemáticas por absorción y de pronto reconocen

sentencias coherentes y las distinguen de las falsas; de la misma manera, podemos reconocer un número infinito de oraciones gramaticales con sentido. Consideremos para este sistema de prueba. Por el teorema, si es sistema es consistente, no podemos probarla en el sistema. Pero (por el mismo teorema) podemos probarla en una forma intuitiva. Luego por modus ponens, se sigue que el sistema es inconsistente. Este es un nuevo argumento a favor del dialeteismo.

La aritmética es inconsistente, pues podemos probar ciertas contradicciones como . De hecho, ella es como la paradoja del mentiroso: “Esta oración no es demostrable”. Si es probable, es verdadera y luego será no probable. Pero justamente lo que hemos demostrado es que es demostrable. Esta será la paradoja de Gödel.

BIBLIOGRAFÍA

Rodríguez Consuegra, Francisco (2007) “Filosofía general y filosofía de la matemática en Gödel” en Analítica, Nº 1, Lima, 2007, pp. 167-186.