Filtro de PartículasFiltro de Partículas

Aplicado al seguimiento de objetos

Jose Maria Buades Rubio

SeguimientoSeguimiento

• A partir de un instante de tiempo ta, que se conoce el estado del objeto se desea localizar el objeto a lo largo del tiempo ta+1, ta+2, ta+3, ... , ta+n

• Nos interesa un estimador recursivo. Determinar el estado actual ti a partir del estado anterior ti-1

Filtro de KalmanFiltro de Kalman

• Estimador recursivo para un variable xn gobernada por una ecuación estocástica lineal xk=Axk-1 + Buk + wk-1

• El Filtro de Kalman Extendido permite que el proceso no sea lineal xk=ƒ(xk-1, uk , wk-1)

Filtro de KalmanFiltro de Kalman

Proceso de control xk = Axk-1 + Buk + wk-1

A matriz de n*nB matriz de n*l, ul

p(w) ~ N(0, Q)

Proceso de medición zk = Hxk + vk

p(v) ~ N(0, R)H matriz de m*n, zm

Datos iniciales: A, B, H, Q, R, x0 y P0

Pk es el error estimado en el instante k

Algoritmo de Kalman Algoritmo de Kalman FilterFilter

Problemática. OclusionesProblemática. Oclusiones

• La mayoría de los algoritmos no obtienen buenos resultados en el caso de que el objeto sufra oclusiones parciales o totales

• Al perder el rastro del objeto no retornan a una situación de estabilidad

• Filtro de partículas trata de solventar esta problemática

Filtro de Partículas vsFiltro de Partículas vsFiltro Kalman Filtro Kalman

• Filtro de Kalman es unimodal

• Filtro de Partículas es multimodalContempla varias alternativas, un objeto puede estar localizado en dos puntos igualmente probables

Filtro de KalmanFiltro de Kalman

Filtro de PartículasFiltro de Partículas

Filtro de PartículasFiltro de PartículasFormulación MatemáticaFormulación Matemática

xt – Estado del objeto en el tiempo t. Por ejemplo posición x, y, z

Xt ={x1, ..., xt} La historia del objeto

zt – El conjunto de imágenes en el instante t

Zt ={z1, ..., zt} La historia de las imágenes

Filtro de PartículasFiltro de PartículasFormulación MatemáticaFormulación MatemáticaModelo Dinámico Modelo Dinámico EstocásticoEstocásticoConsideramos que la dinámica del

objeto se rige por un proceso de Markov

p(xt|Xt) = p(xt|xt-1)

Filtro de PartículasFiltro de PartículasFormulación MatemáticaFormulación MatemáticaLikelihoodLikelihoodLas observaciones zt se consideran

independientes

El proceso de observación se define con la función de densidad p(zt|xt) para cada instante t, pudiendo ser independiente del tiempo p(z|x)

t

iiittttt xzpXxpXxΖp

1111,

Filtro de PartículasFiltro de PartículasFormulación MatemáticaFormulación MatemáticaPropagaciónPropagación

La probabilidad de un estado xt viene dado de forma recursiva por

Aquí aparecen dos funciones: LikelihoodModelo Dinámico

1

)()(

donde

1111

1

tx

tttttt

ttttttt

tttt

ZxpxxpZxp

ZxpxzpkZxp

Zxpxp

AlgoritmoAlgoritmo

• Estas funciones están definidas sobre el espacio continuo de los reales

• La integral se calcula en discreto para facilitar los cálculos

• Se simulan n partículas a las cuales se les aplica las funcionesSimulación (Dynamic Model - estado) Similitud (Likelihood - probabilidad)

AlgoritmoAlgoritmo

1 Seleccionar una partícula s’t(n)

a.- Generar un numero aleatorio [0,1]b.- encontrar el j para el cual ct-1

(j) rc.- s’t

(n) = s’t-1(j)

2 Predecir mediante el muestreop(xt| xt-1 = s´t

(n))para escoger st

(n)

p.e. st(n) = As´t

(n) + Bwt(n)

3 Mediciónt

(n) = p(zt| xt = st(n))

Normalizar para que nt(n) = 1

ct(0) = 0

ct(n) = ct

(n-1) + t(n) (n=1,...,N)

Resultados. Sin oclusionesResultados. Sin oclusiones

1 iteración, 100 partículas1 iteración, 100 partículas

2 iteraciones, 50 2 iteraciones, 50 partículaspartículas

4 iteraciones, 25 4 iteraciones, 25 partículaspartículas

8 iteraciones, 100 8 iteraciones, 100 partículaspartículas

Resultados. Con Resultados. Con oclusionesoclusiones

4 iteraciones, 25 4 iteraciones, 25 partículaspartículas

4 iteraciones, 100 4 iteraciones, 100 partículaspartículas

Resultados.Resultados.Jonathan DeutscherJonathan Deutscher

Resultados.Resultados.Jonathan DeutscherJonathan Deutscher

Resultados.Resultados.Hedvig SidenbladhHedvig Sidenbladh

Resultados.Resultados.Hedvig SidenbladhHedvig Sidenbladh

Problemas derivados del Problemas derivados del número finito de número finito de partículaspartículas

• Diferentes ejecuciones pueden dar resultados diferentes

• Reseguir un único pico, posiblemente el erróneo

• Realizar el seguimiento sin disponer de información útil

ReferenciasReferencias

Michael Isard and Andrew Black “CONDENSATION – Conditional Density Propagation for Visual Tracking” IJCV 29 (1) pp 5-28 (1998)

O. King and D.A. Forsyth “How Does CONDENSATION Behave wieh a Finite Number of Samples” ECCV’2000 Vol1 pp 695-709

Jonathan Deutscher, Andrew Blake and Ian Reid “Articulated Body Motion Capture by Annealed Particle Filter” CVPR’2000

Hedvig Sidenbladh, Michael J. Black and David J. Fleet “Stochastic Tracking of 3D Human Figures Using 2D Image Motion” ECCV’2000

Briad D. Ripley “Stochastic Simulation” Ed. Jhon Wiley & Sons

Athanasios Papoulis “Probability & Statistics” Ed. Prentice Hall